DANIEL AMARO DE ALMEIDA FELIPE LIMA DE SOUSA E SILVA FELIPE ROCHA ANDRADE JOÃO PAULO SOUZA ACIOLE REUTO SANTOS WENDHEL TALISSON SANTOS NERES
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E LEIS DE KIRCHHOFF
Rela Relató tóri rioo apre aprese sent ntad adoo na Univ Univer ersi sida dade de Feder Federal al de Sergi Sergipe, pe, Centro Centro de Ciênc Ciência iass Exat Exatas as e Tecn Tecnol olog ogia ia,, Depa Depart rtam amen ento to de Física, como um dos pré-requisitos para a conc conclu lusã sãoo da disc discip ipli lina na Labo Labora rató tóri rioo de Física B (turma M8). Sob a orientação do Professor Dr. Ronaldo Santos da Silva.
SÃO CRISTOVÃO-SE 06/05/2011 1
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ..............................................................................................2 2. OBJETIVOS..................................................................................................5 3. MATERIAIS E MÉTODOS.............................................................................. 6 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO....................................................................... 8 5. CONCLUSÃO.............................................................................................14 6. ANEXO......................................................................................................15 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 16
1. INTRODUÇÃO 2
Esse relatório consiste no estudo de duas praticas experimentais. Uma primeira tratando das formas de associação dos resistores, e outra a cerca das Leis de Kirchhoff. Onde as duas tem uma relação direta. Basicamente existem dois tipos de associação de resistores: a associação em série, e a associação em paralelo. Podendo-se ainda considerar um tipo de associação que envolve resistores em série e em paralelo, a qual seria chamada de associação mista. Um circuito em série, seria aquele onde as resistências estão ligadas uma em seguida à outra, como mostra a figura abaixo:
Neste tipo de circuito a corrente elétrica ( i), é a mesma em qualquer um dos resistores, independente do valor de cada um deles. Entretanto a voltagem ( V ) será diferente para cada resistor, a depender da resistividade (Ω) que ele apresenta. Para se calcular a resistência equivalente (uma única resistência equivale à união das outras), basta somar as resistências.
A associação de resistores em paralelo, como o próprio nome sugere, tem as resistências colocadas em paralelo entre si. Como representado no esquema a seguir: 3
Ao contrário da associação em série, na associação de resistores em paralelo a corrente elétrica ( i), difere para cada resistor a depender do valor de cada um. Enquanto a voltagem ( V ) será igual para cada um dos resistores, não dependendo da resistividade (Ω) que eles apresentam. O cálculo da resistência equivalente, nesse tipo de circuito é um tanto mais trabalhoso e é dado pela soma dos inversos de cada resistor.
As Leis de Kirchhoff são frequentemente usadas em circuitos complexos, com o objetivo de facilitar o cálculo de variáveis. Essas duas leis, por sua vez, dividem-se em duas: Lei dos Nós e Lei das Malhas. A Lei dos Nós afirma que: “A soma das correntes que convergem para um nó é igual à soma das correntes que divergem do mesmo”. Em outras palavras pode se dizer que a soma das correntes que deixam o nó menos a soma das correntes que o deixam é igual a 0.
Já a segunda Lei de Kirchhoff, conhecida como Lei das Malhas, diz que: “Em uma determinada malha, num sentido convencionado, a soma algébrica das diferenças de potencial é nula”. Isso se dá pelo fato das forças eletromotrizes na malha, é igual a 4
soma dos produtos entre a corrente elétrica ( i) e a Resistencia (Ω) que estão contidos na malha.
Na figura abaixo, pode-se observar um tipo de circuito onde normalmente se aplica as Leis de Kirchhoff.
2. OBJETIVOS
Comprovar as equações de cálculo de resistência equivalentes; 5
Compreensão das diferenças da distribuição da corrente e da tensão nas associações em série e em paralelo;
Analisar a distribuição da corrente em circuitos de reisistores iguais em paralelo Determinar diferenças entre circuitos com resistores em série e em paralelo; Verificar a validade das leis de Kirchofff.
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Materiais
Fonte de tensão; Placa de teste; Resistores; Cabos; Jumpers; Lâmpadas; Multímetros.
3.2 Métodos Associação de Resistores Inicialmente foi montado o circuito de acordo com a FIGURA 1. E aplicado uma tensão de 5 V, essa tensão foi aplicada a todos os circuitos.
FIGURA 1 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE DUAS LÂMPADAS
Após a verificação do que ocorreu desligou-se a fonte, e a lâmpada 1 foi retirada. Ligou-se a fonte novamente e também foi observado o que ocorreu.
O circuito da FIGURA 2 foi montado e submetido a tensão, observou-se o que ocorreu. 6
FIGURA 2 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE DUAS LÂMPADAS
Desligou-se a fonte e a lâmpada 1 foi retirada. Ligou-se a fonte e foi observado o que ocorreu. As descrições dos acontecimentos de cada circuito encontrem-se nos resultados e discussões.
Associação em Série Foram escolhidos três resistores, com resistências diferentes, os valores de suas resistências foram medidos com o Ohmímetro e anotados na tabela 1. Foi montado o circuito de acordo com a FIGURA 3.
FIGURA 3 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DOS RESISTORES
A resistência total (R) do circuito foi medida, com a fonte desconectada, seus valores encontram-se na TABELA 2. Aplicou-se a tensão no circuito, e foi medido os valores da tensão total (V) e corrente total (I), seus respectivos valores estão na
TABELA 2. Em seguida foram medidos os valores da corrente e tensão em cada resistor; os resultados encontram-se na TABELA 2.
Associação em Paralelo Foi montado o circuito de acordo com a FIGURA 4. Os resistores são os mesmos que foram usados na associação em série. O procedimento é análogo ao anterior, diferindo apenas do circuito.
FIGURA 4 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DOS RESISTORES
Leis de Kirchhoff Foi montado o circuito baseado na FIGURA 5, foram escolhidos cinco resistores com resistências entre 1 e 10 kΩ, os resistores
possuíam valores de 7
resistência diferentes. Após a montagem do circuito e escolhas dos resistores identificou-se, tanto no esquema quanto no circuito montado, os nós e as malhas existentes.
FIGURA 5 – CIRCUITO PARA A VERIFICAÇÃO DAS LEIS DE KIRCHHOFF.
Ligou-se a fonte, aumentando a tensão aplicada ao circuito. Fixou-se o valor de tensão da fonte em 10 V. Mediu-se o valor das correntes através dos resistores ( a ), e a corrente total I. Foi medida também a tensão da fonte e as tensões entre os extremos de cada um dos resistores. Esses procedimentos foram repetidos com um valor de tensão igual a 5 V. Os valores estão apresentados na TABELA 4.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO Associação de Resistores Na primeira parte do experimento, foi montado um circuito de duas lâmpadas em série como na FIGURA 1 e aplicado uma tensão de 5V. As duas lâmpadas presentes no circuito acenderam com baixa intensidade e o amperímetro da fonte marcava 0,03A. Ao retirarmos a LÂMPADA 1 e religarmos a fonte, a LÂMPADA 2 não acendeu e o amperímetro apontava a ausência de corrente, sinal de que o circuito estava aberto.
FIGURA 6 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE DUAS LÂMPADAS (REPETIDA)
Para a segunda parte do experimento, a montagem das duas lâmpadas foi em paralelo como na FIGURA 2. Ao aplicarmos uma tensão de 5V, novamente, as duas lâmpadas acenderam com baixa intensidade e com o amperímetro marcando 0,09A, 8
porém, ao retirarmos a LÂMPADA 1, o circuito continuou funcionando, com o amperímetro marcando 0,3A e a LÂMPADA 2 acesa sem nenhuma alteração significativa na sua intensidade.
FIGURA 7 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE DUAS LÂMPADAS (REPETIDA)
Para analisar o melhor custo benefício e a luminosidade entre os circuitos de lâmpadas, é necessário um experimento mais apurado, visto que não reparamos diferenças nas luminosidades entre os sistemas, porém, é claro que a vantagem de funcionar mesmo com alguma lâmpada queimada no caso do circuito em paralelo é fundamental na sua escolha para praticamente a totalidade das aplicações em projetos de iluminação. Após os experimentos dos funcionamentos dos circuitos com lâmpadas, passamos a realização dos testes dos circuitos para os resistores e a validade de suas fórmulas. De Início, escolhemos três resistores e medimos sua resistência na função ohmímetro do multímetro seus valores estão anotamos na TABELA 1 a seguir: TABELA 1 - VALORES DAS RESISTÊNCIAS NOMINAIS E MEDIDAS Previsão em
Valores
Resistor 1
Resistor 2
Resistor 3
Previsão em Série
Nominal
(10 000 ± 500)Ω
(1 000 ± 50)Ω
(150 ± 7,5)Ω
(11 150 ± 557,5) Ω
(129 ± 6,45)Ω
(11 273± 0,001) Ω
(128±0,001 ) Ω
Ohmímetro
(10 110± 0,001 ) Ω
(1 015±0,001 ) Ω
(148± 0,001 Ω)
Paralelo
Com os valores das resistências devidamente anotados fizemos uma previsão matemática do esperado para os mesmo montados em série e em paralelo e montamos o circuito em série de acordo com a FIGURA 8.
FIGURA 8 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DOS RESISTORES (REPETIDA)
Com a fonte ainda desligada, utilizamos um ohmímetro para a medição da 9
resistência total (Rts) do circuito em série e o valor. Após ligarmos a fonte em 5V, procedemos a uma cuidadosa medição da voltagem total (Vts), da corrente total (Its) e os valores de voltagem e corrente em cada resistor. Os dados foram anotados na
TABELA 2. TABELA 2 - VALORES DAS RESISTÊNCIAS, VOLTAGENS E CORRESTES TOTAIS E INDIVIDUAIS DE CADA RESISTOR DO CIRCUITO EM SÉRIE
Rts = (11 270 ± 33)Ω
Vts = (5,01 ± 0,01) V
Its = (0,448 ± 0,001) mA
Rs1 = (10 067 ± 32) Ω
Vs1 = (4,50 ± 0,01) V
Is1 = (0,447 ± 0,001) mA
Rs2 = (1 011 ± 22) Ω
Vs2 = (0,45 ± 0,01) V
Is2 = (0,445 ± 0,001) mA
Rs3 = (135 ± 21) Ω
Vs3 = (0,06 ± 0,01) V
Is3 = (0,446 ± 0,001) mA
Segundo a EQUAÇÃO 1, fizemos os cálculos de cada resistência com as medidas de voltagem e correntes anotadas e os resultados anotamos também na
TABELA 2. Todos os valores medidos, individuais e totais, ficaram muito próximos dos previstos, o que demonstra a veracidade das fórmulas conhecidas para os resistores em série (EQUAÇÕES 2, 3 e 4 ) e do funcionamento do experimento. R=V/I
EQUAÇÃO 1
Rts = Rs1 + Rs2 + Rs3
EQUAÇÃO 2
Vts = Vs1 + Vs2 + Vs3 Its = Is1 = Is2 = Is3
EQUAÇÃO 3 EQUAÇÃO 4
Por fim, foi feito o experimento dos mesmos resistores em paralelo, como esquematizado na FIGURA 9.
FIGURA 9 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DOS RESISTORES (REPETIDA)
10
Da mesma forma que foi feito no experimento dos resistores em série, foi medida a resistência do circuito desligado, e depois, com uma tensão de 5V, foi medido as tensões e correntes individuais e totais dos resistores. Com os resultados, através da
EQUAÇÃO 1 foram calculadas as resistências nos resistores. Todos os valores foram transcritos na TABELA 3. TABELA 3 - VALORES DAS RESISTÊNCIAS, VOLTAGENS E CORRESTES TOTAIS E INDIVIDUAIS DE CADA RESISTOR DO CIRCUITO EM PARALELO
Rts = (128 ± 1) Ω
Vts = (5,04 ± 0,01) V
Its = (39,4 ± 0,1) mA
Rs1 = (10 182 ± 29) Ω
Vs1 = (5,05 ± 0,01) V
Is1 = (0,496 ± 0,001) mA
Rs2 = (1 020 ± 20) Ω
Vs2 = (5,05 ± 0,01) V
Is2 = (4,95 ± 0,01) mA
Rs3 = (148 ± 1) Ω
Vs3 = (5,05 ± 0,01) V
Is3 = (34,1± 0,1) mA
Novamente, todos os dados foram bastante próximos do esperado além de condizentes com as fórmulas estabelecidas para os resistores em paralelo ( EQUAÇÕES
5, 6 e 7 ). 1/Rts = 1/Rs 1 + 1/Rs2 + 1/Rs3
EQUAÇÃO 5
Vts = Vs1 = Vs2 = Vs3
EQUAÇÃO 6
Its = Is1 + Is2 + Is3
EQUAÇÃO 7
Através da observação dos resultados, todos eles bem próximos daqueles esperados, notamos que as resistências individuais dos resistores não variam muito entre os dois tipos de circuito, porém, a resistência total no resistor em série é quase 90 vezes superior, o que significa uma corrente total bem menor para uma mesma tensão.
Leis de Kirchhoff Com base na prática laboratorial e com os valores obtidos a partir dos experimentos, foi possível montar a tabela descrita abaixo, relacionando a tensão e a corrente da rede. Por meio das leis de Kirchhoff (lei dos nós e das malhas) foi dividido 11
as correntes e as voltagens de nó por nó e depois montadas três malhas diferentes. É possível calcular então, o somatório das correntes que entram e das que saem.
TABELA 4 - VALORES DAS TENSÕES E CORRESTES TOTAIS E INDIVIDUAIS DE CADA RESISTOR DO CIRCUITO.
Tensão (V)
Corrente (I)
V (10 ± 0,02) V
(8,13±0,02) V
(8,52±0,02) V
(1,92± 0,02) V
(5 ± 0,02) V
(4,13± 0,02) V
(4,33± 0,02) V
(0,97± 0,02) V
(2,41± 0,01) mA
(1,57± 0,01) mA
(0,84± 0,01) mA
0,86± 0,01) mA
(1,20± 0,01) mA
(0,80± 0,01) mA
(0,42± 0,01) mA
(0,43± 0,01) mA
(1,53± 0,02)
(0,39±
V
0,02) V
(0,77± 0,02)
(0,19±
V
0,02) V
(1,55± 0,01)
(0,71±
mA
0,01) mA
(0,79± 0,01)
(0,35±
mA
0,01) mA
I
A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó ( TABELA 5). Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei dos Nós estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. TABELA 5 - SOMAS DAS CORENTES QUE CHEGAM E QUE SAEM DOS NÓS
Nó
∑ i chegam
∑ i saem
A
i = (2,41 ± 0,01) mA
i1 + i2 = (2,41± 0,01) mA
B
i1 = (1,57 ± 0,01) mA
i5 + i3 = (1,57± 0,01) mA
C
i3 + i4 = (2,41± 0,01) mA
i = (2,41 ± 0,01) mA
D
i2 + i5 = (1,55± 0,01) mA
i4 = (1,55 ± 0,01) mA
Baseado no enunciado da Lei dos Nós e considerando-se os resultados da
TABELA 5, pode-se confirmar a validade da lei de forma experimental. 12
A soma das elevações de potencial ao longo de um percurso fechado qualquer (malha) é igual à soma das quedas de potencial no mesmo percurso fechado. Assumindo-se que as quedas de potencial (sentido de percurso do terminal positivo para o negativo) são positivas ao longo do percurso e que as elevações de potencial (sentido do percurso do terminal negativo para o positivo) são negativas, a Lei das Malhas estabelece que a soma algébrica das tensões em um percurso fechado é nula. Assim, a Lei das Malhas também vale para as malhas que compõem o circuito:
FIGURA 10 – CIRCUITO PARA A VERIFICAÇÃO DAS LEIS DE KIRCHHOFF.
Encontram-se abaixo os cálculos para as malhas.
FIGURA 11 – MALHA 1.
1) V – V2 – V4 = 0 10 – 8,52 – 1,53 = (-0,05 ± 0,02) V
13
FIGURA 12 – MALHA 2.
2) -V1 – V5 + V2 = 0 -8,13 – 0,39 + 8,52 = (0,00 ± 0,02 ) V
FIGURA 13 – MALHA 3.
3) V5 – V3 + V4 = 0 0,39 – 1,92 + 1,53 = (0,00 ± 0,02) V
5. CONCLUSÃO A primeira parte do experimento se mostrou bastante previsível, afinal, a retirada de uma lâmpada num circuito em série deixou o circuito aberto impedindo a passagem de corrente. Com o circuito em paralelo, o experimento também foi previsível quando a retirada de uma lâmpada manteve o sistema funcionando. Dois experimentos simples que comprovaram a teoria de funcionamento dos circuitos em série e em paralelo. O funcionamento do circuito em paralelo mesmo com uma lâmpada queimada é fundamental em qualquer ambiente, e portanto é mais adequada sua escolha nos projetos de iluminação. Com o teste dos resistores nos circuitos foram comprovadas todas as fórmulas para montagens em série e paralelo, já que todos os resultados ficaram numa faixa bem próxima do esperado. Pequenas variações podem ser justificadas com a resistência do próprio circuito (cabos, jumpers) que não foi levada em conta. O experimento foi bastante esclarecedor acerca do funcionamento e das diferenças entre circuitos em série e em paralelo, sendo, portando, de grande valia no 14
aprendizado de todos envolvidos. Nas leis de Kirchhoff para as correntes e tensões por sua vez, pode ser observado que ambos conservam a variável de interesse. A lei dos nós para as correntes e a lei das malhas por sua vez para as tensões. A partir com conceitos de aula, dos dados obtidos e dos valores processados, pode-se concluir que experimentalmente, não foram observadas diferenças significativas entre os experimentais e teóricos.
6. ANEXO Incertezas A incerteza nominal da resistência é de ± 5% Ω. No ohmímetro de ± 0,001 Ω; da fonte ± 0,01 V e no amperímetro de ± 0,001 mA Propagações de Incertezas
Os cálculos das incertezas para as outras resistências são análogos. Seus valores estão apresentados na TABELA 2 e 3 . 15
Para a tensão tem-se que:
; = 0,01 V → →
V
Incerteza propagada da corrente
→
→
As incertezas de i 3 + i4 , i2 + i5 e i5 + i3 também é de ± 0,01 mA
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS http://www.infoescola.com/fisica/associacao-de-resistores/ http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/ LUZ, B.A.A.; LUZ, A.M.R.; A. Física, volume 3. São Paulo: Scipione. 2000.
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