Regulador cuadrático lineal para un sistema de Bola y Barra

REGULADOR CUADRÁTICO LINEAL PARA UN SISTEMA DE BOLA Y BARRA Del Negro A. Antonio M., Hurtado M. Gian A. Escuela de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería. Universidad Rafael Urdaneta. Maracaibo. Venezuela. [email protected], [email protected]. RESUMEN El sistema de Bola y Barra se describe como una bola situada sobre una barra que cambiará su posición dependiendo del ángulo de la misma, y esta a su vez varía gracias a un servomecanismo. Un sistema de control es el responsable del movimiento del servomotor, el cual, acoplado al sistema descrito, colocará la bola en una posición deseada. Los objetivos de este trabajo son identificar las variables del sistema, definir su modelo matemático y evaluar sus propiedades, para así diseñar los controladores. Tales fueron, un Regulador Cuadrático Lineal y un PID. La investigación fue experimental y de tipo explicativa. Al momento de la implementación, se pudo apreciar que las respuestas de simulación para el PID no eran acordes a la respuesta necesaria para el control, y se recurrió a modificar empíricamente los parámetros. Para la implantación del LQR sí hubo correlación con la respuesta de simulación del modelo continuo. Para profundizar el estudio, se definió de manera experimental un modelo matemático mediante los datos obtenidos del prototipo a partir de pruebas; el cual no tuvo correlación con el fenómeno. Por último, se compararon las mejores implementaciones de ambas estrategias, superando en efectividad y eficiencia el control óptimo LQR al clásico PID. Palabras clave: Bola y Barra, LQR, PID, Arduino, servomotor, control óptimo, control clásico, control moderno.

LINEAR QUADRATIC REGULATOR FOR A BALL AND BEAM SYSTEM ABSTRACT The ball and beam system can be described as a ball in top of a beam, whose position will change as the beam’s angle varies thanks to a servomechanism. A control system is responsible of the adequate movement of the servomotor, which, coupled to the previously described system, will move the ball to a desired position. This project’s objectives are to identify the system’s variables, to define its mathematical model and to evaluate its properties, and therefore design the controllers. The controllers are a Linear Quadratic Regulator and a classic PID. The investigation was experimental and explicative. Throughout implementation, it was noticeable that the simulation responses for the PID didn’t match with the controller’s necessary response. Therefore, an empirical modification of the parameters was made. The LQR configuration had correlation between simulation and implementation for the continuous model. Moreover, in order to deepen the study of the system, an experimental model was defined through test data acquisition from the

prototype, which wasn’t able to describe the phenomena. Lastly, both strategies best implementations were compared, being more effective and efficient the LQR optimal control against the classical PID. Keywords: Ball and Beam, LQR, PID, Arduino, servomotor, optimal control, classical control, modern control.

INTRODUCCIÓN La teoría de control ha estado muy presente en la tecnología desde la revolución industrial, y en las últimas décadas se ha profundizado su aplicación y avances de manera exponencial. El trabajo de investigación descrito en el presente artículo, está fundamentado en la promoción de mencionado avance, y se pretende que con un modelo didáctico como lo es el Sistema de Bola y Barra, se analice y desarrolle el control óptimo lineal, mediante la utilización de un regulador cuadrático lineal. Existen diferentes estrategias de control que son utilizadas en los diversos campos de la tecnología. Éstas poseen características muy distintas entre ellas, tienen aplicaciones específicas, y dependiendo del fenómeno, unas son más eficientes que otras. El control clásico es una estrategia ampliamente conocida, y uno de los tipos más utilizados. Para la investigación se consideró la estrategia clásica PID primordialmente para compararlo con el desempeño del regulador cuadrático lineal. Como antecedente directo se tiene el trabajo de investigación realizado por Petit y Ramírez de la Universidad Rafael Urdaneta en 2013, debido a que diseñaron y construyeron el prototipo utilizado en el trabajo e implementaron un controlador PID para el mismo. Adicionalmente, se incorporan los antecedentes de Wang de la Universidad de Adelaide en

2007, y Rosales del Instituto tecnológico de Massachusetts (MIT) en 2004, respectivamente. Estos últimos dos contribuyeron a complementar los fundamentos teóricos necesarios para el desarrollo de la investigación. El propósito de este artículo científico se centra en proporcionar los puntos clave del trabajo de investigación en descripción. Para ello, se desglosa el artículo en varias secciones, estratificadas como metodología, resultados y conclusiones. Como agregado, además, se presenta una sección de agradecimientos de los autores, al igual que las referencias bibliográficas consultadas para la elaboración del presente artículo.

METODOLOGÍA El tipo de la investigación fue descriptiva y de diseño experimental. La población se definió como el conjunto de estrategias de control posibles a implementar, y la muestra estuvo representada por el controlador PID y LQR seleccionados de manera no probabilística. La razón de la selección del controlador PID fue su sencillez y afinidad con el antecedente directo del trabajo, mientras que el controlador óptimo LQR fue debido al interés en maximizar el desempeño de estabilización del sistema bola y barra. El trabajo de investigación se desarrolló en cuatro fases. Primero, se procedió a la identificación de las variables que interactuaron en la estabilización del sistema bola y barra, para consecutivamente definir el modelo matemático del sistema físico y así posteriormente analizarlo en el dominio temporal y frecuencial. Con esto, se diseñaron los controladores PID y LQR para el sistema bajo estudio, los cuales posteriormente fueron

implantados en un sistema microprocesado. Consecuentemente, se evaluaron dichas configuraciones de control respectivas.

RESULTADOS La presentación de resultados de la investigación está ordenada según los objetivos específicos de ésta, mencionados anteriormente en el resumen. Primeramente, debe referirse a la identificación de las variables del sistema. Se presenta a continuación una tabla que describe las variables que interactúan en el sistema físico, así como las unidades utilizadas para cuantificarlas: Tabla 1.1. Variables del sistema bola y barra. Variable Descripción Variables manipuladas

x ref θ

Variables controladas

x Fr Perturbaciones

∆V

Posición de referencia Ángulo de la barra con respecto al eje horizontal Posición de la bola en la barra Fuerza externa aplicada sobre la masa esférica Fluctuaciones de voltaje

Unidad Metros [m] Grados [°] Metros [m] Newton [N] Voltios [V]

Puede apreciarse en la tabla las variables manipuladas, controladas, y las perturbaciones, respectivamente, las cuales dan forma a la descripción del sistema físico que conllevó a la posterior definición del modelo matemático: segundo objetivo específico del trabajo de investigación.

La definición del modelo matemático constó inicialmente su representación gráfica mediante un diagrama de bloques, mostrado a continuación:

Figura 1.1. Diagrama de bloques del sistema físico bola y barra.

Donde el controlador regula la diferencia de posición de referencia con la posición actual, y arrojará esa información al prototipo para lograr una estabilización de la bola. Adicionalmente al controlador está el servomotor, que es un sub sistema que posee un controlador interno integrado, y no fue objetivo de la investigación involucrarlo al estudio posterior. Por otro lado, está la relación física de la bola con la barra, la cual le sigue al bloque de servomotor. Tal relación puede ser representada de la siguiente manera:

Figura 1.2. Dibujo representativo de la interacción de la barra con la bola (Wang, 2007).

Donde se describe matemáticamente el fenómeno físico del movimiento de la bola sobre la barra, y puede ser resumido en la siguiente función de transferencia:

X (s ) g = θ(s) 2 Rb 1+ 5 a1

2

( ( ))

s2

A partir de la cual se estableció un estudio del sistema en los dominios temporal y frecuencial, al igual que con la versión discreta del modelo teórico presente en la anterior función. Se pudo determinar que el sistema es inestable a lazo abierto y a lazo cerrado para ambos modelos, luego de aplicarles la función impulso, de igual manera que hallando el lugar geométrico de las raíces y observando la gráfica de Nyquist del dominio frecuencial. También se determinó que el sistema es observable y controlable en todos sus estados. A partir de los resultados obtenidos del estudio del modelo matemático, se procedió al diseño de los controladores. Primeramente, con el controlador PID se estructuró el sistema de la forma siguiente:

Figura 1.3. Diagrama de bloques de la simulación del sistema continuo con controlador PID.

De donde se pudo extraer los siguientes resultados para todas las configuraciones de control en su versión continua: Tabla 1.2. Resultados de las estrategias de control PID para la simulación con el modelo matemático continuo teórico. P PI PD PID Kp 0.16469 0.16467 0.0083284 0.015105 Ki 0.002882 0.00011877 Kd 0.18104 0.17442 Tiempo de Críticamente Inestable 16.9 seg 18.4 seg

asentamiento Tiempo de levantamiento Sobrepaso máximo Error de estado estable

estable -

-

1.29 seg

1.26 seg

-

-

10.9%

12.6%

-

-

0

0

Donde se detalla que las configuraciones capaces de controlar el sistema a nivel de simulación fueron las de PD y PID, mientras que las configuraciones P y PI no lograron estabilizarlo. Adicionalmente, la simulación con el modelo teórico discreto arrojó el mismo resultado, sin embargo con tiempos de estabilización y sobrepasos mayores. Para el caso del controlador LQR, se definieron las matrices Q, R y K (cuyos tamaños derivaron de la ecuación de espacio de estados del modelo matemático) necesarias para la solución a la ecuación de Riccati y que, partiendo de la regla de Bryson se definieron sus valores. Con esto, fue posible el cálculo de la matriz K y se recurrió a una serie de iteraciones empíricas. El procedimiento para conseguir el controlador LQR que cumpliera con una estabilización del sistema de manera adecuada, fue el siguiente:

Figura 1.4. Diagrama de flujo para la obtención de la matriz K óptima.

De manera que se recurrió al proceso iterativo. En la siguiente tabla se aprecia los parámetros obtenidos a partir de la regla de Bryson así como la séptima iteración, en la cual se consiguió un control sin error de estado estable y tiempo de estabilización aceptable: Tabla 1.3. Comparación de la respuesta del sistema con los parámetros de la regla de Bryson y de la última iteración. Tiempo de Iteración Matriz K r1 q1 q2 Amplitud asentamiento Bryson

[ 16.96 30.1511 ]

0.0044

1

4

0.2

1.52seg

Iteración# 7

[ 3.6013 6.0302 ]

0.11

0.1

4

1.01

1.25seg

En la siguiente figura es posible comparar las respuestas de salida a nivel de simulación con la regla de Bryson versus la iteración 7:

Figura 1.5. Comparación entre la respuesta de salida con parámetros de Bryson (izq.) y parámetros empíricos de la séptima iteración (der.) con el controlador LQR.

La aplicación del controlador LQR para la versión discreta del modelo no logró estabilizar el sistema bajo ninguna circunstancia, y por consiguiente los resultados no son incluidos. Para la implantación de los controladores en el prototipo, se recurrió a instalarlos en una tarjeta integrada Arduino Uno. A continuación se muestra el diagrama ilustrado del prototipo al cual se le implantó los controladores de esta investigación:

Figura 1.6. Diagrama ilustrado del prototipo bola y barra.

Y la siguiente figura detalla de cerca la tarjeta Arduino uno, el sensor ultrasónico y el servomotor:

Figura 1.7. Arduino Uno (izq.), sensor ultrasónico (centro) y servomotor (der.) del prototipo.

A la hora de la implementación, la configuración PID según el modelo continuo teórico no logró estabilizar la posición de la bola por consiguiente los resultados son descartados. Según el modelo discreto, por otro lado, se logró una estabilización del movimiento de la bola, pero con error de estado estable. La siguiente gráfica demuestra la comparación entre tal implantación (izquierda) versus la implantación PID posteriormente realizada con parámetros hallados empíricamente:

Figura 1.8. Comparación de respuestas (3 pruebas) de la configuración PD según el modelo discreto teórico (izq.) y parámetros del PID hallados empíricamente (der.).

Puede detallarse la disminución del error de estado estable para el controlador empírico, luego de habérsele aplicado una perturbación para las 3 pruebas mostradas. La implementación del controlador LQR según el modelo continuo teórico, por otro lado, arrojó los siguientes resultados: Tabla 1.4. Comparación entre la simulación del modelo continuo teórico con el controlador LQR y su implementación. Simulación LQR Implantación LQR (p. 1) Implantación LQR (p. 2)

(figura 4.25)

[ 3.6013 6.0302 ]

Matriz K Tiempo de estabilización Error de estado estable

1.25 seg

0.9 seg

1.05 seg

0.01

0.07

0.05

Donde se aprecia similitud entre la simulación y la implantación en términos de tiempo de estabilización y error de estado estable. Se recurrió al diseño de un modelo matemático experimental, a partir de la obtención de la data mediante la inserción al sistema de una señal pseudo aleatoria de entrada, lo cual arrojó una data de salida a partir de la cual se elaboró un nuevo modelo matemático. Con 5 muestras de data y una señal original de entrada, se puede apreciar en la siguiente gráfica lo anteriormente descrito:

Figura 1.9. Cinco señales de muestra de salida (arriba) obtenidas con la señal de entrada (abajo).

Donde a partir de la muestra 2, con un porcentaje de validación de 69.47% y con valores de autocorrelación de residuos 0.2 fuera de los límites recomendados y una correlación cruzada dentro de los límites recomendados, se generó un modelo matemático que poseyó las mismas características que su versión teórica. La simulación con el control clásico logró estabilizar la planta con la configuración PI, pero con su implementación según estos parámetros no se logró controlar la posición de la bola, por lo tanto ese resultado fue descartado para este artículo. Por otro lado, el controlador LQR no logró controlar el sistema bajo ninguna circunstancia, por lo tanto este no fue implementado. En la siguiente tabla, se aprecia la comparación de las implementaciones finales que lograron estabilizar la planta de manera efectiva: Tabla 1.5. Tabla comparativa final de las implementaciones que lograron estabilizar la planta. Tiempo de estabilización Error de estado estable

PID discreto teórico

PID empírico

LQR continuo teórico prueba 1

LQR continuo teórico prueba 2

0.65 seg

2.4 seg

0.9 seg

1.05 seg

0.38 m

0.07 m

0.07 m

0.05 m

Donde se detalla el desempeño del controlador LQR en su primera prueba versus el PID discreto teórico para el parámetro de tiempo de estabilización, aunque cabe destacar que el error de estado estable de dicho PID es de 38 centímetros. Se puede apreciar, sin embargo, un alto desempeño para ambos indicadores sólo para las pruebas de LQR y la configuración del controlador PID con parámetros empíricos. Por consiguiente, a pesar del control del

movimiento de la bola, el PID teórico discreto no fue considerado como una configuración de control admisible. CONCLUSIONES Se pudo concluir que luego de la etapa de estudio del modelo matemático, se determinó que el sistema analizado es inestable por naturaleza, que es observable y controlable. A partir de esto y con el diseño de los controladores PID y LQR, se concluyó que para la estrategia clásica con ambos modelos matemáticos a la hora de la simulación, la configuración PD fue la más efectiva. Al implantar con tales configuraciones según cada modelo matemático, se consiguió que el control clásico no logró controlar la planta según los parámetros con el modelo matemático continuo, pero con su versión discreta se logró la estabilización con tiempos bastante aceptables, sin embargo con un error de estado estable de 0.38 metros, y por consiguiente no se consideró admisible. Debido a esto, se realizaron las iteraciones empíricas con el controlador clásico y se logró estabilizar satisfactoriamente la posición de la bola con un error de estado estable despreciable, mostrado en la figura 1.8 (derecha) y en la tabla 1.5. En relación al controlador LQR, se pudo concluir que para el modelado teórico continuo hubo una regulación satisfactoria del sistema, y para su implementación los resultados fueron excelentes, aún más satisfactorios que en la simulación (detalles en la tabla 1.4), con un error de estado estable despreciable y un tiempo de alrededor un segundo para las 3 pruebas realizadas. Para la versión discreta, sin embargo, no se logró controlar la planta con el controlador LQR.

En relación al modelo matemático experimental, no hubo correlación de los parámetros obtenidos para el control clásico con su implementación respectiva, y para la estrategia de control óptimo no se logró estabilizar la planta a nivel de simulación, por consiguiente no fue considerado para la implementación. Con esto, se puede establecer el veredicto que, para el modelo matemático generado en la investigación con las configuraciones especificadas, no hubo correlación entre los parámetros obtenidos a partir de dicho modelo y la implementación con cualquiera de las estrategias de control. En última instancia, al comparar las implementaciones efectivas del controlador PID (con parámetros empíricos) y LQR (con parámetros obtenidos a partir de la simulación con el modelado teórico continuo), se puede concluir que la implantación del regulador cuadrático lineal fue más efectiva que su contraparte PID.

AGRADECIMIENTOS Al profesorado de ingeniería eléctrica de la Universidad Rafael Urdaneta, especialmente a la profesora Nancy Mora y al profesor Sergio De Pool por sus aportes al presente trabajo de investigación.

REFERENCIAS BILBIOGRÁFICAS

Anderson, B., & Moore, J. (1989). Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Englewood Cliffs, E.E.U.U.: Prentice-Hall, Inc. Arias, F. (1999). El proyecto de investigación (Ed. 3). Caracas, Venezuela: Episteme.

Dorf, R., & Bishop, R. (2005). Sistemas de Control Moderno (Ed. 10). Madrid, España: Pearson Prentice Hall. Hespanha, J. (2007). Undergraduate Lecture Notes on LQG/LQR Controller Design. Kuo, B. (1996). Sistemas de Control Automático (Ed. 7). Naucalpan de Juárez, México: Prentice-Hall Hispanoamericana. Ljung, L. (1987). System Identification: Theory for the User. Englewood Cliffs, E.E.U.U.: Prentice-Hall, Inc. Wang, W. (5 de Junio de 2007). Control of a Ball and Beam System. The University Of Adelaide, South Australia, Australia.