REGRESSION PAR MORCEAUX PIECEWISE REGRESSION Jean Jacquelin
REGRESSION PAR MORCEAUX PIECEWISE REGRESSION OBJET : Calculer les paramètres d’une fonction définie par morceaux, de telle sorte que la courbe représentative de cette fonction passe au plus près d’un ensemble de points donnés. OBJECT : To compute the parameters of a piecewise function so that the function fits a given set of points.
Les deux figures suivantes illustrent ce genre de problèmes : Cas discontinu : f j 1 (a j ) f j ( a j ) :
Cas continu :
f j 1 (a j ) f j (a j )
9 juin 2018 – Version n°3
2
Méthode de construction d’une équation intégrale dont la fonction y(x) ci-dessus y(x) ci-dessus est solution : Le principe général est décrit dans l’article précédent : précédent : REGRESSIONS ET EQUATIONS INTEGRALES. https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales
Des primitives successives permettent permettent d’éliminer les fonctions non linéaires en introduisant des intégrales pouvant être calculées approximativement a pproximativement par intégration numérique. Bien sûr, ceci ceci n’est pas toujours possible, ou conduit le conduit le plus souvent à des équations trop compliquées. Toutefois, certaines fonctions se prêtent mieux que d’autres à ce genre de calcul. De nombreux exemples sont donnés dans l’article précité, avec diverses combinaisons de fonctions exponentielles, sinusoïdales, etc. La fonction d’Heaviside H ( x) x) est une fonction qui convient particulièrement bien car les intégrales successives s’expriment avec la même fonction d’Heaviside : d’Heaviside :
H ( x a)dx ( x a)H (x a ) constante
xH ( x a )dx
1 2
x H ( x a )dx
( x 2 a 2 )H (x a ) constante 1
( x a )H ( x a ) constante 1
1
1
( x a) H ( x a )dx
( x a ) H ( x a )dx
2
1
( x a ) 2 H (x a ) constante 1
1
( x a ) 1 H (x a ) constante
Ainsi que les intégrales de produit de certaines fonctions avec une fonction de Heaviside, par exemple :
e x H ( x a )dx
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1
(e x e a )H ( x a ) co constante
3
Une fonction y fonction y(( x) x) définie par définie par morceaux s’exprime par la somm la sommee de fonctions données :
f1 ( x) , ... , f j ( x) , ... , fm ( x) respectivement affectées de coefficients 0 ou 1 grâce aux fonctions d’Heaviside appropriées : appropriées :
y ( x)
m
f j ( x) H ( x a j 1) H (x a j ) j 1
y ( x) f1 ( x) H ( x a0 ) m
f j ( x ) f j 1 ( x ) H ( x a j 1 ) fm (x )H (x am )
j 2
Tous les points x1 x2
... xk ... xn sont pris en compte, donc
a0 x1 et xn am ce qui entraine H x a0 1 et H x am 0 y( x) f1 ( x)
m
f j (x) f j 1 (x) H (x a j 1 )
j 2
L’équation comporte (m 1) fonctions de Heaviside :
H x a1 , H x a2 , ... , H x a j , ... , H x am1 En effet, am n’intervient n’intervient pas et est arbitraire est arbitraire à condition que am
xn . Donc, en
principe, il est possible est possible d’appliquer la méthode exposée dans l’article l’article précité. précité. Dans la mesure du possible, on calcule m-1 intégrales à partir de la fonction y fonction y(( x) x) cidessus. Ceci donne m équations où les m-1 fonctions H ( x-a x-a j) apparaissent linéairement (évidemment avec des facteurs non linéaires). Ceci implique une relation entre tous ces facteurs. Cette relation est obtenue en éliminant les fonctions d’Heaviside par calcul linéaire systématique ou par calcul matriciel. Le résultat est une équation sans fonction d’Heaviside, mais avec les intégrales qui ont été introduites. C’est l’équation intégrale recherchée. Ainsi, on est ramené à un problème de régression d’équation intégrale. Dans des cas favorables, tels que les exemples de l’article précité, la régression est linéaire, ce qui permet de résoudre le problème. 9 juin 2018 – Version n°3
4
Toutefois, si les fonctions f j( x) x) incluent de façon non linéaire des paramètres intervenant dans la régression, l’élimination des fonctions non linéaires nécessite un plus grand nombre d’intégrations, conduisant d’intégrations, conduisant à une équation intégrale plus compliquée lorsqu’on réussi à venir à bout des calculs analytiques. AVERTISSEMENT : Le présent papier est une version provisoire et peu avancée. Les aspects théoriques sont seulement évoqués dans les lignes précédentes, sans être approfondis. L’attention est essentiellement portée sur portée sur les exemples numériques dans les pages suivantes. Pour comprendre comprendre la méthode et apprendre à l’appliquer l’appliquer , il peut être plus efficace de l’expérimenter avec des exemples simples que de la présenter théoriquement sous une forme générale et abstraite. << Un petit dessin vaut mieux qu’ un un long discours >> discours >> disait Napoléon. En paraphrasant cet adage par : << Un pet it it exemple d’application vaut vaut mieux qu’un long développement théorique >> théorique >> , pour faire comprendre comprendre et appliquer pratiquement ladite théorie. En conséquence, la version très incomplète actuelle est limitée à un choix d’exemples, dont les détails de calcul semblent semblent superflus. Ils ont été ajoutés dans le but de permettre, à celui qui le souhaite, de comparer avec ses propres résultats numériques numériques lors de la mise au point de programmes de calcul. Ces exemples sont tous avec des fonctions du genre f j ( x) p j x q j , c'est-à-dire des cas de fonctions y( y( x) x) définies par segments de droites. Le cas général beaucoup plus difficile, de fonctions f j( x) x) non linéaires, n’est n’est pas abordé en l’état actuel de ce papier.
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q1
x a1
q2
x a1
FONCT ONCTIO ION N : y( x)
y( x) q1 1 H ( x a1 ) q 2H (x a1 ) y( x) q1 (q2 q1 )H ( x a1 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : ydx q1x (q2 q1 )(x a1 )H (x a1 ) constante
ydx q x (x a )( y q ) constante 1 y ydx xy c a 1
1
1
1
Une régression linéaire donne une approximation approximation de 1/a 1/a1 . Ensuite, avec la valeur de a1 obtenue, une régression linéaire avec y( x) q1 1 H ( x a1 ) q2 H ( x a1 ) donne les approximations de q1 et q2 . Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn Classer par ordre croissant des x des xk : 1 Sy1 0 ; Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )(xk xk 1 ) 2 k n
Calcul de a1 :
1 k n :
F0,k yk
n ( F1,k ) 2 C 1 k 1 n C 2 F F 1,k 2,k k 1
;
F1,k Sy Syk xk yk
F F 1, k 2 ,k k 1 n 2 ( F ) 1,k k 1 n
1
n
F2,k 1
;
k 1 a1 1 n C 1 F F 0,k 2 ,k k 1
F0,k F 1,k
Calcul de p de p1 et q1 : Régression globale : 1 k n : G0,k yk
n (G1,k )2 q1 k 1 n q2 G G 1,k 2,k k 1
9 juin 2018 – Version n°3
; G1,k 1 H (xk a1 ) ; G2,k H (xk a1 )
G1,k G2,k k 1 n (G1,k )2 k 1 n
1
n G0,k G1,k k 1 n G0,k G2,k k 1
6
EXEMPLE NUMERIQUE Régression globale :
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk
1
q1
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1
k 1 1
y
k1 1 k 1
k
; q2
7
1
n
y
n k 1 1 k k 1
k
p1 x q1 x a1 FONCT ONCTIION : y ( x) q2 =p1a1 q1 x a1 y( x) ( p1x q1 ) 1 H (x a1 ) q 2H (x a1 )
y( x) p1x q1 p1 ( x a1)H (x a1 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : 1 1 2 2 ydx 2 p1x q1x 2 p1 (x a1 ) H (x a1 ) constante
ydx
1 2
p1x 2 q1x 2 (x a1 )( y p1x q1 ) constante 1
Après simplification : a1 y 2 ydx xy xy (q1 a1 p1 )x Constante
1
q xy 2 ydx p a a
y
p1 x C
1
1
1 Une régression linéaire donne une approximation de 1/a 1/a1 . Ensuite, avec la valeur de a1 obtenue, une régression linéaire avec y ( x) x p1 ( x a1 ) H ( x a1 ) p1 q1 donne les approximations de q1 et q2 . 1
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Sy1 0 ;
Calcul de a1 : 1 k n :
Syk Syk 1 12 ( yk 1 yk )( xk xk 1 )
F0 ,k y k
n 2 ( F1,k ) C 1 k 1 n C2 F1,k F2,k C k 1 3 n F1,k F3,k k 1
F1,k xk yk 2 Sy Syk
;
n
F
1, k
F2,k
(F
)2
k 1 n
2,k
k 1 n
F k 1
2 ,k
F3,k
F2 ,k xk
;
1
F1,k F3,k k 1 n F F 2 ,k 3,k k 1 n ( F 3,k ) 2 k 1 n
2kn
;
F3,k 1
F0 ,k F 1,k k 1 n 1 F F 0,k 2 ,k a1 C 1 k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n
Calcul de p1 , q1 et q2 : Régression globale : 1 k n : G0,k yk ; G1,k xk (xk a1 )H (xk a1 ) ; G 2,k 1 n 2 (G1,k ) p1 k 1 n q1 G G 1,k 2,k k 1
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G1,k G2,k k 1 n 2 ( G ) 1, k k 1 n
1
G0,k G1,k k 1 n G G 0, k 2 ,k k 1 n
8
;
q2 p1a1 q1
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk 1
1
k 1 ( xk )2 p1 k 1 ; k 1 q1 xk k 1 1
q2
1
n
y
n k1 1 k k 1
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k
1
k1 1
x k k 1 k 1 1 k 1 1
9
1
k 1 x y k k k 1 ; a* q2 q1 1 k 1 p1 y k k 1 1
1
q1 =p2a1 q2 x a1 FONC FONCTI TIO ON : y( x) p2 x q2 x a1 y( x) q1 1 H ( x a1 ) ( p 2x q 2 )H (x a1 )
y( x) q1 p2 ( x a1 )H (x a1 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : 1 2 ydx q1x 2 p2 (x a1 ) H (x a1 ) constante
ydx q1x 2 ( x a1 )( y q1 ) constante 1
Après simplification : a1 y xy 2 ydx q1x constante y
1
q xy 2 ydx a a
1
1
1
x C
Une régression linéaire donne une approximation de 1/a 1/a1 . Ensuite, avec la valeur de a1 obtenue, une régression linéaire avec y ( x) q1 p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) donne les approximations de q1 et p2 . Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Sy1 0 ;
Calcul de a1 : 1 k n :
Syk Syk 1 12 ( yk 1 yk )( xk xk 1 )
F0 ,k y k
n 2 ( F1,k ) C 1 k 1 n C2 F1,k F2,k C k 1 3 n F1,k F3,k k 1
F1,k 2 Syk xk yk
;
n
F
1, k
F2,k
(F
)2
k 1 n
2,k
k 1 n
F k 1
2 ,k
F3,k
F2 ,k xk
;
1
F1,k F3,k k 1 n F F 2 ,k 3,k k 1 n ( F 3,k ) 2 k 1 n
2kn
;
F3,k 1
F0 ,k F 1,k k 1 n 1 F F 0,k 2 ,k a1 C 1 k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n
Calcul de q1 , p , p2 et q2 : Régression globale : 1 k n : G0,k yk ; G1,k 1 ; C2,k (xk a1 )H (xk a1 ) n 2 (G1,k ) q1 k 1 n p2 G G 1,k 2,k k 1
9 juin 2018 – Version n°3
G1,k G2,k k 1 n 2 (G1,k ) k 1 n
1
n G0,k G1,k k 1 n G0,k G2,k k 1
10
;
q2 q1 p2a1
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk 1
q1
1
k 1 1
y k 1
k
1
k 1
1
n 2 ( xk ) p2 k k ; n q2 xk k k 1
1
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xk k k n k 1 1 k k n
1
1
1
11
1
n x y k k k k ; a* q1 q2 1 n p2 yk k k 1
1
p1 x q1 FONCTION : y ( x) p2 x q2
x a1
p1a1 q1 p2a1 q 2
;
x a1
y( x) ( p1x q1 ) 1 H ( x a1 ) ( p 2x q 2 )H (x a1 )
y( x) p1x q1 ( p 2 p1 )(x a1 )H (x a1 )
Construction d’une équation intégrale : 1 1 ydx 2 p1x 2 q1x 2 ( p 2 p1 )(x a1 )2 H (x a1 ) constante
ydx
p1x 2 q1x 2 (x a1 )( y p1x q1 ) constante
1
1
2
Après simplification : a1 y xy 2 ydx (q1 a1 p1 )x constante
1
q xy 2 ydx p x C a a
y
1
1
1 Une régression linéaire donne une approximation de 1/a 1/a1 . Ensuite, avec la valeur de a1 obtenue, une régression linéaire avec y ( x) p1 x q1 ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) donne les approximations de p1 , q , q1 et p2 . 1
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Sy1 0 ;
Calcul de a1 : 1 k n :
Syk Syk 1 12 ( yk 1 yk )( xk xk 1 )
F0 ,k y k
n 2 ( F1,k ) C 1 k 1 n C2 F1,k F2,k C k 1 3 n F1,k F3,k k 1
F1,k 2 Syk xk yk
;
n
F
1, k
F2,k
(F
)2
k 1 n
2,k
k 1 n
F
2 ,k
k 1
F3,k
F2 ,k xk
;
1
F1,k F3,k k 1 n F2,k F3,k k 1 n ( F 3,k ) 2 k 1
n
2kn
;
F3,k 1
F0 ,k F 1,k k 1 n 1 F0,k F2 ,k a1 C 1 k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n
Calcul de p1 , q1 , p , p2 et q2 : Régression globale : 1 k n : G0,k yk ; G1,k xk n 2 (G1,k ) p1 kn1 q 1 G1,k G2,k p p k 1 2 1 n G1,k G3,k k 1 9 juin 2018 – Version n°3
n
k 1
G G 1,k 3,k k 1 n G G 2 , k 3 ,k k 1 n 2 ( ) G 3,k k 1 n
G1,k G2,k
n
(G
2,k
k 1
)2
n
G k 1
; G2,k 1 ; G3,k ( xk a1 )H ( xk a 1 )
2,k
G3,k
1
12
n
k 1 n G G 0 ,k 2 ,k ; q2 ( p1 p2 )a1 q1 k 1 n G G 0 ,k 3,k k 1 G0 ,k G1,k
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk 1
k 1 2 ( xk ) p1 k 1 k 1 q1 xk k 1 1
1
k1 1
xk k 1 k 1 1 k 1 1
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1
1
n k 1 2 ( xk ) xk yk k 1 ; p2 k k k 1 q2 n xk yk k k 1 k 1
1
1
1
13
x k k k n 1 k k n
1
1
1
n x y k k k k ; a* q1 q2 1 n p2 p1 yk k k 1
1
q1 x a1 FONCTION : y( x) q2 a1 x a2 q 3 a2 x y ( x ) q1 1 H (x a1) q 2 H (x a1 ) H (x a 2 ) q 3H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : y( x) q1 ( q2 q1 ) H ( x a1 ) ( q3 q2 ) H ( x a2 ) ydx q1 x ( q2 q1 )( x a1 ) H ( x a1 ) ( q3 q2 )( x a2 ) H( x a2 ) c0 2 ydx dx q1 x2 ( q2 q1 )( x a1) 2 H ( x a1) ( q3 q2 )( x a2 )2 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de (q2 q1 ) H ( x a1 ) et de (q3 q2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : 1 a a2 y 2 x ydx 2 ydx dx x 2 y 1 xy ydx C3 x C 4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1
a a xydx x y 2 xydx xy ydx C x C aa 2
a1a2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
a1
C2 C2 2 4C1 2C1
; a2
C2 C2 2 4C1 2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y( x) q1 1 H ( x a1) q2 H ( x a1) H ( x a2 ) q3H (x a 2 ) donne les approximations de q1 , q2 et q3 .
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Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 )
1 Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
;
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1
n
n
F
F
k 1
k 1
F 1,k 2, k
n
2,k
)
F
2
2, k
k 1
k 1
n
n
F
2, k
(F
F3,k
F
n
2 ,k
F 4,k
k 1
2C1
)2
k 1
n
C2 C2 2 4C1
F3,k
3, k
k 1
F
3, k
F4,k
k 1
a2
;
F1,k F 4,k k 1 n F2,k F 4,k k 1 n F F 3, k 4 , k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1 n
F 1, k 3, k
n
(F
2 k n
F0, k yk 2 F1,k 2Sxyk ( xk ) yk F2, k xk yk Syk F x k 3,k F 4, k 1
1 k n
Calcul de a1 et a2 :
a1
2 k n
1
C2 C2 2 4C1
1
n
F
F 0, k 1, k
k 1 n F F 0, k 2 ,k k 1 n F0,k F 3,k k 1 n F0,k F 4,k k 1
2C 1
Calcul de q1 , q2 et q3 : Régression globale : 1 k n
G0, k yk G1,k 1 H ( xk a1 ) G2,k H ( xk a1 ) H (xk a2 ) G H ( x a ) k 2 3, k
n 2 (G1,k ) k 1 q1 n q2 G1,k G2,k q k 1 3 n G1,k G3,k k 1
9 juin 2018 – Version n°3
n
G
1, k
G2,k
(G
)2
k 1 n
2, k
k 1 n
G
2,k
k 1
G1,k G3,k k 1 n G G 2 , k 3, k k 1 n 2 ( G ) 3, k k 1 n
G3,k
15
1
G0,k G1,k k 1 n G G 0 , k 2, k k 1 n G G 0,k 3,k k 1 n
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk
1
q1
1
k1 1
y
k1 1 k 1
9 juin 2018 – Version n°3
k
; q2
1
k 2
y
k1 k 2 1 k k1
16
k
; q3
1 n k2
n
y
k k 2 1
k
q1 p2a1 q2 FONCTION : y(x ) p2 x q2 q p a q 2 2 2 3
x a1 a1 x a 2 a2 x
y ( x ) q1 1 H (x a1 ) ( p 2x q 2 ) H (x a1 ) H (x a 2 ) q 3H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : y( x) q1 p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a2 ) H ( x a2 ) 2 2 2 ydx 2q1 x p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a2 ) H ( x a2 ) c0 6 ydx dx 3q1 x2 p2 ( x a1 )3 H ( x a1 ) p2 ( x a2 )3 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) et de p2 ( x a2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : a a2 1 y 4 x ydx 6 ydx dx x 2 y 1 xy 2 ydx c3 x c4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1 a1a2
a a xydx 2 x ydx x y 6 xydx xy 2 ydx C x C aa 2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
C2 C2 4C1 2
a1
2C1
C2 C2 4C1 2
; a2
2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y( x) q1 p2 ( x a1 )H ( x a1 ) ( x a2 )H (x a 2 ) donne les approximations de q1 et p2 . Ensuite q2 p2 a1 q1 ; q3 p2 a2 q2
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Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 )
1 Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
;
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1
n
F
F
k 1
k 1
F 1,k 2, k
n
2,k
)
F
2
2, k
k 1
k 1
n
n
F
2, k
(F
F3,k
F3,k
3, k
k 1
)2
k 1
n
F
2 ,k
n
F 4,k
k 1
F
3, k
F4,k
k 1
;
2C1
n
F 1, k 3, k
n
C2 C2 2 4C1
F1,k F 4,k k 1 n F2,k F 4,k k 1 n F F 3, k 4 , k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1
n
(F
2 k n
F0, k yk 2 F1,k 6Sxyk 2 xk Syk ( xk ) yk F2, k xk yk Syk F x k 3,k F 4, k 1
1 k n
Calcul de a1 et a2 :
a1
2 k n
1
a2
C2 C2 2 4C1
1
n
F
k 1 n F F 0, k 2 ,k k 1 n F0,k F 3,k k 1 n F0,k F 4,k k 1
2C 1
Régression globale : G0, k yk G1,k 1 G ( x a ) H ( x a ) ( x a ) H ( x a ) k 1 k 1 k 2 k 2 2 ,k n (G1,k ) 2 q1 k 1 n p2 G G 1,k 2,k k 1
G1,k G2,k k 1 n 2 ( G ) 2, k k 1 n
q2 p2 a1 q1 ;
9 juin 2018 – Version n°3
1
G0,k G1,k k 1 n G G 0 ,k 2, k k 1 n
q3 p2 a2 q2
18
F 0, k 1, k
Calcul de p2 , q1 , q2 et q3 :
1 k n
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk et k 2 tel que xk a2 xk 1 1 k k 1 k k q1 q2 1 2 * q1 yk ( xk ) xk xk yk a1 p2 k 1 1 k 1 p2 k k k k k k ; ; k k n k q2 q3 q2 1 * a q3 y x 1 y 2 k k k k k p2 n k 2 1 k k k k k k 1
1
2
2
1
2
1
9 juin 2018 – Version n°3
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
19
1
q1 FONCTION : y(x) p2 x q2 p x q 3 3
x a1
q1 p2a1 q 2
a1 x a 2 a2 x
p3a 2 q3 p 2a 2 q 2
y( x) q1 1 H ( x a1 ) ( p2 x q2 ) H ( x a1) H (x a 2 ) ( p3x q 3 )H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale équation intégrale : y( x) q1 p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 ) H( x a2 ) 2 2 2 ydx 2q1 x p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 ) H( x a2 ) c0 6 ydx dx 3q1 x2 p2 ( x a1 )3 H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 )3 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) et de ( p3 p2 )( x a2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : 1 a a2 y 4 x ydx 6 ydx dx x 2 y 1 xy 2 ydx c3 x c4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1 a1a2
a a xydx 2 x ydx x y 6 xydx xy 2 ydx C x C aa 2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
a1
C2 C2 2 4C1 2C1
; a2
C2 C2 2 4C1 2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) ( x a2 )H ( x a2 ) p3 (x a 2 )H (x a 2 ) q1 donne les approximations de p2 , p , p3 et q1 , puis q2 et q3 : q2 p2 a1 q1
;
q3 ( p2 p3 ) a2 q2
9 juin 2018 – Version n°3
20
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) ;
1 Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
Calcul de a1 et a2 :
n
n
F
F
k 1
k 1
F 1,k 2, k
n
(F
2,k
)
F
2
2, k
k 1
k 1
n
n
2, k
(F
F3,k
F
n
2 ,k
F 4,k
k 1
2C1
)2
k 1
n
C2 C2 2 4C1
F3,k
3, k
k 1
F
3, k
F4,k
k 1
a2
;
F1,k F 4,k k 1 n F2,k F 4,k k 1 n F F 3, k 4 , k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1 n
F 1, k 3, k
n
F
2 k n
F0, k yk 2 F1,k 6Sxyk 2 xk Syk ( xk ) yk F2, k xk yk Syk F x k 3,k F 4, k 1
1 k n
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1 a1
2 k n
1
C2 C2 2 4C1
1
n
F
F 0, k 1, k
k 1 n F F 0, k 2 ,k k 1 n F0,k F 3,k k 1 n F0,k F 4,k k 1
2C 1
Calcul de p2 , p , p3 , q1 : Régression globale : G0, k yk G1,k ( xk a1 ) H ( xk a1 ) ( xk a2 ) H ( xk a2 ) Calcul de p2 , p , p3 , q1 : 1 k n G2,k ( xk a2 ) H ( xk a2 ) G 1 3,k n 2 (G1,k ) p2 kn1 p3 G1,k G2,k q k 1 1 n G1,k G3,k k 1
Calcul de q2 et q3 :
9 juin 2018 – Version n°3
n
G G 1, k 3, k k 1 n G G 2, k 3, k k 1 n 2 ( G ) 3, k k 1 n
G1,k G2,k
k 1 n
(G
2, k
)2
k 1 n
G
2 ,k
G3,k
k 1
q2 p2 a1 q1
;
1
q3 p3 a2 q2
21
n
k 1 n G G 0 ,k 2 , k k 1 n G G 0,k 3,k k 1 G0,k G1,k
EXEMPLE NUMERIQUE
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk et k 2 tel que xk a2 xk 1 1 1 k n k k n n 2 2 ( x ) x x y ( x ) x x y k k k k k k k k k k p3 k k 1 p2 k k k k k k k 1 k 1 ; k k k n n n q3 q2 x 1 y xk 1 yk k k k k k k k 1 k k 1 k k k k k 1 k 1 q3 q2 1 q1 q2 * * q1 y ; a ; a k 1 2 k1 1 k 1 p2 p2 p3 1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
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2
22
2
2
x a1 p1x q1 FONCTION : y(x) q2 a1 x a2 p x q a2 x 3 3
p1a1 q1 q 2 p3a 2 q3 q 2
y( x) ( p1x q1 ) 1 H ( x a1 ) q2 H ( x a1) H (x a 2 ) ( p3x q 3 )H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : y( x) p1 x q1 p1 ( x a1 ) H ( x a1 ) p3 ( x a2 ) H( x a2 ) 2 2 2 2 ydx p1 x 2 q1 x p1 ( x a1 ) H ( x a1 ) p3 ( x a2 ) H( x a2 ) c0 6 ydx dx p1 x3 3q1 x2 p1 ( x a1 )3 H ( x a1 ) p3 ( x a2 )3 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de p1 ( x a1 ) H ( x a1 ) et de p3 ( x a2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : 1 a a2 y 4 x ydx 6 ydx dx x 2 y 1 xy 2 ydx c3 x c4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1 a1a2
a a xydx 2 x ydx x y 6 xydx xy 2 ydx C x C aa 2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
a1
2 C2 C2 4C1
2C1
; a2
2 C2 C2 4C1
2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y p1 x ( x a1 )H ( x a1 ) p3 (x a2 )H (x a2 ) q1 donne les approximations de p1 , p , p3 et q1 , puis q2 et q3 : q2 p1a1 q1
;
q3 p3 a2 q2
9 juin 2018 – Version n°3
23
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) ;
Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
Calcul de a1 et a2 :
2 k n
1
F0, k yk 2 F1,k 6Sxyk 2 xk Syk ( xk ) yk F2, k xk yk Syk F x k 3,k F 4, k 1
1 k n
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1 a1
2 k n
1
n
n
F1,k F2,k
k 1
n
(F
2,k
)
F
2
2, k
k 1
k 1
n
n
F
2, k
(F
F3,k
)2
k 1
n
F
n
2 ,k
F 4,k
k 1
2C1
F3,k
3, k
k 1
C2 C2 2 4C1
F1,k F3,k
k 1
n
F
3, k
F4,k
k 1
a2
;
F F 1, k 4, k k 1 n F F 2 ,k 4 ,k k 1 n F F 3, k 4 , k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1 n
C2 C2 2 4C1
1
n
k 1 n F F 0,k 2,k k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n F F 0, k 4 ,k k 1 F0,k F 1,k
2C 1
Calcul de p1 , q1 , q2 , p , p3 , q3 : Régression globale : G0, k yk G1,k xk ( xk a1 ) H ( xk a 1 ) Calcul de p1 , p , p3 , q1 : 1 k n G2 ,k ( xk a2 ) H ( xk a 2 ) G 1 3,k n 2 (G1,k ) k 1 p1 n p3 G1,k G2,k q k 1 1 n G1,k G3,k k 1
Calcul de q2 et q3 :
9 juin 2018 – Version n°3
n
G1,k G3,k k 1 n G2,k G3,k k 1 n (G3,k )2 k 1 n
G1,k G2,k
k 1 n
(G
2,k
)2
k 1 n
G
2, k
G3,k
k 1
q2 p1a1 q1
;
1
q3 p3 a2 q2
24
n
G
0 ,k
G1,k
n G0,k G2,k k 1 n G0,k G3,k k 1 k 1
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk et k 2 tel que xk a2 xk 1 1 1 n k 1 n n k 1 k 1 2 2 ( x ) x x y ( x ) x x y k k k k k k k p3 k k 1 p1 k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k 1 ; k 1 k 1 k 1 n n n q1 q3 x 1 y x 1 y k k k k k k k 1 k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 q q1 q q3 q2 yk ; a1* 2 ; a2* 2 k2 k1 1 k k p1 p3 1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
9 juin 2018 – Version n°3
2
25
2
2
p1 x q1 FONCTION : y (x ) p2 x q2 q 3
x a1
p1a1 q1 p 2a1 q 2
a1 x a 2 a2 x
q3 p2a2 q 2
y ( x) ( p1x q1 ) 1 H ( x a1 ) ( p2 x q2 ) H ( x a1) H (x a 2 ) q 3H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : y( x) p1 x q1 ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a2 ) H( x a2 ) 2 2 2 2 ydx p1 x 2q1 x ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a2 ) H( x a2 ) c0 6 ydx dx p1 x3 3q1 x2 ( p2 p1 )( x a1 )3 H ( x a1 ) p2 ( x a2 )3 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) et de p2 ( x a2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : 1 a a2 y 4 x ydx 6 ydx dx x 2 y 1 xy 2 ydx c3 x c4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1
a a xydx 2 x ydx x y 6 xydx xy 2 ydx C x C aa 2
a1a2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
a1
C2 C2 2 4C1 2C1
; a2
C2 C2 2 4C1 2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y p1 x ( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a1 )H (x a1) (x a 2 )H (x a 2 ) donne les approximations de p1 , p , p2 et q1 , puis q2 et q3 : q2 ( p1 p2 ) a1 q1
;
9 juin 2018 – Version n°3
q3 p2 a2 q2
26
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) ;
Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
Calcul de a1 et a2 :
2 k n
1
F0, k yk 2 F1,k 6Sxyk 2 xk Syk ( xk ) yk F2, k xk yk Syk F x k 3,k F 4, k 1
1 k n
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1 a1
2 k n
1
n
F F 1, k 4, k k 1 n F F 2 ,k 4 ,k k 1 n F F 3, k 4 , k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1
n
F1,k F2,k
k 1
n
(F
2,k
)
F
2
2, k
k 1
k 1
n
n
F
2, k
(F
F3,k
F3,k
3, k
k 1
)2
k 1
n
F
n
2 ,k
F 4,k
k 1
2C1
F1,k F3,k
k 1
n
C2 C2 2 4C1
n
F
3, k
F4,k
k 1
a2
;
C2 C2 2 4C1
1
n
k 1 n F F 0,k 2,k k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n F F 0, k 4 ,k k 1 F0,k F 1,k
2C 1
Calcul de p1 , q1, p2 , q2 , q3 : Régression globale : G0, k yk G1,k xk ( xk a1 ) H ( xk a 1 ) Calcul de p1 , p2 , q1 : 1 k n G2,k ( xk a1 ) H ( xk a1 ) ( xk a2 ) H ( xk a2 ) G 1 3,k n 2 (G1,k ) k 1 p1 n p3 G1,k G2,k q k 1 1 n G1,k G3,k k 1
Calcul de q2 et q3 : 9 juin 2018 – Version n°3
n
G
1,k
G2,k
(G
)2
k 1 n
2,k
k 1 n
G
G1,k G3,k k 1 n G G 2 , k 3, k k 1 n 2 ( G ) 3, k k 1 n
2, k
G3,k
k 1
q2 ( p1 p2 ) a1 q1
;
27
1
G0,k G1,k k 1 n G G 0 ,k 2 ,k k 1 n G G 0 , k 3, k k 1 n
q3 p2 a2 q2
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk et k 2 tel que xk a2 xk 1 1
k 1 2 ( xk ) p1 k 1 k 1 q1 xk k 1 1
1
q3
1 n k2
x k k 1 k 1 1 k 1
yk
k k 2 1
9 juin 2018 – Version n°3
1
2
2
k k 1 2 ( xk ) xk yk k 1 ; p2 k k k 1 q2 k xk yk k 1 k k q q2 q q1 ; a1* 2 ; a2* 3 p1 p2 p2
k1 1
n
1
1
2
1
1
1
2
1
28
xk k k k 1 k k k2
1
2
1
1
k xk yk k k k yk k k 2
1
2
1
p1 x q1 FONCTION : y(x) p2 x q2 p x q 3 3
x a1
p1a1 q1 p 2a1 q 2
a1 x a 2 a2 x
p3a 2 q3 p 2a 2 q 2
y ( x) ( p1x q1 ) 1 H ( x a1 ) ( p2 x q2 ) H ( x a1) H (x a 2 ) ( p 3x q3 )H (x a 2 )
Construction d’une équation intégrale : intégrale : y( x) p1 x q1 ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 ) H( x a2 ) 2 2 2 2 ydx p1 x 2 q1 x ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 ) H( x a2 ) c0 6 ydx dx p1 x3 3q1 x2 ( p2 p1 )( x a1 )3 H ( x a1 ) ( p3 p2 )( x a2 )3 H( x a2 ) c1 x c2 L’élimination de ( p2 p1 )( x a1 ) H ( x a1 ) et de ( p3 p2 )( x a2 ) H ( x a2 ) entre ce système de trois équations conduit à l’équation intégrale : intégrale : 1 a a2 y 4 x ydx 6 ydx dx x 2 y 1 xy 2 ydx c3 x c4 a1a2
Et avec
a1a2
ydx dx x ydx xydx constante : y
1 a1a2
a a xydx 2 x ydx x y 6 xydx xy 2 ydx C x C aa 2
1
2
3
4
1 2
Les constantes C 3 et C 4 sont des expressions compliquées dans lesquelles interviennent les bornes inférieures des intégrales. Il est inutile de les expliciter car elles ne seront pas utilisées. Les coefficients des deux premiers termes suffisent pour obtenir les approximations de a1 et a2 par régression linéaire.
C1
1 a1a2
; C2
a1 a2 a1a2
a1
C2 C2 2 4C1 2C1
; a2
C2 C2 2 4C1 2C1
Avec les valeurs de a1 et a2 obtenues, une régression linéaire basée sur l’équation : l’équation : y p1 x ( x a1 ) H ( x a1 ) p2 ( x a1 ) H ( x a1 ) ( x a2 ) H( x a2 ) p3 ( x a2 ) H ( x a2 ) q1
donne les approximations de p1 , p , p2 , p , p3 et q1 , puis q2 et q3 : q2 ( p1 p 2 ) a1 q1
9 juin 2018 – Version n°3
;
29
q3 ( p2 p3 ) a2 q2
Données (n (n points) : ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ... , ( xk , yk ) , ... , ( xn , yn ) ALGORITHME de CALCUL : x1 x2 ... xk ... xn 1 xn
Classer par ordre croissant des x des xk : Calcul numérique des intégrales : Sy1 0 ; Sxy1 0
Syk Syk 1 2 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) 1
;
Sxyk Sxyk 1 2 ( xk 1 yk 1 xk yk )( xk xk 1 )
Calcul de a1 et a2 :
2 k n
1
F0,k yk ; F1,k 6Sxyk 2xk Syk (xk )2 yk F2,k xk yk Syk ; F3,k xk ; F 4,k 1
1 k n
n 2 ( F1,k ) k 1 C 1 n F1,k F2,k C 2 k 1 C 3 n F1,k F3,k C 4 k 1 n F1,k F4,k k 1 a1
2 k n
n
F
F
k 1
k 1
1,k F2, k
n
2 ,k
k 1
)
k 1
2, k
F3,k
(F
F3,k
3,k
k 1
n
)2
n
F
2 ,k
F 4,k
F k 1
a2
;
2C1
2,k
n
F
C2 C2 2 4C1
1,k F3,k
F
2
n
k 1
n
n
(F k 1
F1,k F 4,k k 1 n F2,k F 4,k k 1 n F F 3,k 4,k k 1 n 2 ( F ) 4, k k 1
n
3, k
F4,k
C2 C2 2 4C1
1
n
F
0, k F 1, k
k 1 n F F 0, k 2 ,k k 1 n F F 0,k 3,k k 1 n F0,k F 4,k k 1
2C 1
Calcul de p1 , p2 , p , p3 , q1 , q2 , q3 : Régression globale : G0,k yk ; G1,k xk ( xk a1 ) H ( xk a 1 ) Calcul de p1 , p2 , p , p3 , q1 : 1 k n G2,k ( xk a1) H ( xk a1) ( xk a2 ) H ( xk a2 ) G ( x a ) H ( x a ) ; G 1 k 2 k 2 4 ,k 3, k n 2 (G1,k ) k 1 p1 n G1,k G2,2,k p2 k 1 p3 n G1,k G3,k q1 k 1 n G1,k G4,k k 1
Calcul de q2 et q3 :
9 juin 2018 – Version n°3
n
n
G
1, k
G
G22,,k
1, k
k 1
(G
n
2, k
)
G
2
k 1
2, k
G3,k
(G
)2
k 1
n
G
2 ,k
n
G3,k
3, k
k 1
k 1
n
G
2, k
k 1
G33,,k
k 1
n
n
G4,k
G1,k G44,,k k1 n G2,k G4,4,k k 1 n G G 3,k 4, 4,k k 1 n 2 ( G ) 4, k k 1 n
G
3, k
G4,k
k 1
q2 ( p1 p 2 ) a1 q1
;
30
1
G0,k G1,k k 1 n G0,k G2,k k 1 n G G 0,k 3,k k 1 n G G 0, k 4 , k k 1 n
q3 ( p2 p3 ) a2 q2
Régressions séparées pour chaque segment : Calculer k 1 tel que xk 1 a1 xk et k 2 tel que xk a2 xk 1 1
k 1 ( xk ) 2 p1 k 1 k 1 q1 xk k 1 1
1
1
n 2 ( xk ) p3 k k 1 n q3 xk k k 1 2
2
9 juin 2018 – Version n°3
2
k k 1 2 ( xk ) xk yk k 1 ; p2 k k k 1 q2 k xk yk 1 k k k 1 n n x x y k k k 1 k k k k 1 ; a* q2 q1 1 n n p1 p2 1 yk k k 1 k k 1
xk k 1 k 1 1 1 k k1 1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
31
x k k k k 1 k k k2
1
1
2
1
;
* a2
k x y k k k k k yk k k 2
1
2
1
q3 q2 p2 p3
