REGRESI KUADRATIK

TUGAS #1 ANALISIS STATISTIK

ANALISIS REGRESI KUADRATIK

PENGAJAR: TOTO WARSA, Ir., M.S.

PENYUSUN: Ade Setiawan 150220060003

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS PADJADJARAN 2006

1

Soal: Berikut ini adalah data hasil percobaan pemupukan nitrogen pada tanaman padi: Dosis Pupuk N (Xi) 0 30 60 90 120

Hasil Panen (Yi) 2.1 3.4 4.2 7.1 6.3

Tentukan persamaan regresi kuadratiknya!

Jawab: a. Model Regresi Kuadratik  Y  = b0 + b1 X i + b2 X i + ε  2

X0 1 1 1 1 1

X1 0 30 60 90 120

X2 0 900 3600 8100 14400

Y 2.1 3.4 4.2 7.1 6.3

b. Definisikan Matriks-matriks Berikut:  0  ⎞ ⎛ 1 0 ⎜1 30 900 ⎟  X  = ⎜1 60 3600 ⎟ ⎜1 90 8100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 120 14400 ⎠

⎛ 2.1 ⎞ ⎜ 3.4 ⎟ Y  = ⎜ 4.2 ⎟ ⎜ 7.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6.3 ⎠

⎛ b0 ⎞ ⎜ ⎟ b = b1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ b 2 ⎠

1 1 1  ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ′  X  = 0 30 60 90 120 ⎟ ⎜ 0 900 3600 8100 14400 ⎟ ⎝   ⎠ 0  ⎞ ⎛ 1 0 ⎜ ⎟ 1 1 1 1 1 1 30 900 ⎛   ⎞ ′ = ⎜ 0 30 60 90 120 ⎟ ⎜1 60 3600 ⎟  X  X  ⎜ 0 900 3600 8100 14400 ⎟ ⎜1 90 8100 ⎟ ⎝   ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1 120 14400 ⎠ 300 2700 ⎛ 5  ⎞ ⎜ = 300 27000 2700000 ⎟ ⎜ 27000 2700000 286740000 ⎟ ⎝   ⎠

2

⎛ 2.1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 1  ⎞ ⎜ 3.4 ⎟  X ′Y  = ⎜ 0 30 60 90 120 ⎟ ⎜ 4.2 ⎟ ⎜ 0 900 3600 8100 14400 ⎟ ⎜ 7.1 ⎟ ⎝   ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 6.3 ⎠ ⎛  23.1  ⎞ = ⎜ 1749 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 166410 ⎠ c. Persamaan Regresi dalam bentuk Matriks:  Y  =  Xb + ε 

′ ) −1 X ′Y  b = ( X  X  300 2700 ⎡5 ⎤ −1 ′ ( X  X ) = ⎢300 27000 2700000 ⎥ ⎢⎣27000 2700000 286740000⎥⎦

−1

d. Untuk mendapatkan nilai invers X’X , digunakan cara kofaktor kofaktor dan determinan:  determinan:  1. Minor:  M 11 =

27000

2700000

2700000 286740000

 M 12 =

= 451980000000  M 21 =

300

27000

2700000 286740000

300

27000

27000

2700000

2700000

27000 286740000

 M 13 =

= 13122000000  M 22 =

= 13122000000

 M 31 =

300

5

27000

27000 286740000

= 81000000

5

27000

300 2700000

27000

27000

2700000

= 81000000  M 23 =

= 704700000

 M 32 =

300

5

300

27000

2700000

= 5400000

 M 33 =

= 5400000

5

300

300 27000

= 45000

2. Determinan: Diambil dari baris 1: Misalkan Matriks X’X = Matriks A, Maka nilai deteminannya:  A = a11 M 11 − a12 M 12 + a13 M 13 atau  A = a11 K 11 + a12 K 12 + a13 K 13

dimana K ij = (−1)i = j M ij

= 5(451980000000) + 300(-13122000000) + 27000(81000000) = 510300000000 3. Matriks Kofaktor: = K ij = (−1)i  j M ij

3

⎛ 451980000000 - 13122000000 81000000 ⎞ ⎜ ⎟ K ij = ⎜ - 13122000000 704700000 - 5400000 ⎟ ⎜ - 5400000 45000  ⎠⎟ ⎝ 81000000 4. Adjoint A: adj.  A = [K ij ]

⎛ 451980000000 = ⎜ - 13122000000 ⎜ ⎝ 81000000 ⎛ 451980000000 = ⎜ - 13122000000 ⎜ ⎝ 81000000

- 13122000000 81000000 ⎞ 704700000 - 5400000 ⎟ - 5400000 45000  ⎠⎟

'

- 13122000000 81000000 ⎞ 704700000 - 5400000 ⎟ - 5400000 45000  ⎠⎟

5. Invers:  A−1 =

adj.  A  A

;

 A ≠ 0

⎛ 451980000000 - 13122000000 81000000 ⎞ ⎜ - 13122000000 704700000 - 5400000 ⎟ ⎜ 81000000 - 5400000 45000  ⎠⎟ ⎝  = 510300000000

⎛  0.8857142857 - 0.0257142857 0.0001587302  ⎞ = ⎜ - 0.0257142857 0.0013809524 - 0.0000105820 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝  0.0001587302 - 0.0000105820 0.0000000882  ⎠

6. Dengan demikian:

⎛  0.8857142857 - 0.0257142857 0.0001587302  ⎞ ⎜ ⎟ 1 ( X ' X ) − = ⎜ - 0.0257142857 0.0013809524 - 0.0000105820 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝  0.0001587302 - 0.0000105820 0.0000000882  ⎠ Sehingga, didapat nilai b:

′ ) −1 X ′Y  b = ( X  X  ⎛ b0 ⎞ ⎛  0.8857142857 - 0.0257142857 0.0001587302  ⎞ ⎛  23.1  ⎞ ⎜ b ⎟ = ⎜ - 0.0257142857 0.0013809524 - 0.0000105820 ⎟ ⎜ 1749 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ b 2 ⎠ ⎝  0.0001587302 - 0.0000105820 0.0000000882  ⎠ ⎝ 166410 ⎠ ⎛  1.9  ⎞ = ⎜ 0.0603333 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ - 0.000167 ⎠ e. Persamaan Regresinya:  ˆ = b + b X  + b  X 2 Y  0 1 2 ˆ = 1.9 + 0.0603333  X  − 0.000167  X 2 Y 

4