Reglas calculo matemaÌtico

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REGLAS REG LAS DE CÁLCU CÁLCULO LO MATE MATEM M TIC TICO O BÁSICO

C/Bécquer,6.Móstoles

REGLAS DE CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO

1.- LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su valor absoluto es un número entero al cual se le ha eliminado el signo. Dos números enteros que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo se les denomina opuestos; (+ 3); (- 3) La suma de un número entero y su opuesto siempre es 0.

1.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Para saber si un numero es divisible por otro, basta efectuar la operación y ver si es o no exacta, pero es mas cómodo tener criterios que nos permitan con un sólo golpe de vista o por medio de un breve calculo, saber si un número es divisible por otro.

UN NUMERO ES DIVISIBLE POR 2 3 9 5 10 11

….SI La cifra de las unidades es par Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 Si la cifra de sus unidades es 0 o 5, si termina en 0 o en 5 Si la cifra de las unidades es 0, si termina en 0 Se suman las cifras del lugar par por un lado y las del lugar impar por otro; si la diferencia es 0, 11, o múltiplo de 11 , es múltiplo de 11 5841 = (5 + 4) – ( 8 + 1 ) = 0, luego es múltiplo de 11

2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Los números pueden ser positivos y negativos. Primero hay que realizar las operaciones que están entre paréntesis, después las multiplicaciones, luego las divisiones, después las sumas y por último las restas. Si no se sigue este orden los resultados pueden ser erróneos.

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2.1.- SUMAR Y RESTAR Para sumar un número positivo y otro negativo el resultado es el mismo que si restamos del número positivo el negativo. (+ 5) + (- 4) es lo mismo que 5 – 4 = 1. Para restar un número negativo es la operación inversa, inversa, es decir, se suma (+ 2) - (- 3) = 2 + 3.

A.- Suma: - Números con igual signo: El resultado es la suma de los valores absolutos de los dos números, con el mismo signo. (+5) + (+4) = (+9) (-3) + (-6) = (-9) • •

- Números con distinto signo: El resultado es la resta de sus valores absolutos y el signo correspondiente al número con mayor valor absoluto. (+ 4) + (- 3) = (+ 1) (+ 5) – (- 8 ) = (- 3) (- 5) + (+ 2) = (- 3) (- 751) + (+ 351) = - 400

B.- Resta: Un signo delante de un paréntesis cambia el signo de lo que hay dentro de este. Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. (+3) – (+4) = (-1) (+3) – (-4) = (+7)

(-3) – (-4) = (+1) (-3) – (+4) = (-7)

2. 2.- MULTIPLICACIÓN El signo de multiplicar se puede escribir de varias formas: con un aspa (5 x 2), con un punto (5. 2), últimamente por utilización en informática con un asterisco (5 * 2) Se multiplican los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo viene dado por las tablas siguientes. Ejemplo: (+7) x (-2) x (- 1) = (+14) La multiplicación de un número positivo y otro negativo, el resultado siempre es negativo.

+ más

x = x + = por menos = menos menos por más = menos

(+ 7) x (- 2) = - 14. La multiplicación de un número negativo y otro negativo, el resultado siempre será positivo.

+ más

x por

+ más

= + = más

x - = + menos por menos = más

(- 14) x (- 1) = (+ 14) 2 www.ofipol.com


2.3.- DIVISIÓN Se dividen los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo viene dado por las tablas siguientes. Ejemplo. (+20): (-2): (-5) = (+2) La división de un número positivo entre otro negativo o a la inversa siempre es negativo; es decir que la división entre números de distinto signo siempre será negativo

+ más

: = : + = entre menos = menos menos entre más = menos

(+ 20): (- 2) = (- 10) Si dividimos un número negativo y otro negativo, el resultado siempre será positivo. La División entre números del mismo signo siempre dará resultado positivo.

+ más

: + entre más

= =

+ : = + más menos entre menos = más

(- 10): (- 5) = (+ 2). (+5) (+5) (-5) (-5)

x (+8) x (- 8) x (+8) x (- 8)

= = = =

(+40) (- 40) (- 40) (+40)

(+ 90): (+ 5) (+ 90): (- 5) (- 90): (+ 5) (- 90): (- 5)

= = = =

(+ 18) (+ 18) (- 18) (+ 18)

2.- LOS NUMEROS DECIMALES Los números decimales tienen dos partes: parte entera y parte decimal, separadas por una coma. a) parte entera o números enteros los que quedan a la izquierda de la coma. parte decimal: o números decimales los que quedan a la derecha de la coma

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: Suma y Resta de números decimales: Los números decimales se suman y se restan como los enteros, manteniendo la coma en la misma posición para todos los sumandos y el resultado. 0,03 5 4,79 + 6,136 15,406

16,80 - 9,13 7,'67

A.- SUMA: Se colocan las comas debajo de las comas, quedando en la misma columna las unidades del mismo orden. Se suman igual que los números naturales. 3 www.ofipol.com


0,87 + 0,82 = 1,69

17,45 + 151,14 + 0,176 = 168,766

B.- RESTA: Restamos colocando los números igual que en la suma Si al minuendo o el sustraendo le falta un decimal, ese decimal es un “0”. 6,4(0) – 5,35 = 1,05

0,25 – 0,14 = 0.11

C.- MULTIPLICACIÓN: En la suma y resta de número decimales hay que cuidar de que las comas que separan los enteros de los decimales y las unidades de un mismo orden vengan unas debajo de otras; esto en la multiplicación no es necesario. Se multiplican como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma tantos lugares hacia la izquierda, como cifras tiene la parte decimal de ambos números. 43,6 x 2,64 = 115,104

15,25 x 5 = 76,25

Multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: Se desplaza la coma tantos lugares hacia la derecha como ceros tenga la unidad (si no hay suficientes cifras se añaden ceros). 0,33 x 1000 = 330 3,8 x 4,3 114 152 16,34

0,25 x 10 = 2,5

Los números decimales se multiplican como si fueran enteros y terminada la operación se separaran tantas cifras decimales en el resultado como tengan el multiplicando mas el multiplicador. El multiplicando 3'8 tiene un solo decimal y el multiplicador 4'3 tiene también 1 decimal. Por lo tanto, el numero resultante debe tener 1+1 =2 decimales.

D.- DIVISIÓN: 4 casos 1.- Dividir un número decimal entre un entero : Se dividen igual que si los dos números fueran enteros, separando después en el cociente tantas cifras decimales como tiene el dividendo. O dicho de otra forma: al bajar la primera cifra decimal se pondrá una coma en el cociente. 10,59: 3 = 3,53

64,12: 4 = 16,03

2.- Dividir un número entero entre un decimal : Se trasforma el decimal en entero; se añade al entero tantos ceros como cifras tenga el número decimal y así desaparecen las comas. 40: 3,2 = 400: 32 = 12,5

20: 0,5 = 200: 0.5 = 40

325: 0'4 = 3250 4___ 05 812'5 10 4 www.ofipol.com


20 Antes de comenzar la operación convertimos en entero el divisor, poniendo en el dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor y quitamos la coma de este. Después es una división de números enteros. Por lo tanto, la división 325: 0'4 es la misma que 3250: 4. Ya que hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: 10.

3.- Dividir un número decimal entre otro decimal : Se multiplican el dividendo y el divisor, por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. •

36,2 : 5,28

= 3620 : 528

Se añade al dividendo y al divisor tantos ceros como sean necesarios, para igualar el número de cifras decimales, se elimina la coma y se opera como si fueran enteros. 14,4: 0,02 = 14,40: 0,02 = 720

5,375: 3,2 = 5,375: 3,200 = 1,679

Igualar con ceros las cifras decimales y después quitar la coma decimal, operando como si se tratara de números enteros. El dividendo 729'3 tiene 1 decimal y el divisor tiene 4 decimales. 729'3: 0'0033 = 7293000 :33 Para que el divisor resulte un número entero desplazamos la coma del dividendo y del divisor 4 veces. Al número 729'3 desplazamos la coma un lugar y le añadimos 3 ceros, resultando 7293000. El divisor resulta 33. En realidad, hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: 10.000.

4.- Dividir por la unidad seguida de ceros: Desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad (si no hay suficientes cifras se añaden ceros). 2,35 : 0,00235

1000

= 732,5 : 100 = 7,325

6'05 : 0'0605

100

=

Si dividimos un número decimal por la unidad seguida de ceros el resultado es el número decimal con la coma trasladada hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. 0'0605 resulta de trasladar 2 lugares la coma, ya que 100 contiene dos ceros.

3.- NUMEROS MIXTOS Son la suma de un número natural y una fracción (será sobreentendido el signo de la suma razón por la que se prescinde de él). 3

1/ 4 = 3 + 1/4

Si se quiere expresar como fracción se multiplicará el denominador por la parte entera y se le sumará el numerador. 3 ¼ = 13/4 5 www.ofipol.com


A la inversa, si se quiere expresar un número racional en forma de número mixto. Bastará con dividir el numerador entre el denominador e indicarlo así: 25/7 = 25:7 = 3 (cociente) y de resto 4 = En forma de número mixto: 3 4/7

Hallar

6 1+ 3 2 4

El primer término de esta suma es un número mixto. Consiste en la suma de un número natural y una fracción, 6 + ½ Para pasarlo a fraccionario se aplica la definición de suma, así 6 1 = 6 + 1 = 6 + 1 = ( 6 x 2 ) + 1 = 13 2 2 1 2 2 2 O multiplicamos el número entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador. El denominador se mantiene. 6 1 = 6 x 2 + 1 = 13 2 2 2 El resto de la suma se realiza como la suma de fracciones que es 13 + 3 = (13 x 2 ) + 3 2 4 4

=

29/4

4.- NUMEROS FRACCIONARIOS Número fraccionario es el que expresa una o varias partes de la unidad dividida en cierto número de partes iguales. El número fraccionario tiene dos partes: • •

Numerador (número de partes que contiene una fracción) y denominador (número de partes iguales en que se divide la unidad).

OPERACIONES CON FRACCIONES: A.- SUMA Y RESTA: •

Suma o resta de racionales con igual denominador: Se suma o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

1/8 + 6/8 = 7/8

7/8 – 3/8 = 4/8

Se suman los numeradores y se deja el mismo denominador: 3

+

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4

=

3

+

4

=

3+4

=

7


6

5

5

5

5

5

5

Se restan los numeradores y se deja el mismo denominador: 4

3

-

5

5

=

4 5

-

3

=

4-3

5

=

5

1 5

Cuando hay que sumar o restar más de dos quebrados con el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se suman o restan todos los numeradores. Numerador Denominador

5 + 3 - 4 + 2= 7 7 7 7

Aquí se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador. La fracción resultante de esta operación tendrá el mismo denominador, siendo su numerador el resultado de sumar y restar los numeradores de las cuatro fracciones dadas. Numerador = 5 + 3 – 4 + 2 y el denominador será el mismo que en las fracciones anteriores. 7. El resultado de la operación será: 6/7 La Suma o restas de fracciones cuyos denominadores sean primos entre sí: Se multiplican los denominadores para hallar un denominador común y luego, se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se suma y resta a la multiplicación del denominador de la primera fracción por el de la segunda. 3/5 + 7/11 = (33+35) / 55 = 68/55 5/3 – 2/5 = (25 – 6) / 15 = 19/15 •

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Para sumar o restar quebrados, si tienen distinto denominador, hay que conseguir un mismo denominador. Para ello hay que conseguir un número que sea múltiplo común todos los denominadores, a ser posible el más pequeño. (El mínimo común múltiplo, es el número más pequeño que es la vez divisible por los números a los que nos referimos).

3 5

+

4 2

6 + 20 10 10

El mínimo común múltiplo es el 10, por ello lo ponemos de denominador.

___ + ___ 10 10

Y ya tenemos la suma de quebrados con el mismo denominador.

=

6 10

+

20 10

=

6 + 20 = 26 10 10

El denominador común por medio del mínimo común múltiplo (m. c. m.), que son los factores comunes al mayor exponente y los no comunes, y luego se suman o restan. El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. 7 www.ofipol.com


3/6 + 7/12 = (6+7)/ 12 = 13/12

1/3 – 4/6 = (2-4)/6 = -2/6

6=3x2x1 m. c. m. = 22 x 3 = 12 3 = 3 x 1 12 = 3 x 22 x 1 6 = 3 x 2 x 1 Ejemplo:

m. c. m. = 3 x 2 = 6

2 + 1 + 5 - 3 = 3 4 2 6

Las fracciones a sumar y restar tienen distinto denominador, por lo que hay que reducirlas, primero a común denominador 1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores (de 3, 4, 2 y 6). Estos números poseen infinitos múltiplos comunes, pero hemos de hallar el menor, el más pequeño de los comunes. En esta ocasión es 12. 2.- Hallamos fracciones equivalentes a las del problema con denominador 12. (Se halla una fracción equivalente a la primera si se multiplican o dividen numerador y denominador por el mismo número). •

La fracción equivalente a 2/3 que presente 12 en el denominador, será 8/12

•

La fracción equivalente a 1/ 4, con denominador 12 será 3/ 12

•

La equivalente a 5/2 será 30/2 y la equivalente a 3/6 será 6/ 12

8 + 3 + 30 – 6 = 35 12 12 12 12 12

B.- MULTIPLICACIÓN: Se multiplican numeradores por un lado y denominadores por otro. Los quebrados se multiplican multiplicando en paralelo: 3 x 5

4 2

=

3 x 5

4 = 2

3x4 5x2

=

12

= 1,2

10

Para multiplicar cuando hay más de dos quebrados, no hay problema ya que al ser en paralelo se pueden realizar todos de una vez. Ejemplo: 3 x 2 x 5 4 3 2 Se multiplicar los numeradotes entre si y los denominadores entre sí. 3 x 2 x 5 = 30, y 4 x 3 x2 = 24. El resultado es 30/24 = 5/4 Se divide numerador y denominador por (6), para reducir al máximo la fracción. 8 www.ofipol.com


C.- DIVISIÓN: Se multiplican en cruz. 3:4 5 3 La división es la operación inversa a la multiplicación. Para resolverla se multiplicará la primera fracción por la inversa de la segunda Es decir,

3/5 x 3 /4 y el resultado es 9/20

Los quebrados se dividen multiplicando en aspa: 3 : 5

4

=

2

3 : 5

4 = 2

3x2

=

5x4

6

= 0,3

20

6/7: 1/5 = 30/7 Cuando hay que dividir más de dos conviene dividir los dos primeros y luego el resultado dividirlo por el tercero, el resultado dividirlo por el cuarto y así sucesivamente. Fracción decimal: Fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. 3/10

71/1000

Una fracción decimal se puede escribir como un número decimal. 0,7 = 7/10

874/10000 = 0,0874

1/1000 = 0,001

De ahí que cuando tengamos que realizar una operación como:

23:0,01 = 23: 1/100 = 23 x 100

5.- POTENCIAS Llamamos potencia de base “a” y exponente “n” al producto de “n” factores iguales a “a”.

Base

53

Exponente = 5x5x5

- Si una potencia tiene base negativa el resultado podrá ser: 2 2 = 4; o o

2 3= 8

Positiva si el exponente es par: (- 2 ) 2 = 4 Negativa si el exponente es impar: (- 2 ) 3 = - 8

- Tener en cuenta que –3 2 =- (3 x 3)=- 9 no es igual a (- 3) 2 = (- 3) x (- 3) = 9

a = b;

an = bn

(a + b) . (a – b ) = a 2 - b2

( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab 9

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OPERACIONES CON POTENCIAS A.- SUMA Y RESTA : restarlas.

se deben de hallar las potencias independientemente y sumarlas o

Se calcula cada una de ellas por separado - 22 + 5 3 - 32 = 4 + 125 - 9 = 120;

B.- POTENCIAS DE EXPONENTE CERO:

a0 = 1

20 = 1

Cualquier número, positivo o negativo, elevado a la potencia cero dará como resultado uno.

C.- MULTIPLICACIÓN CON IGUAL BASE Es otra potencia con la misma base y el exponente igual a la suma de los exponentes.

a m . a n = a m+n

3 3 x 3 2 = 3 5

( - 2) 2 x ( - 2) 3 = ( - 2)

2+3

= ( - 2) 5

D.- COCIENTE DE POTENCIAS CON IGUAL BASE Potencia con igual base y de exponente la resta de los exponentes.

am = a m - n an

4 4 : 4 3 = 4 1

(-3) 3 : (-3) 2 = (-3) 1 = -3 ; 4 8 : 4 2: 4 = 4 5

Si las bases son distintas hay que operar con cada una de forma independiente 2 2 x 3 2: 6 2 = 16 x 9: 36 = 144: 36 = 4

E.- POTENCIA DE UN PRODUCTO: Es el producto de los factores elevados al exponente dado. (a . b)

n

= an . bn (a . b . c )n = a n . b n . c n (7 x 3 x 2 ) 3 = 73 x 33 x 23 = 42 3

F.- POTENCIA DE UN COCIENTE: Dividimos los números de dicho cociente y el resultado lo elevamos a la potencia dada. Para elevar una fracción a una potencia se elevan ambos (numerador y denominador) a dicha potencia.

(a/b) n = a n / b n

( a : b ) n = a n : b n (144 : 12) 2 = 12 2 = 144

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G.- POTENCIA DE OTRA POTENCIA: Es una potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes. •

( am )n = a m.n

•

[(3) 4 ] 7 = 3 4 x 7 = 3 28

H.- POTENCIA ELEVADA A UNA FRACCIÓN: Es una raíz que tiene como radicando la base elevada al numerador de la fracción y como índice el denominador de dicha fracción. 35/3 = 3 3 5

A1/2 =

2

A1

I.- POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO: Son fracciones con numerador 1 y cuyo denominador es la misma potencia con exponente positivo. •

•

a – n = 1/ a n 3 - 2 = 1/3 2

- Una potencia con exponente 0 siempre es igual a 1 : 30 = 1 - Una potencia cuya base es 1 siempre será 1 : 13 = 1 - Una potencia cuyo exponente es 1 será igual a la base: 91 = 9 - Una potencia cuya base es 0 siempre es igual a 0. 09 = 0

NUMEROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.

CUADRADOS 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

CUBOS 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 11

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- RAICES 6.- RAÍCES Raíz “n” de un número “a” será otro número “b” que elevado a “n” es igual a “a”.

Índice a =

Raíz n

b

bn = a

Radicando La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado

SIGNO DE UNA RAÍZ

dos soluciones 1.Radicando Índice par positivo Índice impar raíz positiva

5x5 (-5) x (-5)

Índice par: no tiene solución

2.negativo

Radicando Índice impar

raíz negativa

A.- RAÍZ DE UNA RAÍZ: Se multiplican los índices y el radical será en mismo. B.- POTENCIA DE RAÍCES: Se eleva el radicando a dicha potencia C.- MULTIPLICACI N DE UN N MERO POR UNA RAÍZ: Es otra raíz con el mismo índice y el radicando será el producto del radicando y el número que multiplica elevado al índice D.- PRODUCTO DE RAÍCES: Si tienen igual índice se mantiene el índice y se multiplican los radicandos E.- DIVISIÓN DE RAÍCES: Con igual índice se mantiene el índice y se dividen los radicandos F.- SIMPLIFICAR UNA RAÍZ:

Poner la 12

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raíz en forma potencial

G.- RAÍZ DE NÚMEROS DECIMALES: La raíz de un número decimal, se extrae como si el número fuera entero y en el número que se obtiene, se separan tantas cifras hacia la derecha, como indique el cociente entre la cantidad de cifras decimales que tenía el número dado y el índice de la raíz La Raíz de cualquier índice del número 1 es igual al mismo número 1.

7.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ax + by = c ; Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solo para determinados valores de las incógnitas, o letras cuyos valores queremos obtener • • •

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones

Hay 3 métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

1.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la otra; Se obtiene así una ecuación con una incógnita.

3x – 2y = 10 x + 3y = 7

3x – 2y = 10 x = 7 - 3y

3 ( 7 – 3y ) – 2y = 10 21 – 9y –2y = 10 ; y=1 ;x= 4

2.- METODO DE IGUALACIÓN Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas 3x – 5y = 1 ; x = 1 + 5y 3 x + 2y = 15 ; x = 15 – 2y

1 + 5y = 15 – 2y 3

; y = 4; x = 7

3.- METODO DE REDUCCIÓN Se Aplica cuando una incógnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro 13 www.ofipol.com


Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga), para que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas; Así al restarlas desaparece esa incógnita 3x + 5y = 76 4x – 2y = 6

; (x4) ; (x3)

; 12 x + 20y = 304 ; 12 x - 6y = 18

Restando

26 y = 286;

Y = 11;

x=7

Una ecuación es una operación en la que hay una parte o dato que desconocemos, que viene expresado por una letra o incógnita. El planteamiento de la ecuación siempre es a modo de igualdad: 6x - 7 = 2x + 5 1º.- Poner todos los números que acompañan a la incógnita al mismo lado de la igualdad y el resto al otro (Un número para cambiar de lado en la igualdad, pasa con el mismo valor absoluto pero cambiándole el signo) • •

Si esta sumando en un lado pasa restando al otro Si esta multiplicando en un lado de la igualdad pasa dividiendo y al revés 6x - 2x = +7 +5

2º.- Una vez agrupados se realizan las operaciones.

4x = 12

3º.- Despejar la incógnita, pasar 4 que está multiplicando al otro lado, y pasarlo dividiendo x = 12 por tanto x = 3 4 Si repartimos 120 Euros entre dos amigos de forma que uno de ellos recibe triple cantidad que la otra, mas 8 Euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?

La suma de las dos cantidades tiene que ser el Cantidad de uno -> valor a repartir. 1.-28Euros x el otro -> 3x + 8 x + 3x + 8 = 120; x + 3x = 112 2.-92Euros 4x = 112; x = 112/ 4 = 28

SISTEMAS DE ECUACIONES. Es un conjunto de ecuaciones en el que hay más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido. • •

3x + 5y = 2 x - 3y = 10

1º.- Despejar en una ecuación una incógnita y sustituir esa incógnita en la otra ecuación x = 10 + 3y 3x + 5y = 2

------------ 3(10 + 3y) + 5y = 2

30 + 9y +5y 9y + 5y =2 = 2 - 30

14y = - 28

y = - 28/ 14 y = -2

Una vez obtenido uno de los valores volvemos al valor de x y sustituimos la y por su valor numérico obteniendo así el valor de x. 14 www.ofipol.com


X = 10 + 3. (-2)

x = 10 - 6 -> x = 4

Ejemplo: Los 320 empleados de una fabrica trabajan en tres secciones; En la sección 1 hay tantos trabajadores como en la suma de los otras dos y la 3ª tiene 40 trabajadores menos que la 2ª ¿Cuántos trabajadores hay en cada sección?. x = 1ª sección;

y = 2ª sección

z = 3ª sección

La 1ª tiene tantos como las otras dos juntas: x = y + z La 3ª tiene 40 menos que la 2ª: z = y - 40 Si todos son 320: x + y + z = 320 Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z = 320

X=y+z

z = y – 40

En la 3ª ecuación tengo el valor de z, por lo que sustituyo ese valor en la 2ª ecuación y en la primera, quedando así: x = y + y - 40; x = 2 y – 40

x + y + y – 40 = 320 x + 2 y = 360

Ahora hay dos ecuaciones con dos incógnitas como en el ejemplo anterior. x + 2y = 360 x = 2y - 40

Sustituyo de nuevo el valor de x = 2y - 40 en la 1ª ecuación 2y – 40 + 2y = 360 2y + 2y = 360 + 40

4y = 400 ----y = 100 Si y = 50. Entonces x = 2. 100 - 40 -> x = 160 Si x + y + z = 160, entonces 80 + 50 + z = 160; z = 60

8.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ax 2 + Bx + c = 0

9 .- LA REGLA DE TRES La regla de tres simple resuelve los problemas en los cuales se dan dos cantidades de magnitudes distintas y que guardan entre sí una proporción directa o indirecta.

1.1.- REGLA DE TRES DIRECTA 1) Compro 5 compactos por 24 euros, ¿cuánto cuestan 12 más? 15 www.ofipol.com


La relación entre el nº de compactos y el precio total guarda una relación directa, es decir, es directamente proporcional, ya que a mayor número de compactos, mayor será el precio a pagar. Planteamiento del problema: 5 compactos -------- 24 Euros 12 compactos ------¿x?

x = 12 x 24 = 57,6 Euros 5

Deberá pagar 57,6 Euros.

2) Un albañil 750 Euros al mes por su trabajo. ¿Cuánto recibe si solo ha trabajado 12 días? La relación entre lo que cobra y los días que trabaja es directamente proporcional ya que si trabaja menos días cobra menos dinero. 30 días -> 750 Euros. 12 días -> x

X = 750 x 12 = 300 Euros. 30

Percibirá 300 Euros 1.2.- REGLA DE TRES INVERSA Para realizar un trabajo 2 especialistas tardan 12 días. ¿Cuánto tardarán 8 especialistas? La relación entre el número de especialistas y el tiempo empleado es inversamente proporcional porque a menos especialistas más tiempo tenemos que emplear en hacer el trabajo 2 especialistas --------- 12 días 8 especialistas --------- x

x = 2 x 12 = 3 8 Tardarán 3 días

10.- PORCENTAJES El tanto por ciento • •

Se representa con el símbolo % Se calcula aplicando el concepto de regla de tres directa del apartado anterior.

1.- UN PORCENTAJE ES UNA FRACCIÓN DEL TOTAL Un porcentaje supone una proporción Para calcular el % de una cantidad: El a % de una cantidad C • •

Se pone el % en forma de fracción: a/ 100 Se calcula esa fracción de la cantidad a % de C = a / 100 x C 16

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Ejemplo: 30 % de 250; 30/100 de 250; 250 x 30: 100 = 75 Compro una moto por 7.350 Euros y me hacen un descuento del 24% ¿Cuánto he de pagar?

100 - > 7.350 24 - x

x = 7.350 x 24 = 1764 100

Total del precio = 7.350 7350 – 1764 = 5600; Lo que tengo que abonar

2.- CALCULO DEL TOTAL, CONOCIDA LA PARTE •

•

De un total desconocido sabemos la parte asociada a determinado porcentaje ¿Cuál es el total? Nos dan el % de una cantidad, calcular dicha cantidad

Hoy han faltado a clase 6 alumnos, lo que supone un 20% del total de alumnos, ¿Cuántos alumnos componen el total de la clase? Total 100 x

ausentes 20 6

100 = 20 ; 600/20 = x ; x = 30 x 6

33 hombres de un pueblo, están solteros y son el 6 % de los hombres del pueblo. ¿Cuántos hombres hay en total? 6 -> 33 hombres 100 -> x

x = 100 x 33 6

= 550

Hay 550 hombres en el pueblo

3.- CALCULO DEL PORCENTAJE CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE • •

De un total conocido, se ha tomado una parte determinada ¿ que porcentaje se ha tomado Dada una cantidad que es un % de otra dada, calcular dicho %

En las ultimas elecciones, de un censo de 2.500 personas, el alcalde actual recibió 1.500 votos ¿Que porcentaje de votantes apoyo al alcalde? VOTANTES 2.500 100

VOTO FAVORABLES 1.500 X

2500/100 = 1500/X X = 1500. 100 / 2.500 = 60

Una clase tiene una matrícula de 250 alumnos. Si faltan a clase 40, ¿Qué tanto por ciento faltó a clase? 250 alumnos - > 100 40 alumnos -> x

x = 100 x 4 = 16 25

Faltó el 16 % de los alumnos 17

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11.- PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

Una proporción es la igualdad de dos razones

El producto de los medios es igual al producto de los extremos A x D = B x C 1.- CALCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION Un problema de proporcionalidad consiste en calcular uno de los términos de una proporción, conociendo los otros tres Ej.: 3 / 4 = 9 / X 3x = 4x9

x = 12

2.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES ¿Que son magnitudes directamente proporcionales? Dos magnitudes son directamente proporcionales si: • •

Al aumentar una (doble, triple,...) la otra también aumenta (doble, triple,....) Al disminuir una (mitad, tercio,...) la otra también disminuye (mitad, tercio,....)

LITROS DE ACEITE COSTE EN EUROS

1 3,2

3 9,6

5 16

6 19,2

8 X

Si se multiplica un valore de las magnitudes por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda multiplicado por ese número

Regla de tres directa Litros de aceite 5 8

La proporción Coste 5 = 16 ; x = 8. 16/ 5 = 25,6 16 8 x x

Resolución de problemas: Método de reducción a la unidad Ej.: Un mecánico cobra 60 Euros por un trabajo de 4 horas ¿Cuanto cobrará por un trabajo de 7 horas? 4 horas = 60 Euros 1 hora = 60 euros /4 = 15 euros 7 horas = 15 euros x 7 = 105 euros • • •

3.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES 18 www.ofipol.com


Dos magnitudes son inversamente proporcionales si: Al aumentar una (doble, triple,...) la otra disminuye ( mitad, tercio, .... ) Al disminuir una (mitad, tercio, ...) la otra aumenta ( doble, triple, ...)

• •

Caudal de un grifo 1 (l/min.) Tiempo de llenado 24 (min.)

2

3

6

8

12

8

4

x

En las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica (divide) uno de los valores de una magnitud por un numero, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (multiplicado) por el mismo número

Regla de inversa Caudal 6 4

tres La proporción

6 / 4 = x / 8; x = 6. 8/ 4 = 12 Tiempo 8 Nota: se invierte una de las razones de la x proporción

Ej.: los trenes actuales y los de alta velocidad; a doble velocidad se tardara la mitad de tiempo y a mitad de velocidad se tardara el doble de tiempo La Velocidad del tren y el tiempo del trayecto son magnitudes inversamente proporcionales Ej.: 4 personas realizan un trabajo en 9 días, ¿Qué días tardaran en hacer ese trabajo 3 personas? Método de reducción a la unidad 4 personas = 9 días 1 persona = 9 x 4 = 36 días 3 personas = 36 días : 3 = 12 días

• • •

4.- PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Se trata de problemas en los que intervienen más de dos magnitudes ligadas por relaciones de proporcionalidad Ej.: Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias, durante 5 días, ha lavado 1.000 Kg. de ropa ¿Cuantos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias: Horas 8 10 •

días 5 12

kilos 1.000 x

• • •

8 h. 5 días = 8 h. 1 día = 1 h. 1 día =

1.000 Kg. 200 Kg. 25 Kg.

10 h x 12 días = 120 x 25 = 3.000 Kg.

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19

•

8 . 5 = 1000 10 12 x

;

40 120

= 1.000 x

x = 120 . 1000 40

= 3.000.

Ahora veamos un ejemplo en el que interviene alguna relación de proporcionalidad inversa Ejemplo: Un taller trabajando 8 horas diarias, durante 5 días, fabrica 1.000 equipos. Ahora tiene que servir un pedido de 3.000 equipos, trabajando 10 horas diarias ¿Cuantos días tardará en fabricar el pedido?

Al ser proporcionalidad inversa en vez de 8/10, tomamos 10/ 8

PROPORCIONALIDAD INVERSA Horas 8 10

Equipos 1.000 3.000

Días 5 x

10 8

1.000 3.000

=

. 5 . x

10.000 / 24.000 = 5 / x

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

x = 12 días

12.- AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

1.- AUMENTOS PORCENTUALES Las reservas de agua de una región, hace un mes eran de 260 hm3· y han aumentado un 15 %, Cuales son las reservas actuales?

Solución 1: Reservas actuales = 260 + 15 % de 260 = =260 + 15 x 260 = 260 + 39 = 299 100 Solución 2: Cada 100 hm3 que habría hace un mes hay 115 hace un mes 100 260

Hoy 115 x

100/260 = 115 / x ; X = 299

Aumentar una cantidad en un a % equivale a calcular el (100 + a) % de dicha cantidad. Las reservas de agua de una ciudad aumentan el último mes un 15 %. Si actualmente se cifran en 299 hm3 ¿Cuales eran las reservas hace un mes? 115% de x = 299

115/100 de x = 299;

x = 299: 1.15 = 260 hm3

2.- DISMINUCIONES PORCENTUALES En una tienda se rebaja todo un 15% ¿Cuál es el precio de un abrigo que antes costase 380 Euros? 20 www.ofipol.com


a) Precio rebajado = precio anterior – rebaja = 380 – 380. 15/ 100 = 323

380 - 15% de 380 =

b) Cada 100 del precio antiguo queda en 85 Sin rebaja 100 380

Rebajado 100 / 380 = 85 / x 85 x x = 380. 85 / 100 = 323

Hemos calculado el 85% de 380;

85% de 380 ---------- 0,85 x 380 = 323

He pagado 323 Euros, por unos guantes que estaban rebajados en un 15 % ¿Cuál era el precio antes de ser rebajados? 85 % de x = 323 ; 0,85. x = 323 ; x = 323: 0,85 = 380

13.- REPARTOS PROPORCIONALES En estos problemas se divide un total en varias partes que han de ser proporcionales a ciertos números dados 1.- Rafael Ana y Luis, reciben 250 Euros por repartir propaganda. Rafael ha repartido dos paquetes, Ana tres y Luis cinco ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno? 250 Euros / 10 paquetes = 25 euros paquete; Rafael = 50; Ana = 75 y Luis = 125 La cantidad que corresponde a cada uno es directamente proporcional a los paquetes repartidos 50/2 = 75/3 = 125/5 = 250/10 2.- Tres hermanos se reparten dinero en partes proporcionales a sus edades; Juan con 23 años le han correspondido 184 Euros, ¿Cuanto le corresponde a Luis de 15 y Ana de 12 años? Cantidad por año 184/23 = L / 15 = A/ 12; 8 = L/15 = A/12; L = 120; A = 96

14.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ELEMENTALES Doble de un numero 2 a Un numero, mas su doble, mas su mitad m + 2m + m/2 El triple de un número mas cinco 3x+5 El triple del resultado de sumar cinco a un número 3 (x + 5) El numero siguiente al número b b + 1 El anterior a un numero b - 1 Un número par 2n Un numero impar 2n + 1 o bien 2n -1

Operaciones con monomios 2a . 3b= 6ab 21 www.ofipol.com


(2 b). (-5 b) = -10 b 2 (2x). (4 x y) = 2. x . 4. x. Y = 2. 4. x. x. y = 8 x2 y

15.- UNIDADES DE LONGITUD

km

hm

dam

1.000 m

100 m

10 m

M

dm

cm

mm

0, 1 m

0.01 m

0.001 m

16.- UNIDADES DE SUPERFICIE km2

hm 2

dam 2

1.000.000 m2

10.000 m2

100 m2

m2

dm 2

cm 2

mm 2

0.01 m 2

0.0001 m 2 0,000001 m 2

Las unidades de superficie aumentan de 100 en 100 Área = 1 a = 1 dam

2

= 100 m 2

Hectárea = 1 ha = 100 a = 1 hm 2 = 10.000 m

2

17.- UNIDADES DE VOLUMEN km 3

hm 3

dam3

m3

dm3 LITRO

cm3

mm3

x 1O 3 x 1000 Cada unidad de volumen es: o o

1.000 veces la unidad de orden inferior La milésima parte (0.001) de la unidad superior

1 dm 3 = 1 litro

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