2.2. REGANGAN (STRAIN)
Fn
Fn L Lo
Є = Lo-L L
Pada gambar gambar diatas, adanya gaya aksial mengakibatkan batang mengalami perubahan panjang, panjang , dimana batang akan bertambah panjang jika mengalami tarikan dan berkurang panjangnya jika mengalami tekanan. Dimana perubahan panjang persatuan panjang disebut regangan (strain) Atau : REGANGAN ( Є ) = PERUBAHAN PANJANG . PANJANG ANJAN G AWAL.
1
Ada dua tipe t ipe regangan regangan yaitu : a. Regangan Normal (normal Strain) b. Regangan Geser (shear Strain) Regangan Regangan normal biasanya disebut dengan regangan, terjadi jika berhubungan dengan tegangan normal. Regangan merupakan besaran tak berdimensi dan disimbolkan dengan Є (epsilon). Perubahan panjang akibat beban pada regangan regangan ditunjukan oleh ∆ (delta). Sehingga : •
•
Є =
∆ L / L …………………………………. (2.6)
Dimana : ∆ = Perubahan panjang. L = panjang awal Lo = panjang panja ng akhir. akhir.
Regangan geser terjadi akibat tegangan geser. Tegangan geser tidak mempunyai mempunyai kecenderungan untuk memperpanjang atau memperpendek elemen dalam arah x, y, dan z , tetapi tegangan geser akan menghasilkan perubahan bentuk seperti terlihat pada gambar dibawah ini. 2
Lanjutan : Regangan geser :
= σ xy/G = σ yz/G
(%) ( rad)
Dimana : G = konstanta perbandingan elastisitas Modulus Geser.
•
Regangan Regangan geser disimbolkan dengan (gamma), yang merupakan perubahan bentuk pada gambar diatas. Satuan regangan geser adalah radian. Sehingga regangan geser dapat dinyatakan dengan : G=
E.. ( 2( 1-V)
E=
σ.. Є ………………………………..( 2.7).
Dimana : E = Modulus Young bahan. V = konstanta kenyal bahan.
3
2.3. TARIKAN DAN TEKANAN DALAM BATAS ELASTISITAS. •
Sebuah batang prismatic yang menerima beban aksial, yang dilakukan pada mesin uji tarik tarik akan diperoleh diperoleh grafik hubungan hubungan tegangan tegangan dan regangan seperti pada gambar.
Gambar : 2.4. Diagram Regangan-Tegangan
4
Lanjutan : Pada kurva diatas garis antara titik O dan A, menyatakan bahwa tegangan tegangan memiliki hubungan yang yang proporsional proporsional dengan regangan. Pada daerah pada kurva kurva OA ini material materia l berada pada kondisi elastisitas linear, artinya apabila beban yang bekerja bekerja dihilangkan benda uji akan kembali pada bentuk semula tanpa tanpa mengalami mengalami perubahan bentuk (deformation). (deformation). Pada kondisi elastisitas elastisi tas linear ini hubungan tegangan regangan akan memenuhi Hukum Hooke. Yaitu : 2.4. Hukum Hooke : Berbunyi, Berbunyi, “Jika “Jika benda dibebani dalam batas elastisnya, maka tegangan berbanding berban ding lurus dengan regangannya” regangannya”. Secara matematis ditulis: Tegangan Regangan
=
E = konstan
5
Lanjutan.
2.5. Modulus Elastisitas Elastisitas (Modulus Young) : Tegangan berbanding lurus dengan regangan, dalam daerah elastisnya, atau: σ =ExЄ E = σ / Є dimana : σ = tegangan Є = regangan E = Konstanta Konstanta proporsionalitas proporsionalitas atau disebut juga modulus elastisitas atau modulus young. 6
Tabel 2.1. Harga Harga E ( modulus elastisitas elastisitas ) dari berbagai berbagai material :
No.
Material
Modulus Elastisitas (E) dalam GPa
1
Baja
200 – 200 – 220 220
2
Besi tempa
190 – 190 – 200 200
3
Besi Cor
100 – 100 – 160 160
4
Tembaga embag a
90 – 90 – 110 110
5
Perunggu
80 – 80 – 90 90
6
Alumunium
60 – 60 – 80 80
7
Timbal.
10
7
2.6. DEFORMASI BENDA KARENA GAYA YANG BEKERJA
Bila tegangan : σ =P A dan Regangan :
Є =
σ E
Maka Depormasi :
= P A.E.
bila Є = ∆L/L maka : Є = P/A.E P/A.E ∆ L/L = P/AE. δL =∆L =
P.L. A.E. ………………………………………… ( 2.8 )
8
Contoh soal 1. : Sebuah batang dari baja dengan panjang 1 m dan penampang 20mm × 20 mm mendapat gaya tarik sebesar 40 kN. Carilah perpanjangan batang, jika modulus elastisitas material batang adalah 200 GPa. Jawab. Diketahui: Diketahui: panjang (l) = 1 m = 1 ×103 mm luas penampang (A) = 20 × 20 = 400 mm 2 gaya tarik (P) = 40 kN = 40 ×10 3 N Modulus elastisitas (E) = 200 GPa = 200 ×10 3 N/mm2 Perpanjangan batang:
δl
=
P.l
A.E = (40 × 103) × (1 × 103) 400 × (200 × 10 3) = 0, 5 mm
9
Contoh Soal 2. : Silinder berlobang dengan panjang 2 m mempunyai diameter luar 50 mm dan diameter dalam 30 mm. Jika silinder memikul beban sebesar 25 kN,carilah tegangan pada silinder. silinder. Cari juga deformasi yang terjadi pada silinder jika harga modulus elastisitas material silinder adalah 100 GPa. Jawab. Diketahui: Diketahui: panjang (l) = 2 m = 2 ×103 mm diameter luar (D) = 50 mm diameter dalam (d) = 30 mm beban (P) = 25 kN = 25 ×103 N/mm2 modulus elastisitas (E) = 100 GPa = 100 ×103 N/mm2
10
Lanjutan :
Tegangan Pada Silinder A=
π/4 × (D2 − d2) = 3,14/4 × [(50)2 − (30)2] = 1257 mm2
dan tegangan pada silinder: σ = P A
= 25 × 103 1257
=
= 19, 9 N/mm2 = 19, 9 MPa
Deformasi pada silinder δl = P.l = A.E
(25 × 103) × (2 × 103) 1257 × (100 × 103)
= 0, 4 mm
11
Tugas Kerjakan 2 soal ( dikumpulkan dikumpul kan ):
1.
Sebu Sebuah ah bat batan ang g baja baja deng dengan an pan panjan jang g 2 m dan dan pena penamp mpan ang g 150 150 mm2 mendapat tarikan aksial sebesar 15 kN. Carilah perpanjangan/elongasi perpanjangan/elongasi batang. Ambil harga E = 200 GPa.
2. Sebuah batang lurus mempunyai panjang 500 mm dan penampang 500 mm2. Carilah besar beban kompresi kompresi dimana panjangnya panjang nya berkurang berkurang 0,2 mm. Ambil E material 200 GPa. 3. Sebuah batang logam paduan dengan panjang 1 mm dan penampang 200 mm2 mendapat gaya tekan sebesar 20 kN. Jika modulus elastisitas paduan 100 GPa, carilah penurunan panjang batang.
12
Note: 1 Diket Diket = L = 2000 mm, d= 150 mm2, P = 15 kN, E = 200 Gpa. dit : δ L?. Jawab : δ L = P.L/AE. 2. Diket : L : 500 mm , D: 500 mm2, L= - 0,2 mm, E =200 GPa. dit : P?. Jwb = δ L = P.L/AE. …………. ………… . P = δ L. A. E./L. 3.
Diket : L = 1 mm , d = 200 mm2, P = 20 kN, E = 100 Gpa Dit : penurunan panjang ?.
13
Bentuk akhir. P
P Bentuk awal
Angka Poison : pada saat benda mengalami perubahan panjang, benda juga mengalami konstraksi lateral (perubahan luas penampang) seperti pada gambar berikut ini. Angka poisson (Poisson’s ratio) menyatakan perbandingan antara kontraksi lateral dan longitudinal/memanjang selama pengujian tarik. Angka poisson sisimbulkan μ ( nu), Sehingga: 14
2.7. Angka Poison ( Poison Rasio) adalah : μ=
•
•
Є.lateral Є aksial. aksial. ………………………………
(2.8)
Konstanta Konstanta ini dikenal dengan Rasio Poisson, dan dilambangkan dengan 1/m atau μ. Secara matematik: Regangan lateral = 1 . Є
= μ Є …………………..(2.9)
m •
Regangan linier = tegangan E
= P ……………………(2.10) A E.
15
Depormasi diameter, tebal dan lebar. : •
Perubahan lebar : δb = b × regangan lateral
•
Perubahan tebal : δ t = t × regangan lateral
•
Dimana regangan lateral :
•
Depormasi Δd = d. ЄRadial. = μ. Pd/A.E. ………………….(2.11)
= 1/m. Є
16
Tabel 2.1: Harga rasio Poisson dari berbagai material.
No
Material
Rasio poisson,
1
Baja
0,25 0,33
2
. Besi tuang
0,23 0,27
3
Tembaga
0,31 0,3442
4
Perunggu
0,32 0,42
5
Aluminium
0,31 0,34
6
Beton
0,08 0,18
7
Karet
0,45 0,50
μ
–
–
–
–
–
–
–
17
2.8. Modulus Elastisitas Geser atau modulus Regidity : ( G). G = σs Єs ………………………………………………..( 2.12)
•
•
atau . G = E 2(1 + V).
•
•
•
dimana V = konstanta kenyal bahan. Tabel 2.2: Harga modulus Rigiditas berbagai material. No
Maaterial
Modulus Rigidity (G).( Gpa) atau kN/mm2
1
Baja
80 – 80 – 100 100
2
Besi tempa
80 – 80 – 90 90
3
Besi cor
40 – 40 – 50 50
4
Tembaga emba ga
30 – 30 – 50 50
5
Kuningan
30 – 30 – 60 60
6
Timbal
10 18
2.9. Modulus Bulk (K). •
•
•
Jika sebuah benda mendapat tiga tegangan yang saling tegak lurus, dengan besaran yang sama, rasio tegangan langsung terhadap regangan regangan volumetrik disebut sebagai modulus bulk, dilambangkan dengan K. Secara matematik: K
•
•
•
=
Tegangan Langsung Regangan Volumetrik
=
σ (δ V/V) …………………..2.13.
Hubungan Bulk dan Modulus Young : K=
mE 3(m − 2)
19
Latihan 1 :
1. Sebuah Sebuah batan batang g baja baja deng dengan an panja panjang ng 1,5 1,5 m dan dan diame diamete terr 20 mm mendapat tarikan aksial sebesar 100 kN. Carilah perubahan panjang dan diameter batang, jika E =200 GPa dan 1/m = 0,32 2. Carilah perubahan panjang, lebar dan tebal dari sebuah batang baja yang panjangnya 4 m, lebar 30 mm dan tebal 20 mm, jika mendapat tarikan aksial sebesar120 kN pada arah panjangnya. Ambil E = 200 GPa dan rasio Poisson 0,3.
20
Note : •
1. Diket Diket : L = 1,5 m, m, d = 20 mm, P = 100 kN, E =200 =200 Gpa, 1/m = 0,32.
•
Dit : δ L dan δd?.
•
Jwd : δ L = P.L/AE.
•
•
•
δd = μ. P.d/A. P.d/A.E. E. 2. Diket Diket : L = 4 m, b = 30 mm , t = 20mm, 20mm, P = 120 kN , E = 200 GPa , μ = 0,3.
•
Dit = L,b dan t ?.
•
Jwb : δ L = P.L/AE.
•
Perubahan lebar : δb = b × regangan lateral
•
Perubahan tebal : δ t = t × regangan lateral
•
Dimana regangan lateral :
= 1/m. Є
21
Latihan 2 : Batang kaku AC, dengan berat batang diabaikan, yang ujungujungnya disangga dititik A dan dan C. pada titik D batang dihubungkan dengan leveling jack, yang selain berfungsi untuk mendukung beban dari batang CD, leveling jack juga dapat bergerak naik turun untuk menjaga batang AC tetap horizontal. –
Pada titik B terdapat beban P dan dengan adanya leveling jack beban P akan bekerja pada daerah 0 < a < 1 untuk menjaga batang AC tetap horizontal. Tentukan : a). Tegangan aksial pada batang 1 dan 2 ? b). perpindahan u ketika beban diberikan? Dimana P = 2 Kips, L 1= 10 ft, L2 = 5 ft, a = 0,4 , A1 = 2 in2 , A2 = 0,8 in in2 , dan E = 30 MPsi. 22
Dimana P = 2 Kips, L 1= 10 ft, L2 = 5 ft, a = 0,4 , A1 = 2 in2 , A2 = 0,8 in2 , dan E = 30 MPsi. Penyelesaian :
a. DBB pada batang AC dari gambar DBB tersebut, maka : ΣMc=0 ΣMA
--------F1L + PL(1-a) =0
= 0 ------F2L + Pal = 0
atau : F1 =-P(l-a) = -2 kips90,6) = -1,2 kips F2 =Pa = 2kips(0,4) = 0,8 kips. 23
Sehingga :
b.) Dari persamaan deformasi : uA = δ L1 = F1.L1/ A1.E. = [ (1,2) 12(10)]/ [2,(30.10 3)] = Ub = δ L2 = F2.L2/ A2.E.
= [( 0,8) .5(12)]/ [(0,8).(30.10 [(0,8).(30 .10 3)]. =
24
latihan 3 : •
Sebuah batang batang memiliki penampang penampang 200 mm2, dan E = 2200 Gpa. Diberi beban sepperti pada gambar dibawah ini, tentukan perubahan panjang yang terjadi : B
A
C
50 kN
30 kN L1 =300 mm
L2=500mm
25
Penyelesaian : •
Untuk penyelesaian diuraikan diuraikan beban pada batang seperti pada gambar: A
B P1.=20 kN
P1=20kN
C
A
P2= 30 kN P2=30 KN •
Maka Depormasi : δ L = ( P1L1 + P2 L2)
•
( mm)
A.E.
26
Latihan 4. Sebuah batang batang baja berpenampang berpenampang lingkaranlingkaranSepanjang ABCD. Dengan luas penampang – penampang – Berbeda seperti pada gambar. E = 200.103. N/mm2. Tentukan : Tegangan maximal dan perubahan – perubahan –
A
Dan deformasi ( L ) total?
80 mm ф B
Penyelesaian :
60 mm ф
1m
100kN 2m
Perhatikan gambar !. C
50kN
30 mm ф D
1m
25 kN.
27
Latihan 5. 2.10. Tegangan dan regangan pada statis tak tentu :
Sebuah batang baja dengan penampang segi empat dengan panjang sisi 20 mm ditumpu pada kedua ujungnya seperti seperti pada gambar. gambar. Jika pada titik B diberi beban 450 kN, tentukan tentukan reaksi dititik A dan C, dan deformasi batang AB.
28
Penyelesaian : note : R = Pembebanan. •
Jumlah gaya vertikal = o.
Deformasi : AB :
Deformasi batang BC :
Karena :
Maka :
29
Lanjutan :
Deformasi Deformasi batang AB :
30
Latihan 6. ( contoh 3.8. ) Batang AB ditumpu seperti pada gambar dibawah ini, dan diberi beban di salah satu ujungnya sebesar 20 kN, jika luas penampang batang baja : 200 mm 2 dan luas penampang batang tembaga : 400 mm , tentukan tegangan pada tiap batang. batang.
31
Penyelesaian : Jika Ps = beban pada batang baja ( steel road) Pc = beban pada batang tembaga.( copper) Momen pada titik A:
Pers m. (i): 32
Lanjutan : Sehingga :
Ps = 80/5,5 = 14,5 kN = 14,5 x 10. 3. N
33
Latihan 7. •
Sebuah batang Aluminium memiliki luas penampang 2500 mm 3 ditumpu kaku seperti pada gambar, jika E = 80 GPa, Tentukan tegangan pada tiap bagian dan jarak perubahan panjang masing-masing bagian.
34
Note :
Dst! δab = δbc +δ +δcd dst.!
SAMPAI JUMPA DI SESI 3.
35
SAMPAI SAMPAI JUMPA DI MODUL 3.!!
36
