UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERIA DPTO DE MATEMATICAS Prof:Amabiles nuñez
Lapso: 1-2014
Examen recuperativo Funciones Vectoriales
(1.1)
Obtencion del punto de interseccion
(1.2)
a) Ecuación vectorial del plano tangente a S en el punto Como Se s definida implicitamente por G, entonces: = Gradiente de la funcion G evaluada en(x0,y0,z0) en (x0,y0,z0)
Es un vector normal a S en el punto y representa la normal del planot angente en dicho punto. Entonces la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en ( seria
)
. (x-x0, y-y0, z-z0) = 0
Gradiente de la funcion G evaluada en (x0,y0,z0) VG
= (2x, (2x, 2y, -1) -1)
= (2, 0, -1)
Luego,
(2, 0, -1).( x-1, y, z-1) z-1) = 0
Para la ecuacion vectorial encontremos dos direcciones ortogonales a la normal del plano. N=(2, 0, -1)
Vector director 1: (
)
Vector director 2: (
) (1.3)
Ecuacion vectorial:
b) El ángulo entre este plano y el vector director a C.
Vector director de la recta tangente a C en el punto H define de manera implicita a una curva C en el espacio. De manera que las filas de la matriz diferencial de H representan los vectores normales de los planos que definen a la recta tangente a C en el punto. Matriz diferencial de H
JH =
J
=
Vectores normales de los planos que definen a la recta tangente
Vn1 = (1,0,0)
Vn2 = (-1, 0, 2)
Vector director de la recta tangente Vd = Vn1 x Vn2
Vd = (1,0,0) x (-1, 0, 2) = (0, -2, 0) Vd = (0, -2, 0)
Angulo
entre
N=
y
vd=
(1.4)
luego el angulo entre S y el vector Vd es 0. RESPUESTA:
ángulo entre el plano tangente y el vector director a C
= 0
u1 = (cos(
u2 = (cos(
), sen(
), sen(
Gradiente de la funcion f Vf
= (fx, fy)
Derivada direccional en la direccion 1
))
0
u1 = (
))
0
u2 = (
,
)
,
)
fu1 =
0
(fx, fy) 0 (
u1 = 4
)= 4
,
Derivada direccional en la direccion 2
fu2 =
0
(fx, fy) 0 (
u2 = -6
0
0
0
Transformacion afin aproximante A(x,y) = f(x0,y0) + fx (x-x0) + fy (y-y0) (x0,y0) = (2,1) Como f es continua
f(x0,y0) =
= 2
f(x0,y0) = 2
A(x,y) = 2 + 10 (x-2)
A( 2.05,0.98 ) = 2 + 10 (2.05-2) = 2 + 10(0.05)
(y-1)
(0.98-1) (-0.02)
,
) = -6
= 2+ 0.5 + 0.04
b) Variación de f fu = V f ·
= 2.5 + 0.04
f = fu.u
Obtencion de la direccion u
hx = hy = Vh
=(
,
, )
0
Derivada direccional
fu = V f
)
fu = (
fu =
Variación de f
J
)
=
h = g o g
Funcion compuesta G = f o h
Derivada direccional de la funcion compuesta G Gu = G 0 u Obtencion del Gradiente de la funcion compuesta G Teorema de la funcion Compuesta
JACOBIANO DE f(x,y)
JACOBIANO DE
J
Jg
=
Teorema de la funcion inversa
=
Jg
=
J
J
=
=
=
0
J
J
J
=
=
=
=
0
VG
=
Como la funcion G es real, La matriz diferencial de G (Jacobiano de G) tiene los mismos elementos que el gradiente de G. El primero en distribucion matricial (matriz fila) y el segundo en forma de vector.
Obtencion de la direccion u u es la dirección normal a la circunferencia definida por:
+ y2 - 4 x = 0
Vn = (2x-4, 2y)
V
= (2, 2
)
Direccion unitaria u:
u =
u=
2
1
y
0
1
2 x
3
Derivada direccional de la funcion compuesta G Gu = G 0 u
Gu =
0
=
(3.1)
Transformacion a coordenadas cilíndricas
a) Cilindro en coordenadas cilindricas
r=2
b) Frontera
x = 1
x = 1 =1
r = sec
=
dz =
=
0
z=
z=2
0
z=
(2,
(2
(2,
Transformacion a coordenadas esféricas
a.1) Esfera en coordenadas esfericas
a.2) Cilindro en coordenadas esfericas
,
a.3) Angulo
=
=
(5.1)
Volumen de la region
