Rechenübungen zu Festigkeitslehre Robert Werner WS 09/10
Rechenübung 1 zu Festigkeitslehre 0. Ein Einfü führ hren ende de Ber Berech echnu nung ngen en zur zur Fest Festig igkei keitsl tsleh ehre re •
Spannung un und Verzerrung - Mittl Mittlere ere Normalspannung Normalspannung in einem axial axial belasteten belasteten Stab - Mittl Mittlere ere Schubsp Schubspannung annung - Zuläss Zulässige ige Spannungen und Dimensionieru Dimensionierung ng von Bauteilen - Verfor Verformung mung und und Verzerrung Verzerrung
•
Mecha hani nissche Materialeigenschaften - Zug und und Druckver Druckversuch such (--Diagr -Diagramm amm von duktilen duktilen und spröden Materialien) Materialien) - Ho Hook oke‘s e‘sche chess Ge Gese setz tz:: = E (Eindimensionales Stoffgesetz) - Formänd Formänderungse erungsenergie( nergie(dichte) dichte) und Querkon Querkontrakti traktionszah onszahll - Schubsp Schubspannungsannungs-Gleitu Gleitungs-D ngs-Diagramm iagramm
= E Allgemein: ij = E ijkl kl
xy = G xy , G =
E 2(1 + )
Allgemein: ij = G ijkl kl
Elastische (spezifische) Formänderungsenergie: 1) Vor Einwirken der Belastung: ' U E1 =
1 1 2 2 P P = A A = P = A 2 2 2 E 2 E
U E1 =
V UE' dV
2) Nach Einwirken der Belastung: ' U E2
2 1 A' = A'O'A' = 2 2 E
U E2 =
V U E' dV
Plastische (spezifische) Formänderungsenergie: A'
U P'
=
( )d 0
A' ' − U E2
=
' U E 1
+
( )d − U E2'
UP =
V UP' dV
A
(Spezifische) Bruchenergie: B
U B'
=
( )d = 0
B
' U E 1
+
( )d
UB =
V UB' dV
A
Definition der Querkontraktionszahl : =−
d d / d 0 d L0 =− =− L L / L0 L d 0
Beispiel 0.1 Die Lampe der Masse m wird durch die beiden Stangen AB und BC gehalten wie in Abbildung (a) dargestellt. Unter der Annahme, dass AB einen Durchmesser d AB und BC einen Durchmesser d BC hat, bestimmen si e die mittlere Normalspannung in jeder Stange. 3 m Gegeben: = 60°, tan( ) = , g = 9.81 2 , m = 80 kg, dAB = 10 mm, d BC = 8 mm. 4 s
Beispiel 0.2 Das Bauteil AC , dargestellt in Abbildung (a) ist einer Vertikalkraft F ausgesetzt. Bestimmen sie die Position x dieser Kraft so, dass die mittlere Druckspannung an dem glatten Auflager C gleich der mitt leren Zugspannung im Zuganker AB wird. Der Zuganker hat eine Querschnittsfläche AAB; die Kontaktfläche bei C ist AC. Gegeben: l
=
200 mm, F
=3
kN, AC
= 650
mm 2 , AAB
= 400
mm 2.
Beispiel 0.3 Die geneigte Strebe in Abbildung (a) ist einer Druckkraft F ausgesetzt. Bestimmen sie die mittlere Druckspannung entlang der glatten durch AB und BC definierten Kontaktfläche sowie die mittlere Schubspa nnung entlang der durch EDB definierten Horizontalfläche. 4 Gegeben: a = 25 mm, b = 40 mm, c = 75 mm, d = 50 mm, F = 3000 N, tan( ) = . 3
Beispiel 0.4 Der starre Träger AB, Abbildung (a), ist durch eine Stahlstange AC mit einem Durchmesser dS und einen Aluminiumblock mit einer Querschnittsfläche AB gelagert. Die Gelenkbolzen bei A und C mit dem Durchmesser d G sind einer einschnittigen Scherung ausgesetzt. Bestimmen sie die größte Last P , die auf den Träger wirken kann, wenn die Versagensspannung für Stahl (St ) vers und Aluminium ( Al ) vers betragen , sowie die Versagens-Schubspannung für jeden Gelenkbolzen vers ist. Verwenden sie den Sicherheitsfaktor S = 2. Gegeben: a = 0.75 m, c = 2 m, dS = 20 mm, AB = 1800 mm 2 , dG (St ) vers = 680 MPa, ( Al ) vers = 70 MPa, vers = 900 MPa.
= 18
mm,
Beispiel 0.5 Der Sockel trägt eine axiale Last P . Bestimmen sie für eine homogene Materialdichte dass die mittlere Normalspannung den Radius r = r ( z ) als eine Funktion von z derart, im Sockel konstant bleibt. Der Querschnitt ist kreisförmig. Bestimmen sie weiters den Wert dieser konstanten mittleren Normalspannung.
Beispiel 0.6 Der in der Abbildung dargestellte dünne Stab ist einer Temperaturerhöhung entlang 1/2
z seiner Achse ausgesetzt, die eine Dehnung im Stab z = 0 hervorruft. l Bestimmen sie die Verschiebung des Endes B des Stabes aufgrund der Temperaturerhöhung und die mittlere Normaldehnung m im Stab.
Gegeben: l = 200 mm, 0
= 10 ⋅ 10
−3
.
Beispiel 0.7 Die in Abbildung (a) dargestellte Platte wird durch starre horizontale Führungen oben ( AD) und unten ( BC ) gehalten. Bestimmen sie die mittlere Dehnung entlang der Diagonalen AC und die Gleitung bei E in Bezug zu den x −, y − Achsen, wenn die rechte Seite CD gleichmäßig horizontal um b verschoben wird. Gegeben: a = 150 mm, b = 2 mm, = 90°.
Beispiel 0.8
2
x Ein dünner Draht schmiegt sich ungedehnt an eine Oberfläche der Form y ( x ) = y0 an. x0 In diesem Ausgangszustand befindet sich das Ende B bei x0 und y0 . Bestimmen sie die x Längenänderung des Drahtes, wenn der Draht einer Dehnung ( x ) = 0 unterworfen wird. x0 Ermitteln sie weiters die ursprüngliche Drahtlänge s0 , die Drahtlänge nach der Verformung s0 ' und die mittlere Dehnung m . Gegeben: x0 = 10 mm, y0 = 50 mm, 0 = 0.05.
Beispiel 0.9 Eine Aluminiumwelle, dargestellt in Abbildung (a), hat einen kreisförmigen Querschnitt und ist einer axialen Last P ausgesetzt. Bestimmen sie näherungsweise die Verlängerung der Welle unter Verwendung des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes in Abbildung (b), wenn die Last aufgebracht wird. Wie groß ist die bleibende Dehnung der Welle nach der Entlastung ? Bestimmen sie auch die spezifische Formänderungsenergie vor und nach Einwirken der Belastung. Gegeben: P = 10 kN, EAl = 70 GPa, a = 600 mm, b = 400 mm, d1 = 20 mm, d 2 = 15 mm.
Beispiel 0.10 Ein Probekörper aus Aluminium hat einen Durchmesser d0 und eine Messlänge L0. Bestimmen sie den Elastizitätsmodul, wenn eine Kraft P die Messlänge um vergrößert. Bestimmen sie weiterhin, um welchen Be trag die Kraft den Durchmesser der Probe verkleinert. Gegeben: P = 165 kN, GAl = 26 GPa, d 0 = 25 mm, L0 = 250 mm, = 1.20 mm, F = 440 MPa.
Beispiel 0.11 Die beiden Stäbe eines Tragwerkes bestehen aus Polystyrol und haben ein − − Diagramm, wie in der unteren Abbildung dargestellt.Bestimmen sie die Querschnittsfläche für jeden Stab, so dass die Stäbe gleichzeitig brechen, wenn die Last P einwirkt. Nehmen sie an, dass kein Knicken auftritt. Gegeben: P = 15 kN.
Beispiel 0.12 Durch Verbinden einer gelochten Gummischeibe (Schubmodul G) mit einem starr fixierten Ring und einem mittigen Stift wird eine Scherfeder realisiert, so dass sich nach unten stehender Abbildung eine vom Laufradius r abhängige Scherung ( r) einstellt, wenn eine Axialkraft P an dem Stift angreift. Berechnen Sie unter Verwendung der Näherung tan(( r )) ≈ ( r ) die Durchbiegung y = des Stiftes.
Rechenübungen 2+3 zu Festigkeitslehre 1. Ebener und räumlicher Spannungszustand • • •
Spannungstensor zur Beschreibung von Spannungszuständen Hauptachsentransformation (Eigenwertproblem) Mohr`scher Spannungskreis
2. Ebener und räumlicher Verzerrungszustand • • • • •
Verzerrungstensor zur Beschreibung von Verzerrungszuständen Hauptachsentransformation (Eigenwertproblem) Mohr`scher Verzerrungskreis Verzerrungs-Verschiebungs-Zusammenhang (Verträglichkeitsbedingungen) Berechnungen zur Dehnungsmessung mittels DMS
Beispiel 1.1 In einem x,y,z -Koordinatensystem herrschen an einem Punkt eines Körpers Spannungen, die durch folgende Spannungsmatrix gegeben sind: 2 2 6 2 − 3 MPa. S = 2 2 4 6 − 3 0 Bestimmen sie die Hauptspannungen und di e Hauptspannungsrichtungen im x,y ,z -System.
Beispiel 1.2 Das Volumenelement in Abbildung (a) ist aus der Wand eines Druckbehälters entnommen. Seine Oberseite entspricht der Oberfläche auf der Innenseite des Kessels. An einem Punkt dieser Fläche hat man die Sp annungen x , y , z , xy , xz und yz gemessen. Wie groß sind am selben Punkt die Normalspannungen n und die resultierende Schubspannung n in dem schrägen Schnitt ABCD senkrecht auf der x, y − Ebene entlang der Winkelhalbierenden dieser Ebene ? Was für ein Ergebnis erhält man für den Schnitt EFGH ? Gegeben: x = 40 MPa, y = 100 MPa, z = −10 MPa (das ist der Innendruck des Behälters), 20 MPa, xz
xy = −
= yz =
0 MPa.
Beispiel 1.3 An einem Punkt eines Körpers ist ein ebener Spannungszustand für das Element in Abbildung (a) vorgegeben. Charakterisieren sie den Spannungszustand durch die Hauptspannungen sowie durch die Hauptschubspannung und die zugehörige mittlere Normalspannung.
Beispiel 1.4 Der Ebene Spannungszustand eines Körperpunktes ist durch das Element in Abbildung (a) gegeben. Stellen sie den Spannungszustand für ein Element dar, das um 30° entgegen dem Uhrzeigersinn aus der Ausgangsposition gedreht ist. Gegeben: x = −8 MPa, y = 12 MPa, xy = −6 MPa.
Beispiel 1.5 Am Punkt auf der Oberfläche des zylindrischen Druckgefäßes in Abbildung (a) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Bestimmen sie an diesem Punkt die insgesamt größte Schubspannung (aus dem dazugehörige n räumlichen Spannungszustand) und zum Vergleich die maximale Schubspannung des ebenen Spannungszustandes. Gegeben: x = 2 = 16 MPa, y = 1 = 32 MPa.
Beispiel 2.1 An einem Punkt liegt ein räumlicher Verzerrungszustand vor, der durch folgende Verzerrungen charakterisiert ist: x =
400 ⋅ 10−6 ,
xy =
200 ⋅ 10−6 ,
y = 100 ⋅ 10
−6
,
xz = −200 ⋅ 10
−6
z = −200 ⋅ 10 −6
,
yz =
,
0.
Bestimmen sie die Hauptdehnungen und die Einheitsvektoren ihrer Richtungen. Wie groß ist die größtmögliche Gleitung im Material ? Zeichnen sie die zugehörigen Mohr`schen Kreise.
Beispiel 2.2 An einem Körperpunkt liegt für das differenzielle Element der ebene Verzerrungszustand mit den Dehnungen x , y und der Gleitung xy vor. Dieser verursacht eine Verzerrung des Elements, wie sie in Abbildung (a) zu sehen ist. Bestimmen sie die Hauptdehnungen und die Hauptgleitung sowie die zugehörigen Orientierungen des Elements. Gegeben: x
= −350 ⋅ 10
−6
,
y =
200 ⋅ 10 −6 ,
xy =
80 ⋅ 10−6.
Beispiel 2.3 An einem Punkt wird der ebene Verzerrungszustand mit den Dehnungen x ,
y
und der
Gleitung xy charakterisiert. Bestimmen sie die Hauptdehnungen und die Hauptgleitung sowie die zugehörigen Orientierungen des Elements mit Hilfe des Mohr`schen Verzerrungskreises. Gegeben: x
=
250 ⋅ 10−6 ,
−6
y = −150 ⋅ 10
,
−6
xy = 120 ⋅ 10
.
Beispiel 2.4 An einem Punkt wird der ebene Verzerrungszustand mit den Dehnungen x,
y
und der
Gleitung xy charakterisiert. Bestimmen sie die Dehnungen und die Gleitung an einem Element, das um 20° im Uhrzeigersin n aus der angegebenen Position gedreht ist rechnerisch und veranschaulichen sie den Sachverhalt mittels des Mohr`schen Verzerrungskreises. Gegeben: x
= −300 ⋅ 10
−6
,
y = −100 ⋅ 10
−6
,
xy = 100 ⋅10
−6
.
Beispiel 2.5 Betrachtet wird ein Körper, dessen Verschiebungen über folgendes Verschiebungsfeld mit den bekannten Konstanten a bis h gegeben sind: u ( x, y, z ) = ax 2 + bx 2 y 2 + cy 4 , v( x, y, z ) = dz 2 + ex 2 z 2 + fz 4 , w( x, y , z ) = gy 2 + hx 2 z 2 .
Bestimmen sie die Dehnungen und die Gleitungen an einem beliebigen Punkt P (x , y , z ). Überprüfen sie, ob die Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.
Beispiel 2.6 Am Punkt A der Halteklammer, Abbildung (a), wird der Verzerrungszustand mit Hilfe der Dehnungsrosette, Abbildung (b), gemessen. Infolge der Belastungen ergibt die Messwertaufnahme der Messstreifen die Werte a , b und c . Bestimmen sie an diesem Punkt die Hauptdehnungen der Messebene, sowie ihre Richtungen. Gegeben: a
=
60 ⋅ 10−6 ,
−6
b = 135 ⋅ 10
,
c =
264 ⋅ 10−6.
Rechenübungen 4+5 zu Festigkeitslehre 3. Stoffgesetz •
Zug/Druck Beanspruchung – Ebene Probleme - Das Überlagerungsprinzip und das Saint-Venantsches Prinzip (Anwendung) - Elastische Verformung eines axial belasteten Bauteils - Statisch unbestimmt gelagerte, axial belastete Bauteile - Thermische Spannungen
•
Spannungs-Verzerrungs-Zusammenhang im Raum - Allgemeines Hooke‘sches Gesetz mit Temperaturterm (Wärmedehnung) - Zusammenhang zwischen E , und G - Volumendilatation e und Kompressionsmodul K (hydrostat. Spannungszust.) - Festigkeitshypothesen – Vergleichsspannungskriterien am Beispiel des Kessels unter Innendruck (Kesselformeln)
Beispiel 3.1 Die drei Stahlstäbe, Abbildung (a), sind über Gelenke mit einem starren Träger verbunden. Bestimmen sie die Reaktionskräfte in jedem Stab, wenn an einem Träger eine Last P angreift. Die Stäbe AB und EF haben jeweils eine Querschnittsfläche A1, der Stab CD hat eine Querschnittsfläche A2. Gegeben: P = 15 kN, l
=
0.5 m, a = 0.2 m, A1 = 25 mm2 , A2
= 15 mm
2
.
Beispiel 3.2 Für den homogenen Stab konstanter Dicke und linear veränderlicher Breite ernittle man bei Berücksichtigung des Eigengewichtes den Spannungsverlauf ( x ). Ferner berechne man Ort und Betrag der kleinsten Spannung.
Beispiel 3.3 Ein homogener Pyramidenstumpf (Elastizitätsmodul E ) mit quadratischem Grundriss wird auf seiner oberen Querschnittsfläche durch die Spannung 0 belastet. Wie groß ist die Verschiebung eines Querschnittes an der Stelle x ?
Beispiel 3.4 Der Querschnitt eines massiven Hubschrauberflügels (Dichte , Elastizitätsmodul E ) x l
−
genüge der Gleichung A( x ) = A0e . Man bestimme den Spannungsverlauf ( x ), wenn sich der Flügel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht. Wie groß ist die Verlängerung l unter der Annahme a = 0 ?
Beispiel 3.5 Der starre Balken, Abbildung (a), ist an den oberen Enden der drei Pfosten aus Stahl und Aluminium befestigt. Die Pfosten haben alle die Länge l , wenn der Balken nicht belastet wird und die Temperatur T 1 beträgt. Bestimmen sie die Kraft in jedem Pfosten, wenn auf den Balken eine gleichförmige Streckenlast q wirkt und die Temperatur auf T 2 steigt. Gegeben: q = 150 kN/m, l = 250 mm, dSt = 40 mm, dAl = 60 mm, s = 300 mm, T1 = 20 °C, T 2 = 80 °C.
Beispiel 3.6 Ein ursprünglich spannungslos eingespannter Stab (Querschnitt A) erfährt eine über x linear veränderliche Temperaturerhöhung. Gesucht sind der Spannungs- und der Verschiebungsverlauf.
Beispiel 3.7
Das gegebene Satbsystem (Stabdreischlag) wird um T erwärmt. Wie groß sind die Stabkräfte ?
Beispiel 3.8 Der rechteckige Block, dargestellt in der unteren Abbildung, ist einem gleichmäßigen Druck p ausgesetzt (hydrostatische Belastung). Bestimmen sie die Volumendilatation e und die Längenänderung jeder Seite. Gegeben: p = 20 kPa, E = 600 kPa, = 0.45, a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.
Beispiel 3.9 Der Würfel mit der Seitenlänge a , dem Elastizitätsmodul E , der Querkontraktionszahl und dem Wärmeausdehnungskoeffizienten T , dargestellt in der unteren Abbildung, wird ohne Vorspannung und ohne Spiel reibungsfrei in einen seitlich offenen starren Kasten eingeführt. Anschließend presst ihn der Stempel mit der Kraft F zusammen. Man bestimme die Spannungen und die Dehnungen sowie die Volumenänderung des Würfels, wenn außerdem eine gleichmäßige Temperaturerhöhung T vorgenommen wird, so dass insgesamt ein hydrostatischer Spannungszustand entsteht. Gegeben: F
= 100
kN, E = 200 GPa, = 0.3, a = 4 cm, T
−6
= 14 ⋅ 10
/°C.
Beispiel 3.10 Ein dünnwandig dünnwandiger er Zylinder aus Stahl wird durch den Innendruck pi belastet. Wie groß darf pi höchstens sein, damit die Vergleichsspannu Vergleichsspannung ng V (nach Tresca V,T , nach Huber-v.Mises-Henck Huber-v.Mises-Henckyy V,HMH und nach Rankine V,R ) die maximal zulässige Spannung zul nicht überschreitet. Berechnen sie weiters für jeden der drei Versa Ve rsagen genshy shypot pothe hesen sen die die Ände Änderun rungg vom vom Radiu Radiuss ( r ) und die die Ände Änderun rungg der der Länge Länge (l ) des Zy Zylinders. Gegeben:: E = 210 GPa, = 0.3, zul = 150 MPa, l = 5 m, r = 1 m, t = 1 cm. Gegeben
Rechenübungen 6+7+8 zu Festigkeitslehre 4. Biegung - Verformung •
Biegung - Wieder Wiederholung: holung: Querkr Querkraftaft- und Momentenli Momentenlinie nie aus der Statik - Biegeve Biegeverzerrun rzerrungg gerader gerader Balken Balken - Bie Bieges gespann pannung ung – Schi Schiefe efe Bie Biegung gung - Ver Verbund bundträ träger ger
•
Biegung - Verformung - Biegeli Biegeliniendi niendifferen fferentialgl tialgleichung eichung – die elastische Linie - Neigung Neigungswinke swinkell und Durchbiegung durch Integration Integration - Statis Statisch ch unbestimmt unbestimmt gelagerte gelagerte Balken Balken und Wellen Wellen – Integra Integrations tionsmethode methode - Energie Energiemethode methoden: n: Anwendun Anwendungg der der Sätze Sätze von Castigl Castigliano iano und Menabrea auf Fachwerke, Biegebalken und statisch unbestimmte Systeme
3
Beispiel 4.1 Ein Balken besitzt einen rechteckigen Querschnitt und unterliegt der in Abbildung (a) dargestellten Spannungsverteilung. Bestimmen sie das infolge der Spannungsverteilung verursachte innere Moment am Sc hnitt (i) durch Anwendung der Biegespannungsformel, (ii) durch Ermittlung der Resultierenden der Spannungsverteilung über Gleichgewichts betrachtungen. betrachtun gen. Gegeben: max = 20 MPa, c = 60 mm, a = 40 mm.
Beispiel 4.2 Ein Kragträger mit dünnwandigem Rechteckquerschnitt wird durch die Momente undd Mz = 2 Fl be bel steet. Ma Mann erm ermit ittl tlee die die Nor orm malsp span annu nung ngsv sveert rteeil ilun ungg übe über r M y = Fl un last den Quers Querschnitt chnitt für b = 2h. Geben sie weite weiters rs die Gle Gleiichung der neutralen Faser an.
Beispiel 4.3 Ein Kra Ein Kragt gträ räge gerr mit mit dün dünnw nwan andi dige gem m Pro Profi fill (t a) ist du durc rchh ein einee Gle Gleic ichs hstr trec ecke kenl nlas astt q0 und eine Einz Einzelk elkraft raft F = 2q0l bel belaste astet. t. Gesu Gesucht cht ist die Norm Normals alspann pannungsv ungsverte erteilun ilungg im Einspannquerschnitt.
=y2
=z2
Beispiel 4.4 Ein Verbundträger besteht aus Holz und ist mit einem Stahlgurt an der Unterseite verstärkt. Er hat den in Abbildung (a) dargestellten Querschnitt. Bestimmen sie die Normalspannung an den Punkten B und C , wenn an der Schnittfläche ein Schnittmoment M auftritt. GPa. Gegeben: M = 2 kNm, h1 = 150 mm, b = 150 mm, h2 = 20 mm, EHolz = 12 GPa, ESt = 200
Methode der Querschnittstransformation bei Verbundtr ägern Verbundträger bestehen aus unterschiedlichen Materialien, um eine effiziente Lastaufnahme zu ermöglichen. Bei der Anwendung der Biegespannungsformel muss das Material homogen sein. Deshalb wird der ursprüngliche Querschnitt, wie er für unterschiedliche Materialien vorliegt, in seiner Form transformiert, dass er aus einheitlichem Material aufge baut angesehen werden kann. Danach kann die Formel zur Berechnung der Biegespannung weiterhin benutzt werden. Der Transformationsfaktor n =
E 1 ist das Verhältnis der Elastizitätsmodulen der unterschiedlichen E 2
Materialien, aus denen der Träger besteht. Im Sinne eines Multiplikationsfaktors überträgt er die Querschnittsabmessungen des Verbundträgers in einen Träger, der aus einem einzigen Material besteht, so dass dieser die selbe Festigkeit wie der Verbundträger besitzt. Steifes Material wird somit durch einen höheren Anteil an weicherem Material ersetzt und umgekehrt. Nachdem die Spannung in dem transformierten Bereich berechnet wurde, muss diese zur Spannungsermittlung im tatsächlichen Träger mit dem Transformationsf ak tor n multipliziert wer den.
Mathematische Behandlung der Querschnittstransformation bei Verbundträgern Transformation des steiferen Materials 1 in das weichere Material 2 ergibt für n : Differentielles Kräftegleichgewicht: siehe Ab b. (e) dN = ( x, y, z )dA = ( E1 ) dzdy = dN ' = '( x, y, z) dA ' = ( E2 ) ndzd y n =
E 1 , b2 = nb E 2
Transformation des weicheren Materials 2 in das steifere Mater ial 1 ergibt für n ' : Differentielles Kräftegleichgewicht: siehe Abb. (f) dN = ( x, y, z )dA = ( E2 ) dzdy = dN ' = '( x, y, z )dA ' = ( E1 ) n ' dzd y n ' =
E 2 , b1 = n ' b E 1
Nachdem der Balken in einen Balken transformiert wurde, der nur aus einem Material besteht, erhält die Normalspannungsverteilung über dem transformierten Querschnitt einen linearen Verlauf, wie in Abb. (g) und in Abb. (h) dargestellt. Demzufolge können nun der Schwerpunkt mit der zugehörigen z -Achse und das achsiale Flächenträgheitsmoment für die transformierte Fläche ermittelt und die Biegespannungsf ormel in üblicher Weise angewendet werden, um die Spannung an jedem Punkt des Balkenquerschnittes zu ber echnen. Man beachte, dass die Spannung im transformierten Balkenquerschnitt gleich der Spannung im gleichen Material des tatsächlichen Balkens ist. Für das transformierte Material muss allerdings die berechnete Spannung auf dem transformierten Bereich mit dem Transformationsfaktor n (oder n ') mult ipliziert werden, denn die Fläche des transformierten Materialbereichs dA' = ndzdy ist die n − fache Fläche des tatsächlichen . Das bedeutet: Materials dA = dzdy dN = ( x , y , z )dA = '( x , y , z ) dA ' ⇔
( x , y, z ) dzdy = '( x, y , z )nd zd y
( x , y, z ) = n '( x , y , z ) bzw ( x , y, z ) = n ' '( x , y, z )
Beispiel 4.5 Für den beiderseits gelenkig gelagerten Balken ermittle man: a) Ort und Betrag des größten Momentes, b) Ort und Betrag der größten Durchbiegung, c) Neigung der Biegelinie an den Lagern.
Beispiel 4.6 Für den beiderseits eingespannten Balken ermittle man die Momentenlinie.
Beispiel 4.7 Gesucht ist die Durchbiegung des links elastisch gestützten, rechts eingespannten Balkens unter einer Belastung in Form einer quadratischen Parabel.
Beispiel 4.8 In einem Kragträger der konstanten Breite b unter einer Last F soll an jeder Stelle x die gleiche Randspannung 0 auftreten. a) Welcher Funktion h( x ) muss die Höhe des Rechteckquerschnittes entsprechen ? b) Wie lautet die Biegelinie ?
Beispiel 4.9 Bestimmen sie die vertikale Verschiebung des Punktes C des in Abbildung (a) dargestellten Stahlträgers. Gegeben: P = 5 kN, qC = 4 kN/m, M B = 18 kNm, l1 = 6 m, l 2 = 4 m, E = 200 GPa, J y = 125 ⋅ 10−6 m4 .
Spezifische Verzerrungsenergie eines elastischen Körpers bei Referenztemperatur T R = 0 : ∂U
1 1 1 E ijkl kl ij = ij ij = ( x x + y y + z y + xy xy + xz xz + yz yz ) = ∂V 2 2 2 1 2 2 2 = G x + y + z + e 2 + ( 2xy + 2xz + 2yz ) = U ' ( i j ) . e = x + y + z 1 − 2 2
U'=
=
Verzerrungsenergie eines elastischen Körpers bei Referenztemperatur T R = 0 : U = U 'd V . V
Spezifische Ergänzungsenergie eines elastischen Körpers bei Referenztemperatur T R = 0 : *
∂U
1 1 1 E ijkl kl ij = ij ij = ( x x + y y + z y + xy xy + xz xz + yz yz ) = 2 2 2 ∂V 2 x + y + z 1 9 p 2 2 2 *' p = − 2 ( x y + y z + x z ) + 2 ( xy + xz + yz ) = U ( ij ) . = 4G 1 + 3 *'
U =
=
Verzerrungsenergie eines elastischen Körpers bei Referenztemperatur T R = 0 : U * = U *'dV . V
(Spezifische) thermoelastische Ergänzungsenergie eines elastischen Körpers bei Temperatur T ≠ 0 : *' = U TE
1 9 p 2 2 2 2 − 2 ( x y + y z + x z ) + 2 ( xy + xz + yz ) + 3 TTp , 4G 1 +
*' U T* E = U TE dV . V
* Thermoelastische Ergänzungsenergie U * = U TE eines elastischen Kontinuums, das nur durch eine
Normalspannung x beansprucht wird: 1 + 9 p2 U = d V + 3 T TpdV = 2 E V 1 + V
*
L
N 2 M y2 U = + 2 E A 2 EJ y 0 *
A
L
2 x 0 A 2 E + x T T
dAdx . L
2 2 MT 2 M y MT M z 2 E T 2 dx + Tm + − T dA dx . + + N T Tm + 2 EJ z EJ y 2 0 E T A
mit MT = E T TzdA , Tm =
1 TdA , J y = A A
A z 2dA , J z = A y 2d A .
Die Prinzipien von Castigliano und Menabrea für den durch N( x), M y( x), M z( x), MT ( x ) und Qz ( x ) beanspru chten Stab Für die Summe aus der Formänderungsenergie U und der Ergänzungsenergie U * gilt: V
i P i
) = U ( i )
und U * = U * ( ij
U + U * = x x dV = U = U ( ij
ui =
i P i ⋅ ui ⋅ cos ( i ) = i P i ⋅ i . ) = U * ( P i ) .
Für das totale Differential der obigen Beziehung folgt damit: dU + dU * =
∂U
*
∂U
i ∂i di + i ∂ P i dP i = i P i d i + i i dP i
Koeffizientenvergleich lie fert die Sätze 1 und 2 von Castigliano: ∂U
*
∂ P i
∂U
= i und
∂i
= P i
Anwendung des 1. Satzes von Castigliano auf Biegebalken und Fachwerke bestehend aus i Elementen: (Belastung durch: N i ( x ), M iy ( x ), M iz ( x ), M i T ( x ), Qiz ( x ) und T = 0 ) m it fiS =
Li
Li
∂ M dx
Li
i N i ∂ Pki Ai Ei i + Miy ∂P kiy Ai Jiiy + Miz 0
k = wk = lim
∂ N
dx
dxi ∂Pk Ai Jiz
∂M iz
Ai J iy2
S iy2
A t i 2
Li
+
0
dAi
∂MiT ∂ Pk
MiT
dx i G J i iT
+
Li
∂Qiz d x i G A i i
0 fiS Qiz ∂P k
0 0 0 Li Li Li Li Li ∂ M iy dxi ∂M iz dxi ∂Qiz dx i ∂ N i dxi + ∂MiT d xi + + + k = wk = lim N i M M M f Q iy iz iT iS iz ∂P A J Pk → P 0 ∂ Pk Ai Ei ∂Pk Ai Jiz ∂Pk Gi JiT ∂Pk Gi Ai k i iy i 0 0 0 0 0 Li Li Li Li Li ∂ N i dxi + M ∂ M iy dxi + M ∂M iz dxi + M ∂MiT d xi + f Q ∂Qiz dx i k = w k ' = lim N i 0 iy ∂Mk Ai Jiy 0 iz ∂Mk Ai Jiz 0 iT ∂Mk Gi JiT 0 iS iz ∂M k Gi Ai M k →0 ∂ M k Ai Ei i 0 Li Li Li Li Li ∂ N i dx i + M ∂ M iy d xi + M ∂ M iz dxi + M ∂MiT d xi + f Q ∂Qiz d x i k = wk ' = lim N i iy iz ∂Mk Ai Jiz 0 iT ∂Mk Gi J iT 0 iS iz ∂ Mk Gi Ai M k → M 0 ∂ M k Ai E i ∂ M k Ai Jiy 0 i 0 0 P k →
Anwendung des Satzes von Menabrea auf statisch unbestimmte Systeme: *
Bi sei eine statisch unbestimmte Kraft (Lagerreaktion), so folgt aus Castigliano 1: Bi =
∂U
∂ Bi
=0
Beispiel 4.10 Bestimmen sie den Neigungswinkel des Balkens bei Punkt B , Abbildung (a). Die Biegesteifigkeit EJ y ist konstant.
Beispiel 4.11 Der Träger in Abbildung (a) wird durch eine dreieckförmige Streckenlast q (x ) belastet. Er ist an einem Ende starr eingespannt und am anderen Ende durch ein unverschiebbares Gelenklager auf der Unterlage befestigt. Der Träger hat die Dehnsteifigkeit EA und die Biegefestigkeit EJ y , die beide konstant sind. Berechnen sie alle Lagerreaktionen des zweifach statisch unbestimmt gelagerten Trägers.
Beispiel 4.12 Bestimmen sie die vertikale Verschiebung des Knotens C des in Abbildung (a) dargestellten Stahlfachwerkes. Die Querschnittsfläche ist für jeden Fachwerkstab mit A gegeben. Gegeben: P1 = 100 kN, A = 400 mm2 , E = 200 GPa, l = 2 m.
Lösung zu Beispiel 4.12: Stützelement
Ni
AB
− P1
∂ P
0 0
2P1
BC AC
∂ Ni
−
CD
2 ( P1 + P ) 2 P1 + P
− P1
2
−
1
N i ( P = 0)
2P1 − 2P1 2 P1
Erster Satz von Castigliano: ∂ Ni Li = 2 ( 2 + 1 ) LP 1 i ∂ P E A EA Zahlenauswertung ergibt: wCV = 0.01207 m = 12.07 mm. wCV =
N i
∂N i L i ∂ P 2L 0 2L 0 2L 2 2LP 1 L 2 LP1 = 2 ( 2 + 1 ) LP 1 Li
Ni
Rechenübung 9 zu Festigkeitslehre 5.
Querkraftschub
• Schubspannungsverteilung für typische Balkenprofile • Schubflussverteilung in dünnwandigen Trägern • Schubmittelpunkt
Beispiel 5.1 Ein Breitflanschprofil aus Stahl hat die in Abbildung (a) dargestellten Abmessungen. (a) Bestimmen sie den über die Querschnittsfläche des Profils wirkenden Schubflussverlauf. (b) Zeichnen sie die über der Querschnittsfläche des Profils wirkende Schubspannungsverteilung. (c) Bestimmen sie die Querkraftanteile, welche durch den Steg bzw. die beiden Flansche aufgenommen werden. Gegeben: Q = 80 kN, t = 15 mm, s = 20 mm, b = 300 mm, h = 100 mm
0.91
0.91
Beispiel 5.2 Der in Abbildung (a) dargestellte Balken besteht aus zwei zusammengeleimten Brettern. (a) Bestimmen sie den über die Querschnittsfläche des Profils wirkenden Schubflussverlauf. (b) Bestimmen sie die über der Querschnittsfläche des Profils wirkende Schubspannungsverteilung. (c) Bestimmen sie die maximale Schubspannung in der Verleimung. Die Auflager bei B und C üben nur vertikale Reaktionskräfte auf den Balken aus. Gegeben: q0 = 6.5 kN/m, l = 4 m, s = 30 mm, b = 150 mm, h = 150 mm
Beispiel 5.3 Im Querschnitt des dünnwandigen Kastenträgers in Abbildung (a) wirkt eine Querkraft Q. Bestimmen sie die Änderung des Schubflusses über dem Querschnitt. Gegeben: Q = 10 kN, t = 1 cm, b = 2 cm, h = 3 cm
1/2
80.84 1/2
Beispiel 5.4 Bestimmen sie die Lage des Schubmittelpunktes yM für den Querschnitt des dünnwandigen U-Profils mit den in Abbildung (a) dargestellten Abmessungen: (a) Mithilfe einer Momentenbilanz 2 2 (b) Durch Anwendung der Formel M = z ( s)t ( s )a ( s )ds = z (si )t (si )a (si )dsi J y
J y
i si
Beispiel 5.5 Bestimmen sie die Lage des Schubmittelpunktes yM für den Querschnitt des dünnwandigen geschlossenen D-Profils mit den in der unteren Abbildung dargestellten Abmessungen: (a) Mithilfe einer Momentenbilanz 2 2 AT 0 (b) Durch Anwendung der Formel yM = z (s )t (s )a (s )ds + , J y
Qz
Qz z ( s) t ( s ) (s )ds Integrationskonstante (Startfluss) T 0 = − , ( L) J y
s
(s ) =
ds t (s ) 0
Rechenübung 10 zu Festigkeitslehre 6. Torsion • • • • • •
Torsionsverformung einer Welle mit Kreisquerschnitt Torsionsschubspannung Verdrehwinkel Statisch unbestimmt gelagerte torsionsbeanspruchte Bauteile Torsion von Stäben mit nicht kreisförmigem Querschnitt Dünnwandige Rohre mit geschlossenem Querschnitt
Beispiel 6.1 Wie groß sind das zulässige Torsionsmoment und die zulässige Verdrehung im Fall des geschlossenen bzw. des bei A geschlitzten Profils ? Gegeben: a = 20 cm, t = 2 mm, zul = 40 MPa, l = 5 m, G = 0.8⋅ 105 MPa.
Beispiel 6.2 Für den durch ein Kräftepaar belasteten Stab sind zwei verschiedene Profile mit gleichen Wandstärken (t a ) aus gleichem Material (Schubmodul G ) vorgesehen. Wie groß sind in beiden Fällen die zulässigen Kräfte und die zulässigen Verdrehungen, damit die Schubspannung zul nicht überschritten wird ?
Beispiel 6.3
Ein konischer Stab mit linear veränderlichem Radius wird durch Torsionsmoment M T belastet. Zu bestimmen sind die Verdrehung und die Randspannung als Funktionen von x.
Beispiel 6.4 Eine beidseitig eingespannte Welle wird auf dem Teil b ihrer Länge l durch das konstante Moment m0 pro Längeneinheit belastet. Zu bestimmen sind die Verläufe von Verdrehung und Torsionsmoment.
Beispiel 6.5 Ein Stab mit dem dargestellten Profil wird durch das Torsionsmoment M T beansprucht. a.) Wie groß sind die Schubspannungen in den einzelnen Bereichen ? b.) Wie groß ist das zulässige Torsionsmoment, damit die zulässige Schubspannung zul nicht überschritten wird ?
Beispiel 6.6 Ein halbkreisförmiger, eingespannter Träger ist in A durch die Kraft F belastet. Wie groß ist die Absenkung des Kraftangriffspunktes ?
Rechenübung 11 zu Festigkeitslehre 7. Stabilität – Knicken von Druckstäben • • • • •
Kritische Belastung Gelenkig gelagerter Druckstab Druckstäbe mit verschiedenen Lagerungsarten Exzentrisch belastete Druckstäbe Dimensionierung von Druckstäben mit zentrischer und exzentrischer Belastung
Beispiel 7.1 Für den auf Druck beanspruchten elastischen Stab sind die Knickbedingung und die kritische Last F krit zu bestimmen
Beispiel 7.2 Der links eingespannte elastische Stab ist bei B federnd gelagert (Federkonstante c). Es sind die Knickbedingung und die kritische Last F krit zu bestimmen.
Beispiel 7.3 Der dargestellte Druckstab besteht aus einem biegestarren und aus einem biegesteifen Teil. Wie lautet die Knickbedingung und wie groß ist die kritische Last F krit ?
Beispiel 7.4 Der auf Druck beanspruchte Stab ist beiderseits durch Drehfedern elastisch gelagert. Es sind die Knickbedingung und die kritische Last F krit für den Fall
EJ y lcT
= 1 zu
bestimmen.
Beispiel 7.5 Gegeben sei der skizzierte Halbrahmen mit folgenden Querschnittswerten für den Stiel 1 und den Balken 2 : Gegeben: l1 = 5.0 m, l2 = 1.0 m, E = 2.1⋅ 1011 kN/m2 , T
−5
= 1.2 ⋅ 10
K−1 ,
A1 = 5.0 ⋅ 10−3 m2 , J1 = 5.0 ⋅ 10−6 m 4 , J 2 = 1.0 ⋅ 10−4 m 4 .
Um wieviel Grad Kelvin darf der Stiel 1 höchstens erwärmt werden, ohne auszuknicken ?
