REALIZACION DE CONTROLADORES Y FILTROS DIGITALES Se estudiaran los métodos de realización para funciones de transferencia pulso que repres representa entan n contro controlado ladore res s y ltros ltros digitales. digitales. La realiza realización ción de controladores y ltros digitales puede incluir ya sea software, hardware o ambos ambos.. En gener general, al, la reali realizac zación ión de funcio funciones nes de transf transfer erenc encia ia pulso pulso signica determinar la conguración fsica para la combinación apropiada de operaciones aritméticas y de almacenamiento. En una realización de software se obtienen programas de computadora para la comput computado adora ra digita digitall in!ol in!olucr ucrada ada.. En una reali realizac zación ión de hard hardwar ware e se construy construye e un procesa procesador dor de propósit propósito o especial especial mediante mediante circuitos circuitos tales tales como sumadores digitales, multiplicadores y elementos de retardo "registros de corrimiento con un periodo de muestreo # como un tiempo de retardo unitario$. En el campo de procesamiento digital de se%ales, un ltro digital es un algoritmo de c&lculo que con!ierte una secuencia de n'meros de entrada en una secuencia de salida, de modo que las caractersticas de la se%al se cambien de una manera predeterminada. Esto es, un ltro digital procesa una una se%a se%all digit digital al pues pues perm permit ite e el paso paso de algu alguna nas s comp compon onen ente tes s de frecuencia deseadas de la se%al digital de entrada y rechaza algunas otras no deseadas. En términos generales, un controlador digital es una forma de ltro digital. (ay difer diferenc encias ias impor importa tante ntes s entre entre el proc procesa esamie miento nto digita digitall de se%al se%ales es utilizado en comunicaciones y el que se utiliza en control. En control digital el procesamiento de se%ales les se debe hacer en tiempo real. En comuni comunicac cacion iones, es, el proce procesam samien iento to de se%al se%ales es no se neces necesita ita hacer hacer en tiempo real, y por lo tanto se puede tolerar retardos en el procesamiento para me)orar la e*actitud. #ratare #rataremos mos las realizaciones realizaciones en diagramas diagramas de bloques de ltros ltros digitales que emple emplean an elemen elemento tos s de retraso etraso,, sumado sumadore res s y multip multiplica licador dores es.. +qu +qu se estudiaran algunas estructuras diferentes de realizaciones en diagramas de bloques. ichas realizaciones en diagramas de bloques se pueden utilizar como base para un dise%o de software o hardware. e hecho, una !ez que se completa el diagrama de bloques de la l a realización, la realización realización fsica en hardware o software es directa. -bser!e que en el diagrama de bloques de una realizació realización, n, la función función de transfer transferencia encia pulso de
−1
z
representa un
retardo de una unidad de tiempo "gura .$. -bser!e también que en el −1
plano s, z
corresponde a un retardo puro
−Ts
e
Figura 1.1
.
+ continuación se !er&n los ltros digitales que se emplean con propósitos de ltrado y control. La forma general de la función de transferencia pulso entre la salida /"z$ y la entrada 0"z$ est& dada por1
".$ onde las
a j y las
b j son son
para para much muchos os cont contrrolad olador ores es digi digita tale les s
coeci coecient entes es reale reales s "algu "alguno nos s de estos estos puede pueden n ser cero$ cero$.. La funci función ón de trasferencia trasferencia pulso es de esta forma. forma. 2or e)emplo, la l a función de transferencia transferencia pulso para el controlador 23 dado por la ecuación1
Se puede e*presar en la forma de la ecuación ., como sigue1
+hora se estudiaran las formas de programación directa y est&ndar de los ltros ltros digitales. digitales. En estas estas formas formas de program programació ación, n, los coecien coecientes tes a j y b j
"que "que son cantid cantidade ades s reale reales$ s$ apare aparecen cen como como multip multiplica licador dores es en el
diagrama de bloques de la realización. +quellos esquemas de diagramas de bloques bloques donde los coecientes coecientes a j y b j aparecen de manera directa como multiplicadores se denominan estructuras directas.
Programación direca! 4onsidere el ltro digital dado por la ecuación ".$. 5ótese que la función de transferencia pulso tiene n polos y m ceros. En la gura .6 se muestra un diagrama de bloques de la realización del ltro. El hecho de que este diagrama de bloques representa la ecuación ".$ se puede !er f&cilmente, puesto que a partir del diagrama de bloques se tiene
+l reordenar esta 'ltima ecuación se obtiene la ecuación ".$.
Figura 1."
Este tipo de realización se denomina programación directa. 2rogramación dir directa ecta sign signi ica ca que que se obtie btiene ne la reali ealiza zaci ción ón del del nume numera rado dorr y el denominador de la función de transferencia pulso mediante con)untos de elementos de retraso por separado. El numerador utiliza un con)unto de m elementos de retraso y le denominador utiliza un con)unto diferente de n elementos de retraso. e esta manera, el n'mero total de elementos de retraso utilizados en la programación directa es m 7 n. El n'mero de elementos de retraso empleados en la programación directa se puede reducir. e hecho, el n'mero de elementos de retraso se puede reducir de n 7 m a n "donde n 8 m$. El método de programación que utiliza el n'm n'mero mnim nimo o pos posible ible de elem elemen ento tos s de retr etraso se deno denomi mina na programación est&ndar. En la pr&cti pr&ctica ca,, se trata trata de utiliz utilizar ar el n'mer n'mero o mnimo mnimo de eleme elemento ntos s de retraso en la realización de una función de transferencia pulso dada. 2or tanto, la programación directa que requiere un n'mero de elementos de retraso mayor que el !alor mnimo es m&s o menos de !alor académico m&s que de !alor pr&ctico.
Programación e#$ndar! 4omo 4omo se estab establec leció ió pre! pre!iam iament ente, e, el n'mer n'mero o de elemen elemento tos s de retras etraso o reque requerid ridos os en la progr program amac ación ión direct directa a se puede puede reduc reducir ir.. e hecho hecho,, el n'mero de elementos de retraso utilizados en la realización de la función de transferencia pulso dada por la ecuación ".$ se puede reducir de n 7 m a n "donde n 8 m$ mediante el reacomodo del diagrama de bloques.
2rimero, se rescribe la función de transferencia pulso /"z$90"z$ dada por la ecuación ".$ como sigue1
onde
".6$ /
".:$
Entonces, se dibu)a el diagrama de bloques para los sistemas dados por las ecuac ecuacion iones es ".6$ ".6$ y ".:$ ".:$ respe respecti cti!a !amen mente. te. 2ara ara dibu)a dibu)arr el diagra diagrama ma de bloques, se puede rescribir la ecuación ".6$ como1 ".;$ / la ecuación ecuación ".:$ como1 como1
".<$
Entonces, a partir de la ecuación ".;$, se obtiene la gura .:a. e modo sim similar ilar,, se obti obtien ene e la gur gura a .:b .:b,, a part partir ir de la ecua ecuaci ción ón ".< ".<$. $. La combinación de estos dos diagramas de bloques da el diagrama de bloques para el ltro digital G( z) , como se muestra en la gura .:c. El diagrama de bloque bloques s de la reali realizac zación ión como como se pres present entó ó aqu aqu est& est& basado basado en la programación est&ndar. 5ote que solo se utilizan n elementos de retraso. Los Los coe coeci cien ente tes s a1 , a2 , = , an apar aparece ecen n como como eleme elemento ntos s de realimen realimentació tación, n, y los coecientes coecientes elementos de prealimentacion. prealimentacion.
b0 ,
b1
, = ,
bm aparecen como
Figura 1.%
Los diagramas de bloques de las guras .6 y .:c son equi!alentes, pero el ultimo utiliza n elementos de retraso, mientras que el formal utiliza n 7 m elementos de retraso. -b!iamente, se preere el 'ltimo diagrama, el cual utiliza un n'mero m&s peque%o de elementos de retraso.
Comenario#! -bser!e primero que utilizar un n'mero mnimo de elementos de retraso ahorra espacio en memoria en los controladores digitales. #ambién utilizar un n'mero mnimo de puntos suma es con!eniente. En la realización de controladores o ltros digitales, es importante tener un buen ni!el de e*actitud. En esencia, son tres las fuentes de error que afectan la e*actitud1 .> El error debido a la cuanticación de la se%al de entrada en un n'mero nito de ni!eles discretos. "Se puede considerar como una fuente aditi!a de
ruido denominado ruido de cuanticación. Este se puede considerar como ruido blanco? la !arianza del ruido es 6.> El error debido a la acumulación de los errores de redondeo en las operaciones operaciones aritméticas en el sistema digital. :.> El error debido a la cuanticación de los coecientes
a j
y
b j de la
función función de transfer transferencia encia pulso. Este error error puede puede hacerse hacerse m&s grande a medida que el orden de la función de trasferencia pulso se incrementa. Esto es, en ltros digitales de orden superior en la estructura directa, los errores peque% peque%os os en los coec coecien ientes tes a j y b j causan grandes errores en la localizaciones de los polos y los ceros del ltro digital. Estos tres errores surgen debido a las limitaciones pr&cticas del n'mero de bits que representa a las muestras de la se%al y a los coecientes. -bser!e que el tercer tipo de error se puede reducir mediante la descomposición matem&tica de las funciones de transferencia pulso de orden superior en una combinación de funciones de transferencia transferencia pulso de orden peque%o. e esta forma, el sistema se puede hacer menos sensible a la ine*actitud de los coecientes. 2ara la descomposición de funciones de transferencia pulso a n de e!itar el problema de sensibilidad de los coecientes, se utilizan por lo regular los tres enfoques siguientes. .> 2rogramación en serie. 6.> 2rogramación en paralelo. :.> 2rogramación en escalera.
Programación en #erie! El prime primerr enfoq enfoque ue emplea empleado do para para e!ita e!itarr el prob problem lema a de la sensib sensibili ilidad dad consis consiste te en impla implanta ntarr la funció función n de transf transfer erenc encia ia pulso pulso @"z$ @"z$ como como una cone*ión en serie de funciones de transferencia pulso de primero y segundo orde orden. n. Si @"z$ @"z$ se pued puede e escr escribi ibirr como como un prod produc ucto to de func funcio ione nes s de transferencia pulso
G 1 ( z ) ,
@"z$A G1 ( z ) G 2 ( z ) …G p ( z )
G 2 ( z ) , = ,
G p ( z ) o
Entonces el ltro digital para @"z$ puede entrar dado como una cone*ión en serie serie de las componentes componentes de ltros ltros digitales digitales G 1 ( z ) , G2 ( z ) , … , G p ( z ) , como se muestra en la gura .;.
Figura 1.& En la mayora de los casos, las las
Gi ( z )( i =1,2, … , p )
se elig eligen en como como
funciones de primero o segundo orden. Si los polo y ceros de @"z$ son conocidos, G1 ( z ) , G2 ( z ) , … , G p ( z ) se pueden obtener agrupando un par de polos comple)os con)ugados y un par de ceros con)ugados para producir una función de segundo orden, o agrupando polos y ceros reales para producir funciones ya sea de primero o segundo orden. 2or supuesto, es posible agrupa agruparr dos ceros ceros real reales es con un par de polos polos comple comple)os )os con)ug con)ugad ados os,, o !ice!ersa. La agrupación es, en un sentido, sentido, arbitraria. Es preferible preferible hacer la agrupación de formas diferentes para !er cu&l es la me)or con respecto al n'me n'merro de oper opera acion ciones es aritm ritmét étic icas as reque equeri rida das, s, los los rang rangos os de los los coecientes, etc. 2ara resumir, @"z$ se puede descomponer como sigue1
Los diagramas de bloques para
".B$ / para
".C$
Se muest muestra ran n en las gura guras s .
Figura 1.'a ( ).
Programación en *ara+e+o! El segu segund ndo o enfo enfoqu que e para para e!it e!itar ar el prob proble lema ma de sens sensib ibil ilid idad ad de los los coecientes es e*pandir la función de transferencia transferencia pulso @"z$ en fracciones parciales. Si @"z$ se e*pande como una suma de +, G1 ( z ) , G2 ( z ) , … , Gq ( z ) , o de modo que
onde + es simplemente una constante, entonces el diagrama de bloques para el ltro digital @"z$ se puede obtener como una cone*ión en paralelo de q 7 ltros digitales, como se muestra en la gura .B.
Figura 1.,
ebido a la presencia del término constante +, las funciones de primero y segundo orden se pueden elegir de formas sencillas. Esto es, @"z$ se puede e*presar como
El diagrama de bloques para
".D$
/ el correspondiente correspondiente para para
".$ Se muest muestra ran n en las gura guras s .Ca .Ca y b, respe respecti cti!am !amen ente. te. La cone* cone*ión ión en paralelo de q 7 componentes de ltros digitales como se muestra en la gura .C producir& el diagrama de bloques para el ltro digital @"z$.
Figura 1.-a ( ) Programación en e#ca+era! El tercer enfoque para e!itar el problema de sensibilidad de los coecientes es implantar una estructura en escalera, esto es, e*pandir la función de transferencia pulso @"z$ en la siguiente fracción continua y programar de acuerdo con esta ecuación1
".F$ El méto método do de prog progra rama maci ción ón basa basado do en este este esqu esquem ema a se deno denomi mina na programación en escalera. efnase
Entonces @"z$ se puede escribir como
Se e*plicara este método de programación mediante un e)emplo sencillo donde nA6. Esto es
Gediante el el us uso de de la las fu funciones transferencia @"z$ se puede escribir como sigue1
, la la fu función de de
-bser!e que
se puede escribir como
".$
El diagrama de bloques para
dada por la ecuación ".$ se muestra
en la gura .Da. e manera similar, el diagrama de bloques para la que puede estar dado por
".6$
Se puede dibu)ar como se muestra en la gura .Db. -bser!e que
Gediante la combinación de las dos componentes de los ltros digitales, como como se mues muestr tra a en la gur gura a .a .a,, es posi posibl ble e dibu dibu)a )arr el diag diagra rama ma de bloques del ltro digital @"z$ como puede apreciarse en la gura .b.
) Figura 1./a ( )
