INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL C. E. C. Y T. “CUAUHTÉMOC” “CUAUHTÉMOC” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS
GUÍA DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I) REPRESENTACIÓN DE DATOS 1.-La superficie de distintas zonas del mundo aparece en la siguiente tabla, en millones de millas cuadradas. Representar los datos por medio de una gráfica circular y de barras. Zona
Superficie (millones de millas cuadradas) 11.7 10.4 1.9 9.4 3.3 6.9 Total 43.6
África Asia Europa Norteamérica Oceanía Sudamérica
2.-El periodo T (en segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L(en centímetros) está dado por las siguientes observaciones obtenidas en un laboratorio de física. a) Representar gráficamente T como una función de L. Sugerencia: Utilizando escalas adecuadas, representar en el eje X los valores de L y en el eje Y los los valores de T; unir con líneas los puntos de observación b) Utilizar esta gráfica para estimar, aproximadamente, el valor de T correspondiente correspondiente a un péndulo cuya longitud sea de 40cm. L T
10.1 0.64
16.2 0.81
22.2 0.95
33.8 1.17
42.0 1.30
53.4 1.47
66.7 1.65
74.5 1.74
86.6 1.87
100.0 2.01
Sol. 1.27 s 3.- En el primer día de clases del semestre pasado se preguntó a 50 estudiantes acerca del tiempo requerido para desplazarse de su casa a la escuela (redondeado a 5 minutos). Los datos resultantes fueron los siguientes: 20 35 25 15 5
20 25 30 20 20
30 15 15 20 20
25 25 20 20 10
20 25 45 20 5
Construir una representación tallo-hoja de estos datos. 1
25 40 25 25 20
30 25 35 20 30
15 30 25 20 10
10 5 10 15 25
40 25 10 20 15
4.-.La puntuación final en estadística de 80 estudiantes, en una escuela, se registraron en la siguiente tabla: 68 73 61 66 96 79 65 86
84 79 65 78 78 62 80 67
75 88 75 82 89 67 73 73
82 73 87 75 61 97 57 81
68 60 74 94 75 78 88 72
90 93 62 77 95 85 78 63
62 71 95 69 70 96 62 76
88 59 78 74 69 65 76 75
76 85 63 68 83 71 53 85
93 75 72 60 71 75 74 77
Construir: a) La tabla de distribución de frecuencias agrupadas. b) El histograma y polígono de frecuencias absolutas. c) El polígono de frecuencias relativas acumuladas u ojiva “menor que”. d) Hallar el porcentaje y el número de estudiantes cuya calificación sea “menor que” 80
5.- La siguiente tabla muestra la cantidad de agua, expresada en gramos, contenida en 50 piezas de arcilla, las cuales fueron seleccionadas de manera aleatoria de una población de 1000 piezas. 103 107 92 114 106
115 84 103 102 75
98 102 114 90 130
116 103 114 94 112
78 87 117 93 106
90 114 104 98 109
104 112 106 98 101
131 105 121 96 70
123 115 106 123 97
107 90 91 82 107
Hallar: a) La tabla de distribución de frecuencias agrupadas. b) El histograma y polígono de frecuencias absolutas. c) El polígono de frecuencias relativas acumuladas u ojiva porcentual “menor que”. d) Hallar el porcentaje y el número de muestras de arcilla cuyo contenido de agua sea menor que 100 gramos. e) De la población de tamaño 1000. ¿Cuántas muestras de arcilla tendrán un contenido de agua menor que 100 gramos? 6.- Los siguientes datos se refieren al valor de la constante elástica en N/cm. de 100 resortes, seleccionados de manera aleatoria, de una población de 10000. 37 106 56 68 59 61 75 45 65 42
56 61 62 59 37 33 78 39 67 71
63 82 50 31 65 75 57 48 58 85
97 52 75 67 63 84 68 74 51 30
52 57 26 54 43 41 50 58 91 55
40 20 61 92 58 64 98 58 40 69
72 68 53 23 86 25 60 56 88 94
69 50 82 75 81 58 92 66 35 78
93 104 69 63 56 52 55 54 58 26
86 38 42 77 53 51 47 60 54 52
Hallar: a) La tabla de distribución de frecuencias agrupadas. b) El histograma y polígono de frecuencias absolutas. c) El polígono de frecuencias relativas acumuladas u ojiva “menor que” d) Hallar el porcentaje y el número de resortes cuya constante elástica sea "menor que" 75 N/cm. 2
e) De la población de tamaño 10 000. ¿Cuántos resortes tendrán una constante elástica menor que 75 N/cm?
II) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1.-Una serie de números está formado por seis “6”, siete “7”, ocho “8”, nueve “9” y diez “10”, según se indica a continuación. ¿Cuál es su media aritmética? xi 6 7 8 9 10
f i 6 7 8 9 10 40
Sol. 8.2 2.-Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de los siguientes datos: a) 5, 4, 8, 3, 7, 2, 9; b) 18 ,18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.7 Sol. a) 5.4, 5, No hay moda b) 19.7, 19.7, 19.7 3.-Hallar la media, mediana y moda para los siguientes conjuntos de datos: a) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9,7, 8, 9 ; b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7. Sol. a) 9, 9, 9 b) 6.3, 6, 6 4.-Hallar la media geométrica de los números a) 4.2, 6.5, 8.1, 10.2; b) 2, 5, 8, 10, 12 Sol. a) 6.8 b) 6.2 5.-Hallar dos números cuya media aritmética es 37 y cuya media geométrica es 35. Sol. 25, 49 6.-Las calificaciones de un estudiante en las tres asignaturas del curso fueron 75, 80 y 93. a) Si los pesos asignados a cada asignatura son: 2 ,4 y 5, respectivamente. ¿Cuál es el promedio de sus calificaciones? Sol. 85 7.-La siguiente tabla muestra la distribución de la carga máxima en toneladas que soportan ciertos cables producidos por una compañía. Determinar: a) La media aritmética, b) La mediana y c) La moda. Fronteras de clase 9.15 - 9.85 9.85 – 10.55 10.55 – 11.25
xi 9.5 10.2 10.9
3
f i 2 5 12
11.25 – 11.95 11.95 – 12.65 12.65 – 13.35 13.35 – 14.05 14.05 – 14.75
11.6 12.3 13.0 13.7 14.4
17 14 6 3 1 60
Sol. a) 11.72, b) 11.78, c) 11.68 8.-La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias, correspondiente a los diámetros (en pulgadas) de los remaches fabricados por una compañía. Calcular: a) La media aritmética, b) La mediana, c) La moda. Fronteras de clase 0.5255 – 0.5285 0.5285 – 0.5315 0.5315 – 0.5345 0.5345 – 0.5375 0.5375 – 0.5405 0.5405 – 0.5435 0.5435 – 0.5465 0.5465 – 0.5495 0.5495 – 0.5525 0.5525 – 0.5555 0.5555 – 0.5585 0.5585 – 0.5615
xi 0.527 0.530 0.533 0.536 0.539 0.542 0.545 0.548 0.551 0.554 0.557 0.560
f i 2 6 8 15 42 68 49 25 18 12 4 1 250
Sol. a) 0.5431, b) 0.5427, c) 0.5422 9.-La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración en días de 400 tubos de lámparas fluorescentes comprobados en la compañía Philips. Con referencia a esta tabla, calcular: a) La media aritmética, b) La mediana, c) La moda. Fronteras de clase
xi 350 451 552 653 754 855 956 1057 1158
299.5 – 400.5 400.5 – 501.5 501.5 – 602.5 602.5 – 703.5 703.5 – 804.5 804.5 – 905.5 905.5 – 1006.6 1006.5 – 1107.5 1107.5 – 1208.5
f i 14 46 58 76 68 62 48 22 6 400
Sol. a) 719.1 b) 712.4 c) 672.4 10.-De la tabla anterior, hallar a) Los cuartiles Q1 y Q3 , b) Los deciles D4 y D8 , c) Los percentiles C 32 y C 90 . Interpretar los resultados. Sol. a) 571.1, 866.4 b) 658.3, 898.9 c) 615.7, 981.2 4
III) MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1.-Hallar la desviación estándar de los siguientes números: a) 3, 6, 2, 1, 7, 5; b) 3.2, 4.6, 2.8, 5.2, 4.4 Sol. a) 2.16, b) 0.89 2- Hallar el rango semi- intercuartílico Q del conjunto de números : 3, 5, 6, 8, 10, 14, 17, 20, 22, 25, 26, 28, 29, 30, 33, 35, 38, 39, 40, 42, 46 y 48. Sol. 12.25 3.-La siguiente tabla muestra la distribución de la carga máxima en toneladas que soportan ciertos cables producidos por una compañía. Determinar la desviación estándar y la varianza de la carga máxima. Fronteras de Clase 9.15 – 9.85 9.85 – 10.55 10.55 – 11.25 11.25 – 11.95 11.95 – 12.65 12.65 – 13.35 13.35 – 14.05 14.05 - 14.75
xi 9.5 10.2 10.9 11.6 12.3 13.0 13.7 14.4
f i 2 5 12 17 14 6 3 1 60
Sol. 1.117, 1.248 4.-Hallar el rango semi- intercuartílico Q de la distribución de frecuencias del problema anterior. Sol. Q 0.695 5.-La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias, correspondiente a los diámetros (en pulgadas) de 250 remaches fabricados por una compañía. Calcular: a) la desviación estándar y b) la variaza de los diámetros de los remaches. Fronteras de Clase 0.5255 – 0.5285 0.5285 – 0.5315 0.5315 – 0.5345 0.5345 – 0.5375 0.5375 – 0.5405 0.5405 – 0.5435 0.5435 – 0.5465 0.5465 – 0.5495 0.5495 – 0.5525 0.5525 – 0.5555 0.5555 – 0.5585 0.5585 – 0.5615
xi 0.527 0.530 0.533 0.536 0.539 0.542 0.545 0.548 0.551 0.554 0.557 0.560
f i 2 6 8 15 40 60 59 25 18 12 4 1 250
Sol. s 0.0057, var 0.00003 6.-La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración en días de 250 tubos de lámparas fluorescentes comprobados en la Compañía Philips .Con referencia a esta tabla, calcular la desviación estándar y la varianza de la duración de las lámparas. Fronteras de Clase 299.5 – 400.5 5
xi 350
f i 2
400.5 – 501.5 501.5 – 602.5 602.5 – 703.5 703.5 – 804.5 804.5 – 905.5 905.5 – 1006.5 1006.5 – 1107.5 1107.5 – 1208.5
451 552 653 754 855 956 1057 1158
6 8 16 42 68 60 30 18 250
Sol. 163.97, 26887.5 7. Hallar el coeficiente de variación del problema 3. Sol. 0.095 8.- Para comparar la precisión de dos instrumentos de medición, un técnico de laboratorio estudia mediciones recientes, hechas con ambos instrumentos. El primero se usó recientemente para medir los diámetros de algunos rodamientos y las mediciones tuvieron una media de 4.92mm., con una desviación estándar de 0.018mm.; el segundo, también se empleó para medir ciertos diámetros y las mediciones tuvieron una media de 2.54 pulg., con una desviación estándar de 0.012 pulg. Hallar el coeficiente de variación de cada instrumento e indicar cuál es más exacto. Sol. 0.0036, 0.0047, el primero. 9.- En cinco exámenes, un estudiante promedió 63.2 con una desviación estándar de 3.3, mientras que otro estudiante obtuvo un promedio de 78.8 con una desviación estándar de 5.3. Hallar el coeficiente de variación de cada estudiante e indicar cuál es más consistente. Sol. 0.052, 0.067, el primero. 10.- ¿Según el teorema de Chebyshev, qué podemos afirmar acerca del porcentaje de un conjunto de datos cualquiera que deba estar dentro de k desviaciones estándar en uno u otro lado de la media cuando a) k =4 , b) k =12 ? Sol. a) 93.75%, b) 99.30% 11.- Los registros de una línea aérea muestran que sus vuelos entre dos ciudades llegan en promedio 5.4 minutos tarde con una desviación estándar de 1.4 minutos. ¿Al menos, que porcentaje de sus vuelos entre las dos ciudades llegan entre 2.6 y 8.2 minutos tarde? Sol. 75%
IV) TÉCNICAS DE CONTEO 1.- Suponga que en una Serie Mundial de beisbol (en la cual el ganador es el primer equipo en ganar cuatro juegos) el campeón de la Liga Nacional (LN) va adelante del campeón de la Liga Americana (LA) por tres juegos a uno. Construya un diagrama de árbol para mostrar las formas en que estos equipos pueden ganar o perder el juego o juegos restantes. Sol. Gana LN: 4-1; gana LN: 4-2; gana LN: 4-3 ó gana LA: 4-3. 2.- Un equipo de herramientas contiene seis desarmadores, cuatro llaves, dos martillos, dos sierras y tres pinzas. ¿De cuántas formas puede una persona seleccionar una de cada clase? Sol. 288 3.- En una agencia de automóviles se tienen cuatro estilos de carrocería, tres motores diferentes y 10 colores. ¿De cuántas formas se puede comprar un automóvil? Sol. 120 4.- En el consultorio de un médico hay cinco números recientes de la revista Muy Interesante, seis números de la revista Naturaleza y ocho de la revista National Geographic. ¿De cuántas maneras puede un paciente que espera ver al médico hojear una de cada tipo, si el orden en que se observa estas revistas no es importante? Sol. 240 6
5.- Un examen consta de ocho preguntas de opción múltiple, donde cada una de ellas tiene tres respuestas posibles. ¿De cuántas formas puede un estudiante contestar el examen? Sol. 6 561 6.- Si una prueba consta de 15 preguntas de verdadero y falso, ¿De cuántas formas puede un estudiante responder a la prueba? Sol. 32 768 7.- En el censo de una población, las familias se clasifican en seis categorías de acuerdo con el ingreso, en cinco categorías según el tamaño de la familia, en tres categorías con respecto a la propiedad de la casa. ¿De cuántas maneras se puede clasificar de este modo una familia? Sol. 90 8.- Un sindicato de trabajadores está compuesto por 50 elementos. ¿De cuántas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero? Sol. 5 527 200 9.- En una prueba de maratón hay 30 participantes. ¿De cuántas formas pueden los jueces otorgar un primero, segundo y tercer lugar? Sol. 24 360 10.- Supóngase que una placa de automóvil consta de dos letras distintas seguida de 3 dígitos, de los cuales el primero no es cero. Si el abecedario tiene 26 letras, ¿Cuántas placas pueden formarse? Sol. 421 200 11.- Una quiniela de “progol” está formada por 14 encuentros de futbol, en donde cada encuentro tiene tres posibles resultados (local, visita y empate), ¿Cuántos resultados posibles hay? Sol. 4 782 969. 12.- Dadas las letras de la palabra MURCIÉLAGO, i) Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar, ii) Cuántas de ellas contienen sólo vocales?, iii) ¿Cuántas empiezan y terminan por consonante?, iv) Cuántas empiezan por vocal?, v) ¿Cuántas contienen la letra M?, vi) ¿Cuántas empiezan por M y terminan por L?, vii) ¿Cuántas empiezan por M y también contienen L? viii) Cuántas comienzan por A y terminan con U ? Sol. i) 30 240, ii) 120, iii) 6 720, iv) 15 120, v) 15 120, vi) 336, vii) 1 344, viii) 336. 13.- Considérense todos los números enteros positivos, de 3 dígitos diferentes. i) ¿Cuántos números se pueden formar?, ii) ¿Cuántos so mayores que 700?, iii) ¿Cuántos son impares? iv) ¿Cuántos son pares?, v) ¿Cuántos son divisibles por 5? Sol. i) 720, ii) 216, iii) 360, iv) 360, v) 144. 14.- De A a B hay 6 caminos y de B a C 4. i) ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B? ii) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C y de C a A pasando por B? iii)¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C y de C a A sin usar el mismo camino más de una vez? Sol. i) 24, ii) 576, iii) 360. 15.- Con las letras de la palabra NEUMÁTICO, i) Cuántas palabras de 5 letras, se pueden formar? ii) ¿Cuántas palabras de 6 letras?, iii) ¿Cuántas, si se utilizan todas letras? Sol. i) 15 120, ii) 60 480, iii) 362 880. 16.- Hallar el número de palabras diferentes que se pueden formar con todas las letras de cada una de las siguientes palabras: a) BARRA, b) PROPOSICIÓN, c) SATÉLITES, d) ESTADÍSTICAS. Sol. a) 30, b) 1 663 200, c) 45 360, d) 9 979 200 7
17.- Dada las letras de la palabra CAMPANA: i) Hallar el número de palabras diferentes que se pueden formar ii) ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con A? iii) ¿Cuántas tienen las tres "A" juntas? iv) ¿Cuántas empiezan con A y terminan con M? Sol i) 840, ii) 120, iii) 120, iv) 60 18.- ¿De cuántas maneras, 3 rusos, 4 franceses, 2 italianos y 5 alemanes pueden sentarse en una fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Sol. 829 440 19.- ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer, acomodando tres de seis banderas de distinto color en un asta vertical? Sol. 120 20.- ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? Sol. 420 21.- Hallar el número de maneras como se pueden colocar en un estante 5 libros de matemáticas, 4 de química y 3 de física de modo que los libros de la misma materia estén juntos. Sol. 103 680 22.- i) Hallar el número de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila. ii) Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra? Sol. i) 120, ii) 288 23.- i) Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila, si los niños y las niñas deben quedar alternados. ii) Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sienta siempre junto a una niña determinada. Sol. i) 1 152, ii) 288 24.- Una urna contiene 10 bolas, calcular el número de pruebas ordenadas de tamaño: a) 3 con sustitución b) 3 sin sustitución c) 4 con sustitución d) 4 sin sustitución Sol. a) 1000, b) 720, c) 10 000, d) 5 040 25.- Un comité de supervisión estará compuesto por 5 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité, si hay 8 hombres y 6 mujeres? Sol. 840 26.- Una clase consta de 10 niños y 5 niñas. i) ¿De cuántas maneras el profesor puede escoger un comité de 6?, ii) ¿Cuántos de estos comités tendrán 2 niñas exactamente?, iii) ¿Cuántos tendrán 3 niñas y 3 niños?, iv) ¿Cuántos estarán formados por niños?, v) ¿Cuántos tendrán al menos una niña? Sol. i) 5 005, ii) 2 100, iii) 1 200, iv) 210, v) 4 795. 27.- En una quiniela de “melate” , se deben seleccionar 6 números del 1 al 51, no importando el orden en que sean seleccionados. ¿Cuántas combinaciones posibles hay? Sol. 18 009 460 28.- Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? ii) ¿Cuántas si las dos primeras son obligatorias? iii) Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria? iv) ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras ? v) ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos 3 de las 5 primeras? Sol. i) 286, ii) 165, iii) 110, iv) 80, v) 276 29. Supóngase que el abecedario tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales. i)¿Cuántas palabras de 5 letras formadas con 3 consonantes diferentes y 2 vocales diferentes , se pueden formar? ii) ¿Cuántas de éstas contienen la letra b ? iii) ¿Cuántas contienen la b y la c ? iv) ¿Cuántas empiezan por b y contienen c? v) ¿Cuántas empiezan por b y terminan con c ? 8
Sol. i) 1 596 600, ii) 228 000, iii) 22 800, iv) 4 560, v) 1 140 30.-Hay 6 puntos A, B, C , D, E y F en un plano; en una misma línea no hay tres puntos. i) ¿Cuántas líneas forman los puntos? ii) ¿Cuántas líneas pasan por A o por B? iii) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos? iv) ¿Cuántos de estos triángulos se forman con el punto A? v)¿Cuántos triángulos se forman con el lado AB? Sol. i) 15, ii) 8, iii) 20, iv) 10, v) 4 31.- ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles? Sol. 63 32.- Una caja de 12 baterías contiene 3 defectuosas. ¿De cuántas formas se pueden elegir tres baterías de manera que: i) No se incluya ninguna defectuosa? ii) Se incluya exactamente una batería defectuosa? iii) Por lo menos se incluya una defectuosa? Sol. i) 84, ii) 108, iii) 136 33.- Una señora tiene 10 amigos. i) ¿De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer? ii) ¿De cuántas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro? iii) ¿De cuántas maneras si dos de ellos no se llevan bien y no asisten juntos? Sol. i) 252, ii) 112, iii) 196 34.- ¿De cuántas maneras pueden repartirse por igual 9 estudiantes en tres equipos? Sol. 1 680 35.- ¿Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución? Sol. 369 600 36.- ¿De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 4 comités en los que dos sean de 3 hombres y los otros dos de 4? Sol. 4 204 200 37.- Desarrollar los siguientes binomios: a) x 2 y 2
2 6
1 3 , b) xy 2 y 2
8
Sol. a) x12 12 x10 y 2 60 x 8 y 4 160 x 6 y 6 240 x 4 y 8 192 x 2 y 10 64 y12 b) 1
1 7 x 8 y 8 x 7 y 10 x 6 y 12 14 x 5 y 14 70 x 4 y 16 224 x 3 y 18 448 x 2 y 20 5184 xy 22 256 y 24 256 8 4
38.- Dados los siguientes binomios hallar el término que se indica: a) 5º término de 5 x 3 y 2 2 yz 2 10
Sol. 52500000 x18 y 16 z 8
20
1 2 3 b) 16º término de x 2 xy 4
Sol. 496128 x 27 y 45
12
1 2 3 c) 9º término de 2 y xy 2
Sol.
39.- Hallar el término del desarrollo 3 x 2 5 y 2 que contiene 10
9
14
x
495 16
x 8 y 28
Sol. 4° término: 32805000 x14 y 6 40.- Hallar el término del desarrollo xz 3 2 x 2 que contiene x 25 . 15
Sol. 11° término: 3075072 x 25 y15
V) TEORIA DE CONJUNTOS 1.- Hallar explícitamente los elementos de cada conjunto: i) A x x 2 5x 6 ii) B x x 2 16 , x 2 6 iii) C x x 5 10 , 2 x 1 7 iv) D = { x x es una vocal} v) E = { x x es un divisor de 15 }
Sol. 2,3 Sol. 4 Sol. Sol. a, e, i, o, u Sol. 1,3,5,15
2.- Indicar si cada uno de los siguientes conjuntos es finito o infinito. i) El conjunto de puntos de un segmento de línea. Sol. Infinito ii) El conjunto de números múltiplos de 5. Sol. Infinito iii) El conjunto de personas que habitan el planeta Tierra. Sol. Finito iv) El conjunto de circunferencias con centro común en (0, 0). Sol. Infinito 100 85 20 10 5 v) El conjunto de soluciones de la ecuación x 2 x 5x 4x 4x 10 0 Sol. Finito 3. Sean U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } , A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , B = { 1, 3, 4, 7 } y C = { 2, 5, 6, 7}. Hallar i) A B , ii) B C , iii) A \ B , iv) ( A B) c , v) ( C \ B) c , vi) ( C c \ B c ) c Sol. i) 1,2,3,4,5,7, ii) 7, iii) 2,5, iv) 2,5,6,7, v) 1,3,4,7 , vi) 2,5,6,7 4.- Sí A, B y C son conjuntos, como se indica en el siguiente diagrama de Venn, hallar: a) A B , b) A \ B , c) A B c , d) ( A B )c ,e) A c B c , f) ( A B C ) c g) (A B C) c U
A
B
1
3
2
7
6 9 11
4 5
8 10
C
12
Sol. a) 3,7, b) 1,2,6 , c) 1,2 , d) 9,10,11,12 , e) 9,10,11,12 , f) 11,12, g) 1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 5.- Sí U = conjunto de las letras del abecedario, E = { a, e, i, o , u } , F = { a, b, c, d , e, f , g, h, i } , G = { m, n, ñ, o, p, q, r , s, t , u } . Hallar: a) n( E c ) , b) n (G c ), c) n( E F) c , d) n( F G ) c , e) n ( E c F c G c ) , f) n ( E c F c G c ) , g) n ( E c \ F c ), h) n ( E \ F ) c . Sol. a) 22, b) 17, c) 16, d) 18, e) 27, f) 8, g) 6, h) 25 10
6.- En un grupo de 20 alumnos reprobados, 17 reprobaron química y 6 inglés. a) ¿Cuántos reprobaron ambas materias? b) ¿Cuántos reprobaron sólo química? c) ¿Cuántos reprobaron sólo inglés? Sol. a) 3, b) 14, c) 3 7.- En un grupo de 50 alumnos, 20 alumnos reprobaron física, 30 alumnos reprobaron matemáticas y 10 reprobaron ambas materias. a) ¿Cuántos reprobaron alguna de las dos materias? b) ¿Cuántos reprobaron sólo matemáticas? c) ¿Cuántos reprobaron sólo física? d) ¿Cuántos no reprobaron ninguna de las dos materias? Sol. a) 40, b) 20, c) 10, d) 10 8.- En un grupo de 40 alumnos reprobados, 21 reprobaron matemáticas, 16 reprobaron física y matemáticas. ¿Cuántos reprobaron física? Sol. 40 9.- En un grupo de 50 alumnos, 20 reprobaron inglés, 30 reprobaron física y 15 reprobaron ambas materias. ¿Cuántos no reprobaron ninguna de estas dos materias? Sol. 15 10.- En cierto almacén se efectuó una encuesta a 150 clientes, obteniéndose lo siguiente: 50 compraron artículo A; 64 artículo B; 73 artículo C; 20 artículo A y B; 22 artículo A y C; 27 artículo B y C, y 8 compraron A, B y C. a) ¿Cuántos no compraron ninguno de estos artículos? b) ¿Cuántos compraron exclusivamente artículo A?, c) ¿Cuántos compraron exclusivamente artículo B?, d) ¿Cuántos compraron exclusivamente artículo C? Sol. a) 74, b) 16, c) 25, d) 32 11.- Una estación de TV efectuó la siguiente encuesta sobre una población: 9.8% prefieren el programa A, 22.9% el programa B, 12.1% el programa C, 5.1% los programas A y B, 3.7% los programas A y C, 6% los programas B y C, 32.4% al menos uno de los 3 programas. a) ¿Qué porcentaje no ve ninguno de los tres programas?,b) ¿Qué porcentaje ve los tres programas?, c) ¿Qué porcentaje ve exactamente 2 de los programas? Sol. a) 67.6%, b) 2.4%, c) 10% 12.- De un grupo de 72 alumnos que estudian matemáticas, 52 estudian química, 50 física, 14 biología, 43 física y química, 3 física y biología, 5 química y biología, y 2 estudian física, química y biología. ¿Cuántos alumnos estudian sólo matemáticas? Sol. 67 13.- De 200 alumnos; 56 practican tenis, 60 practican natación, 84 practican atletismo, 16 practican tenis y natación, 20 practican tenis y atletismo, 10 practican natación y atletismo, y 6 alumnos practican los tres deportes. a) ¿Cuántos no practican ningún deporte?, b) ¿Cuántos practican el atletismo únicamente? Sol. a) 40, b) 60 14.- Una agencia automotriz vendió 47 automóviles; 23 de ellos tenían dirección hidráulica, 27 tenían cambios automáticos y 20 tenían frenos de disco; 7 tenían dirección hidráulica, cambios automáticos y frenos de disco; 3 tenían dirección hidráulica y cambios automáticos, pero no tenían frenos de disco; 2 tenían cambios automáticos y frenos de disco, pero no tenían dirección hidráulica; y 4 tenían dirección hidráulica y frenos de disco, pero no tenían cambios automáticos. ¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios? Sol. 31
VI) PROBABILIDAD 11
I. Espacios finitos de probabilidad
1.- Supóngase que un espacio muestral S consta de 3 elementos: S = {a1, a2, a3}. ¿Qué función define un espacio de probabilidad, y porqué? i) P(a1) = 1 / 4, P(a2) = 1 / 3, P(a3) = 1 / 2 ii) P(a1) = 2 / 3, P(a2) = -1 / 3, P(a3) = 2 / 3 iii) P(a1) = 1 / 6, P(a2) = 1 / 3, P(a3) = 1 / 2 iv) P(a1) = 0, P(a2) = 1 / 3, P(a3) = 2 / 3
Sol. No es un espacio de probabilidad. Sol. No es un espacio de probabilidad. Sol. Sí es un espacio de probabilidad Sol. Sí es un espacio se probabilidad
2.- Sea S = {a1, a2, a3}, y sea P una función de probabilidad de S. Hallar: 5
Sol. p (a1 )
i ) P(a1) si P(a2) = 1 / 3, P(a3) = 1 / 4
12 1 1 Sol. p(a1 ) , p(a 2 ) 2 4 1 3 3 Sol. p(a1 ) , p(a 2 ) , p(a3 ) 10 10 5
ii ) P(a3) = 1 / 4 y P(a1) = 2P(a2) iii ) P(a3) = 2P(a2) y P(a2) = 3P(a1)
3.- Dos hombres h1, h2 y tres mujeres m1, m2, m3 intervienen en un torneo de ajedrez. Los del mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar; pero cada hombre tiene el doble de posibilidad de ganar que una mujer. Hallar la probabilidad de que i) una mujer gane el torneo, ii) Un hombre gane el torneo, iii ) h1 o m1 ganen el torneo. Sol. i)
3 7
, ii)
4 7
3
, iii)
7
4.- Supóngase que un dado está cargado, de tal manera que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número (Por ejemplo, 6 tiene el triple de probabilidad de salir que 2). Considérese los eventos A = {número par}, B = {número primo} y C = {número impar}. Hallar: i) P(A), P(B) y P(C). ii) la probabilidad de obtener un número par o primo, iii ) la probabilidad 4 10
de obtener un número impar- primo. Sol. i) , 7
,
3
21 7
ii)
20 21
8
, iii)
21
II Espacios finitos equiprobables.
5.- Se escogen aleatoriamente 6 bolas de una urna que contiene 7 azules, 5 rojas y 4 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de escoger: i) 4 azules y 2 rojas? , ii)¿2 azules, 2 rojas y 2 blancas?, iii)¿Todas azules? Sol. i)
25 572
, ii)
45 286
, iii)
1 1144
6.- Se eligen aleatoriamente 5 personas de un grupo de 10 hombres y 6 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de escoger a 3 hombres y 2 mujeres?
Sol.
75 182
7.- Se colocan aleatoriamente en un estante, 4 libros diferentes de matemáticas, 6 diferentes de física y 2 diferentes de química. Hallar la probabilidad de que: i) los libros de matemáticas queden juntos, ii) Los de la misma materia queden juntos.
Sol. i)
12
1 55
, ii)
1 2310
8.- Se distribuyen aleatoriamente en una fila 5 niñas y 4 niños. Hallar la probabilidad de que: i) Ocupen lugares alternados, ii) Los del mismo sexo queden juntos.
Sol. i)
1 126
, ii)
1 63
9.- Se lanzan 2 dados normales. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: i) La suma de las caras sea a lo más 9, ii) La suma de las caras sea al menos 10.
5
1
6
6
Sol. i) , ii)
10.- De una urna que contiene 4 objetos defectuosos y 6 buenos se extraen 3 simultáneamente. Calcular la probabilidad de que salgan: i) 3 buenos, ii) 2 buenos y 1 defectuoso, iii)1 bueno y 2 defectuosos, iv) 3 defectuosos.
Sol. i)
1 6
, ii)
1 2
, iii)
3 10
, iv)
1 30
11.- Un disco giratorio se divide en 5 regiones: la naranja que ocupa un vigésimo del área total, la roja un tercio, la verde un cuarto, la azul un quinto y la negra un sexto. Hallar la probabilidad de: i) Acertar a la verde o a la azul, ii) No acertar a la roja.
Sol. i)
9 20
, ii)
2 3
12.- De 120 pacientes examinados, se encontró que 80 tenían enfermedades cardiacas, 30 tenían diabetes y 20 tenían ambas enfermedades. Si se selecciona una persona al azar, hallar la probabilidad de que: i) Sea cardiaco o tenga diabetes. ii) Sea cardiaco, pero no diabético, iii) No esté enfermo. Sol. i)
3 4
, ii)
1 2
, iii)
1 4
13.- Se elige un comité de 4 personas, seleccionadas entre 6 ingenieros y 5 médicos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean seleccionados más de 2 ingenieros?
Sol.
23 66
14.- La probabilidad de que el equipo A gane su primer juego de futbol es 1/2, de que gane su segundo juego es 1/3 y, de que gane ambos es 1/6. i) ¿Cuál es la probabilidad de que, gane por lo menos uno de los dos juegos?, ii) ¿Gane el primero y pierda el segundo?
Sol. i)
2 3
, ii)
1 3
15.-En un laboratorio hay 15 ratones y 12 hamsters. Si la tercera parte de cada grupo fué vacunado. i) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un especimen al azar, sea ratón o esté vacunado?, ii) Sea ratón y no esté vacunado?
Sol. i)
19 27
, ii)
10 27
16.- En una fábrica, el 40% de los obreros trabaja en la fresadora, el 50% en el torno y el 10% en ambas máquinas. Si se elige un obrero al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: i )Opere la fresa o el torno, ii)Opere la fresa ; pero no el torno ? Sol. i) 80%, ii) 30% 17- En una clase de 30 estudiantes, 20 obtuvieron A en Matemáticas, 23 obtuvieron A en Química, 18 obtuvieron A en física, 15 obtuvieron A en matemáticas y en Química, 12 obtuvieron A en matemáticas y en Física y 14 obtuvieron A en Química y en Física. No hubo ninguno sin una A. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un estudiante al azar obtenga A en los tres cursos? Sol.
1 3
13
18.- En una prueba de algunos circuitos de alumbrado eléctrico, se encontraron 16 defectuosos. De estos, 9 tenían filamentos rotos, 6 tenían conexiones defectuosas y 8 tenían alambres rotos. Uno de ellos tenía el filamento roto y la conexión defectuosa, pero los alambres estaban bien; 2 tenían la conexión defectuosa y un alambre roto, pero los filamentos estaban bien; 2 tenían filamentos rotos y alambres rotos, pero las conexiones estaban bien y 5 tenían solamente los filamentos rotos. Se selecciona un circuito al azar a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga las tres fallas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga alambres rotos?
Sol. a)
1 16
, b)
3 16
II Probabilidad condicional
19.- Se lanzan dos dados normales. Calcular la probabilidad de que: a) La suma sea mayor que 7, si el primer número es divisible entre 2. b) El primer número sea divisible entre 2, si la suma es ma yor que 7. c) Aparezca 4 en alguna cara, si la suma de sus caras es 7. d) La suma sea mayor o igual a 8, si el primer número es 6. e) La suma sea mayor que 7, si aparece el 6 por lo menos en uno de ellos. Sol. a)
1 2
, b)
3 5
, c)
1 3
, d)
4 5
, e)
9 11
20.- En el lanzamiento de un cohete espacial, la probabilidad de que el sistema de propulsión funcione es 0.93 y la probabilidad de que tanto el sistema de propulsión como el sistema de control funcione es de 0.81. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de control funcione si ya se lanzó el cohete y el sistema de propulsión funcionó?
Sol.
81 93
21.- En un grupo, el 40% habla español, el 25% habla francés y el 15% habla ambos idiomas. Se elige una persona al azar: a) Si habla español, ¿cuál es la probabilidad de que también hable francés? , b) Si habla francés, ¿cuál es la probabilidad de que no hable español ? , c) ¿Cuál es la probabilidad de 3
2
8
5
que no hable ni francés ni español? Sol. a) , b)
, c)
1 2
22.- En una escuela todos los alumnos están tomando clases de matemáticas e inglés. La probabilidad de que un alumno escogido al azar repruebe en matemáticas es 0.15, la probabilidad que repruebe en inglés es 0.05 y la probabilidad de que repruebe en ambas es 0.04. a) Si el alumno está reprobado en matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que repruebe en inglés? b) Si reprobó inglés, ¿cuál es la probabilidad que repruebe en matemáticas? , c) ¿Cuál es la probabilidad de que no repruebe ninguna materia?
Sol, a)
4 15
, b)
4 5
, c)
21 25
23.- En una escuela el 30% reprobó matemáticas, el 15% química y el 10% ambas materias. Si se elige un alumno al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado química, si también reprobó matemáticas? , b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado matemáticas, si también reprobó química?
1
2
3
3
Sol. a) , b)
24.- En una tienda de autoservicio se tienen las siguientes variedades de toronja: 14
Rosa sin semilla: 10%; rosa con semilla: 30%; blanca sin semilla: 20%; blanca con semilla: 40%. Si un cliente elige una toronja rosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea sin semilla? Sol.
1 4
IV Teorema de la multiplicación
25.- Una clase está formada por 10 niños y 5 niñas. Se seleccionan al azar y uno tras otro a tres estudiantes. Hallar la probabilidad de que: a) los tres sean niños, b) las tres sean niñas, c) primero sea niño y los demás sean niñas. Sol. a)
24 91
2
, b)
91
20
, c)
273
26.- Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen. Hallar la probabilidad de que niños y niñas queden alternados, si i) la clase consta de 4 niños y 3 niñas, ii) la clase consta de 3 niños y 3 niñas.
Sol. i)
1 35
, ii)
1 10
27.- A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean espadas (en una baraja corriente hay 13 espadas )
Sol.
33 66640
IV Procesos estocásticos y diagramas de árbol
28.- Una caja contiene tres monedas; una moneda es corriente, una moneda tiene dos caras y una moneda está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1 / 3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad de que salga cara. Sol.
11 18
29.- Se nos dan tres urnas como sigue: Una urna A contiene 4 bolas rojas y 6 blancas. Una urna B contiene 3 bolas rojas y 2 blanca. Una urna C contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?
Sol.
27 70
30.- Una caja contiene tres monedas, una de las cuales tiene dos águilas. Se elige una moneda al azar y se lanza: Si se lanza nuevamente y aparece águila en ambos casos, ¿cuál es la probabilidad de que sea la moneda defectuosa?
Sol.
2 3
31.- La caja A contiene diez cartas numeradas del 1 al 10, y la caja B contiene cinco cartas numeradas del 1 al 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.
Sol.
5 9
V Teorema de Bayes. 15
32.- Cierta prueba detecta grietas con una probabilidad de 0.8 en metales que tienen fisuras. Si un metal no tiene grietas, la prueba lo indicará en un 90% de las veces en indicará que las tiene en un 10% .Si el 5% de los metales de un lote tienen grietas y las pruebas de un metal seleccionado al azar indica que tiene grietas, ¿cuál es la probabilidad de que tenga grietas efectivamente?
Sol.
8 27
33.- El control escolar está manejado por 5 personas que operan respectivamente el 20%, 25%, 30%, 15% y 10% de los archivos. Las probabilidades con que estas personas dan informe equivocado son 5%, 6%, 10%, 4% y 2% respectivamente. a) Si se elige un informe al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este equivocado?, b) Si el informe es equivocado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido de la 5ª persona?
Sol. a)
63 1000
, b)
2 63
34.- Tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% de los artículos de una fábrica. El porcentaje de desperfecto de producción de los artículos son 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se escoge un artículo al azar, i) ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?, ii) Si el artículo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de haya sido producido por la máquina A? Sol. i)
37 1000
, ii)
15 37
35.- En un restaurante hay 3 meseros A, B y C, que atienden respectivamente al 32%, 34% y 34% de los clientes. Sabemos que los meseros dejan caer la sopa sobre el cliente en el 10%, 2% y 3% de los casos respectivamente. Si a una persona le han dejado caer la sopa encima de ella, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el mesero A?
Sol.
32 49
36.- Una compañía ensambladora de automóviles, requiere de llantas de las siguientes marcas:" Goodyear” en un 50%, "Firestone" en un 20% y "Euzkadi" en un 30%. De la producción de estas marcas, se tiene que el 3%, 4% y 5% la constituyen llantas defectuosas, respectivamente. Si se selecciona una llanta al azar y resulta ser defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de la marca " Firestone".
Sol.
4 19
37.- Los televisores que se venden en “Electra” provienen de 3 marcas, de acuerdo al siguiente porcentaje: el 60% de “Sony”, el 31% de “Samsung” y el 9% de “Panasonic”. El porcentaje de televisores defectuosos de cada marca es el 5%, 5% y 6% respectivamente. Hallar: a) La probabilidad de que al comprar un televisor en “Electra” resulte defectuoso, b) Si el televisor es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido de “Sony”?
Sol. a)
241 5000
, b)
150 241
38.- Una empresa hace un pedido de 150 computadoras que distribuirá en sus oficinas. Del total, 50 son marca “HP”, 70 son marca “COMPAQ” y el resto son marca “DELL”. De las computadoras marca HP, 30 son Pentium II y 20 Pentium III. De las computadoras mar ca “COMPAQ”, 20 son Pentium II y 50 Pentium III. Todas las computadoras marca “DELL” son Pentium III. Si a un empleado le asignan
una computadora Pentium III, hallar la probabilidad de que dicha computadora sea de la marca “DELL”.
Sol.
3 10
VI Eventos independientes 16
38.- La probabilidad de que un arquero A dé en el blanco es 1 / 4 y la de un arquero B es 2 / 5. Si A y B disparan, a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos arqueros peguen al blanco?, b) Ningún arquero dé en el blanco, c) ¿Al menos un arquero dé en el blanco?
Sol. a)
1 10
, b)
9 20
, c)
11 20
39.- Tres caballos A, B y C corren juntos, sus probabilidades de ganar son respectivamente 1/2, 1/3 y 1/6. Si los caballos corren dos veces, hallar la probabilidad de que i) A gane las dos carreras, ii) B gane las dos carreras y c) A gane la primera carrera y C la segunda.
1
1
4
9
Sol. i) , ii)
, iii)
1 12
40.- La probabilidad de que tres hombres peguen en el blanco son respectivamente 1 /6, 1/4 y 1/3. Cada uno dispara una vez al blanco. i) Hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos pegue en el blanco, ii) Si solamente uno pega en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre?
Sol.
31 72
, ii)
6 31
41.- La caja A contiene 8 artículos de los cuales 3 son defectuosos, y la caja B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se saca un artículo al azar de cada caja. i) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso y otro no? iii) Si un artículo es defectuoso y otro no, ¿cuál es la probabilidad de que el artículo defectuoso proceda de la caja A? Sol. i)
3 20
, ii)
19 40
, iii)
9 19
17
