RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ORDEN DE INFORMACIÓN DESARROLLODEL TEMA I.
ORDENAMIENTO LINEAL
Si Edwin llego en 1. er lugar, José tuvo que haber
a. Ordenamiento crecien te o decreciente. b. Ordenamiento lateral. c. Ordenamiento por posición de datos. • Problemas sobre carreras • Problemas sobre edificios
llegado en 3.er lugar. Problemas sobre edificios Decir: "Vanessa vive más arriba queMaría" no implica que necesariamente vivan en pisos adyacentes (contiguos).
A. Ordenamiento creciente o decreciente
Para estos problemas hay que tener en cuenta lo siguiente:
II. ORDE NAMIENT O CIRCULAR O CERRADO
A no es m ayor que B < >
En estos casos los elementos estarán ordenados de manera que formen una figura cerrada. Debemos tener en cuenta lo siguiente:
Equivale a decir que A es menor o igual que B.
A no es m enor que B < > Equivale a decir que A es mayor o igual a B . B. Ordenamiento lateral
izquierda
derecha
oeste
este
occidente
oriente
Decir:necesariamente "Javier está a laestarán derechajuntos. de Luis" no implica que Decir: "César está entre Andrés y Pedro" no implica que necesariamente estarán juntos (adyacentes).
III. RELACIÓN DE DATOS En problemas donde se tiene una diversidad de datos
C. Ordenamiento por posición de datos
y es complejo relacionarlos a simple vista se recomienda emplear las "Tablas de doble entrada" o los cu adros
Problemas sobre carreras Decir: "José llegó 2 puestos detrás de Edwin" implica que por ejemplo: LIBRO UNI
de relación directa. A continuación una breve presentación de los mismos. 1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ORDEN DE INFORMACIÓN
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IV. HORARIOS
A. Tablas de doble entrada
Profesiones Ingeniero Médico
Este tipo de problemas es muy similar a la "Relación de Datos", con la diferencia que el grado de complejidad es mucha mayor.
Deporte preferido
Psicóloga
útbol F
Voley
Basket
Carlos
Ejemplo: Raúl
Arantxa está planificando su horario de estudio de lunes a viernes. Los cursos que debe de incluir en su horario
Diana
son: Aritmética, Geometría, Lengua y Filosofía. Además, debe practicar las siguientes deportes: tenis, natación y voley. Cada día debe de estudiar un curso y practicar un deporte, de acuerdo a las siguientes condiciones:
En esta tabla se muestra a 3 personas junto con las profesiones que desempeñan y su deporte preferido. El objetivo es ordenar la información brindada, descartando todas a excepción de una (la correcta) y dicha tabla debería terminar del siguiente modo en la medida de lo posible: Ingeniero Médico
Psicóloga
Fútbol
Basket
Voley
•
El lunes y el jueves debe practicar tenis.
•
El martes no pr acticará natación.
•
El miércoles estu diará Aritmética.
•
El día que estudia Lengua también practica voley. El día que estudia Filosofía también practica natación.
Carlos
No
Si
No
Si
No
No
•
Raúl
No
No
Si
No
Si
No
¿Qué curso estudiará el martes?
Diana
Si
No
No
No
No
Si Solución: De la información dada la vamos a ordenar en el siguiente cuadro:
B. Cuadro de relación directa
Carlos
Raúl
Diana
Lun
Preferido Cursos
Deporte Preferido
Deporte
Carlos Médico
Deporte Preferido
Fútbol
Raúl
Diana
Vie
Tenis
Mar
Cursos Deporte
Mie
Jue
Arit. Tenis
Vie Fil.
Tenis
Nat.
Voley y como Lengua y voley también deben de estar en un mismo día entonces:
Nota: No todas las tablas de doble entrada o los cuadro de relación directa se llenan, todo dependerá de la información brindada en el problema.
LIBRO UNI
Jue
Arit. Tenis
Lun
Psicólogo Ingeniera Basket
Mie
Además en un mismo día debe de estudiar Filosofía y practicar Natación y como el martes no practica Natación entonces se tiene:
El cuadro de relación directa es mucho más rápido de trabajar debido a que su construcción es mucho más simple y su llenado se realizo de una forma más razonada y menos mecánica. Dicho cuadro de terminar del siguiente modo:
Preferido
Mar
Lun
Leng.
Cursos Deporte
2
Mar
Tenis
Voley
Mie
Jue
Arit.
Vie Fil.
Tenis
Nat.
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ORDEN DE INFORMACIÓN
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problemasresueltos
Problema 1 En un edificio de cinco pisos viven las amigas María, Lucía, Irma, Cathy y Luisa. Cada una vive en un piso diferente. Además se sabe que Cathy vive más abajo que Lucía, pero más arriba que Irma. María no vive debajo de Irma, Lucía no vive arriba de Irma. ¿Quién vive en el quinto piso?
La esposa de David no es Norma ni Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos?
A estaba frente al que bebí a vin o. Quien se sentaba a la derecha de D
UNI 2008-II
bebía anís. El que bebe café y el que bebe anís estaban frente a frente.
Nivel intermedio
UNI 2008-II
A ) Betty – Bruno B) Betty – Néstor
Nivel difícil Indique la proposición verdadera:
C) Norma – Bruno
A ) B bebía anís
A ) María
D) Gaby – Bruno
B) B bebía agua
B) Lucía
E) Gaby – Néstor
C) C bebía anís D) A bebía café
C) Irma
E) D bebía agua
D) Cathy
Resolución:
E) Luisa
•
Helen está casada con Juan.
•
La esposa de David no es Norma ni Gaby.
•
Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra.
UNI 2009-I Nivel fácil Resolución: La pregunta esta mal planteada porque no puede ser que Lucía viva más arriba
Se utilizará el cuadro de Descarte:
que Irma, eso contradice el dato inicial.
David
Bruno
Juan
Néstor
Si se cambian los datos.
Norma
María no vive debajo de Irma por:
Hellen
Betty
Gaby
María vive debajo de Irma y Lucía no vive arriba de Irma por:
Resolución: I.
El que se sentó a la izquierda de B bebió agua.
II. A estaba frente al que bebía vino. III. Quien se sentaba a la derecha de D bebía anís. IV. El que bebe café y el que bebe anís estaba frente a frente.
Luisa no vive arriba de Irma Nota: Como dicen que hay una pareja de esposos cuyos nombres empiezan con la misma letra se deduce que Norma el esposa de Néstor y se logra completar todo el cuadro.
Respuesta: B) Lucía
Relación correcta: Gaby – Bruno
Problema 2 Norma, Helen, Betty y Gaby están casadas con David,Bruno, Juan y Néstor, pero no necesariamente en el orden mencionado. Los nombres de una de las
Respuesta: D) Gaby – Bruno Problema 3
Se descarta por el dato (III)
parejas empiezan con la misma letra. Helen está casada con Juan.
Cuatro amigos A, B, C y D se sentaron a beber en una mesa circular. El que se sentó a la izquierda de B bebió agua.
LIBRO UNI
3
Proposición verdadera: bebía anís.
Respuesta: C) bebía anís
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUCESIONES DESARROLLODEL TEMA NOCIÓN DE SUCESIÓN
B.
Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de elementos de acuerdo a una ley de formación o también una característica común.
Sucesión literal
Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales. 1. Según el alfabeto:
Ejemplos:
Sucesión gráfica: A
,
,
,
, ....
B
C
D
E
F
Ñ
O
P
Q
GHIJKL M
N
• •
Sucesión literal: A, C, E, .... Sucesión numérica: 1, 5, 13, 29, ....
A.
Sucesión Gráfica
Ejemplo:
Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un "criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe percibir el desplazamiento o giro.
¿Qué letra continúa? A, D, I, O, ....
RSTUVW X Y
Resolución:
De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde un número: A, D, I, O, . . . . 1 4 9 16 12 22 3 2 4 2 Son los cuadrados perfectos Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".
Ejemplo:
¿Qué figura continúa?
,
,
, ....
Resolución:
2. Son iniciales de nombres con un orden dado. Ejemplos:
Se observa que cada figura es una vista del siguiente sólido.
U,D, u d n o o s
giro
Por lo tanto la siguiente vista será: LIBRO UNI
Z
4
T, C,.. . t c r u e a s t r o
L,M,M, lmmj u a i n r e e t r s e c s o l e s
J,. .. u e v e s
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SUCESIONES
Exigimos más! 3. Completan una palabra o frase.
a123456 ;a ; a ; a ; a ;a
Ejemplos:
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; x
O, N, M, U, L, . . . la "A" completaría ALUMNO en orden inverso.
x = 6 × 2 = 12 2. Halle x: 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; x
C.
Sucesión n umérica
Resolución:
Es aquella que se caracteriza por tener como términos a números distribuidos y ordenadas de acuerdo a una
Cada término es el cuadrado de su ordinal más uno.
determinada ley de formación.
2
5
;
10 ;
17 ; 26 ;
x
2 2 ; 5 +1 2 ; 6 +1 2 12+1 ; 2 2+1 ; 3 +1 ; 4 +1
Ejemplo:
1. ¿Qué número continua? 2, 4, 6, 8, 10, . . .
3. ¿Qué número sigue? 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ...
Resolución:
Resolución:
Se puede notar que cada número representa el doble de su ordinal. D.
;
Cada término es un número primo luego el siguiente primo es 17.
Sucesiones notables
A continuación un cuadro que muestra las sucesiones más representativas.
E.
Sucesión polinomial
Es aquella sucesión en donde "an" tiene forma de polinomio: P(n). El grado del polinomio determina el orden de la sucesión. Ejemplos:
1.ºOrden: 5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3) -2
-2
-2
LIBRO UNI
5
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SUCESIONES
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También:
2
2.ºOrden: 3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5) -0
-2
t0
-4 . . . . .
+2
t1 ; t 2; t 3; t 4; ....... ; t
+2 . . . .
+r
3.º Orden: 0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n3 - 1) 7
19 12
35 18
6
+r
n
+r
tn r n t 0
61 24
Ejemplo:
6
Calcula el vigésimo término de la sucesión. 2, 11, 20, 29, . . .
En general:
a 1, a 2, a 3, a ,4 a ,5a , 6. . . , a
Solución:
n
+b1 +b2 +b3 +b4 +b5
–7
+c1 +c2 +c3 +c4
2 ; 11 ; 20 ; 29 ; ....
+d1 +d2 +d3
+9
tn= 9n – 7
+9 +9
+e1 +e2 • • •
Nos piden: t20 = 9(20) – 7 = 173 Propiedades
Donde: an a1
Cnk : n k
C
c1n1
b1 c n21 c 1
cn31
Sea la progresión aritmética: t1, t 2, t 3, t4, . . . , tn
d1 ...
Número combinatorio.
1. Tomamos 3 términos consecutivos cualquiera y se cumple:
n! k! (n k)!
t2 F.
Sucesión lineal
t3
Se le llama también sucesión de 1.er orden o progresión aritmética, se forma cuando a partir del primer término siempre agregamos una misma cantidad llamada razón aritmética.
2. Si "n" es impar: t central
+4 +4 +4 . . . .
6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1) +5 +5 +5 . . . .
G.
100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102)
Sucesión cuadrática
Es toda sucesión polinomial de 2° orden.
-2 .. ..
tn An2 Bn C
¿Como podríamos hallar tn? t1 ; t 2; t 3; t 4; ....... ; t +r
+r
t1 t n 2
3. La suma de términos extremos siempre es la misma. t1 + tn = t2 + tn-1 = t3 + tn-2 = ...
5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1)
-2
2
Ejemplos:
-2
t1 t3 2 t2 t 4
Ejemplo:
n
• 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; ...... (n2 – n + 3)
+r .......
+2 +4 +6 +8 +10
inducción: tPor 1 = t1 t2 = t1 + r t3 = t 1 + 2r t4 = t 1 + 3r
+2 +2 +2 +2
2 • 7 ; 15 ; 28 ; 46 ; 69 ; ...... 5n n 4 2 2 +8 +13 +18 +23
+5
+5
+5
• 1 ; –2 ; –7 ; –14 ; ...... (2 – n 2)
Entonces:
–3
tn t1 (n 1)r
LIBRO UNI
–5 –2
6
–7 –2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUCESIONES
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¿Cómo podemos hallar tn?
En resumen, sea la sucesión:
t0 ; t 1; t 2; t ;3 t ;4....... ; t
C = t 01234 ; t ; t ; t ; t ; ......
n
A + B = +d0123 +d +d +d
+d0 +d1 +d2 +d3 +r
+r
2A =
+r
Luego: t1 = t 0 + d0 t2 = t0 + d0 + d1 t3 = b0 + d0 + d1 + d2 t4 = b0 + d0 + d1 + d2 + d3
+r
+r
Ejemplo: Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente: 9; 13; 19; 27; 37; ... Resolución:
Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los términos que estarían antes que los primeros.
tn t00 d d12 d
+r
... dn 1
C = 7 ; 9 ; 13 ; 19 ; 27 ; 37
Llamaremos: S = d0 + d1 + d2 + .... + dn – 1
A + B = +2 +4 +6 +8 +10 2A =
Entonces:
Luego: A= 1 B=1 C=7
d0 d0 d1 d0 1r d2 d0 2r d3 d30 r
()
Reemplazando en tn = An 2 + Bn + C tn = n2 + n 7 Nos piden: t20 = 20 2 + 20 + 7 = 427
dn1 d0 (n 1)r S nd0 (11 1)nr 2
H.
Sucesión geométrica
También se le llama progresión geométrica y es aquella en donde a partir del primer término siempre se multiplica por una misma cantidad llamada razón geométrica.
Reemplazando en la expresión del término enésimo: (n 1) tn tn0 d0 nr 2
tn t0 nd0
Ejemplos:
(n2 n) r 2
•
7, 14, 28, 56, . . . x2 x2 x2 . . . 9, 27, 81, 243, . . . x3 x3 x3 . . . 120, 60, 30, 15, . . . x1x1 x1 2 2 2
•
tn r n2 d 0 r n t 0 2 2
• Luego observamos que:
tn
2
AnB
n C
r 2 2 n d0
r 2 n t0
En t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; .... ; tn Porgeneral: inducción: t1 = t1 t2 = t1 × q t3 = t 1 × q2 t4 = t 1 × q3
Entonces se concluye que: A r 2 B d0 r A B d0 2 C t0
LIBRO UNI
+2 +2 +2 +2
Entonces:
7
tn t1 qn1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUCESIONES
Exigimos más!
1. Si tomamos 3 términos consecutivos cualquiera se cumple:
Ejemplo:
Calcule el vigésimo término de la P.G. siguiente: 5, 10, 20, 40, . . . .
t2 t1 t 3
Resolución:
t 3 t2 t 4
5, 10, 20, 40, . . . x2 x2 x2
t 4 t 3 t5
Sabemos que: tn = t 1 × q n–1 Entonces: t20 = 5 × 219
2. Si "n" es impar: tcentral t1 tn
Propiedades
3. El producto de términos extremos es siemp re el mismo. t1 × t n = t 2 x t n-1 = t 3 × t n-2 = ...
Sea la P.G.: t1, t 2, t 3, t 4, t 5, . .
problemasresueltos Problema 1
Problema 2
Problema 3
Considerando la sucesión: –1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6 el siguiente término es:
Determine la letra que continúa en la sucesión: B, C, E, G, K, M, P, .... Observación: no considere "LL".
Indique el número que continúa en la siguiente sucesión: 75, 132, 363, 726, ...
UNI 2012-II
A) B) C) D) E)
UNI 2012-II
8 10 11 12 14
A) B) C) D) E)
Resolución: Ubicación de incógnita
Indicar el término que continúa. Análisis de los dat os o gr áficos
–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6, x Operación del problema
–
Resolución del problema Cada término es la suma de los tres que le preceden, es decir: • 0 = –1 + 0 + 1 • 1=0+ 1+ 0 • 2=1+ 0+ 1 • 3=0+ 1+ 2
Q R S V W
D) 1452 E) 1551
Resolución:
Resolución: Ubicación de incógnita
Ubicación de incógnita
Indique el número que continúa.
Determinar la letra que continúa. Análisis de los datos o gr áficos Análisis de los dat os o gr áficos
75; 132; 363; 726; ...
B, C, E, G, K, M, P Operación del problema Operación del problema
–
Resolución del problema Cada letra ocupa un lugar en el alfabeto, es decir:
A,B, G,H,I,J,K C ,L, M ,N,Ñ,O, P ,Q,R ,D,E ,F, 2 3
5
11
7
13
17
Y las posiciones que ocupan son números primos.
Conclusiones y respuest a
Conclusiones y respuesta
Luego: x = 2 + 3 + 6
El siguiente número primo es 19.
Respuesta: C) 11 LIBRO UNI
UNI 2012-I
A) 118 0 B) 1254 C) 1353
Respuesta: C) R
8
Conclusiones y respuesta
A cada número se le suma el número que resulta de invertir el orden de sus cifras.
Respuesta: C)
1353
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SERIES NOTABLES DESARROLLO DEL TEMA I.
SERIE NUMÉRICA
En general en toda serie aritmética:
Una serie numérica es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Y a la suma de dichos términos se le llama el valor de la serie. Es decir: Si la sucesión es: t1, t 2, t 3, t4, ..., tn Entonces, la serie numérica respectiva es: t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn
n t1 + t2 + t 3+ ... + t = n (t + 1 t ). n 2 +r +r
t1: primer término tn: último término n: número de términos Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie de 25 términos: 19 + 23 + 27 + 31 + ...
Ejemplo: Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25 Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Solución: Tenemos 1t = 59; n = 25 y nos falta el último término, 25.t
Suma (Valor de la serie)
19 , 23 , 22 , 31 , ... +4
A. Serie aritmética
+4
+4
tn = 4n + 15
La serie aritmética se srcina a partir de la adición
... tn rn a0
de los términos de una progresión aritmética.
t 25 = 4(25) + 15 = 115
Ejemplo: Dada la siguiente sucesión de 20 términos, determine la suma de todos sus términos: 7, 10, 13, 16, ... , 61, 64
Luego, reemplazamos: (19 115).25 S 1675 2 Ejemplo: Hallar la suma de una serie aritmética de 13 términos donde su término central es 30.
Solución : Nos piden:
Solución: Como la serie tiene 13 términos (n es impar): S = tc . n S = 30.13 = 390 B. Serie geométrica finita La serie geométrica se srcina a partir de la adición de los términos de una progresión geométrica (P.G.) y la suma se calcula así:
Observación Se observa que la suma de cada pareja de términos que equidistan de los extremos nos dauna suma constante. Luego, como hay 20 sumandos, entonces tendremos 10 parejas y cada una suma 71. S = (71)(10) = 710 LIBRO UNI
t 1 + t2 + t 3 + ... + t = n xq
9
t.1 (qn
-
1)
q- 1
xq
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SERIES
Exigimos más! t1: primer término q: razón n: número de términos donde: q 1; q 0
7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2) = 8)
Ejemplo: Calcular la suma de los 12 primeros términos de la siguiente serie: 3 + 6 + 12 + 24 + ...
n(n 1)(n 2)(n 3) 4
1 1 1 1x2 2x3 3x4
...
1 n(n 1)
n n 1
Observación: En todos los casos n es el número de términos.
Solución : S = 3 + 6 + 12 + 24 + ... x2
t1 = 3 q=2 n = 12
x2
Reemplazamos: S
A. Suma de términos de una serie polinomial
Una serie se dice que es polinomial cuando su término enésimo (tn) tiene la forma de un polinomio.
12
3.(2 1) S=12285 2 1
Si:
orden) orden)
t1 1- q
Solución : Primero hallamos tn:
suma límite
4, 11, 22, 37, 56, ...
donde: 0 < q < 1
7 11 15 19
Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie infinita: 36 12 4 4 ... 3 Solución :
4 4 4 a
Una vez que conocemos tn, la suma de losn primeros términos (Sn), se calcula directamente, así:
x1 3
2
tn = 2n + 5n + 4
36 Reemplazamos S 54 1 1 3
Sn
II. SERIES Y SUMAS NOTABLES n 1) 1 2 3 4 ...
(2°orden)
4 2 ; b = 7 - 2 = 5; c = 4 2
tn = 2n2 + 5n + 4
t 1 = 36 q= 1 3
S = 36 + 12 + 4 + 4 + ... 3
n(n 1) 2
2.
n(n + 1)(2n + 1) 6
+
5.
n(n + 1) 2
+
4(n)
5. 20(21) 4(20) S 20 2. 20(21)(41) 6 2
3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) 2= n ...n 4) 12 22 32 42
2
n(n 1)(2n 1) 6
3 23 33 43 ...n 5) 1
3
n(n 1) 2
3x4 4x5 ... n(n 1) 6) 1x2 2x3
=
Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:
2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)
LIBRO UNI
o
Ejemplo: Calcular la suma de los 20 primeros términos de: 11 + 22 + 37 + 56 + ...
t1: primer término q: razón
x1 3
(2.
tn = an3 + bn2 + cn + d ... (3. er orden)
xq xq
x1 3
er
(1.
tn = an2+ bn+c...
C. Serie g eométr ica decr ecie nte de infinitos términos El valor de esta serie, conocida como suma límite, se calcula así: t1 + t2 + t 3 + ... =
tn= an+b...
S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870
III. SUMATORIAS
2
Sea la serie: S = t1 + t2 + t3 + ... + tn Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria ( ).
n(n 1)(n 2) 3 10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SERIES
Exigimos más! A. Propiedades
Así:
S= t1 + t2 + t3 + ... + tn
1. Cantidad de términos
n
b
k 1
k a
S tk
tk taa
t1a t 2 ... (b - a + 1) términos
tb
2. Sumatoria de un a cons tante
Se lee: "Sumatoria de los términos de la forma tk, desde k = 1 hasta k = n".
b
c (n a 1).c k a
Ejemplo: Desarrollar las siguientes sumatorias:
Donde: c es constante (no depende de k) b
4
(k 2 1)
a) S
k 1
k=a
S = (1 2 + 1) + (2 2 + 1) + (3 2 + 1) + (4 2 + 1)
b
(tk + P k) =
b
tk + k=a
k=a
(2n 5)
tk ; donde: c es constante. k=a
b
4. 12
b) A
b
(c.tk) = c.
3.
Pk k=a
n8 b
n 8
n 9 n 10 n 11
n 12
5.
(25) (27) (29) A= (21) (23)
m
b
t k tk
k a
k a k m 1
tk
; donde: a < m < b
problemas resueltos UNI
Problema 1
Nivel intermedio La suma de los 20 términos de una P.A. creciente es 650. Si el producto de los 10n 1 9n 10 A) términos extremos es 244, hallar la razón. 9 UNI n 10 9 10 Nivel fácil B) 9 A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 7 10n 9n 10 C) 9 Resolución: 10n 9n 10 D) Dado: t1 + t 2 + ... + t 20 = 650 9 Es decir: n 1 10 9n 10 E) 9 t1 t20 2 20 650 t1 t20 65 ...(1) Resolución: además: tx1 t 20 244 ...(2) Reescribiendo convenientemente tendremos: Resolviendo (1) y (2): E=(10+1)+(100+1)+(1000+1)+...+ (100...00 1)
Respuesta: E)
1 0 n+1 + 9 n - 1 0 9
Problema 3 Un obrero ha abonado este mes 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/. 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró el primer mes? UNI Nivel difícil A) 13 B) 10 C) 14 D) 16 E) 17
Resolución: er
do
er er
t1 4 t 20
como t20 = t 1 + 19r 61 61 = 4 + 19r r=3 Respuesta: A) 3
Problema 2 Calcular el valor de E en la siguiente expresión: 101 1001 10001 E 11 ... 1000...01 "n" cifras
LIBRO UNI
"n" cifras
Reagrupando y sumando las unidades nos queda: 1
2
3
n
E=10 + 10 +10 +...+10 +n Suma de todas las unidades
Aplicando en la serie geométrica: 10 n E 101n 9 10n 1 E 10 n 10 1
11
178 (190 12n) .n 1410 2 Resolviendo: n = 15 er El 1. mes ahorró:
190 – 12 (15) = 10
Respuesta: B) 10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PLANTEO DE ECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA
Plantear una o más ecuaciones consiste en traducir el enunciado de un problema de un lenguaje verbal a un lenguaje matemático. Para llevar a cabo dicha tarea es necesario llegar a una compresión cabal del enunciado. Esto es, distinguir la información que nos brinda el problema (datos), por un lado y por el otro que nos solicita que calculemos (incógnitas). Podemos resumir el planteo ecuaciones con el siguiente esquema:
La suma de los cuadrados de dos números
x 2 + y2
El cuadrado de la suma de dos números
(x + y) 2
Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje simbólico. Lo que aquí hemos mostrado son ejemplos de cómo se puede representar simbólicamente en el lenguaje matemático un fragmento de enunciado. Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Ya que para encontrar la respuesta a un problema debemos resolver una o más ecuaciones, es necesario que el estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones en sus diferentes formas. LIBRO UNI
12
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PLANTEO DE ECUACIONES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
UNI 2010 - I Nivel intermedio B) 18 C) 27 E)3 6
Existen en oferta 2 modelos de automóvil: El modelo A se vende a 50 000 soles, pero se sabe que el costo de combustible y aceite en el primer año
A) 15 D)3 3
es de 2 soles por km recorrido. El modelo B se vende a 65 000 soles, pero se sabe que el costo de combustible y aceite en el primer año es de 1,75 soles por km recorrido. Indique el recorrido en km para el cual se podría escoger cualquier vehículo.
Resolución: Hallamos el total de pasajeros que fueron transportados y analizamos la relación de personas que suben y bajan del bus. a) Aplicación de fórmula o teorema
UNI 2010 - I B) 30 000
C) 50 000
D) 60 000
#pasajeros
Total recaudado Costo unitario del pasaje
99 66 personas 1,5
b) Solución del problema
E) 65 000
Num. personas al inicio: x
Resolución: Indique el recorrido en km para el cual se podría escoger cualquier vehículo.
Considere:
Q 1 P 8
UNI 2009 - II
Nivel fácil A) 25 000
¿En cuánto vendió cada ciento si en total ganó r% de su inversión?
Núm.personas suben : 12k (Por dato) Núm.personas bajan : 7k
Nivel difícil A)
6 C 1 r 5 100
B)
6 C (1 r) 5
C)
4 C (1 r) 3
D) 3 C 1 r 2 100 E)
3 C(1 r) 2
Resolución: Valor de venta de cada ciento de pollitos. Analizando:
Número de km recorridos: "x" Operando: Para que se elija cualquiera de los vehículos el costo debe ser el mismo: 50 000 + 2x = 65 000 + 1,75x 0,25x = 15 000 x = 60 000
Siempre se sumple que:
Inversión: P
•
Ganancia: r%
•
Por cada 100 que vende regala 5.
•
Pierde "Q" pollitos.
Inicio + suben = Bajan + final • Además todos los que pagan pasaje son: 1,5(7x + 38) = 99
C 100
•
P 8k Q 1k
Resolviendo:
7x + 38 = 66 x=4
Respuesta: D) 60 000 Problema 2
Un bus que cubre la ruta UNI-Callao logró recaudar en uno de sus viajes 99 soles, habiendo cobrado 1,5 soles como pasaje único. Durante el recorrido por cada 12 pasajeros que subieron, bajaron 7 y llegó al paradero final con 38 pasajeros, ¿con cuántos pasajeros inició su recorrido? LIBRO UNI
El número de pasajeros que había al inicio es 18.
Respuesta: B) 18 Problema 3
Un comerciante compró P pollitos a C soles el ciento. Durante el periodo de venta, se pierden Q pollitos y, además, el comerciante regaló 5 pollitos por cada ciento que vendió. 13
1 r 8 kC 7 k x 100 100 105
Operando: x 1 r 6C 100 5
Respuesta: A) 1 r 6C
100 5
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA: PROPOSICIONAL DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIONES
•
A. Proposiciones Son expresiones del lenguaje que tienen la propiedad fundamental de ser verdaderas o falsas. Ejemplos: – Lima es la capital del Perú. – x + 2 > 8, si x = 5
B. Variables proposicionales Son los símbolos que representan a las pr oposiciones simples: p, q, r, s, ...... C. Conectivos lóg icos Son los símbolos que se usan para relacionar proposiciones, es decir forman proposiciones, es decir, forman proposiciones compuestas a partir de las proposiciones simples.
Las proposiciones se pueden clasificar en: • Simples: Mario es un niño. Mario es travieso. Símbolo
Compuestas: Mario es un niño y es travieso. Ricardo es médico o ingeniero.
Nombre Negación
Lenguaje común No, no es cierto que, no es el caso que, etc.
Conjunción
Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc.
Disyunción inclusiva
“O”
Disyunción exclusiva
“O”, “O ... O ...”
Condicional
Bicondicional
“Si ... entonces...”, “... si ...”, “... dado que ...”, “... siempre que ...”, “... porque ...”, “... en vista que ...”, etc. “.......si y solo si .....”
II. TABLAS DE VALORES DE VERDAD
La conjunción es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones componentes son verdaderas y es falsa cuando al menos una de sus componentes es falsa.
A. Conjunción ( ) Une dos proposiciones mediante el término "y".
Ejemplo: Luis es joven y honrado. p: Luis es joven. q: Luis es honrado.
p
Simbología: p q LIBRO UNI
q
p
q
V V V F F V F F
14
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más! B. Disyunción inclusiva ( ) Une dos proposiciones mediante el término "o".
El condicional es falso únicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y es verdadero cuando al menos el antecedente es falso o el consecuente es verdadero.
Ejemplo: El gerente habla inglés o francés. p: El gerente habla inglés q: El gerente habla francés.
p
Simbología: p q La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando ambas proposiciones componentes son falsas y es verdadera cuando al menos una de sus componentes es verdadera.
p
q
p
Simbología: p
La disyunción exclusiva es verdadera cuando sus componentes tienen diferente valor de verdad y es falsa cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad. p
p V V F F
Simbología: p q
q
q
q V F V F
p
q
F. Negación ( ) Cambia el valor de verdad de la proposición.
Ejemplo: p: Luis es honesto. p: Luis no es honesto.
q
Por tanto la simbolización y la tabla de verdad de la proposición negativa es: p
D. Condicional (
q
El bicondicional es verdadero cuando ambos componentes tienen igual valor, de verdad y es falso cuando sus componentes tienen valores de verdad diferentes.
Ejemplo: Raimondi nació en Perú o en Italia. p : Raimondi nació en Perú. q : Raimondi nació en Italia.
V F V F
Ejemplo: Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzas en tus estudios. p: Serás un excelente ingeniero. q: Te esfuerzas en tus estudios.
q
C. Disyunción exclusiva ( ) Une dos proposiciones mediante el término "o" pero exclusivo.
p
p
E. Bicondicional ( ) Es la combinación de dos proposiciones con: "....................... si y solo si ......................."
V V V F F V F F
V V F F
q
V V V F F V F F
)
p
V
Es la combinación de dos proposiciones mediante: "Si ........... ............. entonces ................. ....." antecedente consecuente
F La frase "no es el caso que" generalmente se emplea para negar proposiciones compuestas.
Ejemplo: Si estudias, entonces ingresarás: p: Estudias q: Ingresarás
Ejemplo: No es cierto que Juan sea pintor y se levante temprano. p: Juan es pintor. q: Juan se levanta temprano.
Simbología: p q "Ingresarás, si estudias"
Simbología:
LIBRO UNI
15
(p q)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más! Observaciones 1. La doble negación es lo mismo que una afirmación: " ( p)" tiene la misma tabla de verdad que "p". 2. "p q" y " (p q)" tienen la misma tabla de verdad. 3. Cuando una proposición compuesta tiene más de dos proposiciones, por tanto más de un conectivo lógico, entonces es necesario usar los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) para distinguir el alcance de los operadores. Ejemplo: a) (p q) r b) p [q (r s)]
2° Con ayuda de la tabla de valores del condicional completamos la columna (3). • •
El resultado de la Tabla de Valores de la fórmula pertenece al operador principal. Dependiendo del re sultado de la fórm ula por Tabla de Valores, este puede ser:
A. Tautología Cuando los valores de su operador prin-cipal son todos verdaderos. Por ejemplo:
4. Las proposiciones compuestas toman el nombre de su operador principal: • La fórmula del ejemplo a) representa una proposición disyuntiva, pues es " " el operador de mayor alcance. • La fórmula del ejemplo b) representa una proposición condicional, pues es " " el operador de mayor jerarquía.
B. Cont radicción Cuando los valores de su operador principal son todos falsos. Por ejemplo:
III. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LA TABLA DE VALORES •
Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obte-
•
ner los valores del operador a partir de los valores de verdad de cada principal una de las variables proposicionales. El número de valores que se asigna a cada variable es 2n, donde "n" es el número de proposiciones que hay en la fórmula.
Ejemplo: Hallar la Tabla de Verdad de la siguiente proposición compuesta: (p q) (p q) • •
C. Contingencia Cuando entre los valores de su operador principal hay por lo menos una verdad y una falsedad. Por ejemplo:
Número de proposiciones: 2 (p y q) Luego: Número de valores para cada variable: 22 = 4 Se procede a aplicar la Tabla de Valores de cada uno de los conectivos empezando por el de menor jerarquía hasta llegar al de mayor alcance.
IV. EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOTABLES Son leyes lógicas que permiten la transformación y simplificación de un esquema molecular en otro más simple, cambiando una o más expresiones componentes del esquema por sus equivalentes lógicos, sin alterar el valor de verdad de la proposición la que corresponde al esquema:
1° Con la ayuda de la tabla de valores de la conjunción y la disyunción completamos las columnas (1) y (2). LIBRO UNI
16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más! Ejemplo: Aquí algunas de sus aplicaciones:
A. Ley de idempotencia • pp p • pp p
A. De Morgan B. Ley conmutativa • pqqp • pqqp • pqqp
Simbología:
q
Segundo equivalente: (p q) Se lee: "No es cierto que Luis sea escritor y no sea poeta".
•
p q (p q) (q
p)
•
p q (p q) (p
C. Transposición
q)
p qq J. Leyes del Complemento V: una tautología F: una contradicción • p p V
F
V F F V
p p
p
Ejemplo: "Si Pedro toca guitarra, entonces canta". p: Pedro toca guitarra. q: Pedro canta. Simbología: p q Su equivalente: p q
K. Transposición
• •
pq (p q)
Simbología: (p q) Su equivalente: p q Se lee: "Luis no es escritor o es poeta".
I. Leyes bicondicionales
p p
q q
Ejemplo: "Si Luis es escritor, entonces es poeta". p: Luis es escritor. q: Luis es poeta.
H. Leyes condicionales p q pq
• •
(p q)
(p q)
G. Ley de Absorción • p (p q) p • p (p q) p • p (p q) p q
•
B. Del condicional
F. Ley de involución (doble negación) ( p) p
p
p p
Su equivalente: p q Se lee: "No estudias o no trabajas"
E. Leyes de Morgan • (pq ) p q • (pq ) p q
q)
p: Estudias. q: Trabajas.
D. Ley d istributiva • p (q r) (p q) (p r) • p (q r) (p q) (p r)
(p p
Ejemplo: "No es el caso que estudies y trabajes".
C. Ley asociativa • p (q r) (p q) r • p (q r) (p q) r
•
(pq ) (pq )
qq p q q p
Se lee: "Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra". D. Transitividad
L. Existencia del elemento neutro
•
V p p V p
•
FppFF
•
V p p V V
•
FppFp
Si :p q y q r Entonces:p r
Ejemplo: • Si estudias, entonces ingresarás. • Si ingresas, entonces serás profesional.
V: Tautología LIBRO UNI
F: Contradicción 17
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más! p: Estudias. q: Ingresarás. r: Serás profesional.
Si un circuito paralelo no funciona, todos sus interruptores están abiertos (proposiciones falsas). El circuito paralelo representa la disyunción débil de dos o más proposiciones.
Simbología: p q qr
•
pq
• p q r
Se representa:
Conclusión: p r
Se representa:
Se lee: "Si estudias, entonces serás profesional". p
V. CIRCUITOS LÓGICOS Un circuito lógico es la representación gráfica de una o más proposiciones, utilizando esquemas denominados circuitos eléctricos. Las proposiciones simples serán representadas como interruptores en el circuito, abriendo o cerrado el circuito. p
* El circuito que representa a la condicional: p q, será: p
equivale
Proposición
Interruptor
q
Si el circuito está asociado a una lámpara: •
p q r
q
dado que: p q p q.
El circuito funciona si la proposición es verdadera, el interruptor está cerrado y pasa corriente.
* El circuito que representa a la bicondicional: p q, será: p
•
q
q
El circuito no funciona si la proposición es falsa, el interruptor está abierto y no pasa corriente.
dado que: p
P
p
q (p
q)
(q
p)
Ejemplo: Grafique el circuito equivalencia a: ((p q) s) t
Según la disposición de los interruptores en un circuito, se tiene dos tipos de circuitos: serie y paralelo.
Se toma el conectivo de menor jerarquía, en este caso la condicional p q:
A. Circuito serie Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno detrás de otro.
p
q
Para que el circuito funcione, todos los interruptores deben de estarcerrados (proposiciones verdaderas). El circuito serie presenta la conjunción de dos o
Se asocia con el conectivo siguiente, en este caso la disyunción, en , en paralelo con s. p
•másp proposiciones. q se representa: p •
p q r se representa: p q
q s
q
Finalmente todo el circuito mostrado, se asocia por la conjunción , en serie con t, obtiéndose la siguiente representación:
r
B. Circuito paralelo Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno al lado del otro. LIBRO UNI
p
q
t
s
18
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1
[(p q)
[ p]
p ( p
A)
UNI 2011 - I A) t
E) r
B) t
D) r
s
(p
q p
C)
D)
q
E)
p
s)
UNI 2012 - I
D) VVFF E) FVFF
Resolución:
Halle el circuito equivalente. Análisis de los datos o gr áficos [(p q)
[ p]
p ( p
q)]
Aplicación de f órmula, teorema o
Análisis de los datos o gr áficos
C) VFVF
q
Ubicación de incógnita
Indica el resultado de reducirla expresión.
q) (r
B) FVVF
Resolución:
Ubicación de incógnita
A) FFVV
t
Resolución:
Si la proposición: es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es:
r
Problema 3
p
B)
Simplifique:
C)
q)]
UNI 2012 - I
Si:
Ubicación de incógnita Halle el valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden).
propiedad •
Análisis de los datos o gr áficos
Ley del condicional:
(p
p q pq • Operación del problema
(p
Operación del problema [(p q) p] ( p q) p
( p q) p
p) ( p
p
Señale el circuito equivalente a la proposición:
LIBRO UNI
q)
(r
V
s) F
V
q)
p ( p q) p ( p) q
p (p q)
Problema 2
s) F
[p (p q)]
(
(p q) p
t
(r
Operación del problema
p (p q) p p (p q) p
q)
Leyes de absorción:
Reducir:
Respuesta: C)
F
V
F
Conclusiones y respuesta Se deduce: r V sV
(p q) p
entre p y q al menos 1 debe ser una verdadera.
Conclusiones y respuesta De reducir la expresión usando las leyes proposicionales queda "p".
Respuesta: A)
19
p
Rpta: p;q;r;s FFVV
Respuesta: A ) FFVV
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO LÓGICO DESARROLLO DEL TEMA I.
CONDICIONAL
Eso implica que cada vez que Carlos va al cine necesariamente va Ana.
En esta parte vamos a explorar la utilización de las proposiciones que tengan el condicional y el bicondicional, recuerda que debemos de reconocer cada caso, luego simbolizar correctamente para poder usar algunas de sus equivalencias.
2. A no participará a menos queB participe Simbología A B A no participa y nunca lo hace a menos que B participe, es por ello que si A, participa entonces B participará.
A. Expresiones Importantes a. Co nd ic io na l Si A participa entonces B participa.
Nota:
Simbología:
Ten presente que en ambos casos la primera persona necesita a la segunda para realizar la acción y no al revés (la segunda es totalmente independiente).
A B A: Antecedentes B: Consecuente Es decir, cada vez que el evento A ocurra, entonces necesariamente B ocurrirá y de forma análoga; si B no ocurre entonces A no ocurrirá.
B. Bicondi cio nal. A participa si y solo siB participa Simbología A B
Nota:
En esta proposición basta que cualquiera de las dos participe para que el otro obligatoriamente este presente, es decir, es una condición de ida y vuelta; si uno está el otro también y si uno no está el otro tampoco está.
Cabe resaltar que una mala simbología de la proposición implicará una mala interpretación del corrector y sus parte, como el antecedente y el consecuente.
Casos Especiales A con tinuación algu nos casos a recono cer y a simbolizar para una adecuada interpretación.
Propiedades:
1. Si A entonces B Simbología: A B 2. Si A, B Simbología: A B 3. A si B Simbología: B A 4. A si y solo si B Simbología: A B 5. A solo si B Simbología: A B 6. Solo si A, B Simbología: B A 7. No A a menos que B Simbología: A B
1. A participará Solo si B participa. Simbología:
A B
Se debe de entender que cada vez que A participa, solo la hará si B participa. es por ello que esa es la simbología. Ejemplo: Carlos irá al cine solo si Ana va. Simbología: LIBRO UNI
20
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO LÓGICO
Exigimos más!
II. FALSA SUPOSICIÓN
B. Prin cip io de Con trad icci ón
Consiste en buscar entre las proposiciones dadas, dos que sean contradictorias, las que tendrán diferentes valores de verdad. Ejemplo: Se tiene las siguientes declaraciones: Mario: "Llevo puesto un polo color rojo". Raúl: "Mario lleva puesto un polo color azul". • Es evidente que las proposiciones plantean ideas distintas, por ende ambas no pueden ser verdaderas o falsas a la vez.
Juego lógico en el que a partir de un suceso, ofrecen versiones sobre lo ocurrido. Hay tres maneras de abordar este tipo de juegos: A. PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA
Consiste en buscar entre las proposiciones dadas, dos que sean equivalentes, las que tendrán el mismo valor de verdad. Ejemplo: Se tiene las siguientes declaraciones Mario: "Raúl es mayor de edad". Raúl: "Yo soy mayor de edad" •
C. Pri ncip io d e sup osic ión
Consiste en asumir un valor de verdad para alguna de las proposiciones, que se tomará luego como punto de partida para verificar una coherencia lógica entre los demás enunciados. De llegar a una contradicción (o alguna situación absurda), deberá evaluarse otra proposición.
Es evidente que l as pr opos iciones hacen la misma afirmación, por ende, ambas tendrían el mismo valor de verdad.
problemas resueltos Problema 1
I.
Si e ll a co mp ra un ve st id o, entonces comprará zapatos. Ella compra zapatos, por lo tanto ella
compra un vestido. II. Si Luis lee Car etas está b ien informado, Luis está bien informado, entonces Luis lee Caretas. III. Si estud io, obteng o buena nota. Si no estudio, me divierto. Por lo tanto, obtengo buena nota o me divierto. Son válidas:
UNI 2007 - II A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III I y II II y III
Al igual que en el caso anterior no implica (q p) . Luego no necesariamente se cumple que: "Si esta bien informado Luis lee Caretas. III. "Si es tudió obtengo buena nota". Tiene como equivalente a: "Si no obtengo buena nota no estudio". Además tenemos otra condicional como dato: "Si no estudio me divierto". Entonces "concectando" los condicionales tenemos: Me No obtengo No divierto buena nota estudio No obtengo Me Finalmente divierto buena nota
Que por equivalencia: (p q p q)
Resolución: I. Si ella compra un vestido Comprará zapatos. (p q) Ella no implica que (q q) , es decir no necesariamente se cumple que: "Si ella compra zapatos comprará un vestido". II. Si Luis lee Caretas esta bien informado (p q) . LIBRO UNI
Obtengo Me o Se llego a buena nota divierto
Respuesta: C) Solo III Problema 2
La mamá interroga a sus cinco hijos: "¿Quién rompió el espejo?! y ellos respondieron: 21
• • • • •
Alberto: Lo hizo Eduardo. Eduardo: Carlos lo hizo. Carlos: Yo no fui David: Juan lo hizo. Juan: Lo hizo Alberto.
Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos y sólo uno dice la verdad, ¿quién lo hizo? UNI 2008 - II A) Alberto C) Carlos
Nivel fácil B) Eduardo D) David
E) Juan
Resolución: Del enunciado tenemos que no fue Carlos y solo uno dice la verdad, entonces podemos concluir que lo que dice. Carlos es verdad ya que dice que él no lo hizo, esto implica que todos los demás encunciados analizamos lo que dijeronson los falsos, demás si y teniendo en cuenta que mintieron; Alberto dice que fue Eduardo, de lo que dijeron David y Juan deducimos que no fueron ni Juan, ni Alberto, por consiguiente el único que queda como culpable es David.
Respuesta: D) David RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO LÓGICO
Exigimos más! Problema 3
A) Lunes
Andrés mi ente lo s días mi érco les, jueves y viernes, y dice la verdad el resto de la semana. Pedro miento los domingos, lunes y martes, y dice la verdad los otros días de la semana. Si ambos dicen: "Mañana es un día en el cual yo miento", ¿cuál día de la semana
B) Martes C) Miércoles D) Jueves
Resolución: Tenemos:
Nivel difícil
LIBRO UNI
Andres:
MMVVVVM LMMJVSD
Como ambos dicen "Mañana es un día en el cual yo miento", el día en que dijeron eso tendría que ser: "martes" por lo cual el día de mañana será "miercoles".
E) Viernes
será mañana?
UNI 2007 - I
Pedro:
V V MMM V V LMMJVSD
22
Respuesta: C) Miércoles
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA DE CLASES DESARROLLO DEL TEMA I.
LÓGICA DE CLASES
3. "Algunos estudiantes son mayores"
Es la parte de la lógica que se encarga del estudio de las proposiciones categóricas.
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 4. "Algunos pobres no son locos"
A. Proposiciones categóricas Es una enunciado o proposición que afirma o niega que un conjunto o clase está incluído en otro, total o parcialmente. Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener en su estructura: a) Cuantificador b) Sujeto
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 5. "Cada niño recibió un regalo" ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
c) Verbo copu lativo d) Predicado
6. "Más de uno se quedó sin escuchar la clase"
Ejemplo:
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
Todos los hombr es son mortales.
(a)
(b)
(c)
7. "Todas las gallinas tienen plumas"
(d)
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
Cuantificador Parte de la expresión que indica la cantidad lógica en una proposición. Según esto un cuantificador puede ser universal o particular (existencial). Según su calidad una proposición categórica puede ser afirmativa o negativa.
8. "Los hombres son celosos" ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 9. "Por los menos un luc hador es fu erte" ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 10."No hay peces voladores" ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
Ejemplos: 11."Dos gatos son chillones"
1. "Todos los perros son rabiosos"
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
12."No existe mujer paciente"
2. "Ningún niño es responsable" ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ LIBRO UNI
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 23
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! Representación gráfica de los cuantificadores
3. Particular afirmativa Algunos políticos son honestos.
1. Conjunto universa l
4. Particular negativa Algunos mamíferos no son carnívoros.
2. Conjunto no vacío
3. Conjunto vacío
Negación de proposiciones categóricas La negación de una proposición categórica consiste, básicamente, en cambiar la cantidad y la c alidad de ésta. (Universal afirmativa) = __________________ (Universal negativa) = ___________________ (Particular afirmativa) = __________________ (Particular negativa) = ___________________
4. Conj unto indeterminad o
Caso especial En una proposición categórica con un cuantificador universal, si la negación se encuentra afectando al verbo copulativo, entonces la negación funciona como si afectará a toda la proposición. Luego, grafiquemos a manera de ejemplo algunas proposiciones categóricas: 1. Universal afirmativa Todos los limeños son peruanos.
Nota: En una proposición categórica existe una diferencia cuando la negación está antes del verbo copulativo y cuando está después del verbo.
2. Universal negativa Ningún judío es alemán.
Por ejemplo: •
LIBRO UNI
24
Todos los debutantes son inexpertos
Todos los debutantes son no expertos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! Graficamente:
4. Algunos S no son no P: ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___ 5. Todos los niños son irresponsables:
Todos los debutantes son inexpertos debutante es experto.
ningún
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
6. Ningún juez es descortés:
Halla la equivalencia de las siguientes proposiciones 1. Todos los S son no P:
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
7. Algunos futbolistas son inescrupulosos:
2. Ningún S es no P:
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
8. Algunos peces no son at ípicos:
3. Algunos S son no P:
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ___
problemas resueltos
Problema 1 A partir de las siguientes premisas: • Todos los artistas son sensibles. • No es cierto que todos los poetas sean sensibles. UNI 2007 - I Nivel intermedio Se infiere validamente que: A) Todos los poetas son artistas. B) Ningún artista es poeta. C) Algunos poetas no son artistas. D) Todos los artistas son po etas. E) Algunos sensibles no son poetas.
Resolución: • Todos los artistas son sensibles. •
No es cierto que todos los poetas sean sensibles.
Operación del problema: Todos los artistas son sensibles.
No es cierto que todos los poetas sean sensibles. No (todos los poetas son sensibles) algunos poetas no son sensibles.
Problema 2 La negación de: "todos los rectángulos son paralelogramos"es: UNI 2005 - I Nivel fácil
A) Todos los rectángulos son no paralelogramos. Nota: recuerda que primero se gráfica B) Todos los no rectángulos no son las proposiciones universales y luego las paralelogramos. particulares. C) Algunos rectángulos no son paraleGraficando ambas premisas: logramos. D) Algunos rectángulos son paralelogramos. E) Todos los no rectángulos son paralelogramos.
Resolución: Nota: Recuerda que primero se grafica Todos los rectángulos son paralelolas proposiciones universales y luego las gramos. particulares. Conclusión:
LIBRO UNI
Respuesta: C) Algunos poetas no son artistas
Algunos poetas no son artistas. 25
Operación del problema: • Todos los rectángulos son paralelogramos. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! •
Reco no cemos q ue está pr op osición es universal afirmativa y al momento de negar debo cambiar la cantidad y calidad de dicha proposición.
universal afirmativa
particular ne-
gativa.
A) Ninguno que estudie arquitectura hace deporte. B) Todos los que hacen deporte saben dibujar. C) Todos los que estudian arquitectura no hacen deporte. D) Algunos que hacen deporte saben
Conclusión:
De la segunda premisa:
Se deduce que:
(todos los rectángulos son paralelogramos) Algunos rectángulos no son paralelogramos.
Respuesta: C) algunos rectángulos no son paralelogramos
Resolución: Todos los que estudian arquitectura hacen deporte. Alguno s estudiantes de arquitectura hacen deporte.
Problema 3 Dadas las siguientes premisas:
Operación del problema:
• Todos los que estudian arquitectura saben dibujar.
De la primera premisa:
• Algunos estudiantes de arquitectura hacen deporte.
UNI 2008 - II
Nota: Recuerda que primero se gráfica las proposiciones universales y luego las particulares. Conclusiones Algunos que hacen deporte saben dibujar.
Respuesta: D) Algunos que hacen deporte saben dibujar
Nivel intermedio
LIBRO UNI
Gráficando ambas premisas:
dibujar. E) Ninguno que hace deporte estudia arquitectura.
26
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERADORES MATEMÁTICOS DESARROLLO DEL TEMA Una operación matemática es una correspondencia o relación mediante la cual, dado uno o mas números se hace corresponder otro llamado resultado , con sujeción a ciertas reglas o leyes perfectamente definidas. Las reglas pueden ser descritas mediante palabras, pero por razones de simplificación se las representa mediante símbolos llamados operadores matemáticos.
El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas).
, , # , ,
...
Las reglas de definición se basarán en las operaciones matemáticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos:
a Las operaciones matemáticas antes mencionadas son conocidas universalmente, es decir, que cualquier matemático
, ,
2
b = 2a - a x b
Regla de Operador definición matemático
del mundo al observar la siguiente operación Log 28, sabe que el resultado es 3. 2
x = x -x+2 En la presente clase lo que haremos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria.
Regla de Operador definición matemático
El objetivo de este capítulo es familiarizarnos en el uso y manejo de los operadores matemáticos, por lo tanto usaremos símbolos arbitrarios para representar operaciones arbitrarias, las cuales definiremos en base a las operaciones conocidas. LIBRO UNI
27
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERADORES MATEMÁTICOS
Exigimos más! OPERACIONES EN UNA TABLA DE DOBLE
En la tabla: Si todos los elementos de la co lumna y fila de entrada pertenecen al conjunto "A", así también como los resultados al operar o cuerpo de la tabla. Entonces diremos que la operación es clausura en "A".
ENTRADA
Indica los elementos que han sido operados y resultados de dichas operaciones que son presentados en una tabla de doble entrada. 2.
Conmutati va
a, b A
En la tabla: "Criterio de la diagonal" Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal que pasa por el operador; luego se observa que los elementos que se encuentran a ambos lados de la diagonal mantengan una simetría (un lado es el reflejo del otro lado). Entonces la operación es conmutativa, en caso contrario no lo será. Es decir:
Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la operación (*) mediante la siguiente tabla:
* 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
a*b=b*a
* a b c
4 4 1 2 3
3.
Hallar: 4 * 3
Asocia tiva
a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c
Resolución: Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y al elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operación la encontraremos en la intersección de la columna y la fila del primero y el segundo elemento respectivamente. Veamos:
4.
Elemento neutro
e A / a A
a*e=e*a=a
En la tabla: • Se verifica que la operación sea conmutativa. • En el cuerpo de la tabla se busca una columna igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. Donde se intersecten, será el elemento neutro ("e"). Es decir:
Propiedades
Se define en el conjunto "A" mediante el operador (*) lo siguiente: 1.
Clausura
A a b A a*b LIBRO UNI
El elemento neutro es "1".
28
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERADORES MATEMÁTICOS
Exigimos más! 5.
Elemento inverso (a - 1)
Resolución: 1.° Calcularemos el elemento neutro "e".
a-1 A; e A/ a A
-1 -1 a*a =a *a=e
1 2 3
Donde:
Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.
e = elemento neutro a-1 = elemento inverso de a
1 2 3
En la tabla: Se busca el elemento neutro y se considera todos iguales a él. Se traza una ele volteada ( ), es decir: a a
e=1
2.° Aplicamos el criterio de las el es volteadas ( ). a
-1
a
e
-1
e
Es decir: Ejemplo: Calcular: 1 –1; 2–1; 3–1 en:
1 2 3
1 2
Del gráfico tenemos que: 1–1 = 1 2–1 = 3
3–1 = 2
3
problemas resueltos
Resolución:
Problema 1 Se define:
0; x a x ; a(x) 1; x a
x ; a(x)
Problema 2
0; x a ;n 1; x a
Para la operación definida en el conjunto A = {1 , 2, 3, 5} mediante la siguiente tabla:
n
=
y para n ;
n
2k
k 0
k
2
k 0
Y además x 4
Halle, para x 4 , el valor de:
Si x 4
(4) (x) 1 M 4 3
UNI 2009 - II Nivel fácil A) 4/3
B)
3
C) 4
D) 15
Se afirma: I.
= 20 + 21 = 3 = 20 + 21 + 22 + 23 = 15
LIBRO UNI
III. Posee elemento neutr o. Son ciertas:
M 4 (15) 20 3
UNI 2010 - I Respuesta: E) 20
E) 20
Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
29
Nivel fácil RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERADORES MATEMÁTICOS
Exigimos más! A) Solo I
III) Sí posee elemento neutro (e).
B) I y II
Analizando:
e=5
C) II y III
Respuesta: C) II y III
D) I y III E) I, II y III Problema 2
En el conjunto Q = {1, 3, 5, 7} se define
Resolución Analizando: A = {1; 2; 3; 5}
la operación "" según la siguiente tabla: Ordenamos la tabla:
Ordenamos la tabla:
Luego, sea x –1 el inverso de x Q, según la operación , halle: 1 1 E 3 15 1 7 1
Elemento neutro (e) = 5
UNI 2010 - I Nivel intermedio A) Se afirma: I.
1 3
C)1
Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
E)
D)
3 5 5 3
3
III. Posee elemento neutr o.
Resolución
I)
Halle:
No es cerrada puesto que aparece el elemento {0} y no pertenece al conjunto A.
B)
1–1 = 1 3
1 1 E 3 15 1 7 5
II) Sí es conmutativa puesto que la diagonal cumple la propiedad de ser eje de simetría.
donde x–1 es el elemento inverso de x.
LIBRO UNI
30
–1
=7
5–1 = 5 7–1 = 3
E 7 5 12 3 31 4
Respuesta: E) 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS DESARROLLODEL TEMA
Estas son las aptitudes que están presentes en los test y lo que debes hacer para trabajarlas. A. Aptitudes verbales
Se miden por medio de ejercicios de ortografía, sinónimos, antónimos, analogías verbales, vocabulario.
Test de laberintos.
• •
Test d e razonamiento abstracto. Test de resistencia a la fatiga y al aburrimiento.
•
Test de retención de memoria.
•
Aptitudes de razonamiento
I.
Se trata de series de números, de letras, de figuras, dominós, monedas, etc.
El test de razonamiento abstracto.
TEST DE RAZONAMIENTO Y DE INTELIGENCIA LÓGICA Los test que componen este tipo de ejercicios suelen ser series de números y de letras. Cada serie sigue una regla de composición lógica que usted deberá descubrir para completar la misma. Para su realización deberemos estar muy familiarizados con el abecedario y con operaciones matemáticas simples.
D. Capacidad administrativa
Archivos, ordenación alfabética, resistencia a la fatiga, detección de errores. E. Capacidad de retención
Memoria visual, memoria auditiva, memoria lectora. F.
Test de dominó.
•
Para lo que son exámenes de admisión principalmente tenemos que detenernos básicamente en tres tipos de test: • El test de razonamiento y int eligencia lógica. • El test de dominó.
B. Aptitudes numéricas Se trata de operaciones elementales y problemas sencillos de razonamiento numérico. C.
•
Veamos seguidamente algunos ejemplos: 1, 2, 3, 4, 5, …….
Capacidad mecánica
Palancas, problemas mecánicos.
A) 5 D) 4
B) 7 E) 3
C) 6
Hay diferentes tipos de test para evaluar psicotécnico algunos son: • Test de r azonamiento e int eligencia lógica. •
Test de capacidad numérica y de cálculo.
•
Test de cálculo aritmético.
•
Test de factor verbal.
•
Test razonamiento verbal.
•
Test de suficiencia administrativa.
•
Test de capacidad administrativa.
•
Test de conocimiento verbal y agilidad mental. LIBRO UNI
•
En este ejemplo los números van correlativos 1, 2, 3, 4, 5, … y por lo tanto siguen un orden por lo tanto la respuesta sería la C) 6.
Veamos ahora un ejemplo con u na serie de letras: a, a, b, c, c, c, d, e, e, e, e, f, ……. •
31
En este ejemplo van dos, tres, cuatro letras repetidas y en el centro una sola letra; por lo tanto la respuesta correcta sería la g. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS
Exigimos más!
II. TEST DE DOMINÓ En esta prueba nos vamos a encontrar con una serie de fichas de Dominó que guardan una cierta relación entre sí. La misión del opositor radicará en descubrir el sis tema de ordenación de esta serie y poner los valores que corresponden a la ficha en blanco.
Examine este grupo de fichas y piense cual iría a continuación: No es difícil llegar a la conclusión de que si las fichas A, B, C, D, E, tienen el valor 6/2, la blanca F, poseerá el mismo valor.
III. TEST DE RAZONAMIENTO ABSTRACTO En este tipo de test usted deberá averiguar que número corresponde a cada signo de los que aparecen a continuación siguiendo la lógica de las series que aparecen en el ejercicio. Recuerda Responde primero a aquellas preguntas de las que estás seguro, si dudas ante una pregunta sáltatela y pasa a la siguiente. No te agobies ni empieces con que no te da tiempo, lo importante es contestar el mayor número de respuestas de forma correcta.
problemasresueltos
Resolución:
Problema 1
Indique la figura que corresponde al
A)
Analizando:
casillero con signo de interrogación. B)
C)
D)
UNI 2010 - I Nivel fácil LIBRO UNI
Observando la relación de los casilleros E)
horizontales.
32
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS
Exigimos más!
B)
B)
C)
C)
D)
D)
E)
E)
Resolución:
(I) En al gunos de los t res cubitos sombreados debe aparecer una o más esferas que debe(n) ser vista(s) desde la parte superior.
La alternativa que completa la secuencia es:
Analizando:
Se descarta las alternativas A y D
Respuesta: E) (II) En alguno de lo s tres cubi tos marcados con una aspa (x) debe aparecer una o más esferas que debe(n) ser vista(s) desde a parte superior. Se descarta la alternativa B.
Problema 2
Un cubo está formado por 27 cubos pequeños, algunos de ellos contienen una esfera en su interior. La figura adjunta muestra la vista frontal (F) del cubo y la vista del lado derecho del cubo (D).
(III) Se descarta la alter nativa C, puesto que como mínimo deben haber tres esferas en el cubo. Por descarte respuesta:
Determine la alternativa que corresponde a la vista superior del cubo. Resolviendo:
UNI 2010-I Nivel intermedio Respuesta: A) A)
LIBRO UNI
33
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS
Exigimos más! Problema 3
Indique la alternativa que mejor complete el cuadro.
•
Analizando:
•
Operando:
C)
D)
UNI 2008 - II Nivel difícil A)
E)
Las figuras que se encuentran en la mitad inferior son el reflejo de las que se encuentran en la mitad s uperior.
Resolución: •
Ubicando la incógnita: Grupo de figuras que siguen en los recuadros.
B)
LIBRO UNI
34
Respuesta: D)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
cuadros y gráficos estadísticos DESARROLLODEL TEMA I.
TÉRMINOS UTILIZADOS EN LA ESTADÍSTICA
b. Cont inuos Cuando sus valores pueden ser expresados como número reales. Ejemplo: La temperatura, la masa (volumen, peso).
A. Población
Se llama así al conjunto de objetos, mediciones o personas con características comunes observables, el cual es II. PRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS analizado para mostrar una información determinada. ESTADÍSTICOS Ejemplo: farmacias de Lima Metropolitana. Al proceso de ordenar y clasificar un conjunto de datos para elaborar una tabla estadística, se le conoce B. Muestra como tabulación de datos. Es un subconjunto de la población que es tomado aleatoriamente (al azar), para ser estudiada como parte Con el siguiente ejemplo le mostrará las diferentes representativa de la población. Ejemplo: número de etapas y conceptos que emplea la investigación estavehículos que circulan por la Av. Javier Prado Este, cua- dística. dra N° 38 entre las 10 y 11 a. m. del día 20-08-2008. Ejemplo: Un grupo de 30 personas se encuentran en el patio C. Variable de un colegio. A cada uno se le pregunta por su Es el símbolo asociado a las características de los eleedad, obteniendo las siguientes respuestas: mentos que forman una población o muestra (unida15; 17; 16; 17; 19; 18; 15; 17; 18; 20; des estadísticas) y que van a proporcionar los datos 17; 16; 16; 15; 16; 17; 19; 17; 20; 18; requeridos para el estudio estadístico. 16; 19; 17; 16; 16; 15; 21; 20; 17; 18; Ejemplo: Edad de los alumnos de Pamer UNI. Se observa que estos valores corresponden a una ca1. Variable cua litativa racterística determinada (edad) de la población (30 Son aquellas que expresan una unidad o atributo, personas), expresados en forma cuantitativa, se les sus datos se expresan mediante una palabra. denomina datos estadísticoscuantitativos. En este Ejemplo: Estado civil, lugar de nacimiento. ejemplo los valores señalados son números enteros, por lo tanto se trata de una variable cuantitativa dis2. Var le cuanti iva asociadas a una caracSon iab aquellas quetat están terística que puede ser medida, es decir, que tienen valor cuantificable. Ejemplo: Número de carpetas vendidas.
creta al observar los datos anteriores se puede indicar: • Hay muchas personas que tienen 17 años. • Ninguna persona tiene menos de 15 años. • Solo una persona tiene 21 años.
a. Discretos Cuando sus valores correspondientes solo pueden ser expresados por números enteros. Ejemplo: Número de hijos de una familia, número de accidentes por día en una autopista. LIBRO UNI
35
Sin embargo se pueden ordenar los datos para conseguir una mejor información, así se tendrá: 15; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16 17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 18; 18; 18; 18 19; 19; 19; 20; 20; 20; 21; RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Ahora rápidamente se puede afirmar: • La menor edad es de 15 años y la tienen 4 personas. • Los que tienen 14 años son tantos como los que tienen 20 años. • Son 8 personas los que tienen 17 años.
Para el ejemplo se tendrá:
Para que los datos sean de mayor utilidad, conviene establecer en forma sencilla el número de veces que aparece cada dato: •• • • • • •
personas tienen tienen 16 15 años años (aparecen (aparecen 64 veces) veces) 74 personas 8 personas tienen 17 años (aparecen 8 veces) 4 personas tienen 18 años (aparecen 4 veces) 3 personas tienen 19 años (aparecen 3 veces) 3 personas tienen 20 años (aparecen 3 veces) 1 persona tiene 21 años (aparece 1 vez)
Donde:
Con los datos obtenidos y sus frecuencias respectivas se puede formar una tabla tal como se presenta:
Fk f123 f f ... fk 1kk f
F 1
Frecuencia relativa (h)
Es el cociente que resulta de dividir la frecuencia del dato entre el total de datos. También es llamado frecuencia relativa simple. Ejemplo: Frecuencia relativa del dato: 15 frecuencia del dato 15 4 Total de datos 30 Asi, para cada uno de los datos, se obtendrá una columna más en la tabla de frecuencias:
A esta presentación de los datos, su conteo y la frecuencia que presentan se le llama tabla de frecuencias o tabla estadística. Donde: F1: frecuencia del primer dato. F2: frecuencia del segundo dato. Fn: frecuencia del n-ésimo dato. f1 f2 f3 ... fk
k
fi
n
K
i1
Donde: h1 + h 2 + h 3 + ... hk = hi 1
k número de datos
i1
n tamaño de la población En ocasiones resulta conveniente añadir a la tabla de frecuencia una columna más qué será destinada a las frecuencias acumuladas.
LIBRO UNI
Frecuencia relativa acumulada (H)
Es la suma de las frecuencias relativas del dato y la de todas las anteriores a dicho dato.
36
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Regla de Sturges: k 1 3, 322 logn n : número de datos
Ejemplo: k = 1 + 3,322 log20 = 5,32 Si k = 5,32 Se recomendaría tomar 5 intervalos o un valor cercano que podría ser. 5. Amplitud o anch o de clas e (W) Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. Ejemplo: En I2 = 10;20 W = 20 – 10 = 10
Nota: En algunos casos, se expresa la frecuencia relativa en forma porcentual, para ello, basta con multiplicar a cada una de las frecuencias relativas por 100% y el valor obtenido será la expresión busca representará como hi%.
6. Marca de clase (Xi) Es el punto medio de cada intervalo. x1 (Límite inferior) (Límite superior) 2
Por ejemplo: h1=0,13 forma porcentual: h1% = 0,13 x (100%) = 13% h2=0,24 forma porcentual: h2% = 0,13 x (100%) = 13% Donde:
d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. d2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
K
hi% 100% h1% + h2% + h3% + ... h k% = i 1
A. Elementos de una tabla de distribución defrecuencias
1. Alca nce (A) Intervalo cerrado en la cual se considera como límites al menor y mayor de los datos. Ejemplo:
2. Rango o recor rido (R) Es la amplitud del alcance, se calcula como la diferencia del mayor y menor de los datos. Ejemplo: R = 21 – 15 = 6 3. Intervalo de clas e (Ii) Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: Se podría tener un intervalo I 2 = 10;20 aquí están aquellas personas cuyas edades sean mayores o iguales a 10 pero menores, que 20. 4. Número de clases (k) Es el número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información. LIBRO UNI
37
III. PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos muestran una información ordenada del hecho que se analiza y estudia. Además de esta forma de presentación es útil y conocer la forma de presentarlos gráficamente para obtener una apreciación global, rápida y visual de la información señalada. Muchas de estas presentaciones podrán ser familiares por haberlas visto en periódicos o revistas. Diagrama de barras separadas
La Organización Internacional del Trabajo (OIT) presentó el siguiente cuadro acerca de la evolución de la competitividad laboral en el sector manufacturero en el año 96, con tasas de crecimiento anual. Productividad Competividad País Argentina 8,2 7,1 7,5 4,5 Brasil ,2 3 –1,1 Chile 5,3 4,1 México ,6 6 1,4 Perú Vamos a representar la productividad de cada país del modo siguiente: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Trazamos unos ejes coordenadas, dos rectas perpendiculares entre sí, una vertical y otra horizontal. En el eje vertical situamos los países, por el lugar asignado a cada país, se trazan barras paralelas al eje horizontal y de longitud proporcional a la productividad respectiva, por ejemplo una longitud de 1 cm por cada unidad de productividad. Se tendría: País
Profesión Frecuecia
Frec. relativa (hi)
Ingenieros
180
180/540 = 0,33 33%
Médicos
150
150/540 = 0,28 28%
Abogados Profesores
108 60
108/540 = 0,20 20% 60/540 = 0,11 11%
otros
42
hi%
42/540 = 0,08
Total 540
8%
Total 100%
Para formar el gráfico de sectores se considera el total de datos de la población como el área del círculo y a cada característica señalada le corresponderá un sector circular, cuyo ángulo central estará dado por: Ángulo(º) frecuencia (f) x 360º Total de datos (n)
El gráfico señalado corresponde a un diagrama de barras horizontales. También se pudo hacer un diagrama de barras verticales si se hubiera situado los países en el eje horizontal y la productividad en el eje vertical. Este tipo de diagrama se utiliza para representar variables cualitativas, siendo la longitud de cada bara la frecuencia correspondiente a cada característica. Para el ejemplo, mencionado anteriormente se
Pero: frecuencia(º ) relativa (h)
frecuencia (f) h = f Total de datos (n) n
Reemplazando:
tendría:
Ángulo (º ) h x 360º Característica Frecuencia (f ) Informativos 580 Películas 530 Documentales 270 Familiares 230 Novelas 160 Concursos 140 Otros 90
La parte que representa a cada sector circular es proporcional a la frecuencia del mismo. Con lo anterior, se calcularía el ángulo de cada sector. hi
hi%
Ángulo i
Ingenieros 180
0,33
33%
0,33 360°=120°
Médicos
150
0,28
28%
0,28 360°=100°
Abogados
108
0,20
20%
0,20 360°=72°
Profesores
60
0,11
11%
0,11 360°=40°
Otros
42
0,08
8%
0,08 360°=28°
Profesión
f 600 500 400 300 200 100 I PDF NC O
fi
Tendremos la representación siguiente:
B. Gráfico d e sectores circulares
A un semin ario de liderazgo, as is tieron 54 0 profesionales, de los cuales: 180 son ingenieros, 150 son médicos, 108 son abogados, 60 son profesores y el resto son profesionales de otras especialidades. Ordenando estos datos estadísticos con sus respectivas frecuencias, se forma la siguiente tabla: LIBRO UNI
38
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Otro ejemplo es la siguiente gráfica de sectores correspondiente a la distribución de los alumnos de un colegio según los cursos que prefieren.
D. Polígonos de frecuencias
Si se desea conocer los ángulos.
Curso
hi%
Á ngulo
Historia
35%
35% (360°)=126°
Castellano
30%
30% (360°) =108°
Matemática
20%
20% (360°) =72°
Otros
15%
15%(360°)=54°
Se obtiene a partir del histograma, uniendo con seg-mentos los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos. Así para los ejemplos mostrados:
c. Histogramas
Se tiene la siguiente distribución de frecuencias, formando con los resultados de los exámenes tomados a 30 estudiantes en un curso de la universidad.
Para graficar estos datos de modo que se visualice los intervalos señalados, se emplean los Histogramas, estos son diagramas que representan datos cuantitativos continuos utilizando barras o rectángulos contiguos, cuyas bases se sitúan en el eje horizontal y están limitados por los valores extremos de cada intervalo de clase y las alturas son del histo-grama señalado, se puede apreciar: LIBRO UNI
39
El polígono de frecuencias se puede construir sin necesidad de haber hecho antes el histograma. Basta señalar en el eje horizontal las marcas de clase; por cada punto señalado se traza un segmento proporcional a la frecuencia de la clase respectiva. Tanto con el histograma o el polígono de frecuencias es posible obtener la tabla estadística a la que pertenecen las datos señalados. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Sean los datos d1 , d2 , d3 , ... dn Se tendrá: n
di d d ... dn x 1 2 i 1 n n
Por ejemplo: Media aritmética de 5, 7, 11, 12, 14 12 14 x Ma(5,7,11,12,14) 5 7 11 5
Se obtiene: x 9, 8 E. Diagrama escalonado
• Para datos clasificados Cuando los datos se encuentran en una tabla de frecuencias, se utilizará:
Son diagramas de barras o rectángulos, similares al histograma, cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o relativas acumuladas.
k
x
f.x i i i1
n
k
h.x i i i1
donde: fi: frecuencia absoluta de la clase i xi: marca de clase de la clase i hi: frecuencia relativa de la clase i k: número clases n: total de de datos B. Mediana (xm o Me)
IV ESTADÍGRAFOS DETENDENCIA CENTRAL Llamados generalmente promedios, son funciones que se obtienen a partir de los datos cuantitativos de una población o muestra, resumiendo la información obtenida puntualmente, es decir en un solo valor. Según el estadígrafo que se utilice, pueden esta ubicados cerca a la parte central de los datos estadísticos (por ello su nombre de tendencia central). Entre ellos se tiene: la media aritmética, la mediana y la moda. Otros estadígrafos que no son tendencia central son la dispersión,la varianza, la desviación media, etcétera. Los datos cuantitativos que se obtienen de la población, pueden presentarse en tablas de frecuencias (datos tabulados o clasificados) o sin que sean ordenados en tablas (datos no tabulados o no clasificados). En cada caso, hay que considerar la característica de los datos para calcular el promedio respectivo. A. Media aritmética (x o Ma)
Esta dada por la suma de todos los datos de la población dividida entre el número total de ellos. LIBRO UNI
40
La mediana de un conjunto de datos es aquel valor que divide a dicho conjunto en dos partes que poseen la misma cantidad de datos. Conocidos los datos: d1 , d 2 , d 3 , ... dn ordenados en forma creciente: d1 d2 d3,... dn Siendo n el total de datos, se tendrá que si n es impar se tomará como mediana el valor central; pero si el número de datos fuese par, habrá entonces 2 términos centrales y la mediana será la semisuma de dichos valores. Término central d n1 ,s i nes impar 2 xm d d n n semisuma de ( 2 ) (2 1) ,s i n espar 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Por ejemplo: Mediana de 5, 7, 7, 9, 10, 12, 15 n = 7 datos (impar)
Me = 17 Los datos tabulados son discretos. C. Moda (x o , Mo)
xm= término central = d 7 1 d4 2 xm = 9
La moda de un conjunto de valores es el valor que más se repite en dicho conjunto. Si ningún valor se repite, se dirá que no existe moda y el conjunto de datos será amodal.
Otro ejemplo: Mediana de 5, 6, 7, 8, 10, 10, 14, 15
Por ejemplo:
datos (par) xnm==8semisuma de términos centrales =
moda moda Mo Mo = = 915 •• 7, 5, 13, 6, 7,15, 7, 15, 9, 9,17,9,21 10, 10 • 13, 19, 21, 37, 47 no hay moda es amodal
8 10 9 2
• Para datos clasificados Cuando los datos aparecen en una tabla de frecuencias, la mediana será el menor valor cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede a la mitad del total de datos.
Por datos clasificados: Si los datos tabulados son discretos la moda será aquella que posee mayor frecuencia.
Ejemplo (1): Conocida la distribución de frecuencia de las longitudes de clavos, de un lote que ha sido comprado.
Si los datosdetabulados contínuos, intervalos ancho deson clase común, eltomados intervalocon que contiene a la moda es aquella que tiene la mayor frecuencia (se le llama clase modal). El valor de la moda estará dado por: d1 d1 d2
Mo L o o La mediana debe estar ubicada en el valor que corresponde a la mitad de los datos. Según la tabla: 100 es el total de datos, la mediana debería ocupar el lugar 50, en la columna de iFse observa que se acumulan 44 datos en la cuarta fila, se toma el inmediato superior.
donde: Lo : límite inferior de la clase modal. o : ancho de la clase modal d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. d2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
problemasresueltos Problema 1 Respecto a la información brindada en el diagrama de barras mostrado:
LIBRO UNI
UNI Nivel fácil
Es correcto afirmar: A) El promedio de producción en los últimos tres años, supera al promedio del total de años. B) El promedio de producción de los cuatro primeros años, supera al promedio total de años. 41
C) El pro medio de p roducc ión d el segundo, tercer y cuarto año supera al promedio de producción de los últimos tres años. D) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. E) El promedio de producción del primer y tercer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
De la información brindada concluimos: I. El 70% de los entrevistados usa la PC. II. Del total de entrevistados el 21% usa la PC para procesar textos III. La frecuencia de uso promedio es mayor de 4 días por la semana. A) VVV B) VVF C) VFV D)V FF E)F VF
Resolución:
De acuerdo con el gráfico:
Resolución:
Ubicación de incógnita Analizando las alternativas: A) Dice el promedio de los 3 últimos Indique verdadero (V) o falso según años (6) supera al promedio del corresponda. total de años (7,8) ........... Falso B) Dice que el promedio de los 4 pri- Análisis de los datos o gráficos meros años (7,5) supera el pro-medio % de personas del total de años (7,8) ........ Falso 30% C) Dice que el promedio del segundo, 30% 30% tercer y cuarto año (6) supera al 20% promedio de los últimos 3 años (6) 20% ..................................... Falso 15% D) Dice que el promedio de producción del segundo y cuarto año (7,5) es 10% 5% mayor al promedio de los primeros 4 años (7,5) ...... Falso nunca1-2 3-4 5-6 todos E) Dice que el promedio del primer y tercer los días año (7,5) es igual al promedio del Frecuencia de uso (días/semana) segundo y cuarto año ........ Verdadero Esta información en una tabla será: Respuesta: E
0 [1–2] [3 –4] [5–6] 7
xi 0 1,5 3,5 5,5 7
fi 30% 5% 15% 20% 30%
Problema 2 Se entrevistó a 400 personas respecto al uso de la computadora personal (PC). Los resultados se muestran en los gráficos. Gráfico I Operación del problema Frecuencia de uso de la PC I. Entrevistados usa la PC = 70 % (V) % de personas II. Usa PC para procesar textos = 108 (30%) 9% (F) 30% 30% 30% 360 III. Frecuencia promedio = 20% 20%
(0 30) (1,5 15) (5,5 20) (7 30) 3,8 100
15%
10%
Respuesta: D
5% nunca1-2 3-4 5-6 todos los días Frecuencia de uso (días/semana)
Gráfico II Uso mas frecuente de la PC
108° 20%
15%
Software especial
5% 108°
Acceso a internet LIBRO UNI
Otro curso
III. La diferencia angular ( – ) es de 36°. A) VVV B) VFV C) VFF D)F FV E) FVF Resolución:
Análisis de los datos o gráficos La casa de la familia Pérez S/.1500 S/.1900 Eléctricas Cemento S/.1000 Pintura
Mano de S/.5800 Madera obra S/.2800
Operación del problema: I.
Cemento Madera 100% Total 1900 2800 100% 36,15% 13000
Pintura 100% Manodeobra
II.
1000 100% 17,24% 5800
2800 360 28 36 III. 13000 13 1500 360 15 36 13000 13
Problema 1 A continuación se muestra la gráfica que indica los gastos incurridos para
remodelar la casa de la familia Pérez:
–
28–15 13 36
– 36
Hoja de cálculo
Procesador de texto
Señale la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. El porcentaje del costo total, que fue dirigido a cemento y madera, es 36,15%. II. El gasto en pintura representa el 19,24% del gasto en mano de obra.
S/.1900 Cemento
S/.1500 Eléctricas
S/.1000 Pintura
Mano de S/.5800 Madera obra S/.2800 42
Conclusiones y respuesta I. V II. F III. V Respuesta: B) VFV RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
conteo DESARROLLODEL TEMA
En este capítulo estudiaremos los diversos métodos de conteo que nos permitirán determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada. Es importante que quede establecido la diferencia entre figura simple y figura compuesta.
En este caso si se lleva un registro de lo que se va contando.
C. Conteo por inducción
Se aplica cuando la figura dada presenta una forma
I.
FIGURA SIMPLE
ordenada y repetitiva. Se empieza analizando casos pequeños parecidos a la figura principal.
Es aquella que no contiene otra figura en el interior.
1. Para segmen tos, triángulos y cuadri lateros
Ejemplo: A
B,
,
1
, etc.
2
3
4
5
6
2. Para triángulos:
II. FIGURA COMPUESTA Es aquella que esta conformada por figuras simples. Ejemplo: A
M
B,
,
, etc.
123456
III. MÉTODOS DE CONTEO
3. Para cuadriláteros: 6 5 4 3
A. Conteo por simple inspección
Contamos las figuras que nos solicitan de manera directa, utilizando únicamente nuestra capacidad de observación. En este caso no se lleva ningún registro de lo que se va contando, teniendo solo a nuestra memoria como aliado.
2 1 En general para figuras "iguales" consecutivas empleamos la siguiente fórmula:
B. Método combinatorio
Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las figuras simples que componen la figura dada y luego se procede contar de manera ordenada y creciente. Es decir, figuras con 1 dígito, figuras de 2 dígitos y así sucesivamente. LIBRO UNI
N defig urasigu ales n n 1 2 Donde "n" nos indica el número de figuras consecutivas. 43
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CONTEO
Exigimos más! Una figura se podrá construir mediante un trazo continuo, sin repetir 2 ó más veces una misma línea, cuando: I. Si todos sus vértices son pares. II. Si tiene sólo 2 vértices impares. III. Si tiene más de 2 vértices impares, la figura no se puede dibujar de un solo trazo.
D. Conteo de cuadriláteros en un enrejado
a a-1 a-2 3 2 1
2
3
b-2 b-1
IV. PRINCIP IOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
b
N de total de cuadrilateros n n 1 2
Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?
E. Conteo de Cu adrados
5 4
Va por aire (2 lineas)
3 2 1
2
3
4
5
6
Va por tierra (5 lineas)
7 Lima
Número total de cuadrados = 5.7 + 4.6 + 3.5 + 2.4 + 1.3 F. Trazado de figuras
El problema principal es determinar si ua figura se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. La solución a este problema la dio Loenardo Euler en 1736, cuando presentó un tratado sobre figuras topológicas, a la Academóa de San Petersburgo y que de manera infalible nos permite dar respuesta inmediata a estos problemas sin necesidad de dibujarlas.
Vértice
Vértice .............................
.............................
.............................
2 3
Vértice par
.............................
Impar ............................. ............................. LIBRO UNI
= 7 maneras
Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su viaje. Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el principio de adición.
3
1 2
2 maneras
Resolución: El televisor lo podrá adquirir en: 1ra. 3ra. 2da. o o tienda tienda tienda
1
4
Vértice .............................
5 maneras
Ejemplo: Laura desea comprar un televisor a crédito ha preguntado en 3 tiendas comerciales donde le ofrecieron 3, 5 y 6 sistemas de crédito respectivamente. ¿De cuántas maneras puede Laura comprar el televisor?
.............................
Vértice .............................
Actividad A Actividad B (viaja por Tierra) o (viaja por aire)
A. Principio de Adición Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes.
Su teoría se basa en los siguientes conceptos:
Par
Tacna
Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero evidentemente no puede viajar por ambas vías al mismo tiempo. Luego:
Sistemas de crédito
Vértice impar
+
5 Sistemas de crédito
+
6
Principio aditivo =
Sistemas de crédito
14 Maneras
Se compran de 14 maneras diferentes.
3 44
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CONTEO
Exigimos más! Ejemplo: Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también tiene 2 blusas: blanca y crema. ¿De ciántas formas diferentes puede vestirse utilizando dichas prendas? Las formas son:
B. Principio de Multiplicación Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra atividad B se puede realizar de m x n maneras. En el principio de multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.
R Ejemplo De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6
B
damas, se va aa legir una pareja mixta para participar en un concurso de baile. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha elección?
A
Resolución: Se va a escoger una pareja.
C
Número de formas:
V
Blusa Blusa Blusa Blusa Blusa Blusa
blanca blanca blanca crema crema crema
A
3 formas
C
A hacia B y B hacia C 5 x 3 =15 minutos
= 6 formas
karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.
LIBRO UNI
B
Resolución: De "A" hacia "C", tengo que ir:
Actividad B (elegir falda) x
Damas 6 = 24 formas.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia C?
Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa para cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir falda.
2 formas
y x
Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta.
falda roja falda azul falda verde 6 formas. falda roja falda azul falda verde
Actividad A (elegir blusa)
Varones 4
Existen 15 maneras.
45
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO DESARROLLO DEL TEMA Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentraen el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?
Nota: Por convención 0! = 1
II. DESARROLLO PARCIALDE UN FACTORIAL 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7!
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
8! = 8 x 7! 8! = 8 x 7 x 6!
6!
n! n(n n(n 1)(n 1)! 2)! n!
I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"
a) Si n es un número par positivo. n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n – 2)n
n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n– 1) n n Z+
6!! = 2 x 4 x 6 = 48 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384
Ejemplo:
b) n es un número impar positivo.
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20 3 2 ! no existe; (–5)! no existe
n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n – 2)n
5!! = 1 x 3 x 5 = 15 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105
Ejemplos de factoriales:
1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 36 28 80 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36 228 800 LIBRO UNI
II. PERMUTACIONES A. Permutación lineal
Pn n! Ejmeplo:
1. En una carrera 5 atletas, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegagar a la meta? 46
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más!
Pc (3) = 2 = 2! = (3 – 1)! Pc (3) = (3 – 1)! En general las permutaciones circulares de n elementos será:
Resolución:
P5 = 5
×
4
×
×
3
×
2
Pc(n) (n 1)!
1 = 5 ! = 1 20
Nota:
Si las personas y los lugares son diferentes se deberá de hacer los ordenamientos empezando por el menor.
Ejemplo
Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y su novia desean estar juntos? Resolución:
Ejemplo:
2. ¿De cuántas maneras se sientan 3 personas en una fila de 6 asientos? Resolución:
Como hay más personas que asientos se empezará por el menor, es decir, por las personas. Sean las personas A,B, C entonces: A , B , C 6 × 5 × 4 = 120
Primero ordenamos por separado y luego todos juntos en forma circular:
formas diferentes de sentarse
II. PERMUTACIONES A. Permutación circular
Se da cuando los elementos son distintos y se arreglan u ordenan alrededor de un objeto oforman una línea cerrada. Ejemplo:
Si permutamos linealmente 3 personas nos deben resultar P(3) = 3! = 6 maneras {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Pero si analizamos estas 6 maneras en forma circular:
Existen 12 maneras. B. Permutaciones con elementos repetidos
Se da cuando los elementos a ordenar no son distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se repite. Ejemplo
¿Cuántos arreglos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMÁ? Resolución:
MAMA MAAM MMAA 6 formas AMAM AMMA AAMM "Hemos elementos 2 se repiten y otros 2permutado también se4repiten (las donde letras M)". Sólo son 2 formas. 4
Se observa que ordenando circularmente no importa el lugar que ocupa cada persona sino su posición relativa respecto a los demás. Para encontrar las diferentes permutaciones circulares debemos tomar un elemento de referencia y permutar a los demás. "Hemos permutado circularmente a 3 personas". LIBRO UNI
P2,2 6
24 4! 4 2!x2!
En general:
P nk1,k2,k 3... k1 !xk 2 n!!xk 3 !x... 47
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más! Ejemplo
Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1 cubo amarillo. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila?
Supongamos que para encontrar los "combinados" debemos realizar permutaciones con las 4 comidas tomándolas de 3 en 3.
Resolución:
Como existen elementos que se repiten aplicamos: 6! 60 P63R,2B 3!X2! Se colocan de 60 maneras diferentes. En General: n! Pkn ,k ,k 1 2 3 k1! K!2 k 3! ....
Sólo estos 4 combinados son diferentes porque difieren en al menos una comida.
Ejemplo
Entonces los combinados (combinaciones) de 4 comidas tomadas de 3 en 3 son sólo 4.
Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1 cubo amarillo. ¿Dé cuántas maneras pueden colocarse en fila?
4
Resolución:
4
4
P 3
4! 3)! (4
4!
3!
3!(4 3)!
6 C 4! 4 C 3 3!(4 3)! 3
En general las combinaciones de n elementos tomados de K en K.
Como existen elementos que se repiten aplicamos: 6! 60 P63R,2B 3!X2! Se colocan de 60 maneras diferentes.
n
n!
Ck k!(n k)!
VIII. COMBINACIONES
0kn
Las combinaciones son las diferentes formas de agrupar a los elementos de un conjunto, tomando una parte de ellos o todos a la vez. En una combinación el orden de los elementos no determina una forma diferente. Una combinación se diferencia de otra si posee al menos un elemento diferente.
Ejemplo:
Armando está parado frente al buffet el cual consta de arroz con pollo, cebiche, papa a la huancaína y chanfainita. Armando es aficionado a los "combinados". ¿De cuántas maneras diferentes se puede preparar un "com-binado" de tres comidas?
Ejemplo:
Resolución:
¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito, si se dispone de 8 jugadores? Resolución:
8! 8 #Equipos Fulbito C6 6!2! 87 6 ! 8 7 28 6! 2! 21 LIBRO UNI
48
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más!
factores abajo y empezando por 6 en el numerador por 2 en el denominador y de igual forma se puede notar el registro ejemplo.
Observación:
Para reducir el calculo hay una forma practica de calcular las combinaciones de n en k. Ejemplo:
* C62
6
5
2
1
A. Propiedades 1) C n0 1 2) C nn 1 3) C 1n n
15
4) Ckn Cn k * C64 C62
8 7 6 56 3 2 1
* C38
* C58 C83
Es decir el valor de k para el primer ejemplo es 2, es decir, deberá de colocarse dos factores arriba y dos
5) Cn0 C1n Cn2 Cn3 ... Cnn 2n
problemas resueltos Problema 2
Problema 1
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante dwebe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5, ¿Cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? UNI 2008 - I Nivel intermedio
A) 50
B) 60
D) 62
UNI 2009 - II Nivel Intercambio
C) 51 A) 60 C) 360 E) 1200
E) 61
Resolución:
Hay en total 12 preguntas. Por condición sólo hay que contestar 10. Como de las 6 primeras se debe contestar al menos5 entonces se puede responder 5 ó 6 de estas preguntas y de las 6 últimas hay que elegir 5 ó 4 preguntas, respectivamente. Luego los casos serían:
(5 preg. y 5 preg) ó (6 preg. y 4 preg.)
Número de Casos
C56
C56
Número de Casos
6
6
A la etapa final de un concurso de cantantes, llegaron 5 mujeres y 4 hombres. Las reglas del concurso indican que se van a premiar 3 mujeres y 2 hombres de acuerdo al orden que ocupen (primero, segundo o tercero). considerenado los 9 finalistas, calcule la cantidad total del posibilidades que pueden conformar las posiciones de los 5 ganadores (premiados).
C66
C64
1
15
Mujeres : P24
5! 4 ! 60 12 720 2! 2! Respuesta: D) 720 Problema 3
Determine el número de trayectorias que permiten ir de A hacia B sólo conm desplazamientod hacia arriba o a la derecha. B
B) 120 D) 720
Resolución: Ubicación de incógnita
A
Calcula la cantidad totoal de posibilidades que pueden conformar las posiciones de los 5 ganadores. Analisis de los datos o gráfic os
• • • •
Total hombres = 5 Hombres premiados = 3 Total de mujeres = 4 Mujeres premiadas = 2
UNI 2008 - I Nivel Intermiedio
A) 196 C)225
B) 204 D)252
E) 260 Resolución: Observación:
Operación del problema
51
Respuesta: C) 51
LIBRO UNI
Hombres: P35
Se aplicará una permutación de "n" elementos tomados de "k" en "k" Pkn n! N K ! 49
Para ir de A a B hay tres formas: 1
A
2
1
3
B
1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más! En el problema: 1 1 1 1 1 A
En el problema: m = 5 y n = 5.
Método Práctico:
6
21
56 126 252
5
15
35
B
70 126
4
10
20
35
56
3
6
10
15
21
2
3
4
5
6
11111
A
1
2 ......... n
2 .. .. ... .. m
.........
.. ... .. ......... .. .........
Número de trayectorias
5 5 ! 10! 5! 5! 5! 5! 10 9 8 7 6 5! 5! 120 252
.. ... .. .. B
Por lo tanto, el número de trayectoria de A hasta B es 252.
Número de Formas m n ! de ir de A hacia B m! n!
LIBRO UNI
50
Respuesta: D) 252
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROBABILIDAD DESARROLLO DEL TEMA I.
CONCEPTOS PREVIOS
II. PROPIEDADES Si A es un evento definido en , entonces:
A. Experimento determinístico
Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible. Ejemplo: lanzar una mon erda que tiene en los dos lados la misma figura (cara o sello). B. Experimento aleatorio (
)
Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de más de un posible resultado. Ejemplo: lanzar
0 P(A) 1 Cuando P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro, debido a que siempre ocurre. Ejemplo: Evento A: arrancar una página con numeración par al arrancar las 20 primeras hojas de un libro. A
un dado normal, es decir que tiene los números del 1 al 6. Cuando P(A) = 0, obtener un puntaje mayor que 10 en el lanzamiento de un dado. C. Espacio muestral ( ) A { } Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Experimento A. Probabilidad por complemento aleatorio: "Elegir un número na tural del 1 al 8". Espacio Si "A" es un evento definido de un espacio muestral muestral: = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} , entonces: P(A) = 1 – P(A') Número de elementos del espacio muestral: n() 8. Donde: P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A'): Probabilidad de que no ocurra el evento A. D. Evento o suceso (A, B, C, ...) Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas). Ejemplo: Experimento aleatorio: "Lanzar un dado" Evento: "Obtener como resultado un número par" = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {2; 4; 6} n() 6
n(A) 3
Ejemplo: Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 6 bolas verdes, 5 rojas y 3 azules. Determine la probabilidad de que sea verde o roja.
II. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Si "A" es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de "A" se denota por
P(verde) 6 P(roja) 5 14 14 Como no es posible que la bola sea verde y roja a la vez, entonces: 6 5 11 P(verde o roja) 14 14 14
P(A) y está dado por la relación: n(A) P(A) N° casos a favor de A N° total de casos en n( ) LIBRO UNI
B. Eventos mutuamente excluyentes Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = 0 Donde: P(A o B): probabilidad de que ocurra A o B.
51
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROBABILIDAD
Exigimos más! C. Event os independ ientes
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple: P(A y B) = P(A) x P(B). Donde: P(A y B): Probabilidad de que ocurra A y B.
P(C y J) = 0,40 La probabilidad de que salga co n ambas a la vez es 0,40.
Ejemplo: Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda, un puntaje al lanzar dado. Evento A:yobtener carapar al lanzar unaunmoneda.
E. Eventos dependientes Cuando dos sucesos A y B son dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B/A) Donde: P(B/A) = probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurrió el evento A.
P(A) 1 2 Evento B: obtener un puntaje par al lanzar un dado. P(B) 1 2 P(Ay B)
Como Miguel puede salir con Carlay Julia a la vez, los eventos "salir con Carla" y "salir con Julia" no son mutuamente excluyentes, entonces: P(C o J) = P(C) + P(J) – P(C y J) 0,85 = 0,75 + 0,50 – P(C y J)
1x1 1 2 2 4
D. Eventos no mutuamente excluyentes
Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueden ocurrir a la vez. P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Ejemplo: En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas de negro y el resto de amarillo. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color negro.
Ejemplo: La probabilidad de que Miguel salga con Carla es 0,75 y la probabilidad de que salga con Julia es es 0,50. la probabilidad de que salga con Carla o Julia 0,85.Si¿Cuál es la probabilidad de que salga con ambas a la vez?
Respuesta:
3 7
problemas resueltos Problema 1
=
Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y 4, respectivamente es lanzada 8 veces. ¿Cuál es la ra-
8! 56 5!3!
Resolución: Ubicación de incógnita Probabilidad de que al salir ambos al mismo tiempo, rumbo a la casa del otro, se encuentren en el camino.
56 7 razónpedida 256 32
zón entre el número de eventos posibles que sumen 27 y el número total
Respuesta: A)
de eventos posibles?
UNI 2008 - I Nivel fácil
A) D)
7 32
9 B) 32
7 16
E)
5 C) 16
3 8
Resolución: Eventos totales: 2 8 = 256 Eventos en donde la suma sea 27: 33333444 Permutación con repetición LIBRO UNI
7 32
Análisis de los datos o gr áficos • De la casa de Garu a la casa de Pucca hay tres caminos (A. B, C) • Pucca no escoge el camino A.
Problema 2 De la casa de Garu a la casa de Pucca Operación del problema solo hay 3 caminos posibles distintos A,
B y C. Si Pucca nunca escoge el camino A por ser accidentado, y Garu escoge cualquier camino sin preferencias; ¿cuál es la probabilidad de que al salir ambos al mismo tiempo, rumbo a la casa del Como Pucca no puede tomar el camino A solo se pueden encontrar en B o en C. otro, se encuentren en el camino? UNI A) 1/ 9 B) 1/6 C) 2/9 D)1/3 E) 3/2 52
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROBABILIDAD
Exigimos más! Se encuentran en: 1 B 3 1 C 3 111 1 B o C = 3 232
1 2 1 2 1 3
Respuesta: D) 1/3
número asignado del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar una bolilla de la caja, se obtenga un número N, tal que 35 N 72? UNI A) 0,35 B) 0,36 C) 0,37 D) 0,38 E) 0,72
Resolución: Ubicación de incógnita
Problema 3 Se colocan 100 bolillas en el interior de una caja. Cada bolilla tiene un
Cálculo probabilidad de que extraer de unalabolilla se obtenga un al número del conjunto N.
LIBRO UNI
53
Análisis de los datos o gr áficos I. Son 100 bolillas numeradas del 1 al 100. II. 35 N 72 Operación del problema N = {35; 36; 37; 38; ...; 72} n(N) = 72 – 35 + 1 = 38 P
n(N) 38 Total 100
0, 38
Respuesta: D) 0,38
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTONUMÉRICO DESARROLLO DEL TEMA I.
FRACCIONES Principales tipos de fracción A. Número Racional
Fracción Propia
Está representado por la división indicada de dos números enteros, donde el divisor es diferente de cero. Se denota:
a / a b b
Fracción Impropia
27 , 9 , 12 , 18 , 15 , 8 , 5 , 21 , 7 , 14 100 10 20 30 25 6 4 8 3 9 F. Decimal
F. Reductible
F. Irreductible
Fracción Ordinaria
{0}
2. Representación gráfica de una fracción Se debe considerar lo siguiente:
1. Fracción Todos los número racionales que cumplen las siguientes condiciones, se denomina fracción.
f: Fracción:
a b
Numerador Denominador
Donde: a y b a
a b
# de partes que se consideran de la unidad # de partes iguales en que se dividen la unidad o total
+
Nota:
o b
I. a es una fracción propia, si a < b. b
Ejemplo: ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan a una fracción? 2 ; 8 ; ; 0 ; 7 ; 6 ; 4 ; 8 3 5 4 3 5 4 3 2
a es una fracción impropia, si a > b b a es una fracción irreductible si a y b son b PESI II. Sean las fracciones irreductibles
De la definición: ; ; representan una fracción.
c a y d b
se cumplen que: ad c k;k b
bd
III.Sean las fracciones irreductibles a , c , e b d f se sabe que:
Nota: Podemos ayudarnos graficando:
MCD(a;c;e) MCD a ; c ; e b d f MCM(b; d; f) MCM(a;c; e) MCM a ; c ; e b d f MCD(b; d; f)
LIBRO UNI
54
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO NUMÉRICO
Exigimos más! En 161, en la traducción al inglés de la obra del escocés John Napler (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con una coma decimal para separar la parte entera de la decimal. Naplar propuso un punto o una coma como signo de separación decimal.
3. Fracciones Equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes, cuando con términos distintos expresan la misma parte de la unidad o total.
Nota:
Los números decimales pueden ser: Ejemplo: Fracción generatriz
Fracción equivalente a: a aK ;K a : fracción irreductible b bK b
25 0.25 100 1. Decimal exacto 10,137 10137 1000
4. Fracción de frac ción Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad. Ejemplo: Determine la mitad de la tercera parte de la mitad de un todo. Resolución:
5. Relación parte todo La relación parte-todo viene a ser una comparación de una parte respecto de un todo mediante una fracción. Ejemplo: ¿Qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada en la siguiente figura?
2S S S S S 2S S 2S 2S S S S
Ejemplo: Se desea fabricar 60 carpetas en 1 día. En un día
Nos piden:
Ejemplo: Oscarín tenía 300 chapitas, luego de jugar con sus amigos pierde y gana alternadamente en
Carpintero A Carpintero B
se demora se demora
Juntos harán
tiempo =
=
Nota: El tiempo se = Total de la obra calcula Lo realizado en cada unidad de tiempo
cuatro juegos: 1331 ; ; y de lo que iba que5473 dando ¿cuánto le quedó al final? 4474 de3 3745 00 S/ .320 6. Fracción generatriz de un número decimal Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10). Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales (de denominador 60). LIBRO UNI
B. Reducción a la unidad de tiempo En estos casos se trata de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifor) o personajes ya sean en "un minuto"; "un día", etc. Si nos dicen María Pía hace todo unrabajo t en 5 horas, entonces en 1 hora hará 1/5 de la obra y visceversa.
55
•
•
Cuando reducimos a la unidad lo que tratamos de averiguar es lo que realiza un obrero en una unidad de tiempo. Si sabemos por ejemplo lo que avanza en un día sabremos lo que avanzará en 4 o 7 días, dependiendo del problema. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO NUMÉRICO
Exigimos más!
II. CRONOMETRÍA
III. MOVILES
Los problemas de cronometría, como bien lo dice el nombre, son aquellos relacionados con la medición del tiempo. La resolución de los mismos depende de comprender e interpretar correctamente la relación que hay entre el tiempo y los diversos eventos que ocurren de manera periódica a través del mismo. Para tener éxito en la resolución de problemas de cronometría es importante tener en cuenta los siguientes detalles: Recorrido del minutero (en minutos)
Recorrido del horario (en grados)
60°
30°
30°
15°
20°
10°
1°
1°
Para el presente capítulo sólo debemos recordar: e=v.t
e v
t
e = espacio total recorrido. v = velocidad (rapidez). t = tiempo. A. Tiempo de encuentro
VA
VB
e te =
Podemos inducir, gracias a ello:
B. Tiempo de alc ance Si V A > VB.
Recorrido del Recorrido del Recorrido del minutero horario minutero (en minutos) (en grados) (en grados) m ° m (6 m)° 2
VA
VB
e
Observación:
ta =
Recuerda la cual ver lasabemos ora que la marca un celoj, la manecilla,que de la posición exacta (aunque este razonamiento es relativo) es el minutero; por ello; la relacón antes vista es muy importante para el cálculo del ángulo que forman ambas manecillas.
C. Problemas sobre Inte rvalo de Tiemp o Se concentran básicamente aquí los problemas sobre campanadas, para los cuales es muy importante tener en cuenta. 6 campanadas
Gracias a la relación propuesta, también podemos llegar a la conclusión de que el ángulo formado por las manecillas de un reloj se puede encontrar reemplazando en la siguiente fórmula:
1°
2°
3°
4°
5°
6°
11 m 30 h 2 5 intervalos
: ángulo formado por las manecillas. m : minutos, si el reloj marca las h:m. h : horas, si el reloj marca las h:m.
Ejemplo: Si un reloj marca las 6, da 6 campanadas y se generan 5 intervalos uniformes de tiempo entre
Sin embargo, el reemplazar en esta fórmula se obtiene uno de los dos ángulo formados por las manecillas de un reloj. Encontrar el otro es muy sensillo, pues, evidentemente suman 360°.
campanadas. Visto el ejemplo y tras el análisis de unos cuántos casos más similares, podemos inducir lo siguiente:
Observación: Cuando en un problema se pida encontrar el ángulo que forman las manecillas de un reloj, debenmos dar como respuesta el menor de los dos, en caso de ser distintos, si el problema no específica a cuál de los dos hace referencia. LIBRO UNI
Número de Campanadas
Número de Intervalos
1
Relación importante, pues el tiempo que demora un reloj o un campanario en tocar un cierto número de campanadas, resulta de la suma de la duración en los intervalos homogénicos de tiempo. 56
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO NUMÉRICO
Exigimos más! Importante Observación: Los problemas de planteo respecto del tiempo transcurrido y el que falta transcurrir para que ocurra un cierto hecho se resuelven de manera gráfica, bastará trazar un segmento para ubicar los datos del problema y luego la resolución será algebráica. Los problemas de planteo acerca de retrasos y adelantos se resuelven empleando proporcionalidad y mucho sentido común, pues emplear relaciones o fórmulas
12 11
1
30° 2
10
6° 3
9 8
4 5
podría elevar el nivel de complejidad en la transformación de los datos al lenguaje simbólico (algebraico).
• •
D. Problemas sobre relojes de manecillas Los problemas de este tipo se centran principalmente en el cálculo del ángulo que forman las manecillas de un reloj, y para elos es importante comprender la relación que existe entre el recorrido y ángulo barrido por las dos manecillas principales de un reloj: el horario y el minutero.
7 6 El arco que hay entre una marca horaria y la que le sigue mide 30°. El arco que hay entre una marca de minuto y la que le sigue mide 6°.
Además, existe una relación importantísima entre el recorrido de la manecillas de las horas (horario) y la manecillas de los minutos (minutero); pues cada vez que el minutero da una vuelta (60 minutos), el horario recorre un arco de 30° y por ellos sus recorridos siempre son proporcionales.
problemas resueltos Problema 1 ¿A qué hora inmediatamente después
Problema 2 Dos móviles con rapidez de 10 m/s y
de las 6:00 minutero adelanta al horario tantoelcomo el horario adelanto a la marca de las 6? UNI 2008 - I Nivel fácil A) Hora es 6:36 B) Hora es 5:30 C) Hora es 4:00 D) Hora es 3:30 E) Hora es 2:20
12 m/s parten de tiempo un mismo d1 5 20 m después de cierto uno punto está 20 m En el tiempo es: V 10 m/s 10s 1 adelante del otro. ¿Cuál es este tiempo? UNI Respuesta: A) 10 s Nivel Intermedio A) 10 s B) 15 s C) 20 s Problema 3 D) 30 s E) 25 s El intervalo: Resolución: 1 ;1 Como el tiempo es el mismo, la rela 4 2 ción de distancias recorridas es la mises dividido en 5 intervalo iguales más ma relación de rapidez. pequeños, y la fracción irreductible p se encuentra en el punto medio del V1 10 5 d1 V2 12 6 d2 segundo de éstos. Halle la suma del numerador y denominador por p. V1= 10 m/s UNI 2010 - II A) 32 B) 45 C) 47
Resolución: Hora
6:x 12
9
x° 2
8
3
6x° x’
D) 51
7
6
Se observa que:
Del gráfico: 5k + 20 = 6k k = 20
o
V2= 12 m/s
180 2 x 6x 2 180 5x 36 x
Respuesta: A) Hora es 6: 36 LIBRO UNI
E) 53
Resolución: Ubicación de incógnita Suma del numerador y denominador de "p".
d1 = 5 k
Analisis de los datos o gr áficos 20 m d2 = 6 k 57
"p" se encuentra en el punto del segundo intervalo de los 5 intervalos en que se divide: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO NUMÉRICO
Exigimos más! 1 ; 1 4 2 Operación del problema: A 1 4
A
A
A
p
LIBRO UNI
Método práctico
11 A 2 4 1 5 20 p 1 3 A 4 2 A
A 1 4
Conclusión y respuesta 1 2
p 13 134 0 40
58
53
10 40
A 12 40
A 14 40 p=
A 16 40
13 40
A 18 40
1 2 20 40
Respuesta: E) 53
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUDOKUS Y JUEGOS DE INGENIO DESARROLLO DEL TEMA I.
CUADRADOS MÁGICOS
3
El cuadrado mágico es una distribución de números en filas y columnas, formado un cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal, sumen lo mismo. El cuadrado mágico que estudiaremos en está lección sera el de 3 x 3 (3 filas y 3 columnas).
2 1
6 5
4
9 8
7 •
Ahora los n úmeros co loca dos en la s alitas, se intercambian, observa: 3 2 1
Trabajaremos un método para llenar el cuadrado "metodo de alitas". •
• •
Alita
• Alita Nota: El número central del cuadrado mágico multiplicado por 3, nos dará la suma constante del cuadrado mágico.
6
9 5 1 4 8 7
Puedes observar que la suma de los números que están en cada fila, columna y diagonal es la misma.
Es un juego que ha revolucionado el mundo del entretenimiento. El nombre sudoku proviene de una palabra japonesa que significa "poner números". Se rellena una matriz de 9 x 9 de modo que cada fila, columna y subcuadricula de 3 x 3 contenga los números del 1 al 9, sin que ninguno se repita.
F I L A
2 1
6 5
COLUMNA En este caítulo veremos un caso particular del sudoku, hablamos del minisudoku de 6 x 6 (llamado así porque tiene 6 filas y 6 columnas).
4
LIBRO UNI
y
3
2 1
9
Subcuadrícula de 3 x 3
Empieza colocando el primer número en la alita de la izquierda y coloca los números en forma diagonal. 3
8
2
II. SUDOKU
Alita
•
5 7
Ejemplo: El cuádrado completa los casilleros en blanco con los números del 1 a 9.
Alita
4
3 6
59
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUDOKUS Y JUEGOS DE INGENIO
Exigimos más! Adjutamos co nsejos de solución: 1. Utiliza lápiz y borra dor.
Minisudoku con Números
Rellenaremos las casillas de modo que cada fila columna o subcuadrícula de 2 x 3 contenga los números del 1 al 6, sin que nínguno se repita. Subcuadrícula de 2 x 3
2. Ten presente que el sudoku tiene una única solución. 3. Empie za por los nú meros m ás fre cuente s.
F I L A
4. Empiz a
utilizan
do
un
métod
o
de
eliminación. 5. Una vez que ha
yas termi
nado , has un
repaso rápido para comprobar que tdo esta bien.
COLUMNA
problemas resueltos Problema 1 Distribuya los números del 1 al 8, uno en cada casilla, de tal forma que no haya dos números consecutivos, uno a lado del otro ni en diagonal. La suma de lso cuatro números que ocuparan la columna central vertical es:
Observación: Se puede colocar al 1 y 8 de estas dos formas donde al llenar.
1° 2° 3° 4° 5° 1 2 3 4
1° 5
2
2° 1
U
N
I
2
8
3° 3
2
1
4
5
1
4° U
N
I
2
1
7
5° 2
5
4
1
3
cada una de ellas genera2 posibilidades, por lo tanto existen 4 cosas diferentes.
UNI
Resolución:
•
En la 2° fil a; 2° co lu mna : U 5 4 ; 4° columba 2.
•
En la 4° fil a; 2° co lu mna : N 5 I 5 y N = 3.
Respuesta: D) 18
A) 14 C) 16 E) 20
B) 15 D) 18
Resolución: Los números que deben ir en la parte sombreada deben ser el 1 y el 8 (ya que estos números sólo tienen problemas con el 2 y 7 respectivamente). Luego tomaremos uno de ellos al azar y buscamos donde debe ir su consecutivo, procedemos igual con los demás números hasta llenar la tabla. Verificando los números
Problema 2 El cuadro, tiene una distribución numérica, de tal forma que las filas, columnas y diagonales suman 15. Los dígitos son del 1 al 5 y no se repiten en una fila o columna. Determine que números ocupan los casilleros UNI. 5
8
6
3
1
4
7
único lugar para el “7”
Piden 2 + 8 + 1 + 7 = 18 LIBRO UNI
Problema 3 Complete el recuadro de tal manera que cada fila, columna y cuadrado de 3 x 2 tenga los números del 1 al 6 sin repetirse. Halle la suma de x + y + z.
N
x
U
N
2
5
3
I
1
1
empezamos con el “8”
2
Respuesta: D) 4, 3, 5
4 U
tenemos:
5
UNI 4; 3;5 .
3
6 y
4
I 3
1 z
5
6
UNI 2008 - I Nivel Intermedio A) 5 D) 8
A) 3, 4, 2 B) 3, 5, 2 C) 3, 5, 4 D) 4, 3, 5 E) 4, 5, 3
5
2
1
B) 6 E)9
6 3
3 4
UNI 2010 - II C) 7
Resolución: Análisis y procedimiento Halla la suma de x + y + z. 60
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUDOKUS Y JUEGOS DE INGENIO
Exigimos más! x
1 3
6
z
2 x
1 y
4 1
5
6
5
3 3
3
No va el número 1. 1
No va el número 4 z =4
6 4
3
1
y
5
1
6
z 4
6
3
6 4
2
1
5
z
3 1
3 1
4 6
x
Entonces el valor de x=1
3
5
2
1 1
y
No va el número 2. y=2
6
5
4 6
3
No va el número 4. Por lo tanto, la suma de: x+y+z=1+2+4=7
Respuesta: C) 7
LIBRO UNI
61
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUFICIENCIA DE DATOS DESARROLLO DEL TEMA En cada pregunta se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe identificar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativ as. A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) El dato II es suficiente y el dato I no lo e s. C) Es necesario utilizar I y II con juntamente. D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E) Se necesitan más datos.
I.
INDICACIONES 1. En esta parte se manejan conceptos básicos de los cursos de ciencias (Aritmética, Álgebra, Geoy Razonamiento Matemático). 2. metría El procedimiento adecuado debe ser el siguiente: • Primero se intenta resolver el problema con sólo el primer dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser ni C ni E. • Luego se intenta resolver con el segundo dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser tampoco C ni E. • Si con ambos datos se pudo (por separado) la respuesta sería D. • Si no se pudo con los datos por separado, recién debería intentar resolver el problema con ambos datos. Si se puede la respuesta sería C y si no se puede la respuesta sería E. 3. En esta parte, sólo inte resa s aber si se puede resolver la interrogante planteada, así que se deberá evitar hacer cálculos innecesarios. Ejemplo:
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de: x + y = 2 Antes de usar los datos debo notar que: lo cual posibilita que el análisis sea más sencillo. • Con el dato I sí se puede. • Con el dato II no se puede. Respuesta: A
II. CONCLUSIÓN En este capítulo se plantean problemas y en cada uno se ofrecen 2 datos para resolverlo. Debe identificar qué datos se necesitan para llegar a la solución, aunque no es necesario hallar el resultado. No olvidar que: A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D) Cada uno de los da tos, por separado, es suficiente. E) Se necesitan más datos. Ejemplos:
1. Hallar el valor de x. I. 3x + 5 = 7 II. x x 1 4
Hallar I. a +a.3b = 5 II. a – 3b = 2 • Con el primer dato es imposible (hay infinitas soluciones). • Con el segundo dato es imposible (hay infinitas soluciones). Si los combino tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Si las sumo puedo encontrar el valor de a. Fin del análisis. Rpta. C. ¿Acaso me debí preocupar por el valor final de a? Pues, no hizo falta. LIBRO UNI
4. En algunos casos que se pide el valor numérico de alguna expresión grande, deberá primero pensar en factorizarla o reducirla. No intente reemplazar el dato de manera directa. Casi siempre lo único que se logra es complicar más el problema.
62
Con el dato I
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta? Con el dato II
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta? En base al análisis de los 2 datos
a. ¿Se puede resolver el problema con alguno de los datos anteriores? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUFICIENCIA DE DATOS
Exigimos más!
b. La respuesta al problema es ...
Con el dato II
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta?
2. Hallar x + y. I. 3x + 2y = 7 II. 3x + y = 5
En base al análisis de los 2 datos
a. ¿Se puede resolver el problema con alguno de los datos anteriores? b. La respuesta al problema es ...
Con el dato I
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta?
problemas resueltos Problema 1
¿Cuál es el valor de 5 m+n ? Información: I. 5m–n = 1 II. 5m = 10 Para resolver este problema se requiere utilizar: UNI 2007 - I
A) B) C) D) E)
I solamente II solamente I y II conjuntamente I y II cada una por separado Información adicional
Para resolver: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario utiliza ambas afirmaciones. D) Cada información, por separado, es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes. Resolución:
De I: m–n=0
Estableciendo una Tabla de Doble Entrada.
Como nos piden el valor de n y se presentan 2 posibilidades se concluye que las informaciones dadas son insuficientes.
De II : m = log10 5 Esta claro que ninguna de las informaciones; por separado, nos permite calcular lo pedido, con ambas informaciones se obtiene: m n 2 log10 5
Respuesta: E) Las informaciones dadas son insuficientes.
Problema 3
Se requiere utilizar I y II conjuntamente.
Si Mateo es dos veces tan viejo como Toñito lo será, cuando Pepe sea tan viejo como Mateo es ahora. ¿Qué edad Respuesta: C) I y II conjuntamente tiene Mateo? Información brindada:
Problema 2
Determine el valor de "n" si se sabe que "n" es número de una cifra.
I. La suma de las edades de Toñito y Pepe es 70 años.
Información:
II. Cuando Toñito tenga la mitad de la edad que tiene Mateo, Pepe tendrá 40 años.
I. n3, es un número de una cifra.
Resolución:
De I: n = 1 ; 2 De II: n = 1 ; 2
Resolución:
II. (n 1)2
Para responder a la pregunta: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario utilizar ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. E) Las dos informaciones son suficientes.
9
UNI 2008 - I
UNI 2007 - I LIBRO UNI
63
Analizando las informaciones: I. Suma de edades de Toñito y Pepe es 70. Como no se sabe el tiempo transcurrido entre el presente y el futuro, no se puede determinar la edad actual de Pepe. II. Pepe tendrá 40 años. 2x 40 Mateo tienen 2x = 40 años
La información II es suficiente.
Respuesta: B) La información II es suficiente RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
