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COLECCIÓN EL POSTULANTE
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO NOTEOLVIDESDESUSCRIBIRTE!!! https://www.youtube.com/channel/UCCJZe8IVDn1nQPS400g725g ÚNETEALGRUPODEFACEBOOK!!! https://www.facebook.com/groups/928476563896833/ LIKEPARACONOCERTODOSLOSLIBROSGRATIS!!! https://www.facebook.com/LibrosGratisPDFyDOC/ TEINVITAMOSACONOCERNUESTRAACADEMIAVIRTUALΨPSIΨ!!!
https://www.facebook.com/Academia-Virtual-%CE%A8PSI%CE%A8-304166143293
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - COLECCIÓN Salvador Timoteo
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E l POSTULANTE
© Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Lidia Ramírez Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L.; editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 You're Reading a Preview RUC 20260100808 E-mail:
[email protected] Unlock full access with a free trial. Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares
Download With Free Trial
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11993 ISBN 978-612-302-914-2 Registro de Proyecto Editorial N.” 31501001200780
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INDICE Planteo de ecuaciones
.............................................................................................................................
Edades
........................................................................................................................................................
Móviles
......................................
Operadores matem áticos Relojes
.........................................................................................................................
........................................................................................................................................................
Inducción y deducción Sucesiones y series Conteo de figura s
..............................................................................................................................
...................................................................................................................................
Unlock full access with a free trial.
......................................................................................................................................
Razonamiento lógico
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.................................................................................................................................
Comparación de magnitudes Porcentajes Fracciones
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....................................................................................................................
.................................................................................................................................................
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...................................................................................................................................................
Análisis combinatorio
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.................................................................................................................................
Razonamiento geométrico
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Examen Mayo 2012
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PRESENTACIÓN
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente p
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las unive institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cu
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de a
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesa
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, afianzar los saberes de su formació You're Reading asino Preview y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida uni exitosa.
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staffde docentes liderados por Salvador Tim
dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores a
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desa los contenidos.
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PLANTEO DE ECUACIONES
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ECUACIÓN Igualdad entre cantidades del mismo valor donde uno o más valores desconocidos están represen tados por variables. Para realizar un correcto planteo de ecuaciones es necesario comprender correctamente e Interpretar el enunciado para luego simbolizarlo, es decir, pa sarlo al lenguaje algebraico.
ENUNCIADO La edad de Ana es dos veces más que la edad de Bety: El exceso de A sobre B es 40: A es a B como 2 a 3:
Ana: 3x Bety: x A-B A B
PLANTEO DE ECUACIONES
Enunciado
Lenguaje matemático
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
Anita tiene entre conejos y gallinas males. Si el número de patas en tota observa es 100, ¿cuántos conejos t Resolución:
a es dos veces b: x es dos veces más que y: El doble, de x más 4: El triple de x, más 7: El número de manzanas excede al número de na ranjas en 8:
Como Inicio a la resolución del pro mos que el número de conejos y el d x = 3y es desconocido, es por ello que le cada uno una variable. Reading a Preview 2(x +You're 4) 3x +Unlock 7 full access with a free trial. Número de conejos = y Número de gallinas = x x = 2y
Ahora planteamos las ecuaciones M- N= 8 Download With Free Trial datos, obteniéndose lo siguiente: gallinas + conejos = 30 =» x + y = 3 La suma de tres números Con respecto a las patas (conejos: (x)+(x + 2)+(x + 4) impares consecutivos: gallinas: 2 patas) El número de varones 4y + 2x = 100 => 2y +2(y + x V 5 Sign up to vote on this title es al número de damas D 9 ~ 6( como 5 es a 9: Useful Not useful 2y + 60 = 100 .-.y = 20 El cubo del doble de x : (2x)3 2. Me falta S/.100 para poder com
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Planteo la ecuación: 2x - 100 = x + 50 => x = 150
Resolución:
Finalmente mi dinero es: x + 50 = 200 3.
Dentro de un establo hay caballos negros y blancos, el número de caballos negros es tres veces el número de caballos blancos. SI saco del establo 13 caballos negros y los reemplazo por 17 caballos blancos la propor ción Inicial entre caballos negros y blancos se invierte. Calcular el número total de caballos ¡nlclalmente.
3x
X
3x - 13
x + 17
3(3x - 13) = x + 17 => x = 7 Total caballos inicialmente: 4x = 28 4.
I + 25C
40
45
I+45C
X
75
I + 75C
I + 25C = I + 45C = I + 75C ^ , = 75 60x 25 40x 45 75x
Al inicio la relación es de 3 : 1, al final será de 1: 3, lo cual se esquematiza con el siguiente cuadro: Caballos blancos
25
I: hierba inicial C: crecimiento diario Hierba consumida en 1 día por una v
Resolución:
Caballos negros
60
De donde: x = 30 [ " ejercicios PROPUESTOS 1 | 1.
En una fiesta habían 76 personas. Se que el número de hombres era igual a cuadrada del número de mujeres adultas You're Reading a Preview número de niños era la raíz cúbica del n de mujeres adultas. Calcule la diferencia Unlock full access with aelfree trial. demujeres y hombres adultos número
a) 4 b) 12 c) 24 Download With Free Trial d) 56 e) 36 Pepe no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci 2. Con las tablas que sirven para cons dió comprar el mismo número de artículos de área de 40 metros, se desea delimitar u cada tipo, ¿cuántos compró en total? dín de forma rectangular, donde uno d Sign up to vote on this title lados sea la pared de la casa y que e Resolución: sea,lo más grande useful ¿Qué dim Useful Notposible. nes debe tener dicho jardín? Tajador Lápiz Lapicero Costo de c/u
X
y
z
a) 24 m; 8 m
b) 26 m; 12
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m
los trabajadores de la prensa, de manera que todos den a cada trabajador la misma canti dad de entradas. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada trabajador y cuántos son los trabajadores beneficiados con las en tradas? a) 6 y 44 d) 3 y 52 5.
7.
c) 4 y 51
Brenda compra 30 libros de medicina a S/.70 cada uno, en un descuido le robaron unos cuantos, y al vender cada uno de los restan tes aumentó tantas veces S/,2,8 como libros le hablan robado, resultando que no hubo pér dida ni ganancia ¿Cuántos libros le robaron? a) 2 d) 5
6.
b) 3 y 41 e) 4 y 53
b) 4 e) 6
c) 3
9.
Con dos números enteros y positivo ron las siguientes operaciones: los los restaron, el menor del mayor, l can y los dividieron, el mayor entre SI la suma de los 4 resultados fue es el mayor de dichos números? a) 20 d) 24
b) 23 e) 22
10. En un matrimonio masivo particip rejas, de ellos 68 damas no usaron hay tantas personas como caballe los usan. ¿Cuántas personas usan a) 50 d) 54
b) 53 e) 52
11. Se tiene una suma de S sumando yores que 1. A tres de ellos se les a Con las bolitas que tengo puedo formar dos unidades a cada uno y se vuelve a cuadrados compactos exactamente, tal que el nuevo resultado es el cuádruple los lados de los cuadrados se diferencian en 6 y se sabe que S es mayor que 6, ¿ bolitas. Pero si formamos un triángulo equilá resultado original? You're Reading tero también compacto colocando en su lado a Preview
a) 10 b) 20 una cantidad de bolitas igual a laUnlock sumafulldeaccess las with a free trial. bolitas que se colocaron en los lados de los d) 50 e) 25 cuadrados, también alcanzaría exactamente. With Free 12. Trial Un asta de metal se rompió en c Si formamos un solo cuadrado Download compacto (el quedando con la parte de arriba más grande) ¿cuántas bolitas sobran? manera de gozne y la punta tocan a) 20 b) 48 c) 41 en un punto localizado a 20 m de l d) 24 e) 38 reparó pero se rompió de nuevo. E Sign up to vote on this title un punto localizado 5 m más abajo El día de los enamorados un ratoncito sale de anterior la punta tocando el piso Not useful Useful y su hueco hacia el hueco de su ratoncita dan la base. ¿Qué longitud tenia el asta do alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con a) 43 m b) 55 m otro regresa dando tristes s altos de 7 cm, pero
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El
número inicial y el cuarto comió tantos como los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió el menor de los 3 sobrinos?
lo que le da al niño. Un día encontró a lo repartió S/.700 entre ellos. ¿Cuánto le t ciego?
a) 10 d) 8
a) S/.400 d) S/.350
b) 11 e) 15
c) 12
15. Un comerc iante compró cierto número de libros por S/.60, se le extraviaron 3 de ellos y vende los que le queda en S/.2 más de lo que había costado cada uno, ganando en total S/.3. ¿Cuántos le costó cada libro? a) S/.4 d) S/.8
b) S/.10 e) S/.5
a) 360 d) 405
b) 380 e) 432
20.
c) S/.6
16. Al número xyz se le resta zyx y en el resultado se observó que la cifra de las unidades era el doble de las cifras de las centenas. SI x + y + z es lo máximo posible, calcular xyz. ,
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c) 460
c)
Cuando tú tengas el dinero que él tendrá la mitad del dinero que tú y yo ten y le será suficiente para comprars automóvil de $3600 y aún quedarse c SI tú tienes la cuarta parte de lo que él t en ese entonces, ¿cuánto de dinero ten a) $7000 d) $6000
21.
b) S/.300 e) S/.500
b) $7500 e) $2500
c)
Se desea cambiar un billete de 10 monedas de 20 céntimos y 50 céntimos cuántas formas diferentes se puede esto, utilizando al menos una moned cada tipo?
a) 7 b) 9 c) 17. En la orilla de un río de 100 m de ancho está d) 11 e) 8 You're Reading a Preview situada una planta eléctrica y en la otra orilla opuesta a 500 m río arriba, se estáUnlock constru full access22. with aBruno, free trial.Diego y Federico fueron al supe cado. Bruno pagó con S/.50 y recibió yendo una fábrica. Sabiendo que el río es rec de vuelto. Diego y Federico pagaron tilíneo y que el tendido de cables a lo largo de Download With Free unoTrial con un billete de S/.100. Bruno y la orilla cuesta S/.9 cada metro y que el tendi rico gastaron entre los dos S/.80. SI el do de cable sobre el agua cuesta S/.15 cada de Diego fue la mitad del vuelto de Fed metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más ¿cuánto gastó Diego? económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica? c) a) S/.40 b) S/.80 a) 500 m d) 950 m
b) 420 m e) 550 m
c) 600 m
18 Luchito gastó $100 en comprar 100 juguetes
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d) S/.86
Useful
e) S/.71
Not useful
23. En un aula de un seminario de Razonam Matemático hay 86 personas. El profes
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25. Al repartir caram elos entre un grupo de niños se observa que, si se entrega 20 a cada uno sobraría 40, pero si se les entrega 25 a cada uno solo sobraría 10 caramelos, ¿cuántos ca ramelos se van a repartir? a) 160 d) 125
b) 165 e) 120
c) 130
26. Gabito le dice a su tío: De los S/.400 que me diste gasté S/.150 más de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó Gabito? a) S/.295 d) S/.250
b) S/.225 e) S/.150
c) S/.275
27. Rosa y Edith son dos niñas que les gusta co leccionar chapas de gaseosas; entre las dos tienen 40. Si Rosa le diera a Edith 12 de sus chapas entonces Edith tendría ahora el triple de lo que a Rosa le queda, ¿cuántas chapas tenía Edith al inicio?
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Examen Mayo 2012
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1. 2. 3. 4. 5. 6.
d d c a d c
7. 8. 9. 10. 11. 12.
e e e c e d
13. 14. 15. 16. 17. 18.
c a e d e c
19. 20. 21. 22. 23. 24.
[^EJERCICIOS PROPUESTOS^
1. Si tengo que pagar un recibo de luz y pago con monedas de S/.5 y S/.7 monedas tengo, si hay más moned que de S/.7? a) 15 d) 16
b) 18 e) 20
2. Con 60 monedas en total, unas de otras de 2 soles, se quiere pagar de 204 soles. ¿Cuántas moneda a) 22 b) 30 c) 12 clase se tienen respectivamente? You're Reading a Preview d) 18 e) 15 a) 28 y 32 b) 30 y 30 Unlock full access with a free trial. d) 40 y 20 e) 32 y 28 28. Se tienen tres montones de canicas con dife rentes números de canicas cada uno; aunque 3. Trial En una ciudad de 240 personas, a Download With Free la diferencia entre ellos es la misma. Además población no le gusta ir al cine n entre los tres se cuentan 60 canicas. Si del museo, a 1/8 de la población le gus montón que no es el más grande ni el más y a los 17/24 les gusta visitar un pequeño se pasan al montón pequeño dos cuántos les gusta ir solo al cine? canicas entonces este tendría la tercera parte Sign up to vote on this title a) 8 b) 10 de canicas que quedaría en el montón dismi useful d)Useful Note) 20 25 nuido, inicialmente, ¿cuánto tenía el montón más grande? 4. En un colegio, se observa la misma
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a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
of 107
c) 3
6. Si dos números suman 32 y uno es múltiplo de 3 y otro de 7. Halle el mayor de ellos. a) 12 d) 20
b) 14 e) 21
c) 18
7. En una reunión, hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como varones senta dos. Luego se observa que todas las mujeres bailan y 8 varones no lo hacen. ¿Cuántas per sonas hay en la fiesta? a) 36 d) 54 8.
b) 40 e) 56
c)
.46
Para tener 20 soles me falta tanto como la mitad de lo que me falta para tener 28 soles. ¿Cuánto tengo? a) S/.20 d) S/.16
b) S/.12 e) S/.18
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han entrado de cada clase, sabiendo q diámetros de dichas monedas son de 37 mm. a) 13 y 25 d) 15 y 23
b) 19 y 19 e) 10 y 28
c)
13. Un padre de familia compró por Navida botella de champagne y un panetón; co éste S/.6 más que la botella; el año s te compró otra botella de champagne panetón resultando este S/.2 más caro del año pasado, y la botella resultó S/. barata que la del año pasado; entonces resultó que el precio del panetón era el que el de la botella de champagne. ¿C costó el segundo panetón? a) S/.20 d) S/.10
b) S/.12 e) S/.15
c)
c) S/.8
14. Un chofer de combl iba a cobrar S/.2,5 llevar a un grupo de personas; pero le nen llevar a dos personas más y por e You're Reading a Preview 9. Sobre un estante se puede colocar 15 libros bra S/.2 a cada uno. El chofer sacó la c de Álgebra y 3 libros de Geometría Unlock o 9 libros full access with ayfree trial. observó que ganaría S/.1 más por de Geometría y 5 libros de Álgebra. ¿Cuántos realizó el traslado. ¿Cuántos pasajero libros solo de Álgebra entran en el estante? en total? Download With Free Trial a) 12 b) 15 c) 20 a) 12 b) 10 c) d) 18 e) 16 d) 6 e) 8 10. Pedro y Juan al llevar 7 y 5 panes, respectivamente, se encuentran con Carlos y comparten con él los 12 panes en partes iguales. SI Carlos pagó S/.12 por su parte, ¿cómo deben repartirse el dinero Pedro y Juan?
15. Un comerciante que llevaba naranjas Sign up on this title vender entoelvote mercado, razonaba de guiente manera: “SI vendo Useful Not useful cada naran soles, me faltarían R soles para compr bicicleta. En cambio si vendo cada nar
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
17. En un salón de la academia el día de hoy fal taron 5 alumnos por problemas de salud. SI los asistentes se sientan 4 alumnos en cada carpeta, faltarían 3 alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan 3 alumnos por carpeta se quedarían 9 alumnos de pie. Halla el número total de alumnos del salón. a) 60 d) 40
b) e)
50 c) 45 55
18. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3 libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclope dias se obtendrá con 225 cuadernos? a) 2 d) 27
b) 23 e) 31
c) 25
sa y Margarita. Cada una de estas compran un determinado número d pagando por cada uno un cierto n euros igual al número de objetos pran. Antonio compra 23 objetos Margarita y Miguel 11 más que Lu padre gasta 63 euros más que su h ¿Cuál es la hija de Antonio? a) Margarita b) Amalia d) Faltan datos e )N .A .
23-, Un agricultor desea divid ir un terre rectangular en pequeñas parcelas c para ello debe colocar cierto núme tacas en hileras igualmente espaci a lo largo como a lo ancho y el n ellas deben estar en relación de 3 un primer intento y le faltan 174 e decide entonces colocar 3 menos en 2 menos en el ancho con lo cual le estacas. Calcular el número de esta nibles.
19. El exceso de un número sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo número sobre 70. Halla el número disminuido en su cuarta parte. You're Reading a Preview a) 3120 b) 3200 a) 120 b) 80 c) 90 d) 2844 e) 2780 d) 110 e) 98 Unlock full access with a free trial. 24. Con todos los alumnos de un aula s 20. El cuadrado de la suma de dos números con cuadrado compacto con n alumnos Download With Free Trial secutivos es 81. Halla la diferencia del triple Pero si quisieran formar dos triáng del mayor y el doble del menor. láteros compactos iguales con n al lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuá a) 9 b) 8 c) 7 nos hay en el salón? d) 12 fe) 10 Sign up to vote on this title a) 64 b) 81 121 144 21. La empleada de ta fonoteca no ha parado de d) Useful Note)useful trabajar en toda la semana. El lunes recibió 25. En un lejano planeta de otra galax varios discos y marcó algunos de ellos. El
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de S/.50. ¿Cuántos billetes en total le entrega al cajero? a) 105 d) 115
b) 108 e) 118
c) 111
27. Les preguntan por sus edades a una madre, su hijo e hija responde: - Madre: Nuestras tres edades suman 100 años. - Hijo: Cuando yo tenía la edad que tiene mi hermana nuestras tres edades sumaban 70 años. - Hija: Cuando yo tenga los años que mamá tenía, cuando mi hermano tenía los años que dijo, nuestras tres edades sumarán 160 años. - Mamá: SI yo tuviera los años que tenía, tengo y tendré, tendría 160 años. ¿Qué edad tiene la hija?
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Examen Mayo 2012
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a) 15 d) 19
b) 16 e) 14
c)
29. Matías y Fernando pasaron la noche refugios A y B, respectivamente. A la siguiente, Matías camina hacia B y Fe hacia A; los dos van a velocidad cons los dos recorren el mismo sendero qu por un bosque. Matías salió de A a las y llegó a B a las 11:00 h; Fernando sa a ias 8:30 h y llegó a A a las 11:00 h. entraron en el bosque a la misma hor uno siguiendo su dirección) y uno de e lió del bosque 3 minutos antes que el qué hora salió Matías del bosque? a) 7:48 h d) 8:30 h
b) 9:48 h e) 9:30 h
c)
30. Una tortuga camina 60 metros por una lagartija lo hace a 240 metros po Ambas parten con la misma dirección a) 18 b) 20 c) 22 el vértice A de una pista rectangular d) 24 e) 25 metros de largo y 60 metros de ancho You're Reading a Preview 28. Los señores Pérez tienen cinco niños de los lo indica la figura. La lagartija tiene p Unlock full access with a free trial. avanzar dos lados consecutivo más activos: tumbre . pista, retroceder uno, volver a avanz - El lunes van al cine cuatro de ellos cuyas volver a retroceder uno y así sucesiva edades suman 38 años. Download With Free Trial ¿Después de cuánto tiempo la tortu - El martes van a patinar cuatro cuyas eda lagartija se encuentran por primera ve des suman 35 años. - El miércoles van al parque de atracciones a) 75 min cuatro, sumando sus edades 36 años. b) 1,h 15 min A Sign up to vote on this title - El jueves salen cuatro a la piscina, sus c) 1 h 20 min edades suman 36. d)1 hUseful Not useful e) 1 h 25 min - El viernes van cuatro a un concierto, sus edades suman 38.
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EDADES ELEMENTOS EN LOS PROBLEMAS DE EDADES Para resolver los ejercicios de esta parte se requie re tener en cuenta los elementos que intervienen en los mismos.
2.
Dentro de 25 años Anita tendrá el tr edad que tenía hace 5 años. ¿Qué drá dentro de 10 años? Resolución:
es un intervalo de tiempo, el cual pue de variar de acuerdo a la condiciones, sexo, condiciones de vida, clima, temperatura. Por ejemplo se dice que las mujeres en promedio viven seis años más que los hombres, la gen te que fuma vive en promedio 10 años menos '(30)' que los que viven una vida normal, la gente en oriente vive más años que los de occidente, Luego: x + 30 = 3x => x = 5 etc. son las personas (o seres vivos) que tienen un tiempo de vida (edad) y con ellos En este caso suele emplearse trabajaremos en los problemas. de doble entrada para distribuir mejor lo aquí tomaremos la acepción como obtener la información necesaria que no un momento determinado en la vida de un su resolver el problema. A continuación se jeto. Por ejemplo: hace ocho años, dentro de un cuadro con algunos datos; vamos a lle 4 años. y obtendremos de él algunas ob You're Reading acuadro Preview Los problemas sobre edades se clasifican de nes importantes: diversas formas, veamos: Unlock full access with a free trial.
Hace 5 años Pasado
dentro de 8 años
Presente
Futuro
15
10
Download With Free Trial Pasado
Presente
7
17
21 31 Sign up to vote on this title 3Not useful 13 Useful
1.
Tony tenía hace 5 años, 12 años de edad. ¿Qué edad tendrá dentro de 13 años?
25
Fu
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Examen Mayo 2012
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| C olección El Postulante
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En el pasado 21 - 3 = 18
En el presente 31 - 13 = 18
En el futuro 46 - 2 8 = 18
La diferencia de edades en todos los tiempos es 18. “La suma en aspa de valores ubicados simé tricamente en la tabla son iguales’’. Analicemos la suma en aspa de las edades de Lily y Katy en el pasado y en el futuro. 7 + 28 = 32 + 3 = 35 1.
Dentro de 6 años tu edad será a mi edad como 11 es a 7 y hace 7 años esa relación era de 5 a 2. ¿Cuántos años tengo? Resolución:
Considerando la relación en el pasado (5k, 2k), se construye el cuadro obteniéndose lo siguiente: Hace 7 años
Dentro de 6 años
X
30
6
3x
La suma en aspa debe darnos valores 30 + 6 = x + 3x ^ x = 9 Nos piden la edad actual de Bety: 3x = 3(9) = 27 años
En esta parte mostr listado realizado hasta 10 de enero del 200 Lolo Luis
1977
Timoteo
1980 1982
Katy
1988
+ +
26 23
+
21
+
16
Se sabe que Katy cumple años el 5 del You're Readingenero a Preview por ello al sumarle con su año de na da como resultado 2004 (año actual), en Unlock full access with a free trial. 5k 5k + 7 5k + 13 Luis cumple años en octubre, Lolo en julio teo en julio por ello para ellos al sumar s 2k 2k + 7 2k + 13 nacimiento con sus edades da como re Download Withde Free Trial 2003 (un año menos que el actual). Como en el pasado nuestra relación con res pecto a nuestras edades era de 5 a 2 coloca mos 5k y 2k. Luego en el presente se tendrá En el mes de octubre del año 1933 se le 5k + 7; 2k + 7 y en el futuro 5k + 13; 2k + 13. Sign up to vote on this title 12 alumnos que sumen los años que tenía Además en el futuro la relación de nuestras Useful Not usefulluego que su los nacieron años en cuales edades es de 11 a 7 y por ello planteamos: dos los resultados obteniéndose al final ¿Cuántos alumnos todavía no cumplían a 5k + 13 = U = 35k + 91 = 22k + 143
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
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Resolución:
EJERCICIOS RESUELTOS
+5 La edad de Katy es los 3/2 de la edad de Luis. Si Katy hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Katy hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. Hallar la diferencia de edades. Resolución:
9x
9x
5
X
x
5
9x
Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5 9x + 5 = 5x + 25 => x = 5
Edad de Katy:K; edad de Luis: L 3,L =>—K = — L[ K=>= i3x K — 2 3 2 ] L = 2x Según enunciado: 3x + 10 3x - 5 16 í 2x - 5 5 (, 2x + 10
+17
Piden la edad del padre en 1940: => 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67 4.
x = 10
Piden la diferencia de edades: 3x - 2x => x = 10
Salvad or tiene 30 años, su edad es la edad que tenía Pítágoras, cuand tenía la cuarta parte de la edad que goras. Hallar la edad actual de Pitá Resolución:
Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas You're lo que Reading yo te a Preview x/4 30 nía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad 10 X Unlock que yo tuviese, si tendría 10 años másfulldeaccess los with a free trial. que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más de los que tendré y tú los que te Download he dicho que Se cumple: + x = 10 + 30 With Free Trial tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo? ¡ ~ = 40 => x = 32 años 4 Resolución:
Sign up[ to " evote j e r on c i cthis i o stitle propuestos
y
z
2x
2x + 10
1.
Useful
Not useful
Consuelo en el mes de diciembr años que tenía de los meses que ha
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Mario tiene 40 años; su edad es el doble de la edad que tenía Juan, cuando Mario tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 30 años d) 45 años 4.
b) 25 años e) 55 años
c) 40 años
Hace 5 años la edad de un hijo se diferen ciaba en el doble de su edad con la edad de su padre, y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano menor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor, calcular la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo. a) 21 años d) 25 años
b) 28 años e) 30 años
c) 32 años
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a) 80 d) 85 9.
b) 75 e) 65
c) 70
Se sabe que si una pareja de esposos, el marido es mayor, tuviese un hijo ah cabo de cierto tiempo la suma de las e de los 3 sería 66 años y que el triple cho tiempo es justamente la diferencia edades de los esposos. Hallar la suma cifras de la edad del esposo. a) 8 d) 10
b) 4 e) 5
c) 6
10. Mi tatarabuelo nació en el siglo XIX; t años en el año X2 y 126 años después d en el que nació, tenía yo tantos años expresa las dos últimas cifras del año nacimiento. Al poner en conocimiento profesor esta coincidencia, él dijo que c edad ocurría lo mismo, ¿qué edad te profesor cuando yo nací?
En el mes de mayo, un estudiante sumó a los años que tiene todos los meses que ha vivi do, obteniendo como resultado 232. ¿En qué mes nació? a) 46 años You're Reading a Preview a) Abril b) Mayo c) Junio d) 36 años d) Julio e) Marzo Unlock full access with a free trial.
b) 86 años e) 50 años
c) 56
11. Nancy y Samlr se casaron cuando ten Hace 12 años las edades de dos hermanos años, y luego de un año nació Naty. 'Si c Download With Free Trial estaban en relación de 4 a 5; actualmen Naty se casó, su edad era igual a la te sus edades suman 59 años. ¿Dentro de parte de la suma de las edades de s cuántos años sus edades estarán en relación dres, ¿a qué edad se casó Naty? de 8 a 7? b) 18 años c) a) 19 años a) 6 c) 8 b) 7 Sign up to vote on this title d) 17 años e) 23 años d) 9 e) 10
7.
Al ser preguntado Salvador por su edad, con testó de la siguiente manera: “SI al año en el
Useful
Not useful
12 . Antonio le dice a Jorge: “Dentro de 4 a
edad será 2 veces más que tu edad”.
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suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1979? a) 12 d) 10
b) 13 e) 11
c) 14
15. Lina le dice a Katy: “Yo tengo 9 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será de 44 años”. ¿Cuál es la diferencia entre las edades de es tas dos mujeres? a) 2 d) 8
b) 10 e) 6
c) 4
16. Cuando a Mary se le pregunta por la edad de su perrito, ella responde: “Hace dos años tenía la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de 22 años”. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de ¡a edad que tenía hace 5 años? a) 0 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
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19. Cuando yo tuve la tercera parte d que tú tienes, tú tuviste la mitad d actual. En cambio, cuando yo tení de la edad que tengo, la suma d edades era 48 años. ¿Cuál es la tengo? a) 40 años d) 46 años
b) 42 años e) 48 años
20. Dentro de 4 años tu edad será a la 3 es a 4, pero hace 14 años eran co 7. ¿Qué edad tengo? a) 28 años d) 30 años
b) 26 años e) 32 años
21. Lucas tiene 28 años, su edad es la que tenía Pedro, cuando Luca edad que tiene Pedro. ¿Cuál es l Pedro?
a) 20 años b ) 18 años d) 23 años e) 21 años You're Reading a Preview 17. En junio de 1992, tres amigos Carlos, Raúl y La suma de las edades de un pa Mario suman sus edades a los años defullsuaccess na with a22. Unlock free trial. dos hijos es 75 años. Hallar la ed cimiento, obteniendo como respuesta 5974. dre sabiendo que hace 5 años su Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre, Download With Free Trial el triple de la suma de las edad ¿en qué mes nació Mario? hijos. a) Abril b) Mayo c) Julio d) Marzo e) Enero a) 54 años b) 55 años d) 50 años e) 60 años 18. En un aula de 40 alumnos, el tutor suma to Sign up to vote on this title das las edades con los años de nacimiento de 1. c 6.Not c useful 11. a 16. a Useful cada uno y obtiene 79 670. SI dicha suma se 2. b 12. a 17. 7. c realiza en 1992, ¿cuántos ya habían cumplido 3 d 8 a 13 a 18 c años ese año?
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A T A
I e = vt I
Sabemos que la diferencia de tiempos ti —t2 = 4 => 4k - 3k = k = 4
t = S.
v = ?
V
..
Luego: t, = 16 s =»d = (6)(16) .-. d = 96 m
EJERCICIOS RESUELTOS 3. Un móvil recorrió 200 km con rapidez constan te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 2 km/h hubiera empleado 5 h menos. ¿En qué tiempo recorrerá 240 km? Resolución: 200
La rapidez de A, B y C es de 8; 10 respectivamente. Participan en una c donde B les da una ventaja de 40 y 24 a C y A, respectivamente. Si la carrera nada por B cuando A le llevaba una ven 14 m a C, ¿en cuánto aventajó B a A e momento? Resolución:
Vamos a recurrir a un gráfico para o las condiciones iniciales y finales de la ra, además de las distancias recorrid 200 cada uno. tSUpUe5í0 ■ v +2 v supuesto V + 2 Sea t el tiempo transcurrido: (el tiemp Sabemos, por dato, que el tiempo en el caso mismo para los tres móviles). supuesto es menor que el tiempo en el caso You're Reading a Preview real, en 5 h; por lo tanto, la diferencia de tiem pos sería de 5 h. Es decir: Unlock full access with a free trial. 200 km
200
v
200 =5 (v + 2)
l km/h
Download With Free Trial
' 24 m ' 16 m Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta tienda, observa que caminan do a razón de 6 m/s tarda 4 segundos más que si lo hace a razón 8 m/s. ¿Cuál es la dis tancia mencionada?
'
' 14 m
Del gráfico: 8t =Sign 16up + to 6t vote + 14on=> t =title 15 this 10t 24 + 8t + xNot => useful 2t = 24 + x = Useful 2(15) —24 + x =* x = 6
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer tra yecto.
Resolución:
5v Callao
Resolución:
h' * 2
Se tiene que: m
: A B 60 km
___________
x
.C 60
Considerando las 3 horas del vapo gráfico, su espacio recorrido será: Se sabe que: t = e/v Como emplea 7 horas en realizar todo el reco rrido, se tiene: - + - I tL = 7 v v- 1 ti t2 5.
v = 4 km/h
15v = 60 + x + 60 => x = 15v - 120
...(1)
Considerando las 5 horas del avión gráfico, su espacio recorrido será: 5(5v) = 60 + x + x ...(2) Reemplazando (1) en (2): 25v = 60 + 2(15v - 120) => v = 36
Si un recipiente que tiene ab litros de agua, se llena a caudal constante, al cabo de 30 You're Reading minutos se obtiene ba litros y cumplidos los a Preview Piden la velocidad del avión: primeros 60 minutos se tiene aObUnlock litros.fullHallar =5(36) = 180 km/h access with a free5v trial. el caudal en litros por hora. 7. Un viajero sale de A y viaja 40 km Resolución: Download With Free Trial norte y llega al punto B. Se dirige ha En la primera media hora llenó: ba - ab litros. recorriendo 40 km hacia el punto C sigue 30 km al este llegando al punt En la segunda media hora llenó: aOb - ba se dirige en trayectoria recta hacia e litros y como el caudal es constante: que está a 40 km al sur deC, luego Sign up to vote on this title ba - ab = aOb - ba punto A. Averiguar cuál fue el reco delUseful viajero. Not useful Descomponiendo polinómicamente y efec tuando:
Resolución:
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100 m/s 115 m/s 119 m/s 120 m/s 125 m/s
vA = 30 m/s A
Vg = 50 n
i
----------------
1,
a) b) c) d) e)
| | c
Un hombre parado sobre una escalera mecáni ca en funcionamiento sube en 60 s; pero si cami nara sobre la escalera en movimiento emplearía 20 s. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría ca minando sobre la escalera en funcionamiento? a) 55 s d) 62 s
¿En qué tiempo ocurre el encuentro y lado respecto al punto N, que es un pu dio entre A y B?
El ruido emitido por el avión en A es escuch a do por un observador en C. Cuando el avión se encuentra en B, hallar la rapidez del avión. a) b) c) d) e)
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1.
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b) 58 s e) 64 s
c) 60 s
8.
400 m
-----------------
5 s a la derecha de N, a 50 m 7 s a la izquierda de N, a 60 m 10 s a la derecha deN, a10 m 5 s a la izquierda de N, a50 m 7 s a la izquierda de N, a60 m
Un microbús recorre en una hora toda nida Venezuela, mientras que; otro m lo hace en 35 minutos si el microbús m to parte 15 minutos antes, hallar el tie que el otro lo alcanzará.
3.
En una pista circular de 3000 m dos velocistas a) 21 min b) 20 min parten juntos en sentido contrario y se cruzan d) 18 min e) 19 min al cabo de 20 min. Después de 5You're min, llega Reading a Preview el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la 9. Recorrí 2000 km con rapidez const Unlock full access with a free trial. viajado con una rapidez m velocidad del otro? hubiera 2 km/h hubiera empleado 5 horas men a) 20 m/min b) 25 m/min c) 30 m/min qué tiempo recorreré 240 km? Download With Free Trial d) 35 m/min e) 40 m/min
4.
Una madre y su hija trabajan juntas en la mis ma oficina. De su casa a la oficina, la hija em plea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En cuánto tiempo alcanzará la hija a su mamá, si esta sale 8 minutos antes? a) 24 min d) 18 min
b) 28 min e) 22 min
c) 20 min
a) 20 h d) 34 h
b) 30 h e) 36 h
c)
10. Un alumno de la academia viajando e Sign up to vote on this title bus a razón de 40 km/h generalmente Useful Not useful tiempo; sin embargo, el día que le toc namiento llegó con un retraso de 10 debido a que el ómnibus solo pudo
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12. El barco explorador recibió la orden de hacer el reconocimiento en dirección que llevaba la escuadra; tres horas después la nave de bía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuánto tiempo, a partir del momento en que se distancia de la escuadra, debe iniciar el barco explorador el regreso, si su velocidad es de 60 km/h y de la escuadra 40 km/h? a) 3 h d) 2,5 h
b) 0,5 h e) 2 h
c) 1h
13. Una persona sale de su casa y llega a su tra bajo en 30 minutos a una velocidad constante. Un día que salió normalmente de su casa, en mitad de su trayecto se detiene por un inter valo de tiempo de 20 minutos, luego renueva su movimiento duplicando su velocidad hasta llegar a su centro de trabajo. ¿Cuánto tiempo retrasado llega a su trabajo? a ) 1 2 min d) 12,5 min
b ) 1 0 min e) 11,5 min
c) 11 min
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Examen Mayo 2012
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mente parte en su automóvil con u constante de 20 m/s hacia la fábric un minuto atrasado, ¿a qué distanc brica se hallaba el obrero? a) 3,4 km d) 3,2 km
b) 2,8 km e) 3,8 km
17. Dos autos van uno al encuentro d tiendo simultáneamente. Uno parte A y el otro de! B, siendo sus velocid tantes de 10 m/s y 20 m/s, respe Si la distancia entre A y B es de 10 el tiempo que transcurre, hasta que que le falta al primer auto para alcan to B sea el triple de la distancia qu segundo para alcanzar el punto A. a )10s d) 8 s
b)5s e) 7 s
18. Una escalera mecánica tiene una 5 metros. Cuando está detenida, un sube empleando 10 segundos. Se 14. Pepe y Miriam separados por una distancia de You're Reading a Preview cular la velocidad de la escalera c 2400 m, parten al mismo tiempo al encuen funcionando, si en este estado la p tro uno del otro. Justamente con Pepe parte with a free trial. Unlock full access mora solo 4 segundos en subir. Fido, perro fiel a ambos. Fldo al encontrarse a) 0,75 m/s b) 0,80 m/s con Miriam regresa nuevamente hacia Pepe Download With Free Trial d) 0,85 m/s e) 0,90 m/s y así sucesivamente de Pepe a Miriam y de Miriam a Pepe hata que ellos se encuentan. 19. Dos jinetes corren en un hipódrom Se desea saber el espacio total recorrido por de circunferencia y en el mismo sen el perro, si se sabe que lp velocidad de Pepe mero que tiene 20 m de adelanto co es de 373 m/h, de Fido 393 m/h y de Miriam Sign to vote onathis title calcular la s y elupsegundo, 3 m/s; 227 m/h. Useful Not usefulhasta su encu recorridas distancias a) 1572 m b) 147 2m c)17 52rri a) 80 m b) 1 60 m d) 1275 m e) 1742 m d) 240 m e) 280 m
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OPERADORES MATEMÁTICOS Sheet Music
OPERACION MATEMATICA Dada: / x +
Es un procedimiento que transforma una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo reglas y/o condiciones convenidas.
/x - ^ k = / í - n \ + / £ \
Operador matemático a 9 b = 2a - b Operación Regla o definición
Resolución:
Por regla: / x + 1 \ = 4x + 6 x 4; + 2
Operador matemático. Son símbolos que por sí mismos no tienen significación. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa. Operadores: {*, #, 0, A, f ( ), a, % }
En la condición: 4(p - 6) + 2 = [4(1 - n) + 2] + [4(2) + 4n -2 4 + 2 = 4 - 4n +2 + 10 8n = 38 =» n = 19/4
.....
Ejemplos: 1.
= 4x + 6, hallar n en
6.
Se define en Z+: [x] = x3(x - 1)
Si: / x \ = x2 - 3x + 1, calcular: k k hallar n en:
Resolución:
n 20
18
/ k
= ( -3 ) 2 - 3 (- 3) +1 = 9 + 9 + 1 = 1 9 Resolución: You're Reading a Preview n - 18 23(2 - 1 ) Se define: a 0 b = a2 + 2b + 1; calcular: 4 0 5. 20 ■
Unlock full access with a free trial.
Resolución:
4 0 5 = 4 2 + 2 x 5 + 1 - 27 I 1 a b
n - 18 Download With Free20 Trial Comparando: — - 1 8 = 2
Se define: a3 a b = 5a + 3b; calcular: 8 a 10. Resolución:
Dando forma de, la operación: 23 a 10 = 5 x 2 + 3x 1 0 = 40 l
20
= 20 => n = 400
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Si: (x) = x(x + 1)
M = (20 2.) - (—2l_2_) = -1 - 1 = -2
calcular:
M = -2
A |®| = 56
m
Resolución:
2
lÍ H ; calcule: Q = 1 ^ 3 3
Si:
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Nos piden:
2.
Examen Diplomado Em
Resolución:
Dado la forma necesaria al 56: ® = x(x + 1)
Sea: P = - ^ =
M = 7(7 + 1)
Ahora, en la regla de definición: 4p - 4n * p - IIn p n — => p * n = 4pn pn on Regla de definición
f x ] = 7 => resultado constante Luego:
------
------
r n
-----
1
Trabajamos con esta regla ya que solo hemos acomodado los términos. En lo que nos piden, primero hallamos lo que está entre paréntesis: 1 1 * 1 = 1 3 3
_ 1
Ahora: Q = (-■) Q = — =» Q = 18 2 Si se sabe que:
3 2 9
m
5.
En el conjunto 1N se define:
x2 -
Resolver: ..
1*2
3 3 Resolución:
Reading a Preview 6You're _ 27 De 5 = Unlock full access with a free trial. 18 _ 3 X 6 10 2 5 Ahora: Download With Free Trial
- +1
1 operador 24*15 = 3 49 * 26 = 24 18*23 = 2 a5 1 3 0 = 8
calcule: P = -^1—= ; si: a A b ba * aa
=> l~a~| = a
=>l 1 l = H 2]
2 operadores= 0 - 2
=l
Sign up to vote on 3 operadores = this 0 - title 2 +4
Useful
Not useful
Para 25 operadores será:
|5 +
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Aly * x4 = 2(x * y) - Jy x2
...(II)
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6.
(II) en (I): (x * y) = 2 (2(x * y) - Vy x2) - x2^y
Se define en IR: mAn = m (nAm)2; (mAn) ¿ 0 hallar: 27 A 1 a) 1/2 d) 1/3
(x * y) = 4(x * y) - 2 ¡y x2 - x2 /y
b) 1/4 e) 1/6
c) 1
=> x * y = x2 /y Luego: 4V3* 6 1*2
4/ 3 2-/6 ■= •13x13 = 3 !2V2
[ " e je r c i c i o s p ro p u e s to s ' l
7.
8.
b) 3 e) 9
a) 1 d) 7 2.
Se define en IR: x O y =
(yO x f
b) 2001 e) 2002
3.
4.
b) 9 e) 36
b) 25 e) 3
c)7
Si se sabe que: 24* 15 = 13 49 * 26 = 48 18*23 = 14 a5*3b = 18
You're Reading a Preview calcule: N = bb*ab bi*ü Unlock full access with a free trial. c) 504 a) 7/9 1/3 Download With Freed)Trial
Se define en IR: Ja * b2 = 2(-/b * a2) - a b Calcular: 3 * 4 a) 4 d) 48
c)5
Si: 2ab * 3ba = -I a2 + b2, calcular: 128
c) 5
calcular: 2001 O 2002 a) 1 d) 4
b) 3 e) 9
a) 5 d) 4 9.
: 231, hallar: x
1#(
a) 2 d) 7/6
Se define en IN: [17] = 1 + 2 + 3 + . . . + n Si:
Si: a # b = 2a - b, calcular: E = (4 #
c) 18
b) 1/5 e) 9/4
c) 1
10. Si: | x | = 4x - 3; y (x ) = 8x + 9 calcular: ( fx n a) Sign 8x -up3to vote onb)this 8x title +3
d)4xUseful +5
Not e) xuseful +1
c)
x+1 _ v n
Se define en el conjunto 2Z. nx □ n: calcular: 8
16
11. Si: P (x + 1) = x2 + 3x + 2, calcular y
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b) 6 e) 7
a) 4 d) 8 20. b) x - 200 d) x - 207
15. Si: (a) = a(a + 1), además:((x + 2JJ = 156,
Si: Va * b2 = 2 (Vb * a2) - ab, calcula b) 3 e) 1,5
a) 2 d) 1 21. SI:
a * b = a + ^ - ,si: a > b a- b a*b=
calcular: a) 12 d) 9
b) 11 e) 12
c) 10
((m
a) 1 d) -3
b) 3 e) 5
17. SI:
= x + 6, además:
a+ b
, si: a < b
además: m * n = 4/7 A n * m = 5/3 calcular: m/n b) 23/47 e) 321/451
a) 47/23 d) 35/12
16. Si: f~x~1 = (x - 2)x + 1
calcular: A =
calcular x en: / 3 \ * 5 = x * / 2 \
... x + 5 ...
a) x + 200 c) x + 205 e) x + 210
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14. Si: x - 1 = x + 1 calcular:
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QYou're IL Reading a Preview 22. Si: P(x) = x2(x - 9) + 27 (x - 1) Unlock full access with a free trial.
calcule: c) -1 Download With Free Trial a) P(0) d) P(4) = x + 8,
|3p(25)]
b) P(1) e) P(27)
; 23. Se cumple que: | x ] = | x - 1 + calcular: ( a) 10 d) 20
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CIO)
=3 useful | 0 |= 5 además: Useful | 1 | =Not b) 12 e) 9
f
[...[[[p(27)r(26)]3p<25)]-l
c) 16 Calcule n en:
-----
1
+n= 3
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RELOJES ADELANTOS Y ATRASOS Situaciones donde se encuentran relojes malogra dos, debemos considerar: + Atraso total
- Atraso total
—Adelanto total
+ Adelanto total
Hora real = Hora adelantada - adelanto Hora real = Hora atrasada + atraso Hora atrasada
1.
Hora real
Atraso total
1 división horaria O 30° 1 división de minuto 0 6°
El reloj tiene 12(5) = 60 divisiones q valen para el rtiinutero 60 minutos (1 vuelta) 60 div. <>60 min <> 360°
1 div. = 1 min = 6° (para el minu
Veamos cuantos grados sexagesima Hora _ Hora Adelanto rren las agujas cuando transcurre un adelantada real total determinado en minutos (a partir de You're Reading a Preview punto): Unlock full access trial. RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y with a free Tiempo que Angulo que Ángulo transcurre recorre el MINUTERO recorr (en minutos) minutero hora Download With Free Trial 60’ 360° Punto de partida Recorrido -> —> 30' 180° -> 20' 120° —> on this 10' 60° Sign up to vote title 8’ Useful 3’
48° Not useful . ->
18°
— > —>
—>
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
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Luego:
Por ejemplo, si la hora es 3:35: H = 3 y m = 35
| Hora exacta |
« 0 = ^ (35) - 30(3) = 102,5° a
Hace 15' Dentro de
T. transcurrido*Oh
cuando el horario adelanta al minutero:
sL-"
\________________________ 2 h < > 120°
H antes que m 0 —30H —
Entonces: a + 15 + 25 + a = 120 Hora exacta: 3 p. rr>- + (a + 15)’ =>3 La hora exacta es: 3:55 p. m.
2
Por ejemplo, si la hora es 4:10: H = 4 y m = 10
3.
=» 0 =30(4) - ^ (10) = 65°
Faltan para las 8:00 a. m., la mitad nutos que pasaron desde las 6:00 esta mañana, hasta la hora actual. ¿ indica el reloj? Resolución:
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Distribuyendo convenientemente lo según los datos, tenemos:
¿Qué hora es si hace 4 horas faltaba, para acabar el día, el triple del tiempo que faltará You're Reading a Preview para acabar el día, pero dentro de 4 horas?
| Hora exacta |
2(40)’ 40’ Resolución: . *^ítranscurridcr''' ^ffaitaN 6:00 Download With Free Trial Hora exacta | \__________________________ Hace 4 h Dentro de 4 h x h 2 h < > 120’ < > 3(40 ) Unlock full access with a free trial.
r
Oh
i
^ T . fa l t a >
V
^
—
^ 24 h |
(3x)h '
3x
SignSon up to on a. thism.title lasvote 7:20
i
1 día < > 24 horas
Del gráfico: 4 + 4
Hora exacta: 6 h + 80 min = 7 h 20
4. x=4
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Un reloj tiene 3 minutos de retraso trasándose a razón de 3 segundos
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| C olección El Po s t u l a n t e
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Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero aún no pasa al horario. •
4:12 0 = 30(4) - 11(12) = 54
•
10:44 0 = 30(1 0)- 11(44) = 58
6.
.-.0 = 54°
.•.0=5 8° En cada hora el minutero B adelante minutero C o 30°, luego:
Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en los siguiente casos: •
4:40
•
1 h ------------ ► 30° x — — * 120°
2:26
=>X=
(1)120 30
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero ya pasó al horario. •
•
4:40
Un reloj se atrasa 3 minutos cada h cabo de 6 horas, luego de sincronizar hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál hora correcta?
0 = 11(40) - 30(4) = 100
0 = 100° Resolución: You're Reading a Preview En 1 hora se atrasa ( 3 m¡nutos
2:26
Unlock full access with a freeEn trial.6
6 = y (26) - 30(2) = 83 7.
9.
horas -Sejatrasará ( x
.'.0 = 8 3 °
x= -!0 = 18 m¡n (atraso Download With Free Trial Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera =» Hora correcta = 8:17 + 18 = 8:3 vez se forma un ángulo de 40°? Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la In versa, luego aplicaremos: 0 = 30H - l m
C ICon IOthis S PROPUESTOS Sign[^E upJE to R vote title
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¿Qué hora indican las agujas del reloj 3a - 0 = 40°
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de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en la academia?
Arturo al observar un campanario no 5 campanadas en 10 segundos. ¿Q demorará en dar 25 campanadas?
a) 10 p. m. c) 9:20 p. m. e) 8:30 p. m.
a) 50 s d) 52 s
b) 8 p. m. d) 10:40 p. m.
En un día: I. Cuántas veces se superponen el horario y minutero. II. Cuántas veces se encuentran formando 180° III. Cuántas veces aparecen las agujas for mando 90°. a) 23; 23; 45 c) 22, 23; 43 e) 23; 23; 48
5.
Estado de Resultado 2016
b) 22; 22; 44 d) 21; 21; 44
b) 62 s e) 65 s
Un campanario tarda n2x s en to campanadas como n veces el tiemp mora entre campanada y campana el tiempo en función a n que dem campanada y campanada si es igua b) d)
■Í4r? + 1
2n
e)
n(n + 2) — s n- 1 n2 + 1 .
10. Un anciano al caminar por la calle s ta que da 5 golpes con su bastón en dos. ¿En cuántos segundos dará 10
Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 del medio día (hora exacta). Si el primero se adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa a) 16 b) 18 3’ cada hora, responder: d) 24 e) 12 You're Reading I. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue a Preview vamente la hora correcta los 2 relojes si 11 . Al preguntarle la hora a un profesor Unlock full access with a free trial. multáneamente? namiento Matemático de la academ dió: “El duplo de las horas que ha II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la Download With Free Trial rrido es igual al cuádruplo de las qu misma hora? por transcurrir”. ¿Qué hora es? a) 3 días; 6 días b) 2 días; 9 días a) 4 p. m. b) 8 a. m. c) 7 días; 3 días d) 5 días; 6 días d) 11 a. m. e) 6 p. m. e) 9 días; 3 días Un alumno le dice a su amiga: cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea Igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
up hora to vote on this 12. Sign ¿Qué es?, si atitle =(
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P ostulante
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero aún no pasa al horario. •
4:12 0 = 3 0 (4 )-^ (1 2 ) = 54
•
10:44 9 = 30(10) —- y (44) = 58
6.
.-.0 = 54°
.-.0 =58 °
En cada hora el minutero B adelante 5 minutero C o 30°, luego:
Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en los siguiente casos: •
4:40
•
2:26
1h
------------
x
------------
-- 30-
11)12°
► 120°
30
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero ya pasó al horario. •
4:40
9.
Un reloj se atrasa 3 minutos cada cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál hora correcta?
0 = y ( 4 O ) - 30(4) = 100
7.
■••9 = 100° Resolución: You're Reading a Preview En 1 hora — . atrasa „ 3 minutos • 2:26 Entrial. 6 horas se atrasara ( x Unlock full access with a free 0 = y (26) - 30(2) = 83 0 = 83° x = -- x 3 — — = 18 min (atraso to Download With Free Trial Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera => Hora correcta = 8:17 -t- 18 = 8:35 vez se forma un ángulo de 40o? Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la in versa, luego aplicaremos: 9 = 30H - , ^ m
e j e r c i c i o s p r o p u e s t os”
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¿Qué hora indican las agujas del reloj? 3a - 0 = 40°
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Arturo al observar un campanario no 5 campanadas en 10 segundos. ¿Q demorará en dar 25 campanadas?
a) 10 p. m. c) 9:20 p. m. e) 8:30 p. m.
a) 50 s d) 52 s
a) 23; 23; 45 c) 22, 23; 43 e) 23; 23; 48
b) 8 p. m. d) 10:40 p. m.
b) 22; 22; 44 d) 21; 21; 44
Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 del medio día (hora exacta). Si el primero se adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 3’ cada hora, responder: I.
II. a) c) e) 6.
Examen Mayo 2012
de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en la academia?
En un día: I. Cuántas veces se superponen el horario y minutero. II. Cuántas veces se encuentran formando 180° III. Cuántas veces aparecen las agujas for mando 90°.
5.
Examen Diplomado Em
b) 62 s e) 65 s
Un campanario tarda n x s en to campanadas como n veces el tiemp mora entre campanada y campana el tiempo en función a n que dem campanada y campanada si es igua b) d)
■¡4r? + 1 2n
n(n + 2) n- 1
e)
10. Un anciano al caminar por la calle ta que da 5 golpes con su bastón e dos. ¿En cuántos segundos dará 10
a) 16 b) 18 d) 24 e) 12 You're Reading ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue a Preview vamente la hora correcta los 2 relojes si 11 . Al preguntarle la hora a un profesor Unlock full access with a free trial. multáneamente? namiento Matemático de la academ dió: “El duplo de las horas que ha ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la rrido es igual al cuádruplo de las qu Download With Free Trial misma hora? por transcurrir". ¿Qué hora es? 3 días; 6 días b) 2 días; 9 días a) 4 p. m. b) 8 a. m. 7 días; 3 días d) 5 días; 6 días d) 11 a. m. e) 6 p. m. 9 días; 3 días
Un alumno le dice a su amiga: cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
up hora to vote on this 12. Sign ¿Qué es?, si atitle =6
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de acertadamente. ¿Cuánto tiempo se atrasó el reloj hasta ese momento, si este es el me nor posible? a) 24 h d) 360 min
b) 12 h e) 180 min
c) 36 h
14. Un reloj marca las 3:x; x está entre las 8 y las 9, pasado cierto tiempo el horario y el minute ro se permutan. ¿Qué hora era inicialmente? a) 3 : 4 2 ^ d) 3:41 ^2
b)3:42^
c) 3:42
a) 11:00 a. m.
b) 1:00 p. m.
d) 2:20 p. m.
e) 10:— p. m. 3
c)
20 . Se construye un reloj que tiene el hora
grande que el minutero, cuando Timote hora dice: “Son las 9:29, si el ángulo que las manecillas es 114°, ¿qué hora es en r
11
a) 5:47
b)5:45y
d) 5:48
e) 5:47-.
c|5
e) 3:41í ¡
15. Un reloj indica las horas tocando tantas cam panadas como hora indica y además toca 2 campanadas en las medias horas. ¿Cuántas campanadas se escucharán en 1 día? a) 204 d) 342
19. La mitad del tiempo que ha pasado 9:00 a. m. es una tercera parte del tiem falta para las 7:00 p. m. ¿Qué hora es
b) 202 e) 324
c) 348
21.
A qué hora entre las 6 y las 7 el hora lanta a la marca de las 6 tanto como tero adelante a la marca de las 7. „\c.421 la c. 420 b) 6- l T a)6lF
You're Reading a Preview e) 6:.313 d) 6: 424 16. El reloj de Luis empieza a atrasarse a las 13 11 8:00 a. m. Si después de 3 horas cuando el re Unlock full access with a free trial. 2 2 . Un reloj anuncia las horas con un núm loj marcaba 10:30 de la mañana Luis arregla igual a las horas que e su reloj. ¿Después de cuánto tiempo volverá With Freecampanadas Download Trial para anunciar los cuartos de cando, a marcar la hora exacta, si el reloj a partir del una campanada y para anunciar las momento en que lo arreglan empieza a ade horas da 2 campanadas, pero el reloj lantarse 10 minutos por hora? logra a las 11:00 a. m., con lo cual deja una campanada en todos los casos. c ) 3 días a) 1 día b) 5 días up to vote ona this titleel reloj desde tasSign campanadas dado 2 Nothoras useful 15 minutos? Useful 12 horas hasta las e) 4—días d ) 3 | días 5 a) 40 c) 3 b) 41 17 Cada cuánto tiempo las manecillas de un reloj e) 36 d) 37
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INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN INDUCCION La palabra inducción proviene del latín inductivo (¡n: en y ducere: condu cir) que es la acción y efecto de inducir. Es definido como una manera de razonar, en la cual se obtiene de los hechos particulares, una conclusión general. Así el razo namiento inductivo deductivo desempeña un gran papel en la resolución de diversos problemas matemáticos aplicándose también en las ciencias experimentales. Se puede representar de la si guiente forma: Casos particulares =»
DEDUCCION La palabra deducir proviene del latín dedu significa sacar consecuencias (conclusio deducción es la acción de deducir; tambi conclusión que se obtiene en un proceso vo. En lo que respecta a nuestro estudio, como a partir de casos generales llegam tablecer cuestiones particulares para la re de un problema. Caso general
=» Casos particular
Caso general Ejemplo:
Ejemplos:
Calcular: bca + cab + abe, s¡: (a + b + c)2
1.
Aplicando deducción: (a + b + c)2 —324 ■-> a + b 4-c = 18
Calcular la suma de cifras del resultado en E, si se sabe que en la base hay 49 cifras 3. E = (333...333)2
Piden: bca + cab + abe =» bca + Aplicando inducción: cab Suma de cifra You're del resultado abe Reading a Preview Con 1 cifra: (3)2 = 9 9(1) 1998 1 cifra Con 2 cifras: (33)2 = 1089 2 cifras Con 3 cifras: (333)2 = 110 889
Unlock full access with a free trial.
Por lo tanto: bca + cab + abe = 1998
Download 9(2) With Free Trial EJERCICIOS RESUELTOS 9(3)
3 cifras
En el problema: Con 49 cifras: (333...33 )2=
1.
Si: abed =(...4321) 4-9 999 hallar: + vote b + on c +this d title Sign upa to Resolución: Useful Not useful
9( ) = 9(49) = 441
Según el primer dato: abcd = (,..4321) h- 9999
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Calcular la suma de cifras de P: P = 7444...44- .88 03 8 1000 cifras
500 cifras
Resolución:
Examen Mayo 2012
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Resolución:
Sumar los 100 elementos que confo matriz va a ser demasiado operativo, do inducción tendremos: [ 1 ] => suma = 1 = (1)3
Tomando casos simples pero con la mis ma estructura del problema planteado, pero teniendo en cuenta que el número de cifras cuatro es el doble del número de cifras ocho. Entonces: .
Examen Diplomado Em
. n.° filas |1 ( D j => suma = 8 = (2) 12 3 ¡
1 2(3} 2 3 4 3 4 5
V44 - 8 = 6
. n.° filas
suma = 21 = (3)3
■n.° fila
1 cifra 1 2
.
74444 - 88 = 6 6 X 3~ 2 cifras
2 3 3 4
11 12
.
7444444 - 888 = 666 H Z T
10 11
19
3 cifras
.-. suma = (10)3 = 10 L—
.-. suma = 1000
En el problema:
Calcular E y dar como respuesta la =>You're su™ade Reading5.a Preview l I i I Clfras sus cifras. E = (333...333)2 500 cifras 500 cifras 6(500) = Unlock3000 full access with a free trial. 200 cifras l I
7444...444 - 88...88 = 666...66
I l 1000 cifras
____________
3.
Resolución:
Hallar el valor de: x = 797 x 98 x 99Download x 100 + 1 With Free Trial Por Inducción tendremos: Resolución:
Aplicando el método inductivo en el proble ma: • 7 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 5 => 5 = 1 x 4 + 1 • 7 2 x 3 x 4 + 5 + 1 = 11
11 = 2 x 5 + 1
• 7 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 1 9 =» 19 = 3 x 6 + 1
3^ = 9 =» Scifras = 9 = 9(1) 1 cifra
'
-------
► n.° c
= 18 =9(2) (33)2 = 1089 Sign up to vote onD this cifras title 2 cifras Useful Not useful (333) = 110 889 3 cifras
Scifras
= 27 = 9(3)
L-►
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_77_x 99 = 7623 2 cifras 2 cifras l l l x 999 = 776 223
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27 = 9(3)
50 cifras
7.
Examen Mayo 2012
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18 = 9(2)
3 cifras 3 cifras
Luego: P = 77...77 7x9 99...99 9
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[ ” EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si: (a + b + c)° = 2b6, además: ab2 calcular: abe + bea + cab a) 1666 d ) 446
9(50) = 450
50 cifras
¿Cuántos puntos de contacto hay en la si guiente gráfica?
2.
'
b) 1776 e) 1006
Halle la siguiente suma: abed + mn sabiendo que: bd + np + yw = 160 ac + mp + xz = 127 ab + mn + xy = 124 a) 12 437 d) 11 440
3.
b) 12 590 e) 12 780
c)
Si: x + — = 2. hallar M: X
M = x + x ~1 + x2 + x” 2 + x4 + x"
Resolución:
+ X10 Vamos a proceder a contar aplicando el mé You'recasos Reading a Preview todo inductivo, es decir, analizando a) 20 b) 10 simples, cuidando que la formación (distribu Unlock full access with a free d)trial. 18 e) 16 ción de las esferas) se mantenga uniforme mente, así: 4. Se tienen 2 rectas paralelas, en una Download With Free Trial se ubica 8 puntos y en laotra se n.° de puntos de contacto punto. Si cada punto de la primera se une a cada punto de la segund la. Hallar en cuántas veces se cruza rectas.
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a) 168 Useful d) 66
5.
160 Notb)useful e) 78
Si se tiene el caso, en que una recta
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| C o l e c c i ó n E l Po s t u l a n t e
7.
¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden contar en la siguiente figura?
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Examen Mayo 2012
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a) 1963 d) 100
b) 1962 e) 962
c) 9
11. Halle la suma de las tres últimas cifra sultado de: S = 5 + 66 + 555 + 6666 + ... + 666..
40 ci
1
a) 8100 d )3000
88 89 90
2
b) 3900 e )9321
b) 10 e) 17
a) 9 d) 15
c) 7200
En la siguiente figura, calcular el total de pun tos de intersección y de tangencia.
C)
12. Si: m = / 7 - / 5 ; n = V 3 - V 7 ; p = 7 hallar B:
.4 .4 4 ' 4 ^D4 \ (mn + np + m p B = rn + — h np mp m n/' r
b) -3 e) 4
a) -5 d) 2
c) 1
13. En la siguie nte figura se han contado 5 tos de contacto. Calcule el número de das colocadas en la base. You're Reading a Preview 48 49 50 Unlock full access with a free trial.
a) 11 325 d) 12 325 9.
b) 7500 e) 10 150
c)Download 11 300 With Free Trial
Hallar cuántas bolitas no están pintadas en la figura 20.
a) 10 b) 12 Sign up to vote on d) 18 e)this 20title
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14. Calcule R(20); si: o
; ^
R(d = 1
50 . 3 - 2bü x2
c) 1
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m
16. Halle la cifra de las decenas: S = 1! +2! + 3! + ....+ 10 508! a) 0 d) 1
b) 3 e) 4
c) 2
17. En cada una de las figuras mostradas, debes unir los centros de las circunferencias con los centros de sus vecinas. Haciendo esto, ¿cuántos triángulos simples (los más peque ños) se pueden contar en la figura 100?
a) 0 d) 7
b) 9 e) 10
21. Si: ^7(a + 1)b5 = k5, calcular: a a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
22. Hallar: K = ' ^ 1 R2 x 9989 + R x 5 si: R = (99 - 1)(98 - 2)(97 - 3)... a) 4 d) 0
b) 9989 e) 1998!
23. Calcular el número de triángulos en
a) 60 000 d) 30 000
b) 57 420 d) 17 200
c) 23 400
a
A
F(1)
F(2)
F(3)
18. En cada casilla del siguiente tablero se colo a) 1640 b) 401 Reading can los números 1; 2; 3: 4 de talYou're manera que a Preview d) 840 e) 820 en cada fila, columna y diagonal figuren los 4 Unlock full access with a free trial. números. 24. En el poste A hay n discos de mad ferentes tamaños. Trasladando los Download With Free Trial uno en uno se deben pasar todos X z al poste C, pudiendo utilizar el pos w y punto de paso. ¿Cuántos traslados nimo se deben realizar, si un disco puede ser colocado sobre uno peq Calcula el máximo valor de E: Sign up to vote on this title
E = 2W+ 3y + 2Z+ 3X a) 140 d) 150
b) 178 e) 100
c) 120
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a) 2m d) m2 + 1
b) 2m + 1 e) 4
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A2 + 222 ... 222 = 111 ... 11 2n cifras n cifras a) 10 d) 14
b) 11 e) 13
c) 12
28. En qué cifra termina E: E = ...5e + ...6e + ...9E + ...4e a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
a) 12 d) 15
a) 200 d) 999
a) 72 d) 81
a) 100 d) 13
a) 7 d) 25 c) 36 You're Reading a Preview
b) 4 e) 81
b) 400 e) 800
c)5
b) 9 e) 10
c) 12
34. Halle a + b: 1a + 2a + 3a + ... + 7a =
Unlock full access with a free trial.
a) 10 Download With Free d) Trial 12
30. Si: — + — = 2 n m
c)
(13 x 33 x 53 x 73 x ... x 19993)2 = Zxy
6 cifras
b) 42 e) 64
b) 8 e) 20
33. Halle x + y:
A=[(a + 5Xa + 5)... (a + 5) - (a + 4Xa + 4)... (a + 4)] 6 cifras
32. Se colocan mil fichas numeradas 1000 en forma circular sobre una mes go se empieza a tomar las fichas a pa número uno y en forma alternada, s en forma alternada, vuelta tras vuelta menzando desde el inicio, después de vuelta, ¿qué número tendrá la última fi mada, sabiendo que después de cada se empieza tomando la primera que cuentre?
c) 6
29. Calcule la suma de cifras del resultado de A.
Examen Mayo 2012
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c) m2
27. ¿Para qué valor de n la suma de las cifras de A es igual a 39?
Examen Diplomado Em
c) 5
31. Calcule: m + n; x e S + x51 + (x + 1)52 + (x + 2)53 + ... = O r ín
tn lii < _l U
b) 11 e ) 14
8. a 15. c 1. b 2. b 9. e 16. d 3.Sign c up 10. e on17. a to vote this title 4. aUseful11. a Not 18.useful b 5. a 12. a 19. e 6. b 13. e 20. d 14 b 21
c) 9
22. a 23. e 24.b 25. b 26. e 27. e 28. e
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SUCESIONES Y SERIES Sheet Music
TIPOS DE SUCESIONES Llamadas también progresiones arit méticas, son aquellas que cumplen con la siguien te regla de formación: “Todo término (excepto el primero) menos el anterior es una constante llama da razón aritmética”. a 1i
a 2Í
+r
a 3Í
+r
a4;
Hallar el término de lugar 40: 13; 16; 22; 31; 43; 58;... Resolución:
Arreglando la sucesión: 13;
an
16;
+0 +3
+r
Aplicando Inducción: a-, = ay, a2 = a, + r; a2 =
13;
+3 + 2r
r = 3; a = 1,5;
an = ai + .(n - 1)r ay. primer término; an: término de lugar n r: razón; n: n.° de términos desde a 1 hasta an
22;
+6 +3
31;
43;...
+9 +12 +3
+3
3o —13 c = 13
m0 = 0; b = -1,5;
Reemplazando: a40 = 1,5(40)2 + (—1,5)(40) + 13 ^ a4
Llamadas también pro A una progresión aritmética también se le conoce geométricas, son aquellas que cumplen como sucesión polinomial de primer grado o sim guiente regla de formación: “Todo términ plemente to el primero) dividiendo entre el anterio You're Reading aconstante Preview llamada razón geométrica”. Unlock full access with a free trial.
Hallar el término de lugar 50: 11:1 8; 25; 32; 39;... Resolución:
r = 7; n = 50; a, = 11 as0 = 11 + (50 - 1)(7) = 354
aT
a 3 Í __ a 4; ■■■I a n
xq xq Download With Free Trial Aplicando inducción: 3 l = 31 i
xq a3 = a-,q
32 == 3 i CJi
■a,q
Llamadas también sucesiones cuadráticas, son aquellas que cumplen la siguiente regla de forma ción: “Las diferencias de sus términos adyacentes están en progresión aritmética”.
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at : primer término; an: término de Useful Not useful q: razón geométrica; n: n.° de términos desde a-¡ hasta an.
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al resultado de la adición se le llama valor de la serie.
Sn = [2a1 + (n -1
S„ = | ^ l | n
Sumatorias notables 1.
Suma de los n primeros enteros positivos:
PROGRESION GEOMETRICA
n
ti!
Y 'j = 1 + 2 + 3 + ... + n ¡= 1
t2; xq
Y -
Zj ~ 1=1
t3; xq
xq
n (n + 1)
p
^
t i( qn - 1) q —1
t n = t iq n
2.
Suma de los n primeros números pares positivos: ¿ (2 i) = 2 + 4 + 6 + ... + 2n
s L=
EJERCICIOS RESUELTOS
£ ( 2 i) = n ( n + 1)
1.
¡= 1
3.
t4; ...; tn
Hallar la suma de términos de la fila n 2 6 14
Suma de los n primeros números impares po sitivos:
4 8 16
10 18
12 20
22
¿ ( 2 i - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
You're Reading a Preview Resolución:
Por inducción en la fila n.° 45 habrán 90 té Calculamos la cantidad de términos de fila n.° 1 hasta la fila n.° 45: Download Suma de cuadrados de los n primeros enteros With Free 2 Trial + 4 + 6 + ... + 90 = 45 x 46 = 2070 positivos: Último término en la fila n.° 45: 20 70x 2 = 4140 12 + 22 + 32 + ... + n2 Primer término en la fila n.° 45: 4140 - 8 9 x 2 = 3962 Sign up to vote on this title n(n + 1)(2n + 1) suma = | 3962 + 4140 Useful usefulj 90 = 364 Not ¡ = i' “ 6 Unlock full access with a free trial.
4.
5.
Suma de cubos de los n primeros enteros po
2.
La suma de los 6n primeros números
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M = 1(101 - 1 ) +2(101 - 2 ) + ... +50(101 - 5 0 ) M = 101(1 + 2 + ... + 50) - (12 + 22 + ... + 502)
Resolución:
50x 51 x101
1.° 2.° 3.° ... n Reyna: 20 + 20 + 20 + ... + 20
6
M = 85 850 4.
Rey
La suma de los 4n primeros números pares es (2a)(2b)0. Hallar la suma de los (a6 + b6)
1 +2 + 3
Como han dado la misma cantidad n(n + 1) = 20n => n = 39
primeros números impares.
2
Resolución:
Ahora; como ambos han dado el m mero de pasos dicha cantidad es: 20(39) = 780
2 + 4 + 6 + ...+ x = (2a)(2b)0 4n términos
4n(4n + 1) = (2a)(2b)0
cada minuto, el rey avanza 1 paso mer minuto, 2 pasos en el segund 3 pasos en el tercer minuto, y así mente. Si al final ambos han dado cantidad de pasos, ¿cuántos pasos en total cada uno? (Los pasos del r reyna son de igual longitud)
Observamos que en cada producto la suma de los 2 factores es 101, en 50: M = 1 x 100 + 2 x 99 + 3 x 9 8 + ... + 50 x 51
2
Examen Mayo 2012
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Resolución:
M = 101 x 50 x51
Examen Diplomado Em
Un obrero ha ahorrado este mes 1 tiene con esto S/.1410 en la caja d Aplicando descomposición polinómica ope a Preview You're yReading habiendo economizado cada mes rando: que Unlock full access with a free trial. el mes anterior. ¿Cuántos aho n(4n + 1) = 5 x ab mer mes? 5 21 Resolución: Download With Free Trial ab = 21 =» a = 2 ; b 1 = 26 + 16 = 65 1.er 2.° 3.er ... Nos piden: mes mes mes 1.e S = 1+ 3+ 5 = 652 =4225 actual pasado antepasado de 65 términos 178 + 166 + 154 + ... + 190 5.
Un tren salió de su paradero inicial con 7 pa sajeros y en cada estación suben dos pasa jeros más de los que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se con
7.
Sign up to vote on this title n sumandos
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178 +
Not useful
(n - 1)(n - 12)
n = 1410 =»
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En el término enésimo calculamos para n - 4 y simplificando obtenemos: tn_ 4 = 50 - 2n
3.
4.
b) 8,5 e) 7,5
5. 12; ... ; 42
b) M e) Q
Luego: S2 = 2 ; 7; 12; ...;42 =» 42 = 5n - 3 => n = 9
6.
c) K
Que letras continúan: Y; W; S; N; ... a) Y d) F
Puede apreciarse claramente que hay dos subsucesiones: S+ 1; 7; 13;...; tn = 6n - 5 S2: 2; 7; 12; ...; tn = 5n - 3
c) 9
Que letra continúa: A; D; F; G; J; I ; ... a) L d) N
La sucesión asociada es: 2:
Hallar: K = A + B, donde: A = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ... B = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... a) 8 d) 9,5
Resolución:
1;
Examen Mayo 2012
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Luego: x = 2n - 1 A y = 50 - 2n x + y = 49 Hallar la suma de la siguiente serle: S = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 + ...42
Examen Diplomado Em
b) C e) J
c) Q
Efectuar: S = -J- + - 2 - + - ® 10
a) 5 d) 10/81
102
10J
104
b) 7/8 e) 81/7
c) 10/
¿Cuánto suman los números pares nidos en los n primeros números natu De lo cual se concluye que: S2 tiene 9 térmi siendo n impar? You're Reading a Preview nos. Además, S, también tiene 9 términos, t9 de St es: (n2trial. + 1 )/4 b) (n2 - 1)/4 Unlock full access with aa)free t9 = 6(9) - 5 = 49 c) n(n3 + 1 )/2 d) n3(n + 1)/6 e) (n2 - 1)/6 Download With Free Trial Entonces la serie se puede escribir así:
Si
7.
S2
8.
S = 1+7 +13 +19 + ...49+ + 7 + 12 +17 + . 9 sumandos
9 sumandos
a) KSign + 900 b) 2K + 900 up to vote on this title c) 2K 930 Not useful e) K + 930 +Useful e) 0,5K + 900
Calculando el valor de cada serie tendremos: S = 1 1 +'4 9')9 + ( 2 +„ 42 'l9
La suma de 30 números naturales con tivos es K. Hallar la suma de los 30 nú siguientes.
••• S = 423 9.
Hallar el valor de x en: 22; 7; 0; 0; 12
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12. Hallar el valor de x: 4 + 7 + 10 + ... + x = 175 a) 26 d) 29
b) 31 e) 28
c) 30
b) 141 e) 142
c) 139
14. Se suman tantos números pares consec utivos desde el 20, como números naturales conse cutivos desde el 40. Si las sumas son iguales, ¿cuántos números pares se consideran? a) 50 d) 30
b) 41 e) 28
c) 42
Examen Mayo 2012
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18. En una caja se pone 2 caram elo 4, en otra 6 y así sucesivamente. cajas tengo en total, si solo tengo melos? a) 16 d) 20
13. Hallar x + y: 8; 16; 17; 3; 35; x; y; a) 140 d) 151
Examen Diplomado Em
b) 17 e) 19
19. Efectuar si son 140 sumandos: M = 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3+ a) 10 000 d) 9960
b) 9250 e) 9710
20. La suma de los 100 primeros núm excede a la suma de los 100 prime ros impares en: a) -2 0 0 d) 200
b) 0 e) 100
15. En la progresión aritmética que sigue: a; ...; 21. Qué número continúa: a la . La suma de todos sus términos es 43 512 4; 8; 7; 14; 13; 26; 25; 50; ... y el primer término vale igual que la razón. Ha llar el valor de a. a) 46 b) 49 You're Reading a Preview a) 5 b) 6 c) 9 d ) 56 e) 100 d) 8 e) 7 Unlock full access with a free trial. 22. Hallar x: 2; 6; 30; 260; x; ... 16. Calcular: S =-5 - + -^- + ^ | + ^ + ... 22 24 2 2 Download With Free Trial a) 530 b) 585 d ) 525 e) 3118 a) 5/2 b) 5/8 c) 3 d) 1,5 e) 5/3 1. c 11. a 16. 6. d tn Id 2. a 7. b 12. b 17. 17. Hallar n si: > Sign up to vote n + ... + 75 + 77 + 79 = 700 3. b 8.onathis title 13. d 18. < J Useful 4. b 9.Not e useful 14. b 19. a) 59 b) 61 c) 63 ü 5. d 10. a 15. e 20. d) 30 e) 31
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CONTEO DE FIGURAS Sheet Music
METODO COMBINATORIO Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las figuras simples y luego se anotan los dígitos o combinaciones de ellos que corresponden a cada figura observada. Se recomienda proceder al conteo ordenado (en forma creciente). Por ejem plo: figuras de un dígito, figuras de 2 dígitos y así sucesivamente.
¿Cuántos ángulos agudos se observa en guiente figura?
Si:
n.° de ángulos agudos n = 1 => 1 = 1 n=2 =* 3 = 1+ 2 n = 3 =? 6 = 1 + 2 + 3
Total de ángulos agudos:
Calcular el número total de triángulos.
Calcular el número total de ángulos. De De De De
1 cifra: 1; 2; 3; 5; 6; 7 =• seis 2 cifras: 12; 23; 24; 35; 67 => cinco 3 cifras: 123; 356 =* dos 5 cifras: 23 456 => uno
En total: 6 + 5 + 2 + 1 = 1 4 triángulos
You're Reading a Preview Unlock full accessResolución: with a free trial.
Para resolver los siguien 5x6 Total de ángulos: = 15 ángulos. tes ejercicios hacemos uso del método inductivo. Download With Free Trial ¿Cuántos segmentos como máximo hay en la si guiente figura? V V ir Si:
n -í n ’
n.° de segmentos n = 1 => 1 = 1
¿Cuántos triángulos como máximo se observ la siguiente figura? Sign up to vote on this title
n.° de triángulos
Si:
n =1 Useful =» 1 = 1
Not useful
n = 2 = 3 = 1+2
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Resolución:
1 0x 11 Total de triángulos: — - — = 55 triángulos
\ m
Total de triángulos: n(n + 1) — - — x m
\\3 \ \2 12 3
...
En la siguiente figura:
n
¿Cuántos triángulos hay?
¿Cuántos cuadriláteros hay? ¿Cuántos cuadrados hay? ¿Cuántos cuadriláteros que no son se puede observar? Resolución:
Total de cuadriláteros: 52<6x 5><6 _ 225 Total de cuadrados: ^ x .§.--1-11 =
You're Reading a Preview Total de cuadriláteros que no son cu
Resolución:
n.° de triángulos:
x 5 = 30
Unlock full access with a free225 trial.-
55 = 170
Download With Free Trial En la figura: En la figura: | 1 | 2 | 3 | ... | n | n ( n + 1) Total de cuadriláteros: — - — 2
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Not useful n(n + 1)
En la figura: 12
...
de cub Total
n
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| C olección
El
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Total de triángulos: 6 + 3 + 2 + 3.
/ V
1 2 3 4 2
•
/ A
¿Cuántos cuadriláteros hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9
/ \
y / / / / / / / /
Resolución:
/
De 1 cifra: 1; 2; 3; 4: 5; 6; 7; 8; 9 De 2 cifras: 12; 23; 25; 34; 36; 47; 56; 67 De 3 cifras: 125; 234; 567; 678; 789 De 4 cifras: 2356; 3467; 5678; 6789 De 5 cifras: 56789 De 6 cifras: 234567 Total de cuadriláteros: 9 + 10 + 5 + 4
¿Cuántos paralelepípedos hay? ¿Cuántos cubos hay? ¿Cuántos paralelepípedos que no son cu bos hay?
Resolución:
•
Po s t u l a n t e
En la figura:
3 4 5
Examen Mayo 2012
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EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Examen Diplomado Em
Total de paralelepípedos:
4.
Hallar el total de cuadriláteros en:
=900 •
Total de cubos: (con 1 cubito) 4 x 5 x 6 = 60 (con 8 cubitos) 4 x 6 = 24
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Resolución:
Download With Freen.° Trial de cuadriláteros:
(con 27 cubitos) 2x 3 = 6
n.° de cuadriláteros: 21 x 10 = 210
n.° total de cubos: 90 Paralelepípedos que no son cubos 900 - 90 = 810 2.
¿Cuántos triángulos hay?
6(6 + 1) 4( 4 2
" Sign[jEJERCICIOS up to vote on thisPROPUESTOS title
1.
Useful
Not useful
¿Cuántos cuadriláteros se puede con figura 100 del siguiente arreglo?
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á t
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¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo en la figura mostrada?
En la figura, ¿cuántos triángulos existe?
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
72 78 80 82 86
¿Cuántos triángulos se pueden contar en total en la siguiente figura?
30 pisos I^ I T T
v
J
a) 4150 d) 4305
ITTxl c) 3300
b) 3450 e) 2670
8 10 12 14 9
Calcular el número total de cuadrado a) b) c) d) e)
151 161 171 181 Más de 200
1
¿
10. Calcule el número total de triángulos tes en la siguiente figura:
a) 165 Si la figura está formada por cuadraditos igua b) 180 les de 1 cm de lado; ¿cuántos cuadrados cuya c) 240 Reading a Preview área no sea mayor a 9 cm2 se You're contarán en d) 225 total? Unlock full access with a free e)trial. 220
11 . Trial ¿Cuántos triángulos hay en total en l Download With Free te figura?
m 1 2 3 # a) 9131 d) 7159
e n 98 99 b)-10 000 e) 8021
c) 12 200
¿Cuántos cuadriláteros tiene al menos un as
a) 100 b) 1000 c) 2000 Sign up to vote on this title d) 1100 Useful Not useful e) 1800
12 Calcular el número de triángulos en
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| C o l e c c i ó n E l Po s t u l a n t e
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14. ¿Cuántos segmentos más que triángulos hay en la siguiente figura? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 a) 488 d) 701
19 20
b) 829 e) 840
c) 486
15. En la figura, ¿cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en total? a) b) c) d) e)
70 225 170 180 36
I I I I I ------------------
b) 2n e) n(n + 1)
c)
20. La siguientefigura muestra una rum cúbitos de 1 cm de arista. Calcula número de paralelepípedos de 2 cm3 men. a) b) c) d) e)
79 101 82 93 46
21. Calcular el número total de cuadriláte
16. Calcular el número de paralelepípedos que no sean cubos. a) b) c) d) e)
a 2n + 2 d) 3n + 1
800 810 820 830 840
a) b) c) d) e)
343 312 323 400 512
20 19 18 17
Hallar el número total de triángulos. You're Reading 22. a Preview a) 24 Unlock full access with a free trial. b) 26 c) 22 17. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, en to Download With Freed)Trial 23 tal en la siguiente figura? e) 25 23. Hallar el número total de triángulos.
1 a)
13 420
2
3
...
60 61
b) 21 300
c) 14 760
a)Sign 22 up to vote on this title b) 23 Useful Not useful c) 24 d) 25
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RAZONAMIENTO LÓGICO 4.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Construyendo tu árbol genealógico: ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?
En un almuerzo estaban presen madre, tío, tía, hermano, hermana sobrina y dos primos. ¿Cuál es el mero de personas presentes? Resolución:
Resolución:
Haciendo un esquema:
Cualquier persona tendrá: 2 padres < > 4 < > 1 Abuelos
<>
Bisabuelos
^
16
Tatarabuelos
En una familia están presentes 2 abuelos, 2 abuelas, 3 padres, 3 madres, 3 hijos, 3 hijas, 2 suegras, 2 suegros, 1 yerno, 1 nuera, 2 her manos y 2 hermanas. ¿Cuántas personas se encuentran presentes como mínimo? abuelas abuelos /
\ / XÉ esP°sos y R hijos 43 /
\
primos
4 personas.
Se tiene una urna con bolas de billa de hay 14 rojas, 15 negras, 5 azules You're Reading a Preview des. ¿Cuántas bolas como mínimo que extraer al azar para tener con c Unlock full access with a free trial. de color azul?
Resolución:
/
de pa a hija
de madre a hijo
Tus bisabuelos son 8, pero cada uno de ellos tuvo 8 bisabuelos, luego los bisabuelos de tus bisabuelos serán: 8 x 8 = 64
\
hermanos
x
Resolución: Download With Free Trial 1,° Identificar todas las bolas de bill
\
/ 14R
5A
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15N
- Urna
11V
Not useful
10 personas 2.° Suponer el peor de los casos:
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Observamos que Lucía no estudia A tura, porque no vive en Tacna; por l estudia Derecho. Si S il Lima Cusco Tacna
Resolución:
“Edy le dice al dueño del gato que el otro ami go tiene un canario". De aquí deducimos que Edy no es dueño del gato ni del canario; es decir, que es dueño del perro, lo cual elimina como dueños de este animal a Julio y Luis.
Edy Julio Luis
Gato
Canario
X
X
X
“Julio le dice al dueño del gato que este quiso comerce al canario”. Entonces, Julio no es dueño del gato, y por el dato anterior no es dueño del perro; perro; entonces, es dueño del canario. Perro Edy Julio
X
Luis
X
Gato
Canario
X
X
X
V X
Finalmente, Luis es dueño del gato. 7.
María Lucía Irene
María, Lucía e Irene viven en tres ciudades ciuda des diferentes: Lima, Cusco y Tacna, además es tudian una carrera distinta: Educación, Dere cho y Arquitectura, no necesariamente en ese orden.
X
X X
X
0
0
{S i Arqu rquit. Derec
0
x —
X
X
X
0
Observamos que Lucía no vive en porque estudia Derecho; por lo tanto, Lima. Luego: Irene vive en el Cusco y Educación. 8.
X
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IV. IV. Julio le dice al dueño de! gato que este quiso comerse al canario. ¿Qué animal tiene Luis?
Perro
Examen Mayo 2012
Edy, Edy, Pedro y Franklin tienen dos ocup cada uno: chofer, contrabandista, pinto nero, barbero y músico, además: I.
El cho fer ofendió ofen dió al músico, riénd su cabello largo. II. II. El músico y el jard ine ro salían a con Edy. III. III. El pintor pint or compró comp ró al al contraband contrab andista ista de Suiza. IV. IV. El chofer cho fer cortejaba a la hermana herma na tor. V. Pedro debía S500 al jardin ero. VI. Franklin ganó al pintor y a Pedro Pedro e go de cartas. ¿Qué ocupaciones tenía Franklin? Sign up to vote on this title
Resolución:
enunciado: cada persona tiene 2 Del ciones de las 6 que se han dado (3 p De la premisa (VI) Franklin ni Pedro e Useful
Not useful
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
a) 10 d) 13
otra salida que formar pareja con el contra bandista, esto implica que la tercera pareja es chofer y jardinero. Además de (V), Pedro no es jardinero, enton ces es músico y contrabandista, y Franklin es chofer y jardinero.
¿Cuántos palitos de fósforo, como m tendrá que mover para que la sigui dad resulte verdadera?
Barber er.. Músic úsic.. intorr Jard ardi. Barb Chof Chof.. Contr. tr. Pinto No No No Si Edy No Si No No Si No Si No Pedro No Franklin Si Si No No No
a) 3 d) 5
T'l
Necesitamos cercar un campo de forma trian gular, de modo que en cada lado aparezcan 9 postes y haya un poste en cada esquina ¿Cuántos postes son necesarios? a) 27 d) 30
b) 24 e) 28
a) 15 d) 11
6.
c) 20
Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y 5 amarillas. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido: I. Un par de de uno de los colores color es II. Cinco esferas rojas III. Dos negras y 3 amarillas IV. Dos blancas y cuatro rojas V Por lo menos una de cada color.
b) 2 e) 4
Si al producto de 4 números ent tivos consecutivos le agregamos siempre termina siendo un cuadrad cuya raíz cuadrada es 9701. Dar puesta la suma de las cifras del ma números?
Rpta.: Franklin es chofer y jardinero.
[T jER C IC IO S PRO PROPUES PUESTO TOS S
b) 11 e) 14
b) 16 e) 12
De las siguientes proposiciones: • Alejandra Alejand ra es más veloz que Ped Pe Elia no es más veloz que Alejan Es falso que Alejandra sea más Lalo. Podemos concluir como verdadera: I. Elia es más veloz velo z que Lalo. II. Pedro es más veloz vel oz que Elia. Elia. III. Lalo es más veloz quePedro.
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a) Solo I
d)Useful I y III 7
b) Solo II
useful Not e) II y III
Cinco personas: A, B, C, D y E t
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•
Teta y Alfa están en pisos adyacentes adyac entes.. Ely fuma puros. El que juega sapo tiene el loro. Gamma vive dos pisos más arriba que Lucas no tiene el canario. Beta, Beta, y es te dos pisos más arriba que Alfa. El que fuma Marlboro juega ajedrez. • Omega está en el quinto piso. piso. • Alejandro Alejand ro juega dominó. Se puede concluir como verdadera: Jaime no juega ajedrez. I. Teta puede estar est ar en el primer prim er o terce ter cerr piso. El que juega damas fuma Nevado. II. Gamma Gamm a no está enel sexto sext o piso. Uno de ellos tiene un gallo. III. Omega vive más arriba que Delta. Delta. ¿Quién fuma Fortuna? a) I y II b) I y III c) IIy IIy III a) Alejandro Alejan dro b) Edy c) Luc d) Solo I e) Todas d) Jaime e) Ninguno 9.
Seis amigos ami gos A, B, B, C, C, D, D, E y F se sientan sient an alre dedor de una mesa circular simétricamente. SI se sabe que: • A se sienta sien ta frente fren te a B. • C está jun to y a la Izquierda Izquierd a de A. D no está frente a C ni a E. ¿Cuáles son verdaderas? I. D está frente fre nte a F II II.. E está junto junt o a B III. B está entre D y E. E. a) Solo I d) IIII y III
b) Solo Sol o II e) Todas
c) I y II
10. 10. Tres amigas: Gloria, Giovanna yAna yA na,, viven en diferentes lugares; San Martín, San Germán y los Cipreses y estudian una profesión diferen te. Sabiendo que: Gloria vive en San Martín; Giovanna no vive en los Cipreses. La que vive en San Germán no estudia se cretariado. La que estudia en San Martín no estudia
12. 12. Katy es más alta alta que Alexandra Alex andra y más que Xímena. Xímena. Ximena X imena es más alta que Kat y más flaca que Alexandra. Si Katiuska e baja que Katy y más gorda que Alexa ¿Quién es más alta y más flaca que Katiu a) Katy c) Alexandra Alexan dra e) Ninguna
b) Ximena d) Katy y Xime
13. 13. Cinco Cinc o amigos: A, A, B, C, D D,, y E, E, se sient dedor de una mesa circular. Si se sabe q • •
A s e sienta junto junt o a B y frente a C. C no es menor me nor que B ni D. El mayor se sienta junto y a la derecha ¿Dónde se sienta D?
a) Entre E y C b) Entre B y c) Junto a C d) A la derecha e) A la Izquierda Izqui erda de E. Sign up to vote on this title
14. 14. Cinca Cin caau tom óvile óv iles: P P,, Q, R R,, S S,, y T, son Useful useful autom s:Not rados de acuerdo al costo y tiempo de fa ción. Si se sabe que: P es menos caro que R y menos mo
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• A la izquierda del diamante hay uno de trébol. • A la derecha del de corazón hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles. c) Jota de diamantes, e) Jota de tréboles.
b) As de tréboles. d) As de diamantes,
16. Seis amigos: A, B, C, D, E y F, se sientan al rededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Luis no está sen tado al lado de Enrique ni de José. Fernando no está al lado ni de Gustavo ni de José. En rique no está al lado de Gustavo ni de Fer nando. Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto a la derecha de Fernando? a) Pedro d) Gustavo
b) Enrique e) Fernando
c) Luis
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Examen Mayo 2012
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a) Domingo d) Miércoles
b) Lunes e) Jueves
21. ¿Cuál es el día que está antes del do la misma forma que está después de a) Martes d) Viernes
b) Miércoles e) Sábado
22. Una enfermera da una pastilla cada tos a un paciente durante 8 horas. pastillas tomará el paciente? a) 19 d) 22
b) 20 e) 23
23. En una caja hay caramelos de 3 tintos. ¿Cuántos debe extraer com para tener la seguridad de haber sac mismo sabor? a) 2 d)
b) 4 8e) 10
17. Cuatro amigos, con una determinada afición al juego: ajedrez, dominó, monopolio y damas; 24. Tres clases de caramelos: limón, fre cada uno tiene una mascota: loro, gorrión, ja, han sido envasados en tres latas You're Reading a Preview perro y sapo; cada uno practica un deporte: Por equivocación las etiquetas han natación, atletismo, fútbol y box. Se sabe Unlock fullque: access with a freecadas trial. en latas que no corresponden caramelo que contienen. ¿Cuántas la Pablo practica box. ben abrir como mínimo para saber co Download With Free Trial El que juega monopolio tiene loro. dad el tipo de caramelo que contiene c Lucas no tiene el sapo. a) 0b) 1 • El que practica atletismo juega ajedrez. d) 3e) Faltan datos • Alberto juega dominó. El que practica fútbol tiene el perro. • Javier no juega ajedrez. El que juega damas practica natación. ¿Quién es el dueño del gorrión?
se p 25. De maneras diferentes Signcuántas up to vote on this title la palabra LIBERTAD.
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a) 34 b) 68 c) 42 d ) 140 e) 74
I.
a) I por si sola b) II por sí sola c) Ambas juntas, I y II d) Cada una por sí sola I o II e) Faltan datos
2.
3.
columna y diagonal resulte lo mismo, dé respuesta la suma de los cuadros so dos.
Pedro ha cobrado por todos sus días de traba jo S/.960 y Jav ier S/.480 por el mismo número de días. Si queremos averiguar cuánto gana Pedro por día, ¿cuál de las dos informaciones adicionales es necesario conocer? Pedro gana diariamente el doble de Ja vier. II. Pedro gana por día S/.16 más que Javier.
Examen Mayo 2012
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[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2 |
1.
Examen Diplomado Em
5.
--------------------------- __________________
¿Cuántos triángulos equiláteros se formar, como máximo, con 9 palitos de de Igual longitud de tamaño? a) 6 d)7
6.
----------------------------
b) 5 e)9
c)
En la siguiente figura escriba un núme clfras(una cifra en cada casilla) de tal ¿Qué hora es?, para ello es necesario saber: ra que la cifra de la casilla 0 exprese c I. Si el triple de las horas transcurridas es Igual ceros tiene el número: la cifra de la ca al triple de las horas que faltan transcurrir, exprese cuántos unos tiene el número sucesivamente hasta la casilla 6 qu il. La razón entre las horas transcurridas y cuántos seis tiene el número. ¿Cuál es las no transcurridas es 2 . You're Reading a Preview mero? Dar como respuesta la suma de a) I por sí sola b) II por sí sola 0 trial. 1 2 3 4 5 access with a free c) I y II juntas d) Cada unaUnlock por sífull sola e) Faltan datos Download With Free Trial a) 7 b) 6 c) Se tienen 5 equipos y cada uno tiene un nú d) 4e) 8 mero diferente de integrantes y además se sabe que: 7. Cuatro marcianos acusados de haber El equipo azul tiene 4 Integrantes más que nado disturbios en la sociedad huma el rosado. Sign up to vote on this title entrevistados por un agente del FBI y El equipo verde tiene 2 integrantes más useful interrogados responden: Useful ellos Not que el rosado. Mario: Marco participó. El equipo amarillo tiene 1 Integrante me Marco: Matías participó.
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al llegar a su casa le dijo a su madre: “El veci no me ha dicho que vive en el segundo piso”. ¿En qué piso vive Anastasio? a) Primero b) Segundo d) No sesabe e) Azotea 9.
c) Sótano
En una ciudad del futuro, los humanos siem pre mienten y los marcianos dicen la verdad. Un jupiteriano se encuentra con 3 de estos seres y le pregunta al primero de ellos si es humano. Este responde a la pregunta; el se gundo informa que el primero se negó a ser humano; pero el tercero informa que el prime ro es realmente humano, ¿cuántos humanos se encuentran en esta ciudad del futuro? a) d)4
1 b) e) Ninguno
2 c) 3
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Examen Mayo 2012
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De la casa de Bety a la de Sara tres pisos. María vive en el segundo piso. La sexta persona se llama Karin ¿Quiénes viven en el primer y último pectivamente? a) Nilda, Bety c) Nilda, Paola e) María, Nilda
b) Sara, d) Paola,
13. En la figura mostrada, se deben lle sillas restantes, colocando una de la Q, R, S o T en cada casilla, de tal ninguna fila, columna o diagonal co misma letra más de una vez. ¿Qué colocarse en la casilla sombreada?
a) P p Q R S T b) Q 10. Si las balanzas están en equilibrio: c) R d) S P Q R \© © / \Q © / \© j© / \Q © / e) T ZX AYou're Reading a Preview 14. Alexandra se encuentra al este de Unlock full access with a free trial. se encuentra al oeste de Jacky, ¿ entonces la balanza se equilibra con: mación falta para saber que Sonia e \© @ © / \ ? /Download With Free Trial te de todos?
c )© @ ©
d) © © ©
e) © ® ® 11. De tres hermanas: Katy, Jenny y Rosa, se sabe que:
a) Ana está al oeste de Alexandra. b) Jacky se encuentra al este de Al c) Jacky se encuentra al este de An d) Sonia está al oeste de Alexandra Sign up to vote on this title e) Jacky está al oeste de Ana.
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15. En una oficina, en varios momento el día, un jefe le da a su secretari
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Po s t u l a n t e
de 341 kg utilizando el número mínimo de pe sas posibles. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Luis debe utilizar 4 pesas en total. II. Luis utiliza la pesa de 9 kg. III. La pesa de 4 kg es parte de la solución. a) Solo III d) II y III
Examen Diplomado Em
b) I y II e) Solo II
21. El administrador de un evento planeó tar cinco conferencias, los expositores d nibles son M, N, O, P, Q y R; cada exp debe participar exactamente en tres de conferencias. Además, se cumple las sig tes condiciones: •
c) Solo I
17. En algunas cajas tenem os huevos rosados, en las otras hay huevos blancos, si lo único que sabemos es que en cada caja está numerada la cantidad de huevos, en la primera hay 5, en la otra 6; 12; 14; 23 y 29 en cada caja respec tiva tomando una caja cualesquiera podemos decir que queda el doble de huevos rosados que los blancos. ¿A qué caja nos referimos?
•
Solo O y P participan en la primera rencia. R y otras tres participan en la seg conferencia. Solamente N participa en la tercera rencia. Más personas participan en la cuarta en la quinta conferencia.
¿Cuál de las siguientes deben ser verd ras?
a) N y Q participan en la segunda conferen b) N y R participan en la quinta conferen a) 29 b) 23 c) 6 c) Exactamente cuatro personas parti d) 14 e) 12 en la cuarta conferencia. d) Q no participa en la conferencia. 18. César no vive junto a Juan; Adrián no vive jun Exactamente cinco personas participa You're Reading a e) Preview to a Víctor y Víctor no vive junto a César. Si los la quinta conferencia. cuatro viven en la misma calle en casas Unlockdife full access with a free trial. rentes, ubicados uno a continuación del otro y 22. Se tienen 19 pesas distinta de 1 g; 2 g; n g. Nueve son de acero, nueve son de en la misma acera, ¿quiénes viven en la casa Download With Free ce yTrial una es de oro. Se sabe que el peso del centro? de las pesas de acero es 90 g superior al a) Adrián y Juan b) Adrián y Víctor total de las pesas de bronce. Hallar el pes c) Juan y Víctor ' d) Juan y César la pesa de oro. e) Adrián y César c) 14 a) 19Sign up to voteb)on 17 this title d) 12 e) 10 19. Existe la opinión de que una mesa de 3 patas Useful Not useful nunca se balancea, incluso aunque las patas 23. La matrícula de un automóvil está form sean de longitud diferente. ¿En su opinión por cinco cifras, todas diferentes. Al Insta que es más estable; una mesa de 3 patas o
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a) Lunes d) Miércoles
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b) Jueves e) Viernes
c) Martes
25. Se tienen 12 palitos de fósforo, ¿cuántos cua drados, como máximo se pueden formar con dichos palitos, si estos no se pueden romper y además el lado del cuadrado debe ser igual a la longitud de un palito? a) 3 d) 5
b) 4 e) 6
c) 7
26, Se tiene una balanza de 2 platillos y suficiente pesas de 5 g; 20 g y 100 g. ¿Cuál sería la menor y mayor cantidad de pesas a usar para pesar 3/4 de kilo de naranjas, si todo debe ha cerse en una pesada? Dé como respuesta la suma de ambos resultados. a ) 111 d) 161
b) 113 e) 185
c) 114
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Examen Mayo 2012
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29. En una reunión se encuentran 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 1 nie mano, 2 hermanas, 2 hijos varones, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿ menor cantidad de personas que sat relación? a) 4 d)
b) 5 8 e )7
c)
30. En el mundo de los animales ex tinto cuentran el Pegaso y el dinosaurio. so miente los lunes y miércoles y el rio miente los jueves, viernes y sába todas las demás ocasiones ambos a extintos dicen la verdad. Cierto día animales mantuvieron la siguiente sación: • •
Ayer me tocó mentir -d ijo el Peg También a mí me tocó mentir -c dinosaurio. 27, Yo solo tengo un hermano, ¿quién es el otro ¿En qué día de la semana estaban? hijo del padre del tío del hijo de la mujer del You're Reading a Preview hijo de mi padre, que no es mi hermano? a) Lunes b) Martes c) d)Ju eve s e) Sábado a) Mi tío b) Mi padre c)Unlock Mi cuñado full access with a free trial. d) Mi hijo e)Y o 1. b 7. b 13. b 19. a Download With Free Trial U 1 28. Si la mamá de Gaby es la hermana de mi her 2. d 8. b 14. e. 20. e Ll mano gemelo, entonces el abuelo materno del 3. b 9. a 15. d 21. e > mellizo de Gaby es mi: < 4. b 10. c 16. a 22. e _l 17. a 23. c 5. b 11. e a) Padre b) Abuelo c) Hijo U 18.title a 24. e 6. up a to 12. Sign vote bon this d)Tí o e) Sobrino
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| C o l e c c i ó n E l Po s t u l a n t e
de 341 kg utilizando el número mínimo de pe sas posibles. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Luis debe utilizar 4 pesas en total. II. Luis utiliza la pesa de 9 kg. III. La pesa de 4 kg es parte de la solución. a) Solo III d) II y III
b) I y II e) Solo II
21. El administrador de un evento planeó tar cinco conferencias, los expositores nibles son M, N, O, P, Q y R; cada e debe participar exactamente en tres conferencias. Además, se cumple las s tes condiciones:
c) Solo I
17. En algunas cajas tenemos huevos rosados, en las otras hay huevos blancos, si lo único que sabemos es que en cada caja está numerada la cantidad de huevos, en la primera hay 5, en la otra 6; 12; 14; 23 y 29 en cada caja respec tiva tomando una caja cualesquiera podemos decir que queda el doble de huevos rosados que los blancos. ¿A qué caja nos referimos?
•
Solo O y P participan en la primera rencia. R y otras tres participan en la conferencia. Solamente N participa en la tercera rencia. Más personas participan en la cua en la quinta conferencia.
¿Cuál de las siguientes deben ser ve ras?
a) N y Q participan en la segunda confer b) N y R participan en la quinta confere a) 29 b) 23 c) 6 c) Exactamente cuatro personas pa d) 14 e) 12 en la cuarta conferencia. d) Q no participa en la conferencia. 18. César no vive junto a Juan; Adrián no vive jun e) Exactamente cinco personas partici You're Reading a Preview to a Víctor y Víctor no vive junto a César. Si los la quinta conferencia. cuatro viven en la misma calle en Unlock casas full dife access with a free trial. rentes, ubicados uno a continuación del otro y 22. Se tienen 19 pesas distinta de 1 g; 2 n g. Nueve son de acero, nueve son d en la misma acera, ¿quiénes viven en la casa Download With Free Trial ce y una es de oro. Se sabe que el pes del centro? de las pesas de acero es 90 g superior a) Adrián y Juan b) Adrián y Víctor total de las pesas de bronce. Hallar el p c) Juan y Víctor ' d) Juan y César la pesa de oro. e) Adrián y César a) Sign 19 up to vote on b)this 17 title c) d) 12 e) 10 19. Existe la opinión de que una mesa de 3 patas Useful Not useful nunca se balancea, incluso aunque las patas 23. La matrícula de un automóvil está fo sean de longitud diferente. ¿En su opinión por cinco cifras, todas diferentes. Al ins que es más estable; una mesa de 3 patas o
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b) Jueves e) Viernes
c) Martes
25. Se tienen 12 palitos de fósforo, ¿cuántos cua drados, como máximo se pueden formar con dichos palitos, si estos no se pueden romper y además el lado del cuadrado debe ser igual a la longitud de un palito? a) 3 d)5
b) 4 e)6
c) 7
26. Se tiene una balanza de 2 platillos y suficiente pesas de 5 g; 20 g y 100 g. ¿Cuál sería la menor y mayor cantidad de pesas a usar para pesar 3/4 de kilo de naranjas, si todo debe ha cerse en una pesada? Dé como respuesta la suma de ambos resultados. a) 111 d) 161
b) 113 e) 185
c) 114
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29. En una reunión se encuentran 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 1 niet mano, 2 hermanas, 2 hijos varones 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿ menor cantidad de personas que sa relación? a) 4 d) 8
b) 5 e )7
30. En el mundo de los animales extinto cuentran el Pegaso y el dinosaurio. so miente los lunes y miércoles y el rio miente los jueves, viernes y sáb todas las demás ocasiones ambos extintos dicen la verdad. Cierto dí animales mantuvieron la siguiente sación: •
Ayer me tocó mentir -d ijo el Peg También a mí me tocó mentir -co dinosaurio. 27. Yo solo tengo un hermano, ¿quién es el otro ¿En qué día de la semana estaban? hijo del padre del tío del hijo de la mujer del You're Reading a Preview hijo de mi padre, que no es mi hermano? a) Lunes b) Martes c) e) Sábado Unlock full access with a freed)Ju trial.eves a) Mi tío b) Mi padre c) Micuñado d) Mi hijo e) Yo 7. b 13. b 19. a 1. b Download With Free Trial 28. Si la mamá de Gaby es la hermana de mi her 2. d 8. b 14. e. 20. e mano gemelo, entonces el abuelo materno del 3. b 9. a 15. d 21. e > mellizo de Gaby es mi: < 4. b 10. c 16. a 22. e _| 5. b 11. e 17. a 23. c a) Padre b) Abuelo c) Hijo 6. up a to vote 12. on b this18. 24. e Sign titlea d) Tío e) Sobrino
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COMPARACIÓN DE MAGNITUDES
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Si dos magnitudes son directamente proporciona les, entonces el cociente entre sus valores numéri cos correspondientes es constante. A =k SIA(DP) B B n.° de obreros (DP) n.° de mesas Distancia (DP) tiempo
Si dos magnitudes son inversamente proporciona les, entonces el producto entre sus valores numéri cos c orrespondientes es constante. Si A (IP) B =» A x B = k n.° de obreros n.° de obreros n.° de obreros n.° de obreros obra obra obra tiempo tiempo dificultad velocidad velocidad tiempo
DP IP DP IP DP IP DP DP IP DP DP IP DP
dos o más de ellas. La comparación se ha siguiente manera: 1.° Solo se comparan las magnitudes rían.
2 ° Se elige una magnitud cualquiera de
se compara con cada una de las de comparación se hace de dos en dos.
3 / Al momento de comparar dos magnit demás se deben considerar constant 4.° Cuando dos magnitudes son DP, se que el cociente de sus valores corresp tes es constante y cuando son IP el p es constante.
5.° Se aplica las propiedades de las mag proporcionales.
obra tiempo Si una casa puede ser construida por 12 dificultad en 40 días, ¿cuántos obreros se requier eficiencia 4 casas en 20 días en un terren a Preview tiempo You're Reading construir mente difícil que el anterior? dificultad Unlock full access with a free trial. eficiencia Resolución: dificultad el número de obreros que se requier Download WithSea Freex Trial eficiencia eficiencia recorrido n.° casas n.° obreros n.° días dificu tiempo Sign up to vote12 on this title40 1 recorrido 4Useful XNot useful 20 -
Elegimos una magnitud arbitrariame
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César: k; Marcos: 3k; Pedro: 6k
EJERCICIOS RESUELTOS
ahora comparamos la eficiencia con ro de días: ^ IP ^
Sabemos que A varia DP a B (siendo C cons tante) y que B varía IP a C (siendo A constan te). Además, siA = 6; B = 2 y C = 12, ¿cuánto será el valor de B, cuando A = 1 6 y C = 2?
i eficienc. ¡ 10k 4k
Resolución:
Los tres juntos: Marcos y César:
Sea el valor de B igual a x.
Luego: (4k)(x) = (10k)(12) => x = 30
•
DP
LAj6
Marcos y César harían la obra en 30
IP -LCj -12 -2
• L5J-
-
16-
4.
Observamos que ya se han comparado la magnitud B con las otras. (x)(2) (2)(12) : 32 Planteando: 16
El sueldo de un obrero es propo cuadrado de su edad. Si un obrero tualmente tiene 20 años ha proyecta S/.1200 dentro de 5 años, ¿cuánto tualmente (en soles)? Resolución:
Del enunciado:
el valor de B será 32.
You're Reading a Preview Actual: Julio pensó hacer un trabajo en 20 días, pero access with a freeDentro trial. de 5 años: tardó 20 días más por trabajar 3 Unlock horas full menos cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó? Obtenemos: — Download With Free Trial 20 Resolución: Hay un caso real y otro caso supuesto para lo que pensó. Si pensó trabajar x por horas días, entonces: IP pensó: caso real:
i n.° de días i
i h/d i
20
x
40
3
DP ! sueldo | x 1200 (25 f
=> x = 7
actualmente su sueldo es 768 sole 5.
El precio de un diamante es dire proporcional Sign up to votealoncuadrado this title de su pes diamante se rompe en 3 pedazos c Useful Not useful sos son proporcionales a 1; 2 y 3, pérdida sufrida por el diamante, si d entera tiene un precio de S/.7200.
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Luego: a = 200; b = 800; c = 1800 => Total = 2800
AJC B *-
=» — = — = -í - = 7200 = 12 22 32 ~ 62 Se observa que el diamante entero tenía más valor, que en pedazos. Pérdida sufrida: 7200 - 2800 = 44 00 soles. 6.
Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concate nadas. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min.
9.
_ 11
{ ' ~ X ) f, Í W '
"
( |B ) ’
Dos veteranos de una guerra tienen dos sendas pensiones, que son directa proporcionales a las raíces cuadradas d mero de balazos que recibieron. SI el ro recibió 24 balazos más que el segu sus pensiones están en la razón de 91 ¿cuántos balazos recibió el segundo? Resolución:
Resolución:
P: pensión;
Graficando: (En 4 minutos)
Luego: pi jN ,
n: número de balazos
p2
: ‘
91 /)T+~24
65 V5T
"
10. El precio de una casa es directamente p cional al área e Inversamente proporci Para dos ruedas concatenadas se cumple: el la distancia de Lima. SI una casa ubic You're Reading a Preview numero de dientes es inversamente propor 75 km cuesta S/.45 000, ¿cuánto costa cional al número de vueltas, debidoUnlock a que: full a access with acasa free trial. del mismo material, si su área es e menor número de dientes le corresponde más y se encuentra a 150 km de distancia? número de vueltas. Download With Free Trial Resolución: 24(x + 70) = 45x => x = 80 (precio)(distancia) ño v m en or = - j- = 20 vueltas/min (área) 7.
Por efecto s del fenóm eno del niño, la tempe ratura promedio en el actual verano es me dia vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es IP al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la pro
(45Sign 000)(75) up to vote(x)(150) on this title _
Useful
Not useful
11. Sabie ndo que un buey atado a una cue
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DP n.° de días 5 x => (36n)(5) = 9nx 12.
ji(32)
ti(62) .\ x = 2 días
La cantidad de granos de maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos granos entrarán en un balón de 6 dm de diámetro? Resolución:
Debemos tomar en cuenta el volumen de una esfera:-— n R 3 DP n.° de granos volumen 120
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15. Un Ingeniero civil se comprom ete a obra que comenzaría el 1 ° de abril ría el 5 de mayo trabajando doming dos inclusive. El 1 de abril se pone a 20 hombres, los cuales trabajan a 6 horas días. Al terminar la jornada de abril, el propietario le dice que n obra terminada el día 24 de abril. E partir del 15 coloca más homb res qu 9 h/d en vez de 6 y logra complace tario. ¿Cuántos hombres aumentó ro a partir del 15 de abril? Resolución:
Suponiendo que un hombre hace k luego:
(6k)(35)(20) = (6k)(14)(20) + (9k)(10 4200 = 1680 + 1800 + 90x ,\ x
4 rt/ | ' 3
16. Una cuadrilla de 12 obreros puede t trabajo en 15 días, trabajando 10 h Al cabo de 7 días de labor se enfe You're Reading a Preview 3 \2 los obreros, y 3 días más tarde, se Unlock full access with a free trial. al contratista para que entregue el 27(120) = - ^ x .-. x = 960 la fecha fijada previamente. ¿Cuánt adicionales tendrá que tomar para c Download With Free Trial 13. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días tal exigencia? pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas Resolución: menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó dia riamente? Sea k el trabajo hecho por una pers día,up luego: Sign to vote on this title Resolución: IP n.° de días 15
n.° de horas x+2
Useful
Not useful Trabajo total: (15)(12k)
(7)(12k)
(3)(7k)
5(7 + x
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| C olección
El
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Po s t u l a n t e
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un rendimiento tal como 3, una actividad tal como 4 y en un terreno de resistencia a la cava como 2? Resolución:
obreros obrer os 30 x
misma zanja en 12 días? a) 12 d) 16 6.
vol. 6x5x2 12x5x1
■■■ * = | 30 30 >( f ) ( ! ) ( f ) ‘
rend. 5 3
act. 2 4
res. 5 2
b) 20 e) 19
c) 13
Una toronja de de 8 cm de diámetro se S/.0.40, mientras que otra de la misma c y de 12 cm de diámetro se ofrece a S ¿Cuál de ellas es más barata, la primer segunda? a) La segunda en S/,0,45 b) La segunda en S/.0,18 c) La primera en S/.0,13 d) La primera en S/,0,20 e) La segunda en S/,0,30
10
[ E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s Y )
7. 1.
Si el tiempo tiem po que demora dem ora un un planeta planet a en dar la la vuelta al Sol es DP al cubo de su distancia al Sol e IP al peso del planeta; ¿cuánto tiempo demora un planeta de nueve veces el peso que el de la Tierra en dar la vuelta al Sol, si la distancia que lo separa del Sol es tres veces que el de la tierra? a) 1010 dias d) 945 días
2.
b) 14 días e) 23 días
a) 7 d) 12 8.
c) 1024 días
Un grupo de 18 obreros obrer os han construid cons truido o en 10 10 días los 3/5 de un puente, si entonces se reti ran 8 obreros, ¿en cuánto tiempo terminarán lo que falta los obreros restantes? a) 17 días d) 12 días
3.
b) 1095 días e) 1125 días
c) 15 días
A y B son dos magnitudes magnitu des IP, IP, si A disminuy dism inuye e
Diez peones se demora n 15 días a trabajo en sembrar un área de 50 m2. ¿ tos días de 8 h/d se demorarán en se 80 m2, 15 peones doblemente hábiles? c) 10
Se tienen 600 kg kg de carne para para alimenta alimenta hombres durante 15 días. Si se present hombres más, ¿en cuántos kilos debe a tar la carne para alimentar a todos en a) 200 d) 470
9.
b) 15 e) 6
b) 360 e) 264
c) 340
Un hombre hombr e decide repartir una herencia e naciero ma proporcional al orden en que Sign up to vote on this title herencia total es S/.520 000, sabiendo q useful000, ¿cuál es Useful Not penúltimo hijo recibe S/.140 yor número de hijos que tiene este person a) 3
b) 4
c) 2
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12. 12. Si 8 hombres han cavado en en 20 días una zan ja de 50 m de largo, 4 m de ancho anch o y 2 m de profundidad, ¿en cuánto tiempo hubieran ca vado la zanja 6 hombres menos? a) 48 días d) 52 días
b) 80 días e) 56 días
c) 31 días
13. 13. Trece obreros trabajando durante 21 días pue den construir 180 m2 de pared. ¿Cuántos días tardarían 12 obreros dos veces más eficiente que los anteriores para construir 600 m2 de pared? a) 18 d) 29
b)28 e)25
c) 14
14. Dos personas person as A y B pueden hacer hace r una obra en 12 días; B y C en 15 días; A y C en 20 días. Empiezan la obra los tres juntos, luego de 2 días se retira C, 6 días más tarde se retira B y A solo termina lo que falta. falta. ¿En qué tiempo se hizo toda la obra? a) 12 días e) 21 días
b) 17 días d) 10 días
c) 16 días
15. Doce obreros inicialmente pensaban hacer hace r una obra en n días. Si después de haber hecho la mitad de ia obra, 8 de los obreros aumentaron su rendimiento en un 25%, con io cual el tiem po total de trabajo fue de 13 días. Hallar n. a) 18 d) 26
b)23 e)19 e) 19
c) 14
16. 16. Una guarnición de 1600 hombres tiene víve res para 10 días a razón de 3 raciones dia rias cada hombre, Si se refuerzan con 400
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Examen Mayo 2012
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con 2 mujeres y 2 niños más, ¿cuán se habría ahorrado en terminar dicho sabiendo que la eficiencia de una m la eficiencia del hombre como 7 es eficiencia de la mujer es a la de un n 5 es a 3? a) 18 días d) 28 días
b) 13 días e) 25 días
18. 18. Un tramo de carretera puede ser con 4 máquinas que trabajan 10 h días. Al final del 6.° día una de ellas gra durante x días. Hallar el valor de de el 7.° día las otras 3 máquinas tr 12 h/d y cuando se repara la malogr solo puede trabajar 8 h/d, acabándos en el plazo establecido. a) 10 d) 12
b) 21 e) 28
19. 19. Dos personas person as hacen un traba jo en días. El primero aumenta su rendim 10% y el segundo en 20%, si en est ciones trabajan juntos, ¿en cuántos rían el trabajo? a) 13 d)
b) 9 6 e)
10
20. Quince Quin ce obreros han hecho la mitad obra en 20 días. Si se retiran 5 obre Sign up to vote on this title cuántos días los restantes harán lo de la obra? Not useful Useful a) 30 d) 32
b) 25 e) 60
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Su representación : % < >
Tres descuentos sucesivos de 10%; 20% equivalen a un descuento único de: 100
Du = 10 100% - (J ^\/-^ °-)7 0 % =49 110 1100 A 100/
Expresión matemática: x por ciento de N = x%N =
(N)
Dos aumentos sucesivos del 35% y 20% e a un aumento único de: Hallar el 25% de S/.44.
A u = ( t ! ) 120% “ 1 0 0 % =6 =6 2
Resolución:
25
100
Tres aumentos sucesivos del 20%; 30% equivalen a un aumento único de:
x 44 = S/. S/.11 11
Au = V100 (7^ (7^ (/l 7100 7^ / 110% - 100% = 10% = ig . = 0,1 0,1; 100
25% =
100% = M = 1; 1; 100
500% 500% =
0,35 ,35 = —
100
= 35%;
0,02 =
100
= 0,25 0,25
100
2 100
= 5
=
2%
4/5 = ^(10 0% ) = 80%; 5
7 = 7(100%) = 700%
75% - 30% = 45%; 5(27%a) = 135%a
x + 60%x = 160%x 160%x
Pv: precio venta; G: gana ncia Pe: Pe: precio compra; compra ; P: pérdida Pv = Pe + G
Transacción c cuando hay ga
Pv = Pe - P
Cuando hay p
Se tiene la misma cantidad de naranjas de ses distintas, que se vende a dos por u Sign up to vote on this title de primera y tres por un sol las de segun useful a 5 por dos s Useful vendieran vendiera n todas las Not naranjas ganará o perderá y en qué porcentaje?
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Área =
a(200 + a) % 100
Si el 24 por 7 del 15% de n por 480 igual al 105% de m%, hallar el m% 400. Resolución:
Reduce o disminuye en % el lado, altura o radio.
— )(15% )( —^— 49 = 105%(m% 7 r \4800 => n = 200m%
Area =
a(200 - a) % 100
Luego: 5^-400 :
m% ■400 = 200m%
En una reunión hay 10 chinos, 1 25 mestizos. ¿Qué porcentaje repr chinos respecto de los mestizos? Variación =
100(a - b) + ab 100
%
Resolución:
25 1.
| = 40% 5
3. Rosita había gastado en el merc You're Reading a Preview Si la base de un rectángulo se incrementa en S/.35.00 que le dio su mamá, el 75% un 30% y la altura disminuye enUnlock un 40%, ¿en no gastó. ¿Cuánto gastó? full access with a free trial. cuánto disminuirá el área? Resolución:
Gastó: x Download With Free Trial No gastó: 35 - x 100(a - b) + ab Variación = % 100 Por condición: x = 75 (35 - x) Resolución:
Dato: a = +30%; b = -40% Variación =
100(30 - 40) + (30 )(- 40) 100
Sign to vote on this title de lo que te Tú up tienes 25% menos de lo que tengo y Useful 20% Not useful vieras más
20% menos de lo que tienes, lo drías sería 12 soles menos de lo
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| C o l e c c i ó n E l Po s t u l a n t e
¿En cuántos décimos es mayor 80% que
20%?
yo tendria si recibiera 25% menos. ¿C tienes?
Resolución:
Resolución:
80% - 20% = 60% = — = 1 100 5
tengo: Y; tienes: T Y + T = 1800
Convertimos a décimos:
T - 40%T = Y - 25%Y => 60%T = 75
| = ( | V | \ = A = 6 -L = 6 décimos 5 \ 5 A 2 / 10 10
4T = 5Y => Y = -^T 5 Reemplazando: Y + T = 1500
6 décimos 6.
Examen Diplomado Em
En un cumpleaños el 80% de los hombres está bailando y el 10% de las mujeres no bai la. Si en total asistieron 340 personas, ¿cuán tos bailan en el momento? Resolución:
5 9.
+ T — 1800
T = 1000
Por error se aumenta 18% de la mitad sobre la otra mitad, ¿qué porcentaje to ha aumentado?
H: n.° de hombres; M: n.° de mujeres H + M = 340 ...(1)
Resolución:
n.° homb. que bailan = n.° mujeres que bailan 80%H = 90%M =» 8H = 9M
Aumento total:
En una conferenc ia el 70% de los presentes son varones y el resto damas, en seguida llegan 12 chicos cada uno con tres señoritas, completándose los grupos de damas y varo nes por igual. ¿Cuántas damas habían inicialmente?
Ganó: 25%(16 200) =* G = 4050
Sea x la cantidad total.
18% £ + 38% £% = 9%x + 19%x 2 2 - H = |M ...(2) You're Reading a Preview Aumento total: 28%x De (1) y (2): M = 160; H = 180 Unlock full access with free trial. 10. aLucio compró un auto en S/.16 200 n.° de personas que bailaban: dió ganando el 25% del costo. ¿Cuántos más hubiera ganado si lo vendía gana PB = 80% H + 90%M = ~ ( 1 8 0 ) + Download ^ ( 1 6 0 ) With Free Trial 25% del precio de venta? PB = 144 + 144 PB = 288 Resolución: 7.
Al vender ganancia: Sign up con to vote on this title Gv = 25%Pv ...(1) Useful Not useful
Luego: 75%Pv = 16 200 => ^ P v = 1
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
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n. de patos n. de pavos
gantes eran mujeres y el 25% de ell por la lista A que además obtuvo los 50% de los hombres. ¿Qué tanto po los sufragantes votaron por la lista A
[ n.° de patos = 2k 3
I n.° de pavos = 3k
Luego nos piden: n. de patos x 100% = 2k X 100% =50 % 80% (total) l(5k)
Resolución:
Como el 48% de los sufragantes e res, asumiremos que el total de s es 100; entonces:
12. Tengo el 90% de lo que tenía ayer que era 20 soles más. ¿Qué tanto por ciento de lo que tuve ayer tendría mañana, s¡ hoy perdiese 20 soles más que el 50% de lo que tengo?
n,° de mujeres n.“ de homb 48 52 125% | 50
Resolución:
Votaron por la lista A:
Sea lo que ayer tenía: 10k Ayer 10k
Hoy 90%(10k) = 9k
u diferencia: k = 20
J
Entonces, reemplazando: ayer: S/.200; hoy: S/.180
12
.-. votaron por la lista A el 38%
15. Al preguntar un padre a su hijo gastado de los 50 soles que le dio contestó que gastó el 25% de lo que ¿Qué cantidad gastó?
Resolución: Luego: You're Reading a Preview Si hoy perdiese: 50%(180) + 20 = S/.110 El hijo recibió: S/.50 Unlock full access with a free trial. Mañana tendría: 180 - 110 = S/.70 Luego: 70 x 100% ■ 35% -i Nos piden: -Ltfgastó = ^-(no gastó) 200 Download With Free Trial
13. Dos cilindros contienen un total de 800 galo nes. Se sacan el 25% del contenid o del prime ro y 40% del segundo. Si después de sacar, quedan 60 galones más en el primero que en el segundo, ¿cuántos galones hay en cada ci lindro ahora? Resolución:
26 = 3
no gastó ¡gastó = k
Si sumamos: 4k + k = 50 => k = 10 .-. gastó = S/.10 Sign up to vote on this title
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Useful [ "
useful e j e r cNot icio s PROPUESTOS
Una señora quiere reducir l
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Al vender un objeto en S/.2530 ganó el 15% del 10% del 80% del costo, ¿a cuánto debo vender el objeto para ganar el 20% del 60% del costo? a) S/.2575 d) S/.2578
b) S/.2576 e) S/.2579
c) S/.2577
De un grupo de postulantes, se observó que el 30% del total eran hombres, y de estos el 50% postulan a Ingeniería y de las mujeres solo el 10% postula a Ingeniería, ¿qué tanto por ciento postula a ingeniería? a) 16% d) 13%
b) 22% e) 7%
c) 15%
De un recipiente se extrae el 500% de lo que no se extrae, y luego se devuelve el 25% de lo que no se devuelve. Se observa que el vo lumen ha disminuido en 36. Hallar el volumen inicial. a) 20 l d) 50 L
b) 54 L e) 25 t
9 es el 15% de:
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a) 2500 d) 2575
b) 600 e) 400
c) 350
11 . En la familia Rojas el 30% de los va
adultos es igual al 60% de las damas tas, y el 15% de ellas es igual al 20% niños, ¿qué porcentaje del total repres los niños? a) 20% d) 40%
b) 15% e) 25%
c) 30%
12 . ¿En qué porcentaje aumenta el área triángulo equilátero, si se aumenta su en 20%? a) 80% d) 40%
b) 64% e) 20%
c) 44%
13. En un depósito de forma cónica, el diá se aumenta en un 10%, ¿en qué tant ciento será necesario disminuir la altu depósito para que su volumen no varíe?
You're a) 2M % c) 32 l Reading a Preview Unlock full access with ad)free trial. 100%
b) 1
%
c)
e) 50%
14. Free ¿Cuál debe ser el peso de la mezcla fi Download With Trial c) 60 a 620 gramos de agua que contiene el 7 sal, se le añade agua pura para reducir l porción de sal a 2,5%? ¿Qué porcentaje de 3 1/3 es 5/12? a) 1240 g b) 1480 g c)173 Sign up to vote on this title a) 20% b) 12% c)15% d) 1159,4 g e) 1779,4 g d) 12,5% e) 75% Useful Not useful 15. Doce obreros hacen una obra en 28 ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un nú ocho aumentan su rendimiento en un a) 4,5 d) 90
7.
Examen Diplomado Em
b) 54 e) 135
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18. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ga nara el 15% de lo que me quedaría, perdería S/.195. ¿Cuánto dinero tengo? a) 1955 d) 100
b) 1950 e) 1000
c) 5
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b) S/.9970 e) S/.11 111
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20.
Si el lado de un cuadrado aumenta en qué porcentaje aumenta su área. a) 44% d) 42%
19. Al vender un artefacto en 9680 soles estaría ganando el 21%, ¿a cómo debería venderlo si quiero ganar el 24%? a) S/.8000 d) S/.10 000
Examen Mayo 2012
1. 2. 3. 4.
c) S/.9920
b c a b
b)40% e)36% 5. 6. 7. 8.
b c d a
9. 10. 11. 12.
d d a c
13. 14. 15. 16.
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FRACCIONES
Se denomina así a todos los números racionales que cumple las siguientes condiciones:
Su numerador y d nador no poseen factores en común (son entre sí). Por ejemplo: 3. 7. 4. _2i 5 ’ 2 ’ 9’ 101
p _ a — *■ numerador b — ► denominador o
donde: a, b e Z + a a # b
Para representar gráficamente a una fracción, con sideremos lo siguiente:
Es un conjunto d ciones que tiene igual denominador. Por eje 3. 5. 1 101 7’ 7’ 7’ 7
Es un conju fracciones que tienen diferente denominad ejemplo: 3. 4. 2. 3. 4_ 5 ’ 9' 8’ 6’ 10
Son aquellas nes que utilizando términos diferentes ex una misma parte de la unidad. - a => hpn c =_ — ak rc —— b eq bk You're Reading a Preview
Es la totalidad de una cantidad referencial
F = ■3 5
F= |
1 5
1 5
1 5
1 5
1 5
Unlock full access with a free Viene a trial. ser
la comparación geométrica d cantidad asumida como parte, respecto a ot tidad Download With Freeasumida Trial como un todo. Luego: F - f
Es aquella en la cual el numera dor es menor que el denominador. Al hacer la di visión correspondiente, el resultado es menor que la unidad.
lo que hace de parte lo que hace de todo
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/— exacto
Useful Not useful F =-jj = n. decimal — periódico pur
\ — periódico mi
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84,01 =84 + 0,01 = 84 +
=■
EJERCICIOS RESUELTOS
En un salón de la academia solo a examen los 2/3 de los alumnos, aprueban los 3/7; si los desaprobad ¿cuántos alumnos hay en dicha au
21-2 90
0,3542 : 3542 - 35 9900
Resolución:
0,0105 : . 105-1 9900 7,381 = 7 + 0,381 = 7 + 381 - 3 990 10,0107 = 20 + 0,0107= 10 +
1.
Examen Mayo 2012
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99
Decimal periódico mixto
0,21
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107-1 9900
Sea x el número de alumnos. 2 Asisten al examen: - x 3 2x Aprueban: 3 Desaprueban 4 / 2 x = 24 (dato) 7\ 3 x = 63
Cierta tela después de lavada se En una reunión se sabe que 2/3 eran varones, de su longitud y 1/6 de su ancho de las mujeres: 2/3 eran casadas y 6 solteras. metros deben Comprarse para qu ¿Cuánto representa la tercera parte del total de lavada se disponga de 96 m2 de hombres? . You're Reading a Preview que el ancho original es 80 cm? Resolución:
Resolución: Unlock full access with a free trial.
Después de lavarla se tendrá:
mujeres
18
18
6
6
Download With Free Trial 6 | ( 0,8 m
casadas solteras
n.° de varones: 36 -i de varones) = 12 Se tiene una fracción equivalente a 8/28, la
Sign up to vote on this title x ancho Useful largo useful = área Como: Not
=. ( ^ - ) ( |) ( 0,8) = 96
x=
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| C olección
El
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Po s t u l a n t e
H + 2[ti + 4 + 4 + J 15 5 5 j
Calcular: s = - 1 - + - 1 - + - ! _ + .,.+ _ J 1x 3 3x 5 5 x 7 n(n +
H + 2 h [1 + -1 + 4 + . . 15 52 5
Resolución:
Suma límite:
Multiplicando por 3 - 1 = 2 a toda la sión: , 2S - 2_ + - 2- + 2 , 1x3 3x5 5x7 n(n +
1- H + 2 h (4 =
_____
pero H = 24, luego + i - n
Recorrido total: -|(24) = 36 A una fracción propia de términos consecuti vos se le añade 2 unidades a cada término. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la origi nal. Hallar la fracción original. Resolución:
Sea —2— la fracción propia de términos conn+ 1
1 n 1 n+2 n+ 1 S= 2(n + 2)
2S = 1 -
2S = n + 1 n+ 2
Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no p secutlvos. Por condición del problema: luego recupero 1/3 de lo que ño recupe You're Reading a tengo Preview n+2 _ n+2 entonces 42 soles. ¿Cuánto me daría luego de perder 1/6 de lo que no (n + 1) + 2 n + 3 Unlock full access with a free trial. recuperar? 1 además: n + ^ —— n + 3 n +1 12 Resolución: Download With Free Trial Efectuando: n = 3 Fracción: perdí
5.
Si a una fracción propia la convertimos en im propia invirtiendo sus términos y sumamos es tas fracciones, resultaría el producto de estas 2 fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Halla el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto
3x
no perdí X
Sign up to vote on this title no recupero recupero Useful Not useful
Del esquema: 3x + x = - |y
y
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a) 4 d) 10 8.
[ " ejercicios PROPUESTOS 1 |
2.
4.
c) 3/5
SI 1/5 de x es igual a los 2/5 de y, ¿qué parte de (2x + y) es (x - y)? a) 1/5 d) 2/5
3.
b) 3/10 e) 6/5
b) 1/10 e) 3/10
c) 7/10
9.
b) 6 . e) 12
c)
Se vendieron 1/5 de las entradas función de cine, el día de la función s 1/3 de las que quedaban, quedando der 48 entradas. ¿Cuál es la capac cine? a) 72 d) 108
S11/5 de A es los 3/10 de B, ¿qué parte de B es A? a) 1/2 dj 3/2
to y por último los 3/5 del nuevo resto tos litros quedan?
Resolución:
1.
Examen Mayo 2012
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Un caño llena un esta nque en 5 h y un desagüe lo desaloja en 6 h. Funcionando jun tos, en cuánto tiempo lo llenarán. 1 1 1 Los dos en 1 h hacen: —- — = — 5 6 30 todo lo llenarán en 30 h
Examen Diplomado Em
b) 84 e) 112
Un alumno hace 1/3 de su asign de ir a una fiesta, después de la fie 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué la asignatura le queda por hacer? a) 1/2 d) 2/3
b) 1/6 e) 7/12
10. El sueldo de un profesor se incremen Sumar a 1/5 los 7/6 de 3/4. SI a este resultado You're Reading a Preview y luego disminuye en 1/5 de su nue se le multiplica por los 5/3 de 4/5 de 10 obte ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho Unlock full access with a free trial. nemos: a) No varía b) Dismin a) 14 1/3 b) 13 1/3 c) 14 2/3 c) Aumenta en 4/5 d) Disminuy Download With Free Trial d) 13 e) 15 e) Aumenta en 1/10 Calcular el valor de un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 5/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 121. a) 280 d ) 880
b) 440 e) 420
c) 220
11. De un tonel de 1400 L de vino se ext lo que no se extrae, luego 1/4 de lo q había extraído. ¿Cuánto se extrajo e Sign up to vote on this title
a) 200 L Useful d) 350 L
b) useful 250 L Not e) 430 L
12 Una pelota cae desde una altura de 5
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14. Se tien e un recipien te de 8 litros, con 5 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la tercera parte y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda? a) 1,5 d) 3,5
b) 2 e) 3
c) 2,5
15. De un total de 40 personas, se sabe que 12 son varones y el resto mujeres. De las muje res la cuarta parte son niñas. Determinar qué parte de las mujeres son adultas. a) 21/28 d) 22/27
b) 25/25 e) 23/28
c) 16/23
16. Un alumno resuelve los 3/5 de lo que no re suelve. ¿Qué parte del examen ha resuelto? a) 4/7 d) 3/8
b) 5/8 e) 3/7
c) 4/9
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21. Los 4/5 de las aves de una granja so mas; los 5/6 del resto son pavos y los tantes son patos. ¿Cuántas aves hay granja? a) 320 d) 240
b) 560 e) 244
c)
22. En una reunión los 2/3 son mujeres los varones son casados, mientras q otros 6 son solteros. ¿Cuántas person en la reunión? a) 45 d) 25
b) 36 e) 15
c)
23. Un juga dor en su primer jueg o pierde su dinero, vuelve a apostar y pierde l de lo que le queda y en una tercera a pierde los 4/7 de lo que aún tenía. ¿Qu ción del dinero que tenía originalmente quedado?
17. La mitad de lo que me queda de gaseosa en a) 4/35 b) 22/35 c) You're Reading a Preview la botella, dice ella: “Es igual a la tercera parte d) 13/105 e) 23/105 de lo que ya me tom é”. “Si tomo (dice luego) la Unlock full access with a free trial. cuarta parte de lo que me queda”, ¿qué frac 24. Una jugadora en su primer jueg o gana ción de toda la gaseosa se habrá tomado? su dinero, vuelve a apostar y gana los Download With Free lo Trial que le quedaba y en una tercera a a) 3/10 b) 3/7 c) 2/3 gana 3/7 de lo que le quedó luego del d) 7/10 e) 1/3 do juego. Si se retiró con 320 soles, cuánto ganó. 18. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí lue go recupero 1/3 de lo que no recuerdo y tengo a) 150 180title c) Sign up to voteb) on this entonces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría lue d) 220 e) 240 go de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? Useful Not useful a) 36 soles d) 48 soles
b) 39 soles e) 60 soles
c) 42 soles
25. En la mitad del terreno de una hacien siembra pasto, en la tercera parte de
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27. Una persona toma 16 metros de una varilla. Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Hallar la longitud total de la varilla. a) 40 d) 46
b) 42 e) 48
b) 2/35 e) 6/35
c) 4/25
29. Una cañería llena una piscina en 12 horas y otra cañería la llena en 60 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina, si las dos funcionan simultáneamente? a) 5 h d) 36 h
b) 10 h e) 72 h
Examen Mayo 2012
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tardaría 9 días más que el otro. ¿Qu tardará este otro? a) 36 días d) 48 días
b) 40 días e) 54 días
c)
c) 44
28. Un jugador pierde en su primer juego 1/3 de su dinero, vuelve .a jugar y pierde los 3/5 de lo que le quedaba y en una tercera apuesta pier de los 4/7 del resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? a) 1/35 d) 4/35
Examen Diplomado Em
c )1 2 h
3. A puede hacer un trabajo en 12 hace el mismo trabajo en 60 días, de trabajar juntos durante 2 días s A. ¿En qué tiempo terminará B la p falta? a) 25 días d) 48 días
b) 14 días e) 50 días
c)
4. Dos grifos A y B llenan juntos un tanqu horas. Si el grifo B fuese de desagüe ría en llenar el tanque 60 horas. ¿E tiempo llenará la llave B el tanque este vacío? a) 100 h d) 80 h
b) 110 h e) 90 h
c
A y B hacen una obra en 6 días; B Reading a5.Preview 30. Tres hombres hacen un trabajo You're en 4 horas. días y A y C harían la misma obra e Sabiendo que el primero lo haría con 8 horas Unlock full access with a free trial.cuánto tiempo A haría la obra so ¿En y el segundo en 12 horas, ¿qué tiempo tarda ría el tercero trabajando solo? a) 4 días b)5 días c) Download With Free d) Trial 15 días e) 12 días a) 14 h b) 15 h c) 18 h d) 17 h e) 16 h 6. A y B pueden hacer una obra en 20 d C pueden hacer la misma obra en 15 1. d 7. a 13. c 19. a 25. d y C la pueden hacer en 12 días. ¿E tn c 2. a 8. c 14. c 20. e 26. Sign up to vote on this title tiempo harán la obra A. B y C juntos? iit 3. a 9. b 15. a 21. d 27. a > Useful a) 10 días Notb)useful 14 días c) < d 4. b d 22. a 28. 10. 16. d i d) 18 días e) 20 días 5. a 11. d 17. d 23. a 29. b u
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a) 5 d) 8
b) 4 e) 3,5'
c) 6
10. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo A y B, pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan B y C lo llenan en 15 h. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería B, si funciona sola? a) 12 d) 9
12 .
Examen Mayo 2012
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| C o l e c c i ó n E l Po s t u l a n t e
Tres equipos de obreros podrían hacer el mis mo trabajo, el 1.° en 8 días, el 2 ° en 10 días y el 3.° en 12 días. Se toma 1/2 del 1.°, 1/3 del 2 ° y los 3/4 del 3.°. ¿En cuántos días quedará terminada las 19/30 partes del trabajo?
11.
Examen Diplomado Em
b) 8 e) 4
c) 6
a) 2 d) 4
b) 5 e) 6
c) 3
15. Pepe y Martín pueden terminar una o 12 días. Después de haber trabajado 4 días, Pepe cae enfermo y Martín a trabajo en 40 días. Si Pepe hubiera tra solo, ¿en cuántos días hubiera hecho l a) 24 d) 30
b) 15 e) 16
c) 40
16. Una cañería llena una piscina en otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿ tiempo puede llenarse la piscina si la de desagüe se abre 3 horas después? a) 11 h d) 10 h
b) 12 h e) 13 h
c) 6
17. Un albañil y su ayudante pueden hac A y B pueden hacer una obra en 2 — días; B y 5 obra en 24 días, después de haber tra C, en 4 días y A y C, en 3 días. ¿En cuántos juntos durante 12 días, se retira el ay días puede hacer A solo la obra? el albañil termina lo que falta de la obra días. ¿En cuántos días puede hacer a) 4 b) 6 c)You're 8 Reading a Preview obra el ayudante trabajando solo? d) 9 e) 3 Unlock full access with a free trial. a) 50 b) 70 c) 40 A puede hacer un trabajo en 10 días; B puede e) 45 d) 60 hacerlo en 5 días y C en 2 días. El Download primer día With Free Trial trabajo solo A, el segundo día se le une B y el 18. Se tiene un depósito de 30 m3 de cap tercer día trabajan los 3. ¿Cuántos días de con dos grifos: uno de suministro y mora la obra? desagüe de 250 L/h y 125 L/h, respecti te, ubicados como muestra la figura. ¿ a) 2 b) 3 tiempo demorará llenarse c) 2 3 Sign up to vote onen this title el depósi d) 3
e) 3
Useful a) 100 h b) 200 h c) 150 h
Not useful 250 L/h
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20. A puede hacer una obra en 20 días y B lo po dría hacer en 60 días. ¿Si A y B trabajan jun tos, en cuántos días lo podrían terminar? a) 10 d) 18
b) 12 e) 9
c) 15
21. A y Bpueden hacer una obra en 4 días y B solo lo puede haber hecho en 12 días. ¿En cuántos días A trabajando solo podría hacer los 2/3 de la obra? a) 3 d) 6
b) 4 e )9
c) 2
22. Un obrero puede hacer un trabajo en 7 días y otro en 14 días. Si el primero trabaja solo durante un día y luego trabajan juntos hasta terminar la obra, ¿cuánto tiempo han tardado en hacer toda la obra?
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Examen Mayo 2012
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abierto el desagüe, el caño se demo en llenarla. Sí llenamos la piscina y el caño, ¿en cuántas horas se va pletamente? a) 18 d) 15
b) 12 e) 16
24. Dos grifos A y B llenan 20 horas. Sí elgrifo B fuera de tardarían en llenar el estanque 60 h cuántas horas llenaría la llave A e estando este vacío? a) 20 d) 35
1. 2. a) 2 días b) 7 días c)5días > 3. < d) 3 días e) 4 días 4. 23. Estando el desagüe de una piscina cerrado, 5. un caño demora 6 horas en llenarla, y estando You're Reading a Preview
d a d c c
b) 25 e) 40 6. 7. 8. 9. 10.
a b b b b
11. 12. 13. 14. 15.
a c c d b
16. 17. 18. 19. 20. c
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ANÁLISIS COMBINATORIO Sheet Music
Factorial de n: n! o |n_
1.
n != [n _ = 1 x 2 x 3 x . . .x n n! = [n_ = n(n - 1)(n - 2)... 3 x 2 x 1
0! = 1 1!
=
1
Resolución:
2! = 2 x 1 = 2 31=3x2x1=6 41=4x3x2x1=24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120 61=6x5x4x3x2x1=720
Nos damos cuenta que Bety para llegar universidad le basta tomar un microbús n portando de cual de las 3 líneas sean, p tanto.
Línea A o Línea B o Línea C n.° de maneras de llegar:
c Y la ta /:
| j i
• Si: x! = n! => x = n • Si: x! = 1 => x = 1 v x = 0 • n! = n(n - 1)1 16! = 16 x 15! 48! = 48 x 47 x 46!
Bety para ir de su casa a la academ ia lo tomando un solo microbús. SI por su cas san 3 líneas de transporte que la llevan universidad, ¿de cuántas maneras difere según el microbús que tome, llegará Bety universidad? Se sabe que la línea A tie microbuses, la línea B tiene 5 microbuse línea C tiene 8 microbuses.
Los alumnos de un colegio se comprome pintarlo por motivo de su aniversario. El p piso lo harían los alumnos de un aula de You're Reading a Preview año, el segundo piso lo harían los alumn \ aula Unlock full access with un a free trial.de 4.° año, el tercer piso lo haría alumnos de un aula de 5.° año. Si el co tiene 4 aulas en 3,er año, 5 de 4.° y 6 d Download With Free Trial En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos año. ¿de cuántas maneras distintas, s dos principios Importantes: las aulas que Intervienen, podrán hacer distribución para el pintado del colegio? SI un evento o suceso Resolución: A ocurre de n maneras y otro B ocurre de m ma neras; luego: Sign up to vote on this titlepiso y 3.er piso 1,er piso y 2.” n.° de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n + m
2.
Useful n.° de maneras de pintarlo:
, Not useful~ 4
x
5
x
„
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Se sugiere tener presente la importancia de discer nir, si importa o no el orden de los elementos, ya que ello nos permitirá escoger entre una permuta ción (sí importa el orden) o una combinación (no importa el orden). Son los diferentes ordenamientos que se obtie nen con n elementos tomados de k en k. En una permutación sí importa el orden como se toma los elementos. Tenemos tres tipos importantes de per mutaciones:
n! (n-k)l
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forma consecutiva. ¿De cuántas ma tintas se podría ubicar todos los 5 a dichos asientos? Resolución:
SI queremos ubicarlos en forma d tonces importará el lugar que ocup tanto: de 5 amigos
n.° de maneras de ubicarse: P5
De algunos elementos: Pk=-
Examen Diplomado Em
; 0 < k
Se llama permu cular cuando los elementos se ordenan una línea cerrada o cuando se ordenan de un objeto circular.
Permutación de n elementos tomados de k en k. ( i) También se emplea como variación. You're Reading a Preview n!
y
Download With Free ¿DeTrial cuántas maneras distintas se puede personas alrededor de una mesa circula
Permutación de n elementos
1.
Pc(n) = (n -
En una carrera automovilística participan 10 autos. Si solo se premiara a los tres prime
Resolución:
Sabemos que sí importa el orden de ub ento las personas la mesa, Sign up to alrededor vote on thisde title n.° de maneras: Pc(6) (6 - 1)! = 5! = Useful Not=useful
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Examen Mayo 2012
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Ejemplo: Se tienen 3 fichas rojas iguales, 2 azules iguales, 1 verde y 1 negra. ¿De cuántas formas diferentes se podrán colocar estas 7 fichas en linea recta? Resolución:
Como importa el orden y tenemos algunos elemen tos repetidos, entonces: __________
Pintamos esta región con un primer color A. (cualquiera de los 5)
7 fichas _________
®@® ®® ®® 3 fichas P7
7' 3! x 2!
3'2
Aquí de nue color y as vamente, observa
Está región con un tercer color C (cualquiera de los restantes)
Nos han bastado 3 colores como para pintar la figura dada. Por lo ta maneras de escoger 3 colores para p You're Reading a Preview figura: ; 0
Combinaciones de n elementos. Ejemplo:
k
: 420
Son los diferentes agrupamientos que se obtie nen con n elementos tomados de k en k. En una combinación no importa el orden como se toma los elementos. Cí = ■ n! kl(n-k)!
Está región segundo (cualquiera restantes)
k
2 fichas
7 X 6x 5x 4x 3! 3! x 2
Resolución:
Unlock full access with a free trial.
1 ,er color
Download With Free Trial
5
x
2° colo r 3.er color 4
x
3
= 60
Un profesor de Razonamiento Matemático ofrece premiar con un libro por persona a solo tres de sus 10 alumnos. Si los libros son del mismo autor, ¿de cuántas maneras distintas podría escoger a sus alumnos para premiarlos?
Una compañía aérea debe realizar dia te 5 viajes a Cusco, 3 a Trujillo y 2 a ¿De cuántas maneras distintas puede dicho Sign itinerario? up to vote on this title
Resolución:
Lo que se desea es realizar la siguien CCCCCTTTII.
Notamos que al seleccionar a los tres alumnos, no
Resolución: Useful Not useful
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Utilizando el principio de adición y contando las maneras de llegar a cada punto.
Resolución:
Luego, hay 21 maneras diferentes de llegar al punto B según las condiciones dadas. 4.
En la figura, A, B, C y D son ciudades y cada línea es un camino. Si una persona desea viajar, ¿de cuántas maneras puede elegir su recorrido? Se sabe: • •
Vamos a aplicar aquí el principio de teniendo cuidado de contar las ma llegar a cada punto. En el esquema a continuación, se aprecia los cami recorrer así como los que no interesa punteadas).
Sale de A hacia D, (pasando por B y C sin retroceder). Sale de A hacia D, luego regresa hacia A. Sale de A hacia D, luego regresa hacia A, sin pasar de nuevo por el mismo recorrido. You're Reading a Preview B
D)access with a freeLuego, Unlock full trial.
hay 19 formas distintas.
Naty desea comprar un televisor, par Download With Free Trial ha consultado en 3 tiendas comerc En el esquema se muestra el número de primera le ofrece 3 sistemas de créd caminos entre A, B, C y D: gunda, 4 sistemas de crédito distinto primeras tiendas. ¿De cuántas man Sign up to vote on this title rentes puede comprar el televisor? C§) Cs)
Resolución:
Luego el número de recorridos es: 4 x 5 x 3 = 60
Useful
Not useful
Resolución:
Para la compra del televisor ella pue
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84
| C olección
a) 560 d) 280 3.
4.
6.
7.
Examen Mayo 2012
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c) 1120
•
Po s t u l a n t e
b) 40 e) 18
•
Ambos premios no se pueden una misma persona. Ambos premios se pueden repart misma persona.
Se tienen 4 libros de Geometría y 3 libros di ferentes de Química. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en 7 casilleros, si los de Química deben ir juntos?
Dar como respuesta el producto de dic sultados.
a) 84 d ) 720
a) 256 d) 184
b) 840 e) 1440
c) 360
Se tienen 8 libros de Historia y 6 de Lengua, ¿de cuántas maneras se puede colocar los li bros en grupos de 5, de los cuáles son 2 de Historia y 3 de Lengua? a) 1480 d) 16 720
5.
El
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Examen Diplomado Em
b) 1440 e) 7200
c) 67 200
En un estante hay 5 libros de Álgebra y 7 de Física, ¿de cuántas maneras se pueden esco ger 3 libros de Álgebra y 5 de Física?
b) 192 d) 28
c)
11. ¿De cuántas formas pueden dividirse sonas en dos grupos de 4 y 6 person pectivamente? a) 24 d) 250
b) 84 e) 720
c)
12. ¿De cuántas forma s pueden llega a la meta, si ninguno de ellos llegan e dos?
a) 48 b) 4 c) c) 105 d) 120 e) 24 You're Reading a Preview 13. Las cuatro regiones verticales de u Unlock full access with a free trial. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden deben llevar diferente color, ¿de cuán formar una terna, siendo 8 los candidatos? neras se puede colorear, si se dispon Download With Freecolores Trial diferentes? a) 28 b) 112 c) 56 d ) 336 e) 72 a) 360 b) 720 c) e) 36 e) 18 Cuatro viajeros llegan a una ciudad en donde hay 5 hoteles. ¿De cuántas formas se pueden j 14. ¿De cuántas maneras se puede inter Sign up to vote on this title hospedar cada uno en un hotel diferente? el orden todas las letras de ACCACCIA a) 15 d) 420
b) 70 e) 210
a) 60 d) 96
b) 120 e) 64
c) 144
Useful
a) 280 d) 360
Not useful b) 560 e) 720
c)
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a) 350 d ) 700
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b) 240 e) 540
c) 20
a) 3600 d ) 600
b) 7200 e) 200
1. 2. 3. 4.
b) 24 e) 30 c a d c
5. 6. 7. 8.
e c b d
9. 10. 11. 12.
c) 96
b b c e
b) 111x 9!
d)
e) —?2j— 41 X 20
(x + 3)! (x + 5)! — ^—= 1 2 0 1. Halle x en: — (x + 3 )!+ (x + 4)i --------
Un producto se vende en 3 mercad primer mercado lo ofrecen en 5 tiend segundo en 4 tiendas y en el tercer en 6 tiendas. ¿De cuántas maner venderse ei producto? a) 120 d) 45
5.
b) 15 ej 90
c) 360
Considere ¡as placas de automóvile ne tres letras seguidas de tres dígito den emplearse todos los arreglos ¿cuántas placas diferentes pueden f
You're Reading a Preview a) 19 683 000 bj 5 550 c) 47 930 021 d) 3.996 13. Unlock a 17. full a access with a free trial. e ) 5 781 020 14. a 18. a 15. eDownload 19. c With Free 6. Trial ¿Cuántos números pares de 3 dígito 16. c 20. a den formar con ios dígitos 1; 2; 5; 6; cada dígito puede emplearse un sola
[ T j e r c i c i o s PROPUESTOS 2 I
---------
4.
c) 2400
20. Se tienen 3 varones y 3 mujeres, ¿de cuántas maneras se pueden formar en fila de a 5, si las damas siempre van juntas? a) 48 d) 72
a) 32! (2!)6
19. Se tienen 4 vocales diferentes y 5 conson an tes también diferentes, ¿cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 2 vocales y 3 consonantes?
pares de gemelas, nueve niños y on Se utiliza una tinta indeleble para es nombres. Ai día siguiente la tinta des ¿De cuántas maneras es posible m niños?
c) 120
b) 200 e) 40
Examen Mayo 2012
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18. ¿Cuántos partidos de fútbol se jugarán en una sola rueda con 20 equipos, jugando todos contra todos? a) 190 d) 120
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a) 210 d ) 126
b)90 e)
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70
Useful Not usefuldiferentes 7. ¿De cuántas.maneras cionarse un grupo de 4 o más perso 10 personas disponibles9
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C olección E l Po s t u l a n t e
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pueden instalar con la serie 485 y que no ten gan los números 2, 7, 3. Indicar el cálculo del empleado. a) 840 d) 10 000
b) 2940 e) 2401
c) 1482
10. Para la biblioteca de la academia se han com prado 6 estantes grandes, 5 medianos y 4 pe queños, todos de distintos diseños. Se les va a ubicar en una fila, en un ambiente acondi cionado. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar sabiendo que los estantes del mismo tamaño siempre están juntos. a) 31x15! c) 2! x 5! x 10! e) 3! x 4! x 5! x6!
b )4 !x5 ! d) 2! x 6! x 9!
11. Seis ladrones se escapan de la policía, y tie nen 3 escondites para poder ocultarse, ¿de cuántas maneras diferentes como máximo pueden ocultarse? a) 20 d) 30
b) 729 e) (3!)6
15. En una competencia de canotaje, un tripulado por 6 hombres de los cuale Gabriel yAbraham reman en el lado iz y Víctor y Raúl en el lado derecho. ¿D tas maneras puede ordenarse la tripul en cada lado se ubican 4 asientos? a) 760 d) 576
b) 144 e) 120
c) 8
16. En la casa de Heraldo asistieron a u nión familiar 3 tíos y 3 tías; se les p se ubiquen en una banca de forma al ¿de cuántas maneras lo pueden hace a) 36 d) 180
b) 720 e) 12
c) 7
17. De 15 jugad ores de fútbol, ¿de cuánta ras se pueden conformar un equipo si que 3 de ellos, por problemas person niegan a jugar en el mismo equipo?
c)You're 360 Reading a Preview a) 198 b) 160 c) 1 d) 125 e) 210 Unlock full access with a free trial. 1 2 . Un estudiante tiene una colección de 12 libros ¿Cuántas palabras aunque carezcan diferentes de Razonamiento Matemático. ¿De Download With Free Trial tido se pueden formar con las letras d cuántas maneras diferentes podrá seleccio labra ROCACORO? nar 6 libros, sabiendo que uno es su preferido y siempre lo va a elegir? a )5040 b) 1680 c) 2 a) 643 b) 426 c) 463 d ) 1860 e) 1668 d) 426 e) 362 Sign up to vote on this title (x + 3 )3(x + 1)! Useful Not useful 19. Calculexen: 13. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán (x + 1 )!+ (x + 2)! + (x + ubicar 10 personas en una mesa circular de 6 asientos.
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RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EJERCICIOS RESUELTOS
1.
4.
En una recta se ubican los puntos consecuti vos A, B, C, D, tal que C es punto medio del segmento BD, AC = a; AB = b. Hallar AD.
En los ángulos consecutivos AO COD, el rayo OC es bisectriz del áng además mZAOB + mZAOD = 100 trar mZAOC. Resolución:
Resolución:
Según la figura: BC = a - b Entonces: BC = CD = a - b Ahora: A D = A C + CD AD = a + a - b 2.
AD = 2a - b
En lospuntos collneales A, B, Cse toma el punto medio M del segmento BC, de modo que: AB2.+ AC2 = 26. Hallar: AM2 + BM2 Resolución:
-— • A
Del dato: mZAO B + mZAOD = 100° x - 2<)> + x = 100° x - = 50° 5.
Hallar x, si L / / L t
You're Reading a Preview •—#—•— #—• ------- ► B M C Unlock full access with a free trial.
-----------
Del dato: AB2 + AC2 = 26 ...(1)Download With Free Trial De la figura: AB = AM - BM AC = AM + MC = AM + BM Reemplazando en (1): (AM - BM)2 + (AM + BM)2 = 26 Sign up to vote on this title Desarrollando y reduciendo: 2AM2 + 2BM2 = 26 AM2 + BM2 = 13 Useful Not useful 3.
En los ángulos consecutivos AOB, BOC,
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| C olección El Po s t u l a n t e
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Resolución:
Resolución:
El AABD es equilátero: AB =AD = BD El ABCD es isósceles: mZBDC = mZC = x Luego: x + 30° + x = 180°
Por propiedad entre las rectas L2 y L3. mZB = 20° + a En la rama ABCDE: 20° + a + = 20° + 0 + a + 3a <(>=0 + 3a ...(1) En la rama ABCFE: 20° + a + 180° —x = 20° + 0 + a + 2a x = 180° - 0 - 2a ...(2) Del dato: d = 40° + a ...(3) (1) = (3): 0 + 3a = 40° + a => 0 = 40° - 2a Reemplazando en (2): x = 140°
9.
Encontrar: x + y + z
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
7.
Resolución:
En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mZAOB = 50°. Encontrar la me With Free Trial Download dida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC yAOC. Resolución: 4
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Not useful
En el AAB C: 3a + 36 + z = En el AADB: x = a + 5
180° ,..{1 ...
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Examen Mayo 2012
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Trazamos MN TAC En el fc\ANM, FH es base media:
Trazamos DE _LÁC Como AD es bisectriz: DE = BD = 4 En el £\AED, MN es su base media. MN = ^
Examen Diplomado Em
FH = — 2
.-. M N = 2
=» MN = 6
En el IABHC, MN es base media:
En un triángulo equilátero ABC, exteriormente y por la parte del lado BC se traza la recta BD que es congruente con el lado del triángulo equilátero. Hallar la medida del ángulo ADC. Resolución:
MN
= — 2
^
6 =
2
.-. x = 9
En el triángulo ABC, mZB = 90°, BC = 12; AC = 13, se traza la altu luego se trazan las bisectrices de lo ABH y HBC que cortan al ladoAC e tos F y E. Hallar FE. Resolución:
AABC es equilátero: AB = BC = AC = a mZA = mZB = mZC = 60° El AABD es isósceles: mZBAD = mZBDA = ó You're Reading a Preview El ABDC es isósceles: mZBCD = mZBDC = ó + x Unlock full access with a free trial. Por ángulo exterior: AABE: S = + 60° ...(1) ACED: S = <)>+ 2x ...(2) Igualando (1) y (2): + 60° 12.
En el ABE C: mZAEB = 2 + 0 Download With Free Trial El AABE es isósceles: AB = AE = 5 En el AABF; mZBFC = 20 + ó El AFBC es isósceles: FC = BC = 1 .•. x = 30° Luego: F C = x + 8 f= > 1 2= x + 8
En un triángulo ABC; mZA = 11°; mZC = 101°, se traza la altura BH, tal que AC = 3 y CH = 1. Calcular BH. B
Resolución:
A
CalcularAB, s m B C , BE = Sign up to vote si onmAB this title
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sea equilátero, calcular la medida del ángulo NMB, si mZACM = a.
Resolución:
Resolución:
82° = mEB t 1'— =» mEB = 34° Por propiedad: El AMNC es equilátero: MN = NC = CM mZNMC = mANCM = mZCNM = 60° El AABC es isósceles: mABAC = mZBCA = 60° + a En el AAMC por ángulo exterior: x + 60° = 60° + a + a . . x = 2a
x + mBED = 180° => x + 114° =180° .-. x = 66°
□
[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS
1.
Calc ular x, si: AC = 2BD B
17. Los ángulos interiores B, C, D de un polígono convexo ABCDE miden 170°; 160°; 150°. Ha llar la medida del menor ángulo formado por You're Reading a Preview las prolongaciones de los lados AB y DE. Resolución:
Unlock full access with a free trial.
a) 60° d) 45° Download With Free Trial 2.
Sumamos los ángulos del polígono ABCDE,
b) 23° e) 30°
c) 44
Calcular AD, si: MD //AC; AB = 4 y M medio, además: AABC es equilátero. a) b) c) d) e)
4/7 -Í7 Sign up to vote on this title
5 / 7Useful 5 2/7
/ \M Not useful
____
D
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m á
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5.
¿Cuál es la menor distancia que se debe re correr para Ir de A hacia B, tocando el piso? M
a) b) c) d) e)
B
8m
m -i r ~ 20 m
a) d) 6.
32/2 21/2
8.
c) 30/7
En el gráfico: T es punto de tangencia; calcule x.
d) 60° 7.
' b) 31/2 e) 25
e) 35°
11. En la fig'ura: ABC es un triángulo re SI AP = PQ = QC, calcular x. 25° 30° 37° 45° 18°
12. Calc ular el área del rectángulo Inscr circunferencia, si los lados forman f 1 cm y 2 cm de longitud. a) b) c) d) e)
48 46 242 16 55
13. En la siguiente figura, ¿cuál es la medidas de los ángulos señalados?
En la figura AB 1 BC, calcular el valor de: x+y You're Reading a Preview Aia) 70° Unlock full access with a free trial. b) 49° c) 47° Download With Free Trial d) 51° e) 63° a) 405° b) 340° En la figura: O es centro, AB = 6 m y AO = 5 m. d) 360° e) 390° Calcular BE. 14. Sign Un rectángulo dividido up to vote onesthis title en cuatro a) 3 m los.Useful Las áreas deuseful tres de los rectán b) 5 m Not obtenidos, se muestran en la figura. c) 7 m el área del cuarto rectángulo? d) 6 m
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65° 64° 64° 30’ 68° 30’ 67° 30’
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16. En el cuadrado circunsc rito ABCD, calcu le la medida del ánguio x (T es punto de tan gencia). a) b) c) d) e)
Examen Diplomado Em
más pequeño (en grados sexagesimales puede tomar b. a) b) c) d) e)
B|— =— ^ — "C
22.
45° 35° 46° 36° 40°
En la figura: BC = AC = AD, calcular
17. En el gráfico mAB = 60°, calcule x. a) b) c) d) e)
70° 72° 60° 75° 80°
18. Si ABCD es un rectángulo, PD = 6 cm, AL = 3 cm, calcule LC. a) b) c) d) e)
7 cm 10 cm 8 cm 11 cm 9 cm
19. En la figura, calcular el valor de x. a) b) c) d) e)
3 6 4 7 5
a) b) c) d) e)
c-
además
14° 12° 8° 15° 10°
HC = 24 cm. Calcular PQ.
a) 8 cm b) 6 cm You're Reading a Preview c) 12 cm d) 10 cm Unlock full access with a free trial. e) 9 cm
24. Free En la figura: RP = VQ, calcular el valor d Download With Trial a) b) c) d) e)
24° R 18° 38° 30° Sign up to vote on this title 28° Useful Not useful
25. En la figura: ABCD es un cuadrado cuyo mide 6 m y MP = 8 m. Calcular.el áre
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REGIONES SOMBREADAS Sheet Music
C (AC)(BD)sena
Si: a = 90° B
S* = b Sx = B
„ . (AC)(BD) ^ABCD--------- ó
------
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
S,S2 = S3S4
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Sx —S-j + S2
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| C olección El Postulante
H
3 V3 + ti y2 . 12 /
S = it(R2 - r 2) s ,= /12-3V3 —2 12
n(AB)
s2=
\ /
\ /
(
0*d« _)
S=
o
7rR2a _ 360
nR
s =
/ \
tiR
L
3
| n + 3 - 3 ' /3 j |
Sy A
cVLota/: -
Longitud de una circunferencia
Longitud de arco r.--'
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
l = n
nR g _ R sena Ln = 2n r Download With Free Trial 360 2
3
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Si —S2 -
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Ra z o n a m i e n t o M
atemá
Triángulo equilátero i /
a
\ t
¿2
' ¡A
Se observa que se va a formar un s de diámetro a. EJERCICIOS RESUELTOS 1.
= SL_ = l [ í a ! S= 2 2t 4
Hallar el área de la región sombreada.
3.
S = na2/8
Hallar el área de la reglón sombread
~q
Resolución:
Resolución:
Trazando la otra diagonal y una med Dividiendo la región sombreada en figuras co cuada: nocidas: You're Reading a Preview \ 3S Unlock full access with a free trial.
3 S \ ^ s/ s
a
K s
Download With Free Trial
Se observa que de los 12S está s 5S, luego:
Se observa que las 2 figuras A juntas repre sentan un semicírculo del diámetro a y C la cuarta parte del cuadrado de lado a. 1 \ na 2l 4
ET 4
S
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Ssomb = ^ ( S a )
4.
Useful
Ssomb = ~^2
Not useful
Hallar el área de la región sombread
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Po s t u l a n t e
Reemplazando en (1) se tendrá: 1_ _ S n| 1 - 1- - -1 - 1 12
20 Sc
Examen Diplomado Em
■■^somb —
En el AADB: mZFAD = 30° = 2mZADE
20
mZADE = 15° = m^ (~' (ángulo inscrito
9a2 20
mZABC = mAC = 30° (ángulo central
Calcular el área de la región de la corona cir cular sombreada, AB = 8: FG = 12.
Luego: J 90 S - Asector CBD - A^cbd - n6 ( 35o
S = 9(ti - 2) m2 7.
Calcular el área de la región sombrea C son centros, AO = 2.
Resolución:
You're Reading a Preview Resolución:
El área de la región sombreada es igual al Unlock full access with a free trial. área de la reglón de la corona circular mayor menos el área de la región de la corona circu Download lar limitada por las circunferencias mayor y la With Free Trial intermedia. s = nFN2 - nAM2 = rc6
■7l4
S = 20n
Calcular el área de la región s ombreada, A y B son centros, AB = 6 m.
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El fcsDCO 2 = r-/2 => r = Usefules isósceles: Not useful y mZDOC = 45° S —A cto
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Resolución:
a) b) c) d) e) 5.
mZDA B = 18° =
^
(ángulo inscrito)
mZDO B = mDB = 36°
Examen Mayo 2012
L2/3 2L2/3 2L2/5 2L2/7 L2/4
Calcular el área de la región som a = 30° yAB = 1 cm.
(ángulo central)
En el trapecio OCDB: AAfcd = Aaofb = A El área de la reglón sombreada es igual al área de la reglón del sector circular DOB. S
= A s e c to rD O B =
n ®2(
30 q ‘
)
®
=
[ " ejercicios PROPUESTOS 1 I 1.
2.
(n —/3) 2 a) -— cm2 , (2 /3 - Jl) 2 c) -----cm e)
( ti
-
(3)
b) ( 2 n - d) —2
cm2
Hallar el área de la intersección You're Reading a Preview Calcular el área de la región sombreada. cuadrados, si uno de los vértices e a) 90 Unlock full access with a free trial. del otro cuadrado. b) 100 a) 2a2/3 c) 120 Download With Free Trial b) 3a2/4 d) 150 c) a2/5 e) 180 d) a2/4 e) a2/3 ¿Qué parte es la región sombreada, de la re glón no sombreada? Sign up to vote on this title 7. Calcular el área de la región som Useful es useful de 8 cm de ABCD unNot cuadrado a) 1/3 más M, N, P. Q son puntos medio b) 3/5 dos del cuadrado. c) 2/3
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C olección E l P o s t u l a n t e
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9.
Calcular el área de la región sombreada, sa biendo que el área del hexágono regular es 180 cm2, a) b) c) d) e)
40 45 50 55 60
cm2 cm2 cm2 cm2 cm2
120 130 140 150 180
cm2 cm2 cm2 cm2 cm2
12 15 16 18 19
m2 m2 m2 m2 m2
15. Hallar el área de la región sombreada, cuadrado ABCD de lado L.
10. Calcular el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD, sabiendo que la suma de las áreas de las regiones no sombreadas es 100 cm2. a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
^
D
a) b) c) d) e)
2L2/5 L2/3 2L2/3 3L2/5 L2/2
16. Calcular el área de la región sombr sabiendo que es un hexágono regular cada uno de los triángulos equilátero sombreados, son congruentes entre sí, t por área 2 /3 m2.
11. Calc ular el área de la reglón sombreada: a) 12 m2 b) 24 m2 You're Reading a Preview a) 3n/2 c) 3/3 m2 Unlock full access with ad)free trial.m2 b) 4n/3 6/3 c) 5tt/2 e) 12/3 m2 d) 6rt/5 Download With Free Trial 17. En un paralelogramo ABCD de área 48 e) 7n/3 traza AM (M es punto medio de CD) y l 12. Sabiendo que cada vértice de los cuadrados gonal BD cortándose ambos es P. Calc inscritos son puntos medios de los lados del área del triángulo PDM. cuadrado anterior, se pide calcular el área del Sign up to vote on this title cuadrado sombreado. a) 8 m2 b) 12 m2 c) 4 Useful Not useful d) 3 m2 e) 2 m2 a) L2/2 / \ b) L2/3 18. Si: A^ rau
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Ra z o n a m i e n t o M a t e m
1. 2. 3. 4.
b e b a
5. 6. 7. 8.
a d b a
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
d d c d
El lado del cuadrado mide 1, halla la región sombreada.
17. c 18. d 19. c
d c a e
a) (n—2)12 b) t: -2 c) 2ti -1 d) 2n e) ti
[ " ejercicios PROPUESTOS 2 I 6. 1.
¿Qué porcentaje del área del círculo repre senta el de la reglón sombreada?
Siendo M y N los puntos medios d SR y RT del paralelogramo SRTQ que el área de la región sombread I. El doble de x. II. El doble de y. III. Igual a (x + y). Son verdaderos:
a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II Hallar la razón del área de la región som breada al área de la reglón no sombreada; e) Todas You're Reading a Preview M y N son puntos medios de los lados del El área sombreada es aproximada cuadrado. Unlock full access with a free trial.
a) 26,8% d) 49,8% 2.
a) 3/7 b) 2/7 c) 1/6 d) 2/3 e) 1/3 3.
c) 42%
b) 33,3% e) 50%
M
a) 0.69I-2 Download With Free Trial b) 0,5351^ c) 0.45I-2 d) 0,21 r2 e) r2
El área del cuadrado es igual a 1; halla r el área sombreada: a) 4-2 n b) (4-2n)/2
Calcular el área si se Sign up to vote on thissombreada title
área del Useful Not usefules Igual a 80. el cuadrado a) 60 b) 50
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Hallar el área de la reglón sombreada.
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15. Hallar el área de la región sombreada: a) 4n b) 9 ti c) 2 57i d) 16n e) 36tl
d) 96
Examen Mayo 2012
R= 18 g
g
16. Hallar el área de la reglón sombreada.
e) 42
a) 44 b) 36 c) 16 d) 52 e) 80
Determine el valor del área sombreada si las cuatro circunferencias tienen un radio igual a 2.
17. Hallar el área de la reglón sombreada. a) 6 c) 14 b) 8 e) 18 c) 5 d) 4 12. Indicar qué porcentaje del área del cuadrado You're Reading ae)Preview 2 representa el área de la región sombreada. a) d)
10 16
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%
Unlock full access a free trial. 18.withHallar el área
Download With Free Trial
13. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si el radio del círculo ma yor es a. a) a2 b) 2a2
de la región sombreada.
Sign up to vote this title a) 1,14 b)on 2,28 e) Not3,02 useful d) 2,72 Useful
19.
c) 3,62
Hallar el perímetro de la región sombread
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CRIPTO ARITMÉTICA Sheet Music
Resolución:
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
Pord ato:
S I: a4b - 3c7 = c8c, calcular: abe
Restando:
Resolución:
Dándole la forma 3.a 4 3 c a
Multiplicando por 9: 18( mnp) = ...4 .-. suma = 10
de adición 1.a 2.a 4 4 7 + c 8 c 4 b
5.
Sea: 21 ab + 24ab + 27ab + ... + 69ab = xyz63 calcular: (a + b - x - y - z ) Resolución:
n.° de términos: ^ ~ 3 Operando:
Sea: (abe) abe = 3038, hallar: a2 Resolución:
De la 1,a y 2.a columnas: 7 + c > 1 0 =>c = 5 c = 5; b = 2; a = 9 (9)(2)(5) = 90 2.
Descomponiendo en factores: (ábe) abe = 1(2)(7)(7)(31) 217 Ordenando: (ábe) abe = (217)(2)(1 )(7) de donde: abe = 217 .-. 22 + 12 + 72 = 54
Si: x6xxx5 - abede = edeba calcular: aa + bb + cc + dd + ee You're Reading a Preview
= 17
Resolución:
|Ü Q 2..±-6gP0 | ( i7 ) + (i7)(ab) = xyi63
Dándole Unlock full access with a free trial.
3.
19(mnp) = ...892 17(mñp) = ...956 2mnp) = ...936
la forma de adición: d e a b e e d c b a 6 x x x 5
76 500 + (17)(ab) = xyz63 =» i b = 39 Download With Free Trial JSÍT x 77 163 = xyz63 De la 5.a columna: .-. 3 + 9 - 7 - 7 - 1 = - 3 10 < a + e <20 =» x == 1 luego: a + e = 15 Si el producto medu x 999 term ina en 2471, Sign up to vote on this title d + b = 10 calcular el valor de: m + c + d + u c +Not c =useful 10 Useful Resolución: c=5 Por dato: medu x 999 = ... 2471 Nos piden: aa + bb + cc + dd +
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*
x
2
De: UÑI x 468 = UÑÍ x 15 6x 3 = ...8761 x 3 = ...628 .-. suma: 6 + 2 + 8= 16 11.
Si
AVE x E= 428 AVE x V = 214 AVE x A = 856
hallar: EVA xÁVE
6 2
5
7
(9) 2
3 © x © *-1
©
©
© i=
© ©
©
6
©
©
2
Resolución:
Colocando en forma vertical lo que nos pid
Resolución:
© ©
AV Ex A— AVE x V —► AVE x E —>4 4 .-. 45 796
A V E x E V A 8 5 6 + 2 1 4 2 8 5 7 9 6
5 -1
2a debe terminar en 6 y como par => a = 3 .-. suma = 72
9.
Resolución:
Cada asterisco representa una cifra. Hallar la suma de todas las cifras desconocidas, si el multiplicando es el mayor posible. 7
Examen Mayo 2012
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de donde: abe = V226 576 abe = 476 .-.4 + 7 + 6 = 17 8.
Examen Diplomado Em
12. Si: RAMO x 4 = OMAR, calcular: A + M + O debeYou're ser imReading a Preview Resolución:
Unlock full access withDe: a free trial. RAMO
x 4_ Hallar la suma de cifras del producto en: Download With Free TrialOMAR * * x En el multiplicando: 9 8 * * 4 x R + ... = 0 => R = 1 A R = 2
Resolución:
Observando y analizando tenemos que: 8 x ** = ** => n.° de 2 cifras
Pero en el producto: O x 4 Sign = ...upRto=>vote R es luego on par, this title R = 2 y 0 = 8 , además que: Useful Not useful 4 x A + ... = M=» A = 1 (ya que A AR 4 x M + 3 = ...1 =» M = 7
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En la siguiente multiplicación, todos los aste riscos son números primos. Calcule la suma de cifras del producto. a) b) c) d) e)
3.
Estado de Resultado 2016
18 20 16 14 15
a) d)
c) 28
54 64 60 62 68
*
*
6 4
» x *
*
*
*
31 32 33 29
—
.. ^ # ’ !" ^7 8
Calcular la suma de las cifras del cociente,
Cuando Slepy estuvo en los Esta envió una carta a su padre requiri ro; como no quería que su mamá de cuánto dinero necesitaba y a nente posibilidad de que leyera e decidió hacer la petición en clave guridad de que el señor la interpre tamente. El telegrama decía: SEND + M O RE M O N EY
Obs.: cada letra representa un díg ¿Cuánto dinero (MONEY) necesi Dar como respuesta la suma de s a) 10 d) 14
b) 18 e) 19
En la siguiente multiplicación, ca de las cifras que reemplazan a los
3 * * 2 You're Reading a Previewa) b) 4 . 5 . 0 Unlock full access with a free trial. c) d) Calcular la suma de cifras del dividendo luego Download With Free Triale) de reconstruir la siguiente división: b) c) d) e)
6.
b) 20 e) 26
Calcule la suma de los números que repre sentan cada asteriscos: a) b) c) d) e)
5.
16 32
Examen Mayo 2012
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Si: a + b + c + d = ^1m2 5; a, b, c, d e Z +, calcule la suma de cifras de K: K = abed + beda + edab + dabe
4.
Examen Diplomado Em
89 90
* * * *
------------------- -------
9"! 92 88
* * u
z
*
2 * » »* * »* . . * » 1 8 9
10. En la siguiente división, calcular las cifras del dividendo. a) 18
2 * * *|»* * * * * Signb)up21to vote on this title ' * * Useful c) 22 Not useful, 8 d) 20 777 e) 16 5_*_ ------
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a) 10 d) 13 13. Si:
of 107
b) 12 e)
IG A+ M1 M
G I
G6 2
c) 11
a) 24 d) 29
b) e)
a) 7 d) 10 19.
26 c) 18 30
14. Si: AA + BB = CBC, calcular: A x B x C a) 15 d) 20
b) e)
14 c) 16 18
15. Sabiendo que: CCÁ + BBA = *C AA calcular la suma de cifras del resultado. a) 10 d)
b)5 2e)
c) 8 7
16. Sabiendo que: N = 5: R > D TRES + DOS CINCO
17.
Determine el valor de cada símbolo. Dé respuesta la suma de cifras de su produ
15
calcular: A + M + l + G + A ; M # 0 .
Examen Mayo 2012
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_____________
A M I
Examen Diplomado Em
b) 9 e) 15
En la siguiente multiplicación, todos los riscos son números primos. Calcule la de cifras del producto total. a) 20 b) 24 c) 22 d) 23 0^ 24
* » » x Í_J1 * • * 2 * ** * * ** * *
20. Si: VASO + TOPE = VAPOR, además, tras diferentes le corresponden cifras dif tes, calcule: V + A + P + O + R a) 21 d) 12
b) 16 e) 10
21.a Preview Si: You're Reading Unlock full access with a free trial.
I c o
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I c o
¡ c
1 C B
calcular: —+ — C
a) 5 d) 13
a) 4 b) 2 d) Sign up to vote on 8e)6 this title
SI: GGG + OOO + LLL = 2553 calcular: G x O x L
c) 11
c) 14
A 6 o l 5 3 o 7 C A
dar como respuesta el valor de la suma de las cifras de CINCO. b) 14 e) 15
c) 8
c)
useful Useful Not 22. Calcule el máximo valor de CTON, si
que: COSR + SENR = PTAN(P + 1)
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