Rangkuman Bab 4 tentang Metode Respons Spektrum untuk Analisis Seismik Gempa

RANGKUMAN BAB 4 TENTANG METODE RESPONS SPEKTRUM UNTUK ANALISIS SEISMIK GEMPA Tugas VII (UAS) – Dinamika Struktur II (B)

Dosen pengampu:

Yoyok Setyo Hadiwidodo, S.T., M.T., Ph.D. Disusun oleh:

KELOMPOK 07 Dhimas Dwi K. R. Elyas Nur Fridayana Febrian Tegar W. Jamhari Hidayat B. M.

4313100034 4313100122 4313100124 4313100149

Jurusan Teknik Kelautan Fakultas Teknologi Kelautan Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2017

1

Contoh 4.1 (hal. 111) Perhatikan sistem SDOF dengan massa, m = 2 × 103 kg, kekakuan, k = 60 kN/m dan redaman, c = 0,44 kN.s/m. Dengan menggunakan spektrum respons El-Centro, gempa tahun 1940, hitung (a) Perpindahan relatif maksimum, (b) Base shear maksimum, dan (c) Energi regangan maksimum.

Jawaban Rasio frekuensi, waktu dan redaman alami dari sistem SDOF adalah 𝟔𝟎𝒙𝟏𝟎𝟑

𝒌

𝝎𝟎 = √𝒎 = √ 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑 = 𝟓. 𝟒𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒅𝒆𝒕𝒊𝒌 𝟐𝝅

𝑻𝟎 = 𝝎 = 𝟏. 𝟏𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝟎

𝟎.𝟒𝟒𝒙𝟏𝟎𝟑

𝒄

𝝃 = 𝟐𝒎𝝎 = 𝟎

𝟐𝒙𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑 𝒙𝟓.𝟒𝟖

= 𝟎. 𝟎𝟐

Dari kurva spektrum respons El-Centro, gerakan tanah gempa 1940 untuk periode waktu 1,15 detik dan rasio redaman 0,02 adalah: Sd = 0.11147 m dan Sa = 3.321 m/s2 (a) Maksimum displacement 𝐱 𝐦𝐚𝐱 = 𝐒𝐝 = 𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟕 𝐦𝐦 atau 𝐒

𝐱 𝐦𝐚𝐱 = 𝛚𝐚𝟐 = 𝟎

𝟑.𝟑𝟐𝟏 𝟓.𝟒𝟖𝟐

= 𝟎. 𝟏𝟏𝟎𝟓𝟓 𝐦 = 𝟏𝟏𝟎. 𝟓𝟓 𝐦𝐦

(b) Maksimum base shear 𝐕𝐦𝐚𝐱 = 𝐦𝐒𝐚 = 𝟐 𝐱 𝟏𝟎𝟑 𝐱 𝟑. 𝟑𝟐𝟏 = 𝟔. 𝟔𝟒 𝐤𝐍 atau TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 2

𝐕𝐦𝐚𝐱 = 𝐤𝐱 𝐦𝐚𝐱 = 𝟔𝟎𝐱𝟏𝟎𝟑 𝐱𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟒𝟕 = 𝟔. 𝟔𝟖𝟖 𝐤𝐍 (c) Maksimum strain energy 𝟏

𝟏

𝐄𝐦𝐚𝐱 = 𝟐 𝐤𝐱 𝐦𝐚𝐱 𝟐 = 𝟐 𝐱 𝟔𝟎 𝐱 𝟏𝟎𝟑 𝐱 (𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟒𝟕)𝟐 = 𝟑𝟕𝟐. 𝟕𝟔 𝐍. 𝐦

TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 3

Contoh 4.2 (hal. 112) Plot spektrum respons percepatan pseudo untuk akselerasi gempa yang dinyatakan sebagai berikut: ̅ 𝐭) = 𝟎, 𝟓𝐠 𝐬𝐢𝐧 (𝟏𝟎𝐭) 𝐱̈ 𝐠 (𝐭) = 𝐱̈ 𝐠 𝐬𝐢𝐧(𝛚

Jawaban Menggunakan analisis domain waktu (Integral Duhamel) 𝐭

𝐱(𝐭) = − ∫ 𝐡 (𝐭 − 𝛕)𝐱̈ 𝐠 (𝛕)𝐝𝛕 𝟎

Dimana, 𝐞−𝛏𝛚𝟎 (𝐭−𝛕) 𝐡(𝐭 − 𝛕) = 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐝 𝐭) 𝛚𝐝 ̅ 𝐭) 𝐱̈ 𝐠 (𝐭) = 𝐱̈ 𝟎 𝐬𝐢𝐧(𝛚 Mengintegrasikan, 𝐱(𝐭) =

𝐱̈ 𝟎 𝟏 ̅ 𝐭) − 𝛉) 𝐬𝐢𝐧((𝛚 𝟐 𝟐 𝟐 𝛚𝟎 (𝟏 − 𝛃 ) + (𝟐𝛏𝛃)𝟐 ̅ 𝛚

𝟐𝛏𝛃

Dimana 𝛃 = 𝛚 dan 𝛉 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝟏−𝛃𝟐 ) 𝟎

Spektrum displacement diberikan oleh

Spektrum percepatan Pseudo diberikan oleh

Spektrum respons yang dibutuhkan diplot pada gambar bawah untuk rasio redaman 2%, 5%, dan 10%.



Contoh 4.3 (hal. 114) Plot respons spektrum akselerasi pseudo dari gerakan tanah diberikan oleh dimana ‘δ’ adalah fungsi delta Dirac. Asumsi durasi percepatan sebesar 30 detik.

Jawaban Menggunakan integral Duhamel, displacement dari sistem adalah (i.e. persamaan

Duhamel

), 𝐭

𝐱(𝐭) = − ∫ 𝟎

𝐞−𝛏𝛚𝟎 (𝐭−𝛕) 𝐬𝐢𝐧𝛚𝐝 (𝐭 − 𝛕)𝐜𝟎 𝛅(𝐭 − 𝛕)𝐝𝛕 𝛚𝐝

= −𝐜𝟎 [ =−

𝐞−𝛏𝛚𝟎 (𝐭−𝛕) 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐝 (𝐭 − 𝛕)] 𝛚𝐝 𝛕=𝟐

𝐜𝟎 −𝛏𝛚 (𝐭−𝛕) 𝐞 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐) 𝛚𝐝

Untuk displacement maksimal

𝟎=−

𝐜𝟎 [−𝛏𝛚𝟎 𝐞−𝛏𝛚𝟎(𝐭−𝟐) 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐) + 𝐞−𝛏𝛚𝟎 (𝐭−𝟐) 𝛚𝐝 𝐜𝐨𝐬𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐)] 𝛚𝐝

𝟎 = −𝐜𝟎 𝐞−𝛏𝛚𝟎 (𝐭−𝟐) [−𝛏𝛚𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐) + 𝛚𝐝 𝐜𝐨𝐬𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐)] −𝛏𝛚𝟎 𝐬𝐢𝐧 (𝐭 − 𝟐) + 𝛚𝐝 𝐜𝐨𝐬𝛚𝐝 (𝐭 − 𝟐) = 𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝛚𝟎 (𝐭 − 𝟐) =

√𝟏 − 𝛏𝟐 𝛚𝐝 = 𝛏𝛚𝟎 𝛏

Sehingga, waktu tm pada displacement maksimum terjadi adalah 𝛚𝐝 (𝐭 𝐦 − 𝟐) = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (

√𝟏 − 𝛏𝟐 ) 𝛏

dan tersirat dari gambar bawah bahwa, 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐝 (𝐭 𝐦 − 𝟐)) = √𝟏 − 𝛏𝟐


displacement maksimal akan diberikan oleh 𝐱 𝐦𝐚𝐱 = − =−

𝐜𝟎 −𝛏𝛚 (𝐭 −𝟐) 𝐞 𝟎 𝐦 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐝 (𝐭 𝐦 − 𝟐) 𝛚𝐝

√𝟏 − 𝝃𝟐 𝒄𝟎 𝟏 𝒆𝒙𝒑 [−𝝃𝝎𝟎 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( )] ×√𝟏 − 𝝃𝟐 𝝎𝒅 𝝎𝒅 𝝃

subtitusi untuk 𝛚𝐝 = 𝛚𝟎 √𝟏 − 𝛏𝟐 dan sederhanakan 𝐱 𝐦𝐚𝐱 = −

√𝟏 − 𝛏𝟐 𝐜𝟎 𝛏 𝐞𝐱𝐩 [− 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( )] 𝛚𝐝 𝛏 √𝟏 − 𝛏𝟐

Spektrum displacement diberikan oleh 𝐒𝐝 = |𝐱 𝐦𝐚𝐱 | = −

√𝟏 − 𝛏𝟐 𝐜𝟎 𝛏 𝐞𝐱𝐩 [− 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( )] 𝛚𝐝 𝛏 √𝟏 − 𝛏𝟐

Spektrum percepatan Paeudo diekspresikan sebagai 𝐒𝐩𝐚 = 𝛚𝟎 𝟐 𝐒𝐝 𝐒𝐩𝐚 = 𝐜𝟎 𝛚𝟎 𝐞𝐱𝐩 [−

𝛏 √𝟏 − 𝛏𝟐

𝐭𝐚𝐧−𝟏 (

√𝟏 − 𝛏𝟐 )] 𝛏


Contoh 4.4 (hal. 121) Bangunan berlantai dua dimodelkan sebagai sistem 2 Derajat Kebebasan dan lantai yang kaku seperti yang ditunjukkan pada gambar dibawah. Tentukan displacement maksimum lantai atas dan geser pada dasar karena El-Centro, gerakan tanah gempa 1940 menggunakan metode spektrum respons. Ambil kekakuan antar lantai, k = 197.392 × 103 N/m dan massa lantai, m = 2500 kg dan rasio redaman 2%.

Jawaban Massa tiap-tiap lantai, m = 2500 kg and kekakuan, k = 197.392 kN/m sehingga, 𝟑𝐤 Matrix kekakuan = [𝐤] = [ −𝐤

−𝐤 ] 𝐤

𝟓𝟎𝟎𝟎 matrix massa = [𝐦] = [ 𝟎

𝟎 ] 𝟐𝟓𝟎𝟎

Dan

Gunakan eigen values dan eigen vector menggunakan persamaan berikut, {[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}𝛟𝐢 = 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝐧 𝐝𝐞𝐭|{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}| = 𝟎 , nilai eigen dan vector eigen dapat diperoleh sebagi berikut 1 = 6.283 rad/sec dan 2 =12.566 rad/sec. [𝛟𝟏 ] = [𝟎. 𝟓] , dan [𝛟𝟏 ] = [−𝟏] 𝟏 𝟏


Faktor partisipasi modal diberikan oleh {𝛟𝐢 }𝐓 {𝐦}{𝐫} 𝚪𝐢 = {𝛟𝐢 }𝐓 {𝐦}{𝛟𝐢 } 𝟎 𝟏 [𝟎. 𝟓 𝟏] [𝟓𝟎𝟎𝟎 ]{ } {𝛟𝟏 }𝐓 {𝐦}{𝐫} 𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟑 𝟎 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝚪𝟏 = = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎. 𝟓 {𝛟𝟏 }𝐓 {𝐦}{𝛟𝟏 } [ ][ ] 𝟎. 𝟓 𝟏] [ 𝟎 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝟏 Demikian pula 𝟎 𝟏 [−𝟏 𝟏] [𝟓𝟎𝟎𝟎 ]{ } {𝝓𝟐 }𝑻 {𝒎}{𝒓} 𝟏 = −𝟎. 𝟑𝟑𝟑 𝟎 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝚪𝟐 = = −𝟏 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟎 {𝝓𝟐 }𝑻 {𝒎}{𝝓𝟐 } [ ][ ] −𝟏 𝟏] [ 𝟎 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝟏 Respon Mode Pertama 𝟐𝛑 𝟐𝛑 𝐓𝟏 = = = 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝛚𝟏 𝟔. 𝟐𝟖𝟑 𝛏 = 𝟎. 𝟎𝟐 Dari spektrum respons, 𝐒𝐚𝟏 = 𝟔. 𝟏𝟕

𝐦 𝐬𝟐

dan 𝐒𝐝𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑 𝐦

Displacement lantai atas

= 𝚪𝟏 ×𝝓𝟐𝟏 ×𝑺𝒅𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑×𝟏×𝟎. 𝟏𝟓𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟒 𝐦

Tegangan geser dasar = 𝟐𝐤 ×𝝓𝟏𝟏 × 𝚪𝟏 ×𝑺𝒅𝟏 = 𝟐×𝟏𝟗𝟕. 𝟑𝟗𝟐×𝟏𝟎𝟑 ×𝟎. 𝟓×𝟏. 𝟑𝟑×𝟎. 𝟏𝟓𝟑 = 𝟒𝟎. 𝟏𝟔 𝐤𝐍 Respon Mode Kedua 𝟐𝛑 𝟐𝛑 𝐓𝟐 = = = 𝟎. 𝟓 𝐬𝐞𝐜 𝛚𝟐 𝟏𝟐. 𝟓𝟔𝟔 𝛏 = 𝟎. 𝟎𝟐 Dari spektrum respons, 𝐦

𝐒𝐚𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟓𝟖𝟐 𝐬𝟐 dan 𝐒𝐝𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟓 𝐦 Displacement lantai atas

= 𝚪𝟐 ×𝝓𝟐𝟐 ×𝑺𝒅𝟐 = −𝟎. 𝟑𝟑𝟑 ×𝟏×𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟓 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟒 𝒎

Tegangan geser dasar = 𝟐𝐤 ×𝝓𝟏𝟐 × 𝚪𝟐 ×𝑺𝒅𝟐 = 𝟏𝟗𝟕. 𝟑𝟗𝟐×𝟏𝟎𝟑 ×𝟏×−𝟎. 𝟑𝟑𝟑×𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟓 = −𝟖. 𝟔𝟓𝟐 𝐤𝐍 TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 9

Mode

Displacement lantai atas (m)

Geser dasar (kN)

1

0.204

40.16

2

-0.0214

-8.652

SRSS

0.2052

41.08

Respon eksak

0.202

40.72


Contoh 4.5 (hal. 124) Sebuah struktur industri dimodelkan dengan sistem 2-DOF yang ditunjukkan pada gambar bawah. Tentukan lateral displacement, base shear, dan base moment dari struktur berdasarkan El-Centro, gerakan tanah gempa tahun 1940 menggunakan metode respons spektrum dengan El =80 × 103 Nm2, L= 2 m, m1= 100 kg, dan m2= 200 kg.

Jawaban Diberikan massa, m1 = 100 kg, m2= 200 kg, L = 2 m, EI = 80x103 Nm2 Matriks kekakuan dan matriks massa dari sistem MDOF di atas adalah

Cari eigen values dan eigen vector menggunakan persamaan berikut, {[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}𝛟𝐢 = 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝐧 𝐝𝐞𝐭|{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}| = 𝟎 Keterangan, i2= nilai eigen pada mode ke ith ϕi = nilai vektor eigen atau mode shape pada mode ke ith i = frekuensi natural pada mode ke ith 1 = 5.4925 rad/s; 2 = 16.856 rad/s


Faktor partisipasi modal

Respons 1st Mode

Dari kurva spektrum respons El-Centro pada gambar di atas,

Lateral Displacement


Gaya vektor

Base Shear = 210.15 N Base Moment = 2 x (210.15+324.3) = 1068.9 Nm

Respons 2nd Mode

Dari kurva spektrum respons El-Centro pada gambar di atas,

Lateral Displacement

Gaya vektor

Base Shear = 2272 N Base moment = 2 x (2272 – 981.6) = 2580.8 Nm


Puncak Respons menggunakan aturan kombinasi metode SRSS (Square Root of Sum Squares) dan CQC (Complete Quadratic Combination) dirangkum di bawah ini dari keseluruhan perhitungan di atas: Lateral Displacement (mm)

Base Shear (N)

Base Moment (N.m)

Mode 1

23

210.15

1068.9

Mode 2

26.9

2272

2580.8

SRSS

35.4

2281.7

2793.4

CQC

35.5

2290

2798


Contoh 4.6 (hal. 127) Sebuah sistem 2-DOF mengalami gempa eksitasi dengan respons spektrum di bawah ini. Kekakuan lentur, EI = 106 Nm2 dan L = 2 m. Masing-masing massa 10kg. Tentukan maksimum displacement dan base shear pada lantai atas dengan 2% redaman di tiap getaran.

Jawaban Diberikan, EI = 106 Nm2 , m = 100kg dan L = 2m. Matriks fleksibilitas struktur

Matriks stiffness

Eigen values dan eigen vector


Dengan

Maka,

Ketika menyubstitusi λ, frekuensi natural dari sistem akan menjadi ω1 = 20.64 rad/sec : T1 = 0.3044 sec ω2 = 137.33 rad/sec : T2 = 0.04575 sec Ketika

menyubstitusi,

ω2

ke

dalam

persamaan

{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}𝛟𝐢 = 𝟎, 𝐢 =

𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝐧 → 𝐝𝐞𝐭|{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}| = 𝟎, dalam persamaan eigen vector didapatkan

Faktor partisipasi modal


Respons 1st Mode T1 = 0.3044sec Dari kurva respons spektrum

Base Shear = (100 + 312.04) 0.383 x 0.298 x 9.81 = 461.34N Respons 2nd Mode T2 = 0.04575sec Dari respons spektrum

Base shear = 100 x 0.68 x 0.616 x 0.138 x 9.81 = 56.7N Respons terakhir dari Metode SRSS Top mass displacement = 8.2 x 10-3m Base Shear = 464.8 N


Contoh 4.7 (hal. 130) Bangunan bertingkat tiga dimodelkan sebagai sistem 3-DOF dan lantai yang kaku seperti yang ditunjukkan pada gambar bawah. Tentukan pemindahan maksimum lantai atas dan dasar geser karena El-Centro, gerakan tanah gempa tahun 1940 menggunakan metode spektrum respons. Ambillah kekakuan lateral lantai dua lantai yaitu k1 = k2 = k3 = 16357.5 x 103 N/m dan massa lantai m1 = m2 = 10000 kg dan m3 = 5000 kg.

Jawaban Matriks massa dari struktur 𝐦𝟏 [𝐦] = [ 𝟎 𝟎

𝟎 𝐦𝟐 𝟎

𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ]=[ 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎 ] 𝐦𝟑 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

Serta matriks kekakuan struktur 𝐤𝟏 + 𝐤𝟐 [𝐤] = [ −𝐤 𝟐 𝟎

−𝐤 𝟐 𝐤𝟐 + 𝐤𝟑 −𝐤 𝟑

𝟎 𝟑𝟐𝟕𝟏𝟓 −𝐤 𝟑 ] [−𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓 𝐤𝟑 𝟎

−𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓 𝟑𝟐𝟕𝟏𝟓 −𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓

𝟎 −𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓] 𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓

Kemudian mencari eigen value dan eigen vector dengan persamaan berikut, {[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}𝛟𝐢 = 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝐧 𝐝𝐞𝐭|{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}| = 𝟎 Keterangan, i2= nilai eigen pada mode ke ith ϕi = nilai vektor eigen atau mode shape pada mode ke ith i = frekuensi natural pada mode ke ith


𝟐 −𝟏 𝐝𝐞𝐭 |𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓𝐱𝟏𝟎𝟑 [−𝟐 𝟐 − 𝟐𝛌 𝟎 −𝟏

𝟎 𝟐 𝟐 ] − 𝛚 𝐱𝟓𝟎𝟎𝟎 [ 𝟎 𝟎 𝟏−𝛌 𝟎

𝟎 𝟐 𝟎

𝟎 𝟎]| = 𝟎 𝟏

𝛚𝟐 𝐱𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟔𝟑𝟓𝟕. 𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟑 (𝟐 − 𝟐𝛌)[(𝟐 − 𝟐𝛌)(𝟏 − 𝛌) − 𝟏] + [−𝟏 + 𝛌] = 𝟎 𝛌=

(𝟐 − 𝟐𝛌)[𝟐 − 𝟐𝛌 − 𝟐𝛌 + 𝟐𝛌𝟐 − 𝟏] − 𝟏 + 𝛌 = 𝟎 𝟐 − 𝟐𝛌[𝟐𝛌𝟐 − 𝟒𝛌 + 𝟏] + 𝛌 − 𝟏 = 𝟎 𝟒𝛌𝟐 − 𝟖𝛌 + 𝟐 − 𝟒𝛌𝟑 + 𝟐𝛌 + 𝛌 − 𝟏 = 𝟎 −𝟒𝛌𝟑 − 𝟏𝟐𝛌𝟐 − 𝟗𝛌 + 𝟏 = 𝟎 𝛌𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟒;

𝛌𝟐 = 𝟏;

𝛌𝟑 = 𝟏. 𝟖𝟔𝟔

Menyiratkan bahwa, ω1= 20.937 rad/s; ω2= 57.2 rad/s; ω3=78.13 rad/s kemudian, persamaan karakteristik pengganti 𝜔2 For 1st Mode 𝝓𝟏𝟏 𝟐 − 𝟐𝒙𝟎. 𝟏𝟑𝟒 −𝟏 𝟎 [ ] [𝝓𝟐𝟏 ] = 𝟎 −𝟏 𝟐 − 𝟐𝒙𝟎. 𝟏𝟑𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟑𝟒 𝝓𝟑𝟏 Mengasumsikan 𝛟𝟏𝟏 = 𝟏, 2 – 2 x 0.134=𝛟𝟐𝟏 𝛟𝟐𝟏 =1.732 dan 𝛟𝟑𝟏 =2.0 𝟏 {𝛟𝟏 } = {𝟏. 𝟕𝟑𝟐} 𝟐. 𝟎 For 2nd Mode 𝟐−𝟐 [ −𝟏 𝟎

−𝟏 𝟐−𝟐 −𝟏

𝛟𝟏𝟐 𝟎 −𝟏 ] [𝛟𝟐𝟐 ] = 𝟎 𝟏 − 𝟏 𝛟𝟑𝟐

𝟏 {𝛟𝟐 } = {𝟎} 𝟏 For 3rd Mode 𝟐 − 𝟐 𝐱 𝟏. 𝟖𝟔𝟔 −𝟏 [ −𝟏 𝟐 − 𝟐 𝐱 𝟏. 𝟖𝟔𝟔 𝟎 −𝟏

𝛟𝟏𝟑 𝟎 ] [𝛟𝟐𝟑 ] = 𝟎 −𝟏 𝟏 − 𝟏. 𝟖𝟔𝟔 𝛟𝟑𝟑


𝟏 {𝛟𝟑 } = {−𝟏. 𝟕𝟑𝟑} 𝟐. 𝟎 𝟏 Pengaruh faktor koefisien adalah sebagaimana berikut: {𝒓} = {𝟏} 𝟏 Faktor partisipasi modal {𝛉 }𝛕 {𝐦}{𝐫}

𝚪𝟏 = {𝛟 𝟏}𝛕 {𝐦}{𝛟} = 𝟏

𝟐 𝟏.𝟕𝟑𝟑 𝟐] 𝐱 𝟓𝟎𝟎𝟎[𝟎 𝟎 𝟐 𝟎 [𝟏 𝟏.𝟕𝟑𝟑 𝟐] 𝐱 𝟓𝟎𝟎𝟎[𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 [𝟏

𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎][𝟏] 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎][𝟏.𝟕𝟑𝟑] 𝟏 𝟐

𝚪𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟐 begitu juga dengan, 𝚪𝟐 =

{𝛉𝟏 }𝛕 {𝐦}{𝐫} = 𝟎. 𝟑𝟑𝟑 {𝛟𝟏 }𝛕 {𝐦}{𝛟}

𝚪𝟑 =

{𝛉𝟏 }𝛕 {𝐦}{𝐫} = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 {𝛟𝟏 }𝛕 {𝐦}{𝛟}

Respons 1st Mode 𝟐𝛑

𝟐𝛑

𝐓𝟏 = 𝛚 = 𝟐𝟎.𝟗𝟑𝟕 = 𝟎. 𝟑𝟎 𝐬𝐞𝐜 𝟏

𝛏𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟐 Dari spektrum respons diketahui, 𝐒𝐝𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟎𝟐 Displacement lantai atas

= 𝚪𝟏 𝐱 𝛟𝟑𝟏 𝐱 𝐒𝐝𝟏 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟐𝟐 𝐱 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟎𝟐 = 0.0236 m

Base shear

= 𝐤 𝐱 𝛉𝟏𝟏 𝐱 𝚪𝟏 𝐱 𝐒𝐝𝟏 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟓𝟕 𝐱 𝟏𝟎𝟔 x 1 x 0.622 x 0.01902 = 193 kN

Respons 2nd Mode 𝟐𝛑

𝐓𝟐 = 𝟓𝟕,.𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝛏𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟐 Dari spektrum respons diketahui, 𝐒𝐝𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟑𝟏 𝐦 Displacement lantai atas

= 𝚪𝟐 𝐱 𝛟𝟏𝟐 𝐱 𝐒𝐝𝟐 = 𝟏 𝐱 𝟎. 𝟑𝟑𝟑 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟑𝟏 = 0.0236 m

Base shear

= 𝐤 𝐱 𝛉𝟏𝟐 𝐱 𝚪𝟐 𝐱 𝐒𝐝𝟐 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟓𝟕 𝐱 𝟏𝟎𝟔 x 1 x 0.333 x 0.00231 = 12.58 kN TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 20

Respons 3rd Mode 𝟐𝛑

𝐓𝟑 = 𝟕𝟖.𝟏𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟖 𝐬𝐞𝐜 𝛏𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟐 Dari spektrum respons diketahui, 𝐒𝐝𝟑 = 𝟗. 𝟕𝟕 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 𝐦 Displacement lantai atas

= 𝚪𝟑 𝐱 𝛟𝟑𝟑 𝐱 𝐒𝐝𝟑 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 𝐱 𝟗. 𝟕𝟕 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 = 8.793 x 10-3 m

Base shear

= 𝐤 𝐱 𝛉𝟏𝟑 𝐱 𝚪𝟑 𝐱 𝐒𝐝𝟑 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟓𝟕 𝐱 𝟏𝟎𝟔 x 1 x 0.045 x 𝟗. 𝟕𝟕 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 = 0.719 kN

Mode

Top floor displacement (mm)

Base shear (kN)

1

23.6

193

2

-0.769

12.58

3

0.0879

0.719

SRSS

23.6

193.41

Exact Response (from time history analysis)

23.4

196.4


Contoh 4.7 (hal. 142) Bangunan RC dengan delapan lantai akan dibangun di daerah Zona Gempa ke IV yang memiliki tanah yang keras. Dimensi rencana bangunan adalah 15 m x 20 m dengan tinggi 3.6 m. Tentukan dasar gaya geser sesuai kode IS: 1893-2002 (Bagian 1). Gunakan pendekatan seismic coefficient dan response spectrum. Ambillah kekakuan lateral lantai antar lantai misal k1 = k2 = k3 = k4 = 671.52×106 N/m dan k5 = k6 = k7 = k8 = 335.76×106 N/m. Beban pada lantai diambil dengan data berikut: Location

Self Wight + Dead Load (kN/m2)

Live Load (kN/m2)

Roof

5

1.5

Floors

10

4

Jawaban Faktor zona, Z = 0.24 [Tabel 2 IS 1893 (part 1): 2002] Faktor kepentingan, I = 1.0 [Tabel 6 IS 1893 (part 1): 2002] Faktor reduksi respons, R = 3 [Tabel 7 IS 1893 (part 1): 2002] Berat seismik bangunan [Clause 7.3.1 IS 1893 (part 1): 2002] Berat seismik atap = 15 x 20 x 5 = 1500 kN Berat seismik tiap lantai

= Dead load + Sebagian kecil dari beban yang dikenakan = 15 x 20 x 10 + 0.5 x (15 x 20 x 4) = 3600 kN

Total berat seismik bangunan, W = 1500 + 7 x 3600 = 26700 kN (A) Analisis dengan Metode Koefisien Seismik Pokok periode natural, Ta = 0.075h0.75 = 0.075× (3.6×8)0.75 = 0.9324 sec Spektrum percepatan, Sa/g = 1/Ta = 1/0.9324 = 1.0725 Koefisien desain horizontal seismik, 𝐀𝐡 =

𝐙 𝐱 𝐈 𝐱 𝐒𝐚 𝟎. 𝟐𝟒 𝐱 𝟏. 𝟎 𝐱 (𝟏. 𝟎𝟕𝟐𝟓 𝐱 𝟗. 𝟖𝟏) = = 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟗 𝟐𝐱𝐑𝐱𝐠 𝟐 𝐱 𝟑 𝐱 𝟗. 𝟖𝟏

Total base shear diberikan dengan, Vb = Ah × W = 0.0429 × 26700 = 1145.42 kN Hasil perhitungan gaya lateral dengan persamaan distribusi gaya desain, 𝑾𝒊 𝒉𝟐𝒊 𝑸𝒊 = 𝒏 ∑𝒋=𝟏 𝑾𝒋 𝒉𝟐𝒋 Keterangan, TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 22

Qi = desain gaya lateral pada lantai ke ith Wi = berat seismik pada lantai ke ith hi = tinggi pada lantai ke ith yang diukur dari lantai dasar n = jumlah lantai di gedung adalah jumlah tingkat di mana massa berada ditampilkan pada tabel berikut ini untuk hasil perhitungannya: Floor/Roof

hi (m)

Wi (kN)

Wihi2/ΣWjhj2

Qi (kN)

Base Shear (kN)

Roof 7 6 5 4 3 2 1

28.8 25.2 21.6 18 14.4 10.8 7.2 3.6

1500 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600

0.16 0.294 0.216 0.15 0.096 0.054 0.024 0.006

183.27 336.75 247.41 171.81 109.96 61.85 27.49 6.87

183.27 520.02 767.43 939.25 1049.21 1111.06 1138.55 1145.42

(B) Analisis dengan Metode Respons Spektrum Matriks kekakuan (N/m) pada bangunan adalah,

Matriks massa (kg) pada bangunan adalah,


Mode-shapes dan frekuensi pada bangunan didapatkan melalui persamaan undamped eigen values dan eigen vector untuk sistem MDOF, {[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}𝛟𝐢 = 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝐧 𝐝𝐞𝐭|{[𝐤] − 𝛚𝟐𝐢 [𝐦]}| = 𝟎 Keterangan, i2= nilai eigen pada mode ke ith ϕi = nilai vektor eigen atau mode shape pada mode ke ith i = frekuensi natural pada mode ke ith ditampilkan pada tabel berikut ini untul hasil perhitugannya:

sehingga,

Periode waktunya diberikan sebagai berikut,


Faktor modal participation dengan menggunakan persamaan, ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐖𝐢 𝛗𝐢𝐤 𝐏𝐤 = 𝐧 ∑𝐢=𝟏 𝐖𝐢 𝛗𝟐𝐢𝐤 dan berikut hasilnya,

Koefisien seismik horizontal, Ak pada mode ke kth dihitung dengan,

Matriks desain beban atau gaya lateral pada lantai ith dengan mode ke kth (ie. Qik = AkϕikpkWi) diberikan sebagai berikut,

Matriks tingkat gaya geser pada tiap mode dengan persamaan Vik = ∑nj=i+1 Qik diberikan sebagai berikut,


Modal combination rules (metode SRSS) diterapkan untuk mendapatkan tingkat gaya geser diberikan sebagai berikut,

Gaya lateral kemudian kembali diperhitungkan dengan tingkat gaya geser. Contohnya seperti Qroof = Vroof dan Q7 = V7 – Vroof identik dengan Q6 = V6 – V7 dan seterusnya.

Sehingga didapatkan total gaya geser pada dasar untuk struktur yang ditopang didapatkan sebagai berikut, = 138.97 + 280.39 + 202.52 + 141.6 + 104.4 + 108.1 + 94.9 + 60.4 = 1131.26 kN Sejak perhitungan gaya geser pada dasar di atas kurang dari yang didapatkan dengan menggunakan metode koefisien seismik sebelumnya (i.e. 1145.42 kN), oleh karena itu, berdasarkan pada Clause 7.8.3 IS 1893 (part 1): 2002, perhitungan gaya geser patut dikalikan dengan faktornya sebagaimana berikut, TUGAS VII – Rangkuman Metode Respons Spektrum| 26

𝟏𝟏𝟒𝟓. 𝟒𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟏𝟑𝟏. 𝟐𝟔 Hasil perhitungan gaya lateral dan tingkat gesernya yang benar adalah,

Berikut ini adalah perbandingan hasil dari dua metode untuk mencari nilai gaya lateral dan gaya gesernya,

Floor/Roof Roof 7 6 5 4 3 2 1

Seismic Coefficient Method Qi (kN) Vi (kN) 183.27 183.27 336.75 520.02 247.41 767.43 171.81 939.25 109.96 1049.21 61.85 1111.06 27.49 1138.55 6.87 1145.42

Response Spectrum Method Qi (kN) Vi (kN) 140.70 140.71 283.89 424.50 205.05 629.55 143.37 772.93 105.70 878.66 109.45 988.09 96.08 1084.22 61.16 1145.40


REFERENSI Jangid, R. S. (t.thn.). NPTEL Civil Engineering - Introduction to Earthquake Engineering. Dipetik May 29, 2017, dari National Programme on Technology Enhanced Learning (NPTEL): http://nptel.ac.in/courses/105101004/4


Rangkuman Bab 4 tentang Metode Respons Spektrum untuk Analisis Seismik Gempa

Recommend Documents