raciocinio logico_aulasonline01 Análise Combinatória

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ACIOCÍNIO LÓGICO R ACIOCÍNIO

ROF . ADRIANO C ARIBÉ P ROF

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Raciocínio Lógico – Prof. Adriano Caribé Análise Combinatória 1. Fatorial

Dado um número natural n, n ≥ 2 , o fatorial de n (n!) é o produto de todos os números naturais de n até 1. n! = n.(n – 1).(n – 2)......

........2.1

Exemplos: 3! = 3.2.1 = 6 5! = 5.4.3.2.1 = 120 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 Observação: A definição de fatorial é feita, a principio, apenas para números maiores ou iguais a 2. Mas a Matemática também aceita os números 1! e 0! , que são definidos à parte. Por convenção, temos que: 1! = 1 e 0! = 1

Exercício: Calcule: a)

9! 8!

b)

10! 7!3!

2. Principio Multiplicativo (Principio Fundamental da Contagem)

Considere o seguinte problema: Um jovem possui três calças e duas camisas e deseja ir a uma festa. De quantas maneiras ele pode combinar a calça com a camisa? Solução: Vamos chamar as calças de A, B e C e as camisas de X e Y, podemos observar que o jovem tem as seguintes possibilidades AX, AY, BX, BY, CX e CY ou seja o jovem tem 3 x 2 = 6 possibilidades. É fácil perceber ainda que se o jovem tivesse 10 calças e 7 camisas ele teria 10 x 7 = 70 possibilidades.

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R ACIOCÍNIO LÓGICO

ARIBÉ P ROF . ADRIANO C

Exercícios: 1. Sabendo que as placas dos veículos são constituídas de 3 letras seguidas de 4 algarismos, que são 26 as letras disponíveis e 10 os algarismos, determine o número de placas diferentes que podem ser formadas.

2. Uma questão tem 6 proposições do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas um aluno pode responder a essa questão?

3. A uma reunião de condomínio comparecem 10 pessoas, sendo 6 proprietários e 4 inquilinos, para escolher(dentre estas 10) o síndico e o subsíndico. a) De quantas maneiras pode ser feita a escolha?

b) De quantas maneiras pode ser feita a escolha, sabendo que o estatuto do condomínio determina que síndico tem de ser proprietário?

c) De quantas maneiras pode ser feita a escolha, sabendo que o estatuto do condomínio determina que subsíndico tem de ser proprietário?

4. Com os algarismos do conjunto A = { 1;2;3;4;5;6;7 }, quantos números naturais..... a) ......... com 3 algarismos podemos formar ?

b) .......... com 3 algarismos distintos podemos formar ?

c) ........... pares com 3 algarismos distintos podemos formar ?

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3. Arranjos

São agrupamentos onde a ordem dos elementos é importante na formação do grupo. 3.1 Arranjo simples

Chamamos de arranjo simples de n elementos tomados p a p e indicamos por An,p , uma situação qualquer em que se dispõe de n elementos para formar arranjos de p elementos sem repetição. Exemplos: A7,3 = 7.6.5 = 210 A10,2 = 10.9 = 90 A8,4 = 8.7.6.5 = 1680 A5,5 = 5.4.3.2.1 = 120 Obs: O arranjo simples também pode ser calculado pela formula

An , p

=

n!

(n − p)!

3.2. Arranjo com repetição

Chamamos de arranjo simples de n elementos tomados p a p e indicamos por ARn,p , uma situação qualquer em que se dispõe de n elementos para formar arranjos de p elementos podendo repetir os elementos. Exemplos: AR7,3 = 7.7.7 = 343 AR10,2 = 10.10 = 100 AR3,4 = 3.3.3.3 = 81 Obs: O arranjo com repetição também pode ser calculado pela formula ARn, p

=

n

p

4. Permutações

São agrupamentos que diferem uns dos outros apenas pela ordem dos elementos. 4.1. Permutação Simples

São permutações onde não há elementos repetidos. Pn = n! (lê-se permutação de n)

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120. 4.2. Permutações com elementos repetidos

São permutações onde há elementos repetidos. α , β

Pn

3, 2

P6

=

=

n!

α !. β !

(lê-se permutação de n com α e β repetidos)

6! = 60 3!2!

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Exercício: 1. Quantos são os anagramas da palavra AUDITOR ? Anagrama significa Permutaçäo de Letras A palavra AUDITOR tem 7 letras, entao P7 = 7! = 5.040 anagramas diferentes

2. Sobre os anagramas da palavra AUDITOR responda: a) Quantos apresentam as consoantes DTR juntas nesta ordem ? DTR conta apenas como uma letra então ficaria P 5 p5 = 5! == 120 anagramas

b) Quantos apresentam as consoantes juntas ? Para DTR tem-se 120 anagramas, mas agora pode ser mudado a ordem das consoantes

vai para questao 5

p5 * p3 = 5! * 3! == 720 anagramas

3. Quantos anagramas tem as seguintes palavras: a) CASO 4 LETRAS então 4! 24 Anagramas Ex: CASO CAOS CSAO COSA COAS CSOA (os que começam com a letra C)

b) CASA

e) CAAA => Permutação de 4 elevado a 3 => 4! / 3! = 4 anagramas

Tem letras repetidas Permutação de 4 elevado a 2 = 4! / 2! Total de 12 anagras

f) CACA => P4 elevado a 2, 2 ==> 4! / (2! * 2!) = 24 / 4 = 6 anagramas

c) BIRUTA Tem 6 letras P6 = 6! => 720 anagramas

d) BANANA Tem 6 letras, mas tem letras repetidas (3 l etras a) e (2 letras n)

vai para a questäo 6

P6 elevado a (3, 2) == 6! / 3! . 2! = 60 anagramas

3. Combinações

São agrupamentos onde a ordem dos elementos não é importante na formação do grupo. Chamamos de combinação de n elementos tomados p a p e indicamos por C n,p , uma situação qualquer em que se dispõe de n elementos para formar combinações de p elementos sem repetição. C n , p

C 10,3

C 8, 4

=

An , p p!

ou

10.9.8 = = 120 3.2.1

ou

8.7.6.5 = 70 4.3.2.1

ou

=

C n, p

C 10 ,3

=

n!

(n − p)! p!

10! = = 120 7!3!

C 8, 4

=

Qtas combinações existem na MEGA-SENA? 1 - São 60 numeros e são sorteados 6 números 2 - C60, 6 60.59.58.57.56.55 / 6.5.4.3.2.1 == 50.063.860 combinações possíveis Ir para exercicio 01 abaixo

8! = 70 4!4!

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Exercícios: 1. Dispondo-se de 7 frutas distintas, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se.... a) .....três frutas. C 7, 3 = 7.6.5 / 3,2,1 ==> 35 combinações de sucos

b) .....até três frutas. C 7,1 + C 7,2 + C7,3 ==> 7 + 21 + 35 = 63 combinações possíveis Ver exercicio 02 abaixo

2. Um professor de Matemática dispõe de sete questões de lógica e cinco questões de geometria para fazer uma prova com três questões de lógica e duas de geometria. Quantas provas pode o professor fazer? 07 questoes de lógica + 5 questoes de geometria disponíveis a prova deve ter 3 questoes de lógica e duas de geometria C 7, 3 * C 5, 2 = (7.6.5/3.2) * (5.4/2.1) ==> 35 * 10 Seria soma se a prova fosse tivesse ou duas tres questoes de lógica e duas questões de lógica ==> Questao 07

Exercícios com gabarito: 01. Com os algarismos do conjunto A = {1;2;3;4;5;6;7;8}, quantos números pares

podemos formar com 3 algarismos distintos? a) b) c) d) e)

108 120 150 168 198

02.(BACEN)Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha

pessoal de quatro algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade dessas senhas, em que o modulo da diferença entre o primeiro e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728 03.Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O

número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 5





d) 18 e) 56 04. Quantos anagramas tem a palavra BRASIL ?

a) b) c) d) e)

60 120 180 360 720

05.Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,

na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) b) c) d) e)

2 4 24 48 120

Sabemos que uma questao de permutaçäo pq é uma questäo de somente alteração da ordem As moças, como vão ficar juntas como apenas como um elemento (mas elas podem alternar-se entre si). P4 * P2 => 4! * 2! ==> 4.3.2.1 * 2.1 = 48

06.Quantos números de 5 algarismos podemos formar tais que o produto dos algarismos

seja igual a 35? a) 10 1 - Fatora o numero 35 que apenas o 7 e o 5 podem formar 35 b) 20 23 -- Descobre Sempre vai ter que ter 5, 7 e o restante 1 (exemplo: 57111, 15117, 75111, etc) c) 21 4 - Permutação de 5 números com 3 repetidos d) 35 5 - P5 elevado a 3 == 5! / 3! == 20 arranjos possíveis - Uma questão tem 6 proposições do tipo V ou F. Sabe-se que 4 são V e 2 são F. De quantas maneiras podemos e) 120 Extra marcar o gabarito desta questão? P6 elevado a 4, 2 = 6! / 4! * 2! ==> 15 possibilidades

Vai para a questão 17 07. Considere oito pontos distintos sobre uma circunferência. Quantos triângulos

podemos formar com vértices nestes pontos? a) b) c) d) e)

336 168 112 56 28

C8,3 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56 com binacoes possivies Questao 09 agora

08.Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher

aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se,

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todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 09.Em determinado setor de um hospital, trabalham 10 médicos: quatro cardiologistas e

seis pediatras. O número de equipes diferentes de quatro médicos, escolhidos dentre os dez, que podem ser formadas com dois médicos de cada especialidade, é: a) b) c) d) e)

210 180 120 90 21

C 4,2 * C 6,2 ==> (4.3 / 2) * (6.5 / 2) ==> 6 * 15 ==> 90 combinações

Vai para a Questão 10, abaixo

10.Um grupo de dança formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a

realizar apresentações no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para mandar apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as crianças podem ser escolhidas é igual a: a) b) c) d) e)

286 756 468 371 752

2 meninas e 4 meninos = C4,2 * C 7,4 ==> 4.3/2.1 * 7.6.5.4/4.3.2.1 ==> 210 3 meninas e 3 meninos = C4,3 * C 7,3 ==> 4.3.2/3,2 * 7.6.5/3.2.1 ==> 140 4 meninas e 2 meninos = C4,4 * C 7, 2 ==> 4.3.2.1/4.3.2.1 * 7.6/2.1 ==> 21 Calcula todas as combinações possíveis e realiza a soma == 371 combinações

Vai para a Questão 13

11.(MPU/2004)Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma

mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a)homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b)todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas são respectivamente: a) b) c) d) e)

1112 e 1152 1152 e 1100 1152 e 1152 384 e 1112 112 e 384

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12. Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro

quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) b) c) d) e)

128 495 545 1485 11880

13. Uma empresa de publicidade dispõe de 5 modelos femininos e 4 masculinos.

Determine o número total de grupos formados por 3 modelos, havendo, pelo menos, um modelo do sexo feminino em cada grupo. a) b) c) d) e)

20 40 60 80 NRA

C5,1 * C4,2 = 1F e 2M C5,2 * C4,1 = 2F e 1M C5,3 = 3F

14. Com os algarismos do conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} podemos formar

exatamente quantos números pares com 3 algarismos distintos? a) b) c) d) e)

196 144 120 147 150

15. Quantos anagramas da palavra PROVA apresentam as vogais juntas?

a) b) c) d) e)

24 48 60 72 120

16. Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e

2000? a) b) c) d) e)

432 440 450 464 480 8


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17. Utilizando uma vez o algarismo 0, duas vezes o algarismo 3 e duas vezes o

algarismo 7 é possível escrever n números inteiros positivos de 5 algarismos. O valor de n é: 5 algarismos então P5 Tem-se numeros repetidos (uma vez o 0), (duas vezes o 3), (duas vezes o 7)

a) b) c) d) e)

120 64 P5 elevado a 1, 2, 2 ==> 5! / 2! * 2! * 1! ==> 30 (mas ainda não é a resposta pq não pode os começados por 0 48 Fixa o zero no primeiro elemento e veja qtas posições começa com 0 ex 07733 ==> P4 com 2, 2 elementos repetidos 30 24 4! / (2! * 2!) = 6 números que começam com zero 30 - 6 = 24 números inteiros e positicos com 5 algarismos

18. João e Maria eram dois colegas de escola. João dizia gostar muito de Maria e a

assediava com muita freqüência. Um belo dia, João pediu o número do telefone de Maria, que respondeu dizendo: – João, meu telefone é composto de sete dígitos totalmente distintos e o prefixo é 247; se você realmente gosta de mim, ligue-me hoje à tarde que eu estarei esperando. Quantas tentativas, no máximo, João deverá fazer para, com certeza, descobrir o número de Maria? a) b) c) d) e)

5040 10000 2401 840 360

Gabarito 1.d

2.e

3.b

4.e

5.d

6.b

7.d

8.a

9.d

10.d

11.c

12.b

13.d

14.e

15.b

16.d

17.e

18.d

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