¿Qué es la matriz de transición de estados? Es la matriz que defne la transición de los estados desde un instante t0 hasta un instante t.
Lo que implica que
Donde
Si t0 = 0 se tiene que
étodos para calcular !"t# $ E%isten muchos métodos para hacer este c&lculo' a continuación se presentar&n solo al(unos de las opciones de solución posi)les. *ropiedades *ropiedades de la matriz de transición. +. ,"0# = . /,"t#1+ = ,"1t# 2. ,"t+ 3 t# = ,"t+#,"t# = ,"t#,"t+# 4. /,"t#n = ,"nt# 5. ,"t 1 t+#,"t+ 1 t0# = ,"t 1 t0# = ,"t+ 1 t0#,"t 1 t+# +# Direct ecto
Es sencillo de aplicar si se tiene una un a herramienta numérica' si la e%pansión es infnita' se de)e detener 6 tratar de reconocer las e%pansiones e%ponenciales e%ponenciales que se 7ormen en cada uno de los elementos de la matriz. Si la matriz 8 es nilpotent de orden p' la respuesta es cerrada si la e%pansión se hace hasta 8 A
P
. 9na matriz es nilpotent si a partir de
una potencia p' todos los elementos de la matriz cero.
A
P
son i(uales a
# :alculando la matriz dia(onal Si todos los auto;alores de 8 son di7erentes se hace una trans7ormación de similaridad para o)tener Donde D es una matriz dia(onal. La dia(onal est& 7ormada por los auto ;alores. En este cam)io se tiene que
Las soluciones homo(eneas son$
Lo que implica que :alculando directamente
8pro;echando las propiedades de los auto;alores 6 auto;ectores
Si % es un auto;ector de 8 asociado a un auto;alor < entonces
Solucion (eneral.
La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc. En caso de !ue la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación de la ecuación homogénea (!ue resulta de hacer el término no dependiente de "(x ni de sus derivadas igual a # más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular $i fi%ando cual!uier punto &( X 0 , Y 0 ¿ por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un 'nico valor de , " por lo tanto de la curva integral !ue satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto &( X 0 , Y 0 ¿ , !ue recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes recibe un valor espec)fico. $olución singular La solución singular es una función !ue verifica la ecuación, pero !ue no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.
Eigenvalores " eigenevectores. En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos !ue, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un m'ltiplo escalar de s) mismos, con lo !ue no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor , valor característico o eigenvalor . * menudo, una transformación !ueda completamente determinada por sus vectores propios " valores propios. +n espacio propio, autoespacio, eigenespacioo subespacio fundamental asociado al valor propio es el con%unto de vectores propios con un valor propio com'n.
