UNA PERSPECTIVA DIDÁCTICA Susana Wolman y María Emilia Quaranta EN: Enseñar matemática en la escuela primaria. Serie respuestas. Editorial Tinta Fresca, 2006
¿Cuáles son las ideas centrales de este enfoque para la enseñanza de la matemática? Responder preguntas relacionadas con el enfoque desde el cual nos posicionamos para pensar acerca de la enseñanza de contenidos matemáticos nos remite a trabajos del campo de la didáctica de la Matemática que constituyen la fuente principal de teorizaciones en las cuales fundamentamos nuestra propuesta 1 Asumiendo que es imposible sintetizar un cuerpo teórico en pocas páginas, nos referiremos a una de las cuestiones centrales que permite caracterizar e “inspira” 2 buena parte del enfoque que se propone. Nos referimos a su perspectiva constructivista e interaccionista, basada en la epistemología genética de Jean Piaget. Hablar de constructivismo e interaccionismo para enfocar la enseñanza matemática plantea cuestiones bien diferentes de las ya viejas conocidas aplicaciones de la psicología en el aula (Lerner, D., 2001). Supone una concepción de aprendizaje profundamente ligada con una concepción de la matemática y de su enseñanza. Se trata de generar en el aula una actividad de producción de conocimiento que, en algún sentido, guarde analogía con el quehacer matemático. Esto supone que el alumno se apropie no sólo de saberes sino también de los modos de producción de esos saberes. Es decir, se busca desarrollar en las aulas una actividad de producción matemática que permita a los alumnos reconstruir los conocimientos. “No se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemáticos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos. 3 Uno de los desafíos de la enseñanza consiste entonces en articular la intención didáctica propia de la escuela con la consideración del alumno como productor de conocimiento para lograr verdaderos aprendizajes en los alumnos y no sólo aplicaciones de técnicas que alguna vez se identificaron con el saber. Esta perspectiva se centra en estudiar características de situaciones para la enseñanza que desafíen los conocimientos de los alumnos, que les permitan pensar, ensayar, explorar, poner en juego lo que saben, interactuar con otros, explicar, discutir, argumentar, preguntar, plantear nuevos problemas; en definitiva, producir conocimiento. Todo esto no ocurre espontáneamente ni bajo cualquier modalidad de enseñanza. Por eso, cobran especial relevancia los problemas que se plantean, el tipo de elaboración que se establece en torno de ellos, los análisis que se promueven en relación con las resoluciones o los 1
Como la Teoría de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau (Brousseau, 1986; 1994); la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard (1992); la Teoría de los Campos Conceptuales de Gérard Vergnaud (1994), entre otras. 2 La siguiente cita ayudará a comprender el entrecomillado: Guy Brousseau ha insistido una y otra vez en el carácter modélico de su formulación. Su teoría no se propone como una descripción de la enseñanza “ideal”, ni tiene una conexión inmediata con los hechos “reales” de la clase, aunque sí constituye una herramienta para conocer, explicar y ofrecer elementos para intervenir en la realidad de las clases de matemática. (Sadovsky, 2005). 3 Blouche, R., Charlot, B. y Rouche, N. (1991),
intentos de resolución, el conocimiento que circula y se identifica en las clases, y las intervenciones docentes que generan y sostienen esta actividad. Un proyecto de enseñanza que tome bajo su responsabilidad reconstruir un proceso de producción, y que no solo comunique resultados, no propone otro camino para acceder al mismo “puerto”: propone también otro “puerto”. No se trata de maneras diferentes de presentar el mismo objeto de conocimiento, sino de objetos diferentes. Cambia la matemática que se enseña y se aprende; cambia también, en consecuencia, el sentido que se le atribuye a su enseñanza. Veamos un ejemplo: en el estudio de una secuencia didáctica 4 cuyo objetivo es hacer avanzar las interpretaciones numéricas en primer grado, encontramos que los alumnos aprenden las denominaciones de los números construyendo relaciones válidas desde el punto de vista del sistema de numeración, y este aprendizaje es bien diferente de aprender a leer los números repitiendo lo que el maestro dice cada vez que los presenta. Esta secuencia se desarrolla con el juego de lotería, con algunas restricciones particulares: los alumnos, por parejas, “cantan” los números que salen pero no pueden decir las cifras que los componen sino su denominación; si no logran nombrarlos, los demás niños pueden ayudarlos ofreciendo “pistas” tales como recurrir al conteo a lo largo de la serie numérica, dar el número anterior o el siguiente o ambos, “está entre”; referir al número redondo -nudo– inmediato anterior, etc. De esta manera, los niños aprenden encontrando regularidades entre las mismas escrituras numéricas, estableciendo vínculos entre lo que saben y lo que aún desconocen, discutiendo con sus compañeros para validar que la situación propicia que se formulen. No se aprende lo mismo cuando se logra leerlos identificando solamente cada uno, que cuando se establece un conjunto de relaciones entre diferentes números, aunque en ambos casos se trate de aprender a leer números. En definitiva, diferentes concepciones de la enseñanza promoverán efectivamente diferentes aprendizaje. Proponemos, entonces, una reconstrucción de los conocimientos matemáticos en la escuela, que permita que los alumnos desarrollen confianza en sus posibilidades de resolver problemas y dispongan de una matemática fundamentada, basada en un conjunto de relaciones que constituyen la base del funcionamiento de los conocimientos.
Si siempre enseñé con problemas ¿qué hay de nuevo ahora? De manera general, todos admitimos que la resolución de problemas ocupa un lugar preponderante en Matemática. Sin embargo, esta expresión remite a diversos significados, muchas veces contradictorios, tales como las posiciones didácticas que las sostienen. Es frecuente que los problemas se presenten a los alumnos sólo después de que el maestro haya presentado las nociones matemáticas que se aplicarán. Es como si el docente se formulara implícitamente: “Sin explicar antes el contenido que ese problema ejemplifica ¿cómo podrán resolverlo?”. A este interrogante corresponde el supuesto, (muy generalizado por cierto), de que sin explicación previa por parte del docente, los alumnos no podrán resolver el problema. Consideramos, en cambio, que las situaciones problemáticas –en ciertas condiciones de producción– constituyen un punto de partida. 4
La secuencia fue diseñada y puesta a prueba en el marco de investigaciones realizadas con subsidio UBACyT, cuyo estudio forma parte de los proyectos “El aprendizaje del sistema de numeración: conceptualizaciones infantiles e intervenciones didácticas” (1998-1999) y “El aprendizaje del sistema de numeración: intervenciones docentes en diferentes contextos didácticos” (2000), dirigidos por Delia Lerner. Se encuentra una reelaboración de la secuencia en Broitman, C. Kuperman, C. (2005) También puede consultarse Quaranta, Tarasow y Wolman (2003).
Se trata de la “osadía” de plantear a los alumnos problemas que aún nadie les enseñó a resolver 5, osadía que se sostiene con la convicción de que es el medio fundamental para adquirir los saberes que la escuela debe transmitir 6. Esta propuesta está en estrecha relación con la idea de un pensamiento autónomo por parte del alumno: es necesario que comprometa realmente sus conocimientos en las actividades matemáticas y que responda al problema por razones fundamentalmente intelectuales. El conocimiento didáctico producido nos permite sostener este tipo de enseñanza en la que los maestros no transmiten de entrada saberes ya elaborados, sino que plantean problemas alentando a los alumnos a intentar alguna solución con las herramientas que tienen –aún desde el inicio de la escolaridad– permitiéndoles así elaborar, profundizar, avanzar, aprender; es decir, establecer una red de relaciones que den sentido a ese saber. Claro que el aprendizaje de una noción matemática no se alcanza resolviendo un único problema, ni basta tampoco con resolver muchos. Para construir el sentido de una noción es necesario que los alumnos se enfrenten a la multiplicidad de problemas que esta permite resolver. Por ejemplo, todos los lectores reconocerán que en la sustracción 456 – 220 (independientemente de los diversos procedimientos de resolución empleados por los niños) responde a distintas clases de problemas 7. Matemáticamente, es una sustracción; sin embargo, diversos problemas pueden ser resueltos mediante ella y didácticamente es importante abordar esta variedad. Las diferencias entre los problemas se pusieron en evidencia al estudiar el modo en que los niños resolvían diferentes situaciones que del campo aditivo. (Vergnaud, G., 1982). Tampoco la resolución autónoma es suficiente para aprender. Es necesario que reflexionen acerca de lo realizado y sobre los procedimientos empleados, que discutan acerca de la validez de los caminos seguidos y sobre la manera de registrarlos. Por ejemplo, tal vez un alumno pueda resolver los problemas rápidamente pero no logre explicar qué hizo ni por qué lo hizo. El conocimiento que este alumno empleó permanece aún en la órbita personal, es privado y por ende no sabe lo mismo que quien puede hacerlo explícito, justificarlo, defenderlo, para, finalmente, identificarlo como saber. Entrar en un juego de explicitaciones y explicaciones en interacción con otros lleva a establecer nuevas relaciones a todos y eso depende fuertemente de la enseñanza. Cuando se intenta que los alumnos asuman la responsabilidad de resolver problemas cuya respuesta ignoran, cuando se les propone buscar por sí mismos una solución a un problema planteado (solución que no se les ha enseñado previamente), los niños emplean y construyen conocimientos que les permiten adaptarse a la situación y resolver el problema. Estos conocimientos no son estrictamente saberes: el conocimiento es una construcción personal, mientras que el saber es una elaboración cultural, y es propio del saber el ser explícito. Limitarse en el aula a la resolución de problemas restringe mucho las posibilidades de aprendizaje, ya que los conocimientos empleados permanecen tácitos en los procesos que se juegan en las situaciones de resolución y “pegados” a los contextos en los cuales fueron utilizados. El maestro puede reconocer en los procedimientos empleados nociones matemáticas subyacentes aun sin que el alumno esté en condiciones de formularlas. Como el conocimiento está implícito en los procedimientos desplegados, es necesario el reconocimiento explícito de esos conocimientos por 5 Pero
para los cuales el docente sabe que los alumnos disponen de conocimientos que les permiten buscar alguna solución, aunque por supuesto inicialmente no sea una de las más adaptadas para esos problemas 6 Por supuesto, es necesario plantear problemas en diferentes momentos del aprendizaje, con distintos objeticos: elaborar nuevos conocimientos, estabilizar conocimientos recientemente aprendidos, practicar o, extender lo aprendido a nuevos problemas. 7 Nos referimos a las diferencias que existen entre problemas que se refieren a “quitar” y los que se refieren a “comparar cantidades”.
parte de los alumnos. Aprender matemática implica entonces, por un lado, resolver problemas porque esto brinda a los alumnos oportunidades de producir conocimiento, de desplegar procedimientos que conllevan conceptualizaciones propias. Por otro lado, implica confrontar dichos procedimientos con los de los pares, comprender las resoluciones de sus compañeros, debatir con ellos, discutir acerca de su economía, analizar una producción en relación con la otra, argumentar e intentar validar o cuestionar su propio punto de vista, hacer explícitas las razones por las que se siguió determinado camino. La clase se convierte así, en un ámbito de resolución de problemas y de discusión de ideas. Todo esto depende de la intervención del docente que alienta y sostiene el abordaje de los problemas, organiza discusiones y análisis sobre diferentes aspectos de la producción, brinda información, retoma explicaciones de los alumnos, da explicaciones e identifica los saberes en juego, etc.
¿Cuál es el papel de las interacciones que se producen en la clase? En la clase de matemática se producen diferentes tipos de interacciones: de los alumnos con los problemas; de los alumnos con el docente a propósito de los problemas planteados y de los alumnos entre sí. Todas ellas resultan centrales para la producción del conocimiento. Nos ocupamos ya de las primeras. Nos detendremos ahora un poco más en las dos últimas. Los intercambios entre pares obligan a hacer funcionar los conocimientos de otra manera. Establecer acuerdos cuando se trata de resolver conjuntamente, comunicar un procedimiento o una idea, tratar de comprender lo que otro comunica, argumentar a favor o en contra de un modo de resolver o de una afirmación, son procesos que promueven la aparición de explicaciones y la posibilidad de establecer relaciones nuevas que enriquecen los conceptos en cuestión. Las intervenciones del docente son fundamentales para gestionar estos procesos. El maestro interviene para organizar la participación de los alumnos, para que los chicos puedan volver sobre sus acciones y producciones, describirlas, justificarlas, comprar distintos desarrollos, reconocer su procedimiento como diferente de los utilizados por sus compañeros y considerar en qué aspecto lo es aunque tengan el mismo resultado. Explicar y discutir con argumentos sobre la validez de lo realizado favorece el avance hacia la conceptualización de aquellos conocimientos que los alumnos utilizaron en sus resoluciones. Veamos un ejemplo 8. Se trata de una reflexión en primer grado acerca de las maneras en que resolvieron 44 – 26. Una alumna, Vanesa, escribe en el pizarrón lo que hizo en su cuaderno para resolver 44 – 26 y luego lo lee a sus compañeros:
44 – 6 = 38 38 – 10 = 28 28 – 10 = 18
Maestra: ¿Todos entienden por qué Vanesa le sacó seis y diez y diez? 8 Se
trata de un fragmento de clase que forma parte de la investigación realizada por Wolman, S. (2003) en la que los alumnos resuelven operaciones sin que se les hayan enseñado previamente los algoritmos de suma y resta convencionales.
Santiago T.: (Pasa al frente y señala) Los dos diez y el seis salen de ése (señala el 26, escrito en el pizarrón como parte del cálculo). M.: ¡Ah! Diez, diez, y seis forman el... Alumnos: Veintiséis. M.: ¿Se puede restar el veintiséis de otra manera? Antonella: Sí, el veinte y el seis. M.: ¿Qué les parece chicos, lo que dice Antonella? Laila: Está bien porque igual es veintiséis. M.: Bueno, volvamos a lo que hizo Vanesa. ¿Cómo hiciste para sacarle seis a cuarenta y cuatro? Vanesa: Contando para atrás. M.: ¿Y para restarle los diez, también contás para atrás? V.: No, me fijo en “el número que le sigue para atrás”. M.: ¿Podés explicar un poco más? V.: A treinta y ocho para sacarle diez le voy siguiendo la familia para atrás. M.: ¿La familia? Vanesa: Si tengo un número que es 88 y le tengo que sacar 10, me fijo el número que le sigue para atrás, no el 87, el de otra familia y es 78. M.: ¡Ah! Así le sacás los de diez. Varios chicos afirman que también lo hacen así.
Advirtamos que en esta reflexión no se acepta sin más la primera respuesta que da Vanesa. Ella dice: “A treinta y ocho para sacarle diez le voy siguiendo la familia para atrás”. Si bien su maestra la comprende, la explicación no es muy clara. La docente le pide que formule con más precisión su estrategia así puede convertirse en una buena herramienta para otros. En estas reflexiones sostenidas por el trabajo del maestro se evidencian como productivas las intervenciones de contraargumentación, en este caso acerca del valor de las cifras de un número. Veamos otro fragmento de la misma clase para ilustrar lo que estamos afirmando.
M.: Y ustedes dicen que los dos diez salen del veinte... ¿Para restar 26 podrían sacarle primero un dos y después un seis? Antonella: ¡No! ¡No! Santiago M.: No se puede sacar dos porque el dos vale veinte. Laila: Pero es un dos, el dos es dos... Carolina: (Asiente con un gesto) M.: Es cierto. Pero entonces, ¿cuándo el dos vale veinte? Laila: El dos, cuando vas al kiosco y comprás dos caramelos son dos.
M.: ¿Y cuándo vale veinte? Sofía: Cuando está adelante. M.: (Escribe el 200 en el pizarrón) ¿Vale veinte aquí el dos? L.: No, vale doscientos. Melina: (Sorprendida) Si así no es el veinte... M.: Claro, pero tiene un dos adelante. Carolina: Cuando está el dos solo y no tuvo nunca, nunca un número atrás, entonces es dos. Sofía: El dos siempre vale veinte cuando tiene un número atrás, pero es de a dos números. Nico: Claro es así. Santiago M.: Como el veinte tiene dos dieces, podés formar veinte adentro del dos cuando tiene un número al lado.
Este ejemplo nos muestra la heterogeneidad de los conocimientos infantiles. Los chicos que participaron en este diálogo dan argumentos diferentes y complementarios para refutar el planteo de la maestra. En este caso vemos que la reflexión se dispara a partir de una pregunta acerca de la pertinencia de restar 2 y 6 –las cifras del 26– que los chicos no aceptan. La maestra ya sabe que sus alumnos no consideran cada término como la yuxtaposición de dos números separados, o sea no los consideran como representando los valores absolutos de las cifras que lo componen; pero formularles la pregunta de la manera en que lo hizo, favorece que los chicos busquen argumentos para justificar lo que ya “hacen” en la práctica y de esta manera avancen en su conceptualización. Santiago justifica el rechazo explicando que el dos del veintiséis vale veinte. Laila duda de esa explicación ya que el dos es finalmente siempre dos. La maestra podría haber dado por finalizado el diálogo repitiendo la afirmación de Santiago, sin embargo relanza la discusión: “¿Cuándo el dos vale veinte?”. Para responder a esta pregunta Santiago realiza el pasaje de considerar al dos como veinte cuando está adelante –frente a lo cual la maestra propone la escritura del 200– hasta su última afirmación en la que reconoce que el veinte tiene dos dieces y que “podés formar veinte adentro del dos cuando tiene un número al lado”. El esfuerzo de Santiago es importante porque la discusión con sus compañeros lo llevó a “desarmar” una afirmación para intentar ser más comprendido. Veamos otro ejemplo 9. El intercambio tiene lugar a partir de que una pareja de alumnas demanda a su maestra la confirmación del número que habían señalado en su cartón:
Maestra: Las chicas me hicieron una pregunta y vamos a ver si las podemos ayudar. Me acaban de preguntar si este (anota 25 en el pizarrón) es el cincuenta y dos. ¿Qué opinan ustedes? Florencia: Tiene un dos y cinco, el otro tiene un cinco y un dos. M.: ¿Hay alguna pista que tengamos en el pizarrón que nos ayude? Alumno: Sí, el cincuenta y tres. M.: Vení, ¿dónde está el cincuenta y tres? 9 Tomado
de la investigación didáctica a la que nos referimos en primer respuesta
A.: Acá. M.: Este es el cincuenta y tres que teníamos de antes, ¿se acuerdan? ¿Nos puede ayudar para saber cuál es el cincuenta y dos? Varios alumnos: ¡Sí! Nos reee... M.: ¿Y cómo nos reeee ayuda? ¿Nos ayuda el cincuenta y tres para el cincuenta y dos? A ver, Gastón va a explicar... Gastón: Es uno más abajo. M.: ¿Entonces es este que está más abajo? (señala un número escrito en la parte inferior del pizarrón) G.: ¡Noo! M.: ¿Más abajo de dónde? No entiendo. G.: Del número. M.: A ver, Nico... Nico R.: Porque vimos que, para el cincuenti algo, el cinco está de este lado (señala hacia la izquierda) y ahí, el cinco está de ese lado. Entonces, borramos el tres y ponemos el dos. Nico L.: Este es el cincuenta y tres (pasa y lo señala en el pizarrón). Que el cincuenta y dos tiene que tener un cinco y un dos. M.: ¿Y por qué las chicas habían pensado que es este? Es lógico lo que pensaron. Tobi: Porque tienen los mismos números. M.: Bueno, entonces el cincuenta y dos lo escribo acá como ustedes me dijeron.
En primer lugar, queremos destacar que cuando las alumnas preguntan a la maestra si la escritura que habían elegido era la correspondiente al número nombrado, ella posterga la respuesta y remite la cuestión a todo el grupo. De esta manera, abre el juego a la reflexión grupal que no hubiera tenido lugar si se limitaba a dar directamente la información pedida. Para que la reflexión tenga sentido para el alumno, es necesario que exista cierta incertidumbre, no sólo sobre cómo hallar la respuesta en el momento de resolución, sino también acerca de su validez. En efecto, ¿cuál sería el interés de buscar razones que permitan argumentar a favor o en contra de ciertas interpretaciones numéricas si el docente ya hubiera dado la respuesta correcta? Se advierte en este registro que los alumnos ponen en juego sus conocimientos, los explicitan, apelan a relaciones entre los números para estar seguros y también para convencer a los demás acerca de determinadas interpretaciones numéricas. 10 Sostener la incertidumbre en los alumnos –tanto en el momento de resolución como de reflexión– es una de las tareas del maestro y muchas veces resulta dificil porque los alumnos, como estas niñas, intentan frecuentemente sacarlo de esta posición "neutra", presionando para que indique si una respuesta "está bien o mal". Esta neutralidad provisoria, mantener en privado su punto de vista, no impide al docente brindar información. Esta docente remite a la clase la información que estaba disponible, como los números que ya habían salido. Así, los alumnos se basan en la escritura del 53 para decidir acerca de la escritura del "cincuenta y dos", recurriendo a conocimientos sobre la serie 10 Se
puede consultar Quaranta María E. y Wolman, S. (2003)
numérica "es uno más abajo" y las relaciones entre numeración hablada y escrita (si los dos son de los "cincuenti", empiezan con la misma cifra). Estos momentos de reflexión conjunta brindan oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible y son esenciales en la constitución del sentido de los conceptos. Si bien este trabajo puede resultar arduo para el maestro, es sorprendente y emocionante ver a los alumnos pensando y reflexionando sobre sus producciones y las de sus pares, tratando de apropiarse de un conocimiento matemático. De este modo, se instalan también el placer y la confianza en las propias posibilidades intelectuales y en el poder compartirlas con otros. Es cierto que se modifica de manera importante el lugar del maestro. Como dice Bkouche (1991) "[el maestro] es aquel que ayuda al alumno a adquirir un poder aprendiendo a forjar, a comprender ya utilizar instrumentos matemáticos".