OBJETO DE APRENDIZAJE:
MEDICION DE LA PSD DE SEÑALES CONTINUAS Y BINARIAS Material complementario en: http://gavilan.uis.edu.co/~hortegab Guía desarrollada por: Homero Ortega B. Material pedagógico del grupo: RadioGis
Objetivos •
Por medio de Simulink, conocer la PSD PSD de señales binarias y diferenciarla de la PSD de un proceso estocástico binario.
•
Adquirir destrezas en el manejo de las herramientas básicas (osciloscopio, analizador de espectros, generador de señales, entre otras) del simulador Simulink. Marco teórico
PSD DE UNA SEÑAL (CONCEPTO DE PERIODOGRAMA) Los parámetros de interés son: la potencia promedio, el valor RMS, la PSD, la ESD ( energy spectral density), la función de autocorrelación. Se supone entonces que se tiene una señal para analizar. Valor RMS: X RMS =
x 2 (t ) |
(1)
La representación a (t ) se refiere al cálculo del promedio de tiempo de a(t), es decir a(t )
=
lim
1
T
∫
a (t )dt T → ∞ 2T −T
Potencia promedio: P =
x 2 (t ) R
2
= X RMS
(2)
Potencia promedio normalizada: P = x 2 (t ) , pues se toma R=1Ω. También es común hallar P a partir de una versión truncada de x(t ) : P
=
lim
1
T
x T → ∞ 2T ∫ −T
2
(t )dt =
lim
1
∞
x T → ∞ 2T ∫
2 T
(t ) dt
−∞
De acuerdo a la relación de Parseval; lo anterior equivale a:
(3)
��� � � �
(4)
Donde � es la transformada de Fourier de la señal truncada xT (t )
� ó � La definición de la PSD S X ( f ) ha sido realizada de manera que se cumpla que el área bajo su curva sea la misma Potencia Promedio. ∞
P=
∫ S ( f )df
(5)
X
−∞
De aquí se deduce que S X ( f
) = T lim
→∞
1
2
X ( f ,T )
2T
(6)
� � � es lo que se conoce como periodograma, y La expresión tiene las mismas dimensiones que la PSD1 La autocorrelación promediada en tiempo es:
R X (τ ) = x ( t ) x ( t + τ )
=
lim
T →∞
1
T
x (t ) x (t + ∫ 2T
τ
)d τ
(7)
−T
Así, la Potencia Promedio se puede hallar de varias maneras: ∞
P
=
x (t ) 2
2 RMS
= X
=
∫ S ( f )df = R X
X
(0 ) (8)
−∞
USO DE LA FFT PARA OBTENER LA TRANSFORMADA DE FOURIER El capítulo 2-8 del libro de Couch [2], páginas 93-94 explica lo que significa la DFT (Discrete Fourier Transform), la FFT y como obtener la Transformada de Fourier Continua mediante la DFT o FFT.
PSD DE UN PROCESO ALEATORIO BINARIO El siguiente ejemplo ilustra lo que significa un proceso aleatorio binario, su Densidad Espectral de Potencia (PSD) y su utilidad práctica:
1
Como lo explica Haykin en (Haykin, 2001), pag 51 , el término un poco confuso ya que el
periodograma no es función de un periodo sino de la frecuencia.
Se tiene una radiobase (RB) que brinda acceso a las llamadas telefónicas desde diferentes estaciones móviles (MS)2, ver Fig. 1. Vamos a suponer que: • la RB solo puede atender una llamada a la vez; • el MS envía la información siempre en forma de bits, ya sea que se trate de voz3 o datos; • tan pronto es atendida la llamada de un MS otro MS es atendido; cada llamada es un ensayo dentro del proceso aleatorio; • la señal que emite un MS es el resultado de un ensayo, es decir, es una función muestra; • los MS pueden estar alejados de manera diferente de la RB, por lo tanto puede existir un retraso aleatorio entre las señales que llegan a la radiobase y la señal de reloj usada internamente en la RB para su sincronismo 4. En la Fig 2 se muestra un ejemplo con señales de dos posibles llamadas (dos ensayos: n=1 y n=2), td es el tiempo en que una señal llega retrasada con respecto a la de sincronismo. • Es igualmente probable que un MS esté a una u otra distancia de la radiobase. • El sistema ha sido diseñado de tal manera que nunca ocurrirá un atraso mayor a la duración de un bit T b . Supongamos que T b Corresponde a un kilómetro. Luego, si el usuario está más allá de esa distancia no puede ser atendido, se encontrará en el área de cobertura de otra RB, es decir en otra celda. Generador de sincronismo
TR
RADIOBASE
2
Una estación móvil (MS) puede ser un teléfono celular, pero también una PDA, un computador o cualquier otro dispositivo inalámbrico. En todo caso, lo que emite una MS son bits 3 La voz puede ser vista en forma de bits si previamente se muestrea, se cuantiza y se convierte a código binario 4 El sincronismo entre MS y RB se refiere a q ue ambos deben estar manejando parámetros comunes de señal como: duración de cada bit, número de bits por muestra, momento en que inicia y termina un bit, etc. La señal de sincronismo es una ayuda para lograr el sincronismo
t
T b
Fig. 1 •
•
•
•
La señal x 2 (t ) lleva bits aleatorios y diferentes a x1 (t ) , ya que cada MS maneja información diferente. Los datos que envía el MS son unos y ceros de manera completamente aleatoria. La aparición de un uno o un cero es equivalente a que caiga cara o sello al lanzar una moneda. Los 1s son representados por el voltaje positivo +A y los 0s por el voltaje negativo -A El proceso es estacionario
x1 ( t ) n
=1
x 2 ( t ) n
=
2
Fig. 2 El problema a resolver consiste en: obtener una curva de distribución en frecuencias de la potencia promedio de todas las señales que llegan a la RB, es decir la PSD del proceso Solución:
a. Vamos a obtener inicialmente una grafica para la Densidad de Probabilidad de la Variable Aleatoria T d . T d toma valores iguales probables entre 0 y T b porque es igualmente probable
que los usuarios estén a una u otra distancia, por lo tanto:
f Td (t d )
t d
Fig. 3 b. tomando como referencia dos momentos t k y t i determinamos para qué distancia entre ellos
=
τ
t k − t i se cumple que R X (τ ) sea R X (τ ) = 0 .
Esto ocurrirá cuando las variables X ( t k ) y X (t i ) sean estadísticamente independientes. En el caso de la grafica, t k y t i están cerca, luego, si ocurre que x2 (t k ) = − A es muy probable que x2 (t i ) = − A también. En cambios, si t k − t i
> T b esa
probabilidad tiende a cero a medida que se elevan los ensayos.
Luego
R X (τ ) = 0 Para
τ
>
T b
c. determinamos R X (0) . Como R X (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ )] y el proceso X (t ) es estacionario, podemos darle cualquier valor a la variable t, sea t=0, luego 2 R X (0) = E X (0) . O sea que R X (0) es la media cuadrática de la variable aleatoria x(0) . Los únicos valores que toma X(0) son +A o –A, luego
R X (0 ) = A2 d. propondremos una forma grafica aproximada para R X (τ ) . Teniendo en cuenta que: • La R X (τ ) siempre es par y real • El valor máximo de R X (τ ) siempre esta en τ = 0 . •
Para el proceso X (t ) la dependencia entre X (t k ) y X (t i ) disminuye linealmente a medida que t i se aleja de t k .
•
R X (τ ) = 0 cuando
τ
≥ T b
Por tanto una posible forma para R X (τ ) la que se muestra en la figura 4
Fig. 4 e. comprobaremos la v lidez de la grafica obtenida en el punt anterior para R X (τ ) , resolviendo R X ( ) = E X ( t ) X ( t + τ ) En el ensayo n=2, se o serva que P1 y P2 tienen igual amplitu si t d
<
T b
−
τ
,
luego podemos asegura que:
E [ X (t k ) X (t i ) / B ] = A 2 Donde B es el evento t d
<
T b
−
τ
(1.53)
. Es decir, cuando ocurra el evento B, se
puede asegurar que X (t k ) X (t i ) = A 2 , luego, el promedio de est multiplicación es A 2
R X (τ ) = E [ X (t k ) X (t i )] = E [ X (t k ) X (t i ) / B ]P( B ) (9) Esto por analogía con la probabilidad condicional entre dos even os A y B
P AB) = P( A ) P( B) B
(10)
En nuestro caso, P(B)e la probabilidad que la variable aleato ia Td tome un valor entre 0 y T b − τ . Esta puede hallarse a partir de f T (t d ) de l Fig.14 d
T b − τ
P( B ) =
∫ 0
1 T b
R X (τ ) =
t d =
1 T b
2 τ A 1 − T b
T b − τ
t d
1
=
T b
0 para
τ
(T b − τ ) = 1 −
τ
T b
< T b
(11) 0, otros
La figura 4 es justo la curva que se obtiene de la expresión (11) f. hallaremos finalmente la PSD del proceso X (t )
R X 1 (τ )
R X 1 (τ )
R X (τ )
τ
Fig. 5
R X 1 (τ )
S X 1 ( f )
f
Fig. 5.1
S X ( f ) A2T b
f
Fig. 6 g. La potencia promedio de X (t )
P = R X (0 ) = A 2 CONCLUSIONES IMPORTANTES
Bloques basados en la FFT: • Variando M (el número de muestras que se entregan en paralelo a la FFT) se puede manejar la resolución espectral. A mayor M, mayor es el tamaño de la ventana de tiempo (T=M x Ts segundos) que toma la FFT • La frecuencia máxima que entrega la FFT depende del periodo de muestreo Ts así: Fmax=Fs/2, donde Fs=1/Ts. En principio, se puede elegirse cualquier periodo de muestreo para las señales que entran a la FFT, la consecuencia va a ser la frecuencia máxima que puede ser visualizada. • El bloque “Spectrum Scope” lo que calcula es un periodograma cada ventana de tiempo de duración T=M x Ts segundos (Ts es el periodo de muestreo y M es el número de muestras que se entregan en paralelo al bloque ). Hay dos maneras de hacer que este espectro coincida con la PSD: Hacer que M sea lo suficientemente grande como para que el espectro adopte una forma definida. El problema es que M puede ser tan grande que el computador se puede bloquear, además se obtiene una resolución muy exagerada Es más común tomar un valor pequeño de M, por ejemplo M=256, o M=2048, para luego ir promediando los periodogramas resultantes. En el bloque “Spectrum Scope” el número de promedios se configura en “number of spectral overages”y puede ser por ejemplo de 800 espectrogramas (frames de M elementos) o
o
Trabajo previo •
Presentar un resumen que muestre lo que significa: la Representación en Series de Fourier (RSF) de señales periódicas continuas y como a partir de
•
•
ella se deduce la Transformada de Fourier (TF); la RSF de señales periódicas discretas y como a partir de ella se deduce la TF de señales discretas Explicar la relación que puede existir entre el espectros (TF) de una señal continua y el espectro de su versión muestreada Investigue y resuma lo que significa la FFT Competencias que se buscan
•
•
•
Poder obtener e interpretar el espectro de una señal mediante FFT en Simulink Aprender a obtener un Periodograma con Simulink e interpretar su relación con la PSD Descubrir la PSD de las señales digitales rectangulares aleatorias, reconociendo que estas señales pueden ser continuas o discretas Ejecución por fases
Fase I: Montaje de un simulador sencillo con señales continuas.
Actividad dirigida por el profesor: 1. Dirigir la creación de un simulador para observar el espectro de una señal continua senoidal (o la suma de senoidales) con lo cual se logra: distinguir entre señales continuas y discretas que maneja Simulink, ya que el bloque BFFT no trabaja con señales continuas y es necesario muestrear; conocer el concepto de señales en tramas (B-FFT no necesita una conversión previa a tramas pero si el FFT); manejar los parámetros de simulación; programación externa de parámetros para los bloques de un simulador (usando Model explorer). Esta actividad puede reemplazarse por un estudio del primer video propuesto y realizando un montaje similar 2. Repetir lo anterior con señales de voz (señal discreta), buscando entender el manejo del bloque B-FFT 3. Aclarar las dudas sobre PSD de una señal binaria y la PSD de un proceso binario 4. Observar la PSD de un proceso binario usando simulador en Matlab 5. Observar la PSD de una señal binaria Actividad desarrollada por el estudiante 1. Hacer un análisis sobre la manera en que influyen parámetros como: tiempo de muestreo, número de muestras por trama, duración de los bits, número de promedios, en la amplitud que se obtiene en el espectro con el bloque BFFT 2. Usar el análisis anterior para deducir una fórmula para escalar el espectro obtenido con el bloque B-FFT para que la amplitud del espectro se acerque lo más posible a la de la PSD de una señal binaria o un proceso binario. Fase II: Analizador de espectros y PSD.
Seguir las instrucciones del profesor.
Bibliografía Couch, L. W. (Fifth Edition). Digital Analog Communication System. Prentice Hall. Ericsson Company. Understanding Telecommunications. Estocolmo. Haykin, S. (2001). Commnunication Systems. United States: John Wiley and Sons. Sklar, B. Digital Communications. Fundamentals and Applications. New Jersey: Prentice Hall. Tomasi, W. (Cuarta edición. 2003). Sistemas de Comunicaciones Electrónicas. Pearson Education.
Preguntas de control de la lectura
1. Dada una señal en el tiempo s(t), explique como calcularía
s (t )
