Daftar Isi 1 Pendahuluan
2
1.1 Pengantar DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Energi dan Daya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sinyal Dan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Perio d diisitas dan Fr ek ekuensi . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Medium dan Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sinyal-Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sinyal Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sinyal Eksp oon nensial Kompleks . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2.3 Siny inyal Supe Superp rpos osis isii Eksp Ekspoonen nensial sial Kompl ompleeks . . . . . . 1.3 1.3 Konsep nsep Harm Harmon onic icaally lly Rela Relate ted d Com Comple plex Ex Expon ponenti entiaal Si Signa gnals . 1.4 Konsep Fr ek ekuensi Analog dan Digital . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Deret Fourier Untuk Sinyal Per io io d diik . . . . . . . . . 1.4.2 Tranformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 1.5 Anal Analo ogg-to to-D -Dig igit ital al Conv Conveersio rsion n dan Pro Proses ses Sampl ampliing . . . . . 1.6 1.6 Sifa Sifatt Freku rekuen ensi si Has Hasil Ana Analog log-Di -Digita gitall Conv Conver ersi sion on . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2 4 5 5 5 6 7 7 8 8 9 11 12
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
14 16 16 20 22 22 23
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Sistem Pemroses Sinyal . Sistem LTI . . . . . . . . Konvolusi . . . . . . . . Direct Form LCCDE . . . LCCDE Orde 2 . . . . . Cascade orde 2 . . . . . Penutup . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
14
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
1 Pendahulu endahuluan an 1.1 Penganta Pengantarr DSP
2. Perhatikan bahwa bahwa bila resistor bernilai 1 Ohm, maka energi yang didisipasi adalah
1. Sinyal adalah model dari besaran fisik yang berubah terhadap waktu .
t2
2. Besaran ini bisa dideteksi dengan alat ukur apabila ia memiliki cukup energi E E serta pada durasi waktu yang cukup.
E = =
P = P =
1.1.1 Energi dan Daya Daya 1. Arus listrik, misalnya, sebagai besar muatan listrik yang bergerak dalam satuan waktu d (i(t) = dt Q(t) Ampere) membawa energi, sehingga bisa diukur. a) Bila arus sebesar ini melalui melalui sebuah hambatan (resistor) (resistor) sebesar sebesar R ohm, maka dalam durasi waktu[ waktu [t1 , t2 ] resistor ini mendisipasi energi sebesar t2
(1.1.3)
1 t2
− t1
t2
ˆ
v2 (t)dt
(1.1.4)
t1
3. Dalam Dalam konteks ini, baik arus listrik listrik ( i(t)) maupun tegangan listrik (v ( v (t)) dipandang sebagai sinyal yang membawa informasi mengenai sumber dari energi yang dibawanya. a) Dinamika berubahnya sinyal sinyal terhadap waktu mencerminkan dinamika dinamika sumber energi dari sinyal itu.
6. Medium dimodelkan sebagai sistem, yang memiliki input dan output .
ˆ
dengan daya
4. Dengan energi yang cukup, sinyal bisa merambat dan menembus medium.
E = =
v 2 (t)dt
t1
3. Agar energi cukup, maka sinyal perlu memiliki sifat pengulangan terhadap waktu ( periodisitas ) menurut frekuensi pengulangan.
5. Seberapa jauh sinyal dengan energi tertentu merambat melalui sebuah medium dan masih tetap terdeteksi ditentukan oleh frekuensi nya
ˆ
b) Sinyal listrik seperti v seperti v((t) dan i dan i((t) adalah besaran dengan variabel independen waktu yang kontinu (continuous time ). ). c) Sinyal yang memiliki memiliki energi terbatas dalam rentang energi .
−∞ < t < ∞ disebut sinyal
d) Sinyal yang memiliki daya daya terbatas dalam rentang tersebut disebut sinyal daya. 4. Sinyal ini dapat digambarkan digambarkan seperti gelombang.
i2 (t)Rdt
(1.1.1)
t1
b) Besaran listrik lain yang umum dikenal adalah adalah tegangan listrik (v (t) = i( i (t)R). c) Kita dapat mendefinisikan mendefinisikan daya listrik sebagai P sebagai P ((t) = v( v (t)i(t). d) Bagi kasus beban resistif (beban yang dapat dimodelkan sebagai resistor), energi yang dibawa arus listrik adalah
a) Besar energi yang dibawa sinyal dicerminkan oleh besar (amplituda) gelombang, di mana semakin kuat sinyal ini semakin besar bentuk (amplituda) gelombangnya b) Sinyal Sinyal gelombang gelombang yang berubah terhadap waktu yang kontinu kontinu ini disebut disebut sinyal analog , karena karena bentuk gelombang gelombang secara visual memiliki analogi dengan besar energi.
1.1.2 Sinyal Sinyal Dan Energi t2
E = =
ˆ
t1
1 2 v (t)dt = dt = R
t2
ˆ
t1
t2
v (t)i(t)dt = dt =
ˆ
t1
P ( P (t)dt
(1.1.2)
1. Secara umum sinyal analog dimodelkan sebagai besaran x besaran x((t), yaitu besaran yang berubah terhadap waktu kontinu t kontinu t..
1 Pendahuluan
a) Meminjam analogi Pers (1.1.3) dan (1.1.4), sinyal analog disebut membawa energi sebesar
t2
E =
ˆ
x2 (t)dt
(1.1.5)
t1
b) dengan daya
P =
t2
1 t2
ˆ
− t1
x2 (t)dt
(1.1.6)
t1
2. Sinyal digital dimodelkan sebagai x[n], yaitu besaran yang berubah terahap indeks (waktu) diskrit n.
Tabel 1.1: Tabel sinyal x[n] A B 1 n x[n] 2 -5 0 3 -4 0 4 -3 0 5 -2 1 6 -1 2 7 0 3 8 1 3 9 2 1 10 3 1 11 4 0 12 5 0 13
a) Juga dengan meminjam analogi yang sama, energi yang dibawa sebuah sinyal digital selama durasi indeks waktu [n1 , n2 ] didefinisikan sebagai
n2
E =
x2 [n]
(1.1.7)
n=n1
a) dengan daya
P =
n2
Contoh: Sebuah sinyal digital x[n] = n = 0 diberi notasi tebal ( bold ).
−
1 n1 + 1
n2
x2 [n]
(1.1.8)
n=n1
{·· · , 0, 1, 2,
3, 3, 1, 1, 0,
···} dengan sample pada
1. Tabel dan kurva sinyal menggunakan sebuah spreadsheet , untuk n = perlihatkan pada Tabel 1.1 dan Gambar 1.1.1.
Gambar 1.1.1: Gambar sinyal.
−5 : 5, di-
2. Energi dari sinyal x[n] =
{··· , 0, 1, 2,
3, 3, 1, 1, 0,
···},
dengan n1 =
− 5 dan
1 Pendahuluan
a) untuk sinyal x(t) dalam durasi waktu[t1 , t2 ] dengan definisi
n2 = 5 adalah E = 12 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12 = 25
xrms
≡
3. dan daya P =
1 2 1 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12 = 2.27 11
t2
1
t2
− t1
ˆ
t1
|x(t)|2 dt
(1.1.9)
b) Untuk besaran digital dalam durasi indeks [1, N ]
| N
Contoh: Hasil yang sama diperoleh menggunakan spreadsheet pada Tabel 1.2. Perha-
xrms =
tikan bahwa pada spreadsheet, rumus untuk menghitung Energi pada sel B14 dan Daya pada sel B15 memanfaatkan fungsi array 1 yang tersedia pada spreadsheet.
1 x[n] 2 N n=1
(1.1.10)
|
a) sehingga bahwa untuk sinyal baik analog maupun digital berlaku Tabel 1.2: Menghitung energi dan daya dari sinyal. A B 1 n x[n] 2 -5 0 3 -4 0 -3 0 4 -2 1 5 6 -1 2 7 0 3 8 1 3 2 1 9 3 1 10 4 0 11 12 5 0 13 14 Energi = 25.00 11 15 D urasi = 2 .2 7 16 Daya =
P = x2rms
(1.1.11)
Contoh: Cari x rms dari x(t) = a cos(ωt)
√
Karena x(t)2 = a 2 cos2 (ωt) = a 2 ( 12 + 12 cos(2ωt)), maka x rms = a/ 2.
1.1.3 Periodisitas dan Frekuensi 1. Karena medium cenderung menyerap energi sinyal, maka sinyal yang berhasil diamati biasanya sinyal memiliki kemampuan men-sustain energi dalam durasi yang cukup lama. a) Karena kapasitas sumber energi itu sendiri cukup terbatas, maka strategi yang dipilih adalah mengulang-ulang pengiriman energi secara berkala. b) Sinyal bentuk ini bersifat periodik . 2. Sinyal analog disebut periodik bila ada sebuah konstanta T (yang disebut periode ) sehingga untuk < t < berlaku
−∞
∞
B14 =SUM(B2:B12*B2:B12) (ctrl-enter) B15 =COUNT(B2:B12) (enter)
x(t + T ) = x(t)
(1.1.12)
B16 =SUM(B2:B12*B2:B12)/COUNT(B2:B12) (ctrl-enter)
1. Dalam praktek dikenal juga besaran root mean square (rms) 1
Pada spreadsheet seperti Microsoft Excel, fungsi array diperoleh dengan memasukkan formula pada sel yang dipilih kemudian diikuti dengan menekan simultan tombol [ ctrl − enter ].
3. Sinyal digital disebut periodik bila ada konstanta N (yang juga disebut periode ) sehingga untuk < n < berlaku
−∞
∞
x[n + N ] = x[n]
(1.1.13)
1 Pendahuluan
4. Sinyal periodik memiliki energi tak terhingga untuk durasi sinyal yang tak terhingga. Namun demikian sinyal ini dapat memiliki daya terbatas , yakni 1 P = T
T
ˆ 0
x2 (t)dt = x2rms
(1.1.14)
a) Sistem digital ini menjadi medium bagi sinyal digital, dan juga memiliki karakteristik frekuensi.
N −1
1 x2[n] = x2rms N n=0
c) Sebuah alat yang disebut analog to digital converter (ADC) dapat mengubah sinyal analog menjadi sinyal digital. 4. Sinyal digital juga merambat secara digital melalui sistem komputer dan jaringan data.
dan
P =
b) Karakteristik utama sinyal digital adalah varibel independen dari sinyal digital tidak lagi waktu kontinu, melainkan waktu diskrit ( discrete time ).
(1.1.15)
Jadi sinyal periodik adalah sinyal daya.
1.1.4 Medium dan Frekuensi 1. Agar dinamika sumber sinyal bisa diamati, maka sinyal perlu merambat, menembus medium, untuk tiba di tempat pengamat. a) Namun medium itu sendiri seringkali bersifat resistif, mengambil energi dari sinyal, sehingga tidak banyak lagi energi yang tersisa untuk diamati di tempat penerima. b) Dikatakan medium meredam (energi) sinyal. 2. Sifat peredaman medium ternyata bergantung dari sebuah besaran yang disebut frekuensi .
b) Sehingga medium digital ini adalah juga filter, tepatnya filter digital .
1.2 Sinyal-Sinyal 1.2.1 Sinyal Sinusoidal 1. Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyal sinusoidal . 2. Sinyal sinusoidal analog berbentuk x(t) = A cos(ωt + θ) = A cos(2πf t + θ)
(1.2.1)
dimana A, ω = 2πf dan θ adalah bilangan nyata ( real ). a) Sinyal ini periodik dengan periode T = 1/f .
a) Setiap sinyal memiliki karakteristik frekuensi.
b) Dalam medium dengan kecepatan perambatan sinyal yang tetap, periode ini proporsional dengan panjang gelombang .
b) Bisa dikatakan energi dari sinyal dibawa secara efektif oleh komponen sinyal berfrekuensi tertentu.
c) Besaran ω dan f masing-masing dikenal sebagai frekuensi sinyal sinusoidal dalam radian dan dalam Hertz.
c) Setiap medium juga memiliki karakteristik frekuensi, yang disebut respons frekuensi (frequency response ) dari medium ini.
d) Besaran θ sering disebut fase dari sinyal sinusoid.
d) Kecocokan antara karakteristik frekuensi sinyal dan respon frekuensi medium menentukan apakah sinyal berhasil merambat untuk tiba di pengamat dengan energi yang cukup untuk diukur atau tidak. e) Sifat medium yang menapis atau melalukan sinyal berdasarkan karakteristik frekuensi disebut filter . 3. Dengan hadirnya komputer, yang merupakan teknologi digital, maka sinyal dapat direpresentasikan sebagai data komputer. a) Sinyal yang berupa data komputer ini disebut sinyal digital .
e) Besaran A disebut amplituda. Contoh: Buktikan bila T = 1/f , x(t) pada Pers. (1.2.1) periodik.
Jawab: x(t + T ) = A cos(2πf (t + T ) + θ) = A cos(2πf t + 2πf T + θ) Bila T = 1/f , maka x(t + T ) = A cos(2πf t + 2π + θ) = A cos(2πf t + θ) = x(t). Artinya periodik. 3. Sinyal digital juga mengenal bentuk sinuosidal x[n] = A cos(ωn + θ) = A cos(2πf n + θ)
(1.2.2)
1 Pendahuluan
a) Namun sinyal ini tidak selalu periodik.
i. semakin besar x rms secara proporsional,
b) Sinyal ini hanya periodik dengan periode N bila f = sudah disederhanakan. Contoh: Buktikan bila f =
k N adalah
pecahan yang
k N adalah
pecahan yang sudah disederhanakan, maka x[n] pada Pers. (1.2.2) periodik dengan periode N .
6. Melalui sinyal sinusoidal kita mengenal frekuensi ( ω atau f ). a) Frekuensi dari sinyal sinusoidal berhubungan erat dengan periodisitas. b) Bagi sinyal sinusoidal analog:
Jawab: x[n + N ] = A cos 2π kN (n + N ) + θ = A cos 2π kN n + 2πk + θ Karena f =
ii. dan semakin besar daya secara kuadratik.
k N ,
maka
i. frekuensi adalah jumlah osilasi gelombang per satuan waktu ii. Frekuensi berbanding terbalik dengan periode.
x[n + N ] = A cos 2π kN n + θ = A cos(2πf t + θ) = x[n]
c) Bagi sinyal sinusoidal digital: i. adanya frekuensi tidak otomatis berarti periodik.
4. Frekuensi dari sinyal sinusoidal digital juga memiliki sifat periodik: a) Sinyal dengan frekuensi ω1 dan ω 2 = ω 1 +2πk (k = identik.
···− 2, −1, 0, 1, 2, ··· ) adalah
b) Jadi sinyal sinusoidal dengan frekuensi yang unik adalah sinyal sinuosidal yang memiliki frekuensi π < ω < π.
−
c) Sinyal sinusoidal pada frekuensi ω 2 di luar interval ini merupakan alias (identik) dengan ω 1 di mana π < ω1 < π dan ω 2 = ω 1 + 2πk.
−
Contoh: Buktikan
x1 [n] A cos((ω + 2πk)n + θ)
=
A cos(ωn + θ) identik
Jawab: x2 [n] = A cos((ω + 2πk)n + θ) A cos(ωn + θ) = x1 [n]
=
dengan
x2 [n]
A cos(ωn + 2πkn + θ)
= =
ii. sinyal sinusoidal yang unik hanya terbatas pada frekuensi
−π < ω < π .
d) Dan setiap sinyal sinusoidal membawa daya (atau energi rata-rata) yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat amplituda. e) Setiap sinyal sinusoidal membawa nilai RMS berbanding lurus dengan amplituda.
1.2.2 Sinyal Eksponensial Kompleks 1. Sinyal periodik yang sangat penting adalah sinyal eksponensial kompleks ( complex exponential ). a) Kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi kompleks eksponensial menggunakan fungsi sinusoidal menurut identitas Euler:
5. Sebagai sinyal periodik, energi sinyal sinusoidal tak terhingga. ejx = cos x + j sin x
a) Sehingga kita hanya bisa mengukur daya. b) Daya sinyal sinusoidal analog adalah 1 T 2 A cos2 (ωt + θ)dt T 0 P = A2/2 P =
ˆ
b) Sebuah sinyal kompleks eksponensial analog dan digital masing-masing memiliki bentuk
(1.2.3) (1.2.4)
c) Hasil yang sama diperoleh juga untuk sinusoidal digital periodik. d) Dapat disimpulkan, besar daya dari sinyal sinusoidal ditentukan oleh besar amplituda. e) Semakin besar amplituda sinusoidal maka
x(t) = cejωt ; x[n] = ce jωn
(1.2.5)
c) Sinyal eksponensial kompleks ini memiliki frekuensi ω dan amplituda kompleks c. d) Karena identitas Euler, maka dengan mudah diperlihatkan bahwa semua sifat-sifat sinyal sinusoidal di atas —periodisitas, frekuensi, dan daya— dapat berlaku pada sinyal eksponensial kompleks. 2. Periode dari sinyal ini sama dengan periode dari sinusoidal.
1 Pendahuluan
3. Daya dari sinyal ini adalah
d) Energi sinyal sinusoidal dibagikan kepada komponen frekuensi berbeda untuk dikirim oleh masing-masing komponennya. P = c 2
(1.2.6)
||
4. Sebaliknya, dan ini lebih penting lagi, sinyal eksponensial kompleks dapat dianggap sebagai komponen penyusun dari sinyal sinusoidal a) Karena sinyal sinusoidal dapat diuraikan ke dalam sinyal eksponensial kompleks melalui identitas
e) Dengan demikian, perilaku filter terhadap sinusoid dapat dipelajari melalui perilaku filter terhadap eksponensial kompleks. 6. Konsep bahwa energi sinyal yang merambat melalui medium dibawa oleh komponen kompleks eksponensial dengan frekuensi tertentu melalui amplitudanya adalah konsep paling dasar dari dari pemrosesan sinyal.
1.2.3 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks sin x = cos x =
1 jx 1 jx e e 2 j 2 j 1 jx 1 jx e + e 2 2
−
(1.2.7)
−
(1.2.8)
−
1. Kita dapat memperluas cakupan peran sinyal eksponensial kompleks (sebagai pembawa energi pada frekuensi tertentu) dari sinyal sinusoidal ke kelas yang lebih luas yaitu sinyal superposisi : N −1
b) Dengan demikian sinyal x(t) = A cos(ωt + θ) dapat ditulis menjadi
x(t) =
N −1
sk (t) =
k=0
A j(ωt+θ) A j(ωt+θ) e + e 2 2 A jθ jωt A = ( e )e + ( e jθ )e 2 2 = s1 (t) + s2 (t) −
x[n] =
k=0 jωt
(1.2.10)
(1.2.11)
−
jθ jωt di mana s 1 (t) = ( A dan s 2 (t) adalah konjugasi kompleks dari s 1 (t). 2 e )e
5. Perhatikan bahwa daya dari s 1 (t) dan s 2 (t) masing-masing adalah daya adalah A2 seperti yang diperoleh sebelumnya. 2
A2 4 ,
b) Merambatnya sinyal sinusoidal ditentukan oleh merambatnya komponen eksponensial kompleks. c) Kemampuan sinyal sinusoidal menembus medium ditentukan oleh kemampuan individual eksponensial kompleks menembus medium ini.
t
(1.2.12)
ck ejω
k
n
(1.2.13)
N −1
sk [n] =
k=0
k
k
a) Setiap komponen memiliki frekuensi ω k yang berbeda. Daya dari masing-masing komponen ini adalah
| |2
(1.2.14)
P k = ck
b) dan daya dari sinyal x(t) (atau x[n]) adalah jumlah dari daya komponennya: N −1
sehingga total
a) Dengan kata lain komponen kompleks eksponensial adalah komponen pembawa energi dari sinyal sinusoidal.
k
2. Ini berarti sinyal x(t) (atau x[n]) jenis ini merupakan penjumlahan (superposisi) dari N buah komponen eksponensial kompleks s k (t) = c k ejω t (dan s k [n] = c k ejω n ).
c) Dengan kata lain dua eksponensial kompleks s1 (t) dan s2 (t) adalah komponen penyusun sinyal sinusoidal. d) Karena setiap eksponensial kompleks memiliki frekuensi sendiri, maka s1 (t) dan s2(t) juga dibedakan melalui frekuensi nya.
ck ejω
k=0
N −1
(1.2.9)
x(t) =
P =
| |2 | |2 ··· + |cN 1|2
P k = c0 + c1 +
k=0
−
(1.2.15)
1.3 Konsep Harmonically Related Complex Exponential Signals 1. Sebuah kasus khusus dari sinyal superposisi eksponensial kompleks adalah sinyal di mana sk (t) = c k ejω t (atau s k [n] = c k ejω n ) terhubung erat satu sama lain. k
k
1 Pendahuluan
a) Frekuensi yang satu merupakan kelipatan (harmonis) dari sebuah frekuensi dasar, yakni
1.4 Konsep Frekuensi Analog dan Digital 1.4.1 Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik
ωk = kω 0
(1.3.1)
b) Sinyal jenis ini berbentuk
a) mendefinisikan sebuah sinyal yang periodik N −1
x(t) =
N −1
sk (t) =
k=0 N −1
x[n] =
ck ejkω
0
t
(1.3.2)
k=0 N −1
sk [n] =
k=0
ck ejkω
0
n
(1.3.3)
k=0
3. Di sini s k (t) (atau s k [n]) adalah pembawa energi x(t) (atau x[n]) dengan daya sebesar P k = ck 2 pada frekuensi ω k = kω 0 .
| |
ejω 0 t
ejω 0 n )
4. Perhatikan bahwa sebuah sinyal dasar s 0 (t) = c 0 (atau s 0 [n] = c 0 untuk digunakan membangun komponen sinyal s k (t) (atau s k [n]) yang lain.
periodik dengan periode T = 2π/ω0 .
Maka x(t + T ) =
N −1 k=0 sk (t
+ T ) =
Contoh: Buktikan bahwa x[n] =
2πk/ω0 .
Maka x[n + N ] =
0
n
N −1 jkω 0 n k=0 ck e
N ] =
= ck ejkω t ejk2π = 0
periodik dengan periode N =
0
t
(1.4.1)
a) kita tidak perlu memperluas jumlah komponen sampai tak hingga, karena sk+N [n] = s k [n], di mana periode N = 2πk/ω0 . b) Sehingga kita cukup menggunakan komponen dasar sebanyak N buah:
N −1
sk [n] =
ck ejkω
0
n
(1.4.2)
k=0
3. Dengan membuat jumlah komponen sinyal eksponensial kompleks menuju tak hingga maka Fourier mengklaim bahwa semua sinyal periodik di dunia dapat memiliki bentuk superposisi yang sama seperti ini. a) Yang membedakan satu sinyal periodik dengan yang lain adalah frekuensi dasarnya (ω0 ) yang ditentukan oleh periode (T atau N ) dari sinyal periodik ini. b) Meskipun dua sinyal periodik berbeda, bila mereka memiliki periode yang sama, maka mereka menggunakan komponen s k (t) (atau s k [n]) yang persis sama. c) Yang membedakan mereka adalah faktor c k . Sinyal yang satu memiliki c k yang berbeda dengan sinyal yang lain itu. 4. Karena komponen pembawa frekuensi e jkω t selalu tetap untuk sinyal dengan perioda tertentu, maka besaran c k menjadi penting. 0
0
(n+2πk/ω0 )
= c k ejkω n ejk
= s k [n]
N −1 k=0 sk [n +
(t+2π/ω0 )
N −1 k=0 sk (t) = x(t)
Jawab: Perhatikan bahwa s k [n + N ] = c k ejkω Sehingga s k [n + N ] = c k ejkω
0
ck ejkω
2. Perhatikan bahwa untuk sinyal digital
k=0
0
0
k=−∞
N −1
5. Dengan demikian maka sinyal jenis ini adalah sinyal periodik dengan periode T = 2π/ω0 k atau N = 2πk/ω0 (di mana f 0 = ω2π = N adalah bilangan pecahan/rasional yang sudah disederhanakan). Jawab: Perhatikan bahwa sk (t + T ) = ck ejkω ck ejkω t = s k (t).
∞
sk (t) =
b) Sinyal superposisi ini periodik dengan perioda T = 2π/ω 0.
x[n] =
b) Setiap komponen adalah harmonis dari komponen dasar s 0 (t) (atau s 0 [n]).
N −1 jkω 0 t k=0 ck e
cukup
a) Jadi sekarang komponen eksponensial terhubung secara harmonis.
∞
x(t) =
k=−∞
2. Daya dari masing-masing komponen ini masih tetap sama seperti sebelumnya. Demikian juga daya totalnya.
Contoh: Buktikan bahwa x(t) =
1. Kita dapat memperluas lebih lanjut sinyal superposisi ini dengan
N −1 k=0 sk [n] = x[n]
0
2
2π
.
a) Dengan kata lain sebuah sinyal x(t) (atau x[n]) dapat direpresentasikan sepenuhnya oleh kumpulan koefisien {ck }, untuk k = , 2, 1, 0, 1, 2, .
··· − −
···
1 Pendahuluan
b) Kumpulan koefisien ini membentuk deret
{··· , c
7. Sedemikian penting spektrum koefisien { , c 2 , c 1 , c0 , c1 , c2 , } ini sehingga Fourier menurunkan cara cepat untuk mencari nya, yaitu melalui apa yang disebut deret Fourier (atau dikenal juga dengan nama spektrum sinyal periodik):
···
2 , c−1 , c0 , c1 , c2 ,
−
···}
yang terkenal sebagai deret Fourier ( Fourier series ) dari sinyal periodik x(t) (atau x[n]). 5. Kita sekarang dapat mengatakan bahwa semua sinyal periodik x(t) (atau x[n]) dengan periode 2π/ω0 (atau 2πk/ω0 ) disusun oleh superposisi dari komponen sinyal eksponensial kompleks sk (t) (atau sk [n]), masing-masing p embawa energi/daya sebesar ck 2 pada frekuensi kω 0 .
| |
6. Meskipun ada banyak jumlah komponen sinyal eksponensial kompleks sk (t) (atau sk [n]), tidak semua signifikan. a) Signifikansi komponen ini bergantung dari besar energi/daya yang dibawanya. b) Dengan kata lain semakin besar ck 2 , semakin penting s k (t) (atau s k [n]).
| |
| |2 kecil maka s k (t) (atau s k [n]) pada k tersebut dapat
c) Bila pada k tertentu ck diabaikan.
d) Maka sinyal ini dapat mengambil bentuk Pers (1.3.2) dengan jumlah komponen yang terbatas. e) Sebagaimana sebelumnya daya total sinyal sinyal x(t) dan x[n] masing-masing adalah
P =
ck
k=−∞
|
| k=0
ck
2
−
(1.4.3)
jkω 0 n
(1.4.4)
−
dimana T = 2π/ω0 dan N = 2π/ω0 . a) Untuk sinyal analog, k = (
−∞, ∞).
b) Sedangkan untuk sinyal digital, cukup k = [0, N selain sinyal periodik, koefisien juga periodik.
− 1], karena c k+N = ck , artinya
8. Visualisasi dapat membantu memahami konsep spektrum ini. Untuk sinyal analog, a) kita bisa mendefinisikan sumbu x sebagai garis frekuensi sepanjang
−∞ < ω < ∞. b) Pada garis ini kita meletakkan titik-titik frekuensi ω k = kω 0 untuk k = (−∞, ∞). c) Dan pada titik-titik frekuensi ini kita t arik garis-garis sejajar setinggi |ck |2 . d) Hasilnya adalah gambar power-density spectrum (PDS) dari sinyal x(t), atau sering diringkas spektrum. 9. Untuk sinyal digital, cara yang sama dapat dilakukan, 2
− 1].
c) Karena itu garis spektrum bagi sinyal digital sebaiknya bukan garis lurus melainkan garis lingkaran.
|2
|2 , |c 1|2 , |c0|2 , |c1|2 , |c2|2 , −
jkω 0 t
−
T N −1
| |
i. Garis lingkaran ini mampu menangkap esensi dari periodisitas spektrum digital. ii. Di sini setiap frekuensi merepresentasikan sudut.
| |2 disebut densitas daya ( power density ) pada frekuensi kω 0, dan , c
x(t)e
···
b) Untuk k di luar itu, spektrum { ck } diulang kembali karena {ck+N = c k }.
f) besaran ck
··· |
ˆ
1 x[n]e N n=0
=
| |
2
N −1
P =
ck
1 T
=
−
a) tapi spektrum { ck 2 } biasanya unik hanya untuk k = [0, N
∞
|
ck
−
···
dikenal sebagai spektrum densitas daya ( power-density spectrum, PSD).
1.4.2 Tranformasi Fourier 1. Pertanyaan kita sekarang apakah sinyal tidak periodik x(t) (atau x[n]) dapat juga dinyatakan sebagai superposisi dari sinyal eksponensial kompleks? Apakah kita bisa membayangkan adanya komponen frekuensi p embawa energi dalam bentuk eksponensial kompleks?
1 Pendahuluan
2. Ternyata ya. Bila kita membayangkan sinyal aperiodik x(t) adalah limit dari sinyal periodik ˜x(t) dengan periode menuju tak hingga, maka kita bisa melakukan pendekatan yang serupa terhadap sinyal x(t). a) Untuk itu kita mulai dengan mendefinisikan Transformasi Fourier dari x(t) sebagai ∞
X (ω) =
ˆ
jωt
x(t)e
−
dt
(1.4.5)
−∞
x(t) =
1 2π
∞
ˆ
X (ω)ejωt dω
(1.4.11)
−∞
h) Inversi ini memiliki bentuk seperti Pers. (1.4.1), sehingga intepretasi serupa bisa dilakukan terhadap Pers. (1.4.11): sinyal aperiodik x(t) terdiri dari tak hingga eksponensial kompleks dengan frekuensi yang berdekatan satu sama lain membentuk garis kontinu.
b) Kemudian kita mengsumsikan x(t) tidak periodik dan berdurasi pendek (yakni, x(t) = 0 untuk t di luar sebuah interval 0 t < T ).
i. Spektrum dari x(t) adalah garis kontinu X (ω) yang merupakan densitas dari spektrum.
c) Maka kita bisa menggunakan x (t) ini untuk membentuk sebuah sinyal periodik x ˜(t) dengan periode T , dengan cara mereplikasi x(t), 0 < t < T secara periodik, sedemikian hingga
ii. Koefisien atau amplituda dari eksponensian kompleks ejωt adalah
≤
x(t) =
x ˜(t), 0 t < T 0, lainnya
≤
T
ck
=
ˆ 1 T ˆ 1 T ˆ 1
x˜(t)e
jkω 0 t
dt
(1.4.7)
x(t)e
jkω 0 t
dt
(1.4.8)
(1.4.9)
−
iii. Jadi energi dari sinyal aperiodik x(t) yang besarnya sesuai Pers (1.1.5) ini dapat juga diperoleh melalui
(1.4.6)
d) Karena x ˜(t) periodik dengan periode T , ω 0 = 2π/T , maka x ˜(t) memiliki deret Fourier
E =
1 2π
T
−
0
∞
=
T
x(t)e
jkω 0 t
−
dt
∞
ˆ
−∞
|X (ω)|2 dω
(1.4.12)
i) Oleh sebab itu X (ω) 2 adalah spektrum densitas energi ( energy-density spectrum).
|
|
j) Secara visual, berbeda dengan power-density spectrum pada kasus sinyal periodik yang berupa garis-garis pada titik kω 0, energy-density spectrum ini adalah kurva kontinu pada garis frekuensi sepanjang <ω < .
−∞
0
=
1 2π X (ω)dω.
∞
3. Konsep yang serupa dapat dikembangkan untuk sinyal digital aperiodik x[n]. a) Kita dapat mendefinisikan transformasi Fourier untuk sinyal digital sebagai ∞
−∞
X (ω) =
x[n]e
jωn
−
(1.4.13)
k=−∞
e) jadi kita peroleh ck =
1 X (kω0 ) T
(1.4.10)
f) Dengan kata lain, sinyal periodik ˜x(t) hasil bentukan seperti ini memiliki spektrum yang merupakan hasil sampling dari transformasi Fourier dari x(t) pada titik titik 1 kω0 dengan skala T . g) Lebih penting lagi, dapat diperlihatkan bahwa inversi dari transformasi Fourier adalah
b) Asumsikan bahwa sinyal aperiodik x[n] ini berdurasi pendek, artinya memiliki nilai untuk 0 n < N , dan x[n] = 0 di luar interval itu.
≤
c) Kita dapat menggunakan sinyal ini untuk membentuk sinyal periodik ˜x[n], dengan periode N , sedemikian sehingga
x[n] =
x ˜[n], 0 n < N 0, lainnya
≤
(1.4.14)
1 Pendahuluan
d) Maka sinyal periodik ˜x[n] ini memiliki spektrum
c) Jadi besar energi yang dibawa oleh eksponensial kompleks pada titik frekuensi ω 1 adalah 2π X (ω) 2 dω. Oleh sebab itu, X (ω) 2 dikenal juga sebagai energy-density spectrum dari x[n].
|
N −1
ck
=
1 x˜[n]e N n=0
=
1 N n=
jkω 0 n
−
|
|
|
(1.4.15)
6. Sebagai catatan terakhir, meskipun penjelasan di atas mengasumsikan bahwa x(t) dan x[n] aperiodik, definisi transformasi Fourier sendiri tidak mengasumsikan hal ini.
(1.4.16)
a) Asumsi yang digunakan transformasi Fourier hanyalah bahwa integrasi dan sumasi pada persamaan transformasi Fourier itu sendiri konvergen.
(1.4.17)
b) Dan spektrum sinyal periodik c k dapat diintegrasikan ke dalam kerangka transformasi Fourier X (ω) dengan mengintroduksi sinyal δ (t) dan δ [n].
∞
x[n]e
jkω 0 n
−
−∞
=
1 X (kω0 ) N
4. Serupa dengan pada kasus sinyal analog, sinyal periodik ˜x[n] hasil bentukan seperti ini memiliki spektrum yang merupakan hasil sampling dari transformasi Fourier dari x[n] 1 pada titik titik kω 0 dengan skala N . a) Perbedaan utama adalah sifat periodisitas dari X (ω). Perhatikan bahwa X (ω + k2π) = X (ω). b) Jadi kita cukup memperhatikan X (ω) pada suatu interval π/2 < ω < π /2, karena X (ω) di luar itu adalah replikasi dari X (ω) dalam interval ini.
−
c) Lebih penting lagi, X (ω) pada interval konstruksi x[n] kembali.
−π/2 < ω < π/2 ini cukup untuk mere-
d) Kita dapat memperlihatkan bahwa inversi dari transformasi Fourier adalah x[n] =
1 2π
π
ˆ
X (ω)ejωn dω
(1.4.18)
π
−
e) Jadi sinyal x[n] dapat dipandang terdiri dari tak-hingga komponen-komponen ekponensial kompleks pada frekuensi di sebuah interval garis frekuensi π/2 ω < π/2 (yang secara visual membentuk lingkaran untuk memperlihatkan periodisitas).
− ≤
5. Besar amplituda sebuah ekponensial kompleks pada titik frekuensi ω adalah
1 2π X (ω)dω.
a) Oleh sebab itu X (ω) sering disebut spektrum dari x[n]. b) Dan selain menggunakan Pers. (1.1.7) energi yang dibawa sinyal ini dapat dihitung juga melalui spektrum nya, yakni
c) Dengan kata lain transformasi Fourier X (ω) adalah karakterisasi frekuensi dari sinyal umum (periodik maupun aperiodik), yang dapat menjelaskan perilaku perambatan sinyal melalui medium. 7. Sebagai kesimpulan, kita dapat mengatakan bahwa setiap sinyal (x(t) maupun x[n]) dapat dipandang sebagai superposisi (untuk sinyal periodik) atau integral (untuk sinyal umum aperiodik atau periodik) dari sinyal komponen yang bernama eksponensial kompleks. a) Eksponensial kompleks inilah yang merambat dan menembus medium, sehingga mengakibatkan sinyal (x(t) maupun x[n]) dapat merambat. b) Sinyal eksponensial kompleks ini terdiri dari dua elemen: (i) frekuensi tertentu ω dan (2) koefisien/amplituda c k (untuk sinyal periodik) atau H (ω) (untuk sinyal umum aperiodik atau periodik). c) Frekuensi ini yang menyebabkan komponen kompleks eksponensial dapat merambat melalui medium, sambil masing-masing komponen ini membawa daya (untuk sinyal periodik) atau energi (untuk sinyal aperiodik) sebesar kuadrat dari magnituda koefisien/amplituda atau kuadrat dari magnitude transformasi Fourier, untuk dapat diamati penerima.
1.5 Analog-to-Digital Conversion dan Proses Sampling 1. Sinyal digital x[n] bisa diperoleh dari sinyal analog x(t), melalui sebuah alat/sistem bernama analog to digital converter (ADC). a) Secara sederhana ADC melakukan proses sampling secara periodik. b) Perioda sampling (T ) dan frekuensi sampling (F s) terhubung dengan F s = 1/T .
1 E = 2π
π
ˆ
π
−
|X (ω)|
2
dω
(1.4.19)
c) Misalkan perioda sampling T = 0.125 detik, maka dalam satu detik proses sampling terhadap x(t) akan menghasilkan 8000 sample x[n], dan F s = 8000 Hz.
1 Pendahuluan
2. Proses sampling menghasilkan x[n] menurut
π
x[n] = x(t) t=nT
|
ˆ
π
−
(1.5.1)
3. Sebaliknya sebuah alat/sistem digital to analog converter (DAC) dapat merekonstruksi sinyal analog dari sinyal digital. DAC ini akan merekonstruksi x[n] menjadi x(t) sedemikian sehingga Pers. (1.5.1) terpenuhi dan x(t) memuhi kriteria Nyquist. Dengan demikian, hubungan antara frekuensi kedua sinyal ini memenuhi juga Pers. (1.6.3).
∞
X d (ω)ejωn dω =
··· +
ˆ
π
X a (Ω)ejΩnT dΩ +
3π
−
1.6 Sifat Frekuensi Hasil Analog-Digital Conversion
π
ˆ
X a (Ω)ejΩnT dΩ +
π
π
∞
ˆ ˆ k=−∞ π
=
3π
ˆ
X a(Ω)ejΩnT dΩ +
π
−
= 4. Sebagai kesimpulan, bila sinyal analog x(t) memenuhi kriteria Nyquist, maka proses sampling oleh ADC dengan periode sampling T akan meloloskan spektrum X a (Ω) men1 jadi X d (ω) = T X a (ω/T ). Proses rekonstruksi x[n] melalui DAC akan meloloskan spektrum digital X d (ω) menjadi X a (Ω) = T X d (ΩT ). Maka keseluruhan proses kaskade ADC dan DAC dari sinyal x(t) yang memenuhi kriteria Nyquist transparan, artinya menembuskan spektrum secara utuh.
X a(Ω)ejΩnT dΩ
−∞
−
=
ˆ
X a (Ω
− kΩs)ejΩnT dΩ
X a (Ω
− kΩs)ejΩnT dΩ
π
−
···
∞
π k=−∞
−
Ruas kanan akan sama dengan ruas kiri apabila
ω = ΩT
(1.6.3)
atau secara ekivalen
1. Apa hubungan antara spektrum x(t) dengan spektrum x[n] hasil sampling?
f = F/F s
2. Berdasarkan karakteristik frekuensi, sinyal analog x(t) memiliki bentuk Pers. (1.4.11):
(1.6.4)
sehingga 1 x(t) = 2π
∞
ˆ
X a(Ω)ejΩtdΩ X d (ω) =
k=−∞
sedangkan sinyal digital x[n] memiliki bentuk Pers. (1.4.18): 1 x[n] = 2π
1 X a (Ω T
− kΩs)
(1.6.5) Ω=ω/T
5. Visualisasi dapat membantu, meskipun agak rumit.
π
ˆ
∞
−∞
jωn
X d (ω)e
a) Secara umum spektrum X a (Ω) bersifat aperiodik sehingga sebaiknya divisualisasikan sebagai kurva di garis frekuensi yang berbentuk garis lurus < Ω < ,
dω
−∞
π
−
∞
3. Perhatikan frekuensi analog dan digital masing-masing mendapat notasi Ω = 2πF dan ω = 2πf agar keduanya mudah dibedakan.
b) sedangkan spektrum digital X d (ω) bersifat periodik sehingga sebaiknya divisualisasikan sebagai kurva di garis frekuensi yang berbentuk lingkaran π ω < π.
4. Maka proses sampling mengakibatkan
c) Proses sampling menyebabkan ada tak-hingga buah kurva gulung untuk membentuk lingkaran sehingga cocok dengan garis frekuensi yang π π berbentuk lingkaran T Ω < T .
− ≤
1 T X a (Ω) digulung-
− ≤
1 2π
x[n] = x(nT ) π 1 X d (ω)ejωn dω = 2π π
ˆ
−
(1.6.1)
∞
ˆ
−∞
X a (Ω)ejΩnT dΩ
(1.6.2)
1 d) Jadi ada tak-hingga gulungan kurva T X a (Ω). Gulungan ke k ( < k < ) 1 adalah T X a (Ω) yang digeser secara sudut (diputar) sebanyak kΩs menjadi 1 kΩs) di mana Ω s = 2π/T , kemudian dari gulungan-gulungan di jumlah T X a (Ω sehingga membentuk X d (ω), menurut Pers. (1.6.5).
−
−∞
∞
1 Pendahuluan
6. Kita hanya membahas kasus khusus, di mana diasumsikan bahwa X a(Ω) = 0 untuk π π Ω diluar interval T Ω < T . Sinyal yang memenuhi asumsi ini disebut memenuhi kriteria Nyquist.
− ≤
7. Bila kriteria Nyquist dipenuhi Pers. (1.6.5) tersebut menjadi X d (ω) =
1 X a(Ω) T
karena
(1.6.6) Ω=ω/T
∞
X a (Ω
k=−∞
− kΩs) = X a(Ω)
(1.6.7)
8. Apa yang terjadi apabila kriteria Nyquist tidak dipenuhi? 1 π a) Kurva T X a(Ω) pada frekuensi Ω yang berada di luar interval T Ω < π π nol sehingga “bocor” ke T Ω < T pada saat digulung dan diputar.
− ≤
− ≤
π tidak T
b) Pada saat gulungan ini dijumlah, komponen yang bocor ini mempengaruhi kurva 1 1 ˜ T X a (Ω) secara aditif membentuk kurva baru T X a (Ω), menurut ∞
k=−∞
X a (Ω
− kΩs) = X ˜a(Ω) = X a(Ω)
(1.6.8)
c) akibat nya sinyal digital yang kita peroleh memiliki spektrum yang berbeda X d (ω) =
1 ˜ X a(Ω) T
(1.6.9) Ω=ω/T
9. Untuk seterusnya kita hanya akan menangani sinyal x(t) yang memenuhi kriteria Nyquist.
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya [n]
SISTEM
1
y [n]
[n]
y [n]
(a) Gambar 2.1.1: Sistem.
x2 [n]
x1 [n]
y [n]
(b)
x[n]
z −1
y [n]
(c)
x2 [n]
Gambar 2.1.2: Sistem dasar: (a) penjumlahan sinyal, (b) perkalian skalar, dan (c) elemen delay.
1. Sebuah sumber mengirimkan energi yang membawa sinyal x[n] (atau x(t)). 2. Karena sinyal mengandung energi dalam komponen frekuensi, maka sinyal dapat merambat melalui medium sehingga tiba di pengamat.
b) pengali sinyal dengan skalar, dan c) penunda sinyal, (lihat Gambar 2.1.2) yang masing-masing dimodelkan dengan
3. Persoalannya, medium pun mengambil atau menambah energi dari sinyal sehingga energi sinyal yang tiba di pengamat sudah berubah.
y[n] = x 1[n] + x2 [n]
4. Sinyal yang diamati di penerima bukan lagi sinyal x[n] (atau x(t)) tapi sinyal y[n] (atau y(t)). y[n] = αx1 [n]
5. Medium ini dapat dimodelkan dengan sebuah sistem yang menrima sinyal input x[n] (atau x(t)) dan menghasilkan sinyal output y[n] (atau y(t)).
y[n] = x1 [n
2.1 Sistem Pemroses Sinyal 1. Sebuah sistem memiliki input sinyal x[n] (atau x (t)) dan menghasilkan output sinyal y[n] (atau y(t)). a) Seringkali sistem direpresentasikan oleh persamaan input-output y [n] = F x[n] (atau y(t) = F x(t) ), sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.1.1.
{ }
{
}
b) Persamaan ini menjelaskan output y (t) (atau y [n]) apa yang akan diterima oleh pengamat saat sistem menerima input x[n] (atau x(t)) dari sumber. c) Sinyal input x[n] (atau x(t)) sering disebut eksitasi ( excitation) dan sinyal output y[n] (atau y (t)) disebut respon ( response ). 2. Tiga sistem dasar adalah a) penjumlah sinyal,
− k]
3. Sebuah sistem yang disebut linear constant coefficient differential equation LCCDE orde 2 memiliki bentuk
a0 y[n] =
−a1y[n − 1] − a2y[n − 2] + b0x[n] + b1x[n − 1] + b2x[n − 2]
(2.1.1)
4. Contoh: Sebuah LCCDE orde dua memiliki nilai koefisien seperti diperlihatkan pada Tabel 2.1. a) Bila sistem dimasuki oleh sebuah sinyal x[n] = 0, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 0 , maka kita dapat menghasilkan output y [n] menurut persamaan sistem.
{
}
b) Dengan menggunakan spreadsheet, kita dapat menghitung y[n] misalnya 60 samples, menurut Tabel 2.2dan Gambar 2.1.3berikut.
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
Tabel 2.1: Contoh koefisien sebuah sistem Ko efisien Nilai a2 0.743860718 a1 -1.24523096 a0 1 b2 1.356789856 b1 -0.275511966 b0 1.356789856
Tabel 2.2: Output sistem pada contoh. A B C 2 Koefisien Nilai 3 a2 0.743860718 4 a1 -1.24523096 5 a0 1 6 b2 1.356789856 7 b1 -0.275511966 8 b0 1.356789856 9 10 n x[n] y[n] 11 -2 0 0 12 -1 1.356789856 13 0 1 14 1 2 4.127584481 15 2 3 9.006668802 16 3 3 14.10244827 15.4617216 17 4 1 13.91480459 18 5 1 6.907056044 19 6 0 20 7 -0.393006652 21 8 -5.62727172 22 9 -6.714910757 -4.175708386 23 10 .. .. .. .. . . . . 71 72
58 59
0 0
-0.004623447 -0.003580681
Kode spreadsheet: C13:=SUM(B11:B13*C$6:C$8) - SUM(C11:C12*C$3:C$4) (ctrl-enter) C14:=SUM(B12:B14*C$6:C$8) - SUM(C12:C13*C$3:C$4)(ctrl-enter) C15:
Gambar 2.1.3: Kurva sinyal output dari sistem.
dst
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
5. Sistem analog dimodelkan secara serupa dengan
c) sedangkan sinyal impuls didefinsikan sebagai
y(t) = x1 (t) + x2 (t)
δ (t) =
y(t) = αx 1(t) y(t) = x1 (t
δ [n] =
d u(t) dt 1, n = 0 0, n < 0
(2.2.7)
(2.2.8)
5. Sebuah medium yang sempurna akan menembuskan step dan impuls secara utuh tiba di penerima.
− T )
6. Tapi dalam praktek umumnya tidak demikian.
2.2 Sistem LTI
a) Medium/sistem mengubah input sinyal step menjadi output sinyal respons step (step response ) s(t) (atau s[n]), dan mengubah input sinyal impuls menjadi output sinyal respons impulse ( impulse response ) h(t) (atau h[n]). b) Umumnya s(t) = u(t), h(t) = δ (t), s[n] = u[n], dan h[n] = δ [n].
1. Sebuah sistem dapat bersifat linier, bila persamaan input-output memenuhi
F α1 x1 (t) + α2 x2 (t) F α1 x1 [n] + α2 x2 [n]
{ {
} }
= α1 F x1 (t) + α2 F x2 (t) = α1 F x1 [n] + α2 F x2 [n]
{ {
} }
{ {
} }
(2.2.1) (2.2.2)
− T ) − N ]
= F x(t = F x[n
{ − T )} { − N ]}
(2.2.3) (2.2.4)
3. Sistem disebut linier dan tak berubah waktu ( linear time invariant , LTI) bila sistem memiliki kedua sifat tersebut.
a) Untuk keperluan ini, dua sinyal paling sederhana adalah sinyal step dan sinyal impuls . b) Sinyal step didefinisikan sebagai
u[n] =
1, t 0 0, t < 0
≥
1, n 0 0, n < 0
≥
7. Semakin sempurna sebuah medium/sistem dalam melalukan sinyal, semakin dekat bentuk step respons pada unit step, dan semakin dekat bentuk impulse respons pada impuls. a) Untuk menghitung respons impulse h[n], kita bisa menggunakan cara yang sama seperti pada contoh tersebut, namun input diganti dengan δ [n]. b) Pada Tabel 2.3 dan Gambar 2.2.1 diperlihatkan bahwa sinyal impuls keluar dari sistem ini berubah bentuk sama sekali.
2.3 Konvolusi 1. Bagi sistem LTI, karakterisasi sistem melalui respons impuls (h[n] atau h(t)) sangat penting.
4. Sifat sistem dapat dilihat juga dari kemampuannya menembuskan sinyal.
u(t) =
8. Contoh: Diketahui sistem seperti pada Contoh 2.1.1.
2. Sebuah sistem disebut time invariant, bila persamaan input-output memenuhi
y(t y[n
(2.2.5)
a) Karena dalam perspektif ini sinyal input x(t) dapat dipandang sebagai integrasi dari δ (t), sedangkan x[n] dapat dipandang sebagai superposisi dari sinyal impuls δ [n]. b) Tepatnya, ∞
x[n] =
x[k]δ [n
k=−∞
(2.2.6)
− k]
(2.3.1)
∞
x(t) =
ˆ
−∞
x(τ )δ (t
− τ )dτ
(2.3.2)
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
Tabel 2.3: Impulse respons dari sistem menurut spreadsheet A B C 2 Koefisien Nilai 3 a2 0.743860718 4 a1 -1.24523096 5 a0 1 6 b2 1.356789856 7 b1 -0.275511966 8 b0 1.356789856 9 10 n δ [n] y[n] 11 -2 0 0 12 -1 1.356789856 13 0 1 14 1 0 1.414004769 15 2 0 2.108289696 16 3 0 1.573484999 0.391078349 17 4 0 0 -0.683470813 18 5 0 -1.141986839 19 6 20 7 0 -0.913630278 21 8 0 -0.288201558 22 9 0 0.320736172 23 10 0 0.613772429 .. .. .. .. . . . . 71 72
58 59
0 0
Gambar 2.2.1: Kurva impuls response. c) Karena sistem LTI, maka δ [n] δ [n
9.86231E-05 0.000380119
x[k]δ [n
− k] → x[k]h [n − k]
x[k]δ [n
− k] →
∞
k=−∞
C13:=SUM(B11:B13*C$6:C$8) - SUM(C11:C12*C$3:C$4) [ctrl+shift]-[enter] C14:=SUM(B12:B14*C$6:C$8) - SUM(C12:C13*C$3:C$4) [ctrl+shift]-[enter] dst
− k] → h [n − k]
∞
Kode spreadsheet: C15:
→ h [n]
d) sehingga untuk x[n]
x[k]h[n
k=−∞
− k]
→ y [n] diperoleh ∞
y[n] =
k=−∞
x[k]h[n
− k]
(2.3.3)
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
2. Interpretasi bentuk ini adalah sebagi berikut.
5. Karena konvolusi bersifat komutatif,
a) Sebuah sistem dipandang memiliki pembangkit sinyal respons impuls.
a) maka v[n]
b) Setiap saat sistem menerima input yang terdiri dari serangkaian impuls (yakni x[k]δ [n k]), sistem ini membangkitkan respons impuls yang sesuai (yakni x[k]h [n k]).
− −
c) Sistem kemudian mengabungkan semua respons impuls dari setiap impuls yang masuk ini secara aditif, sehingga sistem dapat mengeluarkan output sebagai pen jumlahan dari respons impuls ini.
⊗ w[n] = w[n] ⊗ v[n] b) dan v(t) ⊗ w(t) = w(t) ⊗ v(t). c) Dengan demikian y[n] = h[n] ⊗ x[n] dan y(t) = h(t) ⊗ x(t), d) atau untuk sistem digital ∞
y[n] =
d) Dari cara pandang ini, setiap sample sinyal input ( x[k]) memboboti setiap respon impuls (yakni x[k]h [n k]).
∞
− τ )dτ
(2.3.4)
−
b) Karena sistem LTI, maka impuls ini menghasilkan respons impuls x(τ )dτh(t τ ), yaitu respons impuls yang sudah diboboti oleh sinyal input x(τ ) dalam durasi dτ .
−
c) Kemudian sistem LTI mengintegrasikan kembali semua respon impuls yang sudah diboboti ini, menghasilkan output y (t).
− τ )dτ
(2.3.8)
=
6. Intepretasi bentuk ini berbeda dengan intepretasi sebelumnya. a) Pada kasus sistem digital, persamaan ini mengatakan bahwa medium/sistem memiliki serangkaian submedium/kanal/subsistem, satu untuk setiap sampel respons impuls h[k]. b) Sebuah subsistem k akan menunda sinyal input x[n] sejauh durasi k (menjadi x[n k]), kemudian membobotinya dengan h[k].
7. Pada kasus sistem analog, intepretasi serupa dapat dibuat.
∞
⊗ w(t)
h(τ )x(t
c) Semua output dari subsistem ini kemudian dijumlah untuk menghasilkan sinyal output y[n].
a) Konvolusi dari dua sinyal didefinisikan sebagai
=
ˆ
−
4. Kedua bentuk ini dikenal sebagai konvolusi .
⊗ w[n]
y(t) =
−∞
a) dengan interpretasi bahwa sistem menguraikan sinyal input ke dalam serangkaian impuls-impuls x(τ )dτ δ (t τ ).
v[k]w[n
k=−∞
− k]
(2.3.5)
a) Di sini jumlah subsistem menjadi sangat banyak dan rapat dari segi waktu, sehingga konsep densitas dari subsistem menjadi lebih sesuai.
(2.3.6)
b) Untuk respons impuls h(τ )dτ , (densitas) subsistem menunda input sejauh durasi τ kemudian membobotinya dengan respons impuls h(τ )dτ , menjadi h(τ )dτ x(t τ ).
∞
v(t)
(2.3.7)
∞
x(τ )h(t
−∞
v[n]
e) dan sistem analog
3. Dengan cara yang serupa diperoleh juga
ˆ
− k]
h[k]x[n
k=−∞
−
y(t) =
ˆ
v(τ )w(t
−∞
− τ )dτ
−
c) Maka gabungan (integrasi) dari semua sinyal hasil densitas subsistem menghasilkan sinyal output y(t).
b) sehingga
y[n] = x[n] y(t) = x(t)
⊗ h[n] ⊗ h(t)
8. Contoh: Karena kita sudah mengetahui response impulse dari sistem pada Contoh ?? , maka kita bisa menggunakan konvolusi untuk menghitung output y [n] dari input x[n] = 0, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 0 .
{
}
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
Tabel 2.4: Output dari sistem melalui konvolusi dengan respons impulse menurut spreadsheet A B C D 1 n x[n] h[ n] y[n] 2 -59 0 0.000380119 0 3 -58 0 9.86231E-05 0 -57 0 -0.000345912 0 4 .. .. .. .. .. . . . . .
−
59 -2 60 -1 61 0 1 62 63 2 64 3 65 4 66 5 6 67 7 68 69 8 70 9 71 10 .. .. . . 119 58 120 59
Gambar 2.3.1: Kurva output hasil konvolusi dengan respons impulse. a) Dalam praktek, kita membatasi respons impulse h[n] misalnya untuk 60 sample pertama, sehingga aproksimasi dari output menjadi 59
y[n]
k=0
h[k]x[n
− k]
b) Maka kita bisa memperoleh hasil perhitungan output sebagaimana diperlihatkan pada Tabel 2.4 dan Gambar 2.3.1 berikut. c) Meskipun kita hanya melakukan aproksimasi dengan 60 sample respons impuls, tetapi ternyata output yang dihasilkan sangat mendekati output dari sistem yang dihitung melalui persamaan input-output, pada Contoh ?? .
a) Semakin rumit respons impuls semakin banyak proses yang dialami sinyal input sebelum berhasil menebus medium/sistem. b) Kita ingin agar respons impuls ini sesedikit atau sependek mungkin.
2.108289696 1.414004769 1.356789856
.. .
.. . 0 0
0 0
Kode spreadsheet: D61:=SUM(B2:B61*C$2:C$61) [ctrl+shift]-[enter] D62:=SUM(B3:B62*C$2:C$61) [ctrl+shift]-[enter] D63:
9. Jadi dapat disimpulkan sementara bahwa medium/sistem LTI memiliki respons impuls yang menentukan bagaimana input dapat menembus medium/sistem.
0 0 1 2 3 3 1 1 0 0 0 0 0
dst
0 0 1.356789856 4.127584481 9.006668802 14.10244827 15.4617216 13.91480459 6.907056044 -0.393006652 -5.62727172 -6.714910757 -4.175708386 -0.004623447 -0.003580681
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya
i. Sistem dengan durasi respons impuls yang pendek disebut sistem respons impuls terbatas (finite impulse response , FIR). c) Sayangnya keinginan kita ini tidak selalu dapat dipenuhi. i. Ada banyak medium/sistem yang memiliki respons impuls yang tak hingga (infinite impulse respons , IIR).
v [n]
x[n]
y [n]
z −1
b0
d) Meskipun demikian, kita dapat menyederhanakan analisa perilaku medium/sistem apabila kita membatasi sinyal input dalam bentuk superposisi (atau integrasi) dari komponen eksponensial kompleks seperti yang akan kita lihat berikut ini.
z −1
b1
a1
z −1
i. Kita akan melihat sinyal bukan dari bentuk x(t) dan y (t), tapi dari karakteristik frekuensi X (ω) dan Y (ω), dan melihat apa sebenarnya pengaruh sistem LTI, baik FIR maupun IIR, pada karakteristik frekuensi saat sinyal merambat melalui medium/sistem.
z −1
b2
a2
z −1
z −1
bM −1
aN −1
z −1
bM
aN
z −1
ii. Akibatnya analisa perilaku sistem tidak selalu sederhana.
2.4 Direct Form LCCDE 1. Secara umum sebuah LCCDE digital dengan orde N berbentuk N
y[n] =
−
M
ak y[n
k=1
− k] +
bk x[n
k=0
− k]
(2.4.1)
2. Sistem ini dapat diimplementasi menggunakan komputer atau spreadsheet, seperti pada contoh sebelumnya, dengan menggunakan diagram sistem seperti diperlihatkan pada Gambar 2.4.1.
Gambar 2.4.1: LCCDE Direct Form tipe 1.
a) Bentuk ini disebut bentuk direct form tipe 1 karena bentuk ini langsung diperoleh dari persamaan. b) Jumlah komputasi yang diperlukan adalah kombinasi dari jumlah perkalian skalar, penjumlahan, dan elemen delay . c) Sebagaimana diperlihatkan pada Tabel 2.5, jumlah komputasi untuk direct form tipe I adalah 3M + 3N + 1. 3. Perhatikan bahwa sistem pada Gambar 2.4.1 ini dapat dianggap kaskade antara dua sistem FIR dan IIR, dengan persamaan sistem masing-masing: M
v[n] =
k=0
bk x[n
− k]
Tabel 2.5: Jumlah komputasi untuk LCCDE dalam implementasi direct form. Komputasi Tipe I Tipe II Perkalian skalar N + M + 1 N + M + 1 Perjumlahan N + M N + M Elemen Delay N + M N Jumlah 3N + 3M + 1 3N + 2M + 1
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya v [n]
[n] (a)
FIR
[n] (b)
IIR
IIR
y [n]
FIR
y [n]
w[n]
Gambar 2.4.2: Sifat komutatif LCCDE
w[n]
x[n] z −1
z −1
b0
a1
z −1
z −1
b1
a2
z −1
z −1
b2
aN −1
z −1
z −1
bM −1
N
y[n] =
−
ak y[n
k=1
y [n]
− k] + v[n]
a) Karena kedua sistem ini linier, maka kaskade ini bersifat komutatif, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.4.2. b) Jadi kaskade ini dapat diubah menjadi kaskade antara dua sistem IIR dan FIR. N
w[n] =
−
ak w[n
k=1
− k] + x[n]
M
y[n] =
bk w[n
k=0
− k]
c) Meskipun sinyal antara v[n] sudah berubah menjadi w[n], sinyal akhir yang dihasilkan tetap identik. Hasil komutasi ini diperlihatkan juga pada diagram sistem pada Gambar 2.4.3. d) Karena kedua subsistem ini menggunakan w[n k] yang sama, maka kedua kaskade dapat digabung dengan men-share elemen delay, sebagaimana diperlihatkan pada 2.4.4.
−
e) Bentuk ini disebut direct form tipe II. f) Karena delay elemen digabung, maka terjadi penghematan sumberdaya komputasi. Asumsi N M , maka jumlah sumber daya komputasi yang diperlukan tinggal 3N + 2M + 1.
≥
aN
bM
Gambar 2.4.3: Kaskade dua sistem hasil komutasi.
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya x[n]
y [n]
a1
x[n] b0
z −1
b1
b0
z −1
b1
a2
y [n] z −1
z −1
b2
Gambar 2.5.1: LCCDE Orde 2 digital.
2.5 LCCDE Orde 2 a1
1. Bentuk sederhana yang paling sering digunakan adalah LCCDE orde dua, a) dimana N = 2, dan N
≥ M .
a2
b2
b) Sistem ini memiliki persamaan input output sebagai berikut. 2
y[n] = aN −1
z −1
−
k=1
− k] +
bk x[n
k=0
− k]
(2.5.1)
bN −1
y[n] = a1 y[n 1] a2 y[n 2] + b0 x[n] + b1 x[n 1] + b2 x[n
−
aN
2
ak y[n
bN
Gambar 2.4.4: Kaskade orde dua tipe II, dengan asumsi N = M .
− −
−
−
− 2]
2. Sistem ini dapat diimplementasikan menggunakan bentuk diagram direct form tipe II, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.5.1.
2.6 Cascade orde 2 1. Sebuah sistem LCCDE dapat disusun melalui kaskade LCCDE orde dua dan orde satu. a) Di sini output dari sistem pertama menjadi input dari sistem yang ke dua dan seterusnya, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6.1. b) Kaskade ini memiliki persamaan:
2 Sistem LCCDE dan Implementasinya x[n] = x 1 [n]
y1 [n]
a11
a12
xK [n]
yK [n] = y [n]
z −1
b10
z −1
b11
aK 1
b12
aK 2
z −1
bK 0
z −1
bK 1
bK 2
Gambar 2.6.1: Kascade dari LCCDE orde 2.
2
y1 [n] = y2 [n] =
− −
2
a1k y1 [n
k=1 2 k=1
a2k y2 [n
− k] + − k] +
.. . . = ..
−
− k]
b2k y1 [n
− k]
k=0
2
yK [n] =
b1k x1 [n
k=0 2
2
aKk yK [n
k=1
− k] +
bKk yK 1[n −
k=0
− k]
dimana x 1 [n] = x [n] dan y [n] = y K [n].
2.7 Penutup 1. Perilaku sistem dapat diamati melalui persamaan sistemnya. 2. Khusus untuk sistem LTI, perilaku sistem dapat dilihat dari respons impuls nya. 3. Sistem LCCDE dapat diimplementasi menggunakan direct form tipe I dan II. 4. Tipe II selalu digunakan karena menghemat sumber daya komputasi. 5. Sebuah sistem LCCDE dapat diimplementasi juga menggunakan kaskade dari sistem orde dua.
