DISTRIBUCION DE GAUSS La distribución normal fue estudiada por Gauss. Se trata de una variable aleatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real). La función de densidad tiene forma de campana. Dos parámetros determinan una distribución normal: la media y la desviación típica. Cuanto mayor sea la desviación típica mayor es la dispersión de la variable, La distribución normal es simétrica respecto de la media.
En estadística En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones las distribuciones de probabilidad de variable de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica La gráfica de su función su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro determinado parámetro estadístico. Esta estadístico. Esta curva se conoce como campana como campana de Gauss y es el gráfico de una función una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo. Su función de densidad viene dada por la fórmula:
Que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta r azón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N (μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N (0, 1). A continuación presentamos la gráfica de esta función de densidad (donde se pueden cambiar los parámetros): Como se puede ver, la función de densidad del modelo Normal tiene forma de campana, la que habitualmente se denomina campana de Gauss. De hecho, a este modelo, también se le conoce con el nombre de distribución gaussiana.
Propiedades del modelo Normal 1. Su esperanza es μ. 2. Su varianza es σ 2 y, por tanto, su desviación típica es σ. 3. Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la representación anterior. 4. Media, moda y mediana coinciden (μ).
5. Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá también el modelo Normal. Si X ~ N (μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0), entonces Y ~ N (aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ. 6. Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también una distribución Normal. Es decir, dadas n variables aleatorias independientes con distribución X i ~ N (μi , σi ) para i = 1, 2, ..., n la combinación lineal: Y = an X n + an−1 X n−1+ ... + a1 X 1 + a0 sigue también el modelo Normal:
Una distribución normal se caracteriza por: 1. Los valores de las mediciones tienden a agruparse alrededor de un punto central, la media 2. La representación de los datos es simétrica a ambos lados de la media 3. Las desviaciones estándares quedan situadas a igual distancia unas de otras 4. La proporción de mediciones situada entre la media y las desviaciones es una constante en la que: La media ± 1 * desviación estándar = cubre el 68,3% de los casos La media ± 2 * desviación estándar = cubre el 95,5% de los casos La media ± 3 * desviación estándar = cubre el 99,7% de los casos
Podemos analizar el comportamiento de los procesos gráficos y determinar su efectividad tomando como base su grado de aproximación a la curva de distribución normal a partir de los datos generados y la creación de histogramas que permitan la comparación con curva de distribución normal.
Posibilidades: La curva de distribución normal del proceso coincide o está dentro de los límites establecidos por la industria (bien en las normas de calidad desarrolladas o bien en las recomendaciones establecidas por las asociaciones). En este caso el proceso opera con eficacia y se pueden realizar trabajos de alta exigencia con respecto a la variable controlada. La curva de distribución supera los límites establecidos por la industria. En este caso puede que estén operando causas asignables de variación o que existen limitaciones debidas a los recursos y equipos empleados por lo que no es posible realizar trabajos exigentes con respecto a la variable controlada hasta que no se hayan eliminado las causas especiales de variación o no se dispongan de los recursos y equipos adecuados.
El histograma generado no muestra las características básicas de una distribución normal. En este caso están claramente actuando causas asignables de variación que habrá que resolver si queremos conseguir un alto grado de fiabilidad del proceso y realizar trabajos de alta exigencia
Función de Distribución Gausiana
Distribución Forma Funcional
Media Desviación Típica
Gausiana
Si el número de eventos es muy grande, entonces se puede utilizar la función de distribución de Gauss para describir los fenómenos físicos. La distribución de Gauss es una función continua que se aproxima a la exacta distribución binomial de eventos. La distribución gausiana mostrada está normalizada, de modo que la suma sobre todos los valores de x da una probabilidad de 1. La naturaleza de la distribución gausiana da una probabilidad de 0.683 de estar dentro de una desviación estándar de la media. El valor de la media es a=np donde n es el número de eventos y p la probabilidad para cualquier valor entero de x (esta expresión proviene trasladada de la distribución binomial). La expresión de la desviación estándar, también proviene de la distribución binomial. A la distribución Gausiana, se le llama usualmente "distribución normal" y también se le conoce como "campana de Gauss".
Función de Distribución Gausiana
El ancho de la curva de Gauss a mitad de su valor máximo es
CAMPANA DE GAUSS La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.
Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales: caracteres morfológicos de individuos como la estatura o el peso, caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociológicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de individuos, caracteres psicológicos como el cociente intelectual…
Historia Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las matemáticas Carl Friedrich Gauss , realmente la distribución normal la descubrió y publico por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros se llama la distribución de Moivre – Gauss) en un artículo del año 1733, que reprodujo en la segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” (1738) como aproximación de la distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por Pierre-Simon de Laplace en su libro “Teoría analítica de las probabilidades” (1812). El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profus ión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. El nombre de "campana" se lo dio Esprit Jouffret que uso este término (bell surface) (superficie campana) por primera vez en 1872.
Ecuaciones La campana de Gauss está definida por la función:
Propiedades
El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (- ∞, +∞). Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ. Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
P (μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % p (μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % p (μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
Aplicaciones Una de las mayores aportaciones al cálculo integral que realizó Gauss, fue la introducción de esta función. Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres [Psicología|psicológicos]], por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muéstrales, por ejemplo: la media
