RESUMEN El Ingeniero Industrial como profesional tiene bien en claro lo que es importante para una empresa: su organización, objetivos, estrategias, operaciones, entre otros. En el presente trabajo de investigación se tiene como objetivo principal ver como un ingeniero industrial puede aplicar las ecuaciones diferenciales en la vida real. Para esto se ha planteado 2 problemas relacionados entre s que afronta el ingeniero, en este caso en el !mbito administrativo: "a generación de pronósticos de ventas # producción. En el primer problema la empresa $ac%us se plantea saber si la bebida energizante &'a#o Po(er) reci*n lanzada al mercado est! siendo de inter*s para la población estudiantil universitaria, a trav*s de un sistema de publicidad, en el cual tenemos como dato la tabla +, que nos muestra el tiempo de publicidad # el nmero personas que han ido conociendo el producto con el transcurso del tiempo. "a solución de este problema nos va a mostrar un resultado resultado positivo positivo para la empresa, empresa, el cual el ingeniero ingeniero industrial industrial necesitaba necesitaba saber #a que es un factor importante para el establecimiento del producto en el mercado. -hora nuestro segundo problema planteado consiste, en que el ingeniero necesita saber si la producción de la bebida energizante &'a#o Po(er) va en aumento para el ao 2/+0 teniendo como datos la tabla del problema.
MARCO TEORICO ¿Qué es una Ecuación Diferencial?
1na ecuación iferencial 3E4 es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida # una o m!s derivadas de esta función desconocida con respecto a una o m!s variables independientes. 5i la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario si depende de m!s de una variable, se llama parcial. De acuerdo a nuestra alicación sea!os" ¿Qué es una Ecuación Diferencial Ordinaria de #ri!er orden?
Es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independientes. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar e6presadas en forma e6plcita. dy =f ( x , y ) ; y ( x 0 ) = y 0 dx
¿#ara $ué sir%e una Ecuación Diferencial?
"as ecuaciones diferenciales son una parte mu# importante del an!lisis matem!tico # modelan innumerables procesos de la vida real. 1na ecuación diferencial es una relación, valida en cierto intervalo, entre una variable # sus derivadas sucesivas. 5u resolución permite estudiar las caractersticas de los sistemas que modelan # una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. 7onociendo estos conceptos podemos hablar de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la Ingeniera Industrial, son varias pero nos enfocaremos en los problemas m!s comunes que puede afrontar un ingeniero industrial en una empresa.
#ro&le!a '( "a empresa $ac%us, introduce al mercado a trav*s de publicidad por 8v # paneles publicitarios, una bebida energizante llamada &'a#o Po(er) para estudiantes universitarios en el Per, que son apro6imadamente de +// mil. "a velocidad en que los estudiantes universitarios #a conocen este producto supone que es proporcional al nmero de estudiantes que todava no la conocen. Pasado 9 meses desde que la bebida energizante fue lanzada, / mil estudiantes universitarios #a la conocen, pero la empresa $ac%us necesita saber cu!ntos estudiantes conocen la bebida energizante &Po(er 'a#o) al final de un ao de la introducción de este al mercado. #aso () Identificamos las variables que forman parte del problema. U) 7antidad de estudiantes universitarios. t) 8iempo que han consumido o conocido el producto. *(+U,) Estudiantes 1niversitarios que an no han consumido o conocido
el producto. #aso-) "a Ecuación iferencial descrita por el problema es: dU dt
=C ( 1−U )
#aso.) 'esolvemos la ecuación diferencial.
i.
5eparamos las variables.
dU =C ( 1−U ) dt
dU =C .dt … ( 1 ) ( 1−U )
ii.
Integramos en ambos lados de 3+4.
=∫ C . d t ∫ (1dU −U ) −ln|1−U |=ct + a
|
|
ln 1−U =−Ct + a
ln
∨1−U ∨¿=e−
Ct + a
e
¿
− Ct + a
1−U =e
−U =1 + e−
Ct + a
e
(¿ ¿−C t . e ) U = 1 −¿ a
Entonces la Ecuación ;eneral quedara de esta manera: −Ct
U ( t )= 1−e
K
onde la / es una constante arbitraria
U ( 0 )=1 − e
K
0 = 1− K K =1
-
Entonces tenemos que: − Ct
U ( t ) =1−e
Para encontrar la constante de proporcionalidad &7) usamos 7uando t=/.> 3Pasado medio ao4, 1=/. −C ( 0.5)
Reemplazando:: )=1 −e U ( 0.5 −0.5 C
0.4 = 1− e −0.5 C
e
=0.6
−0.5 C = ln ( 0.6 ) C =1.022
?uedando mi solución particular de la siguiente manera: −1.022t
U ( t ) =1−e
#ara t0( −1.022( 1) Reemplazando:: U ( 1 )= 1− e
U = 0.640
e acuerdo a nuestro problema U tambi*n se puede e6presar de la siguiente manera: U = 64 000
Resuesta) -l finalizar el ao la bebida energizante &'a#o Po(er) ser!
conocida por 9 /// estudiantes universitarios en el Per.
IM#ORTANTE
El resultado anterior nos da a entender que el producto de bebida energizante de &'a#o Po(er) logro llegar a buen parte de la población estudiantil universitaria. -simismo la empresa decidió seguir invirtiendo en el producto por aos siguientes, entonces ahora la empresa se plantea lo siguiente:
#RO12EMA '-) El ingeniero industrial a cargo del !rea de proceso de productivo necesita saber la producción apro6imada para el ao 2/+0, con el propósito de saber si la empresa va a ir creciendo. Para este problema el ingeniero tuvo como datos la siguiente tabla que muestra la producción de la bebida energizante &'a#o Po(er) que se ha venido dando en la empresa $ac%us durante los ltimos aos: TA12A DE DATOS
P'@178@
-A@ 2//C 2/+2 2/+> 2/+0
$ebida Energizante &'a#o Po(er)
P'@177I@B 0 D// >> /// 9 /// P
7on base a los datos de la tabla # ubic!ndonos en el ao 2/+>, 5e puede hacer una estimación de la producción para el ao 2/+0F 7omo vemos aqu el ingeniero industrial se enfrenta a un problema en el cual se desea determinar la variación de la producción respecto al tiempo para el ao 2/+0: #aso () Identificamos las variables que formar parte del problema #) Producción de la $ebida Energizante &'a#o Po(er) T) 8iempo 3aos4 #aso -) "a Ecuación iferencial descrita por el primer problema dP
= aP
dT
a) es una constante positiva 3la cual quiere decir que
dP dT
es positivo #
&P) aumenta4 -s para conocer, la producción de la empresa en cualquier tiempo ha# que resolver la ecuación anterior.
#aso.) 'esolvemos la ecuación diferencial
dP
= aP
dT
dP P
=a dT
∫ P1 dP =a∫ dT ln P= aT + K
e
ln P
=e
P=e
aT + K
aT
K
.e
Entonces la ecuación general quedara de esta manera:
P (t ) =C e
aT
onde 7 es una constante arbitraria Para determinar 7 tenemos la condición inicial que en t=/ 3correspondiente al ao 2/+24 la producción de la bebida energizante &'a#o Po(er) es >> ///: P (t )=C e
aT
En t0'
a ( 0)
P ( 0 ) =C e
55 000=C
-
Entonces tenemos que: P ( t ) =55000 e
aT
Para encontrar la constante de proporcionalidad &a) podemos usar:
P (3 )=64 000
-
En consecuencia: P (3 )=55 000 e
aT
a ( 3)
64 000 =55 000 e 3 a
1.164 =e
ln 1.164= e
ln 3 a
ln ( 1.164 ) =3 a
0.051= a
?uedando mi solución particular de la siguiente manera: P ( t )=55000 e
0.051 T
A3ora ara el a4o -'(5 la roducción de &e&idas ener6i7antes 8Ra9o #o:er; aro
0.051 ( 6)
P ( 6 )=74 689
Resuesta) "a producción para el ao 2/+0 sera un apro6imado de D 90C
bebidas energizantes.
CONC2USIONES
El problema /+ se planteó ver la cantidad de estudiantes universitarios que est!n enterados de una nueva bebida energizante &'a#o Po(er) pasado un ao desde su lanzamiento al mercado. Para la resolución de este problema se utilizó una ecuación diferencial dada, luego con a#uda de conocimientos propios se logró resolver dicha ecuación, dando como resultados que el nmero de estudiantes universitarios que #a conocen este producto es de 9 ///, lo que indica que es un resultado positivo #a que m!s del 9/G de la población universitaria est! enterada de la e6istencia del producto.
1na vez el producto establecido en el mercado, se planteó un nuevo problema 3Problema /24 el cual consista en saber el crecimiento de la producción para el ao 2/+0 de la bebida energizante &'a#o Po(er). 1tilizando una ecuación diferencial dada, # la resolución de esta como en el problema anterior, se logró determinar un resultado que fue de D 90C de bebidas energizantes &'a#o Po(er) apro6imadamente como producción para el ao 2/+0.
1I12IO>RAIA
http:HHes.slideshare.netHmisaelilrHtrabajopracticode ecuacionesdiferencialessusaplicaciones https:HHprezi.comH%JejieK+epemHecuacionesdiferenciales# susaplicacionesH http:HHes.slideshare.netHemersonguimara#ha#aHaplicacinde ecuacionesdiferencialesdeprimergradoenlaingeniera industrialK9D+20DD https:HHes.(i%ipedia.orgH(i%iHEcuaci G7KG$KnJdiferencialJordinariaJdeJprimerJorden
