PROYECTO FINAL (Antena de recepción Satelital) Introducción.En el mundo en que vivimos estamos acostumbrados a ver desde hace algún tiempo multitud de antenas parabólicas. Pero, También hemos oído hablar muchas veces, incluso los habremos visto, de hornos parabólicos. La pregunta es: ¿cómo funcionan y por qué tienen precisamente esa forma? Vamos a intentar explicarlo. Las ondas como la luz, el sonido, ondas de radio y TV, etc., cuando chocan contra un obstáculo experimentan un cambio de dirección o de sentido, volviendo al mismo medio del que proceden. A esta propiedad se le llama reflexión. La dirección de propagación de una onda se representa mediante líneas que se denominan rayos y según la forma de la superficie en la que inciden así será la dirección de los rayos reflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto que se denomina "foco". Esta es la propiedad fundamental en que se basan todos los ingenios parabólicos. Objetivo General.Saber como se Aplica la Geometría analítica en diferentes objetivos de proyecciones, instalaciones. En este caso el comportamiento de los rayos de luz cuando inciden sobre un espejo.
V Definición.Definamos ahora los puntos de una parábola: 1- FOCO (f): Es el punto fijo. 2- directriz ( D): Recta de la parábola. 3- RADIO VECTOR: Se le denomina a la recta que une al foco F con un punto cualquiera de la curva. 4- PARÁMETRO: Es la distancia del foco a la directriz y se representa con una P
5- EJE DE SIMETRÍA: Se le denomina a la línea que, pasando por el foco, cae perpendicularmente a la recta directriz. 6- ORIGEN ( O ): Es el punto de la curva mas cercano a la directriz, siendo este, el inicio de la parábola. Esta es una parábola de forma simple. Toda vez que se ha determinado el punto para el foco y la recta directriz, se coloca una regla a lo largo de ésta y se aplica sobre la misma una escuadra. Ahora fijamos los puntos F y A a los extremos de un hilo de longitud AB, luego con un lápiz, apoyándonos en el borde AB de la escuadra, se mantiene el hilo tenso en la dirección de B. Aquí se deduce lo siguiente: Distancia del Foco a M es igual a la distancia de M a la directriz. En tanto se hace deslizar la escuadra a lo largo de la regla alineada con la directriz, cambia la longitud de las secciones FM y AM del hilo, pero las distancias BM y FM siguen siendo iguales. Y2 = 2px x = Y2/2p---------x * Y2/4f Definición de la fórmula: y = Distancia de un punto de la curva al eje horizontal Mx". Para nuestro caso, eje de simetría. p = Parámetro, distancia FD del foco a la directriz. Puesto que la distancia que hay del origen ( O ) a la directriz debe de ser la misma que hay del origen ai foco (f), por ley de la curva, se puede concluir que p = 2f. x = Distancia de un punto de curva al eje vertical "y" el cual pasa por el origen de la parábola. El valor máximo de "x" determina la profundidad de un reflector parabólico. O = origen o vértice la parábola. f = Distancia del origen al punto focal F. F = foco. CARACTERÍSTICAS DE LOS REFLECTORES PARABÓLICOS : Si se toma la parábola por su eje de simetría y se le hace girar tal como gira un
trompo, se obtiene una superficie geométrica con propiedades por demás interesantes. En un espejo con esta forma parabólica, si le colocamos una fuente de luz en el punto del foco, los rayos se reflejan hacia el exterior en forma de haz paralelo. Contrariamente a las ondas electromagnéticas que llegan del espacio en forma de haz paralelo al eje de simetría (perpendicular al centro del disco parabólico), son concentradas por el reflector en el punto focal. GRÁFICOS
E*Y
Focq_ ^e de simetría USO DE LA PARÁBOLA Otra aplicación se encuentra en la fabricación de hornos solares. Se construye una "cocina" parabólica que concentra la radiación solar y la convierte en calor gracias a un reflector de láminas de aluminio sobre el que se pone la sartén, la paellera o cualquier otro recipiente utilizado para cocinar. En un día soleado se puede conseguir que un litro de agua hierva en unos 18 minutos y que el aceite alcance una temperatura máxima de 200 °C. Al cocinar es necesario tomar ciertas precauciones, como evitar el deslumbramiento, usar cacerolas de color negro y utilizar manoplas para evitar quemaduras.
Esta propiedad de reflexión en la parábola se utiliza en la construcción de antenas parabólicas para recepción de señales de TV, radares, radiotelescopios, etc. Estos dispositivos constan de un "plato" parabólico que recoge las ondas y estas se reflejan hacia una antena colocada en el foco. Tienen diferentes tamaños, según su utilidad, desde los 60 cm. de una antena para recibir la televisión por satélite hasta los 305 m de diámetro que tiene el plato del radiotelescopio más grande del mundo que se encuentra en Puerto Rico (Arrecido).
Al igual que los rayos paralelos al eje de la parábola se reflejan siempre pasando por el foco, la propiedad análoga nos dice que un rayo que incida pasando por el foco se reflejará paralelo al eje de la parábola. Este es el fundamento de muchos tipos de reflectores. Por ejemplo, en los faros de los coches la lámpara situada en el foco hace que el haz de luz se concentre en la carretera.
Antena de recepción Satelital Elementos de Algebra Docente: Ing. Humberto Bruns Demostración de la propiedad focal de un espejo parabólico
Buscados lo puntos p1 (0,0) p2 (5,7) p3 (5,-7) de la figura anterior, se podrá determinar los valores de cada uno de los componentes del espejo parabólico.
Debido a q el espejo parabólico esta horizontal (se confunde con el eje x), la forma conveniente para esta ecuación es:
X = Ay²+ By + C Con los puntos ya antes mencionados: p1 0 = A (0)² + B (0) + C p2 5 = A (7)² + B (7) + C p3 5 = A (-7)² + B (-7) + C
1 2 3
Debido a p1 (0,0) decimos: C=0 Por consiguiente tendremos: p2 A (7)² + B (7) + 0 = 5 p3 A (-7)² + B (-7) + 0 = 5 A 98 = 10 10
A= 98 ; A=
5 49
1 2 3
Obteniendo “A” como ecuación “3”, se reemplazara en la ecuación “2”: 49A – 7B = 5 49*( ) – 7B = 5 5
49
Debido a “C=0” no se lo toma en cuenta. 5 – 7B = 5 -7B = 5-5 B=0
Una ves se obtienen “A,B,C” respectivamente en la ecuación Ay²+ By + C:
X=
5 49
y² + 0y + 0
// *49
Tendremos:
49x = 5y² + 0y + 0 5y² - 49x + 0y + = 0 >> Ecuación de la parábola. Dada la ecuación de la parábola, se podrá encontrar el foco y la directriz: 5y² - 49x + 0y + = 0 49x = 5y² X= y² >>>>>>>>> Y² = 5
49
49
5
x
Directriz:
Foco:
X = -2.45 X=20x = -49 20x + 49 = 0
y² = 4ax =4a
49
49
20
5
49 = 20a 49 20
=a
LR = 4a LR = 4 (2.45) a= 2.45 LR = 9.8 Con la ecuación Y² = x se pudo encontrar el foco y luego la directriz de tal forma q hemos encontrado todas las partes de la parábola. 49 5
Integrantes: Julio Ricardo Mena Vargas Marco Antoni Perez Saldaña Milton Moisés Solares China Jorge Luis Rodríguez Paz Edwin Mamani Porco Noland Freddy Nuñes Ribera Docente: Humberto Bruns S. Materia: Elementos de Algebra
Viernes 3 de octubre del 2008 Santa Cruz – Bolivia
168806
