IRISAN KERUCUT 1. PARABOLA 4c
Misalkan air dikucurkan ke dalam bejana berbentuk kerucut, seperti 8c
ditunjukkan pada gambar di samping ini. Dengan kecepatan tetap sebesar ½ cm3 per detik. Tentukan tinggi h
Sebelum kita menyelesaikan masalah ini, tentu anda dapat melihat bahwa semakin ke atas semakin besar permukanannya. permukanannya. Karena kecepatan pengucuran adalah tetap yaitu sebesar ½ cm3 per detik, maka secara intuitif dapat digambarkan sebagai berikut.
Pengisian detik 1
Pengisian detik 2
Pengisian detik 3
Pengisian detik 4
Gambar.
DESAIN PARABOLA DAN MEMODELKAN PERSAMAAN PARABOLA Untuk menentukan persamaan parabola, sekurang-kurangnya kamu harus mengetahui tiga titik yang terletak pada parabola. Arus air yang mancur dari kran (pada wastafel) memancar dan lintasannya berbentuk parabola. Andaikan kamu tentukan bahwa koordinat titik pusat adalah pada posisi di mana air keluar dari kran (lihat gambar). Tinggi maksimum air yang memancar terjadi pada jarak horizontal 15 cm diukur pada garis mendatar dari titik pusat (0,0). Tinggi maksimum air adalah 18 cm. Definisi :
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu sama deng dengan an jaraknya jar aknya te ter hadap hadap gari s ter ter tentu. tentu. 1. Titik tertentu tersebut dinamakan titik fokus atau titik api 2. Garis tertentu tersebut dinamakan garis arah atau direktriks 1.1 Persamaan Parabola 1.1.1Persamaan 1.1.1Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0)/ parabola datar(horisontal)
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 1
Gambar:
(-p,y) (x,y)
(p,0)
Menurut definisi : PF = PQ
ℎ ∶ √ ( − ) + ( − ⋯) = √ ( + ⋯ ) + ( − ⋯) ↔ ( − ) + = ( + ⋯) ↔ −⋯ . + + = + ⋯. + ↔ = 4… Jadi persamaan parabola puncak O(0,0) dan fokus F(p,0) adalah = … . Unsur-unsur parabola tersebut adalah :
1. 2. 3. 4. 5.
Puncak O(0,0) Fokus F (p,0) Sumbu simetri y = 0 Panjang Latus Rectum; LR = Persamaan direktriks x = - p
|4|
Persamaan parabola datar lain dengan puncak O(0,0) dan fokus F(-p,0) adalah
= −
Unsur-unsur parabola tersebut adalah :
1. 2. 3. 4. 5.
Puncak O(0,0) Fokus F (-p,0) Sumbu simetri y = 0 Panjang Latus Rectum; LR = Persamaan direktriks x = p Latihan 1. Tentukanlah koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan panjang latus rectum untuk tiap parabola berikut : a. y2 = 8x b. y2 = 12x c. y2 = -20x d. y2 = -4x Latihan 2. Tentukanlah persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dan : a. fokus di (1,0) b. fokus di (3/2,0) c. fokus di ( -2,0) d. fokus di (-3,0) e. persamaan direktriksnya x = -3 f. persamaan direktriksnya x = -2 g. persamaan direktriksnya x = 1 h. persamaan direktriksnya x = 4 i. fokus pada sumbu X dan melalui titik (1,4) j. fokus pada sumbu X dan melalui titik (-1,4)
|4|
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 2
1.1.2. Persamaan Parabola dengan puncak A(a,b)/ parabola datar(horisontal) Gambar:
(a-p,y)
(x,y)
(a+p,b) (a,b)
Menurut definisi : PF = PQ
ℎ ∶ √ ( − ( + )) + ( − ⋯. ) = √ ( − ( − ) + ( − ⋯. ) ↔ √ ( − − ⋯)) + ( − ⋯. ) = √ ( − + ⋯) + ( − ⋯. ) + + −2 … − 2… + 2…+ ( − ) = + + −2… +2 … −2 … ( − ) = 4 −4 … ( − ) = 4( − ⋯) Jadi
persamaan
parobola
dengan
puncak
A(a,b)
(−) = ( − ⋯)
dan
fokus
F(a+p,b)
adalah
Unsur-unsur parabola tersebut adalah : 1. Puncka A(a,b) 2. Fokus F(a+p,b) 3. Sumbu simetri y = b 4. Panjang latus rectum : LR = 5. Persamaan direktriks : x = a- p
|4|
Persamaa
parobola
datar
lain
dengan
puncak
A(a,b)
(−) = −(−)
dan
fokus
F(a-p,b)
adalah
Unsur-unsur parabola tersebut adalah : 1. Puncka A(a,b) 2. Fokus F(a-p,b) 3. Sumbu simetri y = b 4. Panjang latus rectum : LR = 5. Persamaan direktriks : x = a+ p Latihan 3.
|4|
Tentukanlah koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan panjang latus rectum untuk tiap parabola berikut : a. b. c. d. e. f.
( − 1) = 4( − 5) ( − 3) = 12( + 1) ( + 1) = −4( − 5) ( + 2) = −24( +7) + 2 − 2 +5 = 0 − 4 + 4 +8 = 0
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 3
Latihan 4.
Tentukanlah persamaan parabola dengan ketentuan sbb: a. b. c. d. e.
titik puncak (1,2) dan fokus di (4,2) titik puncak (-2,4) dan fokus di (-6,4) fokus di (-2,3) dan persamaan direktriksnya x = -6 fokus di ( 4,5) dan direktriksnya x – 8 = 0 puncaknya di (-1,4) sumbu simetri sejajar sumbu X dan melalui titik (1,6)
1.1.3 Persamaan Parabola puncak O(0,0)/parabola tegak(vertikal) Gambar : Menurut definisi : PF = PQ
√ + ( − ⋯) = √ ( − ⋯) + ( + ) ↔ + + − 2… = + + 2 … ↔ = 4… Jadi persamaan parabola puncak O(0,0) dan fokus F(0,p) adalah = … Unsur-unsur parabola tersebut adalah :
1. 2. 3. 4. 5.
Puncak O(0,0) Fokus F (0,p) Sumbu simetri x = 0 Panjang Latus Rectum; LR = Persamaan direktriks y = - p
|4|
Persamaan parabola tegak lain dengan puncak O(0,0) dan fokus F(0,-p) adalah
= −
Unsur-unsur parabola tersebut adalah :
1. 2. 3. 4. 5.
Puncak O(0,0) Fokus F (0,-p) Sumbu simetri x = 0 Panjang Latus Rectum; LR = Persamaan direktriks y = p Latihan 5. Tentukanlah koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan panjang latus rectum dari parabola berikut: a. x2 = 12y b. x2 = 8y c. x2 = -4y d. x2 = -16y Latihan 6.
|4|
Tentukanlah persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dan : a. fokus di (0,1) b. fokus di (0,5/2) c. fokus di ( 0,-2) d. fokus di (0,-5) e. persamaan direktriksnya y = -3 f. persamaan direktriksnya y= -2 g. persamaan direktriksnya y = 1 h. persamaan direktriksnya y = 4 i. fokus pada sumbu Y dan melalui titik (4,1) j. fokus pada sumbu Y dan melalui titik (4,-1)
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 4
1.1.4 Persamaan Parabola dengan puncak A(a,b)/ parabola tegak(vertikal) Gambar: Menurut definisi : PF = PQ
ℎ ∶ √ ( − ⋯) + ( − − ⋯) = √ ( − ⋯) + ( − + ⋯) ( − ) + + + − 2… − 2… + 2…. = + + − 2… +2 … − 2… ( − ) = 4 −4… ( − ) = 4( − ⋯.) Jadi
persamaan
parobola
(−) = ( − ⋯. )
dengan
puncak
A(a,b)
dan
fokus
F(a,b+p)
adalah
Unsur-unsur parabola tersebut adalah : 1. Puncak A(a,b) 2. Fokus F(a,b+p) 3. Sumbu simetri x = a
|4|
4. Panjang latus rectum : LR = 5. Persamaan direktriks : y = b- p
Persamaa
parobola
tegak
(−) = −(− )
lain
dengan
puncak
A(a,b)
dan fokus
F(a,b-p)
adalah
Unsur-unsur parabola tersebut adalah : 1. Puncka A(a,b) 2. Fokus F(a,b-p) 3. Sumbu simetri x = a
|4|
4. Panjang latus rectum : LR = 5. Persamaan direktriks : y = b+ p Latihan 7.
Tentukanlah koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan panjang latus rectum untuk tiap parabola berikut : a. b. c. d. e. f.
( − 1) = 4( −5) ( − 3) = 12( + 1) ( + 1) = −4( − 5) ( + 2) = −24( + 7) + 2 − 2 + 5 = 0 − 4 + 4 + 8 = 0
Latihan 8.
Tentukanlah persamaan parabola dengan ketentuan sbb: a. b. c. d. e.
titik puncak (2,1) dan fokus di (2,4) titik puncak (4,-2) dan fokus di (4,-6) fokus di (-2,5) dan persamaan direktriksnya y = -7 fokus di ( 4,5) dan direktriksnya y – 9 = 0 puncaknya di (4,-1) sumbu simetri sejajar sumbu Y dan melalui titik (6,1)
1.2. Kedudukan garis terhadap parabola Gambar : Ada tiga keadaan atau posisi garis terhadap parabola : 1. Berpotongan di dua titik yang berbeda 2. Berpotongan di satu titik ( bersinggungan) 3. Tidak berpotongan maupun bersinggungan Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 5
≡ = +
Kedudukan garis g terhadap parabola y 2 = 4px dapat dianalisa secara Aljabar dengan menggunakan prinsip diskriminan, yaitu substitusikan y = mx + c ke dalam persamaan y2 = 4px. Sehingga diperoleh :
( + ) = 4
↔ + 2 + = 4 ↔ + 2 + − 4 = 0 ↔ + (2 − 4) + = 0 Nilai diskriminan dari persamaan tersebut adalah: D=
(2 − 4) − 4()() ↔ = 16 − 16
Kedudukan garis g terhadap parabola ditentukan oleh nilai diskriminan sbb: 1. D > 0 garis g memotong parabola di dua titik yang berbeda 2. D = 0 garis g menyinngung parabola 3. D < 0 garis g tidak memotong dan tidak menyinggung parabola Latihan 9. Tunjukkan bahwa setiap pasang garis dan parabola berikut berpotongan dan tentukanlah titik potongnya: 1. Garis x – y + 2 = 0 dan parabola x 2 – y = 0 2. Garis x – y + 1 = 0 dan parabola y 2 – x – 3y + 2= 0 3. Garis 2x – y + 3 = 0 dan parabola 2x 2 – 4x – y + 7 = 0 Latihan 10. Tentukan batas-batas nilai m agar garis y = mx + 1 dan parabola y 2 = 2x : a. Berpotongan di dua titik berbeda b. Bersinggungan c. Tidak berpotongan dan tidak bersinggungan 1.2.1 Persamaan garis singgung Parabola melalaui titik A(x 1,y1) dan titik A(x1,y1) terletak pada Parabola. Persamaan garis singgung parabola y2 = 4px di titik A(x1,y1)
↔ ↔ ↔
Persamaan garis melalui A(x 1,y1) adalah y – y1 = m(x – x1 ) …..(1) dengan m = Dari persamaan parabola y 2 = 4px
[ ] (x ,y ) 1
1
1 ↔ = 4 1 (2) ↔ = 4 ↔ = 2 2 ↔ = Karena m = [ ] (x ,y ) maka diperoleh = …..(2) 1
1
Substitusi persamaan(2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
−1 = 2 1 ( −1) ↔ 1 − 1 = 2 − 21
↔ 1 −41 = 2 −21 ( karena A(x ,y ) terletak pada y = 4px ) ↔ 1 = 2 + 21 ↔ 1 = 2( +1) 1
1
2
Jadi persamaan garis singgung parabola y 2 = 4px melalui A(x 1,y1) pada parabola adalah:
= (+)
Dengan menggunakan analisis yang sama persamaan garis singgung parabola yang melalui titik A(x1,y1) pada parabola-parabola: 1. y2=-4px adalah 2. x2= 4py adalah 3. x2= -4py adalah
= −( + ) = (+) = −( + )
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 6
Latihan 11. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola: a. y2=8x di titik (2,4) b. y2=-4x di titik (-1,2) c. x2=6y di titik (-3,3/2) d. x2=-y di titik (-1,-1) Dengan menggunakan analisis yang sama persamaan garis singgung parabola yang melalui titik A(x1,y1) pada parabola-parabola: 1. 2. 3. 4.
( − ) = ( − ) ( − )(−) = (+−) ( − ) = −( − ) ( − )(−) = −(+−) ( − ) = ( − ) ( − )(−) = (+−) ( − ) = −( − ) ( − )(−) = −(+−)
Latihan 12. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola:
1. 2. 3. 4. 1.2.2 Persamaan garis singgung parabola dengan gradien (m) tertentu (m diketahui) Persamaan parabola y 2 = 4px dan garis singgung dengan gradien m adalah y = mx + c. Substitusikan y = mx + c ke dalam persamaan y 2 = 4px. Sehingga diperoleh :
( − 2) = 3( − 1) (4,−1) ( + 1) = −4( − 2) (−2,3) ( − 4) = 6( + 2) (1,−1/2) ( + 3) = −8( − 4) (1,2)
( + ) = 4
↔ + 2 + = 4 ↔ + 2 + − 4 = 0 ↔ + (2 − 4) + = 0 Nilai diskriminan dari persamaan tersebut adalah: D=
(2 − 4) − 4()() ↔ = 16 − 16 ↔=0 ↔ 16 − 16 = 0 ↔ 16 = 16 16 ↔ = 16 ↔ =
Jadi persamaan garis singgung parabola y 2 = 4px dengan gradien m adalah
= +
Dengan menggunakan analisis yang sama persamaan garis singgung parabola yang mempunyai gradien m pada parabola-parabola:
= − x = 4py adalah = − x = -4py adalah = +
1. y2=-4px adalah 2. 3.
2 2
Latihan 13. Tentukanlah persamaan garis singgung pada parabola; 1. y2 = 8x dengan gradien 3 2. y2 = -6x dengan gradien – 2 3. x2 = 4y dengan gradien ½ 4. x2 = -2y dengan gradien – 1 Dengan menggunakan analisis yang sama persamaan garis singgung parabola yang mempunyai gradien m pada parabola-parabola:
( − ) = ( − ) + (y-b) =-4p(x-a) adalah ( − ) = ( − ) − (x-a) = 4p(y-b) adalah ( − ) = ( − ) − (x-a) = -4p(y-b) adalah ( − ) = ( − ) +
1. (y-b)2=4p(x-a) adalah 2. 3. 4.
2
2 2
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 7
2. APLIKASI PARABOLA 1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal V 0 meter/detik , mencapai ketinggian h(t) = V 0t – 5t2 . Setelah 2 detik peluru mencapai ketinggian 80 meter. a. Carilah kecepatan awal peluru tersebut b. Carilah tinggi maksimum peluru tersebut c. Setelah berapa detikkah peluru tersebut mencapai tinggi maksimum? d. Setelah berapa detikkah peluru tersebut membentur tanah? 2. Suatu lintasan roket dapat dirumuskan sebagai f(t)= - t 2 + 8t – 12 a. pada detik keberapakah roket mencapai tinggi maksimum? b. tentukan tinggi maksimumnya 3. Jumlah dua bilangan asli adalah 16 . Carilah bilangan-bilangan itu agar hasil kali kedua bilangan itu maksimum 4. Jumlah dua kali bilangan asli pertama ditambah satu kali bilangan kedua adalah 24. Tentukan hasil kali terbesar kedua bilangan itu. 5. Reaksi obat setelah disuntikkan pada sekor binatang dapat dinyatakan sebagai: f(t) = 48t – 4t2. Jika t dalam jam setelah berapa jam obat tersebut mempunyai reaksi maksimum? 6. Pada gambar ABCD merupakan persegi panjang dengan ukuran panjang 10 cm dan lebar 6 cm. Bila AF=GD=CH=EB=x maka : a.
Nyatakan luas EFGH dalam x
b. Tunjukkan bahwa luasnya L(x)=60 – 16x + 2x2 c.
Tentukan luas minimum EFGH
7. Pada gambar segi empat ABCD merupakan persegi dengan panjang sisinya 10 cm. Apabila BE = x cm dan FC = 2x cm maka : a. Tunjukkan bahwa luas DEF dapat dirumuskan sebagai L(x) = 50 – 10x + x 2 b. Tentukan nilai x agar luas DEF sekecil mungkin c. Tentukanlah luas terkecil tersebut. d.
8. Dalam segitiga ABC siku-siku di A dengan AB = 10 cm , AC= 6cm , EF= y cm , dan ED= x cm. Agar luas ADEF maksimum tentukan ukuran panjang dan lebarnya.
C
E F
A D
B
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 8
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 9