2. PROR PRORAČ AČUN UN TOKOV OKOVA A SNA SNAGA 2.1. 2.1. Uvod Uvod Osobine pogona i dinamika razvoja EES -a traže neprekidno istraživanje električnih prilika u mreži u raznim uslovima. Budući da se radi o istraživanju normalnih pogonskih prilika, u većini slučajeva se pretpostavlja da j e sistem uravnotežen po fazama, pa je dovoljan jednofazni prikaz mreže. Osno Osnovn vnii zadat zadatak ak EESEES-aa je snab snabdi dije jeva vanj njee potr potroš ošač ačaa elek elektr tričn ičnom om ener energi gijo jom m zado zadovo volj ljav avaj ajuće uće kval kvalit itet ete, e, uz pouz pouzda dano nost st i ekon ekonom omičn ičnos ostt snab snabdi dije jeva vanj nja. a. Da bi se ta funk funkci cija ja i ostv ostvar aril ila, a, izuzetno je bitno održati stabilne naponske prilike u mreži. Upravo je održavanje konstantnog napona napona u mreži osnovni osnovni zadatak zadatak nadzor nadzoraa i upravl upravljanj janjaa EES-a. EES-a. Tokovi Tokovi snaga kroz kroz elemente elemente mreže uzrokuju uzrokuju padove padove napona, napona, koji, koji, prema tome, tome, b itno utiču utiču na kvalitetu kvalitetu snabdijevenosti snabdijevenosti potrošača električnom energijom. Analiza električnih prilika pr ilika u mreži podrazumijeva pod razumijeva proračun tokova snaga, snaga, kojim će se doći do podataka o naponima u čvor ovima mreže, snagama koje teku vodovima i gubicima u mreži. Post Postup upak ak pror prorač ačun unaa toko okova snag snagaa zapo započi činj njee odre određi đivvanje anjem m mo mode dela la mrež mreže, e, u koje kojem m se svak svakii elemen elementt prik prikazu azuje je svoji svojim m mo model delom. om. Povezi Povezivan vanjem jem model modelaa eleme elemena nata ta na način način na koji koji jesu jesu povezani u mreži dobija se model mreže. Realcije između napona i struja na sabirnicama mogu se predstaviti predstaviti ili konturnim konturnim jednačinama jednačinama ili jednačinama jednačinama čvorova. Metoda Metoda čvorova je pogodnija, jer je za nju vrlo lako pripremiti ulazne podatke, a promjena topologije mreže u sljedećem slučaju proračuna ne izaziva velike poteškoće u izmjeni matrice mreže.
2.2. 2.2. Matr Matric icaa ad admi mita tans nsii Pošto je rješenje metode čvorova bazirano na prvom Kirchhoffovom zakonu za struje, impe impeda dans nsee su pret pretvo vore rene ne u admi admita tans nsee na slje sljede deći ći nači načinn y ij
1 z ij
1 r ij jx ij
U EES-u, svaki čvor je povezan povezan samo sa nekoliko nekoliko susjednih čvorova. Dijagonalni Dijagonalni element svakog čvora je suma admitansi povezanih sa njim , tj. n
Y ii
y ij
j i
(2.1)
j 0
Vandijagonalni Vandijagonalni element je jednak negativnoj negativnoj vrijednosti vrijednosti admitans admitansee između čvorova, tj. Y ij
Y ji y ij
(2.2)
Primjenjujući gornje relacije na sistem od n sabirnica, jednačina jednačina napona čvorova u matričn om obliku je
1
I 1 Y 11 I Y 2 21 I i Y i1 I n Y n1
Y 12
Y 1i
Y 1n V 1
Y 22
Y 2i
Y 2 n
Y i 2
Y ii
Y n 2
Y ni
V 2 Y in V i Y nn V n
(2.3)
ili kraće kraće zapisano zapisano I bus
Y busV bus
(2.4)
gdje je I bus vektor vektor injektiranih injektiranih struja. struja. Struja ima pozitivan pozitivan smjer kada kada ulazi u sabirnicu sabirnicu,, a negativan smjer ako izlazi iz sabirnice. V bus je vektor napona mjeren od referentnog refe rentnog čvora (tj. bus napona čvorova). Y bus je poznata kao matrica admitansi . bus Kada je poznata struja svake sabirnice, iz (2.4) mogu biti nađeni naponi za n sabirnica. V bus
1 Y bus I bus
(2.5)
Inverzna matrica admitansi je matrica impedansi Z bus bus.
2.3. Itera Iterativ tivne ne metode metode za za rješava rješavanje nje jednačin jednačinaa tokova tokova snaga snaga Jednačine Jednačine tokova snaga su nelinearne nelinearne jednačine jednačine koje koje zahtijevaju zahtijevaju korištenje korištenje iterativni iterativnihh metoda za dobi dobijanj janjee rješen rješenja. ja. Jedna Jedna od najčešći najčešćihh metod metodaa koja koja se korist koristii za iterat iterativn ivnoo rješav rješavanj anjee nelinearn nelinearnih ih jednači jednačina na je Newton-Ra Newton-Raphso phsonov nov metod. metod. Metoda Metoda je prvo prvo razmotrena razmotrena za za jednačin jednačinuu sa jednom promjenljivom, a zatim je proširena na n-jednačina sa n-promjenljivih.
2.3.1. Newton-Raphsonov metod Metod sa sa najširom najširom upotrebom upotrebom za rješavanje rješavanje nelinearnih nelinearnih jednačina jednačina je Newton-Raphsonov Newton-Raphsonov metod. Ovaj metod metod je uzastopni uzastopni aproksimativn aproksimativnii postupak postupak baziran baziran na početnoj početnoj procjeni nepoznat nepoznatee promjenl promjenljiv jivee i korišt korištenju enju Taylorov Taylorovog og reda. reda. Neka je je rješenje rješenje jednači jednačine ne sa jednom jednom promjenljivom promjenljivo m dato sa f x c
(2.6) Ako je x početna procjena rješenja, i ako je x malo odstupanj odstupanjee od tačnog tačnog rješenja, rješenja, tada je 0 0 f x x c (0)
(0)
Razvojem lijeve lijeve strane prethodne prethodne jednačine u Taylorov red u blizini blizini x(0), dobija se 0
f ( x
(0)
0 1 d 2 f df ) x ( 0 ) 2 ( x ( 0 ) ) 2 .... c 2! dx dx
2
I 1 Y 11 I Y 2 21 I i Y i1 I n Y n1
Y 12
Y 1i
Y 1n V 1
Y 22
Y 2i
Y 2 n
Y i 2
Y ii
Y n 2
Y ni
V 2 Y in V i Y nn V n
(2.3)
ili kraće kraće zapisano zapisano I bus
Y busV bus
(2.4)
gdje je I bus vektor vektor injektiranih injektiranih struja. struja. Struja ima pozitivan pozitivan smjer kada kada ulazi u sabirnicu sabirnicu,, a negativan smjer ako izlazi iz sabirnice. V bus je vektor napona mjeren od referentnog refe rentnog čvora (tj. bus napona čvorova). Y bus je poznata kao matrica admitansi . bus Kada je poznata struja svake sabirnice, iz (2.4) mogu biti nađeni naponi za n sabirnica. V bus
1 Y bus I bus
(2.5)
Inverzna matrica admitansi je matrica impedansi Z bus bus.
2.3. Itera Iterativ tivne ne metode metode za za rješava rješavanje nje jednačin jednačinaa tokova tokova snaga snaga Jednačine Jednačine tokova snaga su nelinearne nelinearne jednačine jednačine koje koje zahtijevaju zahtijevaju korištenje korištenje iterativni iterativnihh metoda za dobi dobijanj janjee rješen rješenja. ja. Jedna Jedna od najčešći najčešćihh metod metodaa koja koja se korist koristii za iterat iterativn ivnoo rješav rješavanj anjee nelinearn nelinearnih ih jednači jednačina na je Newton-Ra Newton-Raphso phsonov nov metod. metod. Metoda Metoda je prvo prvo razmotrena razmotrena za za jednačin jednačinuu sa jednom promjenljivom, a zatim je proširena na n-jednačina sa n-promjenljivih.
2.3.1. Newton-Raphsonov metod Metod sa sa najširom najširom upotrebom upotrebom za rješavanje rješavanje nelinearnih nelinearnih jednačina jednačina je Newton-Raphsonov Newton-Raphsonov metod. Ovaj metod metod je uzastopni uzastopni aproksimativn aproksimativnii postupak postupak baziran baziran na početnoj početnoj procjeni nepoznat nepoznatee promjenl promjenljiv jivee i korišt korištenju enju Taylorov Taylorovog og reda. reda. Neka je je rješenje rješenje jednači jednačine ne sa jednom jednom promjenljivom promjenljivo m dato sa f x c
(2.6) Ako je x početna procjena rješenja, i ako je x malo odstupanj odstupanjee od tačnog tačnog rješenja, rješenja, tada je 0 0 f x x c (0)
(0)
Razvojem lijeve lijeve strane prethodne prethodne jednačine u Taylorov red u blizini blizini x(0), dobija se 0
f ( x
(0)
0 1 d 2 f df ) x ( 0 ) 2 ( x ( 0 ) ) 2 .... c 2! dx dx
2
Ako se usvoji pretpostavka da je greška x(0) veoma mala, izvodi višeg reda mogu biti zanemareni, što rezultira u (0)
c
(0)
df x ( 0 ) dx
gdje je
c ( 0) c f ( x ( 0 ) ) Dodavanjem x(0) početnoj procjeni procjeni rezultira u drugoj drugoj aproksimaciji aproksimaciji sa x
(1)
x
(0)
c ( 0 ) (0) df dx
Uzastopna Uzastopna upotreba ovog postupka daje algoritam Newton -Raphsonovog metoda
c ( k ) c f ( x ( k ) ) x
x
( k )
( k 1)
c ( k ) ( k ) df dx x ( k ) x ( k )
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Jednačin Jednačinaa (2.8) može može biti biti preuređ preuređena ena u
c ( k ) j ( k ) x ( k ) gdje je ( k )
df j dx Relacija (2.10) demonstrira demonstrira da je nelinearna nelinearna je dnačina f ( x ) c 0 aproksimirana tangentom (k) na krivoj x . ( k )
Neka se sada razmatra sistem od n jednačina sa n promjenljivih f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) c1 f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ) c 2
............................... f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) c n
(2.11)
Rješavanjem svake od jednačina (2.11) po jednoj od promjenljivih, jednačine su preuređene i napisane kao 3
c1 g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) x 2 c 2 g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ) ....................................... x n c n g n ( x1 , x 2 ,..., x n ) x1
(2.12)
Proširivanjem Proširivanjem lijeve lijeve strane strane jednačina (2.11) u Taylorov red oko oko početnih početnih procjena procjena i zanemarivanjem zanemarivanjem svih izvoda višeg reda, dolazi se do izraza 0
0
0
0
0
0
f f f ( f 1 ) ( 0 ) 1 x1 0 1 x 2 0 .... 1 x n 0 c1 x1 x 2 x n ( f 2 )
(0)
f f f 1 x1 0 2 x 2 0 .... 2 x n 0 c 2 . x1 x 2 x n . .
0
( f n )
(0)
0
0
f f f n x1 0 n x 2 0 .... n x n 0 c n x1 x 2 x n
ili u matričnom obliku
c1 f 1 0 f 0 1 x1 0 0 c 2 f 2 f 2 x 1 0 f n c f 0 x n 1 n
0
f 1 x 2 0 f 2 x 2
f n x 2
0
0 0 f 1 x1 x n 0 0 f 2 x 2 x n 0 f n 0 x n x n
U kraćem obliku, to može biti napisano kao
C ( k ) J ( k ) X ( k ) ili 1
X ( k ) J ( k ) C ( k )
(2.13)
pa algoritam Newton -Raphsonovog -Raphsonov og metoda za slučaj sa n-promjenljivih postaje X k (
1)
X ( k ) X ( k )
(2.14)
gdje je
4
X ( k )
x1 ( k ) ( k ) x 2 ( k ) x n
( )
J k
f ( k ) 1 x1 ( k ) f 2 x 2 ( k ) f n x1
C ( k )
i
( k )
f 1 x 2 ( k ) f 2 x 2
f n x 2
( k )
c1 ( f 1 ) ( k ) ( ) c 2 ( f 2 ) k c n ( f n ) ( k ) ( k ) f 1 x n ( k ) f 2 x n ( k ) f n x n
(2.15)
(2.16)
(k)
je tzv. matrica Jakobijana . Elementi ove matrice su parcijalni izvodi proc ijenjeni za X . Pretpostavljeno je da J (k) ima inverznu matricu za svaku iteraciju. Newton-Raphsonov metod, primijenjen na sistem nelinearnih jednačina, svodi problem na rješ avanje sistema linearnih jednačina radi određivanja vrijednosti koje poboljšavaju tačnost procjena. (k)
J
2.4. Tipovi sabirnica u studijama tokova snaga Studije tokova snaga čine važan dio analize EES-a. One su potrebne za planiranje, ekonomsko predviđanje i upravljanje postojećih sistema kao i planiranje njenih budućih proširenja. Problem se sastoji od određivanja modula i faznog ugla napona na svakoj sabirnici, te toko va aktivne i reaktivne snaga na svakom vodu. Za rješavanje jednačina tokova snaga, pret postavljeno je da sistem radi pod simetričnim uslovima, pri čemu se koristi jednofazni model . Četiri veličine se vežu za sva ku sabirnicu. To su modul napona V, fazni ugao , aktivna snaga P i reaktivna snaga Q. Sabirnice u sistemu su uopšteno razvrstane u tri tipa sabirnica
Balansna sabirnica
Sabirnice opterećenja
Regulisane sabirnice Ove sabirnice se zovu i generatorske sabirnice . Također su poznate i kao naponski-kontrolisane sabirnice . Kod ovih sabirnica aktivna snaga i modul
Jedna sabirnica, poznatija kao balansna sabirnica , je uzeta kao referentna gdje su modul i fazni ugao napona zadani. Ova sabirnica p okriva razliku između planiranog opterećenja i proizvedene snage koja je nastala zbog gubitaka u mreži. Kod ovih sabirnica aktivna i reaktivna snaga su zadane. Modul i fazni ugao napona sabirnica su nepoznati . Ove sabirnice se još zovu i PQ sabirnice.
napona su zadani. Fazni ugao napona i reaktivna snaga su nepoznati. Granične vrijednosti reaktivne snage su također navedene. Ove sabirnice se još zovu i P V sabirnice.
5
2.5. Jednačine tokova snaga Tipična sabirnica EES-a je prikazano na slici 2.1. Prijenosni vodovi su predstavljeni preko njihovih ekvivalentnih modela gdje su impedanse pretvorene u admitanse u relativnim jedinicama u odnosu na baznu snagu u MVA.
Slika 2.1. Tipična sabirnica u EES-u Primijeni li se prvi Kirchhoffov zakon za struje na sabirnicu sa slike 2.1 rezultira u I i
y i 0V i y i1 (V i V 1 ) y i 2 (V i V 2 ) y in (V i V n ) ( y i 0 y i1 y i 2 y in )V i y i1V 1 y i 2V 2 y inV n
(2.17)
ili I i V i
n
y ij
n
y V
j i
(2.18)
jQi V i I i*
(2.19)
jQi
(2.20)
j 0
ij
j
j 1
Aktivna i reaktivna snaga na sabirnici i je Pi
ili I i
Pi
*
V i
Zamjenom I i u (2.18) dobija se Pi
jQi *
V i
n
n
j 0
j 1
V i y ij y ijV j
j i
(2.21)
6
Iz gornjih relacija, matematička formulacija jednačina tokova snaga rezultira sistemom nelinearnih jednačina koje mo gu biti riješene iterativnim tehnikama.
2.6. Gubici snage na vodu Poslije iterativnog rješenja napona sabirnica, sljedeći korak je računanje tokova snaga i gubitaka snage na vodu. Neka se posmatra vod koji povezuje dvije sabirnice i i j kao na slici 2.2.
Slika 2.2 Model prijenosnog voda za izračunavanje tokova snage na vodu Ukoliko se usvoji da je struja I ij na sabirnici i pozitivna za smjer i j tada je I ij
I l I i 0 y ij (V i V j ) y i 0V i
(2.22)
Na sličan način, ukoliko se usvoji da je struja I ji na sabirnici j i pozitivna za smjer j i tada je I ji
I l I j 0 y ij (V j V i ) y j 0V j
(2.23)
Kompleksne snage S ij od sabirnice i prema sabirnici j i S ji od sabirnice j prema sabirnici i su * (2.24) S ij V i I ij S ji V j I ji*
(2.25)
Gubitak snage na vodu i – j je algebarska suma tokova snaga određenih iz (2.24) i (2.25 ), tj., S Lij
S ij S ji
(2.26)
2.7. Primjena Newton-Raphsonovog metoda na rješavanje jednačina tokova snaga Newton-Raphsonov metod je kvadratne konvergencije i manje je sklon divergenciji kod neuslovnih problema. Broj iteracija kod dobijenog rješenja nezavisi od veličine sistema, ali se funkcionalnije procjene traže kod svak e iteracije. Pošto su u problemu tokova snaga aktivna snaga i modul napona zadani za naponski-kontrolisane sabirnice, jednačina tokova snaga je formulisana u polarnom obliku. Za tipičnu sabirnicu EES-a prikazanog na slici 2.1, ulazna struja sabirnice i je data po (2.18). Ova jednačina može biti pon ovo napisana u izrazu za matricu admitansi kao 7
n
Y V
I i
ij
(2.27)
j
j 1
U gornjoj jednačini, j uključuje sabirnicu i. Preuređivanjem ove jednačine u pola rni oblik, dobija se n
I i
Y ij
V j
ij j
(2.28)
j 1
U kompleksnom obliku snaga sabirnice i je
jQi V i* I i Zamjenom iz (2.28) za I i u (2.29), dobija se
(2.29)
Pi
Pi jQi V i i
n
Y
ij
V j ij j
(2.30)
j 1
Razdvajanjem realnih i imaginarnih dijelova izraza (2.30), dobija se Pi
n
V V i
j
Y ij cos ij i j
(2.31)
j 1
i n
Qi
V i V j
Y ij
sin ij i j
(2.32)
j 1
Jednačine (2.31) i (2.32) predstavljaju sistem nelinearnih jednačina u odnosu na nezavisne promjenljive, modul napona u relativnim jedinicama i faznog ugla u radijanima. Na ovaj način se dobijaju dvije jednačine za svaku sabirnicu opterećenja, datih izrazima (2.31) i (2.32) i jedna jednačina za svaku naponski-kontrolisanu sabirnicu, datu izrazom (2.31). Razvojem (2.31) i (2.32) u Taylorove redove u blizini početnih procjena i zanemarivanjem svih članova višeg reda rezultira sistemom linearnih jednačina.
P2 k P2 k 2 Pn k k Pn 2 Q2 k Q2 k 2 Qn k k Qn 2
P2 k n
k
k
P2 V 2
k
Pn n Q2 k n
Pn V 2 Q2 k V 2
Qn n
k
Qn V 2
k
2 k k Pn V n n k Q2 k V 2 k V n k Q n V n V n k P2 V n
k
8
U gornjoj jednačini, pretpostavljeno je da je sabirnica 1 balansna sabirnica. Matrica Jakobijana daje linearnu povezanost između malih promjena u uglu napona Δδi(k) i modula napona Δ|V i(k)| sa malim promjenama u aktivnoj i reaktivnoj snazi ΔP i(k) i ΔQi(k). Elementi matrice Jakobijana su parcijalni izvodi (2.31) i (2.32), sa početnim procjenama blizu Δδi(k) i (k) Δ|V i |. U kratkom obliku, to može biti napisano kao
P J 1 Q J 3
J 2
J 4 V
(2.33)
Za naponski-kontrolisane sabirnice, moduli napona su poznati. Dakle, ako m naponski kontrolisanih sabirnica sistema, obu hvata m jednačina ΔQ i ΔV, odgovarajuće kolone matrice Jakobijana se eliminišu. Prema tome, postoji n - 1 ograničenje aktivne snage i n – 1 – m ograničenje reaktivne snage, a matrica Jakobijana je reda ( 2n – 2 – m) (2n – 2 – m). J (n – 1), J 2 je reda (n – 1) (n – 1 – m), J 3 je reda (n – 1 – m) (n – 1), a J 4 1 je reda (n - 1) je reda (n – 1 – m) (n – 1 – m).
Dijagonalni i vandijagonalni elementi
J 1 su
Pi V i V j Y ij sin ij i j i j i
Pi V i V j j Dijagonalni i vandijagonalni elementi
Y ij
sin ij i j
(2.34) j i
J 2 su
Pi 2 V i Y ii cos ii V j Y ij cos ij i j V i j i Pi V i Y ij cos ij i j j i V j Dijagonalni i vandijagonalni elementi J 3 su Qi V i V j Y ij cos ij i j i j i
Qi V i V j j
(2.35)
Y ij
Dijagonalni i vandijagonalni elementi
cos ij i j
(2.36) (2.37)
(2.38) j i
(2.39)
J 4 su
Qi 2 V i Y ii sin ii V j Y ij sin ij i j V i j i Qi V i Y ij sin ij i j j i V j
(2.40) (2.41)
9
Članovi Pi k i Qi k su razlike između planiranih i izračunatih vrijednosti, poznati kao ostaci snaga , a dati su kao
Pi k Pi sch Pi k Qi k Qisch Qi k Nove procjene za napone sabirnica su i k 1 V i k 1
(2.42) (2.43)
i k i k V i k V i k
(2.44)
(2.45)
Procedura rješavanja jednačina tokova snaga po Newton-Raphsonovom metodu je data kako slijedi: 1. Za sabirnice opterećenja, gdje su Pi sch i Qisch zadani, moduli napona i fazni uglovi su približno jednaki vrijednostima balansne sabirnice, ug lavnom 1.0 i 0.0, tj., V i 0 1.0 i i 0
2. 3. 4. 5. 6. 7.
0.0 . Za naponski-regulisane sabirnice, gdje su
i Pi sch zadani, fazni uglovi su približno jednaki uglovima balansne sabirnice, uglavnom 0, t j., i 0 0 . Za sabirnice opterećenja, Pi k i Qi k su izračunate iz (2.31) i (2.32), a Pi k i Qi k su izračunate iz (2.42) i (2.43). Za naponski-kontrolisane sabirnice, Pi k i Pi k su izračunate iz (2.31) i (2.42), respektivno. Elementi matrice Jakobijana ( J 1 , J 2 , J 3 i J 4 ) su izračunate iz (2.34) – (2.41). Linearna jednačina (2.33) je direktno riješena trougaonom faktorizacijom i Gaussovom eliminacijom. Novi moduli napona i fazni uglovi su izračunati iz ( 2.44) i (2.45). Proces se nastavlja dok su ostaci Pi k i Qi k manji od zadane tačnosti, tj.,
Pi k k
Q i
V i
(2.46)
2.8. Programi za rješavanje jednačina tokova snaga Računarski program razvijen za rješavanje jednačina tokova snaga praktičnih sistema sadrži četiri programa. Program za Newton -Raphsonov metod je lfnewton , kojem prethodi lfybus , a zatim slijede busout i lineflow . Slijedi kratak opis pomenutih programa. Ovaj program zahtijeva parametre vod ova i transformatora i opcije priključka transformatora zadanih u ulaznoj datoteci nazvanoj linedata . On pretvara impedanse u admitanse pa dobijamo matricu admitansi. Program omogućava i primjenu na paralelnim vodovima. lfybus
Ovaj program daje rješenja jednačina tokova snaga po Newton-Raphsonovom metodu i zahtijeva ulazne datoteke busdata i linedata . Omogućeno je direktno korištenje lfnewton
10
opterećenja i proizvodnje u MW-a i Mvar-a, napona sabirnica u relativnim jedinicama, i uglova u stepenima. Opterećenja i proizvodnja su pretvoreni u relativne jedinice u odnosu na baznu snagu u MVA. Ograničenja su postavljena da održavaju reaktivnu snagu agregata naponsko-kontrolisanih sabirnica u njihovim zadanim granicama. Narušavanje ograničenja reaktivne snage može se desiti ako je zadani napon ili suviše visok ili suviše nizak. U drugoj iteraciji, izračunate reaktivne snage agregata se provjeravaju. Ako je dostignuto ograničenje, modul napona se podešava u koracima od 0.5 % do 5% dovodeći zahtijevanu reaktivnu snagu u zadane granice. Ovaj program izlazne rezultate sabirnica prikazuje u tabelarnom obliku. Izlazni rezultat uključuje modul napona i ugao sabirnica, aktivnu i reaktivnu snagu agregata i opterećenja i šant kondenzator/reaktor u Mvar -a. Ukupna proizvodnja i ukupno opterećenje su takođe uključeni kao opšti pregled u slučaju pri kaza rezultata. busout
Ovaj program prikazuje izlazne podatke vodova. Napravljen je da prikazuje tokove aktivne i reaktivne snage od sabirnice prema ostalim sabirnicama i gubitaka aktivne i reaktivne snage na vodovima kao i prividne snage svake sabirnice. Takođe su uključeni ukupni gubici aktivne i reaktivne snage u sistemu. lineflow
2.9. Priprema podataka za rješavanje jednačina tokova snaga Prije pokretanja rješavanja jednačina tokova snaga u MATLAB-u trebaju biti definisane:
bazna snaga sistema u MVA, tačnost proračuna snaga i maksimalni broj iteracija. Imena (malim slovima) rezervisana za ove varijable su basemva , accuracy i maxiter , respektivno. Početni korak u pripremi ulazne datoteke je numerisanje svake sabirnice. Sabirnice su numerisane sekvencijalno. Iako su brojevi sekvencijalno dodani, sabirnice netreba unositi sekvencijalno. busdata Format za sabirnice je izabran da olakša unos potrebnih podataka svake sabirnice u jedan red. Zahtijevane informacije moraju biti uključene u matricu. Kolona 1 je broj sabirnice, Kolona 2 sadrži kôd sabirnice, Kolone 3 i 4 su modul napona u relativnim jedinicama i fazni ugao u stepenima, Kolone 5 i 6 su opterećenja u MW-a i Mvar-a, Od 7 do 10 kolone su proizvodnje u MW-a, Mvar-a, minimalno Mvar-a i maksimalno Mvar-a, Posljednja kolona je injektirane Mvar -a od šant kondenzatora. Kôd sabirnica unešen u kolonu 2 je korišten za identificiranje opterećenja, naponsko kontrolisanih i balansnih sabirnica kao: 1 Ovaj kôd je korišten za balansnu sabirnicu. Jed ina potrebna informacija za ovu sabirnicu je modul napona i njegov fazni ugao. 11
Ovaj kôd je korišten za sabirnice opterećenja. Unešena opterećenja su pozitivna u MW -a i Mvar-a. Za ovu sabirnicu, početna vrijednost modula napona treba biti zadana. To je obično 1.0 i 0.0 za modul napona i fazni ugao, respektivno. 0
Ovaj kôd je korišten za naponski-kontrolisane sabirnice. Za ovu sabirnicu, modul napona, proizvodnja aktivne snage u MW -a i zahtijevana minimalna i maksimalna ograničenja agregata u Mvar-a trebaju biti zadani. 2
Vodovi su identificirani po metodu susjednih čvorova. Zahtijevane informacije moraju biti uključene u matricu. Kolone 1 i 2 su brojevi sabirnica voda. Kolone 3, 4 i 5 sadrže otpornost, reaktansu i jednu polovinu ukupne susceptanse voda u relativnim jedinicama zadatih na baznoj snazi u MVA. Posljednja kolona je za unošenje prenosnog odnosa transformatora ako postoji u sistema, u suprotnom za vodove, treba unijeti 1 u ovu kolonu. linedata
2.10. Rezultati testiranja Test sistem je prikazan na slici 2.3.
Slika 2.3. Test sistem sa tri agregata i pet sabirnica Procedura izvođenja rješavanja jednačina tokova snaga u MATLAB-u je prikazana kako slijedi » » » % % »
basemva=100; accuracy=0.0001; maxiter=12; Bus Bus Voltage Angle -LoadNo code Mag. Degree MW MVAr busdata=[1 1 1.06 0.0 0 0 2 2 1.045 0.0 20 10 3 2 1.03 0.0 20 15 4 0 1.0 0.0 50 30 5 0 1.0 0.0 60 40 % Bus Bus R X % nl nr pu pu
---Generation ---Injected MW MVAr Qmin Qmax MV Ar 0 0 10 50 0 40 30 10 50 0 30 10 10 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; 1/2 B 1 for lines code or pu tap setting value
12
» linedata=[1 1 2 2 2 3 4
2 3 3 4 5 4 5
0.02 0.08 0.06 0.06 0.04 0.01 0.08
0.06 0.24 0.18 0.18 0.12 0.03 0.24
0.03 0 0.025 0.020 0.020 0.015 0.01 0 0.025
1 1 1 1 1 1 1];
» lfybus » lfnewton » busout
Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3 Bus No.
Voltage Mag.
1 2 3 4 5
1.060 1.045 1.030 1.019 0.990
Angle Degree 0.000 -1.782 -2.664 -3.243 -4.405
Total
------ Load -----MW Mvar
---Generation --MW Mvar
0.000 20.000 20.000 50.000 60.000
0.000 10.000 15.000 30.000 40.000
83.051 40.000 30.000 0.000 0.000
150.000
95.000
153.051
Injected Mvar
7.271 41.811 24.148 0.000 0 .000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
73.230
0.000
» lineflow Line Flow and Losses
--Line-from to
Power at bus & line flow MW Mvar MVA
--Line loss-MW Mvar
1 2 3
83.051 59.900 23.152
7.271 4.056 3.215
83.369 60.038 23.374
0.648 0.407
-4.701 -4.239
1 3 4 5
20.000 -59.252 10.914 18.217 50.121
31.811 -8.757 2.957 7.245 30.368
37.576 59.896 11.307 19.605 58.603
0.648 0.080 0.231 1.295
-4.701 -4.066 -3.566 0.778
1 2
10.000 -22.745 -10.834
9.148 -7.454 -7.023
13.5 53 23.935 12.911
0.407 0.080
-4.239 -4.066
4
43.578
23.627
49.571
0.236
-1.389
2 3 5
-50.000 -17.986 -43.342 11.328
-30.000 -10.810 -25.016 5.826
58.310 20.985 50.043 12.738
0.231 0.236 0.154
-3.566 -1.389 -4.584
2 4
-60.000 -48.825 -11.175
-40.000 -29.590 -10.410
72.111 57.092 15.272
1.295 0.154
0.778 -4.584
3.053
-21.767
2
3
4
5
Total loss
Transformer tap
13
14
3. OPTIMALNI TOKOVI SNAGA 3.1. Uvod U EES-u, elektrane nisu smještene na istim udaljenostima od centara potrošnje, pa su njihove cijene proizvodnje električne energije različite. Osim toga, pri normalnim radnim uslovima, kapacitet proizvodnje je viši od ukupno zahtijevane potrošnje i gubitaka. U takvom EES-u cilj je pronaći aktivnu i reaktivnu snagu svakog agregata na takav način da troškovi rada budu minimalni. Ovim načinom se aktivnoj i reaktivnoj snazi agregata dopušta promjena u određenim granicama kako bi se udovoljilo određenim zahtjevima potrošnje uz minimalne troškove. Ovo je tzv. problem optimalnih tokova snaga (eng. Optimal Power Flow - OPF). OPF su korišteni u optimiziranju rješenja tokova snaga velikih EES -a. To je učinjeno minimiziranjem odabrane funkcije cilja održavanjem prihvatljivih performansi sistema u odnosu na granične mogućnosti agregata i proizvodnju kompenzacionih uređaja. Fun kcija cilja takođe poznata kao troškovna funkcija, može predstavljati ekonomske troškove, sigurnost sistema ili neki drugi cilj. Efikasno planiranje reaktivne snage poboljšava ekonomsko poslovanje kao i sigurnost sistema. OPF su proučavani u mnogim istraži vanjima pri čemu su predstavljeni mnogobrojni algoritmi koristeći različite funkcije cilja i metode.
3.2. Nelinearna optimizacija funkcija Nelinearna optimizacija funkcija je važan alat i važan dio u široj klasi optimizacija nelinearnog programiranja. Osnovne teorije i računarske metode su opisane u [3]. Osnovni cilj je minimiziranje neke nelinearne funkcije cilja ovisne o nelinearnim ograničenjima tipa jednakosti i tipa nejednakosti.
3.2.1. Nelinearna optimizacija funkcija bez ograničenja Matematički alati koji su korišteni u rješavanju problema nelinearne optimizacije funkcija bez ograničenja dolaze direktno iz proračuna sa više promjenljivih. Potreban uslov za minimiziranje funkcije f ( x1 , x 2 ,..., x n )
(3.1)
se dobija izjednačavanjem prvih parcijalnih izvoda od f po promjenljivim sa nulom, tj.,
f 0 x i
i
1,2,..., n
(3.2)
ili
f 0
(3.3)
gdje je
15
f f f ,, f , x n x1 x 2
(3.4)
poznat kao vektor gradijenta . Na osnovu članova određenih iz drugih parcijalnih izvoda H
2 f xi x j
(3.5)
jednačina (3.1) rezultira u simetričnu matricu tzv. Hessian matricu. Dakle, nakon izjednačavanja prvih parcijalnih izvoda od f po promjenljivim sa nulom dobija se lokalni ekstrem ( x1 , x 2 , , x n ), za koji funkcija f ima lokalni mimimun uz uslov da je Hessian matrica pozitivno definitina matrica. To znači da sve sopstvene vrijednosti Hessian matrice treba da budu pozitivne. Ako postoji jedan lokalni mimimu m, to je takođe i globalni minimum; ili pak ako postoji više lokalnih minimuma, funkcija mora biti procijenjena za svaki lokalni minimum određivanjem koji od njih je globalni minimum.
3.2.2. Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima Programski paket Matlab posjeduje poseban modul koji sadrži funkcije za rješavanje i optimizaciju nelinearnih jednačina. Ovaj modul se naziva Optimization Toolbox. Optimizacione metode su metode za nalaženje optimalnog rješenja i svode se na postupak minimizacije ili maksimizacije funkcije cilja. Neke od tih metoda su:
fminunc (metoda optimizacije bez ograničenja) lsqnonlin, lsqcurvefit (metode optimizacije zasnovane na metodi najmanjih kvadrata) fsolve (metoda za rješavanje nelinearnih sistema jednačina) fmincon, fminimax, fgoalattain i fseminf (metode optimizacije sa ograničenjima)
Najčešći oblik naredbe fmincon za nelinearnu optimizaciju funkcija sa ograničenjima je: fmincon ( f , x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB)
gdje je f funkcija koja se optimizuje (i koja može da se de finiše preko matematičkog izraza u obliku stringa, preko funkcijskog potprograma ili kao lokalna funkcija). Nezavisne promjenljive se moraju označiti sa x(1), x (2), itd (a ne sa x, y, itd). Sa x0 je označen vektor početnih vrijednosti za nezavisno promjenl jive. A i B su matrice koje definišu ograničenja tipa jednakosti i tipa nejednakosti A *x<=B, dok su Aeq i Beq matrice koje definišu ograničenja tipa jednakosti Aeq *x=Beq. Sa LB i UB su označeni vektori koji definišu donju i gornju granicu nezavisnih promjenljivih. U slučaju da ne postoje neka od ograničenja (tipa nejednakosti ili jednakosti), ili kada gornja ili donja granica nije definisana, umjesto odgovarajuće matrice (vektora) koristi se prazan skup, [].
3.2.2.1.Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima tipa jednakosti
16
Ovakav tip problema se pojavljuje kada postoje funkcionalne ovisnosti između izabranih parametara. Problem je minimizirati funkciju f ( x1 , x 2 ,..., x n )
(3.6)
ovisnu o ograničenjima tipa jednakosti g i ( x1 , x 2 , , x n ) 0
i
1, 2, , k
(3.7)
Takvi problemi mogu biti riješeni metodom Langrang eovih multiplikatora. Ona omogućava proširivanje funkcije uvođenjem Langrangeovog multiplikatora λ nepoznatog iznosa, pa funkcija tada postaje k
L
f i g i
(3.8)
i 1
Potrebni uslovi za određivanje lokalnog minimuma su: k g L f i i 0 xi xi i 1 xi
(3.9)
L gi 0 i
(3.10)
Jednačina (3.10) predstavlja ograničenje tipa jednakosti.
3.2.2.2.Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima tipa nejednakosti Problemi optimizacije sadrže osim ograničenja tipa jednakosti, i ograničenja tipa nejednakosti. Problem je minimizirati funkciju (3.11)
f ( x1 , x 2 ,..., x n )
ovisnu o ograničenjima tipa jednakosti g i ( x1 , x 2 , , x n ) 0
i
1, 2, , k
(3.12)
j
1, 2, , m
(3.13)
i ograničenjima tipa nejednakosti u j ( x1 , x 2 , , x n ) 0
Langrangeov multiplikator je proširen i za ograničenja tipa nejednakosti uvođen jem Langrangeovog multiplikatora nepoznatog iznosa, pa funkcija postaje
17
L
k
m
i 1
j 1
f i g i j u j
(3.14)
Potrebni uslovi za određivanje lokalnog minimuma su:
L 0 x i
i
1, 2, , n
(3.15)
L gi 0 i
i
1, 2, , k
(3.16)
L u j 0 j
j
1, 2, , m
(3.17)
j
1, 2, , m
(3.18)
j u j
0 & j 0
Jednačina (3.16) predstavlja ograničenje tipa jednakosti, a jednačina (3.17) ograničenje t ipa nejednakosti.
3.3. Troškovi rada agregata Faktori koji utiču na smanjenje troškova prilikom proizvodnje su efikasnost rada agregata, cijena goriva i prenosni gubici. Najefikasniji agregat u sistemu nije garancija minimalnih troškova ako se nalazi u području gdje je cijena goriva visoka. Takođe, ako se agregat nalazidaleko od centara potrošnje, prenosni gubici mogu biti znatno viši i otuda agregati mogu biti neekonomični. Dakle, problem je odrediti proizvodnju agregata tako da su ukupni troškovi rada minimalni. Troškovi rada igraju važnu ulogu u ekonomskom planiranju i detaljno su razmotreni. Pojednostavljena ulazno -izlazna kriva agregata poznata kao kriva toplotnog porasta je data na slici 3.1(a). Pretvaranjem ordinate krive toplotnog porasta iz Btu/h u $/h rezultira troškov nom krivom prikazanoj na slici 3.1(b).
Sl.3.1. (a) Kriva toplotnog porasta
Sl.3.1. (b) Kriva troškova proizvodnje
U svim praktičnim slučajevima, cijena goriva agregata i se može predstaviti kao kvadratna funkcija prozvodnje aktivne snage
18
F i
i i Pi i Pi 2
(3.19) gdje je: i - koeficijent stalnih troškova proizvodnje i-tog agregata i - koeficijent linearnih troškova proizvodnje i-tog agregata i - koeficijent kvadratnih troškova proizvodnje i-tog agregata
Svaki agregat ima svoju troškovnu krivu koja zavisi od mnogih parametara (kvalitet uglja, kotlova, cjevovoda itd). Diferenciranjem troškovne krive po aktivnoj snazi dobija se kriva inkrementalnih troškova koja je prikazana na slici 3.2. dF i dPi
2 i Pi i
(3.20)
Kriva inkrementalna troškova je veličina koja pokazuje koliki će biti troškovi proizvodnje sa povećanjem snage. Ukupni radni troškovi uključuju cijenu goriva, cijenu rada, opremu i održavanje. Ovi troškovi su uzeti kao fiksan procenat od cijene goriva i kao takvi su uključeni u krivu inkrementalnih troškova.
Sl.3.2. Tipična kriva inkrementalnih troškova
3.4. Ekonomska raspodjela Najjednostavniji problem ekonomske raspodjele je slučaj kada su prenosni gubici zanemareni. Ukratko rečeno, model problema ne uzima u obzir konfiguraciju sistema i impedanse vodova. U suštini, model je zamišljen kao sistem od jedne sabirnice sa cjelokupnom proizvodnjom i potrošnjom vezanom za nju, kao što je prikazano na slici 3.3.
Sl.3.3. Agregati vezani na zajedničku sabirnicu
19
Za n g agregata, koji opskrbljuju potrošače ukupnog iznosa snage PD (Sl.3.3), definiše se funkcija cilja: F t
ng
ng
i 1
i 1
F 1 F 2 F 3 F n F i ( Pi ) i i Pi i Pi 2 g
(3.21)
koja predstavlja ukupne proizvodne troškove jednake sumi proizvodnih troškova pojedinih agregata u funkciji proizvedene snage. Ako su prenosni gubici u sistemu zanemareni, tada balans proizvodnje i potrošnje snaga mo že biti zapisan na sljedeći način: ng
P P i
(3.22)
D
i 1
pri čemu je: - ukupna potrošnja u sistemu, [MW] Pi - snaga i-tog agregata, [MW] P D
Sada se može definisati zadatak ekonomske raspodjel e: odrediti izlazne snage agregata, koji su u pogonu, tako da ukupni proizvodni troškovi u sistemu budu minimalni uz uslov da ograničenja agregata nisu narušena. Matematička formulacija ovako definisanog zadatka glasi:
n min F t min F i ( Pi ) i 1 g
Odrediti
ng
Uz ograničenje
P D
Pi 0 i 1
Ako se pretpostavi da tehnička ograničenja za svaki agregat neće biti narušena, ovako postavljeni zadatak optimizacije sa ograničenjem tipa jednakosti moguće je riješiti koristeći se metodom Langrange-ovih multiplikatora. Prema ovom metodu koristi se proširena funkcija cilja: n L F t P D Pi i 1 g
(3.23)
Minimum ove funkcije se postiže izjednačavanjem prvih parcijalnih izvoda od L po svim promjenljivim sa nulom. Dakle, L 0 (3.24) Pi
L 0
(3.25)
20
Prvi uslov, dat jednačinom (3.25), rezultira jednačinom
F t (0 1) 0 Pi Pošto je F t F 1 F 2 ... F n g
onda je F t dF i Pi dPi
pa uslov za optimalnu raspodjelu postaje dF i dPi
i
1,..., n g
(3.26)
ili na osnovu jednačine (3.20) i
2 i Pi
(3.27)
i predstavlja uslov jednakih inkrementalnih troškova. Pod pojmom inkrementalnih troškova podrazumijeva se količnik povećanja troškova sa povećenjem izlazne snage za neki agregat kada povećanje snage teži nuli, odnosno inkrementalni troškovi i-tog agregata predstavljaju prvi izvod njegove troškovne krive po izlaznoj snazi. Drugi uslov, dat jednačinom (3.25), rezultira jednačinom ng
P P i
(3.28)
D
i 1
što predstavlja balans proizvodnje aktivne snage agregata i potrošnje u sistemu. Rješavanjem jednačina (3.26) odnosno (3.27) i (3.28) određena je optimalna raspodjela proizvodnje na agregate. Ukratko, kada su gubici zanemareni, za na jekonomičniji rad, svi agregati moraju raditi sa jednakim inkrementalnim troškom uz zadovoljenje ograničenja datog jednačinom (3.28). Da bi se pronašlo rješenje, jednačina (3.27) je riješena za Pi Pi
i 2 i
(3.29)
Relacije date sa jednačinom (3.29) su poznate kao koordinacione jednačine . One su funkcija od λ. Analitičko rješenje za λ može biti dobijeno zamjenom P i u (3.28), tj. ng
i 1
i
2 i
P D
(3.30)
21
ili
P D
ng
i
i 1 2 i
(3.31)
ng
1 i 1 2 i
Vrijednost λ određena iz jednačine (3.31) zamjenom u jednačinu (3.29) daje optimalno planiranu proizvodnju. Međutim, kada se gubici uzmu u obzir rezultirajuće jednačine postaju nelinearne i iterativno se rješavaju. U tu svrhu, jednačina (3.30) je napisana kao f ( ) P D
(3.32)
Razvojem lijeve strane jednačine (3.32) u Taylorov red u blizini radne tačke λ(k) i zanemarivanjem članova višeg reda rezultira jednačinom ( k )
f ( )
( k )
df ( ) ( k ) P D d
(3.33)
odakle se dobija
( k )
P ( k )
df ( ) d
( k )
P ( k )
dPi d
(3.34)
( k )
ili
( k )
P ( k )
(3.35)
1 2 i
i stoga je ( k 1)
( k ) ( k )
(3.36)
gdje je
P
( k )
ng
P D Pi ( k )
(3.37)
i 1
Proces se nastavlja sve dok ΔP(k) ne bude manja od zadane tačnosti. Izlazna snaga bilo kojeg agregata ne bi trebala prelaziti njegovu procjenu, a niti bi trebala biti niža od potrebe za stabilnim radom parnog kotla. Prema tome, proizvodnje su ograničene između datih minimalnih i maksimalnih ograničenja. Problem je naći proizvodnju aktivne snage za svaki agregat tako da funkcija cilja (tj. ukupan trošak proizvodnje) definisana sa (3.19) bude minimalna, ovisna o ograničenju datog jednačinom (3.20) i ograničenjima tipa nejednakosti datih sa Pi (min)
Pi Pi (max)
i
1, , n g
(3.38)
gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno.
22
Kuhn-Tuckerovi uslovi kao dodatni članovi dopunjavaju Lagrangeove uslove uključivanjem ograničenja tipa nejednakosti. Potrebni uslovi za optimalnu raspodjelu uz zanemare ne gubitke postaju dF i dPi dF i dPi dF i dPi
za
Pi(min) < Pi < Pi(max)
za
Pi = Pi(max)
za
Pi = Pi(min)
(3.39)
Ako su ova ograničenja narušena za bilo koji od agregata, onda se problem može riješit i na sljedeći način: za agregate kod kojih je izračunata vrijednost snaga izvan dopuštenih granica usvaja se da je njihovo opterećenje jednako prekoračenom limitu (minimalnoj ili maksimalnoj snazi). Uz usvojenu pretpostavku proračun se ponavlja bez tih agr egata, a opterećenje potrošača se umanjuje za zbirni iznos limitiranih vrijednosti. Na taj način se vrši raspodjela opterećenja, između agregata kod kojih nije došlo do narušavanja ograničenja, po principu jednakih inkrementalnih troškova. Za agregate sa u svojenom vrijednošću snage, koja odgovara limitiranom iznosu, inkrementalni troškovi će biti različiti. Međutim, u slabije povezanoj mreži gdje se snaga prenosi preko udaljenosti sa malom gustoćom potrošača, prenosni gubici su značajan faktor i utiču na op timalnu raspodjelu proizvodnje. Jedan od uobičajenih postupaka za uključivanje efekta prenosnih gubitaka je izražavanje ukupnih prenosnih gubitaka kao kvadratne funkcije izlazne snage agregata. Najjednostavniji kvadratni oblik je ng
P L
ng
Pi Bij P j
(3.40)
i 1 j 1
Opšta formula sadrži linearni i konstantni član, a navedena je kao Kronerova formula gubitaka ng
P L
ng
ng
Pi Bij P j B0i Pi B00 i 1 j 1
(3.41)
i 1
Koeficijenti Bij su nazvani koeficijenti gubitaka ili kraće B-koeficijenti . Za B-koeficijente se pretpostvalja da su konstantni, a prihvatljiva tačnost može biti očekivana ako su stvarni radni uslovi blizu osnovnom stanju gdje su B -konstante izračunate. Problem ED je smanjiti ukupne proizvodne troškove F i, koja je funkcija izlaza agregata ng
F t
ng
F i i i Pi i Pi 2 i 1
(3.42)
i 1
Ovisno o ograničenjima, proizvodnja bi trebala da bude jednaka zahtijevanoj potrošnji plus gubicima u sistemu, tj. 23
ng
P P i
D
P L
(3.43)
i 1
zadovoljavajući ograničenja data nejednakostima Pi (min)
i 1, , n g
Pi Pi (max)
(3.44)
gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno. Korištenjem Lagrangeovih multiplikatora i dodavanjem dodatnih članova obuhvaćenih ograničenjima tipa nejednakosti, dobija se L
ng
ng
ng
i 1
i 1
i 1
F t ( P D P L Pi ) i (max) ( Pi Pi (max) ) i (min) ( Pi Pi (min) )
(3.45) Ograničenja treba razumjeti na način da je µ i(max) = 0 kada je P i < Pi(max) i µ i(min) = 0 kada je P i > P i(min). Drugim riječima, ako ograničenje nije narušeno, njegova pridružena promjenljiva µ jednaka je nuli, a odgovarajući oblik u (3.45) ne postoji. Ograničenja jedino postaju aktivna kada su narušena. Minimum ove funkcije se postiže kada su parcijalni izvodi ove funkcije po njenim promjenljivim jednaki nuli.
L 0 Pi
(3.46)
L 0
(3.47)
L i (max) L i (min)
Pi Pi (max) 0
(3.48)
Pi Pi (min) 0
(3.49)
Jednačine (3.48) i (3.49) ukazuju da Pi ne bi trebalo da ide izvan granica, a kada je Pi unutar granica µ i(min) = µ i(max) = 0. Prvi uslov, dat jednačinom (3.46) rez ultira u F t P (0 L 1) 0 Pi Pi
Pošto je F t F 1 F 2 ... F n g
tada je
24
F t Pi
dF i dPi
i stoga je uslov za optimalnu raspodjelu dF i dPi
P L Pi
i
1, , n g
(3.50)
Član PP je poznat kao inkrementalni prirast gubitaka i-tog agregata. Drugi uslov, dat jednačinom (3.47), razultira u L i
ng
P P i
D
P L
(3.51)
i 1
Preuređivanjem jednačine (3.50) dobija se 1 dF i 1 PP dPi
i 1, , n g
L
(3.52)
i
ili Li
dF i dPi
i
1, , n g
(3.53)
gdje je Li poznat kao penalizacioni faktor i -tog agregata i dat je izrazom Li
1 1 PP
L
(3.54)
i
Dakle, efekat gubitaka prenosa je uveden penalizacionim faktorom sa vrijednošću koja zavisi od lokacije agregata. Jednačina (3.53) prikazuje da se minimalna cijena dobija kada je inkrementalni trošak svakog agregata pomnožen sa penalizacionim faktorom koji je isti za sve agregate. Inkrementalni trošak proizvodnje je dat sa (3.20), a inkr ementalni gubici su dobijeni iz formule gubitaka (3.41) koja glasi n P L 2 Bij P j B0i Pi j 1 g
(3.55) Zamjenom izraza za inkrementalni trošak proizvodnje i inkrementalne gubitke u jednačinu (3.50) rezultira u 25
ng
i
2 i Pi 2 Bij P j B0i j 1
ili n 1 i Bii Pi Bij P j 1 B0i i 2 j 1 g
(3.56)
j i
Proširivanjem jednačine (3.56) na sve agregate rezultira linearnim jednačinama u matričnom obliku
1 B11 B21 Bn 1 g
B1ng
B2 n g
Bng 2
B12 2
B22
ng
Bn n g
P1 1 B01 1 2 P2 1 1 B02 2 Pn 1 B0 n
ng
g
g
g
(3.57)
ili u kraćem obliku EP D
(3.58)
Zatim se iterativni proces nastvalja koristeći gradijentni metod [4]. U tu svrhu, iz jednačine (3.56), Pi je u k -toj iteraciji izražena kao Pi
( k )
( k ) (1 B0i ) i 2( k )
Bij P j( k )
j i
2( i ( k ) Bii )
(3.59)
Zamjenom Pi iz oblika (3.59) u (3.51) rezultira u ng
( k ) (1 B0i ) i 2( k )
Bij P j( k )
j i
2( i Bii ) ( k )
i 1
P D P L( k )
(3.60)
ili f ( )
( k )
P D P L( k )
(3.61)
Razvojem lijeve strane gornje jednačine u Taylorov red u okolini radne tačke λ(k) i zanemarivanjem članova višeg reda rezultira u ( k )
df ( ) ( k ) P P ( k ) f ( ) D L d ( k )
(3.62)
ili
26
( k )
P ( k )
df ( ) d
P ( k )
( ) ( ) k
dPi d
k
(3.63) gdje je ( k ) ( k ) n Pi i (1 B0i ) Bii i 2 i j i Bij P j 2( i ( k ) Bii ) 2 i 1 i 1 ng
g
(3.64) Dakle ( k 1)
( k ) ( k )
(3.65)
gdje je
P
ng
P D P L Pi ( k )
( k )
( k )
(3.66)
i 1
Proces se nastavlja sve dok je ΔP(k) manja od zadane tačnosti. Ako se koristi približna formula gubitaka izraž ena sa ng
P L
Bii Pi 2
(3.67)
i 1
Bij = 0, B00 =0, rješenje jednačine (3.59) svodi se na jednostavniji izraz Pi
( k )
( k )
i
2( i ( k ) Bii )
(3.68)
a jednačina (3.64) na ng
( k )
n i Bii i Pi ( k ) 2 i 1 i 1 2( i Bii ) g
(3.69)
Dijagrami toka za oba slučaja ekonomske raspodjele prikazani su na slici 3.4 i slici 3.5.
3.5. Izvođenje formule gubitaka Jedan od važnih koraka u optimalnoj raspodjeli proizvodnje agregata je izraziti gubitke sistema u odnosu na proizvodnju aktivne snage agregata. Postoji nekoliko metoda dobijanja formule gubitaka. Jedna metoda razvijena po Kronu i usvojena po Kirchmayeru je metod Bkoeficijenata [5]. Ukupna injektirana kompleksna snaga sabirnice i, označena kao S i, je data kao
27
* S i Pi jQi V i I i
(3.70)
Sumiranjem snaga svih sabirnica dobijaju se ukupni gubici sistema n
P L
T * jQ L V i I i* V bus I bus
(3.71)
i 1
gdje su P L i Q L gubici aktivne i reaktivne snage u sistemu. V bus je vektor napona čvorova, a I bus vektor injektiranih struja. Izraz za struje sabirnice u odnosu na napon sabirnica je dat jednačinom (2.4)
Y busV bus
I bus
(3.72)
gdje je Y bus matrica admitansi. Rješavanjem po V bus, dobija se
V bus Y bus1 I bus Z bus I bus
(3.73)
Zamjenom V bus iz jednačine (3.73) u jednačinu (3.71), rezultira u T T * * P L jQ L Z bus I bus I bus Z bus I bus I bus T
(3.74)
T S obzirom da je Z bus simetrična matrica slijedi da je Z bus Z bus , pa ukupni gubici sistema postaju
P L
* T jQ L I bus Z bus I bus
(3.75)
Izraz u (3.75) takođe može biti izražen koristeći indeksni zapis kao n
P L
n
jQ L I i Z ij I j*
(3.76)
i 1 j 1
Pošto je matrica impedansi simetrična, tj., Z ij = Z ji, gornja jednačina postaje P L jQ L
1
n
n
Z ( I I 2 ij
i
* j
I j I i* )
(3.77)
i 1 j 1
Izraz u zagradama (3.77) je realan; stoga se gubici snage mogu razdvojiti u realani i imaginarani dio kao P L
1
n
n
R 2
ij
( I i I j* I j I i* )
i 1 j 1
(3.78) Q L
1 n n * * X ij ( I i I j I j I i ) 2 i 1 j 1
(3.79)
gdje su Rij i X ij realni i imaginarni elementi matrice impedansi, respektivno.
28
Osim toga, pošto je R ij = R ji, jednačina gubitaka aktivne snage može biti svedena na jedna činu P L
n
n
I R I i
ij
(3.80)
* j
i 1 j 1
a u matričnom obliku, jednačina za gubitke aktivne snage sistema postaje * T I bus Rbus I bus
P L
(3.81)
gdje je R bus realni dio matrice impedansi. Radi dobijanja uopštene formule za gubitke snage sistema u odnosu na snage koju daju agregati, ukupnu struju potrošača definišemo kao sumu svih injektiranih struja, tj., I L1 I L 2
I Ln I D
(3.82)
d
gdje je n d broj sabirnica potrošača, a I D je ukupna struja potrošača. Dakle, pretpostvaljeno je da pojedinačne struje sabirnica odstupaju kao konstante kompleksnog dijela ukupne struje potrošača, tj. I Lk
l k I D
k 1,2,..., n d
(3.83)
ili l k
I Lk
(3.84)
I D
Pretpostavljajući da je sabirnica 1 referent na sabirnica (balansna sabirnica), izdvajanjem prvog reda iz jednačine (3.73) rezultira u V 1
Z 11 I 1 Z 12 I 2 Z 1n I n
(3.85)
Ako je ng broj agregata, a n d broj potrošačkih sabirnica, gornja jednačina može biti napisana iz članova za struje potrošača i struje agregata kao ng
V 1
nd
Z 1i I gi Z 1k I Lk i 1
(3.86)
k 1
Zamjenom I Lk iz jednačine (3.83) u jednačinu (3.86), dobija se V 1
ng
nd
ng
i 1
k 1
i 1
Z 1i I gi I D l k Z 1k Z 1i I gi I DT
(3.87) gdje je T
nd
l Z k
1k
(3.88)
k 1
29
Ako je I 0 definisana kao struja koja teče od sabirnice 1, sa svim drugim strujama potrošača označenih nulom, imamo: V 1
Z 11 I 0
(3.89)
Zamjenom V 1 u jednačini (3.87) i rješavanjem po I D, dobija se
I D
ng
1
Z I T
1i gi
i 1
1
(3.90)
Z 11 I 0 T
Zamjenom I D iz jednačine (3.90) u jednačinu (3.83), struje potrošača postaju I Lk
ng
l k
Z I T
1i gi
l k
i 1
(3.91)
Z 11 I 0 T
Neka je
l k
(3.92)
T
Tada je ng
I Lk
k Z 1i I gi k Z 11 I 0
(3.93)
i 1
Dodavanjem struja agregata u gornju jednačinu dobija se u matričnom obliku 0 I g1 1 I 0 1 g2 0 0 I gn I L1 1 Z 11 1 Z 12 I L 2 2 Z 11 2 Z 12 I Ln k Z 11 k Z 12
0 0
1
g
d
1 Z 1ng
2 Z 1ng
k Z 1n g
0 I g1 0 I g 2 0 I gn 1 Z 11 2 Z 11 k Z 11 I 0 g
(3.94)
Označavanjem gornje matrice sa C , jednačina (3.94) postaje I bus = CI new
(3.95)
Zamjenom I bus u jednačinu (3.81), dobija se * * T P L CI new Rbus C * I new C T Rbus C * I new I new T
(3.96)
30
Ako je S gi prividna snaga sabirnice i , struja agregata je *
I gi
S gi *
V i
Pgi jQ gi V i
*
1 j *
V i
Qgi Pgi
(3.97)
Pgi
ili I gi
i Pgi
(3.98)
gdje je i
Qgi
1 j
Pgi
(3.99)
*
V i
Dodavanjem struje I 0 u vektor kolonu struje I gi, jednačina (3.98) postaje
I g1 1 0 I 0 2 g2 I gn 0 0 I 0 0 0
0 0
n g
g
0
0 Pg1 0 Pg 2 0 Pgn I 0 1
(3.100)
g
ili u kraćem obliku I new
PG1
(3.101)
gdje je
Pg1 P g2 (3.102) PG1 Pgn 1 Zamjenom I new iz jednačine (3.101) u jednačinu (3.96), jednačina gubitaka postaje g
P L
PG1 T C T Rbus C * * PG*1 PGT 1 T C T Rbus C * * PG*1
(3.103)
Rezultantna matrica u gornjoj jednačini je kompleksna, a gubitak aktivne snage je određen iz njenog realnog dijela, stoga je P L
PGT 1 H PG*1
(3.104)
gdje je
31
H T C T Rbus C *
(3.105)
*
Pošto su elementi matrice H kompleksni, njen realni dio treba isko ristiti za izračunavanje gubitaka aktivne snage. Ovako dobijena matrica H je Hermiteova matrica. Ovo znači da je H simetrična i da je H = H *. Prema tome, realni dio matrice H je određen iz
H
*
H H
(3.106)
2
Gornja matrica je podijeljena kako slijedi
B11 B 21 H Bn 1 B01 / 2 g
B12
B22
Bng 2
B02
/2
B1ng
B01 / 2
B2 n g
B02
/ 2 Bn n B0 n / 2 B0 n / 2 B00 g
g
(3.107)
g
g
Zamjena H u jednačinu (3.104), daje
P L
Pg1
Pg 2
Pgn g
B11 B 21 1 Bn 1 B01 / 2 g
B12
B22
Bng 2
B02
B01 / 2 Pg1
B2 n B02 / 2 Pg 2 (3.108) Bn n B0 n / 2 Pgn B0 n / 2 B00 1 B1ng
g
g
/2
g
g
g
g
ili
P L
Pg1
Pg 2
Pgn g
B11 B 21 Bn 1 g
Pg1
Pg 2
Pgn g
B12
B1ng
B22
B2 ng
Bn g 2
B ng n g
B01 / 2 B / 2 02 B 00 B0 n / 2
Pg1 P g2 Pgn g
(3.109)
g
32
Slika 3.4. Dijagram toka ekonomske raspodjele uz zanemarenje prenosnih gubitaka
33
Slika 3.5. Dijagram toka ekonomske raspodjele uz efekte prenosnih gubitaka
3.6. Rezultati testiranja
34
Slika 3.6. Test sistem sa tri agregata i pet sabirnica Za ED bez uvažavanja gubitaka i ograničenja agregata za test sistem sa slike 3.6. proračunom se dobija » cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » Pdt=150; » dispatch Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.51 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 31.9372 67.2775 50.7856 » gencost Total generation cost = 1579.70 $/h
Ukoliko uvedemo ograničenja za agregate situacija se neće bitnije promijeniti, jer nije došlo do narušavanja ograničenja agregata, a sve to je prikazano kroz sljedeći proračun: » cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » mwlimits=[10 85 10 80 10 70]; » Pdt=150; » disptach Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.51 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 31.9372
35
67.2775 50.7856 » gencost Total generation cost = 1579.70 $/h
Ako primijenimo fmincon iz Optimization Toolbox Matlaba dobijamo identične rezultate. »f=inline('520+7*x(1)+0.008*x(1).^2+6.3*x(2)+0.009*x(2).^2+6.8*x(3)+0.007*x(3).^2')
f=
Inline function: f(x) = 520+7*x(1)+0.008*x(1).^ 2+6.3*x(2)+0.009*x(2).^2+6.8*x(3)+0.007*x(3).^2
» [x fval]=fmincon(f,[0 0 0],[],[],[1,1,1],[150],[10;10;10],[85;80;70]) x=
31.937
67.277
50.786
fval =
1579.7
Ukoliko su ograničenja narušena za bilo koji od agregata, onda se problem može riješiti tako da se agregat kod kojeg je opterećenje narušeno postavi na limit (minimalna ili maksimalna snaga). Uz usvojenu pretpostavku proračun se ponavlja bez tih agregata, a opterećenje potrošača umanjuje za zbirni iznos limitiranih vrijednosti. Na taj način se vrši raspodjela opterećenja, između agregata kod kojih nije došlo do narušavanja ograničenja, po principu jednakih inkrementalnih troškova. U test sistemu je došlo do prekoračenja agrega ta na sabirnici 2, pa je samim tim došlo i do promjena u proizvodnji ostalih agregata » cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » mwlimits=[10 85 10 60 10 70]; » Pdt=150; » dispatch Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.57 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 35.3333 60.0000 54.6667
36
» gencost Total generation cost = 1580.37 $/h
Ukoliko u proračun uvedemo i gubitke sistema po približnoj formuli proračunom se dobija (bez narušavanja ograničenja) » cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » mwlimits=[10 85 10 80 10 70]; » Pdt=150; » B=[0.0218 0 0 0 0.0228 0 0 0 0.0179]; » basemva=100; » dispatch Incremental cost of delivered p ower (system lambda) = 7.68 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 35.0907 64.1318 52.4767 Total system loss = 1.6991 MW » gencost Total generation cost = 1592.65 $/h
Ako se koristi potpuna formula za izračunavanje gubitaka proračuom se dob ija » cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » mwlimits=[10 85 10 80 10 70]; » Pdt=150; » B=[0.0218 0.0093 0.0028 0.0093 0.0228 0.0017 0.0028 0.0017 0.0179]; » B0=[0.0003 0.0031 0.0015]; » B00=0.00030523; » basemva=100; » dispatch Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.77 $/MWh Optimal Dispatch of Generation:
37
33.4701 64.0974 55.1011 Total system loss = 2.66873 MW » gencost Total generation cost = 1599.98 $/h
Ako su podaci sistema dati u obliku ulaznih datoteka busdata i linedata koristeći sljedeće naredbe u glavnom komandnom programu Matlaba dobija se » basemva=100; » accuracy=0.0001; » maxiter=10; % %
Bus Bus Voltage Angle -Load- ---Generation ---Injecte d No code Mag. Degree MW MVAr MW MVAr Qmin Qmax MVAr
» busdata =[1 2 3 4 5 Bus nl
% %
» linedata =[1 1 2 2 2 3 4
1 2 2 0 0
1.06 1.045 1.03 1.0 1.0 Bus R nr pu 2 3 3 4 5 4 5
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.02 0.08 0.06 0.06 0.04 0.01 0.08
0 20 20 50 60 X pu
0 10 15 30 40
0.06 0.24 0.18 0.18 0.12 0.03 0.24
0 0 40 30 30 10 0 0 0 0 1/2 B pu 0.03 0 0.025 0.020 0.020 0.015 0.01 0 0.025
10 50 0 10 50 0 10 40 0 0 0 0 0 0 0]; 1 for lines code or tap setting value 1 1 1 1 1 1 1];
» lfybus » lfnewton » busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3 Bus Voltage Angle No. Mag. Degree 1 2 3 4 5
1.060 1.045 1.030 1.019 0.990
Total
0.000 -1.782 -2.664 -3.243 -4.405
------Load-----MW Mvar 0.000 20.000 20.000 50.000 60.000
150.000
0.000 10.000 15.000 30.000 40.000
---Generation--- Injected MW Mvar Mvar 83.051 40.000 30.000 0.000 0.000
7.271 41.811 24.148 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
95.000 153.051
73.230
0.000
» bloss
38
B= 0.0218 0.0093 0.0093 0.0228 0.0028 0.0017
0.0028 0.0017 0.0179
B0 = 0.0003
0.0031
0.0015
B00 = 3.0523e-004 Total system loss = 3.05248 MW
Ako se uvedu cijene goriva agregata uz ograničenja agregata za isti sistem dobija se optimalna raspodjela proizvodnje agregate, ukupni proizvodni troškovi kao i ukupni gubici u sistemu » » » »
basemva=100; accuracy=0.0001; maxiter=10; busdata linedata cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007]; » mwlimits=[10 85 10 80 10 70]; » lfybus » lfnewton » busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3 Bus Voltage Angle ------Load------ ---Generation--- Injected No. Mag. Degree MW Mvar MW Mvar Mvar 1 2 3 4 5
1.060 1.045 1.030 1.019 0.990
Total
0.000 -1.782 -2.664 -3.243 -4.405
0.000 20.000 20.000 50.000 60.000
0.000 10.000 15.000 30.000 40.000
83.051 40.000 30.000 0.000 0.000
7.271 41.811 24.148 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
150.000
95.000
153.051
73.230
0.000
» bloss B=
39
0.0218 0.0093 0.0028
0.0093 0.0228 0.0017
0.0028 0.0017 0.0179
0.0031
0.0015
B0 = 0.0003 B00 = 3.0523e-004 Total system loss = 3.05248 MW » gencost Total generation cost = 1633.24 $/h » dispatch Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.767608 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 33.4558 64.1101 55.1005 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.4960 pu
Program dispatch sadrži promjenljivu dpslack . Ona predstavlja razlika (apsolutna vrijendost) između proizvodnje balansne s abirnice dobijene iz koordinacione jednačine i proizvodnje balansne sabirnice, dobijene iz rješenja jednačina tokova snaga. Ovaj proces se nastavlja sve dok je dpslack u okviru zadane tačnosti. Ova procedura je demonstrirana u sljedećem primjeru gdje je optimalna raspodjela proizvodnje agregata dobijena u šest iteracija. » while dpslack > 0.001 lfnewton bloss dispatch end B= 0.0319 0.0118 0.0034
0.0118 0.0137 0.0010
0.0034 0.0010 0.0117
0.0015
0.0005
B0 = 0.0030 B00 =
40
3.0516e-004 Total system loss = 2.21219 MW Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.736667 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 26.7427 67.9440 57.4127 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslac k = 0.0626 pu B= 0.0400 0.0125 0.0035
0.0125 0.0132 0.0010
0.0035 0.0010 0.0116
0.0013
0.0005
B0 = 0.0040 B00 =
3.0516e-004 Total system loss = 2.17295 MW Incremental cost of delivered power (system lambda ) = 7.748796 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 24.9190 68.9023 58.3061 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0189 pu B= 0.0439 0.0127 0.0036
0.0127 0.0131 0.0010
0.0036 0.0010 0.0115
0.0013
0.0004
B0 = 0.0044 B00 = 3.0516e-004 Total system loss = 2.1632 MW
41
Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.754395 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 24.1668 69.2685 58.7069 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0079 pu B= 0.0458 0.0129 0.0036
0.0129 0.0131 0.0010
0.0036 0.0010 0.0115
0.0013
0.0004
B0 = 0.0046 B00 =
3.0516e-004 Total system loss = 2.15942 MW Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.757066 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 23.8165 69.4362 58.8966 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0037 pu B= 0.0467 0.0129 0.0036
0.0129 0.0131 0.0010
0.0036 0.0010 0.0115
0.0012
0.0004
B0 = 0.0047 B00 = 3.0516e-004 Total system loss = 2.15772 MW Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.758386 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 23.6446 69.5182
42
58.9899 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0018 pu B= 0.0472 0.0130 0.0036
0.0130 0.0130 0.0010
0.0036 0.0010 0.0115
0.0012
0.0004
B0 = 0.0047 B00 = 3.0516e-004 Total system loss = 2.15691 MW Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.759051 $/MWh Optimal Dispatch of Generation: 23.5581 69.5593 59.0368 Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0009 pu » busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.90285e -008 No. of Iterations = 2
Bus Voltage Angle ------Load-----No. Mag. Degree MW Mvar
---Generation--- Injected MW Mvar Mvar
1 2 3 4 5
23.649 25.727 69.518 30.767 58.990 14.052 0.000 0.000 0.000 0.000
1.060 1.045 1.030 1.019 0.990
Total
0.000 -0.282 -0.495 -1.208 -2.729
0.000 20.000 20.000 50.000 60.000 150.000
0.000 10.000 15.000 30.000 40.000
95.000 152.157
70.545
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
» gencost Total generation cost = 1596.96 $/h » lineflow Line Flow and Losses
--Line-- Power at bus & line flow from to MW Mvar MVA
--Line loss-- Transformer MW Mvar tap
43
