TEMA 3. PROCESOS DE DECISIÓN MULTIATRIBUTO
1. INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA DECISIÓN: El problema de la Decisión, motivado por la e xistencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. La composición biológica del organismo y las leyes físicas y químicas determinan qué partículas serán asimiladas y cuáles serán rechazadas.
Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teoría de la Decisión tiene por objetivo el raci onal. estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional
CARACTERÍSTICAS Y FASES DEL PROCESO DE DECISIÓN:
Un proceso de decisión presenta las siguientes
-
características principales:
Existen Existen al menos dos posibles posibles formas formas de de actuar, actuar, que que llamaremos llamaremos alternativas alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes.
-
Mediante Mediante un proceso proceso de decisión decisión se elige una alternativa, alternativa, que es la que que se lleva a cabo.
-
La elecció elección n de una una alternati alternativa va ha de de realiza realizarse rse de modo modo que que cumpla cumpla un un fin determinado.
El proceso de decisión consta de las siguientes
-
fases fundamentales:
Predicción Predicción de las consecuencias consecuencias de cada cada actuación. actuación. Esta predicc predicción ión deberá deberá basarse basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la Estadística.
-
Valoración Valoración de las consecuencias consecuencias de acuerdo acuerdo con una una escala escala de bondad bondad o deseabilidad. deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias.
-
Elección Elección de la alternativ alternativaa mediante mediante un un criterio criterio de de decisión decisión adecuado. adecuado. Este Este punto punto lleva asociado el problema de elección del criterio más adecuado para nuestra decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS DE DECISIÓN: Los procesos de decisión se clasifican de acuerdo al grado de conocimiento que se tenga sobre el ambiente o contexto, es decir sobre el conjunto de factores o variables no controladas por el decisor y que pueden tener influencia sobre el resultado final. Así, se dirá que:
-
El ambiente ambiente es es de certidumbre certidumbre cuando cuando se conoce conoce con con certeza certeza su estado, es decir, decir, cada cada acción conduce invariablemente a un resultado bien definido.
-
El ambi ambiente ente de riesg riesgo o cuando cuando cada cada decis decisión ión puede puede dar lugar lugar a una una seri seriee de consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida.
-
El ambiente es de incertidumbre cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que no puede asignarse una distribución de probabilidad, bien porque sea desconocida o porque no tenga sentido hablar de ella.
Según sea el contexto, diremos que el proceso de decisión (o la toma de decisiones) se realiza bajo certidumbre, bajo riesgo o bajo incertidumbre, respectivamente.
ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE DECISIÓN: En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos característicos:
-
El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de actuar de acuerdo con sus intereses.
-
Las alternativas o acciones, que son las diferentes formas de actuar posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí.
-
Los posibles estados de la naturaleza, término mediante el cual se designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que influyen en el proceso.
-
Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza.
-
La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.
2. TABLAS
TABLAS DE DECISIÓN: Muchos procesos de toma de decisiones pueden ser tratados por medio de tablas de decisión, en las que se representan los elementos característicos de estos problemas: - Los diferentes estados que puede presentar la naturaleza: e1, e 2, ..., e n. - Las acciones o alternativas entre las que seleccionará el decisor: a1, a2,...,am.
- Las consecuencias o resultados xij de la elección de la alternativa ai cuando la naturaleza presenta el estado e j.
Se supone, por simplicidad, la existencia de un número finito de estados y alternativas. El formato general de una tabla de decisión es el siguiente:
Estados de la Naturaleza
s a v i t a n r e t l A
e1
e2
...
en
a1
x11
x12
...
x1n
a2
x21
x22
...
x2n
...
...
...
...
...
am
xm1
xm2
...
xmn
Ejemplo:
Un ama/o de casa acaba de echar cinco huevos en un tazón con la intención de hacer una tortilla. Dispone, además, de un sexto huevo del que no conoce su estado, aunque es de
esperar que en caso de encontrarse en buen esta do y no ser utilizado, se estropeará. Al ama/o de casa se le presentan tres posibles alternativas:
-
Romper el huevo dentro del tazón donde se encuentran los cinco anteriores.
-
Romperlo en otro tazón diferente.
-
Tirarlo directamente.
Dependiendo del estado del huevo, las consecuencias o resultados que pueden presentarse para cada posible alternativa se describen en la siguiente tabla:
Estado del 6º huevo Alternativas
Bueno (e1)
Romperlo dentro del tazón
Tortilla de 6 huevos
Malo (e2) 5 huevos desperdiciados y no hay tortilla
(a1) Romperlo en otro tazón (a 2) Tirarlo (a3)
Tortilla de 6 huevos y un
Tortilla de 5 huevos y un
tazón más que lavar
tazón más que lavar
Tortilla de 5 huevos y un huevo bueno desperdiciado
Tortilla de 5 huevos
Valoración de los resultados:
Aunque los resultados xij no son necesariamente números (como ocurre en el ejemplo anterior), supondremos que el decisor puede valorarlos numéricamente, es decir, se asumirá la existencia de una función V(.) con valores reales tal que:
V(xij) >V(xkl) si y sólo si el decisor prefiere el resultado x ij al resultado xkl
Así, en el ejemplo de la tortilla podría realizarse un proceso de valoración en el que se asignasen números a cada una de los resultados, dando lugar a una posible tabla como la que sigue:
e1
e2
a1
10
0
a2
8
6
a3
5
7
Por motivos de simplicidad, en lo que sigue identificaremos c ada resultado con su valoración numérica. Así, xij hará referencia tanto al propio resultado como al valor asignado por el decisor.
Ejemplo:
En cierta ciudad se va a construir un aeropuerto en una de dos posibles ubicaciones A y B, que será elegida el próximo año. Una cadena hotelera está interesada en abrir un hotel cerca del nuevo aeropuerto, para lo cual tiene que decidir qué terrenos comprar. La siguiente tabla muestra el precio de los terrenos, el beneficio estimado que obtendrá el hotel en cada posible localización si el aeropuerto se ubica allí, y el valor de venta de cada terreno si finalmente el 5
aeropuerto no se construye en ese lugar (los cantidades aparecen expresadas en euros ×10 ). ¿Cuál es la decisión más adecuada?
Parcela en A Parcela en B Precio del terreno
18
12
Beneficio estimado del hotel
31
23
Valor de venta del terreno
6
4
Las alternativas posibles de que dispone el decisor son las siguientes:
-
Comprar la parcela en A
-
Comprar la parcela en B
-
Comprar ambas parcelas
-
No comprar ninguna parcela
Por otra parte, los posibles estados de la naturaleza son:
-
El aeropuerto se construye en A
-
El aeropuerto se construye en B
Así, si la cadena hotelera compra el terreno en A y el aeropuerto se construye allí finalmente, obtendrá como rendimiento final el correspondiente a la explotación del hotel, 31, menos la inversión realizada en la compra del terreno, 18, es decir, 31-18 = 13. Por el contrario, si el aeropuerto se construye en B, el terreno adquirido en A deberá ser vendido, por lo que se obtendrá un beneficio de 6, al que habrá que rest ar la inversión inicial en la compra, 18. Esto proporciona un rendimiento final de 6-18 = -12.
De manera análoga se determinan los resultados de las restantes alternativas ante cada uno de los posibles estados de la naturaleza, dando lugar a la siguiente tabla de decisión:
Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno
Aeropuerto en Aeropuerto en A
B
A
13
- 12
B
-8
11
AyB
5
-1
Ninguno
0
0
comprado
Concepto de Regla de Decisión:
La tabla de decisión es un mero instrumento para dar respuesta a la cuestión fundamental en todo proceso de decisión: ¿Cuál es la mejor alternativa?
Para la elección de la alternativa más conveniente nos basaremos en el concepto de regla o criterio de decisión, que podemos definir de la siguiente forma:
Una regla o criterio de decisión es una aplicación que asocia a cada alternativa un número, que expresa las preferencias del decisor por los resultados asociados a dicha alternativa. Notaremos por S a esta aplicación y S(a) el valor numérico asociado por el criterio S a la alternativa a.
La descripción de los diferentes criterios de decisión que proporcionan la alternativa óptima será realizada de acuerdo con el conocimiento que posea el decisor acerca del estado de la naturaleza, es decir, atendiendo a la clasificación de los procesos de decisión. Según esto, distinguiremos:
-
Tablas de decisión en ambiente de certidumbre
-
Tablas de decisión en ambiente de incertidumbre
-
Tablas de decisión en ambiente de riesgo
3. DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado.
Axiomática:
Son muchos los criterios propuestos para su utilización en ambiente de incertidumbre, por lo que parece preciso estudiar las propiedades que hacen que un criterio sea preferible a otro.
Con este propósito vamos a describir los axiomas o principios de racionalidad basados en la propuesta realizada por Milnor en 1954, y que pueden ser considerados propiedades razonables para ser verificadas por toda regla de decisión.
Axioma 1: Orden
El criterio debe proporcionar una ordenación total de las alternativas del problema. Esta propiedad es deseable, pues en caso de no darse existirían alternativas no comparables, siendo preciso un nuevo criterio para dilucidar entre elementos maximales.
Axioma 2: Simetría
El criterio debe ser simétrico, es decir, independiente del orden fijado a priori en el conjunto de alternativas y del orden en que se definan los estados de la naturaleza.
Axioma 3: Linealidad
La relación de orden establecida por el criterio no debe cambiar si los resultados x ij son reemplazados por otros y ij tales que yij = λ xij + µ , con λ >0
Axioma 4: Dominancia fuerte
Si en una tabla de decisión existen dos alternativas a i y ak tales que xij>xkj para todos los estados de la naturaleza e j, entonces el criterio debe asignar valores a las alternativas de modo que T(ai)>T(ak ).
Axioma 5: Independencia de alternativas irrelevantes
El criterio debe ser abierto, es decir, el valor asignado por dicho criterio a una alternativa no debe variar al ser definido en otro conjunto de alternativas que contenga al primero con
las mismas valoraciones (el orden entre dos alternativas no cambia por la adición de una nueva alternativa).
Esta propiedad es muy importante, ya que garantiza que al aumentar el conjunto de alternativas, los cálculos efectuados con anterioridad siguen siendo válidos.
Axioma 6: Linealidad de columnas
La relación de orden establecida por el criterio no debe cambiar si se añade una constante a todos las valoraciones correspondientes a un estado de la naturaleza.
Axioma 7: Independencia de permutación de filas
Si en una tabla de decisión existen dos alternativas a i y ak tales que el conjunto de valoraciones de la alternativa
ak es una permutación del conjunto de valoraciones
correspondiente a la alternativa, entonces el criterio debe asignar idéntico valor a ambas, es decir, T(ai)=T(ak ).
Axioma 8: Independencia de duplicación de columnas
El criterio debe ser invariante por extensión, es decir, el orden establecido por el criterio no debe cambiar si se añade una nueva columna (estado de la naturaleza) idéntica a alguna columna ya existente.
Axioma 9: Continuidad
Un criterio es estable o continuo si la función que asocia un único valor a cada conjunto de valores numéricos asociados a una alternativa es continua. (n
Si tenemos una sucesión de matrices {X ij }, que sabemos que converge a x ij*, (n
{Xij }→ xij*
Entonces se tiene que verificar que si
∀n a k ( n φ al( n ⇒ ak * φ al*
Axioma 10: Convexidad
Si hay dos alternativas que son indiferentes o iguales, entonces la combinación convexa de ellas es al menos tan preferible como cualquiera de ellas:
ai ≤ λ a1 + (1 − λ )a2 ,
i = 1, 2
0 ≤ λ ≤ 1
4. REGLAS DE DECISIÓN
A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel.
-
Criterio de Wald
-
Criterio Maximax
-
Criterio de Hurwicz
-
Criterio de Savage
-
Criterio de Laplace
4.1 CRITERIO DE WALD Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor dado por:
S i = min xij 1≤ j ≤ n
El valor S i se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la cantidad mínima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa.
En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible. Así, la regla de decisión de Wald resulta ser:
Elegir la alternativa ak tal que S k = max S j = max min xij 1≤i ≤m 1≤ j ≤ n
1≤i ≤m
Este criterio recibe también el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. Me garantiza un resultado en el peor de los casos.
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas:
Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno
Aeropuerto en A Aeropuerto en B
Si
comprado A
13
- 12
-12
B
-8
11
-8
AyB
5
-1
-1
Ninguno
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.
Crítica: En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas.
Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
S i
a1
1000
99
99
a2
100
100
100
El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a 2, aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar.
4.2. CRITERIO DE MAXIMAX Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor dado por:
Oi = max xij 1≤ j≤ m
El valor Oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa
ai
y representa la
recompensa máxima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa. El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor nivel de optimismo posible. Esta regla de decisión puede enunciarse de la siguiente forma:
Elegir la alternativa ak tal que Ok = max Oi = max max xij 1≤i≤m
1≤i≤m 1≤ j ≤ n
Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más favorable.
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes alternativas:
Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno
Aeropuerto en Aeropuerto en
Oi
A
B
A
13
- 12
13
B
-8
11
11
AyB
5
-1
5
Ninguno
0
0
0
comprado
La alternativa óptima según el criterio maximax sería comprar la parcela en la ubicación A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo.
Crítica: Al utilizar el criterio maximax las pérdidas pueden ser elevadas si no se presenta el estado de la naturaleza adecuado. Además, en ocasiones puede conducir a decisiones pobres o poco convenientes. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de optimismo de las diferentes alternativas.
Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
Oi
a1
100
-10000
100
a2
99
99
99
El criterio maximax seleccionaría la alternativa a1, aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa
a2, ya que evitaría las enormes pérdidas de a1 en el caso
desfavorable, mientras que en el caso favorable la recompensa sería similar.
4.3. CRITERIO DE HURWITZ
Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwitz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo:
α S i + (1 − α )Oi
0 ≤ α ≤ 1
Donde α es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisión abordado por él, por lo que T(a i) = αsi + (1-α)oi. Así, la regla de decisión de Hurwitz resulta ser:
Elegir la alternativa ak tal que T (a k ) = α s k + (1 − α )o k = Max {α si + (1 − α )oi } 1≤i ≤m
-
Los valores de a próximos a 0 corresponden a una pensamiento optimista, obteniéndose en el caso extremo α=0 el criterio maximax.
-
Los valores de a próximos a 1 corresponden a una pensamiento pesimista, obteniéndose en el caso extremo α=1 el criterio de Wald.
Elección de α:
Para la aplicación de la regla de Hurwitz es preciso determinar el valor de α, valor propio de cada decisor. Dado que este valor es aplicable a todos los problemas en que el decisor interviene, puede determinarse en un problema sencillo, como el que se muestra a continuación, y ser utilizado en adelante en los restantes problemas que involucren al decisor.
Estados de la naturaleza Alternativas
e1
e2
S i
Oi
S(ai)
a1
1
0
0
1
1-α
a2
λ
λ
λ
λ
λ
Si las alternativas a1 y a2 son indiferentes para el decisor, se tendrá 1- α = λ , por lo que
α = 1-λ . Por tanto, para determinar α el decisor debe seleccionar repetidamente una alternativa en esta tabla, modificando el valor de λ en cada elección, hasta que muestre indiferencia entre ambas alternativas.
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor α=0.4:
Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B
S i
Oi
S(ai)
A
13
-12
-12
13
3
B
-8
11
-8
11
3.4
AyB
5
-1
-1
5
2.6
Ninguno
0
0
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio de Hurwitz sería comprar la parcela en la ubicación B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de alfa seleccionado.
Crítica:
El criterio de Hurwitz puede conducir en ocasiones a decisiones poco razonables, como se muestra en la siguiente tabla:
Estados de la naturaleza Alternativas
e1
e2
a1
0
1
a2
1
0
...
e50
S i
Oi
S(ai)
...
1
0
1
1-α
...
0
0
1
1-α
Según el criterio de Hurwitz ambas alternativas son equivalentes, aunque racionalmente la alternativa a1 es preferible a la alternativa a2. Más aún, si el resultado de la elección de la alternativa a2 cuando la naturaleza presenta el estado e1 fuese 1.001, se seleccionaría la segunda alternativa, lo cual parece poco razonable.
4.4 CRITERIO DE LAPLACE
Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.
Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa a i le corresponderá un resultado esperado igual a: n
1
∑ n x
ij
j =1
La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:
n
Elegir la alternativa ak tal que
∑ n x j =1
n
1
kj
= Max ∑ 1≤i≤ n
j =1
1 n
xij
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas.
Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno
Aeropuerto en
comprado
A
Resultado
Aeropuerto en B esperado
A
13
-12
0.5
B
-8
11
1.5
AyB
5
-1
2
Ninguno
0
0
0
En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.
Crítica:
La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.
Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.
Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a
decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla:
Estados de la Naturaleza Resultado
Alternativas
e1
e2
a1
15000
-5000
5000
a2
5000
4000
4500
esperado
Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada.
4.5 CRITERIO DE SAVAGE
En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza.
Con este propósito Savage define el concepto de pé rdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e j es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado e j:
r ij = Max { x kj } − xij 1≤ k ≤ m
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es e j y el decisor elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.
Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ρi como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,
ρ i = Max {r ij } 1≤ j ≤ n
el criterio de Savage resulta ser el siguiente:
Elegir la alternativa ak tal que ρ k = Min ρ i = Min Max r ij 1≤i ≤m
1≤i ≤ m 1≤ j ≤ n
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos r ij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.
Estados de la Naturaleza Alternativas Aeropuerto en A
Aeropuerto en B
ρi
A
0
23
23
B
21
0
21
AyB
8
12
12
Ninguno
13
11
13
Terreno comprado
El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor ρ i menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas.
Crítica:
El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:
Estados de la Naturaleza Alternati vas
e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente:
Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
ρi
a1
0
4
4
a2
5
0
5
La alternativa óptima es a 1. Supongamos ahora que se añade una alter nativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados:
Estados de la Naturaleza Alternativ
e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
a3
3
9
as
La nueva tabla de pérdidas relativas sería:
Estados de la Naturaleza Alternativ
ρi
e1
e2
a1
0
7
7
a2
5
3
5
a3
6
0
6
as
El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a 2, cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas!
Ejemplo de cumplimiento de axiomas
El criterio K-esimo: dar la valoración k de mayor a menor a la alternativa. Para el criterio K-esimo con K=2 vamos a estudiar que axiomas se cumplen y cuales no.
A continuación aparece la tabla que recoge los datos iniciales y la columna de los valores obtenidos con nuestro criterio.
2e1
e3
e2
e4
e5
E6
esimo
a1
3
6
5
5
8
4
6
a2
8
8
2
5
6
0
8
a3
8
1
4
0
3
0
4
a4
5
2
6
0
1
3
5
a5
6
4
1
3
5
1
5
a6
4
3
1
7
3
7
7
a7
2
3
8
2
3
8
8
a8
0
1
3
7
4
2
4
Axiomatica
Axioma 1: Lo verifica ya que a cada alternativa le asigna un número y los números son ordenables.
Axioma 2: Lo verifica ya que para cada alternativa el valor que se obtiene siempre será el mismo por mucho que permutemos.
Axioma 3: Si lo verifica ya que una transformación lineal no cambia el orden.
Axioma 4: Lo verifica ya que hagamos la ordenación que hagamos el mayor seguirá siéndolo.
Axioma 5: Lo verifica porque el orden entre dos alternativas no cambia por la adicción de una nueva alternativa.
Axioma 6: No lo verifica ya que al transformar una columna variaría el resultado final.
Axioma 7: Lo verifica porque si permutamos las filas el criterio elegido debe asignar un mismo valor.
Axioma 8: No lo cumple ya que al duplicar una columna cambiaríamos el resultado final.
Axioma 9: Lo cumple, se puede demostrar empleando la definición de límite.
Axioma 10: No se cumple. Lo vemos a continuación:
-1
5
9
2
7 Ordenar
9
7
5
2
-1
9
5
2
7
1 Ordenar
9
7
5
2
1
5 4,5 4,5
4 Ordenar
5 4,5 4,5
4
4
lambda=0.5 4
no se verifica para estos dos
Ejemplo de Aplicación de los criterios anteriores.
Supongamos la siguiente tabla donde las alternativas son la columna de las a (tenemos 7 alternativas) y los estados son la fila de las e (tenemos 6 estados).
e2
e1
e3
e4
e5
E6
a1
8
0
0
6
4
3
a2
7
3
8
6
3
5
a3
8
6
4
7
8
1
a4
6
6
2
1
3
2
a5
2
0
5
4
0
8
a6
8
7
7
7
3
7
a7
0
6
5
4
7
5
A esta tabla le aplicamos los criterios anteriores y obtenemos:
e1
e2
e3
e4
e5
E6
min
max
Media
a1
8
0
0
6
4
3
0
8 Maximax
4,8
3,5
a2
7
3
8
6
3
5
3 Wald
8 Maximax
a3
8
6
4
7
8
1
1
8 Maximax
a4
6
6
2
1
3
2
1
6
a5
2
0
5
4
0
8
0
8 Maximax
a6
8
7
7
7
3
7
3 Wald
8 Maximax
a7
0
6
5
4
7
5
0
7
4,2
4,5
8
7
8
7
8
8
3
8
6
6,5
Maximo
maximo
maximo
maximo
6 Hurwitz
5,3333
5,2
5,6667
4
3,3333
4,8
3,1667
6 Hurwitz
6,5 Laplace
Mediante el criterio de Wald en el que lo que se ha hecho es obtener una columna que recoja el mínimo valor por filas de la tabla inicial y quedarnos con el máximo de esa columna, el resultado que se obtiene es elegir la alternativa 2 ó 6 indistintamente.
Para el criterio máximax, se han obtenido los máximos por filas, recogidos en la columna “max” y se ha seleccionado el máximo de esta columna que nos indica la alternativa que debemos elegir, como se puede ver se ha producido un empate entre las alternativas 1,2,3,5 y 6.
En el criterio de Hurwitz , hemos tomado un α = 0.4 y hemos obtenido una columna que recoge el valor resultante de multiplicar α por el valor minimo de l a fila y sumarle (1- α) por el máximo de dicha fila y seleccionar el máximo de esa columna, que como podemos observar nos lleva a elegir la alternativa 2 ó 6 como ocurría en el criterio de Wald.
El siguiente criterio que se ha aplicado es el de Laplace para el que hemos obtenido otra columna en la se observan los valores promedio de cada fila y de estos se toma el máximo, dando como resultado la elección de la alternativa 6.
Por último hemos aplicado el criterio de Savage para el que hemos creado una nueva tabla que mostramos a continuación y que ha sido calculada restándole al máximo de cada columna (números naranjas de la tabla inicial) la valoración de cada alternativa con cada criterio, de esta nueva tabla obtenida calculamos los máximos por filas y nos quedamos con el mínimo de estos, de donde obtenemos que la elección que debemos hacer es la alternativa 2 ó 6.
Matriz utilizada para Savage
e1
e2
e3
e4
e5
E6
maximo
a1
0
7
8
1
4
5
8
a2
1
4
0
1
5
3
5 Savage
a3
0
1
4
0
0
7
7
a4
2
1
6
6
5
6
6
a5
6
7
3
3
8
0
8
a6
0
0
1
0
5
1
5 Savage
a7
8
1
3
3
1
3
8 5
minimo
En este caso vemos que tras aplicar todos los criterios aunque nos den distintos resultados, hay una alternativa común a todos ellos y por tanto, l a elección es fácil, nos quedaríamos con la alternativa 6, pero esto no siempre ocurre por lo que la elección no es tan evidente, vemos a continuación un ejemplo en el que esto ocurre.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
min
max
Media
a1
2
0
1
6
4
3
0
6
3,6
2,6667
a2
4
3
4
6
3
5
3 Wald
6
4,8
4,1667
a3
5
4
2
7
8
1
1
8 Maximax
5,2 Hurwitz
a4
6
8
5
1
3
2
1
8 Maximax
5,2 Hurwitz 4,1667
a5
8
5
0
4
0
8
0
8 Maximax
4,8
a6
6
2
7
7
3
7
2
7
5
a7
4
1
1
5
7
5
1
7
4,6
3,8333
8
8
7
7
8
8
3
8
5,2
5,3333
Maximo
maximo
maximo
Matriz utilizada para Savage
e1
e2
e3
e4
e5
e6 maximo
a1
6
8
6
1
4
5
8
a2
4
5
3
1
5
3
5 Savage
a3
3
4
5
0
0
7
7
a4
2
0
2
6
5
6
6
a5
0
3
7
3
8
0
8
a6
2
6
0
0
5
1
6
a7
4
7
6
2
1
3
7 5 minimo
En esta ocasión como se puede observar no hay ninguna solución común a todos los criterios, por lo que la elección se complica.
4,5
4,1667 5,3333 Laplace
maximo
5 ANÁLISIS DEL CUMPLIMIENTO DE LOS AXIOMAS
La siguiente tabla resume la compatibilidad de los diferentes criterios analizados con los axiomas de Milnor. El carácter S indica que el criterio satisface el correspondiente axioma, mientras que N indica que no lo verifica.
Wald
Hurwitz
Savage
Laplace
Axioma 1
S
S
S
S
Orden
Axioma 2
S
S
S
S
Simetría
Axioma 3
S
S
S
S
Linealidad
Axioma 4
S
S
S
S
Dominancia fuerte
Axioma 5
S
S
N
S
Axioma 6
N
N
S
S
Axioma 7
S
S
N
S
Axioma 8
S
S
S
N
Axioma 9
S
S
S
S
Continuidad
Axioma 10
S
N
S
S
Convexidad
Independencia de alternativas irrelevantes Linealidad de columnas Independencia de permutación de filas Independencia de duplicación de columnas
Teorema de Milnor: (1954) No existe ningún principio de decisión que cumpla los diez axiomas.
