Proiect De Atestat La INFORMATICA
Coordonator, Absolvent,
Spiridon Claudia Popa Marcel
Grafuri orientate 1
Craiova - Mai 2012 -
Cuprins: Noţiunea de graf orientat.....................................3 Graful unui vârf. Mulţimile Γ şi ω......................4 Graf parţial şi subgraf...........................................5 Reprezentarea grafurilor orientate ....................6 Citirea de la tastatură şi afişarea matricei de adiacenţă.................................................................7 Determinarea gradului exterior şi a gradului interior ale unui nod oarecare x ..........................9 Matricea vârfuri – arce........................................11 Listele vecinilor.....................................................12 Matricea drumurilor.............................................13 Cuprins...................................................................27
2
Noţiunea de graf orientat. Un exemplu de graf orientat este: reţeaua de străzi a unui oraş. Străzile sunt muchii în graf, iar intersecţiile reprezintă vârfurile grafului. Întrucât mergând pe jos ne putem deplasa pe orice stradă în ambele sensuri, vom spune că din punctul de vedere al pietonilor, „graful unui oraş” este neorientat. Cu totul altfel stau lucrurile în ceea ce priveşte conducătorii auto, pentru că în orice oraş există străzi cu sens unic. Pentru un şofer străzile trebuie să primească în graf o anumită orientare. Desigur că acele străzi pe care se poate circula în ambele sensuri vor primi orientare dublă. Am ajuns astfel la noţiunea de graf orientat. Numim graf orientat, o pereche ordonată de mulţimi G=(X,U), unde: X este o mulţime finită şi nevidă numită mulţimea nodurilor (vârfurilor); U este o mulţime formată din perechi ordonate de elemente ale lui X, numită mulţimea arcelor (muchiilor)
U1
observaţii:
1
Prin noţiunea de perechi U2
ordonate nu trebuie să înţelegem
2
că o muchie este mai mare decât
U3 U5
alta, ci pur şi simplu că facem deosebire între o muchie de forma
U4 3 U6
3 U7
Figura1
4
(x,z) şi o alta de forma (y,x). Cu alte cuvinte muchiile sunt diferenţiate prin ordinea de scriere a simbolurilor. Arcul (x,y) nu este tot una cu arcul (y,x). Exemplu: Pentru graful G=(X,U) din figura 1. avem: X={1, 2, 3, 4} şi U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7,}= {(1,1), (2,1), (3,2), (2,3), (2,4), (3,4), (3,4)} arc va fi de forma u= (x,y), unde x se numeşte extremitate iniţială, iar y se numeşte extremitate finală a arcului. Cu alte cuvinte, “arcul iese din nodul x şi intră în nodul y”. La fel ca la grafurile neorientate, vom spune că nodurile x şi y sunt adiacente, iar arcul u şi nodul x sunt incidente (la fel arcul x şi nodul y). Nodul y se numeşte succesor al lui x, iar nodul x se numeşte predecesor al lui y. Un arc de forma (x,x), care iese din nodul x şi intră tot x, se numeşte buclă. Exemplu: În graful din figura 1, avem bucla (1,1). Într-un graf putem avea două sau mai multe arce identice. Exemplu: În graful din figura 1, există două arce identice, u6 = u7 = (3,4) Definiţie Se numeşte p-graf, un graf orientat în care numărul arcelor identice este mai mic sau egal cu o valoare dată p. În cele ce urmează vom analiza numai 1-grafuri fără bucle. Graful unui vârf. Mulţimile Γ şi ω Gradul exterior al unui vârf x, notat d*(x), reprezintă numărul arcelor care ies din nodul x, adică numărul arcelor de forma (x,z) ε U. Analog, se defineşte gradul interior al unui vârf x, notat d-(x), ca fiind numărul arcelor care intră în nodul x (de forma (y,x) ε U). Exemplu: În graful reprezentat în figura 1, pentru nodul x=2, avem:
4
d*(2) =3 → există trei arce care ies din nodul 2, şi anume : u2=(2,1), u4=(2,3) şi u5 = (2,4). d-(2) =1 → în nodul 2 intră un singur arc, în speţă arcul u3=(3,2). Se mai definesc următoarele mulţimi: Γ + ( x ) = { y ∈ X ( x, y ) ∈ U } → mulţimea nodurilor ce constituie extremităţi finale ale
arcelor care pleacă din nodul x. Pe scurt, mulţimea succesorilor lui x; Γ − ( x ) = { y ∈ X ( y, x ) ∈ U } → mulţimea nodurilor ce constituie extremităţi iniţiale
ale arcelor care pleacă din nodul x. Pe scurt, mulţimea predecesorilor lui x; Exemplu: În graful din figura 1, pentru nodul x=2, avem: - Γ+(2) = {1,3,4} → urmare a faptului că muchiile care pleacă din nodul 2 sunt (2,1), (2,3) şi (2,4), putem spune că mulţimea succesorilor nodului 2 este {1,3,4}. - Γ-(2) = {3} → în nodul 2 intră doar muchia (3,2), deci mulţimea predecesorilor lui 2 conţine doar nodul 3. ω+(x) = {u = (x,y)| u ε U} → mulţimea arcelor care ies din nodul x; ω-(x) = {u = (y,x)| u ε U} → mulţimea arcelor care intră în nodul x; Exemplu: În graful din figura 1, pentru nodul 2, avem: ω+(x) = {(2,1), (2,3), (2,4)}, ω-(x) = {(3,2)} Graf parţial şi subgraf Fie graful G = (X,U). Un graf parţial al lui G, este un graf G1= (X,V), cu V ⊆ U . Altfel spus, un graf parţial G1 al lui G, este chiar G, sau se obţine din G
păstrând toate vârfurile şi suprimând nişte muchii. Fie graful G = (X,U). Un graf parţial al lui G, este un graf G1= (Y,T), unde V ⊂ X şi T ⊂ U , iar T va conţine numai muchiile care au ambele extremităţi în Y. Altfel spus, un graf parţial G1 al lui G, se obţine din G eliminând nişte vârfuri şi păstrând doar acele muchii care au ambele extremităţi în mulţimea vârfurilor rămase. 5
Exemplu: Se consideră graful G = (X,U) din figura 2, în care X = {1,2,3,4,5,6} şi U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7}. - Construim graful parţial G1 = (X,V), unde X = {1,2,3,4,5,6} şi V = { u2, u3, u4, u6, u7} (figura 3) din graful G au fost eliminate arcele u1 şi u5. - Construim subgraful G2 = (Y,T), unde Y = {3,4,5,6} şi T = {u4, u5, u6, u7} (figura 4) din graful G au fost eliminate nodurile 1 şi 2 precum şi arcele u1, u2 şi u3 care au o extremitate în afara mulţimii nodurilor rămase. u2
1
2
u1 u4
u2
1
2
u3 u4
u5
3
4
5
u7
u6 6
Figura 2
u3
u4
3
4 u7
5
u5
3
4
u6
6 Figura 3
u7
5 u6
6 Figura 4
Reprezentarea grafurilor orientate Considerăm un graf orientat G= (X,U) cu m arce şi n noduri. 6
Cele mai cunoscute forme de reprezentare sunt: matricea de adiacenţă, matricea vârfuri – arce, matricea drumurilor şi listele vecinilor. Matricea de adiacenţă Are aceeaşi semnificaţie ca în cazul grafurilor neorientate: fiecare element a[i,j], cu i,j ε {1,2,...,n}, este: 1 dacă există arcul (i,j), respectiv 0 în caz contrar. Datorită orientării, aşa cum am mai spus, arcul (i,j) nu este totuna cu arcul (j,i). Prin urmare, a[i,j] ≠ a[j,i]. Aşadar matricea de adiacenţă nu mai este simetrică faţă de diagonala principală, aşa cum se întâmpla în cazul grafurilor neorientate. Exemplu: Pentru graful G=(X,U) din figura 5, matricea de adiacenţă este: coloana
A=
1
2
3
4
0
0
0
0
1
1
0
1
1
2
0
0
0
1
3
0
1
0
0
4
2
3
1 4
Continuăm cu câteva aplicaţii.
Figura 5
Aplicaţie: 7
Citirea de la tastatură şi afişarea matricei de adiacenţă Prin citirea matricei de adiacenţă de la tastatură, putem memora arcele existente între nodurile unui graf. În cazul grafurilor neorientate, citeam doar “porţiunea” de deasupra diagonalei principale în matrice, deoarece matricea este simetrică. Acum trebuie să citim toate elementele matricei. Avem de-a face cu algoritmii banali de citire şi afişare a unei matrice cu n linii şi n coloane (unde n este numărul de noduri) în două cicluri for, deci nu considerăm că mai sunt necesare alte explicaţii. Prezentăm în continuare procedurile citire_matrice şi afişare_matrice. Procedure citire_matrice; {citeşte matricea de adiacenţă a de la tastatură} var i,j: integer; begin writeln('Nr. Noduri: '); readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin write('[',i,',',j,']='); readln(a[i,j]); end; end; Procedure afişare_matrice; {afişează matricea de adiacenţă a} var i,j: integer; begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do write(a[i,j],' '); writeln(); end; end; Aplicaţie: Citirea matricei de adiacenţă dintr-un fişier text
8
Aceasta este absolut similară cu cea prezentată la grafuri neorientate, unde a fost explicată pe larg. De fapt, este vorba despre algoritmul de citire a unei matrice oarecare dintr-un fişier text. Plecăm de la presupunerea că fişierul conţine pe primul rând valoarea lui n, apoi pe fiecare din următoarele n rânduri elementele unei linii a matricei separate de spaţii. Procedure cit_matr_fis; {citeşte numărul de noduri si matricea de adiacenta a din fişierul text cu descriptorul f} var i,j: integer; nume_fis: string; begin write('Daţi numele fişierului '); readln(nume_fis); assign(f,nume_fis); reset(f); readln(f,n); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do read(f,a[i,j]); readln(f); end; close(f); end; Aplicaţie: Construirea matricei de adiacenţă prin citirea “arcelor” de la tastatură Se citesc de la tastatură m perechi de numere întregi de forma (x,y) reprezentând extremităţile celor m arce ale grafului, şi se construieşte matricea de adiacenţă a, cu n linii şi n coloane. Mai întâi citim m şi n (numărul de arce respectiv numărul de noduri), şi iniţializăm toată matricea de adiacenţă cu 0, în două cicluri for. Apoi, într-un alt ciclu for, cu k de la i la m, citim cele m perechi de întregi (x,y). -
Citirea fiecărei perechi (x,z) se face cu validare: repetă citirea lui x şi y până când ambele valori sunt în intervalul [1,n].
repeat readln(x,y); until (x>=1) and x(<=n) and (y>=1) and (y<=n) and (x<>y); 9
-
Pentru fiecare (x,y), marcăm în matricea de adiacenţă existenţa arcului (x,y), prin atribuirea a[x,y]:=1. Spre deosebire de grafurile neorientate, nu se mai face şi atribuirea a[y,x]:=1, deoarece arcul (x,y) nu e identic cu arcul (y,x).
Algoritmul prezentat a fost inclus în procedura citire_graf. Procedure citire_graf; var i, j, k, x, y: integer; begin write('Nr. Arce:'); readln(m); write('Nr. Vârfuri'); readln(n); {iniţializează cu 0 toata matricea de adiacenta} for i:=1 to n do for j:=1 to n do a[i,j]:=0; {citeşte m perechi (x,y) reprezentând arcele grafului} for k:=1 to m do begin write('Muchia ',k,': '); repeat readln(x,y); until (x>=1) and x(<=n) and (y>=1) and (y<=n) and (x<>y); {pentru fiecare pereche, marchează arcul in matricea de adiacenta} a[x,y]:=1; end; end; Aplicaţie: Determinarea gradului exterior şi a gradului interior ale unui nod oarecare x Scriem o funcţie {d_plus(x:integer):integer;} care returnează, gradul exterior al nodului x (notat d*(x)). Gradul exterior al unui nod x este numărul arcelor care ies din nodul x, adică numărul arcelor de forma (x,j), cu j ε {1, 2, ... , n}. Luăm ca exemplu graful cu n=4 noduri de mai jos, împreună cu matricea sa de adiacenţă:
10
A=
1
2
3
4
0
0
0
0
1
1
0
1
1
2
0
0
0
1
3
0
1
0
0
4
2
3
1
Analizăm
4
gradul exterior al nodului 2. Arcele care ies din nodul 2 sunt: (2,1), (2,3), (2,4) (nu şi (4,2)). Urmare a existenţei acestor arce, în matricea de adiacenţă vom avea a[2,1] = a[2,3] = a[2,4] = 1. Unde se găsesc în matricea de adiacenţă toate valorile de 1 corespunzătoare arcelor ce ies din nodul 2? Pe linia 2! Pe caz general, valorile de 1 de pe linia x în matricea de adiacenţă, reprezintă arcele care ies din nodul x. Deci gradul exterior al nodului x, adică numărul arcelor care ies din nodul x este egal cu numărul valorilor de 1 de pe linia x a matricei. Aşadar algoritmul implementat în funcţia d_plus este foarte simplu: Iniţializăm cu 0 o variabilă nr. în care numărăm valorile de 1 de pe linia x a matricei. Într-un ciclu, parcurgem coloanele j=1, 2, ..., n ale liniei x. Pentru fiecare valoare a lui j, testăm elementul a[x,j] de pe linia x şi coloana j. Dacă 11
aceasta are valoarea 1, atunci incrementăm nr. În final funcţia va returna ultima valoare a variabilei nr. Function d_plus(x:integer):integer; {returnează gradul exterior d* pentru un nod x; acesta este numărul valorilor de 1 de pe linia x a matricei de adiacenta} var nr.,j: integer; begin nr.:=0; for j:=1 to n do if a[x,j] = 1 then nr:=nr + 1; d_plus:=nr; end; Observaţie: Destul de asemănător este şi algoritmul pentru determinarea gradului interior al nodului x (d- (x) ). Acesta reprezintă numărul arcelor care intră în nodul x, adică numărul arcelor de forma (i,x), cu i ε {1, 2, ..., n}. Să vedem unde se regăsesc în matricea de adiacenţă arcele care intră în nodul x, luând ca exemplu x=4 pentru graful anterior. Arcele care intră în nodul 4 sunt (3,4) şi (2,4). Rezultă că în matrice avem a[3,4] = a[2,4] = 1. Am “reperat” astfel valorile de 1 de pe coloana 4 a matricei de adiacenţă. În acest moment putem concluziona că gradul interior al unui nod oarecare x reprezintă numărul valorilor de 1 de pe coloana x a matricei. Se poate scrie o funcţie asemănătoare cu cea de mai sus, care să returneze câte valori de 1 se găsesc pe coloana x. function d_minus(x: integer): integer; {returnează gradul interior d- pentru un nod x; acesta este numărul valorilor de 1 de pe coloana x a matricei de adiacenta} var nr, i: integer; begin nr:=0; for i:=1 to n do if a[i,x]=1 then nr:=nr+1; d_minus:=nr; end; Matricea vârfuri – arce 12
Este o matrice b cu n linii şi m coloane, în care fiecare element b[i,j] este: -
1, dacă nodul i este o extremitate iniţială a arcului uj;
-
-1, dacă nodul i este o extremitate finală a arcului uj;
- 0, dacă nodul i nu este o extremitate a arcului uj. Exemplu: Pentru graful de mai jos cu n=4 noduri şi m=5 arce, matricea vârfuri – arce este: 1
0
0
0
0
-1
-1
-1
0
0
0
1
0
1
-1
0
0
1
-1
1
2
u2
u1
1 u4
3
u3 4
u5 Figura 6
Pentru a exemplifica construcţia matricei, vom deduce elementele liniei 3: -
a[3,1]= 0 pentru că nodul 3 nu este o extremitate a arcului u1. Analog, a[3,3]= 0 deoarece nodul 3 nu este extremitate a arcului u3.
- a[3,5]= -1 pentru că nodul 3 este o extremitate finală a arcului u5. - a[3,2]= 1 şi a[3,4]= 1 întrucât nodul 3 este o extremitate iniţială a arcului u2 respectiv u4. Observaţii:
13
Pe fiecare coloană j (aferentă arcului uj), avem exact două elemente nenule: un 1 (linia i pe care se află reprezintă extremitatea iniţială a arcului uj) şi un -1 (linia i pe care se află reprezintă extremitatea finală a arcului uj) Numărul valorilor de 1 de pe linia i, reprezintă gradul exterior al nodului i (numărul arcelor ce au ca extremitate iniţială pe i), iar numărul valorilor de -1 de pe linia i reprezintă gradul interior al nodului i (numărul arcelor care au ca extremitate finală pe i). Listele vecinilor Pentru fiecare nod x se construiesc două liste ale vecinilor săi: -
L*(x) → lista vecinilor succesori; conţine nodurile ce sunt extremităţi finale ale arcelor care ies din nodul x.
-
L-(x) → lista vecinilor predecesori; conţine nodurile ce sunt extremităţi iniţiale ale arcelor care intră în nodul x. Exemplu: În graful din figura 6 de mai sus, pentru nodul x=4 avem:
- arcele care ies din nodul 4 sunt (4,2) şi (4,3). În consecinţă, lista vecinilor succesori L*(4) conţine nodurile 2 şi 3; - în nodul 4 intră un singur arc, şi anume (3,4), motiv pentru care lista vecinilor predecesori L-(4) conţine doar nodul 3. Prezentăm în continuare aceste liste ale vecinilor pentru graful din figura 6. Nodul x 1 2 3 4
L*(x) 2 vidă 2,4 2,3
L-(x) vidă 1,3,4 4 3
Matricea drumurilor Această matrice va fi reprezentată în cadrul capitolului “Drumuri şi circuite în grafuri orientate”. Reprezentarea grafului ca un vector de muchii 14
Fiecare arc al grafului poate fi privit ca o înregistrare cu două componente, în speţă cele două noduri care constituie extremităţile arcului: - nod_in -> nodul din care iese arcul (“nodul de început” al arcului); - nod_sf -> nodul în care intră arcul (“nodul de sfârşit” al arcului); Putem defini tipul de date ARC, astfel: type ARC=record nod_in, nod_sf: integer; end; Graful în ansamblul său, este o mulţime de arce, adică o mulţime de elemente de tipul ARC. În consecinţă, definim graful ca un “vector de arce”, adică un vector de elemente de tipul ARC: var v: array [1..25] of ARC; Numărul real de elemente este numărul de arce m. Astfel, elementele efectiv folosite ale vectorului vor fi v[1], v[2],..., v[m]. Fiecare element {1, 2, ..., m}) este de tipul ARC şi reprezintă unεv[i] (cu i arc al grafului, având două componente: v[i].nod_in şi v[i].nod_sf -> nodurile extremităţi ale arcului. Nodurile izolate într-un graf orientat Se citesc de la tastatură m perechi de numere întregi (x,y) reprezentând extremităţile arcelor unui graf orientat cu n noduri şi m arce. Să se stabilească dacă în graful astfel definit există noduri izolate (prin care să nu treacă nici un arc). Întreaga rezolvare este cuprinsă în procedura {noduri_izolate;} fără parametri. Mai întâi citim numărul de noduri n şi numărul de arce m. Definim doi vectori: -
dp va conţine gradele exterioare (d*) ale tuturor nodurilor;
-
dm va conţine gradele interioare (d-) ale tuturor nodurilor. 15
Astfel, dp[i] şi dm[i] vor fi gradul exterior respectiv gradul interior al nodului i, pentru i=1, 2, ..., n. Iniţializăm cu 0 toate gradele exterioare şi interioare ale tuturor nodurilor: într-un ciclu cu i de la 1 la n, facem atribuirile dp[i]:=0 şi dm[i]:=0 Pentru a citi cele m arce, parcurgem un ciclu k de la 1 la m, şi la fiecare pas: - citim o pereche de numere întregi (x,y), cu validarea valorilor introduse: repetă (reia) citirea lui x şi y, până când ambele valori sunt >= 1 şi >= n. Fiecare pereche va reprezenta care iese din nodul x şi intră în nodul y. - întrucât arcul (x,y) iese din nodul x şi intră în nodul y, rezultă că: -
gradul exterior al nodului x (numărul arcelor care ies din nodul x)
va creşte cu 1; -
gradul interior al nodului y (numărul arcelor care intră în nodul y)
va creşte cu 1. Deci se fac atribuirile dp[x]:= dp[x]+1 şi dm[y]:= dm[y]+1. Aşadar la citirea fiecărui arc am actualizat gradele nodurilor – extremităţi ale sale. Astfel, după încheierea citirii vectorii dp şi dm vor conţine gradele exterioare respectiv interioare ale tuturor nodurilor. Un nod x se numeşte izolat dacă prin el nu trece nici un arc. Altfel spus, nu iese nici un arc din el şi nu intră nici un arc în el, adică dp[x]=dm[x]=0. În continuare, vom număra nodurile izolate în variabila nr, pe care o iniţializăm cu 0. Parcurgem “în paralel” cei doi vectori ai gradelor dp şi dm, într-un ciclu cu i=1, 2, 3, ..., n. La fiecare pas, testăm dacă nodul i este izolat, adică dacă dp[i]=0 şi dm[i]=0; în caz afirmativ afişăm respectivul nod i şi incrementăm numărul nr al nodurilor izolate. nr:=0; for i:=1 to n do if(dp[i]=0) and (dp[i]=0) then begin write(i,' '); nr:=nr+1; 16
end; După încheierea acestei parcurgeri, dacă numărul vârfurilor izolate este diferit de 0 atunci îl afişăm, iar în caz contrar tipărim un mesaj din care să rezulte că graful nu are noduri izolate. Program XI_7; type vect =array[1..20] of integer; var n,m:integer; a:array[1..20,1..20] of integer; dp,dm:vect; procedure noduri_izolate; var i,j,k,x,y,nr:integer; begin write('Nr.arce : '); readln(m); write('Nr.noduri: '); readln(n); {iniţializează cu 0 vectorii gradelor dp şi dm} for i:=1 to n do begin dp[i]:=0; dm[i]:=0; end; {citeşte m perechi (x,y) reprezentând arcele grafului} for k:=1 to m do begin write('Arcul ',k,': '); repeat readln(x,y); until (x>=1) and (x<=n) and (y>=1) and (y<=n) and (x<>y); {pentru fiecare arc (x,y), incrementează gradul exterior al lui x şi gradul interior al lui y} dp[x]:=dp[x]+1; dm[y]:=dm[y]+1; end; writeln; nr:=0; {nr=numărul nodurilor izolate} for i:=1 to n do {dacă ambele grade ale lui i sunt 0,am găsit un vârf izolat, pe care-l afişăm şi incrementăm nr} if (dp[i]=0) and (dm[i]=0) then begin write(i,' '); nr:=nr+1; end; writeln; if nr<>0 then writeln('Graful are ',nr, ' noduri izolate') else writeln ('Graful nu are noduri izolate'); 17
end; begin noduri_izolate; end. Celebritate. Se dă un grup format din n persoane, care se cunosc sau nu între ele. De la tastatură se introduc m perechi de numere întregi (x,y) cu semnificaţia ”persoana x cunoaşte pe persoana y”. relaţia de cunoştinţă nu este neapărat reciprocă. Numim celebritate, o persoană care este cunoscută de către toate celelalte persoane din grup, dar ea nu cunoaşte pe nici un alt membru al grupului. Să se determine dacă din grup există o astfel de celebritate. Interpretarea datelor. Problema poate fi modelată într-un graf orientat, în care nodurile sunt persoanele 1,2,3...n, iar arcele sunt relaţiile de cunoştinţă între aceste persoane. O relaţie de cunoştinţă este de forma (x,y) cu semnificaţia “persoana x o cunoaşte pe persoana y”. De exemplu, dacă grupul are n=4 persoane, iar cele m=5 “relaţii de cunoştinţă” sunt (1,3), (2,3), (4,3), (1,2), (1,4), atunci graful şi matricea sa de adiacenţă arată astfel: 3
0 0 A= 0 0
1 0 0 0
1 1 0 1
1 0 0 0
Să analizăm persoana
4
1
2
reprezentată prin nodul 3: -
există relaţiile de cunoştinţă (1,3), (2,3) şi (4,3), adică persoana 3 este cunoscută de 18
către 1,2 şi 4. Mai exact, persoana 3 este cunoscută de către toate celelalte persoane din grup; -
nu există nici o relaţie de cunoştinţă de forma (3,p). Cu alte cuvinte, persoana 3 nu cunoaşte pe nimeni. În concluzie, persoana 3 este ceea ce numim celebritate. În graf, existenţa
celebrităţii se interpretează astfel: - în nodul 3 intră arce “ieşite” din toate celelalte noduri; - din nodul 3 nu iese nici un arc. Rezolvare În procedura citire_graf se citesc de la tastatură m perechi de numere întregi de forma (x,y) reprezentând extremităţile celor m arce ale grafului, şi se constituie matricea de adiacenţă a, cu n linii * n coloane. Algoritmul de căutare a celebrităţii cuprins în procedura celebritate. Pentru început, vom căuta o persoană pe care o vom numi în continuare candidat la celebritate. Memorăm acest candidat în variabila candid. Presupunem că iniţial candidatul este persoana 1 (candid:=1). “Cercetăm” celelalte persoane, într-un ciclu cu i de la 2 la n. Pentru fiecare persoană i, trebuie să facem o testare. În cazul în care candidatul “actual” candid o cunoaşte i (a[candid,i] este 1) candid nu mai poate fi celebritate (celebritate nu trebuie să cunoască nici o altă persoană din grup !). În această situaţie, noul candidat la celebritate devine i (candid:=1). La finele parcurgerii de mai sus, în variabila candid vom avea aşadar un candidat la celebritate. Mai rămâne să vedem dacă acest candidat este cunoscut de către celelalte persoane. În exemplul de mai sus, urmare a faptului că persoana 3 este celebritate, avem relaţiile (1,3), (2,3) şi (4,3), adică a[1,3]=a[2,3]=a[4,3]=0. În consecinţă, pe coloana 3 avem n-1 valori de 1. Pe caz general, trebuie să numărăm valorile de 1 de pe coloana candid în matricea de adiacenţă, în adiacenţă, iar dacă găsim n-1 valori, atunci persoana candid este într-adevăr celebritate. 19
Program XI_8; var n, m: integer; a: array[1..20, 1..20] of integer; procedure citire_graf; var i, j, k, x, y: integer; begin write('Nr. arce: '); readln(m); write('Nr. noduri: '); readln(n); {iniţializează cu 0 toata matricea de adiacenta} for i:=1 to n do for j:=1 to m do a[i,j]:=0; {citeşte m perechi (x,y) reprezentând arcele grafului} for k:=1 to m do begin write('Arcul ',k,': '); repeat readln(x,y); until (x>=1) and (x<=n) and (y>=1) and (y<=n) and (x<>y); {pentru fiecare pereche marchează arcul in matricea de adiacenta} a[x,y]:=1; end; end; procedure celebritate; var i, j, candid, nr : integer; begin candid:=1; {candid va reprezenta candidatul la celebritate, care iniţial este persoana 1} for i:=2 to n do {daca candidatul îl cunoaşte pe i, el nu mai poate fi celebritate noul candidat devine i} if a[candid, i]=1 then candid:=i; nr:=0; {numaram in nr cate persoane îl cunosc pe candidatul candid} for i:=1 to n do if a[i, candid]=1 then nr:=nr+1; {verificam daca intr-adevăr candid este celebritate} if nr=n-1 then writeln('Persoana ', candid,' este celebritate') else writeln('Nu exista celebritate in grup'); end; begin citire_graf; celebritate; 20
end. Drumuri si circuite in grafuri orientate Se numeşte lanţ intr-un graf orientat, o mulţime de arce L={u1,u2,...,uk}, cu proprietatea ca oricare doua arce vecine in mulţime au o extremitate comuna. Un lanţ este de fapt un traseu care uneşte prin arce doua noduri numite extremităţile lanţului, fără a tine cont de orientarea arcelor componente. Se numeşte drum în graful G, un şir de noduri D={z1, z2, z3, …, zk}, unde z1, z2, z3, …, zk aparţin lui x, cu proprietatea că oricare două noduri consecutive sunt adiacente, adică există arcele [z1, z2], [z2, z3], …, [zk-1,zk] aparţin lui U. Practic, un drum poate fi privit ca un traseu în care toate arcele au aceeaşi orientare, dată de sensul de deplasare de la z1 la zk. Dacă nodurile z1, z2, z3, …, zk sunt distincte două câte două, drumul se numeşte elementar. În caz contrar, drumul este ne-elementar. Asemenea uni lanţ într-un graf neorientat, un drum într-un graf orientat este de fapt un traseu pe care l-am parcurge între două noduri deplasându-ne de-a lungul unor arce şi trecând prin nişte noduri intermediare. Deosebirea unui drum faţă de un lanţ constă în faptul că de-a lungul unui arc ne putem deplasa numai în sensul dat de orientarea arcului. Se numeşte circuit într-un graf, un lanţ L={z1, z2, z3, …, zk} cu proprietatea că z1=zk şi arcele [z1, z2], [z2, z3], …, [zk-1,zk] sunt distincte două câte două. Dacă într-un circuit, toate nodurile cu excepţia primului şi ultimului sunt distincte două câte două, atunci circuitul se numeşte elementar. În caz contrar, el este ne-elementar.
21
u2
1 u1 u4
2 u3 u5
3
4
5
u7
u6 6 Figura 8
Matricea drumurilor. Este o matrice d cu n linii şi n coloane, în care fiecare element d[i,j] este : - 1, dacă există drum de la nodul i la nodul j în graf; - 0, în caz contrar. Algoritmul Roy-Warshall de determinare a matricei drumurilor Matricea drumurilor se obţine aplicând matricei de adiacenţă transformări succesive. Vom spune că există drum de la nodul i la nodul j, dacă găsim un nod k (diferit de i, j) cu proprietatea că există drum de la i la k şi drum de la j la k. Astfel:
un element a[i, j] care este 0, devine 1, dacă există un nod k astfel încât a[i, k]=1 şi a[k, j]=1. Pentru a găsi arcele nodului k, trebuie parcurse pe rând în varianta k toate nodurile 1, 2, …, n. for k:=1 to n do for i:=to n do {i≠k} for j:=1 to n do {j≠k} if (a[i, j]=0) and (i<>k) and (j<>k) then a[i, j]:=a[i,k]*a[k, j]; Atribuirea a[i, j]:=a[i,k]*a[k, j] este o scriere elegantă a regulii de mai
sus: în cazul în care unul din elementele a[i,k], a[k, j] este 0, a[i, j] va rămâne 0; dacă a[i, k]=1 şi a [k, j]=1, atunci a[i, j] devine 1.
22
Un CD valoros Într-un grup sunt n elevi, băieţi şi fete, pe care-i numerotăm 1, 2, … , n. Fiecare elev cunoaşte o parte dintre ceilalţi elevi. Relaţia de cunoştinţă nu este neapărat reciprocă (dacă x îl cunoaşte pe y, asta nu înseamnă că şi y trebuie să îl cunoască pe x). Unul dintre elevi are un CD foarte valoros, cu multe jocuri demonstrative, pe care toţi membri grupului vor să-l aibă fie şi pentru scurt timp, pentru a şi-l copia pe calculatorul propriu. CD—ul circulă printre membrii grupului în felul următor: fiecare elev după ce l-a primit de la altcineva îl dă mai departe, dar numai unui elev pe care îl cunoaşte, pentru că nu doreşte să ajungă în mâna unor persoane în care nu poate avea încredere. Determinaţi o modalitate (dacă există) prin care CD-ul să circule exact o singură dată pe la fiecare elev, transmiterea lui făcându-se numai către o cunoştinţă, iar în final CD-ul să ajungă din nou la proprietarul său. Interpretarea datelor Relaţiile de cunoştinţă din cadrul grupului pot fi reţinute într-o matrice a cu n linii şi n coloane, în fiecare element a[i, j] este: 1 dacă elevul i îl cunoaşte pe elevul j, respectiv 0 în caz contrar. Cu datele problemei putem construi un graf în care nodurile sunt elevii 1, 2, 3,…, n, iar arcele sunt relaţiile de cunoştinţă din grup. Astfel, va exista arc de la nodul x la nodul y dacă elevul x în cunoaşte pe elevul y. Întrucât în enunţ se precizează că relaţiile de cunoştinţă nu sunt neapărat reciproce („x cunoaşte pe y” nu implică „y cunoaşte pe x”), rezultă că avem de-a face cu un graf orientat. Matricea a definită mai înainte este tocmai matricea de adiacenţă a grafului. „Traseul” pe care îl parcurge CD-ul pleacă dintr-un nod (proprietarul său), trecând prin fiecare nod (pe la fiecare elev) o singură dată. Transmiterea se face numai către o cunoştinţă. Astfel, de la elevul x va ajunge la elevul y numai dacă există arc (cunoştinţă) de la x la y. În final, traseul se încheie în nodul de unde a plecat (CD-ul se întoarce la proprietarul iniţial). Un traseu care 23
respectă condiţiile de mai sus nu este altceva decât un circuit elementar care trece prin toate nodurile grafului: drum deoarece poate trece de la un nod la altul numai printr-un arc, elementar deoarece nu trece de două ori prin acelaşi nod, şi în sfârşit circuit pentru că revine în nodul de plecare. Rezolvare Folosim metoda backtracking. Fiecare astfel de circuit elementar care trece prin toate nodurile grafului, va fi o soluţie memorată în vectorul stivă st. Aşadar elementele vectorului st sunt noduri ale grafului. O soluţie (st[1], st[2], …, st[p] ) este finală dacă - conţine n nivele, adică p=n (au fost „puşi pe stivă” toţi cei n elevi, adică toate cele n noduri) - st[n]=x (pentru a fi ciclu trebui să revină în nodul de plecare, adică „elevul de pe ultimul nivel”, st[n], trebuie să fie proprietarul memorat iniţial în x). Procedura {citire_matrice;} citeşte matricea de adiacenţă (relaţiile de cunoştinţă). În două cicluri for, cu i, j=1, 2, …, n, se citesc toate elementele a[i, j]. Această procedură a fost prezentată ca aplicaţie în lecţia „Reprezentarea grafurilor orientate” Procedura {iniţializări;} realizează iniţializarea stivei şi a proprietarului CD-ului. -
într-un ciclu for, se iniţializează cu 0 întreg vectorul-stivă;
-
se citeşte numărul de ordine al proprietarului CD-ului în variabila x (nodul de plecare). Procedura {tipar(p:integer):} afişează o configuraţie (st[1], st[2],
…, st[p]) a vectorului-stivă. Funcţia {valid(p:integer):boolean;} verifică pentru fiecare nivel p dacă st[p]I a generat o soluţie (st[1], st[2], …, st[p]) validă.
24
Testarea se face prin intermediul unei variabile booleene ok, iniţializează cu TRUE. În primul rând, din nodul st[p-1] se poate ajunge în nodul st[p] numai printr-un arc (orice drum/circuit trece prin arce). Aşadar nodul st[p] este valid numai dacă există arc de la st[p-1] la st[p], adică a[st[p1], st[p]]=1 (această condiţie provine din faptul că fiecare elev va transmite CD-ul numai prin cunoştinţă, ia relaţia de cunoştinţă este marcată în graf printrun arc). În caz contrar ok devine FALSE. ok:=TRUE; if a [ st[p], st[p-1]]=0 then ok:=FALSE; Dacă ok a rămas TRUE, urmează testarea celei de-a doua condiţii. Am spus că soluţia este finală dacă p=n, iar pe ultimul nivel trebuie să se găsească nodul x. Dar pe ultimul nivel anterior lui n nu putem avea nodul x (CD-ul revine la proprietar, dar numai după ce a trecut pe la ceilalţi elevi, pe la fiecare o singură dată). if ok then if (p
teoretic ar putea fi puse pe nivelul p. Pentru fiecare dintre aceste valori: 25
•
dacă respectiva valoare a generat o soluţie validă (dacă funcţia valid(p) a returnat TRUE), atunci: -
dacă soluţia respectivă e şi finală o tipărim (apelând procedura tipar (p)); în caz contrar trecem la nivelul următor (pentru a completa soluţia cu un nou nivel), prin auto-apelul bktr(p+1).
În programul principal, apelăm procedurile iniţializări şi citire_matrice, apoi declanşăm lanţul recursiv prin apelul bktr(1) (plecăm de la nivelul 1 al stivei). Program XI_10; var n,x:integer; st:array[1..20] of integer; a:array[1..20,1..20] of integer; procedure citire_matrice; {citeste matricea de adiacenta a de la tastatura} var I,j:integer; begin write (‘numarul de noduri: ’); readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin write (‘[‘, i, ’,’, j, ‘]=’); readln(a[i, j]); end; end; procedure initializari; {initializeaza stiva si citeste datele problemei} var i:integer; begin write (‘Cine este proprietarul: ’); readln(x); for i:=1 to 25 do st[i]:=0; end; procedure tipar (p:integer); {tipareste o solutie memorata in vectorul st} var k:integer; begin; write (x, ’ ’); 26
for k:=1 to p do write (st[k]:4, ‘ ’); writeln; end; function valid (p:integer): boolean; {testeaza daca valoarea pusa pe nivelul p a generat o solutie valida, returnand TRUE sau FALSE} var nr, i:integer; ok:boolean; begin {CD-il poate circula numai intre elevii care se cunosc, deci elevul st[p-1] trebuie sa il cunoasca pe st[p] pentru a-i putea da CD-ul mai departe} ok:=TRUE; if a[st[p-1], st[p]]=0 then ok:=FALSE; if ok then {proprietarul x nu se poate gasi pe un nivel anterior ultimului} if (p
Bibliografie: www.clopotel.ro www.referate.ro www.google.ro
28
