Probleme de algebr˘ a: Cornel B˘ aet ¸ica, Crina Boboc, Sorin D˘ asc˘ alescu, Gabriel Mincu

Prob Proble leme me de alge algebr br˘ ˘ a Cornel B˘ aet aet ¸ica, Crina Boboc, Sorin D˘ ¸ica, asc˘ asc˘ alescu, ales cu, Gabriel Gabr iel Mincu Min cu

PREFAT FAT ¸ ˘ A Lucrarea de fat¸˘ ¸a˘ ˆı¸si si prop pr opun unee s˘a vin˘a ˆın sprijinul sprij inul student stude nt¸ilor ¸ilor de la sect¸iile ¸iile de matema mat ematic tic˘˘a ¸si si inform inf ormati atic˘ c˘ a pentru o mai bun˘a aprofundare a unor not¸iuni ¸iuni fundamentale fundamentale din algebra modern˘ a. De asemenea culegerea cont¸ine a. ¸ine chestiuni mai complicate care sunt de interes pentru student¸ii ¸ii care urmeaz˘ a un program de Master ˆın matematic˘ a. a . Ea este este o edit edit¸ie revizu rev izuit˘ it˘a ¸si si comple com pletat tat˘ a˘ a culegerii culeg erii publicat pu blicatee de primul ¸si si al treilea trei lea autor aut or ˆın 1993 la l a Editura Editu ra Universit˘ Univer sit˘ at a¸ii ¸t ii Bucu Bu cure re¸¸sti. st i. Culegerea cont¸ine ¸ine solut¸ii ¸ii complete ale problemelor problemelor propuse, precum ¸si si cˆ ate ate un scurt breviar teoretic la ˆınceputul fiec˘ arui capitol. capitol. Referint Referint¸ele la alte probleme le facem citˆ and and doar num˘ arul problemei atunci cˆ arul and and ne referim la o problem˘a din acela¸si si capitol, capit ol, ¸si si citând and num˘ arul arul problemei ¸si si num˘ arul arul capitolului atunci când and ne referim la o problem˘ a din alt capitol. Pentru elementele de teorie necesare trimitem cititorul la una dintre c˘art art¸ile: ¸ile: ”Algebr˘a” a” de I. D. Ion ¸si si N. Radu, ”Bazele algebrei” de C. N˘ast˘ ast˘asescu, asescu, C. Nit¸˘ ¸a˘ ¸si si C. Vraciu, sau ”Algebr˘a” a” de T. Dumitrescu. Dorim s˘a mult¸umim ¸umim colegilor ¸si si student¸ilor ¸ ilor care ne-au ajutat la scrierea acestei culegeri prin furnizarea de probleme sau solut¸ii. ¸ii. Mult Mul¸umiri ¸t umiri speciale adres˘am am lui Tiberiu Dumitrescu pentru discut¸iile ¸iile matematice care ne-au fost de mare ajutor. 17 Martie 2008 Cornel B˘aet aet¸ica, ¸ica, Crina Boboc, Sorin D˘asc˘ asc˘alescu alescu ¸si si Gabriel Gabri el Mincu

1

Cuprins 1 Mul¸ timi

3

2 Legi Legi de compo compozi zit¸ tie. Semigrupuri ¸ si monoizi

11

3 Grupuri

16

4 Inele ¸ si corpuri

29

5 Cons Constr truc uct ¸ii ¸ t ii de inele inele:: inele inele de matri matrice, ce, inele inele de polinoa polinoame me,, inele de serii formale ¸si si inele de fract¸ii 40 6 Aritmetic˘ a ˆın inele integre

53

2

Capitolul 1 Mult ¸imi • Dac˘a A ¸si B sunt mult¸imi, not˘am cu A − B (sau cu A \ B) diferent ¸a celor dou˘a mult¸imi, adic˘a A − B = {x | x ∈ A ¸si x ∈ / B }. • Dac˘a B ⊆ A, atunci A − B se mai noteaz˘a C B ¸si se nume¸ste complementara lui B ˆın A. • Vom nota cu N, Z, Q, R, C, respectiv, mult¸imile numerelor naturale, ˆıntregi, rat¸ionale, reale, complexe, respectiv. Dac˘ a M este una din aceste ∗ mult¸imi, vom nota M = M − {0}. • Dac˘a A este o mult¸ime, atunci mult¸imea tuturor submult¸imilor lui A se noteaz˘ a cu P (A) ¸si se nume¸ste mult ¸imea p˘art ¸ilor lui A. • O mult¸ime A se nume¸ste finit˘ a dac˘a A = ∅ sau dac˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre A ∗ ¸si mult¸imea {1, . . . , n} pentru un n ∈ N . În acest caz not˘ am cu |A| num˘arul elementelor lui A. Dac˘a A nu este finit˘ a, atunci spunem c˘a A este infinit˘ a . • Dac˘a X este o mult¸ime nevid˘a, not˘am cu 1 (sau cu Id ) funct ¸ia identic˘ a a mult¸imii X , unde 1 : X → X ¸si este definit˘ a prin 1 (x) = x pentru orice x ∈ X . • Un element x ∈ M se nume¸ste punct fix pentru funct¸ia f : M → M dac˘a f (x) = x. • Compunerea a dou˘a funct¸ii f : A → B ¸si g : B → C se noteaz˘a g ◦ f sau gf . • Dac˘a f : A → B este o funct¸ie, X ⊆ A ¸si Y − ⊆ B, not˘am f (X ) = {f (x) | x ∈ X }, care este o submult¸ime a lui B ¸si f (Y ) = {a ∈ A | f (a) ∈ Y }, care este o submult¸ime a lui A. Mult¸imea f (X ) se nume¸ste imaginea lui − A

X

X

X

X

1

X prin f , iar mult¸imea f 1 (Y ) se nume¸ste preimaginea sau imaginea invers˘ a a lui Y prin f . Dac˘a f : A B este o funct¸ie ¸si A′ este o submult¸ime nevid˘a a lui A,

•

→

3

not˘a m cu f |A restrict ¸ia lui f la A′ , unde f |A : A′ B ¸si este definit˘a prin f |A (x) = f (x) pentru orice x A ′ . Dac˘a X ¸si Y sunt mult¸imi nevide, not˘am cu Fun(X, Y ) sau cu Y X mult¸imea tuturor funct¸iilor definite pe X cu valori ˆın Y . Spunem c˘ a mult¸imile A ¸si B sunt echipotente (¸si not˘ am aceasta prin A B) dac˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre A ¸si B. Dac˘a A este o mult¸ime care este ˆın biject¸ie cu N, spunem c˘ a A este num˘ arabil˘ a . Dac˘ a A este finit˘a sau num˘ arabil˘a, spunem c˘ a A este cel mult num˘ arabil˘ a . În caz contrar, A se nume¸ste nenum˘ arabil˘ a . Dac˘a este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe mult¸imea A, not˘ a m cu A/ mult ¸imea factor , iar aceasta este mult¸imea tuturor claselor de echivalent¸a˘ relativ la . Proiect ¸ia canonic˘ a p : A A/ asociaz˘ a unui element a A clasa sa de echivalent¸a˘ ˆın raport cu . Dac˘a f : A B este o funct¸ie, atunci not˘ am cu ρf relat¸ia de echivalent¸a˘ definit˘a de f pe mult¸imea A astfel: xρf y dac˘a ¸si numai dac˘a f (x) = f (y). Mult¸imile factor au urm˘atoarea proprietate de universalitate : fie A, B dou˘a mult¸imi, o relat¸ie de echivalent¸a˘ pe A ¸si f : A B o funct¸ie cu proprietatea c˘ a ρf . Atunci exist˘ a ¸si este unic˘a o funct¸ie f : A/ B care satisface condit¸ia fp = f . ′

→

′

∈

′

• • •

∼

•

∼ ∼

• •

∼

∼

→

→ ∼

∼ ∼ ⊆

∈

→

∼→

1. Fie r, s N∗ astfel ˆıncˆ at r +1 s. Dac˘a A1 , . . . , As sunt mult¸imi finite avˆ and fiecare r elemente ¸si intersect¸ia oric˘aror r + 1 dintre aceste mult¸imi este nevid˘ a, s˘a se arate c˘a Ai = .

∈

∩

i=1,s

≤ ̸ ∅

2. Fie A o mult¸ime finit˘a cu n elemente. S˘ a se arate c˘a ecuat¸ia X 1 are (2m

− 1)

n

∪ X ∪ · · · ∪ X 2

m

= A

solut¸ii.

3. (Principiul includerii ¸si excluderii ) Fie A1 , . . . , As mult¸imi finite. S˘ a se arate c˘ a

|

�

i=1,n

Ai =

|

�|

Ai

i=1,n

|−

�

1 i
≤ ≤

n+1

|A ∩ A | + ··· + (−1) | i

4. Fie A o mult¸ime finit˘a ¸si f : A urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 4

j

→ A o funct¸ie.

�

i=1,n

Ai .

|

S˘ a se arate c˘ a

(a) f este injectiv˘a. (b) f este surjectiv˘ a. (c) f este bijectiv˘ a. 5. Fie M ¸si N dou˘a mult¸imi finite astfel ˆıncât M = m ¸si N = n. S˘a se determine: (a) Num˘arul funct¸iilor definite pe M cu valori ˆın N . (b) Num˘arul funct¸iilor injective definite pe M cu valori ˆın N . (c) Num˘arul funct¸iilor surjective definite pe M cu valori ˆın N .

| |

| |

6. S˘a se determine num˘ arul permut˘ arilor unei mult¸imi cu n elemente care au cel put¸in un punct fix ¸si al celor care au exact un punct fix. 7. Fie f, g : N N dou˘a funct¸ii. Dac˘a mult¸imea A = x este finit˘ a , s˘a se arate c˘ a mult¸imea B = x N g(x) infinit˘a.

{ ∈ N | f (x) ≤ x} { ∈ | ≤ g(f (x))} este

→

8. Fie f : N N o funct¸ie cu urm˘atoarele propriet˘ a¸t i: (a) f este strict cresc˘ atoare. (b) f (2) = 2. (c) f (mn) = f (m)f (n) pentru orice m, n N prime ˆıntre ele. S˘a se arate c˘a f = 1N .

→

∈

9. Fie f, g : N N astfel ˆıncˆ at max(f, g) este surjectiv˘ a ¸si min(f, g) este injectiv˘a . S˘a se arate c˘a f = g.

→

10. Pentru fiecare din mult¸imile M = N, Z, Q, R, C s˘a se dea exemple de funct¸ii f : M M care sunt injective dar nu sunt surjective, ¸si exemple de funct¸ii g : M M care sunt surjective ¸si nu sunt injective.

→ →

11. Fie M o mult¸ime ¸si A, B dou˘a submult¸ imi ale sale. Definim f : (M ) (A) (B) prin f (X ) = (X A, X B). S˘a se arate c˘a : (a) f este injectiv˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a A B = M . (b) f este surjectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ aA B= . (c) f este bijectiv˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a A = C M B. În acest caz s˘a se calculeze f −1 .

P

→ P × P

∩ ∩ ∪ ∩ ∅

12. Fie A o mult¸ime nevid˘a. S˘a se arate c˘a nu exist˘ a nicio funct¸ie surjectiv˘a f : A (A).

→ P

5

13. Fie f : M N o funct¸ie. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) f este injectiv˘a. (b) f este monomorfism , adic˘a pentru orice mult¸ime X ¸si orice funct¸ii u, v : X M astfel ˆıncât fu = f v, rezult˘a c˘a u = v. (c) Exist˘a o funct¸ie g : N M astfel ˆıncât gf = 1M .

→

→

→

14. Fie f : M N o funct¸ie. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) f este injectiv˘a. (b) Pentru orice familie (M i )i∈I de submult¸imi ale lui M are loc egalitatea f ( M i ) = f (M i ).

→

∩

∩

i I

i I

∈

∈

15. Fie f : M N o funct¸ie. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) f este surjectiv˘ a. (b) f este epimorfism , adic˘a pentru orice mult¸ime Y ¸si orice funct¸ii u, v : N Y astfel ˆıncât uf = vf , rezult˘a c˘a u = v. (c) Exist˘a o funct¸ie g : N M astfel ˆıncât fg = 1N .

→

→

→

16. Fie f : M → N o funct¸ie. Definim aplicat¸iile f ∗ : P (M ) → P (N ) ¸si ∗ f : P (N ) → P (M ) prin f ∗ (X ) = f (X ) ¸si f ∗ (Y ) = f −1 (Y ). (i) S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) f este injectiv˘a. (b) f ∗ este injectiv˘a. (c) f ∗ f ∗ = 1P (M ) . (d) f ∗ este surjectiv˘a. (e) f (C M X ) C N f (X ) pentru orice X M .

◦

⊆

⊆

⊆

⊆

(ii) S˘a se arate c˘ a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) f este surjectiv˘ a. (b) f ∗ este surjectiv˘ a. ∗ (c) f ∗ f = 1P (N ) . (d) f ∗ este injectiv˘ a. (e) C N f (X ) f (C M X ) pentru orice X M .

◦

17. Fie A, B,C mult¸imi nevide. S˘a se arate c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre: (a) Fun(A, Fun(B, C )) ¸si Fun(A B, C ). (b) Fun(A, B C ) ¸si Fun(A, B) Fun(A, C ).

×

× ×

6

Dac˘a ˆın plus A B = , atunci exist˘a o biject¸ie ˆıntre Fun(A Fun(A, C ) Fun(B, C ).

×

∩

∅

∪ B, C ) ¸si

18. Pe R definim relat¸ia astfel: x y dac˘a ¸si numai dac˘a x y Z. S˘a se arate c˘ a este relat¸ie de echivalent¸a˘ ¸si c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea factor R/ ¸si intervalul [0, 1).

∼

∼ ∼

∼

− ∈

19. Pe R definim relat¸ia ρ astfel: xρy dac˘a ¸si numai dac˘ ax se arate c˘ a ρ este relat¸ie de ordine care nu este total˘ a.

{

− y ∈ N. S˘a

20. Fie M o mult¸ime nevid˘a ¸si ρ o relat¸ie binar˘a pe M . Not˘am ∆M = (x, x) x M , ρ−1 = (x, y) yρx ¸si pentru orice num˘ ar n N∗

| ∈ } { | } ∈ ρ = {(x, y) | exist˘a s , . . . , s − ∈ M cu xρs , s ρs , . . . , s − ρy} n

1

n 1

1

1

2

n 1

S˘a se arate c˘a relat¸ia 1

ρ′ = ∆M

1 2

∪ (ρ ∪ ρ− ) ∪ (ρ ∪ ρ− ) ∪ . . .

este cea mai mic˘ a relat¸ie de echivalent¸a˘ pe M care include pe ρ. 21. Fie M 1, . . . , Mn mult¸imi nevide ¸si ρ1 , . . . , ρn , respectiv, relat¸ii de echivalent¸a˘ pe acestea. Fie M = M 1 M n ¸si relat¸ia ρ definit˘a pe M astfel: (x1 , . . . , xn )ρ(y1, . . . , yn ) dac˘ a ¸si numai dac˘a xi ρi yi pentru orice i = 1,...,n. S˘a se arate c˘a ρ este relat¸ie de echivalent¸a˘ pe M ¸si c˘a M/ρ este ˆın biject¸ie cu M 1 /ρ1 M n /ρn .

× ·· · ×

×···×

22. S˘ a se determine num˘arul relat¸iilor de echivalent¸a˘ care se pot defini pe o mult¸ime M cu m elemente, m N.

∈

23. Fie A o mult¸ime nevid˘a, B o submult¸ime nevid˘a a sa ¸si ρ o relat¸ie pe (A) definit˘ a astfel: XρY dac˘a ¸si numai dac˘ a X B = Y B. S˘a se arate c˘a ρ este o relat¸ie de echivalent¸a˘ ¸si c˘a (A)/ρ este ˆın biject¸ie cu (B).

P

∩

P

∩

P

24. Fie A, B dou˘a mult¸imi nevide ¸si A ′ o submult¸ime nevid˘a a lui A. Pe mult¸imea B A = f f : A B funct¸ie consider˘ am relat¸ia binar˘a ρ definit˘a astfel: fρg dac˘a ¸si numai dac˘ a f |A = g |A . S˘a se arate c˘a ρ este o relat¸ie de A echivalent¸a˘ ¸si c˘a B /ρ este ˆın biject¸ie cu B A .

{ |

→

}

′

′

′

25. Reamintim c˘ a mult¸imile A ¸si B se numesc echipotente (¸si not˘am aceasta prin A B) dac˘ a exist˘a o biject¸ie ˆıntre A ¸si B. S˘a se arate c˘a

∼

7

pentru orice mult¸imi A, B,C au loc: (a) A A. (b) Dac˘ a A B, atunci B A. (c) Dac˘ a A B ¸si B C , atunci A C . Vom numi num˘ ar cardinal o clas˘a format˘ a din toate mult¸imile echipotente cu o mult¸ime dat˘ a A ¸si vom nota acest num˘ ar cardinal cu A . Dac˘a A este o mult¸ime finit˘a, identific˘am num˘arul cardinal A cu num˘arul elementelor lui A (care a fost notat tot cu A ). Dac˘a A este mult¸ime infinit˘a, spunem c˘a num˘ arul cardinal A este infinit .

∼

∼ ∼

∼

∼

∼

| | | |

| |

| |

26. (a) (Teorema Cantor-Schr o¨der-Bernstein ) Fie X 2 X 1 X 0 mult¸imi astfel ˆıncât X 0 X 2 . S˘a se arate c˘a X 0 X 1 . (b) Dac˘ a α = A ¸si β = B sunt numere cardinale, spunem c˘ a α β dac˘a exist˘a o funct¸ie injectiv˘a f : A B. S˘a se arate c˘ a definit¸ia relat¸iei ” ” nu depinde de reprezentant¸ii A ¸si B ale¸si ˆın cele dou˘a clase. (c) Dac˘ a α ¸si β sunt dou˘a numere cardinale astfel ˆıncˆ at α β ¸si β α, s˘a se arate c˘ a α = β .

| |

∼ | |

⊆

∼

⊆

≤

→

≤

≤ ≤

27. Fie α ¸si β numere cardinale. S˘ a se arate c˘ a are loc exact una din afirmat¸iile: (i) α < β (adic˘a α β ¸si α = β ); (ii) α = β ; (iii) β < α.

≤

̸

28. Fie X o mult¸ime infinit˘a . S˘a se arate c˘a: (a) N X , adic˘a orice mult¸ime infinit˘a are o submult¸ime num˘arabil˘a. (b) Dac˘ a F este o submult¸ime finit˘a a lui X , atunci X F = X .

| | ≤ | |

| − | | |

29. Fie α = A ¸si β = B numere cardinale, reprezentant¸ii A ¸si B fiind ale¸si astfel ˆıncât A B = . Definim suma numerelor cardinale α ¸si β prin α + β = A B . S˘a se arate c˘a: (a) Definit¸ia nu depinde de reprezentant¸ii ale¸si. (b) Dac˘ a α, β,γ sunt numere cardinale, atunci α + β = β + α ¸si (α + β ) + γ = α + (β + γ ). (c) Dac˘ a α ¸si β sunt numere cardinale cu α infinit ¸si β α, atunci α +β = α.

| ∪ |

| | ∩

| | ∅

≤

30. Fie α = A ¸si β = B dou˘a numere cardinale. Definim produsul numerelor cardinale α ¸si β prin αβ = A B . S˘a se arate c˘a: (a) Definit¸ia lui αβ nu depinde de reprezentant¸ii A ¸si B ale¸si. (b) Dac˘ a α, β,γ sunt numere cardinale, atunci αβ = βα, (αβ )γ = α(βγ ) ¸si α(β + γ ) = αβ + αγ .

| |

| |

| × |

8

(c) Dac˘ a α ¸si β sunt numere cardinale astfel ˆıncˆ at α este infinit, β = β α, s˘a se arate c˘a αβ = α.

̸ |∅| ¸si

≤

31. (a) Fie α un num˘ar cardinal ¸si (Ai )i∈I o familie de mult¸imi astfel ˆıncât Ai α pentru orice i I . S˘a se arate c˘a Ai α I .

| | ≤

∈

|

∪

|≤ | |

i I

∈

(b) S˘ a se arate c˘ a o reuniune num˘ arabil˘a de mult¸imi cel mult num˘arabile este cel mult num˘arabil˘a. (c) Dac˘ a A este o mult¸ime infinit˘a ¸si f (A) mult¸imea tuturor submult¸imilor finite ale lui A, atunci f (A) = A .

P |P | | | 32. Fie α = |A| ¸si β = |B | dou˘a numere cardinale. | Fun(B, A)|. S˘a se arate c˘a:

Definim αβ =

(a) Definit¸ia lui αβ nu depinde de reprezentant¸ii A ¸si B ale¸si. (b) Dac˘ a α, β,γ sunt numere cardinale, atunci αβ+γ = αβ αγ , (αβ )γ = α γ β γ ¸si (αβ )γ = α βγ . (c) Pentru orice mult¸ime A are loc (A) = 2|A| (prin 2 ˆınt¸elegem aici num˘arul cardinal asociat unei mult¸imi cu dou˘a elemente).

|P |

33. S˘a se arate c˘ a N = Z = Q < R = C ¸si c˘a pentru orice a, b a < b, avem (a, b) = [a, b) = (a, b] = [a, b] = R .

| | || | | | | | | ∈ R, | | | | | | | | | | 34. S˘a se arate c˘a nu exist˘a funct¸ii f : R → R cu proprietatea c˘ a |f (x) − f (y)| > 1 pentru orice x, y ∈ R, x̸ = y. 35. Fie f : R → (0, ∞) o funct¸ie. S˘a se arate c˘ a exist˘a k ∈ N∗ ¸si a , . . . , a ∈ R distincte astfel ˆıncât f (a ) + ··· + f (a ) > 1. 36. Pentru o funct¸ie f : R → R un element x ∈ R se nume¸ste punct de minim local strict dac˘a exist˘a o vecin˘atate V a sa cu proprietatea c˘ a f (x) > f (x ) pentru orice x ∈ V − {x }. Analog se define¸ste ¸si not¸iunea de 1

k

1

k

0

0

0

0

0

punct de maxim local strict . Un element al lui R care este punct de minim sau de maxim local strict se nume¸ste punct de extrem local strict . S˘a se arate c˘ a mult¸imea punctelor de extrem local strict ale unei funct¸ii arabil˘a. f : R R este cel mult num˘

→

37. Pe R definim relat¸ia astfel: x y dac˘a ¸si numai dac˘a x y Q. S˘a se arate c˘ a este relat¸ie de echivalent¸a˘ ¸si c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea factor R/ ¸si R.

∼ ∼

∼

∼

9

− ∈

38. S˘ a se dea exemplu de relat¸ ie de ordine pe Z ˆımpreun˘a cu care Z devine o mult¸ime bine ordonat˘ a.

10

Capitolul 2 Legi de compozit¸ie. Semigrupuri ¸ si monoizi • Fie M o mult¸ime nevid˘a.

O funct¸ie ϕ : M M M se nume¸ste lege de compozit ¸ie pe M . Dac˘a nu ment¸ion˘ am altfel, legea de compozit¸ie va fi notat˘a multiplicativ, adic˘ a ϕ(x, y) = xy. Dac˘a legea de compozit¸ie este asociativ˘a, adic˘a (xy)z = x(yz ) pentru orice x, y,z M , atunci (M, ϕ) se nume¸ste semigrup. Dac˘a ˆın plus exist˘a un element neutru e M (pentru care xe = ex = x pentru orice x M ), atunci semigrupul M se nume¸ste monoid . Dac˘a nu exist˘ a nici un pericol de confuzie, ˆın loc de (M, ϕ) vom scrie simplu M . Dac˘a M este monoid, atunci mult¸imea U (M ) = x M x este simetrizabil este grup cu legea de compozit¸ie indus˘a din cea a lui M ¸si se nume¸ste grupul unit˘ at ¸ilor lui M . Fie S un semigrup. Spunem c˘ a S este semigrup cu simplificare la stˆ anga dac˘a din ax = ay rezult˘ a x = y, unde a, x, y S . Analog definim ¸si not¸iunea de semigrup cu simplificare la dreapta . Un semigrup cu simplificare atˆ a t la stânga cˆ at ¸si la dreapta se nume¸ste semigrup cu simplificare . Fie S un semigrup. Un element e S cu proprietatea c˘ a e 2 = e se nume¸ste element idempotent . Fie S un semigrup ¸si S ′ o submult¸ime nevid˘a a sa. Dac˘a S ′ este semigrup ˆın raport cu legea indus˘ a (echivalent, xy S ′ pentru orice x, y S ′ ), atunci S ′ se nume¸ste subsemigrup al lui S . Dac˘a X este o submult¸ime a lui S , atunci intersect¸ia tuturor subsemigrupurilor lui S care cont¸in pe X se nume¸ste subsemigrupul generat de X . Fie M un monoid ¸si M ′ o submult¸ime nevid˘a a sa. Dac˘a M ′ este monoid

×

→

∈

∈

•

{ ∈ |

}

• • •

∈

∈

∈

∈

•

11

∈

ˆın raport cu legea indus˘a (echivalent, xy M ′ pentru orice x, y M ′ ¸si elementul identitate al lui M se afl˘a ˆın M ′ ), atunci M ′ se nume¸ste submonoid al lui M . Dac˘a X este o submult¸ ime a lui M , atunci intersect¸ia tuturor submonoizilor lui M care cont¸ in pe X se nume¸ste submonoidul generat de X . Dac˘a S, S ′ sunt semigrupuri ¸si f : S S ′ o funct¸ie cu proprietatea c˘ a f (xy) = f (x)f (y) pentru orice x, y S , atunci f se nume¸ste morfism de ′ semigrupuri . Dac˘ a M, M sunt monoizi, iar f : M M ′ este o funct¸ie cu proprietatea c˘ a f (xy) = f (x)f (y) pentru orice x, y M ¸si f (e) = e′ , unde e, e′ sunt elementele identitate ale celor doi monoizi, atunci f se nume¸ste morfism de monoizi .

∈

•

∈

∈

→

→ ∈

1. Fie M o mult¸ime cu n elemente, n N∗ . S˘a se determine: (i) Num˘arul legilor de compozit¸ie ce pot fi definite pe M ; (ii) Num˘arul legilor de compozit¸ie comutative ce pot fi definite pe M ; (iii) Num˘arul legilor de compozit¸ ie cu element neutru ce pot fi definite pe M .

∈

2. Fie M o mult¸ime ˆınzestrat˘ a cu o lege de compozit¸ie (nu neap˘arat asociativ˘a ). S˘a se arate c˘a dac˘a x1, . . . , xn M , atunci num˘arul de moduri n−1 ˆın care se pot aranja corect parantezele ˆın produsul x1 x2 . . . xn este n1 C 2n −2. (O abordare diferit˘ a pentru calculul acestui num˘ ar va fi dat˘a ˆın problema 38 din Capitolul 5.)

∈

3. Fie f : A B un morfism de monoizi. S˘ a se arate c˘a urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) f este injectiv; (ii) f este monomorfism de monoizi, adic˘ a pentru orice monoid X ¸si pentru orice morfisme de monoizi u, v : X A astfel ˆıncât fu = f v, rezult˘a c˘a u = v.

→

→

4. Fie f : A B un morfism surjectiv de monoizi. S˘ a se arate c˘ a f este epimorfism de monoizi, adic˘a pentru orice monoid Y ¸si pentru orice morfisme de monoizi u, v : B Y astfel ˆıncât uf = vf , rezult˘a c˘a u = v. S˘a se arate c˘ a morfismul incluziune i : Z Q, unde Z ¸si Q sunt considerate cu structurile de monoizi date de ˆınmult ¸ire, este epimorfism de monoizi, dar nu este surjectiv.

→ →

→

12

5. Fie S un semigrup. S˘ a se arate c˘ a S se poate scufunda ˆıntr-un monoid, adic˘a exist˘a un monoid M ¸si un morfism injectiv de semigrupuri f : S M .

→

6. Fie S un semigrup cu simplificare. S˘ a se arate c˘a S are cel mult un element idempotent.

∈ S . S˘a se arate c˘a exist˘a n ∈ N ∗ astfel

7. Fie S un semigrup finit ¸si a ˆıncât an s˘a fie element idempotent.

8. S˘ a se determine tipurile de izomorfism de semigrupuri cu dou˘ a elemente. 9. Fie G un grup astfel ˆıncât orice subsemigrup generat de o mult¸ime finit˘a este finit. S˘a se arate c˘a orice subsemigrup al lui G este subgrup. 10. Fie S un semigrup ¸si e S un element idempotent. Fie

∈

H e = a S ea = ae = a ¸si exist˘a x, y

{ ∈ |

∈ S cu xa = ay = e}.

S˘a se arate c˘a: (i) (H e , ) este grup; (ii) Dac˘a H S , e H ¸si (H, ) este grup, atunci H H e .

·

⊆

∈

·

⊆

11. (i) S˘a se arate c˘ a un semigrup S cont¸ine un grup (cu operat¸ia indus˘a) dac˘a ¸si numai dac˘ a S are cel put¸in un element idempotent. (ii) S˘a se dea exemplu de semigrup care nu cont¸ine niciun grup. 12. Fie S un semigrup ¸si e S element idempotent. (i) S˘a se arate c˘ a mult¸imea eSe = ese s S este subsemigrup. Mai mult, aceasta este un monoid. (ii) Notând cu H e mult¸imea elementelor inversabile din monoidul eSe, s˘a se arate c˘ a H e este grup ¸si H e include orice grup G S pentru care G H e = .

∈

{ | ∈ }

⊆

∩ ̸ ∅

13. Fie S un semigrup. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a S are subgrupuri (adic˘ a subsemigrupuri care ˆımpreun˘ a cu operat¸ia indus˘a sunt grupuri), atunci orice subgrup este cont ¸inut ˆıntr-un subgrup maximal. (ii) Dac˘a G ¸si G ′ sunt subgrupuri maximale ˆın S , atunci G = G ′ sau G G′ = .

∩

∅

13

14. Fie S un semigrup care se scrie ca o reuniune de subgrupuri. S˘ a se arate c˘a S se poate scrie ca reuniune de subgrupuri disjuncte. 15. S˘ a se dea exemplu de semigrup care nu este grup ¸si se scrie ca o reuniune de subgrupuri. 16. S˘ a se arate c˘a un semigrup comutativ S se poate scufunda ˆıntr-un grup dac˘ a ¸si numai dac˘ a S este semigrup cu simplificare. 17. S˘a se arate c˘a legea de compozit¸ie dat˘ a de (i, j)(k, l) = (i + k, 2k j + l) define¸ste pe N N o structur˘ a de semigrup.

×

18. (i) Dac˘a X este o mult¸ime nevid˘a not˘am cu I (X ) mult¸imea funct¸iilor injective f : X X . S˘a se arate c˘a (I (X ), ) este monoid. (ii) S˘a se arate c˘a un semigrup S se poate scufunda ˆıntr-un monoid de forma I (X ) dac˘ a ¸si numai dac˘a S este semigrup cu simplificare la stˆ anga.

→

◦

19. (i) S˘a se arate c˘a un monoid M se poate scufunda ˆın monoidul (Fun(M, M ), ). (ii) Fie M un monoid finit. Dac˘a a, b M U (M ), atunci ab M U (M ). Ar˘atat¸i c˘a pentru un monoid infinit aceast˘ a proprietate nu mai este neap˘arat adev˘arat˘ a.

◦

∈ \

∈ \

20. S˘ a se dea un exemplu de monoid M care are un element inversabil la stânga, având un num˘ ar finit > 1 de inver¸si la stânga. 21. Fie n N∗ . S˘a se arate c˘a: (i) Exist˘a un monoid infinit cu exact n elemente inversabile; (ii) Exist˘a un monoid finit care nu este grup ¸si care are exact n elemente inversabile.

∈

·

22. Fie (M, ) un semigrup finit. S˘a se arate c˘ a exist˘a un ¸sir de numere naturale n1 < n2 < . . . < nk < . . . astfel ˆıncât pentru orice x M are loc xn = x n = . . . = x n = . . .. 1

2

∈

k

23. S˘ a se arate c˘ a monoidul liber generat de o mult¸ime cu un element este izomorf cu (N, +). 24. Fie (M, +) un submonoid al lui (N, +). S˘a se arate c˘ a exist˘a o submult¸ime finit˘a A a lui N ¸si d, n0 N astfel ˆıncât M = A nd n n 0 .

∈

14

∪{ | ≥ }

25. (i) S˘a se arate c˘ a monoidul (N∗ , ) este izomorf cu monoidul (M 2 , ), unde M 2 = 2n + 1 n 0 . (ii) Fie M 3 = 3n + 1 n 0 ¸si M 5 = 5n + 1 n 0 . S˘a se arate c˘ a (M 3, ) ¸si (M 5 , ) sunt monoizi ¸si c˘ a oricare doi dintre monoizii (N∗ , ), (M 3 , ) ¸si (M 5 , ) sunt neizomorfi.

{

·

·

·

| ≥ } | ≥ }

{ ·

·

{

| ≥ }

·

·

26. Fie m, n N, m, n 2 ¸si M m = mk+1 k N , M n = nk+1 k N monoizi multiplicativi. S˘a se arate c˘ a ace¸stia sunt izomorfi dac˘ a ¸si numai dac˘a grupurile U (Zm ) ¸si U (Zn) sunt izomorfe.

}

∈

≥

{

| ∈ }

{

| ∈

27. S˘a se arate c˘a exist˘a o infinitate de submonoizi ai lui (N∗ , ) care sunt izomorfi cu el ¸si o infinitate de submonoizi care nu sunt izomorfi cu el.

·

15

Capitolul 3 Grupuri • Dac˘a G este un grup multiplicativ, atunci dac˘a nu se precizeaz˘a altfel, elementul neutru se noteaz˘ a cu e (sau cu 1). • Dac˘a A ¸si B sunt grupuri, mult¸imea morfismelor de grupuri de la A la B o not˘ am cu Hom (A, B). • Ordinul unui element g al unui grup se noteaz˘a ord(g). • Scriem c˘a H este un subgrup (normal) al lui G astfel: H ≤ G (respectiv H  G). • Dac˘a H este subgrup normal al lui G, not˘am cu G/H grupul factor . Aplicat¸ia p : G → G/H , p(a) = aˆ pentru orice a ∈ G, este morfism de grupuri ¸si se nume¸ste proiect ¸ia canonic˘ a . : fie G, G′ • Grupurile factor au urm˘atoarea proprietate de universalitate dou˘a grupuri, H subgrup normal al lui G ¸si f : G → G ′ morfism de grupuri cu proprietatea c˘ a H ⊆ Ker(f ). Atunci exist˘ a ¸si este unic un morfism de ′ grupuri f : G/H → G care satisface condit¸ia fp = f , unde p : G → G/H este proiect¸ia canonic˘a. • Un subgrup propriu H al lui G se nume¸ste subgrup maximal dac˘a pentru orice K ≤ G cu H ⊆ K , rezult˘a c˘a K = H sau K = G. • Fie Z (G) = {x ∈ G | xg = gx pentru orice g ∈ G}. Mult¸imea Z (G) se nume¸ste centrul grupului G ¸si este subgrup normal al lui G. • Fie g ∈ G ¸si C (g) = {x ∈ G | xg = gx}. Mult¸imea C (g) se nume¸ste centralizatorul elementului g ¸si este subgrup al lui G. • Un grup G se nume¸ste simplu dac˘a singurele sale subgrupuri normale sunt G ¸si {e}. • Fie G un grup, H ≤ G ¸si H = xHx− . H se nume¸ste interiorul gr

G

∩

x G

∈

16

1

G

normal al lui H ˆın G ¸si este cel mai mare subgrup normal al lui G cont¸inut ˆın H . Spunem c˘a un grup (G, ) este divizibil dac˘a pentru orice a G ¸si orice n N∗ ecuat¸ia xn = a are solut¸ii ˆın G. Dac˘a X este o mult¸ime nevid˘a, mult¸imea biject¸iilor de la X la X este grup cu compunerea funct¸iilor. Acest grup se nume¸ste grupul simetric al mult¸imii X ¸si se noteaz˘ a cu S (X ). Elementele lui S (X ) se numesc permut˘ ari . Dac˘ a X = 1, . . . , n , atunci S (X ) se mai noteaz˘ a cu S n. Subgrupul lui S n care const˘a din toate permut˘ arile pare se noteaz˘ a cu An ¸si se nume¸ste grupul altern de grad n. Grupul izometriilor unui poligon regulat cu n laturi se nume¸ste grupul diedral de grad n ¸si se noteaz˘a cu Dn . Acesta are 2n elemente ¸si poate fi prezentat prin doi generatori r ¸si s, Dn = < r, s >, care satisfac relat¸iile s2 = e, r n = e,sr = r n−1 s. Geometric, s corespunde unei simetrii a poligonului regulat fat¸a˘ de o ax˘a de simetrie ¸si r corespunde unei rotat¸ii de unghi 2π/n ˆın jurul centrului cercului circumscris poligonului. GL(n, R) reprezint˘ a grupul multiplicativ al matricelor inversabile de ordin n cu elemente ˆın inelul R ¸si se nume¸ste grupul liniar general de ordin n peste R.

• ∈ •

·

{

∈

}

•

•

·

1. Fie (S, ) un semigrup astfel ˆıncât: (i) Exist˘a un element e S cu proprietatea c˘ a ea = a pentru orice a S ; (ii) Pentru orice a S exist˘a a′ S cu a′ a = e. S˘a se arate c˘a S este grup. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a ˆınlocuim (ii) prin (ii’) Pentru orice a S exist˘a a ′ S cu aa′ = e, atunci nu mai rezult˘ a c˘a S este grup.

∈

∈

∈

∈

∈

∈

·

2. Fie (S, ) un semigrup. Ar˘atat¸i c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) S este grup; (ii) Pentru orice a, b S ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b au solut¸ii ˆın S .

∈

3. Fie (S, ) un semigrup finit cu simplificare (adic˘a ax = ay x = y ¸si xa = ya x = y, pentru orice a, x, y S ) . S˘a se arate c˘a S este grup.

⇒

·

∈

⇒

4. Dac˘a G ¸si G′ sunt grupuri, not˘am cu Homgr (G, G′ ) mult¸imea morfismelor de grupuri de la G la G ′ . S˘a se determine: Homgr (Z, Z), Homgr (Z, Q), 17

Homgr (Q, Z), Homgr (Q, Q), Homgr (Zn , Zn ) ¸si Homgr (Zm , Zn ), unde Z, Q, Zm ¸si Zn sunt considerate cu structurile aditive (m, n N, m,n > 1).

∈

5. S˘a se determine care dintre urm˘ atoarele grupuri sunt izomorfe: (Z, +), ∗ ∗ (Q, +), (R, +), (C, +), (Q , ), (R , ), (C∗ , ), (Q∗+ , ), (R∗+ , ).

·

·

·

·

·

6. Dac˘a (G, ) este un grup ¸si A, B G, not˘am cu AB = ab a A ¸si b B . Presupunem c˘ a G este finit. S˘ a se arate c˘a: (i) Dac˘a A, B G ¸si A + B > G , atunci AB = G; (ii) Dac˘a exist˘a M G astfel ˆıncât M > (1/2) G ¸si ab = ba pentru orice a, b M , atunci G este comutativ.

·

∈ }

⊂

∈

⊂

| | | | | | ⊂ | |

{ | ∈

| |

7. Fie (G, ) un grup ¸si H o submult¸ime finit˘a a lui G. S˘a se arate c˘a H este subgrup dac˘ a ¸si numai dac˘ a H este parte stabil˘ a.

·

8. Ar˘atat¸i c˘a un grup nu se poate scrie ca reuniune de dou˘ a subgrupuri proprii. Dat¸i exemple de grupuri care se scriu ca o reuniune de trei subgrupuri proprii. 9. Fie G un grup ¸si H, K, L trei subgrupuri ale lui G cu proprietatea c˘ a G = H K L. Ar˘atat¸i c˘a x2 H K L pentru orice x G.

∪ ∪

∈ ∩ ∩

∈

10. Fie m N, m > 2 ¸si G un grup finit cu proprietatea c˘ a ord(x) > m, oricare ar fi x G e . Ar˘atat¸i c˘a G nu se poate scrie ca reuniune de m subgrupuri proprii.

∈ ∈ − { }

11. S˘a se arate c˘a un grup infinit are o infinitate de subgrupuri. 12. S˘a se determine toate grupurile care au exact dou˘ a, trei, patru, respectiv cinci subgrupuri. 13. Fie G un grup generat de familia de elemente (ai )i∈I ¸si fie g G. S˘a se arate c˘ a < g > este subgrup normal ˆın G dac˘a ¸si numai dac˘a a i ga i −1 < g > ¸si ai −1ga i < g >, pentru orice i I .

∈

∈

∈

14. Fie elementele j =

¸si k =

� �

i 0

� − � 0 i

0 1 1 0

−

18

∈

ˆın GL(2, C). Not˘am J = < j >, K = < k > ¸si Q = < j , k >. S˘a se arate c˘a: (i) J = 4, K = 4 ¸si J K = 2; (ii) J ¸si K sunt subgrupuri normale ˆın Q ¸si Q = 8; (iii) j2 = k 2 este singurul element de ordin 2 din Q; (iv) Q nu este grup abelian, dar orice subgrup al s˘au este normal. (Q se nume¸ste grupul cuaternionilor ).

| |

| |

| ∩ |

| |

15. S˘ a se determine subgrupurile ¸si subgrupurile normale ale grupului diedral D4 . 16. (i) S˘a se arate c˘ a un grup cu 4 elemente este izomorf cu Z4 sau cu Z2 Z2 . (ii) S˘a se arate c˘ a un grup cu 6 elemente este izomorf cu Z 6 sau cu S 3 . (iii) S˘a se arate c˘a un grup neabelian cu 8 elemente este izomorf cu D4 sau cu Q, iar un grup abelian cu 8 elemente este izomorf cu unul din grupurile Z8 , Z4 Z2 , Z2 Z2 Z2 . (iv) Dac˘a p este un num˘ar prim, atunci orice grup cu p elemente este izomorf cu Z p .

×

×

× ×

17. Fie G un grup finit. S˘a se arate c˘a G are un element de ordin 2 dac˘ a ¸si numai dac˘ a G este par.

| | 18. Fie (G, ·) un grup ¸si f : G → G definit˘a prin f (x) = x . Atunci: 2

(i) f este morfism de grupuri dac˘a ¸si numai dac˘ a G este grup abelian; (ii) Dac˘a G este grup abelian finit, atunci f este izomorfism dac˘ a ¸si numai dac˘a G este impar.

| |

19. Fie G un grup cu proprietatea c˘ a x2 = e pentru orice x G. S˘a se arate c˘a: (i) G este grup abelian; (ii) Dac˘a G este finit, atunci exist˘ a n N astfel ˆıncât G = 2n . Mai mult, ˆın acest caz G Z2 Z2 ,

∈

∈ ≃ ×···×

| |

produsul direct cont¸inând n factori.

20. Fie X un subgrup al lui (Q, +) astfel ˆıncˆ at X + Z = Q. Ar˘atat¸i c˘a X = Q. 21. S˘ a se arate c˘a dac˘a H este un subgrup finit generat al lui (Q, +), atunci H este ciclic. Deducet¸i c˘a (Q, +) nu este grup finit generat. 19

22. S˘a se arate c˘ a grupul (Q, +) nu are un sistem minimal de generatori. Mai mult, pentru orice sistem de generatori S ¸si orice s S mult¸imea S s este un sistem de generatori.

∈

−{ }

23. Fie G un grup finit cu G > 1 ¸si not˘am cu d(G) num˘arul minim de generatori ai lui G. S˘a se arate c˘a 2d(G) G.

| |

S 3

≤| |

24. S˘ a se determine sisteme minimale de generatori pentru grupurile Z4 ¸si Q Z3 , unde Q este grupul cuaternionilor.

×

×

25. Fie (G, ) un grup ¸si H 1 H 2 subgrupuri. S˘ a se arate c˘a: (i) H = H n este subgrup al lui G;

·

∪

⊂ ⊂ . . . ⊂ H ⊂ . . . un ¸sir cresc˘ator de n

n 1

≥

(ii) Dac˘a H n = H n+1 pentru orice n

̸

∈ N∗, atunci H nu este finit generat.

26. Fie S (R) grupul simetric al mult¸imii numerelor reale. Consider˘ am funct¸iile f, g S (R) definite prin f (x) = x + 1, g(x) = 2x pentru orice x R. Not˘am f n = g −nf gn , G = < f,g > ¸si H n = < f n >. S˘a se arate c˘ a H = H n este un subgrup al grupului finit generat G, dar H nu este finit

∈

∈

∪

n 1

≥

generat.

27. S˘a se arate c˘ a dac˘ a G este un grup finit generat ¸si H este un subgrup de indice finit al lui G, atunci H este finit generat. 28. Fie (G, ) un grup ¸si H, K, L subgrupuri ale sale. Not˘ am cu HK = hk h H, k K . S˘a se arate c˘a: (i) HK H K = H K ; (ii) [G : H K ] [G : H ][G : K ] . Dac˘ a [G : H ] ¸si [G : K ] sunt finite ¸si prime ˆıntre ele, atunci are loc chiar egalitate ¸si, ˆın plus, G = H K ; (iii) Dac˘a K H , atunci [L H : L K ] [H : K ].

· { | ∈ ∈ } | || ∩ | | || | ∩ ≤ ⊂ ∩ ∩ ≤ 29. Fie (G, ·) un grup ¸si x, y ∈ G.

(i) Dac˘a xy = yx, ord(x) ¸si ord(y) sunt finite ¸si (ord(x), ord(y)) = 1, atunci ord(xy) = ord(x)ord(y). Dac˘ a cele dou˘a ordine nu sunt relativ prime, mai este adev˘ arat rezultatul? (ii) Dac˘a ord(x) ¸si ord(y) sunt finite, rezult˘ a c˘a ord(xy) este finit? (iii) Dac˘a ord(xy) este finit, rezult˘ a c˘a ord(x) ¸si ord(y) sunt finite? (iv) Dac˘a G este grup abelian ¸si G = p 1 pn, unde p 1 , . . . , pn sunt numere prime distincte, atunci G este grup ciclic.

| |

· ··

20

30. (i) Fie G ¸si H dou˘a grupuri ¸si x = (g, h) G H astfel ˆıncˆ at ord(g) ¸si ord(h) s˘a fie finite. Atunci ord(x) = [ord(g), ord(h)]. (ii) S˘a se determine elementele de ordin 8 din Z6 Z10 , elementele de ordin 4 din Z12 Z15 ¸si elementele de ordin 6 din Z12 Z36 .

∈ × × ×

×

31. Fie G un grup finit cu G = n. S˘a se arate c˘a: (i) G este ciclic dac˘ a ¸si numai dac˘a pentru orice divizor pozitiv d al lui n exist˘a cel mult un subgrup cu d elemente al lui G; (ii) G este ciclic dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice divizor pozitiv d al lui n ecuat¸ia xd = 1 are cel mult d solut¸ii ˆın G; (iii) Dac˘a G este comutativ, atunci G este ciclic dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru p orice divizor prim p al lui n ecuat¸ia x = 1 are cel mult p solut¸ii ˆın G. Afirmat¸ia (iii) mai este adev˘arat˘a dac˘ a G nu este grup comutativ?

| |

32. Fie K un corp comutativ. S˘ a se arate c˘a orice subgrup finit al ∗ grupului multiplicativ (K , ) este ciclic.

·

33. Fie G un grup abelian finit. (i) Dac˘a exist˘a x, y G cu ord(x) = m ¸si ord(y) = n, atunci exist˘a z G astfel ˆıncât ord(z ) = [m, n]. (ii) Fie m0 = max ord(x) x G . Ar˘atat¸i c˘a ord(x) divide pe m0, oricare ar fi x G. (iii) Deducet¸i din (i) o alt˘a solut¸ie pentru exercit¸iul 29(iv). (iv) Deducet¸i din (ii) o alt˘a solut¸ie pentru exercit¸iul 32.

∈

∈

{

∈

| ∈ }

34. (i) S˘ a se arate c˘a pentru orice n N∗ , grupul (C∗ , ) are exact un subgrup cu n elemente ¸si anume U n = z C∗ z n = 1 . (ii) Dac˘a p este un num˘ ar prim, ar˘atat¸i c˘a C p = U p este un subgrup al

∈ { ∈ |

}

∪

∞

·

n

n 0

≥

lui (C∗ , ) care nu este finit generat. (iii) Ar˘atat¸ i c˘a dac˘ a H este un subgrup propriu al lui C p , atunci exist˘a ∗ n N cu H = U p . (iv) Dac˘a G este un subgrup infinit al lui (C∗ , ) cu proprietatea c˘ a orice subgrup propriu al s˘au este finit, atunci exist˘a p num˘ar prim astfel ˆıncˆ at G = C p . (v) S˘a se arate c˘a pentru orice n N avem C p = C p /U p .

·

∈

∞

n

·

∞

∈

∞

∼

∞

n

35. (i) S˘a se arate c˘a grupurile (Q, +) ¸si (C p , ) sunt divizibile. (ii) S˘a se arate c˘ a un grup divizibil netrivial (adic˘a cu mai mult de un element) ∞

21

·

este infinit. (iii) S˘a se arate c˘a un grup factor al unui grup divizibil este divizibil. Este orice subgrup al unui grup divizibil tot un grup divizibil? (iv) S˘a se dea un exemplu de grup divizibil neabelian. (v) S˘a se arate c˘ a un grup divizibil nu are subgrupuri proprii de indice finit. (vi) S˘a se arate c˘a un grup divizibil nu se poate scrie ca reuniune finit˘a de subgrupuri proprii. 36. Fie G un grup finit. S˘a se determine Homgr (Q, G). 37. (i) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a G este un grup finit generat ¸si X este un subgrup propriu al lui G, atunci exist˘a un subgrup maximal H al lui G astfel ˆıncât X H . În particular, un grup netrivial finit generat are un subgrup maximal. (ii) S˘a se arate c˘ a un grup abelian divizibil nu are subgrupuri maximale. În particular, grupul (Q, +) nu are subgrupuri maximale.

⊆

38. Fie G un grup finit. S˘a se arate c˘ a G are un unic subgrup maximal dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a un num˘ar prim p ¸si n N, n 2, astfel ˆıncˆ at G Z p .

≃

∈

n

39. Fie G un grup. Pentru g

∈ G definim ϕ

g

gxg −1 , pentru orice x ∈ G. S˘a se arate c˘a:

≥

: G

→ G prin ϕ (x) = g

(i) ϕg este un automorfism al lui G; (ii) Inn(G) = ϕg g G este un subgrup normal al lui Aut(G), numit grupul automorfismelor interioare ale lui G; (iii) Inn(G) G/Z (G).

{ | ∈ } ≃

40. Fie G un grup. S˘a se arate c˘ a dac˘ a G/Z (G) este grup ciclic, atunci G este grup abelian. 41. S˘a se arate c˘a exist˘a un grup care nu este izomorf cu Aut(G) pentru niciun grup G. 42. S˘a se arate c˘a: (i) Aut(Z) este izomorf cu (Z2 , +); (ii) Aut(Q) este izomorf cu (Q∗ , ); (iii) Aut(Zn ) este izomorf cu (U (Zn), ); (iv) Aut(Z2 Z2 ) este izomorf cu grupul de permut˘ ari S 3 .

·

×

·

22

43. S˘a se arate c˘ a Aut(S Aut(S 3 ) este izomorf cu S cu S 3 ¸si si Au Aut( t(D D4 ) este izomorf cu D4 . 44. S˘a se arate c˘a: a: (i) Grupurile Z ¸si si Z Z nu sunt izomorfe; (ii) Grupurile Grupurile Q ¸si si Q Q nu sunt izomorfe; (iii) Grupurile R Grupurile R ¸si si R R sunt izomorfe.

× × ×

45. 45. Conside Consider˘ r˘ am grupurile multiplicative S 1 = z am U ∞ = z C∗ exist˘a n N∗ cu z cu z n = 1 . S˘a se arate c˘a: a: 1 (i) R/Z este izomorf cu S ; (ii) Q/Z este izomorf cu U ∞ ; (iii) R/Q este izomorf cu R; (iv) S 1 /U ∞ este izomorf cu R.

{ ∈ ∈ |

∈

{ ∈ C∗ | |z | = 1} ¸sisi

}

46. S˘a se dea un exemplu de dou˘ a grupuri neizomorfe, dar fiecare izomorf cu un grup factor al celuilalt. 47. S˘a se arate c˘a grupurile (C (C∗ , ), (S 1 , ) ¸si (C/Z, +) sunt izomorfe.

·

·

48. 48. S˘ a se dea un exemplu de grup G care are dou˘ a subgrupuri H ¸si si K astfel ˆıncˆıt ıt K K e este ste subgrup subgr up normal norma l ˆın ın H ¸si si H este es te subgrup subgr up normal norma l ˆın G ın G,, dar K nu K nu este subgrup subgr up normal norma l ˆın ın G. 49. Fie G un grup gr up ¸si si H , K dou˘ a subgrupuri. S˘ a se arate c˘a: a: (i) Dac˘a H  G, atunci H K = K H ¸si si H K este e ste subgru sub grup p ˆın G; (ii) Dac˘a H  G, [G : H ] < , K < ¸si ([G : H ], K ) = 1, atunci K H ; H ; (iii) Dac˘a H  G, H < , [G : K ] < ¸si ([G : K ], H ) = 1, atunci H K K ..

⊆ ⊆ ⊆ ⊆

∞ | | ∞ | | ∞ ∞

| | | |

50. S˘a se dea un exemplu de dou˘a grupuri g rupuri G G 1 , G 2 ¸si si de dou˘ do u˘a subgrupuri H 1 , H 2 nor norma male le ˆın G1 , respectiv G2 ast a stfe fell ˆıncˆ ın cât: at: (i) G (i) G 1 este izomorf cu G cu G 2 , H 1 este izomorf cu H cu H 2 , dar G dar G 1 /H 1 nu este izomorf cu G2/H 2 ; (ii) G1 este izomorf cu G2 , G1 /H 1 este izomorf cu G2 /H 2 , dar H 1 nu este izomorf cu H cu H 2 . (iii) H 1 este izomorf cu H 2 , G1 /H 1 este izomorf cu G2 /H 2 , dar G1 nu este izomorf cu G cu G 2 . 23

51. S˘a se dea exemplu exemp lu de dou˘a grupuri grupu ri neizomorfe neizo morfe astfel astfe l ˆıncˆ ıncât at fiecare fieca re s˘ a fie izomorf cu un subgrup al celuilalt. 52. Fie G un grup finit, α Aut(G Aut(G) ¸si I = x G α( α (x) = x −1 . S˘a se arat ar atee c˘a: a: (i) Dac˘a I > (3 > (3//4) G , atunci G este grup abelian; (ii) Dac˘a I = (3/ (3/4) G , atunci G are un subgrup de indice 2; (iii) S˘a se dea un exemplu de grup neabelian G pentru care I = (3/ (3/4) G .

∈

| | | |

{ ∈ |

| | | |

}

| |

| |

53. Fie X, Fie X, Y Y dou˘a mult¸imi. ¸imi. S˘a se arate c˘a dac˘ a grupurile grupurile simetrice simetrice S S (X ) ¸si si S (Y ) Y ) sunt izomorfe, atunci X ¸si Y si Y sunt echipotente. 54. Fie n > 1 ¸si H = σ S n σ( σ (n) = n . S˘a se arate c˘a: a: (i) H este este subgrup al lui S n cu (n 1)! elemente; (ii) H e H este ste subgrup subgr up normal norm al ˆın ın S n dac˘a ¸si si numai numa i dac˘ dac a˘ n = 2; (iii) H este este izomorf cu S n−1 ; (iv) Se pot alege [(n [(n 1)!]n sisteme sisteme de reprezentant reprezentant¸i pentru clasele la stˆ anga anga (dreapta) modulo H .

{ ∈ | −

}

−

55. S˘a se arate c˘ a Z ( Z (S n ) = e pentru orice n orice n orice n 4.

{}

≥

Z (A ) = {e} pentru ≥ 3 ¸si Z (

56. S˘a se arate c˘ a pentru orice grup finit G exist˘a n injectiv de grupuri f : G A n .

→

n

mor fism ∈ N∗ ¸sisi un morfism

57. Fie τ = (i1 . . . is ) un ciclu de lungime s din S n . S˘a se arate c˘ a τ k se descompune desco mpune ˆın produs pro dus de d = (k, s) cicli disjunct¸i ¸i de lungime s/d. s/d. 58. 58. Fie Fie σ S n ¸si si σ = π1 . . . πr descompunerea sa ˆın produs de cicli disjunct¸i. ¸i. S˘a se arate c˘a ord(σ ord(σ ) = [ord(π [ord(π1 ), . . . , ord(π ord(πr )].

∈

59. S˘a se arate c˘a An = σ2 σ

numa i dac˘ dac a˘ n ≤ 5. { | ∈ S } dac˘a ¸sisi numai n

60. 60. Fie Fie σ S n ¸si si p un num˘ar ar prim astfel ˆıncˆ at at p nu divide n. Dac˘ a ¸in un punct fix. σ p = e, e, atunci σ are cel put¸in

∈

61. S˘a se arate c˘a S n este generat de fiecare din urm˘ atoarele atoarele mult¸imi ¸imi de permut˘ari: ari: (i) (12), (12), (13), (13), . . . , (1n (1n); 24

(ii) (12), (12), (23), (23), . . . , (n (iii) (12), (12), (12 . . . n). n).

− 1, n);

62. S˘a se arate c˘ a num˘arul arul minim de transpozit¸ii ¸ii care genereaz˘ a grupul S n este n 1.

−

63. S˘a se arate c˘a An este generat de mult¸imea ¸imea ciclilor de lungime 3. 64. S˘a se arate c˘a pentru n

≥ 5 grupul A este simplu. n

65. Fie n Fie n N, n 3, n 3, n = 4. S˘a se arate c˘ a singurele singurele subgrupuri subgrupuri normale ale lui S lui S n sunt e , An ¸si si S n.

∈ ≥ ̸̸ { } 66. Fie K = {e, (12)(34), (12)(34), (13)(24), (13)(24), (14)(23)} ⊆ S . S˘a se arate c˘a: a: 4

(i) K este es te subgrup subgr up normal norma l ˆın S ın S 4 (d ( deci ¸si ˆın A4 ); (ii) S 4 /K este este izomorf cu S 3 ; (iii) A4 nu are subgrupuri de ordin 6; (iv) K este K este singurul subgrup normal propriu al lui A4 ; (v) Subgrupurile normale ale lui S 4 sunt e , K , A4 ¸si si S 4 .

{ }

67. Fie n N∗ . S˘a se determine dete rmine:: (i) Homgr (S n, Z); (ii) Homgr (S n , Q∗ ); (iii) Homgr (S n , Z6).

∈

68. S˘a se determine: (i) Homgr (S n, Z2 Z2 ); (ii) Homgr (S 3 , Z3 ); (iii) Homgr (Z3, S 3 ).

×

69. S˘a se determine morfismele de grupuri f : S 4

→ S . 3

70. Fie f : S n G un morfism de grupuri, unde G are proprietatea c˘ a 2 H = x G x = e este este subgrup. subgrup. Ar˘ atat atat¸i ¸i c˘a exis ex ist˘ t˘a a H cu f ( f (σ) = a pentru orice σ a ¸si f ( S n permutare impar˘ f (σ) = e pentru orice σ S n permutare par˘ a. a.

{ ∈ |

→

∈

}

∈

∈

71. 71. (i) (i) Dac˘ Daca˘ G este un subgrup al lui S n care nu este cont¸inu ¸inutt ˆın An, atunci G cont¸ine ¸ine un subgrup de indice 2. 25

(ii) Dac˘a G este un grup finit ¸si G = 4n + 2, atunci G cont¸ine un unic subgrup de indice 2.

| |

72. S˘a se determine centrul grupului diedral Dn , n

≥ 3.

73. (i) Fie R un inel comutativ ¸si unitar. S˘ a se determine centrul grupului GL(n, R). (ii) S˘a se arate c˘a oricare dou˘a dintre grupurile GL(2, Z), GL(2, Q), GL(2, R), respectiv GL(2, C) nu sunt izomorfe. 74. S˘a se arate c˘a grupurile GL(2, Z) ¸si GL(3, Z) nu sunt izomorfe. 75. Fie G un grup ¸si H un subgrup al s˘a u. S˘a se arate c˘a: (i) H G = xHx−1 este subgrup normal al lui G cont¸inut ˆın H ;

∩

x G

∈

(ii) Dac˘a N este un subgrup normal al lui G cont¸inut ˆın H , atunci N este cont¸inut ˆın H G; (iii) Dac˘a [G : H ] = n, s˘a se arate c˘ a exist˘a un morfism injectiv de grupuri f : G/H G S n. În particular, dac˘ a un grup are un subgrup de indice finit, atunci are un subgrup normal de indice finit.

→

76. Fie K corp, G = GL(n, K ) ¸si H subgrupul lui G format din matricele diagonale. Determinat¸i H G . 77. Fie G = GL(2, Z3 ) ¸si H =

�� a ˆ ˆb ˆ0 cˆ

aˆcˆ = ˆ0

̸

�

S˘a se arate c˘a H este subgrup al lui G, H = 12, Z (G) = 2 ¸si H G = Z (G).

| |

|

|

78. Fie G un grup simplu infinit. S˘ a se arate c˘ a G nu are subgrupuri proprii de indice finit. 79. Fie G un grup finit ¸si p cel mai mic divizor prim al lui G . (i) S˘a se arate c˘a orice subgrup de indice p este normal. (ii) S˘a se arate c˘ a orice subgrup normal cu p elemente este cont¸inut ˆın Z (G).

| |

80. S˘a se arate c˘ a un grup finit generat G are doar un num˘ a r finit de subgrupuri de indice n, unde n este un num˘ ar natural dat. Fie acestea 26

r

H 1 , . . . , Hr ¸si H =

∩

H i . S˘a se arate c˘ a pentru orice α

i=1

α(H ) = H .

∈ Aut(G) avem

81. Fie p un num˘ar prim ¸si G un grup finit cu p2 elemente. Ar˘atat¸i c˘a: (i) G este grup abelian; (ii) G este izomorf cu Z p sau cu Z p Z p .

×

2

82. Determinat¸i subgrupurile Sylow ale lui S 4 , respectiv A4 . 83. (i) Fie G un grup abelian finit. Atunci G este grup ciclic dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice p-subgrup Sylow al s˘au este ciclic. (ii) Ar˘atat¸i c˘a grupurile S 3 ¸si D n , pentru n > 2 impar, au toate subgrupurile Sylow ciclice. 84. Ar˘atat¸i c˘a S 5 nu cont¸ine un subgrup izomorf cu Z2

×Z ×Z . 2

2

85. Fie G un grup finit, p un divizor prim al lui G ¸si H un p-subgrup Sylow al lui G. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a n p = 1, atunci H este normal ˆın G; (ii) Dac˘a H = p, atunci num˘ arul elementelor de ordin p din G este n p ( p 1).

| |

| |

−

86. (i) Fie N ¸si H dou˘a grupuri ¸si ϕ : H Aut(N ) un morfism de grupuri. S˘a se arate c˘a G = N H este grup ˆın raport cu operat¸ia

→

×

(n1 , h1) (n2 , h2) = (n1ϕ(h1 )(n2 ), h1 h2 ).

∗

Acest grup se noteaz˘ a cu N ϕ H ¸si se nume¸ste produsul semidirect extern al lui N cu H . Dac˘a N ′ = (n, eH ) n N ¸si H ′ = (eN , h) h H , atunci N ′  G, H ′ G, G = N ′ H ′ ¸si N ′ H ′ = (eN , eH ) . (ii) Fie G un grup ¸si H, N subgrupuri ale lui G, N  G, cu proprietatea c˘ a G = N H ¸si N H = e . (Se spune c˘a G este produsul semidirect intern al lui N cu H .) S˘a se arate c˘ a G N ϕ H , unde ϕ : H Aut(N ) este dat˘ a prin ϕ(h)(n) = 1 − hnh .

≤

{

| ∈ } ∩ { ∩ { } ≃

{

}

| ∈ }

→

87. (i) Fie p ¸si q numere prime astfel ˆıncât p < q ¸si p nu divide pe q 1. S˘a se arate c˘a orice grup cu pq elemente este ciclic. (ii) Fie p ¸si q numere prime astfel ˆıncât p < q ¸si p divide pe q 1. S˘a se

−

−

27

arate c˘ a orice grup cu pq elemente este izomorf cu un produs semidirect al grupurilor Zq ¸si Z p . Deducet¸i c˘a exist˘ a exact dou˘ a tipuri de izomorfism de grupuri cu pq elemente. 88. Fie p, q,r trei numere prime distincte ¸si G un grup cu proprietatea c˘a G a G nu este grup simplu. pn ,pq,p2 q,pqr , unde n > 1. S˘a se arate c˘

| |∈{

}

89. (i) Fie G1 , . . . , Gn grupuri finite, G = G1 Gn produsul lor direct ¸si p un divizor prim al lui G . S˘a se arate c˘a un subgrup H al lui G este p-subgrup Sylow dac˘ a ¸si numai dac˘a H = H 1 H n, unde H i este p-subgrup Sylow al lui Gi sau H i = e , i = 1, . . . , n. (ii) Determinat¸i subgrupurile Sylow ale lui Z6 S 3 .

| | {}

× · · · × ×···×

×

90. Fie G un grup cu G = p 1 pn , unde p 1 , . . . , pn sunt numere prime distincte. Fie H 1, . . . , Hn subgrupuri Sylow corespunz˘ atoare acestor numere prime. S˘a se arate c˘ a dac˘ a orice subgrup H i este normal ˆın G, atunci G este grup abelian izomorf cu H 1 H n .

| |

···

×···×

28

Capitolul 4 Inele ¸ si corpuri • Prin inel vom ˆınt¸elege o mult¸ime R ˆınzestrat˘a cu dou˘a legi de compozit¸ie: adunarea ”+” ¸si ˆınmult¸irea ”·”, astfel ˆıncât (R, +) este grup abelian, iar

ˆınmult¸irea este asociativ˘ a ¸si distributiv˘a la stânga ¸si la dreapta fat¸a˘ de adunare. Dac˘ a, ˆın plus, exist˘a un element neutru pentru ˆınmult ¸ire (notat de obicei cu 1), atunci (R, +, ) se nume¸ste inel unitar . Dac˘a R ¸si S sunt inele, un morfism de inele f : R S este o funct¸ie pentru care f (a + b) = f (a) + f (b) ¸si f (ab) = f (a)f (b) pentru orice a, b R. Dac˘a R ¸si S sunt inele unitare ¸si morfismul de inele f : R S verific˘a ¸si f (1R ) = 1S (unde 1R ¸si 1S sunt elementele identitate la ˆınmult¸ire pentru R ¸si S ), atunci f se nume¸ste morfism unitar de inele. Dac˘ a R ¸si S sunt inele unitare, atunci, dac˘ a nu preciz˘ am altfel, prin morfism de inele de la R la S se ˆınt¸elege morfism unitar. Pentru orice submult¸ime nevid˘a A a unui inel R se noteaz˘ a C R (A) = r R ra = ar pentru orice a A ¸si se nume¸ste centralizatorul lui A ˆın R. În particular, C R (R), care se noteaz˘ a cu Z (R) (sau C (R)), se nume¸ste centrul lui R. Fie R un inel unitar. Un element x R se nume¸ste inversabil la stˆ anga (respectiv la dreapta ) dac˘a exist˘a y R astfel ˆıncˆ at yx = 1 (respectiv xy = 1). Elementul y se nume¸ste invers la stˆ anga (respectiv la dreapta ) al lui x. Dac˘ a x este inversabil la stânga ¸si la dreapta, atunci se nume¸ste element inversabil . Fie R un inel. Un element a R se nume¸ste divizor al lui zero la stˆ anga (respectiv la dreapta ) dac˘ a exist˘a b R, b = 0, astfel ˆıncˆ at ab = 0 (respectiv ba = 0). Dac˘a a este divizor al lui zero la stˆ anga ¸si la dreapta, atunci se nume¸ste divizor al lui zero. (De exemplu, 0 este divizor al lui zero.) Un

·

•

→

→

•

|

•

{ ∈

∈ }

•

∈ ∈

∈

∈

∈ ̸ 29

element care nu este divizor al lui zero nici la stânga ¸si nici la dreapta se nume¸ste nondivizor al lui zero sau element regulat . Un inel f˘ar˘a divizori ai lui zero la stânga ¸si la dreapta (diferit¸i de 0) se nume¸ste inel integru . (Echivalent, dac˘a ab = 0, atunci a = 0 sau b = 0.) Un inel integru comutativ (cu 0 = 1) se nume¸ste domeniu de integritate . Fie R un inel ¸si x R. x se nume¸ste nilpotent dac˘a exist˘a un n N astfel ˆıncât xn = 0. Cel mai mic n cu proprietatea c˘ a xn = 0 se nume¸ste indicele de nilpotent ¸˘ a al lui x. Elementul x se nume¸ste idempotent dac˘a x2 = x. Fie R un inel ¸si I R, I = . I se nume¸ste ideal stˆ ang (respectiv ideal drept ) al lui R dac˘a x y I pentru orice x, y I ¸si ax I (respectiv xa I ) pentru orice a R, x I . Dac˘a I este ¸si ideal stâng ¸si ideal drept, atunci se nume¸ste ideal bilateral . Dac˘a R este inel comutativ, atunci cele trei definit¸ii de mai sus coincid ¸si spunem c˘ a I este ideal . Dac˘a I este ideal bilateral ˆın inelul R, not˘am cu R/I inelul factor . Aplicat¸ia p : R R/I , p(a) = aˆ pentru orice a R, este morfism de inele ¸si se nume¸ste proiect ¸ia canonic˘ a . Inelele factor au urm˘ atoarea proprietate de universalitate : fie R, R′ dou˘a inele, I ideal bilateral al lui R ¸si f : R R′ morfism de inele cu proprietatea c˘a I Ker(f ). Atunci exist˘a ¸si este unic un morfism de inele f : R/I R ′ care satisface condit¸ia fp = f , unde p : R R/I este proiect¸ia canonic˘ a. (Teorema a III-a de izomorfism pentru inele ) Dac˘a R este un inel ¸si I J dou˘a ideale bilaterale ale sale, atunci exist˘a un izomorfism canonic R/I J/I R/J . Fie u : R S un morfism de inele comutative. Pentru orice ideal I al lui R vom nota cu I e idealul lui S generat de u(I ). I e se nume¸ste extensia lui I prin morfismul u. Pentru orice ideal J al lui S vom nota J c = u −1 (J ). J c se nume¸ste contract ¸ia lui J prin morfismul u. Fie R un inel comutativ ¸si P R un ideal. P se nume¸ste ideal prim dac˘a P = R ¸si ab P implic˘a a P sau b P , unde a, b R. Echivalent, R/P este domeniu de integritate. P se nume¸ste ideal maximal dac˘a P = R ¸si nu exist˘a un alt ideal propriu al lui R care s˘a cont¸in˘a strict pe P . Echivalent, R/P este corp. Pentru un inel R se vor folosi urm˘atoarele notat¸ii: U (R) = mult¸imea elementelor inversabile din R, D(R) = mult¸imea divizorilor lui zero din R, N (R) = mult¸imea elementelor nilpotente din R,

̸ •

∈

•

⊆ ̸ ∅ − ∈ ∈ ∈

∈

•

∈

∈

→

∈

•

→

⊆

→ ⊆

→

• •

∈

→

•

⊆

∈

̸ ̸

∈

•

30

∈

∈

≃

Idemp(R) = mult¸imea elementelor idempotente din R, Spec(R) = mult¸imea idealelor prime ale lui R, Max(R) = mult¸imea idealelor maximale ale lui R. Dac˘a I ¸si J sunt ideale ˆın inelul comutativ R, not˘am cu IJ mult¸imea elementelor lui R de forma x1 y1 + . . . + x n yn , cu n N∗ , x1 , . . . , xn I ¸si y1, . . . , yn J , iar cu I + J mult¸imea elementelor lui R de forma x + y, cu x I ¸si y J . Atunci I J (respectiv I + J ) este ideal al lui R ¸si se nume¸ste produsul (respectiv suma ) idealelor I ¸si J . Puterile I n ale idealului I se definesc recurent prin I 1 = I ¸si I n = I I n−1 pentru n 2. Fie R un inel comutativ unitar. R se nume¸ste inel noetherian dac˘a orice ¸sir cresc˘ator de ideale ale lui R este stat¸ionar, adic˘ a dac˘ a I 0 I 1 . . . In . . . sunt ideale ale lui R, atunci exist˘a n 0 N astfel ˆıncât I n = I n+1 pentru orice n n 0 .

•

∈

∈ ∈

∈

∈

≥

•

⊆ ⊆

∈

≥

⊆

1. S˘a se determine num˘ arul structurilor neizomorfe de inel care pot fi definite pe o mult¸ime cu p elemente, unde p este un num˘ar prim. 2. S˘a se determine num˘ arul structurilor de inel unitar ce pot fi definite pe (Zn , +) ¸si s˘a se arate c˘a acestea sunt izomorfe. 3. Fie R un inel cu grupul (R, +) ciclic. S˘ a se arate c˘a R este inel ˆ comutativ. In particular, orice inel cu p1 pn elemente, unde p1 , . . . , pn sunt numere prime distincte, este comutativ.

·· ·

4. S˘ a se arate c˘ a orice inel unitar cu p2 elemente este comutativ, unde p este un num˘ a r prim. S˘ a se arate c˘a exist˘a inele neunitare cu p2 elemente care nu sunt comutative. 5. Fie p un num˘a r prim. S˘ a se arate c˘ a exist˘a un inel unitar cu p3 elemente care nu este comutativ. 6. Fie R un inel. S˘ a se arate c˘a exist˘a un inel unitar S astfel ˆıncât R este izomorf cu un subinel al lui S . Mai mult, dac˘ a exist˘a n N∗ astfel ca nr = 0 pentru orice r R, atunci S poate fi ales astfel ca ns = 0 pentru orice s S .

∈

∈

∈

7. Fie R un inel. S˘a se arate c˘ a exist˘a un inel unitar S ¸si un morfism de inele φ : R S cu proprietatea c˘ a pentru orice inel unitar A ¸si orice morfism

→

31

de inele α : R A exist˘a un morfism unitar de inele α ¯ : S α ¯ φ = α. Mai mult, S este unic pân˘a la un izomorfism.

→ A astfel ˆıncât

→

8. (i) S˘a se determine ˆın inelul Zn elementele inversabile, elementele nilpotente, divizorii lui zero ¸si s˘ a se afle num˘ arul acestora. (ii) S˘a se dea exemplu de dou˘ a inele neizomorfe cu exact 36 de elemente nilpotente. 9. Se consider˘ a num˘arul natural n care are r factori primi distinct¸i ˆın descompunerea sa. S˘ a se arate c˘ a num˘arul idempotent¸ilor lui Z n este 2r . S˘a se determine idempotent¸ii inelului Z72 . 10. Fie R un inel unitar. Dac˘a exist˘a un element ˆın R care este inversabil la stânga ¸si nu este inversabil la dreapta, atunci acesta are o infinitate de inver¸si la stânga. În particular, dac˘ a un element din R are cel put¸in doi inver¸si la stânga, atunci el are o infinitate de inver¸si la stˆ anga. 11. S˘ a se arate c˘ a ˆıntr-un inel unitar finit orice element nenul este fie inversabil, fie divizor al lui zero la stânga sau la dreapta. În particular, orice inel integru finit este corp. 12. Fie R un inel unitar care are un num˘ ar finit, strict mai mare decˆ at 1, de divizori ai lui zero la stânga sau la dreapta. S˘a se arate c˘ a R este finit. Mai mult, dac˘a R = n, atunci U (R) n [ n].

| |

| ≤ − √

|

13. Fie R un inel unitar ¸si a, b R. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a 1 ba are un invers la stˆ anga (dreapta), atunci ¸si 1 ab are un invers la stânga (dreapta). (ii) 1 ba este inversabil dac˘a ¸si numai dac˘ a 1 ab este inversabil.

∈

−

−

−

−

14. Fie R un inel. Definim pe R legea de compozit¸ie ” ” astfel: a b = a + b ab, a, b R. S˘a se arate c˘a: (i) (R, ) este monoid. (ii) Dac˘a R este inel unitar, monoizii (R, ) ¸si (R, ) sunt izomorfi. (iii) Convenim s˘a numim element quasi-regulat la stˆ anga (dreapta) un element inversabil la stânga (dreapta) ˆın monoidul (R, ). S˘a se arate c˘a pentru orice a, b R, ab este quasi-regulat la stânga (dreapta) dac˘ a ¸si numai dac˘ a ba este quasi-regulat la stânga (dreapta). (iv) Orice element nilpotent din R este quasi-regulat la stânga ¸si la dreapta.

− ◦

◦

∈

◦

·

◦

∈

32

◦

15. Fie R un inel unitar. S˘a se demonstreze echivalent ¸a urm˘ atoarelor afirmat¸ii: (i) R este corp; (ii) Pentru orice a R 1 exist˘a b R astfel ˆıncât a + b = ab; (iii) Pentru orice a R 1 exist˘a b R astfel ˆıncât a + b = ba.

∈ \{ } ∈ \{ }

∈ ∈

16. Fie R un inel unitar ¸si u, v R. S˘a se arate c˘ a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) u este inversabil ¸si v = u −1; (ii) uvu = u ¸si vu2 v = 1; (iii) uvu = u ¸si v este unic cu aceast˘ a proprietate.

∈

17. S˘a se determine endomorfismele unitare ale inelelor Z, Q, R. 18. (i) Fie R un inel. S˘ a se arate c˘ a exist˘a o corespondent¸a˘ bijectiv˘a ˆıntre mult¸imea morfismelor de inele (nu neap˘arat unitare, chiar dac˘ a R este unitar) f : Z R ¸si mult¸imea Idemp(R). (ii) S˘a se arate c˘a exist˘a o corespondent ¸˘ a bijectiv˘a ˆıntre mult¸imea morfismelor de inele f : Zm Zn ¸si Idemp(Zn ) a ˆ Zn mâ = 0 . S˘a se determine num˘arul de elemente al acestei mult¸imi.

→ →

∩ { ∈ |

}

19. Fie R, S inele unitare ¸si f : R S un morfism de inele unitare. (i) S˘a se arate c˘ a f este injectiv dac˘a ¸si numai dac˘a f este monomorfism de inele unitare, adic˘ a pentru orice inel unitar A ¸si pentru orice morfisme unitare de inele u, v : A R astfel ˆıncât fu = f v, rezult˘a c˘a u = v. (ii) S˘a se arate c˘ a dac˘ a f este surjectiv, atunci f este epimorfism de inele unitare, adic˘ a pentru orice inel unitar A ¸si pentru orice morfisme unitare de inele u, v : S A astfel ˆıncât uf = vf , rezult˘a c˘a u = v. S˘a se dea exemplu de epimorfism de inele unitare care nu este surjectiv.

→

−→

−→

20. Fie R un inel comutativ unitar. S˘ a se arate c˘a: (i) Idemp(R) are o structur˘ a de grup ˆın raport cu legea de compozit ¸ie ” ” definit˘a prin: e f = e + f 2ef pentru orice e, f Idemp(R). (ii) Dac˘a R are un num˘ ar finit de idempotent¸i, atunci exist˘a n N∗ astfel ˆıncât Idemp(R) = 2n .

∗

∗ − ∈ ∈ | | 21. Fie C = {f | f : [0, 1] → R, f funct¸ie continu˘ a} cu structura de inel unitar dat˘ a de adunarea ¸si ˆınmult¸irea funct¸iilor. Dac˘a t ∈ [0, 1] not˘am cu φ : C → R aplicat¸ia dat˘ a de φ (f ) = f (t). S˘a se arate c˘a: t

t

33

(i) φt este morfism de inele. (ii) Orice morfism de inele φ : C

→ R este de forma φ pentru un t ∈ [0, 1]. t

22. Fie u : R S un morfism de inele comutative. (i) Ar˘atat¸i c˘a dac˘ a J este ideal al lui S , atunci u−1 (J ) este ideal al lui R. (ii) Ar˘atat¸i c˘a dac˘ a I este ideal al lui R, atunci u(I ) nu este neap˘ arat ideal al lui S . n (iii) Ar˘atat¸i c˘a I e = u(xi ) n N, i S, xi I .

→

{

∑

∈ } (iv) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice ideal I al lui R avem I ⊂ (I ) ; dat¸i exemple de situat¸ii când aceast˘ a incluziune este strict˘ a. (v) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice ideal J al lui S avem (J ) ⊂ J ; dat¸i exemple de i=1

| ∈

∈

e c

c e

situat¸ii când aceast˘ a incluziune este strict˘ a. (vi) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice ideal I al lui R avem ((I e )c )e = I e . (vii) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice ideal J al lui S avem ((J c )e )c = J c .

23. Fie R un inel comutativ ¸si I, J ideale ale lui R. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a se consider˘ a I e , extinsul lui I via proiect¸ia canonic˘ a π : R R/J , e atunci I = I R, unde I = π(I ) ¸si R = R/J . (ii) I e = (I + J )/J . (iii) R/I R R/(I + J ).

→

≃

24. (i) Ar˘atat¸ i c˘a un inel R este noetherian dac˘ a ¸si numai dac˘a orice ideal al s˘au este finit generat. (ii) (Cohen ) Ar˘atat¸i c˘a R este noetherian dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice ideal prim al s˘au este finit generat. (iii) Ar˘atat¸i c˘a orice inel factor al unui inel noetherian este noetherian. 25. S˘a se determine idealele, idealele prime ¸si idealele maximale din Zn ¸si num˘arul lor, unde n N, n 2.

∈

≥

26. (i) Fie R1 , . . . , Rn inele unitare ¸si R = R 1 Rn. S˘a se arate c˘ a idealele lui R sunt de forma I = I 1 I n , unde I 1 , . . . , In sunt ideale ˆın R1 , . . . , Rn , respectiv. (ii) Cu notat¸iile de la punctul (i) s˘ a se arate c˘ a inelele R/I ¸si R1 /I 1 Rn /I n sunt izomorfe. (iii) S˘a se arate c˘a rezultatul de la (i) nu mai r˘ amâne adev˘ arat cˆ and avem un produs infinit de inele.

×···×

×···×

×···×

34

27. Fie R un inel comutativ. Un ideal I al lui R se nume¸ste ideal nilpotent dac˘a exist˘a n N∗ astfel ˆıncât I n = 0. S˘a se arate c˘a: (i) Suma a dou˘a ideale nilpotente este un ideal nilpotent. (ii) Dac˘a I este un ideal finit generat, atunci I este nilpotent dac˘a ¸si numai dac˘a orice element al s˘au este nilpotent. Dac˘a I nu este finit generat mai r˘ amâne adev˘ arat˘ a afirmat¸ia?

∈

28. Fie R un inel comutativ ¸si unitar ¸si I 1 , . . . , In ideale ˆın R. Consider˘am morfismul de inele φ : R R/I 1 R/I n definit astfel: φ(x) = (x (mod I 1 ), . . . , x (mod I n )). S˘a se arate c˘a: (i) Ker(φ) = I 1 . . . I n. (ii) φ este surjectiv dac˘ a ¸si numai dac˘a idealele I 1 , . . . , In sunt oricare dou˘ a comaximale (adic˘a I j + I k = R pentru orice j = k). (iii) (Lema chinez˘ a a resturilor ) Dac˘a idealele date sunt oricare dou˘ a comaximale, atunci φ induce un izomorfism ˆıntre inelele R/I 1 . . . I n ¸si R/I 1 R/I n .

→

× ··· ×

∩ ∩

̸

∩ ∩

···×

×

29. Fie R un inel comutativ ¸si unitar. S˘ a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) R are un singur ideal maximal; (ii) R U (R) este ideal ˆın R; (iii) Dac˘a a, b R ¸si a + b U (R) atunci a U (R) sau b U (R). Un inel care verific˘a una dintre condit¸iile echivalente de mai sus se nume¸ste inel local .

\

∈

∈

∈

∈

30. S˘a se arate c˘a un inel local are doar idempotent¸ii 0 ¸si 1. 31. S˘a se arate c˘a inelul Zn este local dac˘ a ¸si numai dac˘ a n este putere a unui num˘ar prim. 32. Fie R un inel unitar. (i) Dac˘a a, b R ¸si ab U (R), rezult˘ a c˘a a, b U (R)? n (ii) Dac˘a a R ¸si a U (R), s˘a se arate c˘a a U (R). (iii) Dac˘a a este inversabil la stânga ¸si nu este divizor al lui zero la dreapta, atunci a U (R).

∈ ∈

∈ ∈

∈ ∈

∈

33. S˘a se dea un exemplu de inel R ¸si x Rx = xR.

∈ R astfel ˆıncât Rx ⊆ xR dar

̸

35

34. Fie R un inel. Un element e R se nume¸ste element identitate la stˆ anga (respectiv la dreapta ) dac˘ a er = r (respectiv re = r) pentru orice r R. (i) S˘a se arate c˘ a un element identitate la stânga nu este neap˘ arat ¸si element identitate la dreapta. (ii) Dac˘a e R este unicul element identitate la stˆ anga, atunci e este ¸si element identitate la dreapta.

∈

∈

∈

35. Fie R un inel ¸si A o submult¸ime nevid˘a a lui R. S˘a se arate c˘a: (i) C R (A) este subinel al lui R. În particular, Z (R) este subinel. (ii) C R (C R (C R (A))) = C R (A). 36. Fie R un inel unitar care nu are alte ideale bilaterale ˆın afar˘ a de (0) ¸si R. S˘a se arate c˘ a centrul lui R este corp. În particular, un inel comutativ unitar care nu are alte ideale ˆın afar˘ a de (0) ¸si R este corp. 37. Fie D un corp. Se nume¸ste comutator aditiv ˆın D un element de forma xa ax cu x, a D. S˘a se arate c˘ a dac˘a un element y D comut˘ a cu tot¸i comutatorii aditivi ai lui D, atunci y Z (D).

−

∈

∈

∈

38. Fie D un corp. Pentru orice a D fie aplicat¸ia δ a : D D definit˘a prin δ a (x) = ax xa. S˘a se arate c˘a: (i) δ a (x + y) = δ a (x) + δ a (y) ¸si δ a (xy) = xδ a (y) + δ a (x)y pentru orice a, x, y D. (ii) Dac˘a D are caracteristica diferit˘ a de 2 ¸si K este un subcorp al lui D pentru care δ a (K ) K pentru orice a D, atunci K Z (D).

∈

−

→

∈

⊆

∈

⊆

39. Fie D un corp. Se nume¸ste comutator multiplicativ ˆın D un element de forma a−1 bab−1 , cu a, b D 0 . S˘a se arate c˘a dac˘ a un element c D comut˘ a cu tot¸i comutatorii multiplicativi din D, atunci c Z (D).

∈ \{ }

∈

40. Fie D un corp ¸si K un subcorp al lui D pentru care xKx−1 oricare ar fi x D. Atunci K Z (D).

∈

⊆

∈

⊆ K

41. Fie R un inel unitar ¸si I un ideal bilateral cu proprietatea c˘ a I N (R). Atunci orice idempotent din R/I se ridic˘a la un idempotent ˆın R (adic˘a pentru orice f R/I cu f 2 = f , exist˘a e R cu e2 = e astfel ˆıncât f = eˆ).

⊆

∈

∈

36

42. Fie R un inel comutativ ¸si unitar, P un ideal prim al s˘au ¸si I idealul generat de elementele idempotente din P . S˘a se arate c˘a R/I nu are idempotent¸i netriviali (adic˘a diferit¸i de 0 ¸si 1). 43. Fie R un inel unitar. R se nume¸ste inel Boole dac˘a x2 = x pentru orice x R. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a R este inel Boole, atunci R este comutativ ¸si 2x = 0 pentru orice x R. (ii) Spec(R) = Max(R). (iii) Dac˘a X este o mult¸ime, atunci ( (X ), ∆, ) este inel Boole. (iv) Dac˘a R este inel Boole finit, atunci exist˘a o mult¸ime finit˘a X cu proprietatea c˘ a R este izomorf cu ( (X ), ∆, ). În particular, un inel Boole finit are 2r elemente, r N. (v) Pe orice mult¸ime infinit˘a X se poate defini o structur˘ a de inel Boole.

∈

∈

P

∈

P ∩

∩

44. Fie R un inel comutativ ¸si unitar. (i) S˘a se arate c˘ a N (R) coincide cu intersect¸ia idealelor prime ale lui R. În particular, N (R) este ideal. (ii) Dac˘a x N (R) ¸si u U (R), atunci x + u U (R). (iii) Dac˘a J (R) este radicalul Jacobson al lui R, definit ca fiind intersect¸ia idealelor maximale ale lui R, atunci

∈

∈

∈

J (R) = x R 1

{ ∈ | − ax ∈ U (R) pentru orice a ∈ R}. (iv) S˘a se dea exemple de inele R pentru care N (R)̸ = J (R) ¸si de inele R pentru care N (R) = J (R).

45. Fie R1 , . . . , Rn inele comutative unitare ¸si R = R 1 Rn. Atunci: (i) P este ideal prim al lui R dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘ a 1 i n ¸si P i ideal prim al lui Ri astfel ˆıncât P = R 1 Ri−1 P i Ri+1 Rn . (ii) M este ideal maximal al lui R dac˘a ¸si numai dac˘ a exist˘a 1 i n ¸si M i ideal maximal al lui Ri astfel ˆıncˆ at M = R 1 Ri−1 M i Ri+1 Rn . (iii) N (R) = N (R1 ) N (Rn ) ¸si J (R) = J (R1 ) J (Rn ).

×···× 46. Dac˘a R = Z × Q × Z

×···× ≤ ≤ ×···× × × ×···× ≤ ≤ ×···× × × ×···× ×···×

s˘a se determine idealele lui R, inelele factor ale lui R, Spec(R), Max(R), N (R), J (R) ¸si Idemp(R). 20

19 ,

47. Fie R un inel comutativ unitar ¸si I un ideal al s˘au. Definim Rad(I ) = a R exist˘a n

{ ∈ |

37

n

∈ N astfel ˆıncât a ∈ I }.

S˘a se arate c˘a: (i) Rad(I ) este ideal al lui R ¸si I Rad(I ). (ii) N (R/I ) = Rad(I )/I . (iii) Rad(I ) = P , unde V (I ) = P P este ideal prim ¸si I P .

⊆

∩

{ | ⊆ } (iv) Rad(I ) = Rad(Rad(I )) ¸si Rad(I ) ⊆ Rad(J ) dac˘ a ¸si numai dac˘ a V (J ) ⊆ V (I ). (v) Rad(IJ ) = Rad(I ∩ J ) = Rad(I ) ∩ Rad(J ) ¸si Rad(I +J ) = Rad(Rad(I ) + P V (I )

∈

Rad(J )).

48. Dac˘a R este un inel comutativ unitar integru infinit cu U (R) < s˘a se arate c˘a R are o infinitate de ideale maximale.

|

| ∞,

49. Fie R = dZ/nZ inel comutativ neunitar cu n = dm, m fiind un num˘ar natural nenul care nu este prim. S˘a se arate c˘ a: (i) Idealele lui R sunt de forma kdZ/nZ, unde k m. (ii) Idealele prime ale lui R sunt de forma pdZ/nZ, unde p este un num˘ ar prim, p m ¸si p nu divide pe d. (iii) Idealele maximale ale lui R sunt de forma pdZ/nZ, unde p este un num˘ ar prim ¸si p m. Deci Spec(R) Max(R) ¸si Spec(R) = Max(R).

|

|

|

⊂

̸

50. Fie R = nZ inel comutativ neunitar. S˘a se arate c˘a: (i) Idealele lui R sunt de forma knZ, k Z. (ii) Idealele prime nenule ale lui R sunt de forma pnZ, unde p este num˘ ar prim astfel ˆıncˆ at p nu divide pe n. (iii) Idealele maximale ale lui R sunt de forma pnZ, unde p este un num˘ ar prim. Deci Spec(R) 0 Max(R) ¸si Spec(R) 0 = Max(R).

∈

\{ }⊂

\{ }̸

51. S˘a se dea exemplu de inel (neunitar) care nu are ideale maximale. 52. Fie A 1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bn inele comutative unitare care nu au idempotent¸i netriviali (adic˘a diferit¸i de 0 ¸si 1). Atunci A1 Am B 1 Bn dac˘a ¸si numai dac˘a m = n ¸si exist˘a σ S n astfel ˆıncât Ai Bσ(i) pentru orice 1 i n.

≤ ≤

∈

×···× ≃ ×···× ≃

53. Fie k K, k = K dou˘a corpuri. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a [K ∗ : k ∗ ] < atunci k < .

⊂ ̸ | | ∞

38

∞,

54. S˘ a se arate c˘ a un corp K nu se poate scrie ca reuniune finit˘ a de subcorpuri proprii. 55. Fie K un corp finit de caracteristic˘ a 3. Ar˘atat¸i c˘a exist˘a x, y 2 2 2 cu proprietatea c˘ a x + y = a pentru orice a K .

̸

∈

39

∈ K

Capitolul 5 Construct ¸ii de inele: inele de matrice, inele de polinoame, inele de serii formale ¸ si inele de fract ¸ii În acest capitol prin inel vom ˆınt¸elege inel unitar, iar prin morfism de inele morfism unitar. (Uneori vom preciza acest lucru ¸si ˆın mod explicit.) În problemele ˆın care se va lucra cu inele neunitare acest lucru va fi ment ¸ionat explicit. Prin R[X 1 , . . . , Xn ], n N∗ , vom nota inelul polinoamelor ˆın nedeterminatele X 1 , . . . , Xn cu coeficient¸i ˆıntr-un inel R. Pentru n = 1 not˘am R[X ]. Putem considera c˘ a R[X 1 , . . . , Xn ] R[X 1 , . . . , Xn+1 ] pentru orice n N∗ ¸si definim R[X 1 , . . . , Xn , . . . ] = R[X 1 , . . . , Xn ] inelul de polinoame ˆıntr-o

•

∈

∪ ⊂

∈

n 1

≥

infinitate num˘ arabil˘ a de nedeterminate peste R. Inelele de polinoame au urm˘ atoarea proprietate de universalitate : pentru orice morfism de inele f : R S ¸si pentru orice s1 , . . . , sn S , exist˘a ¸si este unic un morfism f : R[X 1 , . . . , Xn ] S astfel ˆıncât f ϵ = f (unde ϵ : R R[X 1 , . . . , Xn ], ϵ(a) = a pentru orice a R, este morfismul canonic) ¸si f (X i ) = s i pentru orice i = 1, . . . , n. Dac˘a f am R[X 1 , . . . , Xn ] ¸si 1 i n fixat, atunci prin degX (f ) not˘ gradul lui f considerat ca polinom ˆın nedeterminata X i cu coeficient¸i ˆın inelul format cu celelalte nedeterminate. Dac˘a I este ideal (stâng, drept, bilateral) al lui R, atunci prin I [X 1, . . . , Xn ]

→

→

→

∈

≤ ≤

40

∈

∈

i

not˘am mult¸imea polinoamelor din R[X 1 , . . . , Xn ] cu tot¸i coeficient¸ii ˆın I . Se observ˘ a c˘a I [X 1 , . . . , Xn ] este ideal (stˆ ang, drept, bilateral) al inelului R[X 1 , . . . , Xn ]. ˜ funct Pentru un polinom f R[X 1 , . . . , Xn ] vom nota cu f ¸ia polinomial˘ a n n ˜ = f (x) pentru orice x R . ata¸sat˘a lui f . Deci f ˜ : R R astfel ˆıncˆ at f (x) Teorema lui Hilbert a bazei . Dac˘a R este inel noetherian, atunci inelul de polinoame R[X 1 , . . . , Xn ] este noetherian. Un polinom f R[X 1 , . . . , Xn ] se nume¸ste simetric dac˘a pentru orice permutare σ S n avem f (X σ(1) , . . . , Xσ(n) ) = f (X 1 , . . . , Xn ). Polinoamele simetrice fundamentale din R[X 1 , . . . , Xn ] se noteaz˘ a cu s1, . . . , sn ¸si sunt date de formulele

∈

• •

→

∈

∈

∈

s1

� �

=

X i

1 i n

≤≤

s2

=

X i X j

1 i
≤ ≤

. . . . . . . . .. . .. . . sn = X 1 X 2 . . . Xn

• Prin M (R), n ∈ N∗, not˘am inelul matricelor p˘atratice de ordin n cu n

coeficient¸i ˆıntr-un inel R. Dac˘a I este un ideal (stâng, drept, bilateral) al lui R, atunci se noteaz˘ a cu M n (I ) mult¸imea matricelor cu toate elementele ˆın I . Se observ˘ a c˘a M n (I ) este ideal (stˆ ang, drept, bilateral) al lui M n (R). Pentru 1 i, j n fixat¸i se noteaz˘ a cu E ij (sau eij ) matricea care are 1 pe pozit¸ia (i, j) ¸si 0 ˆın rest. Fie R un inel comutativ ¸si unitar. Prin R[[X ]] vom nota inelul de serii formale ˆın nedeterminata X cu coeficient¸i ˆın R. Dac˘a f = a0 + a1 X + . . . este o serie formal˘ a nenul˘a, atunci ordinul lui f se noteaz˘ a cu ord(f ) ¸si este cel mai mic n cu proprietatea c˘ a an = 0. Dac˘a I este ideal al lui R, atunci prin I [[X ]] not˘am mult¸imea seriilor formale din R[[X ] ] cu tot¸i coeficient¸ii ˆın I . Se observ˘ a c˘a I [[X ] ] este ideal al lui R[[X ]]. Fie R un inel comutativ ¸si unitar iar S R un sistem multiplicativ (adic˘a 1 S ¸si pentru orice s, t S avem st S ) . Inelul de fract¸ii al lui R cu numitori ˆın S se noteaz˘ a cu S −1R = a/s a R, s S . Reamintim c˘ a pentru a, b R ¸si s, t S avem a/s = b/t dac˘a ¸si numai dac˘ a exist˘a u S astfel ˆıncât u(at bs) = 0. Inelele de fract¸ii au urm˘atoarea proprietate de universalitate : pentru orice

≤ ≤

•

̸

•

∈

∈

∈

−

∈

⊂ ∈ { | ∈

41

∈ }

∈

morfism de inele comutative f : R R′ ¸si pentru orice sistem multiplicativ S R cu proprietatea c˘ a f (S ) U (R′ ) exist˘a ¸si este unic un morfism f : S −1 R R ′ astfel ˆıncât fφ = f , unde φ : R S −1 R, φ(a) = a/1 pentru orice a R, este morfismul canonic. Dac˘a R este un domeniu de integritate ¸si S = R 0 , atunci inelul de fract¸ii S −1 R este corp, se noteaz˘ a cu Q(R) ¸si se nume¸ste corpul de fract ¸ii al lui R. 1 − Dac˘a I este ideal al lui R, atunci se noteaz˘a cu S I mult¸imea fract¸iilor cu num˘ar˘atorii ˆın I . Se observ˘a c˘a S −1 I este ideal al lui S −1 R. Simbolul lui Kronecker δ ij este egal cu 0 dac˘a i = j ¸si cu 1 dac˘ a i = j .

→ ⊂

⊂ → ∈

→ \{ }

•

̸

1. Fie R un inel. S˘a se arate c˘a inelul de matrice M n (R) este comutativ dac˘a ¸si numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a una din urm˘atoarele dou˘ a condit¸ii: (i) n = 1 ¸si R este comutativ; (ii) ab = 0 pentru orice a, b R.

∈

2. Fie p > 0 un num˘ar prim. (i) S˘a se determine matricele idempotente din M 2 (Z p ) ¸si num˘arul acestora. (ii) Dac˘a A, B a Aq = I 2 ¸si M 2 (Z p ) ¸si A este inversabil˘a , s˘a se arate c˘ B q+2 = B 2 , unde q = ( p2 1)( p2 p).

∈

−

−

3. Fie K un corp comutativ ¸si A inversabil˘ a sau divizor al lui zero.

∈ M (K ). n

S˘a se arate c˘ a A este

4. Fie R un inel. S˘ a se arate c˘a Z (M n (R)) = aI n Z (M n (R)) R.

{

≃

| a ∈ R} ¸si c˘a

5. Fie K ¸si L corpuri comutative. S˘a se arate c˘a M m (K ) ¸si numai dac˘ a K L ¸si m = n.

≃

≃ M (L) dac˘a n

6. Fie R un inel ¸si n N∗ . S˘a se arate c˘ a idealele bilaterale ale lui M n (R) sunt de forma M n (I ), unde I este ideal bilateral al lui R, ¸si pentru orice astfel de ideal avem M n(R)/M n (I ) M n (R/I ). Este adev˘ arat c˘ a orice ideal stˆ ang al lui M n (R) este de forma M n(J ) , cu J ideal stâng ˆın R?

∈

≃

7. Fie K un corp ¸si n > 1. S˘a se arate c˘a nu exist˘a morfisme de inele f : M n(K ) K .

→

42

��

�

�

u v u, v C . v u (i) S˘a se arate c˘ a H este un corp necomutativ cu adunarea ¸si ˆınmult ¸irea matricelor, numit corpul cuaternionilor . (ii) S˘a se arate c˘ a C este izomorf cu un subcorp al lui H. i 0 0 1 0 i (iii) Fie elementele i = , j = , k = din 0 1 0 i i 0 H. S˘a se arate c˘a orice element x H se scrie ˆın mod unic sub forma x = a 0I 2 +a1i+a2 j+a3 k cu a0, a1 , a2 , a3 R. Notând x = a 0 I 2 a1 i a2 j a3 k, N (x) = xx ¸si T (x) = x + x, s˘a se arate c˘ a x2 T (x)x + N (x) = 0 ¸si c˘ a N (xy) = N (yx) pentru orice x, y H. (iv) S˘a se determine Z (H). (v) S˘a se arate c˘a ecuat¸ia x2 = 1 are o infinitate de solut¸ii ˆın H. 8. Fie H =

−

�

∈

� �

−

∈ ∈

�

−

� �

− − −

−

∈ −

9. Fie S un inel ¸si n N∗ . S˘a se arate c˘ a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (a) Exist˘a un inel R astfel ˆıncât S M n (R). (b) Exist˘a o familie (eij )1≤i,j ≤n de elemente din S cu proprietatea c˘ a eii =

∈

≃

∑

1 i n

1 ¸si eij ekl = δ jk eil pentru orice 1 Kronecker).

≤ i, j, k,l ≤ n (unde δ

jk este

≤≤

simbolul lui

10. Fie S un inel unitar cu proprietatea c˘ a S M n (R) pentru un n N∗ ¸si un inel R. Fie A un inel factor al lui S ¸si B un inel pentru care S este subinel ˆın B. S˘a se arate c˘a A ¸si B sunt ¸si ele izomorfe cu inele de matrice n n peste anumite inele.

≃

∈

×

11. Fie k

∈ Z ¸si R

k

=

��

a b kb a

�

a, b

∈Z

�

. S˘a se arate c˘a:

(i) Rk este inel comutativ. (ii) Rk Z[X ]/(X 2 k). (iii) Rk R l dac˘a ¸si numai dac˘ a l = k.

≃ ≃

−

12. Fie R un inel. S˘a se arate c˘ a M n (R[X ])

≃ M (R)[X ]. n

13. Fie R un inel comutativ ¸si a1 , . . . , an

∈ R. S˘a se arate c˘a R[X , . . . , X ]/(X − a , . . . , X − a ) ≃ R. 1

n

1

1

43

n

n

14. Fie R un inel comutativ ¸si I un ideal al lui R. Ar˘atat¸i c˘a: (i) I [X 1 , . . . , Xn ] este ideal al lui R[X 1 , . . . , Xn ] ¸si coincide cu extinsul lui I via inject¸ia canonic˘ a ϵ : R R[X 1, . . . , Xn ]. (ii) R[X 1 , . . . , Xn ]/I [X 1 , . . . , Xn ] (R/I )[X 1 , . . . , Xn ]. (iii) I este ideal prim ˆın R dac˘a ¸si numai dac˘ a I [X 1 , . . . , Xn ] este ideal prim ˆın R[X 1 , . . . , Xn ].

→

≃

15. S˘a se arate c˘a exist˘a urm˘atoarele izomorfisme de inele: (i) Z[X ]/(X 2 d) Z[ d], unde d este un num˘ar ˆıntreg liber de p˘ atrate, iar Z[ d] = a + b d a, b Z este inel cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor reale. (ii) Q[X ]/(X 2 + X + 1) Q(ε), unde ε este o r˘ad˘ acin˘a primitiv˘a de ordinul 3 a unit˘a¸tii ¸si Q(ε) = a + bε a, b Q este inel cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor complexe. (iii) R[X ]/(X 2 + 1) C.

√ − ≃ √ { √ | ∈ } ≃ { | ∈ } ≃ 16. Fie d ∈ Z care nu este p˘ atrat perfect. √ √ a) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice a, b ∈ Z cu a̸ = 0 sau b̸ = 0, inelul Z[ d]/(a+b d) are |a − db | elemente. √ √ b) S˘a se arate c˘ a dac˘ a (a, b) = 1, atunci inelul Z[ d]/(a + b d) este izomorf cu inelul Z/(a − db ). 17. Fie a,b,c ∈ R, a̸ = 0 ¸si ∆ = b − 4ac. Not˘ am R = R[X ]/(aX + bX + c). S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a ∆ > 0, atunci R ≃ R × R. (ii) Dac˘a ∆ < 0, atunci R ≃ C. 2

2

2

2

2

2

(iii) Dac˘a ∆ = 0, atunci R este un inel local cu divizori ai lui zero.

18. S˘a se arate c˘a R = Z[X ]/(2, X 2 + 1) este un inel cu 4 elemente, dar R nu este izomorf cu Z2 Z2 .

×

19. Consider˘ am idealul I = (3, X 3 X 2 + 2X + 1) ˆın Z[X ] . S˘a se arate c˘a I nu este ideal principal ¸si c˘ a Z[X ]/I nu este corp.

−

20. Fie R = f R[X ] f (0) Q ¸si I = f R f (0) = 0 . S˘a se arate c˘ a R este inel comutativ, I este ideal maximal al lui R ¸si I nu este finit generat.

{ ∈

|

∈ }

{ ∈ |

}

21. Fie K un corp comutativ ¸si R = K [X 1 , . . . , Xn , . . . ] inelul de polinoame ˆıntr-o infinitate num˘ arabil˘a de nedeterminate peste K . S˘a se arate c˘ a idealul I = (X 1 , . . . , Xn , . . . ) nu este finit generat. 44

22. Fie R = Z[X, Y ] ¸si I = (X r , Y s ), r, s N∗ . S˘a se calculeze Rad(I ) ¸si s˘a se arate c˘a dac˘ a f, g R astfel ˆıncât f g I , atunci f I sau g Rad(I ) (Rad(I ) s-a definit ˆın problema 47 din Capitolul 4).

∈

∈

∈

∈

∈

23. Fie K un corp comutativ ¸si R = K [X, Y ]/(X 2 Y 3 ). S˘a se arate c˘a: (i) R este inel integru. (ii) R este izomorf cu subinelul B al lui K [T ] format din polinoamele de forma P (T ) = a 0 + ai T i , cu n N ¸si a0 , a2, . . . , an K .

−

∑

∈

2 i n

≤≤

∈

̸

24. Fie K un corp comutativ de caracteristic˘ a = 2. S˘a se arate c˘ a inelul R = K [X, Y ]/(Y 2 X 3 X 2 ) este integru, dar K [[X, Y ]]/(Y 2 X 3 X 2 ) ˆ Y )) ˆ nu este integru. (completatul lui R ˆın topologia idealului maximal (X,

−

−

−

−

25. Fie R un inel comutativ ¸si f = a0 + a1 X + . . . + an X n R[X ] . S˘a se arate c˘ a: (i) f este nilpotent dac˘ a ¸si numai dac˘ a a i este nilpotent pentru orice 0 i n. (ii) f este inversabil dac˘a ¸si numai dac˘ a a 0 este inversabil ¸si a i este nilpotent pentru orice 1 i n. (iii) f este divizor al lui zero dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a a R, a = 0, cu af = 0. (iv) f este idempotent dac˘ a ¸si numai dac˘ a f = a 0 ¸si a20 = a 0 .

∈

≤ ≤

≤ ≤

∈

̸

26. Fie R un inel comutativ ¸si f = a 0 + a1 X +

·· · ∈ R[[X ]]. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a f este nilpotent, atunci a este nilpotent pentru orice i ≥ 0. Reciproc i

este adev˘ arat? (ii) f este inversabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a a0 este inversabil. (iii) f este idempotent dac˘ a ¸si numai dac˘ a f = a 0 ¸si a20 = a 0 .

27. Fie R un inel comutativ. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a M este un ideal maximal al lui R[[X ]], atunci M R este ideal maximal al lui R ¸si M = (M R)R[[X ]] + XR[[X ]]. (ii) Dac˘a R este inel local cu idealul maximal m, atunci R[[X ]] este inel local cu idealul maximal mR[[X ]] + XR[[X ]]. (iii) Inelul R[X ] nu poate fi inel local.

∩

∩

28. Fie R inel noetherian. Ar˘ atat¸i c˘a inelul de serii formale R[[X ]] este noetherian. 45

29. S˘a se arate c˘ a Z[[X ]]/(X 2) nu este izomorf cu Z (deci izomorfismul din problema 13 nu mai este valabil pentru inele de serii formale).

−

30. Fie R un inel comutativ. S˘ a se arate c˘ a J (R[X ]) = N (R[X ]) ¸si J (R[[X ]]) = J (R)[[X ]]. 31. Fie K un corp comutativ ¸si consider˘ am inelul neunitar R = X K [[X ]]. (i) Fie I un ideal al lui R ¸si n cel mai mic ordin al unei serii formale nenule din I . Definim GI = a K exist˘a f I cu f = aX n + αn+1 X n+1 + . . . .

{ ∈ |

∈

}

S˘a se arate c˘ a GI este subgrup al grupului abelian (K, +). Mai mult, dac˘ a a G I este subgrup maximal ˆın I este ideal maximal ˆın R, atunci s˘a se arate c˘ (K, +). (ii) Fie G un subgrup al lui (K, +). S˘a se arate c˘a I G = f R exist˘a a

{ ∈ |

2

∈ G cu f = aX + α X + . . . } 2

este ideal ˆın R. Mai mult, s˘a se arate c˘ a dac˘ a G este subgrup maximal al lui (K, +), atunci I G este ideal maximal al lui R. (iii) Deducet¸i c˘a R are ideale maximale dac˘a ¸si numai dac˘a grupul (K, +) are subgrupuri maximale. (iv) S˘a se arate c˘ a grupul (K, +) este divizibil dac˘a ¸si numai dac˘ a char(K ) = 0. (v) Deducet¸i c˘a grupul (K, +) are subgrupuri maximale dac˘a ¸si numai dac˘ a char(K ) = 0. (vi) S˘a se arate c˘a R are ideale maximale dac˘ a ¸si numai dac˘ a char(K ) = 0.

̸

̸

32. Fie K un corp comutativ. S˘a se arate c˘a: (i) Idealele nenule proprii ale inelului K [[X ]] sunt de forma (X n ), n N∗ . În particular, K [[X ]] este inel local. (ii) Inelul R format din toate seriile formale de tipul f = a 0 + a2 X 2 + a3X 3 + . . . este un inel local, iar idealele nenule proprii ale lui R sunt de forma (X n + aX n+1) sau (X n , X n+1 ), cu n N, n 2 ¸si a K .

∈

∈

≥

∈

33. Fie K un corp comutativ, K [[X ]] inelul seriilor formale peste K ¸si U 1(K [[X ]]) mult¸imea seriilor formale de forma f = 1 + a1 X + a2 X 2 + . . .. S˘a se arate c˘ a U 1 (K [[X ]]) este grup cu ˆınmult¸irea seriilor formale ¸si c˘ a pentru 46

orice num˘ ar ˆıntreg N care nu se divide cu caracteristica lui K , aplicat¸ia φN : U 1 (K [[X ]]) U 1 (K [[X ]]), φN (f ) = f N , este izomorfism de grupuri.

→

34. Dac˘ a F = n≥0 anX n este o serie formal˘a cu coeficient¸i ˆın corpul K , definim seria formal˘a derivat˘ a F ′ prin F ′ = n≥1 nan X n−1 . S˘a se arate c˘a: (i) Pentru orice F, G K [[X ]] avem (F + G)′ = F ′ + G′ , (F G)′ = F ′ G + F G′ ¸si (F n)′ = nF n−1 F ′ pentru orice n N∗ . (ii) Pentru char K = 0, dac˘a A, B U 1 (K [[X ]]) ¸si A′ B = AB ′ , atunci A = B. (iii) Pentru char K = 0, dac˘a A, B X K [[X ]] ¸si A′ = B ′ , atunci A = B.

∑

∑

∈

∈ ∈ ∈

35. Fie K un corp comutativ. Spunem c˘ a o familie (F i )i≥0 de serii j formale din K [[X ]], F i = j ≥0 aij X , este sumabil˘ a dac˘a pentru orice r 0 ¸sirul (air )i≥0 are doar un num˘ ar finit de termeni nenuli. În acest caz definim seria formal˘a F = i≥0 F i ca fiind F = i≥0 bi X i , unde b i = r≥0 ari (prin aceast˘a sum˘a formal˘ a infinit˘a ˆınt¸elegem suma finit˘ a a termenilor nenuli din sumare). S˘ a se arate c˘a dac˘a familia (F i )i≥0 este sumabil˘a, atunci: (i) Familia (F i′ )i≥0 este sumabil˘a ¸si F ′ = i≥0 F i′ . (ii) Dac˘a G K [[X ]], atunci familia (F i G)i≥0 este sumabil˘a ¸si ( i≥0 F i )G = i≥0 F i G.

∑

∑

∑

≥

∑ ∑

∈

∑

∑

36. Fie K un corp de caracteristic˘ a zero. Identific˘ am mult¸imea numerelor rat¸ionale cu cel mai mic subcorp al lui K . Pentru orice f X K [[X ]] definim

∈

exp(f ) = 1 +

1 n f n!

� n>0

∈ U (K [[X ]]). 1

(S˘a observ˘ a m c˘a familia de serii formale ( 1n! f n)n>0 este sumabil˘a ¸si atunci suma din membrul drept se define¸ste ca ˆın problema 35.) De asemenea, pentru orice g U 1(K [[X ]]) definim

∈ log(g) = −

� n>0

1 (1 n

n

− g) ∈ X K [[X ]].

(S¸i aici observ˘am c˘a deoarece 1 g XK [[X ]], familia ( n1 (1 sumabil˘a.) S˘a se arate c˘a: (i) (exp(f ))′ = (exp(f ))f ′ pentru orice f X K [[X ]]. (ii) g(log(g))′ = g ′ pentru orice g U 1 (K [[X ]]). (iii) exp(log(g)) = g pentru orice g U 1 (K [[X ]]).

− ∈ ∈ ∈

47

∈

n

− g) )

n>0 este

(iv) log(exp(f )) = f pentru orice f X K [[X ]]. (v) exp(f + h) = exp(f )exp(h) pentru orice f, h X K [[X ]]. (vi) Deducet¸i c˘a funct¸iile exp ¸si log sunt izomorfisme inverse unul celuilalt ˆıntre grupurile (XK [[X ]], +) ¸si (U 1 (K [[X ]], ).

∈

∈

·

37. Fie K un corp de caracteristic˘ a zero. Identific˘ am mult¸imea numerelor a rat¸ionale cu cel mai mic subcorp al lui K . Fie α = N un num˘ar rat¸ional, unde a, N Z, N = 0. Definim seria formal˘ a (1 + X )α din K [[X ]] prin 1 a (1 + X )α = (φ− a N (1 + X )) , unde φN este izomorfismul din problema 33. S˘ se arate c˘ a: (i) Definit¸ia lui (1+X )α nu depinde de reprezentarea lui α ca fract¸ie rat¸ional˘ a. α (ii) (1 + X ) = exp(α log(1 + X )). (iii) Pentru orice n 0, coeficientul lui X n din seria formal˘a (1 + X )α este o funct¸ie polinomial˘a de α. −n+1) pentru orice (iv) (1 + X )α = 1 + n>0 αn X n, unde αn = α(α−1)...(α n! n > 0.

∈

̸

≥

∑ ()

()

38. Pentru n 2 not˘ am cu T n num˘arul de moduri ˆın care se pot pune parantezele ˆın produsul x1 x2 . . . xn, unde x1 , . . . , xn sunt elemente ale unei mult¸ imi pe care s-a definit o operat¸ie notat˘ a multiplicativ. Not˘ am T 1 = 1. S¸tim din solut¸ia problemei 2 din Capitolul 2 c˘a T n = k=1,n−1 T k T n−k . Consider˘am seria formal˘ a F = T 1 X + T 2X 2 + . . . + T nX n + . . . Q[[X ]]. (i) S˘a se arate c˘a F 2 = F X . 1 (ii) Deducet¸i c˘a F = 21 12 φ− ¸ia din problema 2 (1 4X ) (unde φ2 are semnificat 33). 1 n−1 n (iii) S˘a se arate c˘a φ− 4X ) = n≥0 n2 C 2n 2 (1 −2 X . n−1 (iv) S˘a se deduc˘ a din (ii) ¸si (iii) c˘a T n = n1 C 2n −2 .

≥

−

− −

∑

∈

−

∑

−

39. (i) Fie k un corp comutativ ¸si f k[X ]. Ar˘ atat¸i c˘a inelul factor k[X ]/(f ) este corp dac˘ a ¸si numai dac˘a f este ireductibil. (ii) Fie R un domeniu de integritate ¸si Q corpul s˘ a u de fract¸ii. Ar˘atat¸i c˘a pentru orice polinom neconstant f R[X ] exist˘a un corp care cont¸ine Q ca subcorp ¸si ˆın care f are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a. (iii) Cu notat¸iile de la (ii), demonstrat¸i c˘a pentru orice polinom f R[X ] cu grad f 1 exist˘a un corp K care cont¸ine pe Q ca subcorp ¸si ˆın care f are toate r˘ad˘ acinile.

∈

∈

∈

≥

m

40. Fie a Z, n N∗ ¸si f (X ) = X n a Z[X ]. Dac˘a pentru orice ˆ ) = X n a N, m 2 polinomul f ˆ Z m [X ], f (X ˆ are o r˘ad˘ acin˘a ˆın Zm ,

∈

≥

∈

∈

− ∈

∈

48

−

s˘a se arate c˘a f are o r˘ ad˘acin˘a ˆın Z. 41. Fie R un domeniu de integritate infinit ¸si f R[X 1 , . . . , Xn ]. Dac˘a exist˘a o submult¸ime A = A 1 . . . An a lui R n, astfel ˆıncˆ at A i este infinit˘ a ˜ pentru orice 1 i n, cu proprietatea c˘ a f (a) = 0 pentru orice a A, ˜ atunci f = 0 (f este funct¸ia polinomial˘a ata¸sat˘a polinomului f ). ˜ = 0 pentru o infiniMai r˘amâne adev˘arat˘ a afirmat¸ia dac˘ a ¸stim doar c˘a f (a) tate de elemente a R n ? S˘a se arate c˘ a rezultatul nu mai este adev˘ arat dac˘ a R nu este inel comutativ.

∈

× ×

≤ ≤

∈

∈

42. Fie K un corp comutativ, q N, q > 1 ¸si f K [X 1 , . . . , Xn ]. q S˘a se arate c˘ a f se poate scrie astfel: f = (X i X i )gi + g 0 , cu gi

∈

∑

−

1 i n

K [X 1, . . . , Xn ] pentru orice 0 ¸si grad(g0 ) grad(f ).

≤ i ≤ n, grad

≤

≤≤

X i (g0 ) <

∈

∈

q pentru orice 1

≤ i ≤ n,

43. Fie K un corp finit, K = q , ¸si fie g K [X 1 , . . . , Xn ] cu proprietatea c˘a degX (g) < q pentru orice 1 i n. Dac˘a g˜ = 0, s˘a se arate c˘a g = 0.

| | ∈ ≤ ≤ 44. Fie K un corp finit, |K | = q , ¸si fie g ∈ K [X , . . . , X ]. S˘a se arate c˘a g˜ = 0 dac˘a ¸si numai dac˘ a g ∈ (X − X , . . . , X − X ). 45. Fie K un corp finit ¸si n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a orice funct¸ie φ : K → K ˜ este polinomial˘a, adic˘a exist˘a f ∈ K [X , . . . , X ] cu φ = f . 46. Fie K un corp finit, |K | = q , ¸si fie f ∈ K [X , . . . , X ] astfel ˆıncˆ at deg(f ) = d < n ¸si f (0, . . . , 0) = 0. S˘a se arate c˘a: ˜ = 0. (i) Exist˘a a ∈ K , a = ̸ (0, . . . , 0), cu f (a) ˜ = 0}| = N ¸si p = char(K ), atunci p|N . (ii) Dac˘a |{a ∈ K | f (a) 47. Fie K un corp finit, |K | = q , ¸si fie f (X ) = a +a X +. . .+a − X − ∈ ˜ = 0}| = q − 1 − rang(A), unde A K [X ] cu a −̸ = 0. Atunci |{a ∈ K ∗ | f (a) i

1

q 1

n

q n

1

n

n

1

n

1

n

n

n

0

1

q 2

q 2

q 2

este matricea

A =

 

a0 a1 ... aq−2

a1 a2 ... a0

48. Fie R un inel comutativ, S

. .. . .. ... . ..

a q−2 a0 ... a q−3

 

.

⊆ R un sistem multiplicativ ¸si φ : R →

S −1 R morfismul canonic. S˘a se arate c˘a: 49

(i) φ este injectiv dac˘ a ¸si numai dac˘a S este inclus ˆın mult¸imea nondivizorilor lui zero din R. (ii) φ este bijectiv dac˘a ¸si numai dac˘ a S U (R).

⊆

49. Fie R un inel comutativ, S R un sistem multiplicativ ¸si I , J ideale ale lui R. Not˘am S −1I = a/s a I , s S . S˘a se arate c˘a: (i) S −1 I este ideal al lui S −1 R. În plus, orice ideal al lui S −1R este de forma S −1 I pentru un ideal I al lui R. (ii) S −1 I = S −1 R dac˘a ¸si numai dac˘ a I S = . (iii) Mult¸imea T = sˆ s S este sistem multiplicativ ˆın R/I ¸si avem 1 1 1 − − − S R/S I T (R/I ). (iv) S −1 (I J ) = S −1 I S −1 J , S −1 (I + J ) = S −1 I + S −1J ¸si S −1 (IJ ) = (S −1I )(S −1 J ) pentru orice ideale I ¸si J .

⊆ { | ∈ ∈ }

∩ ̸ ∅

{ | ∈ } ∩

≃ ∩

50. Fie R un inel comutativ ¸si S un sistem multiplicativ ˆın R. S˘a se arate c˘a: (i) Dac˘a p este ideal prim al lui R cu p S = , atunci S −1 p este ideal prim al lui S −1 R. (ii) Exist˘a o corespondent¸a˘ bijectiv˘a ˆıntre Spec(R) Σ ¸si Spec(S −1 R), unde Σ = I I ideal al lui R cu I S = . (iii) Dac˘a p este ideal prim al lui R ¸si S = R p, atunci S −1 R este inel local cu idealul maximal S −1 p ¸si S −1 R/S −1 p este izomorf cu Q(R/p), corpul de fract¸ii al domeniului de integritate R/p. (În acest caz S −1 R se noteaz˘ a cu R p ¸si se nume¸ste localizatul lui R ˆın idealul prim p).

∩

{ |

∩

∅}

∅

∩

−

51. Fie R inel noetherian. Ar˘ atat¸i c˘a orice inel de fract¸ii al lui R este noetherian. 52. Fie S = 2k + 1 k Z . S˘a se arate c˘ a S este sistem multiplicativ 1 − ˆın Z ¸si c˘a S Z este inel local. Care este idealul s˘au maximal?

{

| ∈ }

− { } ∪ {1}. S˘a se arate c˘a S este sistem multiplicativ

53. Fie S = (3Z 0 ) 1 − al lui Z ¸si c˘a S Z = Q.

54. Fie R un domeniu de integritate. S˘a se arate c˘ aR=

∩

Rm

m Max(R)

∈

(R ¸si orice localizat al s˘ au sunt considerate ca subinele ˆın corpul de fract ¸ii al lui R).

50

55. Fie R un inel comutativ ¸si a R un element care nu este nilpotent. S˘a se arate c˘ a S = 1, a , a2 , . . . este sistem multiplicativ al lui R ¸si c˘a S −1 R R[X ]/(aX 1).

≃

−

{

}

∈

56. Fie R un inel comutativ finit ¸si S un sistem multiplicativ al lui R. S˘a se arate c˘ a morfismul canonic φ : R S −1 R este surjectiv. În particular, orice inel de fract¸ii al lui Zn este izomorf cu un Zd , d n. Este adev˘ arat ¸si reciproc: pentru orice n N∗ ¸si orice d n exist˘a un sistem multiplicativ S al lui Zn cu proprietatea c˘a S −1 Zn Zd ?

→ ∈

|

|

≃

57. Fie R un domeniu de integritate ˆın care orice ideal este principal. Fie K corpul de fract¸ii al lui R ¸si fie A un subinel al lui K care ˆıl include pe R. S˘a se arate c˘ a exist˘a un sistem multiplicativ S al lui R cu proprietatea 1 − c˘a A = S R. S˘a se dea exemplu de domeniu de integritate R pentru care proprietatea de mai sus nu este adev˘arat˘ a. 58. Fie R un inel comutativ ¸si S un sistem multiplicativ al lui R. S˘a se arate c˘a exist˘a un izomorfism canonic ˆıntre S −1(R[X ]) ¸si (S −1 R)[X ]. Mai r˘amâne adev˘arat˘ a proprietatea pentru inele de serii formale? i

∈

S =

59. Fie (Ri )i∈I o familie de inele comutative ¸si consider˘ am pentru orice I un sistem multiplicativ S i al lui Ri . Fie R = Ri . S˘a se arate c˘a

∏

∏

i I

∈

S i este sistem multiplicativ al lui R ¸si c˘a exist˘a un izomorfism canonic

i I

∈

ˆıntre S −1R ¸si

∏

(S i−1 Ri ).

i I

∈

60. S˘a se arate c˘ a un inel comutativ R este redus dac˘ a ¸si numai dac˘ a R m este redus pentru orice m Max(R). (Un inel comutativ se nume¸ste redus dac˘a nu are elemente nilpotente nenule.) Mai r˘amâne adev˘ arat˘ a proprietatea dac˘ a ˆınlocuim redus cu integru?

∈

61. Fie K un corp comutativ, char(K ) = 2 ¸si fie Dn , ∆n Dn = (X i X j ), ∆n = D n2 . S˘a se arate c˘a:

∏

1 i,j n

≤ ≤

̸

−

∈ K [X , . . . , X ], 1

(i) Dn (X σ(1) , . . . , Xσ(n) ) = ε(σ)Dn(X 1, . . . , Xn ) pentru orice σ (ii) ∆n este polinom simetric. (iii) Dac˘a f K [X 1, . . . , Xn ] are proprietatea c˘ a

∈ S .

∈

f (X σ(1) , . . . , Xσ(n) ) = ε(σ)f (X 1 , . . . , Xn ) 51

n

n

pentru orice σ S n, atunci exist˘a g K [X 1 , . . . , Xn ] polinom simetric cu f = gDn . (iv) Dac˘a f K [X 1 , . . . , Xn ] are proprietatea c˘ a

∈

∈

∈

f (X σ(1) , . . . , Xσ(n) ) = f (X 1 , . . . , Xn ) pentru orice σ A n, atunci exist˘a f 1 , f 2 ce cu f = f 1 + f 2 Dn.

∈ K [X , . . . , X ] polinoame simetri-

∈

1

n

62. S˘a se scrie ca polinom de polinoamele simetrice fundamentale fiecare din urm˘atoarele polinoame simetrice: (i) (X 1 X 2 )2 (X 1 X 3 )2(X 2 X 3 )2 . (ii) (X 12 + X 22 )(X 12 + X 32)(X 22 + X 32 ). (iii) ( X 1 +X 2 +. . .+X n )(X 1 X 2 +. . .+X n ) (X 1 +X 2 +. . .+X n−1 X n ). (iv) X 13 + . . . + X n3 .

−

−

− −

−

·· ·

−

63. (Formulele lui Newton ) Fie K un corp comutativ. Pentru fiecare i N, i > 0, consider˘ am polinoamele pi = X 1i + . . . + X ni K [X 1 , . . . , Xn ]. De asemenea consider˘ am p 0 = n. S˘a se arate c˘a: (i) pk s1 pk−1 + . . . + ( 1)nsn pk−n = 0 pentru orice k n. (ii) pk s1 pk−1 +. . .+( 1)k−1 sk−1 p1 +( 1)k ks k = 0 pentru orice 1 k n 1.

∈

∈

− −

−

−

−

≥

≤ ≤ −

64. Fie K un corp comutativ de caracteristic˘ a zero. Consider˘ am elek k mentele x1 , . . . , xn K cu proprietatea c˘ a x1 + . . . + x n = 0 pentru orice 1 k n. S˘a se arate c˘a x 1 = . . . = x n = 0. Mai r˘amˆ ane adev˘ arat˘ a concluzia dac˘a xk1 + . . . + xkn = 0 pentru n valori ale lui k, care nu sunt neap˘ arat consecutive? Dar dac˘ a caracteristica lui K nu este zero?

∈

≤ ≤

10 10 65. S˘ a se calculeze x10 ad˘acinile poli1 + x2 + x3 , unde x1 , x2 , x3 sunt r˘ 3 nomului X 3X + 1.

−

66. S˘a se calculeze xi1 +. . .+xin , 1 i n, unde x1, . . . , xn sunt r˘ ad˘acinile polinomului: (i) X n + (a + b)X n−1 + (a2 + b 2)X n−2 + . . . + (an + b n), unde a, b K , K corp. (ii) X n + (a + b)X n−1 + (a2 + ab + b2 ) + . . . + (an + an−1 b + . . . + abn−1 + bn ), unde a, b K , K corp.

≤ ≤

∈

∈

52

Capitolul 6 Aritmetic˘ a ˆın inele integre În acest capitol prin inel vom ˆınt¸elege inel comutativ ¸si unitar, iar prin morfism de inele morfism unitar. (Uneori vom preciza acest lucru ¸si ˆın mod explicit.) În problemele ˆın care se va lucra cu inele care nu sunt neap˘ arat comutative acest lucru va fi ment¸ionat explicit. Fie R un inel comutativ unitar ¸si a, b R. Spunem c˘ a a divide pe b ˆın R (¸si not˘am a R b sau a b) dac˘ a exist˘a c R astfel ˆıncât b = ac. Spunem c˘a a este asociat ˆın divizibilitate cu b ˆın inelul R (¸si not˘am a R b sau a b) dac˘a a R b ¸si b R a. Relat¸ia de asociere ˆın divizibilitate este o relat ¸ie de echivalent¸a˘. În cazul ˆın care R este domeniu, a R b dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a u R inversabil astfel ˆıncˆ at b = ua. Spunem c˘a d R este un cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c.) pentru elementele a ¸si b din R dac˘a sunt ˆındeplinite urm˘ atoarele condit¸ii: (i) d a ¸si d b. (ii) Pentru orice d′ R care divide a ¸si b avem d′ d. Vom nota d = (a, b)R sau d = (a, b). Spunem c˘ a m R este un cel mai mic multiplu comun (prescurtat c.m.m.m.c.) pentru elementele a ¸si b din R dac˘a sunt ˆındeplinite urm˘atoarele condit¸ii: (i) a m ¸si b m. (ii) Pentru orice m′ R care se divide prin a ¸si b avem m m ′ . Vom nota m = [a, b]R sau m = [a, b]. Spunem c˘ a inelul R are proprietatea c.m.m.d.c. dac˘a orice dou˘ a elemente ale sale admit un c.m.m.d.c.. Fie R un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ¸si a, b, c R. Atunci:

•

|

|

|

|

∈

•

∈ ∈

∼

∼

∈

|

|

|

|

∈ ∈

|

∈

|

•

∈

53

∼

(i) pentru a, b = 0 cu (a, b) = d exist˘a a′ , b′ cu a = da ′ , b = db ′ ¸si (a′ , b′ ) = 1; (ii) (ac, bc) = (a, b)c; (iii) exist˘a [a, b] ¸si (a, b)[a, b] = ab; (iv) (a, b) = 1 ¸si (a, c) = 1 implic˘a (a,bc) = 1; (v) a bc ¸si (a, b) = 1 implic˘a a c; (vi) a c, b c ¸si (a, b) = 1 implic˘a ab c. Un element nenul ¸si neinversabil a al unui domeniu de integritate R se nume¸ste element ireductibil dac˘a din a = bc rezult˘ a a b sau a c. Descompunerea a = bc a lui a R se va numi relevant˘ a dac˘a b, c R U (R). Un element nenul ¸si neinversabil p al unui domeniu de integritate R se nume¸ste element prim dac˘a din p ab rezult˘ a p a sau p b. Orice element prim este ireductibil. Dac˘a inelul R are proprietatea c.m.m.d.c., atunci orice element ireductibil al lui R este element prim. Un domeniu de integritate R se nume¸ste inel euclidian dac˘a exist˘ a o aplicat¸ie ϕ : R 0 N astfel ˆıncât pentru orice a R ¸si orice b R 0 exist˘a q, r R cu propriet˘ a¸tile: (i) a = bq + r. (ii) r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b). Un domeniu de integritate R se nume¸ste inel principal dac˘a orice ideal al s˘au este principal. Un domeniu de integritate R se nume¸ste inel factorial dac˘a orice element nenul ¸si neinversabil al s˘au se poate scrie ca produs de elemente prime. Orice inel euclidian este principal. Orice inel principal este factorial. Orice inel factorial are proprietatea c.m.m.d.c.. Dac˘a R este inel principal, atunci orice ¸sir ascendent de ideale ale sale este stat¸ionar. Fie R un domeniu. Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) R este inel factorial. (ii) Orice element nenul ¸si neinversabil din R se scrie ca produs de elemente ireductibile ¸si orice element ireductibil este prim. (iii) Orice element nenul ¸si neinversabil din R se scrie ca produs de elemente ireductibile ¸si aceast˘a scriere este unic˘ a abstract¸ie f˘acând de asocierea ˆın divizibilitate ¸si de ordinea factorilor. (iv) Orice element nenul ¸si neinversabil din R se scrie ca produs de elemente ireductibile ¸si R are proprietatea c.m.m.d.c. Teorema lui Gauss: Dac˘a R este inel factorial, atunci R[X ] este inel facto-

̸

|

•

|

| |

|

∼

∈

|

•

∈

|

\{ } →

|

∈

• • •

•

54

∼ ∈ \

∈ \ { }

rial. Dac˘a R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ¸si f R[X ], atunci c.m.m.d.c al coeficient¸ilor lui f se nume¸ste cont ¸inutul polinomului f ¸si se noteaz˘ a cu c(f ) (acesta este determinat pˆ an˘a la o asociere ˆın divizibilitate). Dac˘a R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c., atunci polinomul f R[X ] se nume¸ste primitiv dac˘a c(f ) = 1. Dac˘a R este un inel factorial cu corpul de fract¸ii Q, atunci pentru f R[X ] sunt echivalente afirmat¸iile: (i) f este ireductibil. (ii) f este primitiv ¸si ireductibil ˆın Q[X ]. Criteriul lui Eisenstein: Fie R un inel factorial cu corpul de fract¸ii Q, f = a0 + a1 X + + a n X n R[X ] ¸si p un element prim al lui R cu propriet˘a¸tile: (i) p a 0 , p a 1 , . . . , p a n−1 . (ii) p  an. (iii) p2  a0 . Atunci f este ireductibil ˆın Q[X ]. Criteriul reducerii: Fie R un inel factorial cu corpul de fract¸ii Q, S un domeniu, u : R S un morfism unitar de inele ¸si u : R[X ] S [X ] extinsul acestuia (adic˘ a u(a0 +a1 X + +an X n ) = u(a0 )+u(a1 )X + +u(an )X n ). Dac˘a pentru f R[X ] avem c˘a u(f ) este ireductibil ˆın S [X ] ¸si grad u(f ) = grad f , atunci f este ireductibil ˆın Q[X ]. Dac˘a S este un inel, R un subinel al s˘au iar a, b R, vom folosi notat¸iile ˜ ˜ b) f R[X, Y ] , unde f ˜ este R[a] = f (a) f R[X ] ¸si R[a, b] = f (a, funct¸ia polinomial˘a asociat˘ a polinomului f .

•

∈

∈ ∈

• •

·· ·

|

•

|

∈

|

→ ∈

•

{

→ ·· ·

···

| ∈

}

{

∈ | ∈

}

1. (i) Pentru fiecare pereche de elemente a, b din mult¸imea 1 + i, 2 + i, 1 i, 1 + 2i, 1 2i, 2 + i Z[i] decidet¸i dac˘a a b, respectiv dac˘ a a b. (ii) Acela¸si enunt¸ pentru 1 + 3i 2, 3 + i 2, 1 3i 2, 3 i 2 Z[i 2]. (iii) Acela¸si√ enunt¸ pentru 5, 5ρ, 5ρ + 5, 5ρ 5, 5 5ρ, 3 + 2ρ, 3 2ρ Z[ρ], ρ = 12 + i 23 . (iv) Acela¸si enunt¸ pentru 1 + 2 2, 1 2 2, 3 + 2, 3 2, 2 + 2 Z[ 2]. 2 (v) Acela¸si enunt¸ pentru 2 + X, 1 + X + X + , 2X 2 + 3X 3 + 4X 4 + , ar X r + ar+1 X r+1 + (ar = 0), bs X s + bs+1 X s+1 + (bs = 0) Q[[X ]]. 3 π (vi) Acela¸si enunt¸ pentru 2 + X, 73 + 14 X, 2πX + πX 2 , π5 X + 10 X 2 , 3π 2 X + 3π X 2 , 2 + 3X + X 2 Q + X R[X ]. 2

−

− −

−

· ··

2

{

} ⊂ √

√ − √ | − √ ∈ √ ∼ − − − ∈ √ − √ √ − √ √ ∈ √ ··· ·· · ̸ · ·· ̸ ∈

∈

55

√ −→ √ − √ √ √ −→ ∈

2. Fie d Z care nu e p˘atrat perfect ¸si N : Q[ d] Q definit˘a prin N (a + b d) = a2 db2 . S˘a se arate c˘a: (i) N (z ) = z z¯ , unde z = a + b d, z¯ = a b d; dac˘ a d < 0, atunci N (z ) = z ¯ z . (ii) N (z 1 z 2 ) = N (z 1 )N (z 2 ), oricare ar fi z 1 , z 2 Q[ d]. (iii) N (Z[ d]) N. (Aplicat¸ia N : Z[ d] N se nume¸ste norm˘ a pe inelul Z[ d].) (iv) z Z[ d] este inversabil dac˘a ¸si numai dac˘ a N (z ) = 1. (v) Dac˘a N (z ) este num˘ar prim, atunci z este element ireductibil. Dat¸i exemple ˆın care reciproca acestei afirmat¸ii nu este adev˘arat˘a. (vi) Dac˘a d este de forma 4k + 1, atunci afirmat¸iile de la punctele (iii), (iv) √ ¸si (v) sunt adev˘arate ¸si pentru inelul Z 1+2 d .

√ ∈ | − | | |

√ ⊂ √ ∈ √

� �

√

√

√

(vii) Determinat¸i elementele de norm˘ a 112 din Z[i 3], Z[i 5], Z[i 11] ¸si √ Z 1+i2 7 .

� �

∈ √

3. Fie d Z care nu e p˘ atrat perfect ¸si a, b Z[ d]. (i) Ar˘atat¸i c˘a dac˘ a a b ˆın Z[ d], atunci N (a) N (b). (ii) Dat¸i exemple de situat¸ii ˆın care reciproca afirmat ¸iei de la (i) nu este adev˘arat˘ a. (iii) Dac˘a a Z√ db ¸si N (a) = N (b), atunci a Z√ d b. (iv) Ar˘atat¸i c˘a dac˘ a (N (a), N (b)) = 1, atunci 1 este c.m.m.d.c. pentru a ¸si b. (v) Este adev˘arat c˘a dac˘ a a ¸si b admit c.m.m.d.c. ˆın Z[ d], atunci norma acestuia este egal˘ a cu (N (a), N (b))? (vi) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a d este de forma 4k + 1, atunci afirmat¸iile de la punctele √ 1+ d (i), (iii) ¸si (iv) sunt adev˘arate ¸si pentru inelul Z 2 .

∈

√

|

|

|

∼

√

� �

√

4. (i) Determinat¸i elementele inversabile ale inelului Z[ d], unde d ¸si d < 0. (ii) Ar˘atat¸i c˘a grupul U (Z[ 2]) este izomorf cu grupul Z2 Z.

√

∈ Z

×

√

5. Ar˘atat¸i c˘a grupul U (Z[(1 + i 3)/2]) este izomorf cu grupul Z 6 .

��

�

�

a b a, b Z . S˘a se arate c˘ a Rk are kb a divizori ai lui zero dac˘a ¸si numai dac˘ a k este p˘atrat perfect. 6. Fie k

∈ Z ¸si R

k

=

56

∈

7. Dat¸i exemple de inele integre ˆın care orice element ireductibil este element prim, dar care nu au proprietatea c.m.m.d.c..

√

8. Ar˘atat¸i c˘a inelul Z[i n], unde n nu are proprietatea c.m.m.d.c..

∈ N, n ̸= 1 ¸si n este un num˘ar impar, √ 5] elementele 2(1 + i√ 5) ¸si 6 nu au un 9. (i) Ar˘atat¸i c˘a ˆın inelul Z[i √ c.m.m.d.c., dar elementele 1 + i 5 ¸si 3 au un c.m.m.d.c.. (ii) G˘ asit¸i toate descompunerile lui 6 ˆın factori ireductibili, respectiv primi √ ˆın Z[i 5]. √ √ ireductibile, 10. Ar˘atat¸i c˘a ˆın inelul Z[i 3] elementele 2 ¸si 1 + i 3 sunt √ au un c.m.m.d.c. ¸si nu sunt prime, iar elementele 4 ¸si 2(1 + i 3) nu au un c.m.m.d.c.. 11. Decidet¸i dac˘a elementele (i) 4 + i 5 ¸si 1 + 3i 5 (ii) 6 + 2i 5 ¸si 14 (iii) 4 + i 5 ¸si 1 + 2i 5 (iv) 6 + 3i 5 ¸si 9 (v) 2 + 8i 5 ¸si 18 din inelul Z[i 5] admit sau nu un c.m.m.d.c. iar ˆın caz afirmativ s˘ a se determine.

√ √ √ √ √

√ √

√

12. Fie inelul R = f Z[X ] f = a 0 + a2 X 2 + . . . + an X n , ai N, n = 1 . S˘a se arate c˘a: (i) R = Z[X 2 , X 3 ]; (ii) c.m.m.d.c.(X 2 , X 3 ) = 1 ¸si c.m.m.m.c.(X 2 , X 3 ) nu exist˘a; (iii) c.m.m.d.c.(X 5 , X 6 ) ¸si c.m.m.m.c.(X 5 , X 6 ) nu exist˘a; (iv) X 2 este element ireductibil, dar nu este element prim.

{ ∈

̸ }

|

∈ Z, n ∈

13. Fie R un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ¸si Q corpul s˘ au de fract¸ii. (i) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice f R[X ] exist˘a f R[X ] cu c(f ) = 1 astfel ˆıncˆ at f = c(f )f . Fie acum f, g R[X ]. Ar˘atat¸i c˘a: (ii) c(fg) = c(f )c(g). (iii) fg = uf g, u U (R). (iv) Dac˘a c(f ) = c(g) = 1, atunci f Q[X ] g dac˘a ¸si numai dac˘ a f R[X ] g.

∈

∈

∈

∈

|

|

57

(v) f R[X ] g dac˘a ¸si numai dac˘ a c(f ) R c(g) ¸si f R[X ] g. (vi) f R[X ] g dac˘a ¸si numai dac˘ a c(f ) R c(g) ¸si f Q[X ] g.

| |

| |

| |

14. S˘a se arate c˘ a dac˘ a R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c., atunci ¸si inelul de polinoame R[X ] are proprietatea c.m.m.d.c.. 15. S˘a se arate c˘ a inelul R = f Q[X ] f = a 0 +a1X +. . .+an X n, a0 Z este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c., dar nu este factorial.

{ ∈

}

|

∈

16. S˘a se arate c˘ a inelul R = f Q[[X ]] f = a 0 + a1X + . . . + an X n + . . . , a0 = r/s, unde r, s Z cu (r, s) = 1 ¸si s este impar este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c., dar nu este factorial.

{ ∈

∈

|

}

√ √ 17. S˘a se arate c˘a inelele Z[ 2] ¸si Z[(1 + 5)/2] sunt euclidiene. 18. Fie d N de forma 4k + 3 (k N). Atunci inelul euclidian dac˘ a ¸si numai dac˘a d 3, 7, 11 .

∈

∈ }

∈ {

√

Z[ 1+i2 d]

este

19. Fie R un domeniu de integritate. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (i) R este factorial. (ii) Orice ideal prim nenul al lui R cont¸ine un element prim. 20. Fie R un inel euclidian (principal, respectiv factorial) ¸si S R un sistem multiplicativ. S˘a se arate c˘ a inelul de fract¸ii S −1 R este inel euclidian (principal, respectiv factorial).

⊂

21. (Nagata ) Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea c˘ a orice ¸sir ascendent de ideale principale este stat ¸ionar. Fie ( pi )i∈I o mult¸ime de elemente prime din R ¸si S sistemul multiplicativ generat de aceast˘a mult¸ime. Dac˘a S −1R e factorial, atunci R e factorial. 22. (i) S˘a se arate c˘ a inelul K [X, Y ]/(XY 1), K corp comutativ, este inel euclidian. (ii) S˘a se arate c˘ a inelul C[X, Y ]/(X 2 + Y 2 1) este inel euclidian.

−

−

23. Fie R un domeniu de integritate. Ar˘ atat¸ i c˘a inelul de polinoame R[X 1 , . . . , Xn ] este inel principal dac˘ a ¸si numai dac˘a R este corp ¸si n = 1.

√

√

24. Consider˘ am R = Z[i 3] ¸si idealul P = (2, 1 + i 3) al lui R. Ar˘atat¸i c˘a: 58

√ |

(i) P = a + bi 3 a, b Z ¸si a b (mod 2) ; (ii) P este ideal prim, dar nu este ideal principal; (iii) Localizatul RP al inelului R ˆın idealul prim P nu este inel principal; (iv) Inelul RP nu are elemente prime.

{

∈

≡

}

25. Fie R un domeniu de integritate. S˘ a se arate c˘a dac˘ a exist˘a o funct¸ie ϕ : R N cu urm˘atoarele propriet˘ a¸t i: (i) ϕ(a) = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a a = 0; (ii) Pentru orice x, y R, y = 0, y  x, exist˘a u, v R astfel ˆıncât 0 < ϕ(xu yv) < ϕ(y), atunci R este inel principal.

→

∈

−

̸

∈

√

√

√

√

� ��

26. Ar˘atat¸i c˘a inelele Z 1+i2 19 , Z principale, dar nu sunt euclidiene.

1+i 43 2

,Z

1+i 67 2

¸si Z

1+i 163 2

sunt

27. Ar˘atat¸i c˘a dac˘ a R este inel principal, atunci inelul de serii formale R[[X ]] este factorial. 28. (Samuel ) Fie k corp comutativ ¸si r, s, t N∗ 1 cu (r, s) = 1 ¸si r s t t 1 (mod rs). Not˘am R = k[X,Y,Z ]/(X + Y Z ). (i) Ar˘atat¸i c˘a R este inel factorial. (ii) Ar˘atat¸i c˘a R[[X ]] nu este inel factorial.

∈ \ { } −

≡

√ ̸

√

29. S˘a se arate c˘ a urm˘atoarele inele nu sunt factoriale: Z[i 6], Z[ 10], Z[ 26], K [X,Y,Z,T ]/(XT Y Z ), K corp comutativ cu char K = 2.

√

d

−

√ ∗ 30. Fie d ∈ N . Atunci inelul Z[i d] este euclidian dac˘ a ¸si numai dac˘ a

∈ {1, 2}.

31. (i) Fie R un inel factorial care nu este corp ¸si care are doar un num˘ar finit de elemente inversabile. S˘ a se arate c˘a inelul R are o infinitate de elemente prime neasociate. (ii) Fie R un domeniu de integritate. S˘a se arate c˘ a inelul de polinoame R[X ] are o infinitate de elemente prime neasociate. 32. Se consider˘ a inelul R = K [X, Y ]/(X 2 + Y 2 1), K corp comutativ cu char K = 2. Ar˘atat¸i c˘a: (i) R este inel integru; ˆ (ii) Dac˘a elementul X este reductibil ˆın R, atunci polinomul Z 2 + 1 K [Z ]

−

̸

∈

59

are r˘ ad˘acini ˆın K ; (iii) R este inel factorial dac˘a ¸si numai dac˘a polinomul Z 2 + 1 r˘ad˘acini ˆın K .

∈ K [Z ] are

33. (i) Ar˘atat¸i c˘a inelul R[X, Y ]/(X 2 + Y 2 1) nu este inel factorial. (ii) Ar˘atat¸i c˘a inelul R[X, Y ]/(X 2 + Y 2 + 1) este inel factorial.

−

√ Ar˘ atat¸i c˘a dac˘a π ∈ Z[ d]

34. (i) Fie d Z care nu e p˘ atrat perfect. este prim, atunci π este asociat ˆın R cu un element prim din Z sau ππ este prim ˆın Z. (ii) Fie d√ Z care nu e p˘ atrat perfect, d 1 (mod 4). Ar˘ atat¸i c˘a, dac˘a π Z[ 1+2 d ] este prim, atunci π este asociat ˆın R cu un element prim din Z sau ππ este prim ˆın Z.

∈

∈

∈

≡

√ ∈ √

35. Fie d Z α2 α Z ¸si x = a +b d Z[ d] cu (a, b) = 1. Ar˘atat¸i c˘a x este prim ˆın Z[ d] dac˘a ¸si numai dac˘ a N (π) este prim ˆın Z.

∈ \{√ | ∈ }

36. (Aritmetica inelului Z[i]) Ar˘atat¸i c˘a un element din inelul Z[i] este prim dac˘a ¸si numai dac˘a este asociat ˆın divizibilitate cu unul din urm˘ atoarele elemente: (i) 1 + i; (ii) p N num˘ar prim cu p 3 (mod 4); (iii) a +bi, a, b Z, astfel ˆıncât p = a 2 +b2 este num˘ ar prim cu p 1 (mod 4).

∈

≡

∈

≡

√

√

37. (Aritmetica inelului Z[i 2]) Ar˘atat¸i c˘a un element din inelul Z[i 2] este prim dac˘ a ¸si numai dac˘a este asociat ˆın divizibilitate cu unul din urm˘ atoarele elemente: (i) i 2; (ii) p N num˘ar prim cu p 5 (mod 8) sau p 7 (mod 8); (iii) a + bi 2, a, b Z, astfel ˆıncât p = a2 + 2b2 este num˘ a r prim cu p 1 (mod 8) sau p 3 (mod 8).

√ ∈ √

≡

∈ ≡

≡

≡

√

√

38. (Aritmetica inelului Z[ 2]) Ar˘atat¸i c˘a un element din inelul Z[ 2] este prim dac˘ a ¸si numai dac˘a este asociat ˆın divizibilitate cu unul din urm˘ atoarele elemente: (i) 2; (ii) p N num˘ar prim cu p 3 (mod 8) sau p 5 (mod 8); (iii) a + b 2, a, b Z, astfel ˆıncât p = a2 2b2 este num˘ a r prim cu p 1 (mod 8) sau p 7 (mod 8).

√ ∈ √ ≡

∈ ≡

≡

≡ | − |

60

√

√

39. (Aritmetica inelului Z[ 3]) Ar˘atat¸i c˘a un element din inelul Z[ 3] este prim dac˘ a ¸si numai dac˘a este asociat ˆın divizibilitate cu unul din urm˘ atoarele elemente: (i) 3 sau 1 + 3; (ii) p N num˘ar prim cu p 5 (mod 12) sau p 7 (mod 12); (iii) a + b 3, a, b Z, astfel ˆıncât p = a2 3b2 este num˘ a r prim cu p 1 (mod 12) sau p 11 (mod 12).

√ √ ∈ √ ≡ ≡ ∈ | − | ≡ ≡ √ 3)/2]) Ar˘atat¸i c˘a un element din 40. (Aritmetica inelului Z[( 1 + i − √ inelul Z[ρ], ρ = (−1 + i 3)/2), este prim dac˘a ¸si numai dac˘ a este asociat ˆın

divizibilitate cu unul din urm˘atoarele elemente: (i) 1 ρ; (ii) p N num˘ar prim cu p 2 (mod 3); (iii) a + bρ, a, b Z, astfel ˆıncât p = a2 ab + b2 este num˘ a r prim cu p 1 (mod 3).

− ∈

≡

∈

≡

−

41. S˘a se rezolve ˆın numere ˆıntregi ecuat¸ia x2 + y 2 = z 2 . 42. S˘a se rezolve ˆın numere ˆıntregi ecuat¸ia x2 + 2y4 = 17z 4 . 43. S˘a se rezolve ˆın numere ˆıntregi ecuat¸ia x3 + y 3 = z 3 . 44. S˘a se rezolve ˆın numere ˆıntregi ecuat¸ia x3 + y 3 = 5z 3 . 45. Fie K un corp. S˘a se arate c˘a: (i) polinoamele X 2 Y , X 2 Y 2 Z ¸si X 2 Y Z 2 sunt ireductibile ˆın K [X,Y,Z ]; (ii) dac˘a char K = 2, atunci polinomul X 2 +Y 2 1 este ireductibil ˆın K [X, Y ].

̸

−

−

−

−

46. Fie K un corp. S˘a se arate c˘a: (i) polinomul X r + Y s , r, s N∗ , (r, s) = 1, este ireductibil ˆın K [X, Y ]; (ii) polinomul X r + Y s + Z t , r, s, t N∗ cu r 1 (mod st), este ireductibil ˆın K [X,Y,Z ].

∈

∈

≡

∈ √

√

47. (i) Ar˘atat¸i c˘a polinomul f Z[ 3][X ], f = 3X 5 + 25X 4 + (5 + 5 3)X 15 este ireductibil; (ii) Ar˘atat¸i c˘a polinomul f Z[X, Y ], f = X 4Y 2 2X 3 Y 3 + XY 4 + X 5 + Y 4 12XY 3 + 6X 2 Y 2 + 6X 3 4Y 3 + 2XY 2 + 2X 2 este ireductibil.

√ − −

∈

−

−

48. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele polinoame sunt ireductibile: (i) f Q[X ], f = X n 2;

∈

−

61

(ii) f Q[X ], f = X p−1 + . . . + X + 1, unde p N este num˘ ar prim; (iii) f Q[X ], f = X p + p 1, unde n, p N ¸si p este num˘ ar prim; p (iv) f Z[X ], f = X X +a, unde a, p Z, p este num˘ar prim ¸si (a, p) = 1.

∈ ∈ ∈

n

−

−

∈

∈

∈

49. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele polinoame sunt ireductibile: (i) f Q[X ], f = (X 4 +X 3 +1) n +4(X 4 +X 3 +1) m +2, unde m, n (ii) f Z[X ], f = X 4 + 3X 3 + 3X 2 5.

∈ ∈

−

∈ N, n > m;

50. Fie K un corp algebric ˆınchis cu charK = 2 ¸si f K [X 1 , . . . , Xn ], f = X 12 + . . . + X n2 . S˘a se arate c˘a f este polinom ireductibil dac˘a ¸si numai dac˘a n 3.

̸

∈

≥

f

∈

51. Fie f Z[X ], f = X 4 +1. Ar˘atat¸i c˘a f este polinom ireductibil, dar Z p [X ] este reductibil pentru orice p N num˘ar prim.

∈

∈ 52. S˘a se arate c˘a polinomul f ∈ Z[{X |1 ≤ i, j ≤ n }], n

f n = det

este ireductibil.

  

ij

X 11 X 12 . . . X1n X 21 X 22 . . . X2n .. ... ... . X n1 X n2 . . . Xnn

53. S˘a se arate c˘a polinomul f n

  

∈ Z[{X |1 ≤ i ≤ j ≤ n}],

f n = det

este ireductibil.

  

ij

X 11 X 12 . . . X1n X 12 X 22 . . . X2n .. ... ... . X 1n X 2n . . . Xnn

54. S˘a se arate c˘a polinomul f n

  

∈ Z[X , . . . , X − ],

f n = det

  

X 1 X 2 .. .

1

X 2 . . . X 3 . . . ...

2n 1

Xn Xn+1 ...

X n X n+1 . . . X2n −1 62

  

este ireductibil. 55. (Van der Waerden ) Fie K un corp comutativ, r, n N, r 1, n 2, R = K [X 1 , . . . , Xr ] ¸si polinoamele neconstante f 1 , . . . , fn R cu (f 1, . . . , fn ) = 1. Atunci polinomul T 1f 1 + + T nf n R[T 1 , . . . Tn ] este ireductibil.

∈

≥

···

63

∈

∈

≥

Bibliografie [1] T. Albu, I. D. Ion, Capitole de teoria algebric˘ a a numerelor , Editura Academiei R. S. R., 1984. [2] T. Albu, S¸ . Raianu, Lect ¸ii de algebr˘ a comutativ˘ a , Tipografia Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 1984. [3] M. Becheanu, C. Vraciu, Probleme de teoria grupurilor , Tipografia Universit˘ a¸tii din Bucure¸sti, 1982. [4] R. Brewer, Power series over commutative rings , Marcel Dekker Publishers, New York, 1981. [5] A. H. Clifford, G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups , Mathematical Surveys 7, A. M. S., 1961. [6] T. Dumitrescu, Algebr˘ a , Editura Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 2006. [7] G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers , fifth edition, Oxford University Press, 1978. [8] T. W. Hungerford, Algebra , Springer Verlag, 1974. [9] I. D. Ion, N. Radu, Algebra , Editura didactic˘a ¸si pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1981. [10] I. D. Ion, C. Nit¸a˘, N. Radu, D. Popescu, Probleme de algebr˘ a , Editura didactic˘ a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1981. [11] N. Jacobson, Basic Algebra 1, San Francisco, Freeman, 1974.

266

Probleme de algebr˘ a: Cornel B˘ aet ¸ica, Crina Boboc, Sorin D˘ asc˘ alescu, Gabriel Mincu

Recommend Documents