Tema1.3: Problemas Verbales de TRABAJO con 1 incógnita.
Elementos de Álgebra.
PROBLEMAS DE TRABAJO. En este tipo de problemas consideraremos que realizar totalmente un trabajo equivale a la unidad, a menos que nos digan cuánto es el trabajo total. Además si una persona A tarda en realizar un trabajo n horas, entonces la parte realizada en una hora es 1/n 1/n (usamos para ello una regla de tres). Llamaremos a 1/ n el rendimiento o rapidez con que se hace el trabajo, y la representaremos como RA. Si X = tiempo que le toma a la persona A en realizar un trabajo, entonces nuestra ecuación general tomaría la forma siguiente:
A 1 , es decir
X R
X
1 1 X
EJEMPLOS DE PROBLEMAS VERBALES DE TRABAJO. 1. Trabajando solo, Enrique puede podar un jardín en 3 horas. Miguel puede realizar la misma labor en 2 horas. ¿Cuánto tardarán los dos, si trabajan juntos? Solución.
Sea X = tiempo, en horas, en que hacen juntos la labor. Además, sea sea 1/x = parte del trabajo realizado realizado en una hora, hora, trabajando trabajando juntos. juntos. ½ = parte del trabajo hecho por Miguel en 1 hora. 1/3 = parte del trabajo hecho por Enrique en 1 hora. Nuestra ecuación queda:
+ = 1
⇒
+ =
por 6X cada término:
3X + 2X = 6 5X = 6
= 5 = 1 5 horas
Convirtiendo 1/5 horas a minutos:
ℎ0 = 0 = 12 5 5 Finalmente la respuesta es: Juntos, necesitan 1 hora y 12 minutos para realizar el trabajo.
1
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2. En el centro de computación, se da al operador de una intercaladora de tarjetas la tarea de acomodar en orden alfabético una cantidad determinada de tarjetas con datos. El operador sabe que la intercaladora antigua puede hacer sola esta tarea en 6 horas. Con la ayuda de una intercaladora más moderna, la tarea se realizaría en 2 horas. ¿Cuánto tardaría la máquina nueva en hacer sola esta tarea? Solución.
Sea X = tiempo, en horas, en que la máquina nueva hace el trabajo sola. Entonces los rendimientos son: 1/6 = parte del trabajo que la máquina antigua hace en 1 hora. 1/X = parte del trabajo que la máquina nueva hace en 1 hora. La ecuación es:
⇨
2 + = 1 ⇨
+ =
por 6X c/t:
⇨
X + 6 = 3X
2X = 6
despejando: X = 3 horas .
3. Una llave puede llenar un depósito (tinaco) en 4 minutos, otra llave en 8 minutos y un desagüe puede vaciarlo, estando lleno, en 20 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, si estando vacío y abierto el desagüe, se abren las dos llaves? Solución. Designemos como A a la primera llave, como B a la segunda llave y C al desagüe. Entonces: 1
R A
R B
R C
4 1
8
parte del depósito que la llave A puede llenar en un minuto. parte del depósito que la llave B puede llenar en un minuto.
1
20
parte del depósito que la llave C (el desague) puede vaciar en un minuto.
Sea X = Tiempo, en minutos, en que las 2 llaves A y B llenan el depósito. La ecuación es: X
10 5 2 1 1 1 1 1 40 X 4 8 20
13 40
1 X
13 X 40
X
40 13
3
1 13
Convirtiendo 1/13 minutos a segundos:
4.62
0 0 = =
Finalmente la respuesta es: Juntas, las llaves A y B necesitan 3 minutos y 4.62 segundos para realizar el trabajo. NOTA: En este tipo de ejercicios y para este curso, se aceptará cualquiera de las 2 respuestas: 2
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X
3
1 13
minutos o X
3 minutos y 4.62
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segundos.
4. Martha y María trabajaron juntas armando un rompecabezas durante 3 horas. Entonces Martha se fue y María terminó el rompecabezas en 30 minutos. Martha había armado rompecabezas similares en 6 horas, ¿cuánto tiempo hubiera tomado María para armar sola el rompecabezas? Solución Sea x = Tiempo (en horas) en que María arma el rompecabezas sola.
Sea
= Rendimiento de María, es decir, la parte del rompecabezas que María
hace en una hora.
Sea = Rendimiento de Martha , es decir, la parte del rompecabezas que Martha hace en una hora. La ecuación es:
3 + + = 1 ⇒ [ + + = 1](6) ⇒
+ + = 1 por 6x cada término:
3x + 18 + 3 = 6x 21=6x – 3x 21 = 3x X=
Así
X = 7 horas
= 7
Luego, 7 horas es el tiempo en que María arma el rompecabezas sola.
Ahora que los alumnos resuelvan los ejercicios de tarea!!!!!!!! Los impares están en negrita
3
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EJERCICIOS DE TAREA (PROBLEMAS DE TRABAJO)
Resuelve los siguientes problemas usando una ecuación con una incógnita.
1. Un agricultor puede arar un campo en 4 días empleando un tractor. Su peón puede arar el mismo campo en 6 días utilizando un tractor más chico. ¿Cuántos días se requieren para el arado, si ellos trabajan juntos? R = 2 días con dos quintos de día. 2.
Si en el ejercicio anterior, el peón trabajó un día con el tractor chico y después se agregó
el agricultor para trabajar juntos, ¿cuántos días se necesitaron para arar el campo? R = 3 días (juntos trabajaron 2 días).
3. Tres llaves llenan un depósito en 20, 30 y 60 minutos respectivamente. Calcular el tiempo que tardará en llenarse el depósito si se abren las 3 llaves simultáneamente. R = 10 min. 4.
Trabajando juntos los obreros A y B realizan un trabajo en 6 días. El obrero A trabaja 2
veces más de prisa que B. Hallar el tiempo que tardarán en realizar dicho trabajo si cada uno lo hace por separado.
R = A en 9 días y B en 18 días.
5. El pintor A trabaja 3 veces más rápido que el pintor B. Los pintores A y B empiezan a trabajar juntos durante 4 horas, al cabo de los cuales A se retira y continúa solo B que termina el trabajo en 2 horas. Hallar el tiempo que tardaría cada pintor en realizar dicho trabajo si cada uno lo hace por separado. R = A en 6 horas y B en 18 horas. 6. Una llave A puede llenar un tanque en 2 horas, una segunda llave B puede llenarlo en 3 horas, y otra llave C puede vaciarlo en 6 horas. Si el tanque está inicialmente vacío y se abren simultáneamente las tres llaves, ¿cuánto tiempo se necesitará para llenar el tanque? R = en hora y media.
7. A puede pintar una casa en 8 días y B puede hacerlo en 6 días, ¿cuánto tiempo necesitara B para terminar el trabajo después de que ambos han trabajado juntos durante 3 días? R = ¾ de día. 8. Suponga que A hace una cierta tarea en 8 horas, B en 10 horas y C en 12 horas, ¿cuánto tardará en hacerse la tarea si A y B trabajan durante 2 horas y después A y C la terminan? R = en 4 horas y 38.4 minutos.
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Tema1.3: Problemas Verbales de TRABAJO con 1 incógnita.
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9. Un fabricante tiene 3 máquinas A, B y C con las cuales elabora cierto producto, del cual tiene que surtir una orden de 10000 unidades. La máquina A puede surtir la orden en 12 horas y la máquina B en 16 horas. Se pone a trabajar la máquina A en el pedido, pero después de 1 hora se descompone. Entonces se pone en operación la máquina B y continúa trabajando en el pedido durante 4 horas, al cabo de los cuales también se descompone. Finalmente, se asigna la máquina C al pedido que queda completo en otras 6 horas. ¿Cuánto tiempo le habría tomado a la máquina C sola, atender el pedido? R = 9 horas. 10.
Una pipa se tarda 30 minutos en llenar un tanque y, después de que ha estado
trabajando durante 10 minutos, deja de hacerlo. Entonces se abre la llave de una segunda pipa y termina de llenar el tanque en 15 minutos. ¿Cuánto se tardaría en llenar el tanque la segunda pipa sóla?
R = en 22 minutos y medio.
11. Hay dos incineradores, cada uno de los cuales puede eliminar los desperdicios de un día en 20 horas; junto con un tercer incinerador (recién comprado) eliminan los desperdicios en seis horas. ¿En qué tanto tiempo puede hacer todo el trabajo el nuevo incinerador? R = en 15 horas. 12.
Una máquina pone etiquetas a 1200 latas por hora, y otra las pone a 900 latas por hora.
A las 8 de la mañana empieza a trabajar la máquina lenta y una hora más tarde (a las 9 A.M.) empieza a trabajar la máquina más rápida. ¿Cuánto tardarán ambas máquinas en poner etiquetas a 8200 latas? ¿A qué hora terminan? R = en 4 horas con 20 minutos; a las 12:20.
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