Ejercicios resueltos
18 de septiembre de 2003
2
1 Ejercicios Tema I
vac´ıa Ejercicio 1 Demostrar que una clase no vac´ y s´ olo olo si se verifican las siguientes propiedades: propiedades: c i) Si A entonces A . ii) Si A, B , entonces A B .
∈A ∈A
A es un ´ algebra en Ω si
∈A ∩ ∈A
−→ Ω, demostrar las siguientes propiedades: (i) F −1 (∪Bi ) = ∪F −1 (Bi ), F −1 (∩Bi ) = ∩F −1 (Bi ), F −1 (B c ) = [F −1 (B )]c , (ii) F ( F (∪Ai ) = ∪F ( F (Ai ), F ( F (∩Ai ) ⊂ ∩F ( F (Ai ), c ⊂ c (iii) Si F es sobre F ( F (A) F ( F (A ). (iv) Si F es inyectiva F ( F (A)c ⊃ F ( F (Ac ) y F ( F (A)c ∩ F (Ω) F (Ω) = F ( F (Ac ). on F on F :: Ω Ejercicio 2 Dada una aplicaci´
→ Ω, demostrar que: (a) Si A es una σ–´ algebra de Ω, A = {B ⊂ Ω : F −1 (B ) ∈ A} lo es de Ω . (b) Si A es una σ–´ algebra de Ω , A = F −1 [A ] = {F −1 (B ) ⊂ Ω : B ∈ A} lo es de Ω. (c) Si C ⊂ P (Ω (Ω ), σ [F −1 (C )] = F −1 [σ (C )]. )]. (d) Demostrar que si (Ω, (Ω, T ) y (Ω , T ) son espacios topol´ ogicos y F es −1 continua, entonces F (B ) ∈ B (Ω), (Ω), para todo B ∈ B (Ω ). on F : F : Ω Ejercicio 3 Dada una aplicaci´
Ejercicio 4 Consideremos las siguientes extensiones de una familia
de subconjuntos de Ω:
C
C1 = {A ⊂ Ω : A ∈ C ´ o Ac ∈ C} , C2 = {A1 ∩ · · · ∩ An : Ai ∈ C1, n ∈ N}, C3 = {A1 ∪ · · · ∪ An : Ai ∈ C2, n ∈ N}. Demostrar que C3 = α(C ). Ejercicio 5 Sean (Ω1 ,
A
A
espacios medibles. Demostrar 1 ), . . . , (Ωn , n ) espacios que la familia de los rect´ angulos medibles,
R = {A1 × · · · × An ⊂ Ω1 × · · · × Ωn : es una clase elemental.
Ai
∈ A i },
2
B C1 = {(a, b) : a, b ∈ R}, C2 = {(a, b] : a, b ∈ R}, C3 = {[a, b) : a, b ∈ R}, C4 = {[a, b] : a, b ∈ R}, C5 = {(−∞, b) : b ∈ R}, C6 = {(−∞, b] : b ∈ R}, algebra B(R) se genera por la familia Ejercicio 7 Demostrar que la σ–´ C = {(a, b] : a, b ∈ R}. Demostrar: (a) ∅ ⊂ liminf A liminf An ⊂ limsup An ⊂ Ω. Ejercicio 8 Demostrar: (b) Si An ↑ A (´ o An ↓ A), entonces limsup An = liminf A liminf An = A. la σ –´ algebra (R) se genera por las familias: Ejercicio 6 Demostrar que la σ
algebra infinita contener s´ olo una colecci´ on Ejercicio 9 ¿Puede una σ –´ numerable de elementos?
P (N), µ), el espacio de medida de contar en los naturales. naturales. Encontr Encontrar ar una sucesi´ sucesi´ on An ↓ ∅ para la que no se verifique µ(An ) → µ(∅) = 0. Ejercicio 11 Consideremos (N, P (N), µ), para µ(A) = 0 si A es finito y µ(A) = ∞ en caso contrario. (a) Demostrar que µ es aditiva pero no numerablemente aditiva. (b) Encontr Encontrar ar una sucesi´ sucesi´ on An ↑ A para ara la que que no se veri verifiq fique ue µ(An ) → µ(A). on An ∈ A , demostrar Ejercicio 12 Dada una medida µ y una sucesi´ Ejercicio 10 Consideremos (N,
que
∞
µ(
∞
An )
n=1
≤
µ(An ).
n=1
A → [0, [0, ∞], aditiva en un ´ algebra A. Dada Dada una una sucesi´ on A on An ∈ A de conjuntos disjuntos cuya uni´ on est´ a en A, demostrar
Ejercicio 13 Sea µ :
que
∞
µ(
n=1
∞
An )
≥
µ(An ).
n=1
(Ω, Ejercicio 14 Dado un espacio de medida (Ω,
A, µ) y una sucesi´ on A on An ∈
A, demostrar que: i) µ(lim (lim inf A inf An ) ≤ lim lim inf µ inf µ(An ). ii) Que si µ(∪An ) < ∞, entonces limsup µ(An ) ≤ µ(lim (lim sup An ).
3 Demostrar el Lema de Borel–Cantelli: Borel–Cantelli: Sea (Ω, Ejercicio 15 Demostrar (Ω, , µ) un espacio de medida y C n , entonces
A
∈A
∞
µ(C n ) < n=1
∞ ⇒
µ(lim (lim supC sup C n ) = 0. 0.
algebra Ejercicio 16 Dada una medida finita µ sobre una σ– ´
y una sucesi´ on An tal que liminf A liminf An = limsup An = A, demostrar que µ(A) = lim n→∞ µ(An ).
∈A
on doble xnm Ejercicio 17 Dada una sucesi´ cualesquiera n, m N, xnm xn+1,m +1,m y xnm
∈
≤
A
∈ (−∞, ∞], tal que para ≤ xn,m+1 n,m+1 , demostrar que
lim lim xnm = lim lim xnm .
n→∞ m→∞
m→∞ n→∞
medible (Ω (Ω,, Ejercicio 18 Dado un espacio medible
A) y una sucesi´ on de medidas
en ´el µn . Demostrar: a) Si µn µn+1 , entonces µ(A) = lim µn (A) define una medida en el espacio. b) Sean como sean las µn , µ(A) = µn (A), define una medida en el espacio.
≤
Ejercicio 19 Dado un espacio no numerable Ω y
A = {E ⊂ Ω :
µ(E ) = demostrar que
0, 1,
E ´ o E c es numerable ,
}
si E es numerable , si E c es numerable ,
para cada E
∈ A,
A es σ–´ algebra y µ medida. A
Ejercicio 20 Dado un espacio de medida semifinita (Ω, (Ω, , µ), es decir tal que para todo E con µ(E ) = existe F , con F E y 0 < µ(F ) F ) < , demostrar que para todo E con µ(E ) = y todo r > 0 existe F , con F E y r < µ( µ (F ) F ) < .
∞ ∈A
∈A
∞
⊂
∈A ∞
∈A
∞
⊂
–finita es semifinita semifinita.. Dar Dar Ejercicio 21 Demostrar que toda medida σ –finita un contraejem contrae jemplo plo para el e l rec´ rec´ıproco.
4
(Ω, Ejercicio 22 Dado un espacio de medida (Ω, [0, [0,
A, µ), definimos λ : A →
∞], de la siguiente manera λ(A) = sup {µ(B ) : B ∈ A, B ⊂ A y µ(B ) < ∞},
demostrar que: a) λ es una medida semifinita. b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ. Ejercicio 23 Demostrar que la medida exterior de Lebesgue en R, se
C
{
}
puede puede definir definir en vez de con la clase clase = (a, b] , como vimos en el ejemplo ( ?? agina ??, con cualquiera de las clases 1 = (a, b) , ??), de la p´ en en la 2 = [a, b] , 3 = [a, b) y con ρ de cualquier intervalo tambi´ diferencia de extremos.
C
{
} C
{
C
}
{
}
Ejercicio 24 Sea µ Sea µ∗ una medida exterior en Ω y λ y λ la medida restricci´ restricci´ on
de µ∗ a la σ–´ algebra ∗ . Demostrar que: ∗ (a) µ λ∗ . ∗ (b) Si µ es la medida exterior generada por una medida µ en un algebra ´ , entonces µ∗ = λ∗ . (c) Encontr Encontrar ar una medida medida exterior exterior µ∗ en Ω = 0, 1 , para la que ∗ ∗ µ =λ .
A
≤
A
{ }
A
(Ω, Ejercicio 25 Dado un espacio de medida (Ω,
, µ). Demostrar: (a) Si A, B y µ(A B ) = 0 entonces µ(A) = µ(B ). (b) La relaci´ on entre conjuntos medibles medibles A A B si y s´ olo si µ si µ(A B ) = 0, es de equivalencia. (c) En el espacio cociente = A : µ(A) < / la aplicaci´ aplicaci´ on
∈A
X { ∈ A ρ(A, B ) = µ(AB ),
∞}
∈ X → Ac ∈ X es X × X → X (A, B ) → AB,
define una m´ etrica, etrica, respecto de la que q ue la aplicaci´ on A una isometr´ isom etr´ıa ıa (si µ(Ω) < ) y las aplicaciones de
∞
(A, B )
→ A ∪ B,
(A, B )
→ A ∩ B,
son continuas. Sea (Ω,, Ejercicio 26 Sea (Ω ∗
A, µ) un espacio de medida y sea Aµ su completa-
ci´ on y µ la medida exterior generada por µ. Demostra Demostrarr que para para cada cada A Ω: µ∗ (A) = inf µ(B ) : B ,A B ,
⊂
{
∈A ⊂ }
5
y que si definimos la “medida interior” µ∗ (A) = sup µ(B ) : B
{
∈ A, B ⊂ A},
entonces si A si A que µ∗ (A) = µ∗ (A) = µ(A) y rec´ıprocam ıp rocamen ente te µ se tiene que µ ∗ si µ∗ (A) = µ (A) < entonces A . µ
∈A
∞
∈A [0, ∞], para para i = 1, . . . , n medidas de Ejercicio 27 Sean µi : B (R) → [0, Lebesgue–Stieltjes. Demostrar que existe una ´ unica medida µ : B(Rn )) → [0, [0, ∞], tal que para cada semirrect´ angulo acotado (a, b], µ(a, b] = µ1 (a1 , b1 ] · · · µn (an , bn ]. Lebesgue–Stieltjes Ejercicio 28 Demostrar que toda medida en B(Rn ) de Lebesgue–Stieltjes
es σ es σ –finita. Encontrar una que sea σ sea σ–finita pero pero no de Lebesgue–Stieltjes. Lebesgue–Stieltjes. Encontrar una que sea σ–finita pero no regular. Ejercicio 29 Demostrar que toda medida semifinita µ :
es regular interior.
B(Rn) → [0, [0, ∞]
∈ R y B ∈ L(Rnn), entonces entonces tB ∈ ∈ B R Adem´ dem´ as si B ( ), entonces entonces tB ∈
Ejercicio 30 Demostrar que si t Rn
n
L( n) y m(tB) tB ) = |t| B(R ).
m(B ).
on nuEjercicio 31 ¿Se puede poner un cuadrado del plano como uni´ merable de segmentos? 0 , H p es la medida de contar. Ejercicio 32 Demostrar que para p = 0, Sea Ω Ejercicio 33 Sea Ω
⊂ Ω y consideremos el espacio m´etrico etrico (Ω , d), con
la m´etrica etrica inducida. Demostrar que la medida exterior de Hausdorff en Ω , H p = H p|P (Ω (Ω ) .
Ejercicio 34 Demostrar que si A
p. p.
⊂ Ω y 0 < H p(A) < ∞, dimH (A) =
{} ∈ Ω. Ejercicio 36 Demostrar que dimH (∪An ) = supdimH (An ). Ejercicio 35 Demostrar que dimH ( x ) = 0, para cada x
6
etri et rica ca eucl´ e ucl´ıdea, ıdea , dem d emososEjercicio 37 En los subespacios de Rn con la m´ trar que la dimensi´ on vectorial y la de Hausdorff coinciden.
Ejercicios Tema II
Sea f :: (Ω, (Ω, Ejercicio 38 Sea f
A) → (R, B(R)) acotada. Demostrar que existe una sucesi´ on de funciones simples sn tales que sn → f uniformemente.
Ejercicio 39 Sean f y g funciones medibles y A un conjunto medible.
Demostrar que es medible la funci´ on h(x) =
f ( f (x) g (x)
∈ ∈
si x A, si x / A,
A, µ) un espacio de medida. Probar que f : f : Ω → R es medible si para cualesquiera m, n ∈ Z, {x : mf (x) < n } es medible.
Sea (Ω,, Ejercicio 40 Sea (Ω
funciones medibles. medibles. Demostra Demostrarr que los conconEjercicio 41 Sean h y g funciones juntos
{x ∈ Ω :
} {x ∈ Ω :
h(x) < g (x) ,
h(x)
≤ g(x)}, {x ∈ Ω :
son medibles. Ejercicio 42 a) Sea f medible y f = g c.s. ¿es nece necesaria sariamente mente g me-
dible?, ¿y si el espacio es completo?. b) Sean Sean f g h, con f y h medibl medibles es tales que f = h c.s. c.s. ¿es ¿es necesariamente g medible?, ¿y si el espacio es completo?.
≤ ≤
Sea f n una sucesi´ on de funciones medibles, demostrar que Ejercicio 43 Sea f es medible el conjunto x : existe y es finito el lim f n (x) .
{
f : R Ejercicio 44 Sea f :
}
→ R mon´ otona creciente, ¿es f borel medible? olo si |f | es medible? En Ejercicio 45 ¿Es cierto que f es medible si y s´ caso contrario dar un contraejemplo.
}
h(x) = g(x) ,
7
on de subconjuntos de Ω. Demost Demostrrar Ejercicio 46 Sea An una sucesi´ que inf I inf I An = I ∩An , liminf I liminf I An = I liminf A l iminf An , Ejercicio 47 Sean A, B
A∆B . Ejercicio 48 Si f : f : R
f es Borel medible.
⊂ Ω.
sup I An = I ∪An , limsup I An = I limsup l imsup An .
Demost Demostrrar que x
{ ∈Ω:
I A = I B =
}
→ R tiene derivada en todo punto, demostrar que
Ejercicio 49 Demostrar que f = (f 1 , . . . , fn ) : Ω
s´ olo si cada f i lo es.
→ Rn es medible si y
A, µ) un espacio de medida y f = n∞=1 anI A , con an ∈ (0, (0, ∞) y An ∈ A, calcular f dµ. dµ . integrable. able. Demostra Demostrarr que ∀ > 0 existe un Ejercicio 51 Sea f ≥ 0 integr medible A, con µ(A) < ∞ tal que f < A f + .
Ejercicio 50 Sea (Ω, (Ω,
n
Demostrarr que existe una funEjercicio 52 Sea f integrable y > 0. Demostra ci´ on simple s tal que
| − | f
Ejercicio 53 Sean µ1
s < . .
≤ µ2
medid medidas. as. Demost Demostra rarr que si una funci´ funci´ on medible medible compleja compleja f es µ2 –integrable, entonces es µ1–integrable.
Ejercicio 54 Sean f n
0 medibles tales que f n f . f . Demostr Demostrar ar que si f . f . ¿Es cierto si f 1 no es integrable?
→≥ → ≥| − | →
f 1 es integrable,
f n
Ejercicio 55 Sean f, f n
trar que f n
f sii
↓
0 integrables, tales que f n f n f 0.
→ f c.s. DemosDemos-
Ejercicio 56 Sea µ(Ω) <
∞ y f n integrables tales que f n → f uniformemente. Demostrar que f es integrable y que f n → f . f . Ejercicio 57 Sean f, f n integrables, tales que f n → f c.s. Demostr Demostrar ar que |f n − f | → 0 sii |f n | → |f |.
Ejercicio 58 Sea f Sea f integrable integrable y g medible acotada, demostrar que f g es
integrable.
8
que µ es σ es σ –finita si y s´ olo si existe una funci´ on Ejercicio 59 Demostrar que µ medible estrictamente positiva e integrable.
B(Ω) tal → R continuas tales que
Ejercicio 60 Sea Ω un espacio topol´ ogico, µ una medida en
que µ(A) > 0, para cada abierto A y f, g : Ω f = g c.s., demostrar que f = g .
entonces existe la y en ambos casos
≤ g c.s., existe la f y −∞ < g y si existe la g y g < ∞, entonces existe la f ≤ g.
Ejercicio 61 Demostrar que si f
f , f , f
Ejercicio 62 Demostrar el teorema de la convergencia mon´ otona cuan-
do las condiciones son c.s. Ejercicio 63 Calcular: 1
lim
n→∞ 0
f : R Ejercicio 64 Sea f :
(1 + nx2 )(1 + x2 )−n dm.
→ R medible y a ∈ R. Demostrar que
∞
∞
f (x)dm =
−∞
f ( f (x
−∞
− a)dm,
en el sentido de que si una integral existe tambi´ en en la otra y coinciden. coinciden. f : R Ejercicio 65 Sea f :
∈
todo t (a, b) y que F (t) =
→ R medible tal que txetx f ( f (x) es integrable para
⊂ R.txDemostrar que F ( F (t) =
x e f ( f (x) dm. dm.
e f (x) dm es diferenciable
≥ 0 y 0 ≤α αn ≤ 1, la sucesi´ on (1 + ≤ es creciente y para 1 α, (1 − (t/n) t/n) ) tambi´ tam bi´en en es creciente. crecient e.
Ejercicio 66 Demostrar que para t α n
(t/n) t/n) )
Ejercicio 67 Demostrar que n
(a)
lim
n→∞ 1
(1
1
(b)
lim
n→∞ 0
(1
n
− (t/n)) t/n))
∞
log t dm =
e−t log tdm.
1
n
− (t/n)) t/n))
1
log t dm =
0
e−t log tdm.
9
Sea f no negativa e integrable, con 0 < Ejercicio 68 Sea f sea 0 sea 0 < α <
lim
n→∞
∞. Demostrar que
∞ f n
n log 1 +
,
α
dµ =
f dµ = c <
∞ y
si 0 < α < 1, si α = 1, 1, si 1 < α < .
c, 0,
∞
–integrable, entonces para para cada Ejercicio 69 Demostrar que si f es µ–integrable, > 0, existe un δ > 0, tal que µ(E ) < δ
| |
f dµ < .
⇒
E
→ R es Lebesgue integrable F ( F (x) =
f : R Ejercicio 70 Demostrar que si f : x −∞ f dm
es uniformemente continua.
Ejercicio 71 Demostrar que si f tiene integral impropia de Riemann,
entonces entonces es continu continua a c.s. ( m), pero no rec´ rec´ıprocamente. ıprocament e. f : R Ejercicio 72 Sea f :
R no negativa, con integral impropia de Riemann finita, demostrar que f es Lebesgue medible e integrable y las dos integr integrales ales coinciden. coinciden. Dar un contr contraejem aejemplo plo si quitamos quitamos la no negativi negativi-dad.
→
f : R Ejercicio 73 Demostrar que si f :
[−∞,∞]
f dm dm =
→ R es Lebesgue integrable
lim
a→−∞, b→∞ [a,b] a,b]
f dm.
¿Es cierto si existe la integral pero no es finita? ∞ n −x 0 x e
dm = n!. (b) Demostrar que para t > 0, dm = 1/t y utilizarlo para demostrar (a) —sabiendo que la integral es finita—, derivando respecto de t.
on que Ejercicio 74 Demostrar por inducci´ ∞ −tx 0 e
Ejercicio 75 Calcular:
(a) limn→∞ (b) limn→∞ (c) limn→∞
∞ (x/n)) ))−n sen(x/n sen(x/n)) dm. dm. 0 (1 + (x/n ∞ 2 −1 sen(x/n)[ )[x x(1 + x )] dm. dm. 0 n sen(x/n ∞ 2 2 −1 dm, dm, en funci´ on a n(1 + n x )
de a.
10 Ejercicio 76 Dadas las funciones x
f ( f (x) =
e
−t2
0
dt
demostrar que: (a) f (x) + g (x) = π/4 π/4. (b) Ejercicio 77 Demostrar:
(1)
∞ 2n −x2 e −∞ x
(2) Para a
≥ 0,
(3) Para p > 0,
2
1
,
g (x) =
0
∞ −x2 0 e
√
dm =
dm = 2n 2 n! π/4 π/4n n!.
2
2
e−x (t +1) dt, t2 + 1
√ π/2 π/2.
√
2 ∞ −x2 cos axdm = π e−a /4 . −∞ e 1 p−1 ∞ (x 1)−1 log x dm = n=0 1/( p 0 x
−
+ n)2 .
on en (0, (0, Ejercicio 78 Demostrar que es de clase infinito la funci´ ∞
Γ(y Γ(y ) =
∞)
e−x xy−1 dm,
0
y que verifica: Γ(y Γ(y + 1) = yΓ(y Γ(y) para y > 0; que Γ(n Γ(n + 1) = n!, para n = 0, 0 , 1, 2, . . .; .; y que Γ(1/ Γ(1/2) = π .
√
11 Ejercicios Tema III
espacios topol´ ogicos. Demostrar que: Ejercicio 79 Sean Ω1 y Ω2 espacios
B
×B
⊂B
×
(a) (Ω1 ) (Ω2 ) (Ω1 Ω2 ). (b) Si sus topolog´ topolog´ıas tienen bases numerables, n umerables, Ω2 ).
B(Ω1) × B(Ω2) = B(Ω1 ×
A1) y (Ω2, A2) espacios medibles y f : f : Ω1 → R y g : Ω2 → R medibles, demostrar que h(x, y ) = f ( f (x)g (y ) es A1 × A2 –
Ejercicio 80 Sean (Ω1 ,
medible.
Ejercicio 81 Demostrar que (
A1 × · · · × An−1) × An = A1 × · · · × An.
Ejercicio 82 Sea f : f : R2
→
R, tal que f x es Borel medible para cada x y f y continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible.
A
A
espacios de medida medida σ – Ejercicio 83 Sean (Ω1 , 1 , µ1 ) y (Ω2 , 2 , µ2 ) espacios finita y completos, completos, ¿es necesariamente necesariamente completo el espacio espacio producto?. producto?. Ejercicio 84 Sean (Ω1 ,
A1, µ1) y (Ω2, A2, µ2) espacios espacios de medida medida σ – finita y E, F ∈ A1 × A2 , tales que para todo x ∈ Ω1 c.s. ( µ1 ), µ2 (E x ) = µ2 (F x ). Demostrar que µ(E ) = µ(F ) F ).
Ejercicio 85 Sean (Ω1 ,
A1)
A A
y (Ω2 , 2 ) espacio espacioss medible medibless y Λ : Ω1 [0, [0, ] una medida de transici´ on. Demostrar que: (a) Si µ es una medida en (Ω1 , 1 ), entonces
A2 → ∞
λ(B ) =
A
es una medida en (Ω2 , 2 ). (b) Si g 0 es medible en (Ω2 ,
≥
f ( f (x) = es medible en (Ω1 ,
ΛB dµ,
A2),
g dΛx ,
A1) y se tiene que
f dµ =
g dλ. dλ.
×
12
Demostrar ar que: (a) Si F : F : (Ω, (Ω, Ejercicio 86 Demostr
A
µ es una medida en (Ω, (Ω, ), ν = F ( F (µ), para
A) → (Ω, A) es medible y
ν (A) = µ[F −1 (A)], )], es una medida en (Ω , ) y si ν es σ–finita, µ tambi´ tam bi´en en lo es. (b) Si F 1 : (Ω1 , 1 ) (Ω1 , 1 ) y F 2 : (Ω2 , 2 ) (Ω2 , 2 ) son medibles entonces tambi´en en es medible
A A →
A
A →
A
⊗ F 2 : Ω1 × Ω2 → Ω1 × Ω2 , F 1 ⊗ F 2(x, y) = (F 1(x), F 2(y)), )), y dadas medidas µ1 en (Ω1 , A1 ) y µ2 en (Ω2 , A2 ), tales que ν i = F i (µi ) F 1
son σ–finitas, se verifica que F 1
⊗ F 2(µ1 × µ2) = ν 1 × ν 2.
espacios de medida medida σ – Ejercicio 87 Sean (Ω1 , 1 , µ1 ) y (Ω2 , 2 , µ2 ) espacios R y g : Ω2 R medibles e integrables, demostrar que finita y f : f : Ω1 h(x, y ) = f ( f (x)g (y ) es µ = µ1 µ2 –integrable y
A
→
h dµ =
(Ω, Ejercicio 88 Sea (Ω,
A
→ ×
f dµ 1
g dµ2 .
A, µ) un espacio de medida σ–finita y f : f : Ω → R
medible y no negativa. Demostrar que la gr´ afica de f es medible
{
E = (x, y) y que µ
∈ Ω × [0, [0, ∞] :
} ∈ A × B(R),
y = f ( f (x)
× m(E ) = 0.
(Ω, Ejercicio 89 Sea (Ω,
, µ) un espacio de medida σ–finita y f : f : Ω R medibl mediblee y no negativa. negativa. Demostr Demostrar ar que la funci´ on F ( F (y) = µ f −1 (y ) es medible y F = 0 c.s.
A
{
→ }
A, µ) un espacio de medida σ–finita y f, g : Ω → [0, [0, ∞) medibles y tales que para cada x > 0, µ{f > x} ≤ µ{g > x}.
(Ω, Ejercicio 90 Sea (Ω, Demostrar que
f dµ
≤
g dµ. dµ.
13
A, µ) un espacio de medida medida σ σ –finita, f : f : Ω → [0, [0, ∞]
Sea (Ω,, Ejercicio 91 Sea (Ω medible y 1
≤ p < ∞. Demostrar que
∞
p
f dµ =
pt p−1 µ f > t dt.
{
0
}
Ejercicios Tema IV
Ejercicio 92 Sean λ1 , λ2 :
A → (−∞, ∞] cargas, demostrar que |λ1 + λ2| ≤ |λ1| + |λ2|.
A, λ) un espacio espacio medible medible con una carga. carga. DemosDemostrar: (a) E ∈ A es nulo si y s´ s´ olo olo si |λ|(E ) = 0. (b) Si P, N y P , N son descomposiciones de Hahn, |λ|(P P ) = 0.
(Ω, Ejercicio 93 Sea (Ω,
Sean µ1 , µ2 medidas, µ = µ1 +µ2 y f y f una funci´ on medible. medible. Ejercicio 94 Sean µ Demostrar que existe f dµ sii existen f dµ1 la f dµ 2 y su suma est´ a definida. Y en tal caso
f dµ =
f dµ 1 +
f dµ 2 .
Ejercicio 95 Sea λ una carga. Demostrar:
(a) g es λ–integrable si y s´ olo si es λ –integrable. (b) Si g es λ–integrable,
||
≤ | | | |
g dλ
g dλ.
(c) Existe una medida µ y una funci´on on medible f , f , con integral respecto de µ, tal que para todo E
∈A
λ(E ) =
E
f dµ.
14
B
on de Jordan para la Ejercicio 96 Encontrar en (R) la descomposici´ carga λ = P
− δ {0}, siendo P una probabilidad. probabilidad.
on con integral en el espacio de medida Ejercicio 97 Sea f una funci´
A
(Ω, (Ω, , µ) y consideremos la carga λ = f µ. Demostrar que +
λ (A) =
−
+
f dµ,
λ (A) =
A
−
f dµ,
A
|λ|(A) =
Ejercicio 98 Demostrar que si una carga λ = µ1 dos medidas µi , entonces λ+ µ1 y λ− µ2 .
≤
≤
| |
f dµ.
A
− µ2 es diferencia de
Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, (Ω, Ejercicio 99 Sea λ que
A), demostrar
n
|λ|(A) = sup
{ |
|
λ(E i ) : E i
i=1
¿Es cierto el resultado si ponemos
∈ A, disjuntos , ∪E i = A}, ∞ i=1
en lugar de sumas finitas?.
A) un espacio medible con una medida compleja − + λ = λ1 + iλ2 = λ1+ − λ− 1 + iλ2 − iλ2 ,
Sea (Ω,, Ejercicio 100 Sea (Ω
demostrar que λ± i
≤ |λi | ≤ |λ| ≤ λ1+ + λ−1 + λ2+ + λ−2 .
Sea (Ω,, Ejercicio 101 Sea (Ω
A
, µ) un espacio de medida y f una funci´ on medible dible no negat negativa iva.. Si definimos definimos la medida medida λ(A) = A f dµ, dµ , demostra demostrar r que para para cada funci´on on medible g
g dλ =
fgdµ,
en el sentido de que si una de las integrales existe tambi´en en la otra y son iguales.
15
–finitas, en (Ω, (Ω, Ejercicio 102 Sean λ1 , λ2 y λ3 medidas, λ2 y λ3 σ–finitas, demostrar que si λ1 tiene que
A),
λ2 y λ2 λ3, entonces λ1 λ3 y adem´ as se dλ1 dλ1 dλ2 = . dλ3 dλ2 dλ3
µ y sea λ sea λ = µ + ν . Demostrar que ν λ y si f = dν/dλ, dν/dλ, entonces 0 ≤ f < 1 c.s ( µ) y que dν/dµ = f /(1 − f ) f ). Ejercicio 104 Sean λ y µ medidas σ–finitas en (Ω, (Ω, A), demostrar que son equivalentes las condiciones: (a) µ λ y λ µ. (b) {A ∈ A : µ(A) = 0} = {A ∈ A : λ(A) = 0}. (c) Existe una funci´ on on medible g : Ω → (0, (0, ∞), tal tal que que λ(A) = Ejercicio 103 Sean µ Sean µ y ν y ν medidas σ –finitas, con ν con ν
dµ. A g dµ.
A
Ejercicio 105 Demostrar que si (Ω, (Ω, , µ) es un espacio de medida σ – finita, existe una medida finita λ, que tiene los mismos conjuntos nulos que µ.
(Ω, Ejercicio 106 Sea (Ω,
A, µ) un espacio de medida finita y f : Ω → C
integr integrable. able. Demostr Demostrar ar que si S es un cerrado de C, tal que para cada E con µ(E ) > 0, se tiene
∈A
1 µ(E ) entonces f ( f (x)
E
f dµ
∈ S
∈ S c.s.
(Ω, Ejercicio 107 Sea (Ω,
A, µ) un espacio de medida. Demostrar que {λ ∈ M(A, R) : λ µ}, es un subespacio vectorial cerrado del espacio de Banach M(A, R). Ejercicio 108 Sean ν 1 µ1 en (Ω1 , A1 ) y ν 2 µ2 en (Ω2 , A2 ), medidas σ –finitas. Demostrar que ν 1 × ν 2 µ1 × µ2 y que d(ν 1 × ν 2 ) dν 1 dν 2 (x, y ) = (x) (y ). d(µ1 × µ2 ) dµ1 dµ2
16
Sea f medible compleja integrable respecto de una medida Ejercicio 109 Sea f compleja λ, demostrar que
f dλ
≤ | | | |
f d λ .
Ejercicio 110 Demostrar que si λ1 y λ2 son complejas y λ1
tonces λ1 + λ2 = λ1 + λ2 .
|
| | | | |
⊥ λ2, en-
Ejercicios Tema V
´ y el volumen de la elipse y elipsoide respectiEjercicio 111 Calcular el area vamente
x2 y2 + = 1, 1, a2 b2
Ejercicio 112 Sea σ : , si σ(t) = (xi (t)) [a, b]
⊂
→
n
una curva de clase 1, demostrar que para todo
b
H 1 (σ[a, b]) = a
x2 y2 z 2 + + = 1. 1. a2 b2 c2
n
b
σ (t) dt =
a
xi (t)2 dt. i=1
1 con sideremos eremos su gr´afica afica F : Ejercicio 113 Sea f ( 2 ) y consid F : 2 (x,y,f (x, y)), demostrar que para todo A ( ),
∈C
2
∈B
→
3
, F ( F (x, y ) =
1 + f x2 + f y2 dxdy.
γ 2 H 2 [F ( F (A)] = A
Ejercicio 114 (1) Demostrar que el ´ area de la esfera de radio r es 4πr 2 . ´ del casquete esf´ erico erico de radio r y altura h es 2πrh . (2) Demostrar que el area
Ejercicios Tema VI
Ejercicio 115 Demostr Demostrar ar que si f
f ∞} es localmente nulo.
∈ L∞,
{
entonces entonces x :
|f ( f (x)|
>
17 Ejercicio 116 Demostrar que si f
∈ L∞ y es integrable, entonces {x :
|f ( f (x)| > f ∞ } es nulo. Sea (Ω,, A, µ) un espacio de medida σ–finita. Demostrar Ejercicio 117 Sea (Ω que {λ ∈ M(A, R) : λ µ}, es un subespacio vectorial cerrado del espacio de Banach M(A, R), que es isomorfo a L1 (Ω, (Ω, A, µ, R). Dar un isomorfismo. Ejercicio 118 Sea (Ω Sea (Ω,, A, µ) un espacio de medida σ –finita y f : f : Ω → C medible. medible. Demostrar que µf (B ) = µ[f −1 (B )] es una medida en B(C), y que si f ∈ L∞, entonces K = {z ∈ C : µf [B (z, )] > 0, ∀ > 0}, es un compacto, donde B (z, ) = {z : |z − z | < } y que f ∞ = sup{|z| : z ∈ K }. Ejercicio 119 Demostrar que si 0 si 0 < r < p < s < ∞, entonces L entonces Lr ∩Ls ⊂ L p ⊂ Lr + Ls . Ejercicio 120 Demostrar que si 0 < r < s < ∞ y f ∈ Lr ∩ Ls , entonces f ∈ L p , para todo p ∈ [r, s]; que la funci´ on φ( p) p) = log
| |
f p dµ,
≤ max{f r , f s}.
es convexa en [r, s] y que f p
Ejercicio 121 Demostr Demostrar ar que un espacio espacio normado
∈ E xn < ∞ ⇒
para cada sucesi´ on xn
xn
E es completo sii
es convergente .
Ejercicio 122 Demostrar la desigualdad de Holder generalizada: Si 1
p1 , . . . , pn
≤ ∞ son tales que n
i=1
f i
∈ Lr ,
y
(1/p (1/pi ) = 1/r n
i=1
≤ 1 y f i ∈ L p , entonces i
n
f i
r ≤ f i p . i=1
i
≤
18
∈ L p para 0 < p < 1, entonces f + g p ≤ 2 −1(f p + g p) un 0 < p < ∞, entonEjercicio 124 Demostrar que si f ∈ L p para alg´ ces f r → f ∞, cuando r → ∞. Ejercicio 125 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y 0 < r < s < ∞, entonces Ls ⊂ Lr y que para f ∈ Ls f r ≤ f sµ(Ω) − . Ejercicio 126 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y f n , f son medibles, entonces: (a) Si f n → f c.s., entonces f n → f en medida (es decir que para todo > 0 existe un N ∈ N, tal que para n ≥ N , N , µ{|f n − f | > } < ). ). (b) Si f n → f en L p (con 1 ≤ p ≤ ∞), entonces f n → f en medida. Ejercicio 123 Demostrar que si f, g 1
p
1
1
r
s
Ejercicio 127 Demostrar la Desigualdad de Jensen , es decir que si
→ (a, b) es medible medible e integr integrable able y ϕ : (a, b) → R es
µ(Ω) = 1, 1 , f : f : Ω convexa, entonces
ϕ
≤ ◦ f dµ dµ
ϕ f dµ.
si µ(Ω) = 1 y f, y f, g son medibles y positivas Ejercicio 128 Demostrar que si µ y tales que f g
≥ 1, entonces
· f dµ
g dµ
≥ 1.
≤ ∞, entonces lr ⊂ ls. Ejercicio 130 Sea g ∈ L∞, demostrar que para 1 ≤ p < ∞, si f ∈ L p , gf ∈ L p, que la aplicaci´ on G : L p → L p , G(f ) f ) = gf , gf , es lineal y continua y que G = g ∞ . Ejercicio 129 Demostrar que si 0 < r < s
19
Ejercicios resueltos
aplicaci´ on F : Ejercicio 3.- Dada una aplicaci´ F : Ω
→ Ω , demostrar que: (a) Si A es una σ –´algebr alg ebraa de Ω, A = {B ⊂ Ω : F (B) ∈ A} lo es de Ω . (b) Si A es una σ–´ algebra de Ω , A = F [A ] = {F (B) ⊂ Ω : B ∈ A } lo es de Ω. (c) Si C ⊂ P (Ω (Ω ), σ[F (C )] = F [σ(C )]. (d) Demostrar que si (Ω, ogicos y F es continua, (Ω, T ) y (Ω , T ) son espacios topol´ entonces F (B) ∈ B(Ω), para todo B ∈ B(Ω ).
−1
−1
−1
−1
Ind.-
−1
−1
(c) Aplicar el principio de los buenos conjuntos. (d) Aplicar (c).
Ejercicio 4.- Consideremos las siguientes extensiones de una familia
conjuntos conjuntos de Ω:
C de sub-
c
C = {A ⊂ Ω : A ∈ C o´ A ∈ C}, C = {A ∩ · · · ∩ A : A ∈ C , n ∈ }, C = {A ∪ · · · ∪ A : A ∈ C , n ∈ }. Demostrar que C = α(C ). 1 2
1
n
i
1
3
1
n
i
2
3
Soluci´ on.on.- Por una parte tenemos que C ⊂ C1 ⊂ C2 ⊂ C3 ⊂ α(C ), por tanto C3 ) = α(C ) y basta demostrar que C3 es ´algebra. algebra. Que ∅, Ω ∈ C3 es obvio, A = A1 ∪ · · · ∪ An ∈ C3 ⇒ m Ac = Ac1 ∩ · · · ∩ Acn = ( ∪m j =1 B1j ) ∩ · · · ∩ (∪j =1 Bnj ) m n ∈ C3 , = ∪m j =1 · · · ∪j =1 ∩i=1 Bij donde los Bij ∈ C1 . Por ultimo u ´ ltimo es cerrado para uniones finitas.
α(
n
1
n n
1
1
Ejercicio 5.- Sean (Ω1 ,
1 ), . . . , (Ωn , familia de los rect´angulos angulos medibles,
A
i
n)
A
espacios espacios medibles. Demostrar Demostrar que la
R = {A × · · · × A ⊂ Ω × · · · × Ω 1
n
1
n
: Ai
∈ A }, i
es una clase elemental.
∅∈Ry (A1 × · · · × An ) ∩ (B1 × · · · × Bn ) = (A ( A1 ∩ B1 ) × · · · × (An ∩ Bn ), c c [A1 × · · · × An ] =A1 × Ω2 × · · · × Ωn ∪ A1 × Ac2 × · · · × Ωn ∪ . . . ∪ A1 × · · · × An−1 × Acn ∈ A0 .
Soluci´ on.on.-
Ejercicio 9.- ¿Puede una σ–´ algebra algebra infinita infini ta cconten ontener er s´ olo una colecci´ on numerable de elementos?
20 tendr´ıa una colecci´ colecci´ on on numerable numerable An de conjuntos conjuntos Ind. No porque al menos tendr´ disjuntos y las uniones arbitrarias de estos ser´ ser´ıan distintas e identificando cada An con n , estas uniones se identificar´ıan ıan con partes de que es no numerable.
∈
Ejercicio 12.- Dada una medida µ y una sucesi´ on An ∞
µ(
Ind.
∞
An ) n=1
≤
µ(An ). n=1
Ejercicio 14.- Dado un espacio de medida (Ω, (Ω,
A, µ) y una sucesi´ on A ∈ A ,
demostrar que: (a) µ(lim (lim inf A inf An ) liminf µ liminf µ(An ). (b) Que si µ( An ) < , entonces limsup µ(An )
≤
∞
Sean Bn = i∞ =n Ai y C n = µ(An ) µ(C n ) y Bn liminf A liminf An , C n
Soluci´ on.on.-
µ(Bn )
≤
∪ · · · ∪ An−1)c ∩ An.
T´ omense los conjuntos disjuntos Bn = (A omense ( A1
∪
∩
≤
↑
n
≤ µ(lim (lim supA sup A
n ).
∪i∞=n Ai, entonces entonces Bn ⊂ ↓ limsup An .
Ejercicio 15.- (Lema de Borel–Cantelli) Sea (Ω, (Ω,
C n
∈ A, demostrar que
An
⊂ C n,
A, µ) un espacio de medida y
∈ A. Demostrar que ∞
µ(C n ) < n=1
Ind.
Sea Dn =
µ(lim (lim supC sup C n ) = 0. 0.
∞ ⇒
∪i∞=1C i , µ(D1) < ∞, µ(Dn ) ↓ 0 y Dn ↓ limsup C n .
on doble xnm Ejercicio 17.- Dada una sucesi´ quiera n, m
∈
, xnm
≤x
n+1,m +1,m
y xnm
≤x
∈ (−∞, ∞], tal que para cuales-
n,m+1 n,m+1 ,
demostrar que
lim lim xnm = lim lim xnm .
n→∞ m→∞
m→∞ n→∞
ımites an = limm→∞ xnm , a = limn→∞ an , Ind. Demostrar que existen los l´ bm = limn→∞ xnm y b = limm→∞ bm , que xnm an a y por tanto b a, la otra desigualdad desigua ldad por simetr´ıa.
≤
≤
≤
Ejercicio 19.- Dado un espacio no numerable Ω y
A = {E ⊂ Ω : µ(E ) = demostrar que
0, 1,
E o ´ E c es numerable ,
si E es numerable, numerable, c si E es numerable, numerable,
}
para cada E
A es σ–´alge al gebra bra y µ medida. ∈A
∪
∈ A, ∈A ∩ ⊂
y para todo n An es numerable, entonces An por ser Ind. Si An numerable y si existe un i tal que Aci es numerable, entonces ( An )c = Acn Aci es
∪
21
∪
numerable numerable.. Y si los An son disjuntos y todos numerables, µ( An ) = 0 = µ(An ), y si un Ai no lo es, entonces para todo j = i, Aj Aci es numerable y µ( An ) = 1 = µ(Ai ) = µ(An ).
⊂
Ejercicio 20.- Dado un espacio de medida (Ω, (Ω,
∪
, µ), tal que para todo E con µ(E ) = existe F , con F E y 0 < µ( (estas medidas suelen µ (F ) F ) < llamarse semifinitas ), ), demostrar que para todo E con µ(E ) = y todo , con F E y r < µ( r > 0 existe F µ (F ) F ) < .
∞
Soluci´ on.on.-
∈A ⊂
∈A
⊂
A
∞
Basta demostrar que
∈A
∈A
∞
∞
{
∈ A, B ⊂ E y µ(B) < ∞} = ∞. En caso contrario, contrar io, el e l supremo supre mo valdr´ıa c < ∞ y para todo n ∈ , podr´ po dr´ıamos ıamos encontrar encontra r F n ⊂ E tal que µ(F n ) > c − (1/n (1/n)) y considerando Bn = ∪n F y su uni´ on o n expansiva i i=1 Bn ↑ B , tendr´ t endr´ıamos ıam os que µ(Bn ) ≤ c, pues Bn ⊂ E y µ(Bn ) ≤ n i=1 µ(F i ) < ∞, por tanto tomando toman do l´ımites ımite s µ(B ) ≤ c, pero como 1 µ(Bn ) ≥ µ(F n ) ≥ c − , n ≥ tomand tom ando o l´ımites ımi tes µ(B ) c, por tanto µ(B ) = c y como B ⊂ E llegamos llegamos a contradiccontradicci´ on on pues µ(E \B ) = ∞ ya que µ(E ) = µ(B ) + µ(E \B ), y por definici´on on existe un medible A ⊂ E \B con 0 < µ(A) < ∞, por lo que B ∪ A ⊂ E tiene medida finita sup µ(B ) : B
mayor que c.
Ejercicio 22.- Dado un espacio de medida (Ω, (Ω,
de la siguiente manera
λ(A) = sup µ(B ) : B
{
[0, ∞], A, µ), definimos λ : A → [0,
∈ A, B ⊂ A y µ(B) < ∞},
demostrar que: (a) λ es una medida semifinita. (b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ.
∈A ∩ ⊂
⊂ ∪ B, ∩ ∈Ay
disjuntos y cualquier C A Soluci´ on.on.- (a) Es aditiva, pues para A, B con C y µ(C ) < , tenemos A C A, B C B , con A C, B C µ(A C ) < , µ(B C ) < , por tanto como son disjuntos
∩
∈A
∞ ∩
∞
∩ ⊂
∞
∩
∩ C ) + µ(B ∩ C ) ≤ λ(A) + λ(B), y como esto es v´ alido alido para cualquier C , λ(A ∪ B ) ≤ λ(A) + λ(B ). Veamos eamos la otra desigualdad desigualdad;; para cualesquiera cualesquiera A ⊂ A, B ⊂ B , de A con medidas finitas por µ, µ(C ) = µ(A
tendremos tendremos que son disjuntos disjuntos y
µ(A ) + µ(B ) = µ(A
∪ B) ≤ λ(A ∪ B), ↑
y se sigue sigue la otra desigu desiguald aldad. ad. Ahora Ahora basta demostra demostrarr que si An A, entonces entonces λ(An ) λ(A). Ahora bien como λ es no negativa y aditiva es mon´otona, otona, por tanto λ(An ) λ(An+1 ) λ(A), para todo n y si consideramos un B A medible con µ(B ) < y la sucesi´ on on Bn = B An B , tendremos µ(Bn ) µ(B ), µ(Bn ) µ(B ) < y Bn An , por tanto µ(Bn ) λ(An ), de donde
→ ≤ ∞ ∞
≤
⊂
⊂ ↑ → ≤ µ(B ) = lim µ(Bn ) ≤ lim λ(An ) ≤ λ(A), ∩
≤
22 y tomando sup en µ(B ) se dan igualdades y por tanto λ es medid medida. a. Adem´ Adem´ as a s si µ(A) < , λ(A) = µ(A) y si λ(A) = , existe Bn A medibles medibles con µ(Bn ) < y µ(Bn ) , por tanto existe Bn A, con 0 < λ(Bn ) = µ(Bn ) < , lo que prueba que es semifinita. semifinita. (b) Es consecuencia del ejercicio 20.
∞ →∞
∞
⊂
⊂
∞
∞
Ejercicio 23.- Demostrar que la medida exterior de Lebesgue en
, se puede definir en vez de con la clase = (a, b] , con cualquiera de las clases 1 = (a, b) , 2 = [a, b] , 3 = [a, b) .
{
}C
Ind.-
Para
{
}C
{
C
C y C1 , denotemos denotemos
}
{
}
C
∞
DA = { D1A = {
∞
(bn n=1 ∞
(dn n=1
− an ) :
an < b n
− cn) :
cn < d n
D ⊂D
∈
, A
∈
, A
⊂
⊂ ⊂
}
(an , bn ] , n=1 ∞
}
(cn , dn ) , n=1
∈D
entonces por un lado 1A ( c, d) (c, d] y por otro para cada x A , pues (c, A y ∞ > 0, x + (bn an ), con A ( a , b ], tendremos n n 1A , pues para x = n=1 ∞ A /2n ) y la suma correspondiente a estos intervalos es + x. n=1 (an , bn + /2
⊂
∈D
−
⊂
Ejercicio 24.- Sea µ∗ una medida exterior en Ω y λ la medida restricci´ restricci´ on de µ∗
a la σ –´alge al gebr braa ∗ . Demostrar que: ∗ (a) µ λ∗ . (b) Si µ∗ es la medida exterior generada por una medida µ en un ´ algebra alg ebra , entonces µ∗ = λ∗ . (c) Encontrar una medida exterior µ∗ en Ω = 0, 1 , para la que µ∗ = λ∗ .
≤
A
A
⊂
λ∗ (A)
= inf
µ∗ (A)
≤ µ∗ (∪Ai) ≤
{
Ind. (a) Para A Ω, de estos n´ umeros umeros µ∗ (Ai ),
µ∗ (A
i)
{ }
: Ai
∈ A∗ , A ⊂ ∪Ai}, y dado uno
µ∗ (Ai ),
por tanto µ∗ (A) λ∗ (A). (b) Para A Ω, µ∗ (A) = inf n´ umeros umeros µ(Ai ), como los Ai
≤ ⊂
{ µ(Ai) : Ai ∈ A, A ⊂ ∪Ai }, y dado uno de estos ∈ A∗ λ∗ (A) ≤ µ∗ (Ai ) = µ(Ai ),
por tanto λ∗ (A) µ∗ (A). (c) µ∗ 0 = µ∗ 1 = 2, µ∗ 0, 1 = 3, por tanto
{}
≤
{}
Ejercicio 26.- Sea (Ω, (Ω,
{ }
A∗ = {∅, Ω} y λ∗{0} = 3.
completaci´ on y , µ) un espacio de medida y sea µ su completaci´ µ∗ la medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada A Ω:
A
A
µ∗ (A) = inf µ(B ) : B
{
∈ A, A ⊂ B},
y que si definimos la “medida interior”
µ∗ (A) = sup µ(B ) : B
{
∈ A, B ⊂ A},
⊂
23 entonces si A µ∗ (A) = µ∗ (A) <
∗
∈ A se tiene que µ (A) = µ (A) = µ(A) y rec´ıprocamente ıproca mente si ∞ entonces A ∈ A . µ
∈A
∗
µ
∈A
⊂ ⊂ ⊂ ∈A
\
, con B A D y µ(D B ) = 0, por tanto Ind. Si A µ , existen B, D µ(D) = µ(A) = µ(B ) µ∗ (A) µ∗ (A) µ(D) y se tiene tiene la iguald igualdad. ad. Ahora Ahora dado A Ω se demuestra demuestra que existen existen B, D , con B A D, µ(B ) = µ∗ (A) y µ∗ (A) = µ(D) y si µ∗ (A) = µ∗ (A) < entonces A µ.
⊂
≤
≤
≤ ∈A
∞
Ejercicio 27.- Sean µi :
⊂
( ) [0, [0, ], para i = 1, 1 , . . . , n medidas de Lebesgue– Stieltjes. Stieltjes. Demostrar Demostrar que existe una unica ´ medida µ : ( n )) [0, [0, ], tal que para cada semirrect´ angulo acotado (a, b],
B
→ ∞
B
µ(a, b] = µ1 (a1 , b1 ]
→ ∞
···µ
n (an , bn ].
Ind. Consid´ erense erense funciones de distribuci´ on on F i que generen µi , la funci´on on de distribuci´ on on F ( F (x1 , . . . , xn ) = F 1 (x1 ) F n (xn ) y la medida que genera.
···
Ind.
En
B(
n
) de Lebesgue–Stieltjes es Encontrar una que sea σ–finita pero no de Lebesgue–Stieltjes. Lebesgue–Stieltjes. Encontrar Encontrar σ–finita. Encontrar una que sea σ –finita pero no regular.
Ejercicio 28.- Demostrar que toda medida en
, µ(A) el n´ umero de racionales de A. umero
Ejercicio 29.- Demostrar que toda medida semifinita µ :
regular interior.
B(
n
)
→ [0, [0, ∞] es
Se ha demostrado que toda medida es regular interior en los borelianos de medida finita, sea B un boreliano con µ(B ) = , entonces por ser semifinita hemos demostrado que para todo n existe un boreliano Bn B , tal que n < µ(Bn ) < , pero entonces existe un compacto K n Bn , tal que n < µ(K n ) y K n B . Ind.
∞
∈
∞
Ejercicio 30.- Demostrar que si t
∈ Ade m´as as si B ∈ B( m(tB) tB ) = |t| m(B ). Adem´
⊂
n
⊂
y B ( n ), entonces tB ), entonces tB ( n ).
n
∈L
∈B
⊂
∈ L(
n
) y
t > 0, m(tB) tB ) = t n m(B ), pues m∗ (tB) tB ) = tn m∗ (B ) y para t < 0, ∗ n t ( B )] = t m ( B ) y basta demostrar que m∗ ( B ) = m∗ (B ). n , a < b se tiene m(a, b) = m[a, b) = m[a, b] = m(a, b] = Observemos que para a, b (bi ai ), pues por ejemplo (a ( a 1/n,b] /n,b] [a, b], entendiendo a 1/n el vector de coordenadas ai 1/n y Ind. Para m∗ (tB) tB ) = m∗ [
−
||−
∈
−
||
|| − −
↓
(bi
− ai + 1/n 1 /n)) =
−
− ai) = m(a, b], y m(a, b) = m(a, b] por motivos an´ alogos alogos considerando (a, (a, b − 1/n] /n] ↑ (a, b), por ultimo u ´ ltimo la igualdad que falta se sigue de las anteriores y de que ( a, b) ⊂ [a, b) ⊂ [a, b]. Ahora m[a, b] = lim m(a
− 1/n,b] /n,b] = lim
−
(bi
se tiene que
m∗ (A) = inf
{ = inf { = inf { = inf { = inf {
⊂ ∪(ai , bi]} m[ai , bi ] : A ⊂ ∪[ai , bi ]} m(ai , bi ) : A ⊂ ∪(ai , bi )} m[ai , bi ) : A ⊂ ∪[ai , bi )} m(−bi , −ai ] : −A ⊂ ∪(−bi , −ai ]} = m∗ (−A), y se demuestra f´acilmente acilmente que si B ∈ L( n ), entonces tB ∈ L( n ). m(ai , bi ] : A
24 Ejercicio 32.- Demostrar que para p = 0 , H p es la medida de contar. Ind.
{
}
{
}
Para A = x1 , . . . , xm y δ < min d(xi , xj ) , H 0δ (A) = n.
Ejercicio 33.- Sea Ω
etrico (Ω , d), con la ⊂ Ω y consideremos el espacio m´etrico
m´ etrica etrica inducida. Demostrar Demostrar que la medida exterior de Hausdorff Hausdorff en Ω , H p = H p|P (Ω (Ω ) .
⊂ Ω, H p,δ (A) = inf { = inf {
Ind.
Para A
d(An )p : A d(Bn )p :
⊂ ∪An ⊂ Ω , d(An ) ≤ δ} A ⊂ ∪Bn ⊂ Ω, d(Bn ) ≤ δ } = H p,δ p,δ (A).
Ejercicio 35.- Demostrar que dimH ( x ) = 0, para cada x Ind.
{}
{}
H 0 ( x ) = 1.
∈Ω
Ejercicio 36.- Demostrar que dimH ( An ) = supdimH (An ).
∪
∪
≤
≤
Ind. Si A = Ai , H p (Ai ) H p (A) H p (An ), por tanto si p si p < supdimH (An ), existe un i tal que p < dimH (Ai ), por tanto H p (Ai ) = = H p (A) y p dimH (A) y si sup sup dimH (An ) < p, p , H p (An ) = 0 para todo n y H p (A) = 0, por tanto dim H (A) p.
∞
≤
≤
n
Ejercicio 37.- En los subespacios de
con la m´etrica etric a eucl´ıdea, ıdea, demostrar demos trar que la dimensi´ dimensi´ on vectorial y la de Hausdorff coinciden. Es consecue consecuenci ncia a de los resultad resultados os anter anteriore ioress y de que para un cubo Q, n–dimensional, se tiene que 0 < H n (Q) < , por tanto dimH (Q) = n. Ind.
∞
Ejercicio 41.- Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos
{x ∈ Ω :
h(x) < g( g (x) ,
} {x ∈ Ω :
h(x)
≤ g(x)}, {x ∈ Ω :
h(x) = g (x) ,
}
son medibles. Ind.
El primer conjunto es medible porque
{x ∈ Ω :
}
h(x) < g (x) =
{
( h(x) < r r∈
} ∩ {r < g (x)}) ,
el segundo porque su complementario lo es y el tercero es la diferencia.
Ejercicio 48.- Si f : f :
Borel medible.
→
tiene derivada en todo punto, demostrar que f es
Si f es derivable es continua y p or tanto medible, como tambi´ en en lo es f n (x) = n[f ( f (x + 1/n 1 /n)) f ( f (x)] y como f n f , f es medible. Soluci´ on.on.-
−
→
Ejercicio 49.- Demostrar que f = (f 1 , . . . , fn ): (Ω, (Ω,
dible si y s´ olo si cada f i lo es.
A) → (
n
, (
B
n
)) es me-
25
◦
medible, f i = xi f es medible por que las proyeccion proyecciones es Soluci´ on.on.- Si f es medible, xi : n son continuas continuas y por tanto tanto medibles. medibles. Rec´ Rec´ıprocamente ıprocamente sea (a, b] un sen , entonces mirrect´ angulo, angulo, con a < b
→
∈
n
f −1 (a, b] = x
{ ∈ Ω:
a < f ( f (x)
≤ b} =
y como estos semirect´ angulos angulos generan
Ejercicio 50.- Sea (Ω, (Ω,
an
f n =
Ind.
Ind.
∞
n ),
f es medible.
con
Demostrar Demostrar que > 0 existe un medible tal que f < A f + .
{
An = 1/n
≥ 0 integrable. integrable.
∀
≤ f } ↑ A = {0 < f }, µ(An ) < ∞ y
An
f
↑
A
f =
f . f .
≥ 0 integrables, integrables, tales que f → f c.s. Demostrar que |f − f | → 0.
f sii
→
∞ n=1 an I An ,
f dµ .
Ejercicio 55.- Sean f, f n
f n
≤ bi } ∈ A,
f n .
Ejercicio 51.- Sea f
A, con µ(A) <
ai < f i (x)
A, µ) un espacio de medida y f =
(0, ∞) y A ∈ A, calcular ∈ (0, n
B(
{x ∈ Ω :
i=1
n
n
f | ≤ |f n − f |. Ind. ⇒ | f n − ⇐ |f − f n | = (f − f n )+ + (f ( f − f n )− = f n − f + 2(f 2( f − f n )+ , (f − f n )+ ≤ f y + (f − f n ) → 0.
Ejercicio 57.- Sean f, f n integrables, tales que f n
|f − f | → 0 sii |f | → |f |. n
n
→ f c.s. c.s.
Demost Demostra rarr que
Ind.
| | − |f n − f |, |gn| ≤ |f | y gn → |f |, por tanto |f n | −
Por el TCD para gn = f n f n f = gn f .
| − |
→ ||
Ejercicio 63.- Calcular: 1
lim
n→∞
Ind.
(1 + nx2 )(1 + x2 )−n dm.
0
Para f n las funciones funciones del integrando integrando f 1 = 1 y f n
1 + nx2 (1 + x2 )n
2
( n + 1)x 1) x ≥ 1(1++(n 2 n x ) +1
⇔
1 + x2
y por otro (1 + x2 )n = 1 + nx2 + (1/ (1 /2)n 2)n(n
↓ 0, pues por un lado 2
( n + 1)x 1) x ≥ 1 +1(n + nx2
=1 +
− 1)x 1)x4 + . . ., por tanto (1 + x2 )n ≥ n − 1 x2 → ∞. nx2
Aplicar el TCM.
2
x2 1 + nx2
26 medible tal que etx f (x) es integrable para todo . Demos Demostr trar ar que que F ( diferencia ciable ble y que t (a, b) F (t) = etx f (x) dm es diferen tx F (t) = x e f ( f (x) dm.
Ejercicio 65.- Sea f : f :
∈
→
⊂
∈ ≤
−
⊂
Ind. Para cada s (a, b) existe un > 0 tal que [s [ s , s + ] (a, b). Basta Basta demostrar demostrar que F es diferenciable en I = (s δ, s + δ), para δ = /2. /2. Existe Existe r > 0, tal que para x > r , x eδx , por lo que el m´ odulo de la derivada del integrando, odulo tx x e f ( f (x) , est´ a acotado para t I por la funci´ on on integrable
|
|
−
∈
e(s−)x f ( f (x) , ( s − ) x re f ( f (x) , r e(s+)x f ( f (x) , e(s+)x f ( f (x) ,
|
h(x) =
|
|
| |
|
− − ≤ ≤ ≤ ≤
si x < r, si r x 0, si 0 x r, si x > r,
| |
y el resultado se sigue del teorema de derivaci´on on bajo el signo integral.
Nota. Para los siguiente ejercicios puede ser util u ´ til recordar que:
lim (1 + 1/a 1/an )an = e, e,
|an |→∞
Ejercicio 66.- Demostrar que para t > 0 y 0
es creciente y para 1 Ind.
α n
t/n) ≤ α, (1 − (t/n)
)
en es creciente. creci ente. ) tambi´en
n
α
α n
(1+(t/n)) ≤ α ≤ 1, la sucesi´ on (1+(t/n n+1
α
− nt ≤ 1 − n +t 1 (nα − tα )n nαn ≤ , α α n +1 ((n ((n + 1) − t ) (n + 1)α(n+1)
⇔
1
lo cual induce a considerar la funci´on on (nα x)n , ((n ((n + 1) α x)n+1
− − ≤ 0, en cuyo caso f ( f (x) ≤ f (0), f (0), para todo x ≥ 0. f ( f (x) =
y demostrar que f similar. Ejercicio 67.- Demostrar que n
(a)
lim
n→∞
1 1 1
(b)
lim
n→∞
1 0
− nt
n
− nt
n
∞
log t dm =
e−t log tdm.
1 1
log t dm =
e−t log tdm.
0
Ind. (a) Se puede hacer utilizando el ejercicio (66) y el TCM pues 0 (t/n)) t/n))n log t y (1 (t/n)) t/n))n es creciente para 0 t n. Tambi´ Tambi´ en en se puede hacer utilizando el TCD, probando que
−
≤ ≤
|I (1,n t/n))n log t| = I (1,n t/n))n log t ≤ e−t t, (1,n)) (1 − (t/n)) (1,n)) (1 − (t/n)) y demostrando que e−t t es integrable.
El otr otro o es
≤ I (1,n (1,n)) (1 −
27 (b) se sigue del desarrollo de (a), utilizando el TCM y teniendo en cuenta que como en (0, (0, 1) el log t es negativo, la sucesi´ on on (1 (t/n)) t/n))n log t 0 y es decreciente.
−
≤
Ejercicio 68.- Sea f no negativa e integrable, con 0 <
0 <α <
lim
n log 1 +
n→∞
La sucesi´ on on 0 ejercicio (66) y Ind.
1+
↑
f dµ = c <
∞. Demostrar que
α n
f n
∞,
α
f n
dµ =
∞ y sea
si 0 < α < 1, si α = 1, 1, si 1 < α < .
c, 0,
∞
≤ f n = n log[1 + (f (f /n) /n)α ], es creciente para α ≤ 1, por el
1 = 1+ (n/f )α
(n/f )α n(f/n) f/n )α
,
1−α
n
↓ 0,
= 1, 1,
↑ ∞,
↑∞
si α > 1. si α = 1. si α < 1.
y f n f para α = 1 y f n para α < 1, en cuyo caso el resultado se sigue del TCM. Para α 1, f n αf , pues para x 0 y α 1, 1 + xα (1 + x)α (ya que si α α h(x) = (1 + x) x 1, h(0) = 0 y h (x) > 0), y
≥
≤ − −
ef n = 1 +
≥
f n
≥
α n
≤
1+
f n
≤
nα
↑ eαf ,
y se aplica el TCD.
Ejercicio 69.- Demostrar que si f es µ–integrable, entonces para cada > 0,
existe un δ > 0, tal que
µ(E ) < δ
⇒
E
|f | dµ < .
|f | dµ, dµ, que es una medida finita y Bn = {|f | > n }, entonces Ind. Sea λ(A) = A ↓ B = {|f | = ∞}, por tanto λ(Bn ) → λ(B ) = B |f | dµ = 0, por tanto existe un ∈ , tal que para n ≥ N , N , λ(Bn ) ≤ /2. /2. Ahora bien |f | dµ = |f | dµ + |f | dµ ≤ 2 + nµ( nµ(E ),
Bn N
E
y basta tomar δ
E ∩Bn
≤ /2 /2n.
Ejercicio Ejercicio 70.- Demostrar que si f : f : x −∞
f dm es uniformemente continua.
Ind.
c E ∩Bn
→
es Lebesgue integrable integrable F ( F (x) =
Aplicar Aplicar el ejercicio ejercicio anterior. anterior.
Ejercicio 71.- Demostrar que si f tiene integral impropia de Riemann, Riemann, entonces entonces
es continua c.s. ( m), p ero no rec r ec´ ´ıprocamente ıproc amente..
28 on, pues es Riemann integrable en cada on, Ind. Se sigue del teorema de caracterizaci´ interva intervalo lo acotado y por tanto en ´el el es continua continua c.s. El rec´ rec´ıproco no es cierto para f ( f (x) = x, ni siquiera para f acotada, f = I [0, I (−∞, [0,∞) −∞,0) .
−
Ejercicio 72.- Sea f : no negativa, con integral impropia de Riemann f : finita, demostrar que f es Lebesgue Lebesgue medible medible e inte integra grable ble y las dos inte integra grales les coinciden. Dar un contraejemplo si quitamos la no negatividad.
→
↑
Ind. Consideremos la sucesi´ on on f n = f I [−n,n] f , f , entonces es n,n] , para la que f n Lebesgue medible por serlo las f n y por el Teorema de caracterizaci´ on y el Teorema
de la convergencia mon´ otona n
∞
f ( f (x)dx = l im im
n→∞ −n
−∞
f ( f (x)dx = li m
f n dm =
n→∞
f dm,
Si quitamos la no negatividad es falso pues por ejemplo para ∞
f = existe
( 1)n I [n−1,n) ,n) , n n=1
−
∞
∞
f ( f (x)dx = −∞
( 1)n , n n=1
−
||
y es finita y sin embargo no es Lebesgue integrable, pues no lo es f , ya que (1/n (1/n)) = .
∞
Ejercicio 73.- Demostrar que si f : f :
f dm = −∞,∞] [−∞,
→
|f |dm =
es Lebesgue integrable
lim
f dm.
→−∞, b→∞ a→−∞,
[a,b] a,b]
¿Es cierto si existe la integral pero no es finita? Soluci´ on.on.-
λ(A) =
A
f dm es una carga y si An
↑ A, λ(An ) → λ(A).
Ejercicio 75.- Calcular:
(a) limn→∞ (b) limn→∞ (c) limn→∞
∞ (1 + (x/n (x/n)) ))−n sen(x/n sen(x/n)) dm. 0∞ n sen(x/n sen( x/n)[ )[x x (1 + x2 )]−1 dm. 0∞ 2 2 −1 on n(1 + n x ) dm, en funci´ a
de a.
(a)= 0 por TCD, pues la sucesi´on (1 (1 + (x/n)) x/n))n es creciente —y converge a − n tanto, tanto, (1+(x/n (1+(x/n)) )) sen(x/n sen(x/n)) (1+(x/ (1+(x/2)) 2))−2 , y esta ultima u ´ ltima es integrable. x 2 (b)=π/ (b)=π/2 2 pues sen t/t 1 y 0 dx/(1 dx/(1 + x ) = arctan(x arctan(x) y para (c) se hace el cambio t = nx. nx. Ind. ex —, por
|
|
|≤
|≤
funciones Ejercicio 76.- Dadas las funciones x
f (x) =
e 0
demostrar que:
−t2
2
dt
1
,
g(x) = 0
2
2
e−x (t +1) dt, t2 + 1
29 (1) f (x) + g(x) = π/4 π/4. ∞ −x (2) 0 e dm = π/2 π/2.
√
2
(1) f (x) + g (x) = 0. (2) lim x→∞ g(x) = 0.
Ind.
Ejercicio 77.- Demostrar:
(1)
∞ −∞
√
2
x2n e−x dm = (2n (2 n)! π/4 π/4n n!.
(2) Para a
≥ 0,
(3) Para p > 0,
√
2 2 ∞ e−x cos axdm = π e−a /4 . −∞ 1 p−1 ∞ x (x 1)−1 log x dm = n =0 0
−
1/( p + n)2 .
2
(1) Por inducci´ on on derivando x2n+1 e−x y utilizando utilizando el ejercicio ejercicio anterior. ∞ (2) cos x = n=0 ( 1)n x2n /(2n (2n)!. ∞ n (3) 1/ 1/(1 x) = n =0 x , Ind.
−
−
(xn+p log x−1 ) = (n ( n + p) p)xn+p−1 log x−1 1 0
por tanto
− xn+p−1 ,
xn+p−1 log x−1 dx = 1/ 1 /( p + n)2 .
on en (0, Ejercicio 78.- Demostrar que es de clase infinito la funci´ (0, ∞
Γ(y Γ(y) =
∞)
e−x xy−1 dm,
0
y que verifica: Γ(y Γ(y+1) = y Γ(y Γ(y ) para y > 0; que Γ(n Γ(n+1) = n!, para n = 0, 0 , 1, 2, . . . y que Γ(1/ Γ(1/2) = π.
√
( a, b) con 0 < a, a , para lo cual tenemos Ind. Basta ver que lo es en cada intervalo (a, que probar que tanto la funci´ on on f ( f (x, y) = e−x xy−1 , como sus derivadas derivadas parciales ∂ k f/∂y k = e−x xy−1 (log x)k est´ an acotadas por una funci´ an on integrable para todo on y (a, b). Para Para 0 < x < 1, xr = er log x es decreciente en r y para 1 < x creciente, por tanto para y (a, b)
∈
∈
f ( f (x, y) = e −x xy−1
xa−1 , x/2 , M e M e−x/2
≤ g(x) =
≤ 1,
si 0 < x si 1 x,
≤
x/2 xb−1 : x x/2 xb−1 = 0) y g es (pues sup e−x/2 1 =M < ya que limx→∞ e−x/2 integrable. Como el integrando es continuo, Γ tambi´en en lo es. Que es de clase 1 es an´alogo pues basta verlo como antes en cada abierto (a, (a, b) siendo
{
≥ }
∞
∂f = e −x xy−1 log x ∂y
|
| ≤ h(x) =
xa−1 log x , x/2 , N e N e−x/2
|
|
si 0 < x si 1 < x,
≤ 1,
(pues limx→∞ e−x xb−1 log x = 0) y h es integrable, por tanto
|
|
∞
Γ (y ) =
e−x xy−1 log xdm,
0
como el integrando es continuo, Γ tambi´en. en. De mo do an´ a n´ alogo se prueba para el resto alogo de derivadas observando que xa−1 log x k es integrable en (0, (0, 1] y que
|
|
lim e−x xb−1 log x k = 0 .
x→∞
|
|
30 Por ultimo u ´ltimo derivando e−x xy , respecto de x, se demuestra f´ acilmente acilmente que Γ(y Γ(y + 1) = y Γ(y Γ(y ), ahora bien por el ejercicio (74), Γ(1) = 1 y haciendo el cambio x = t2 , se sigue del ejercicio (76) que Γ(1/ Γ(1 /2) = π .
√
espacios topol´ ogicos. Demostrar que: Ejercicio 79.- Sean Ω1 y Ω2 espacios
(a) (Ω1 ) (Ω2 ) (Ω1 Ω2 ). topolog´ıas tienen bases numerables, (b) Si sus topolog´
B
×B
×
B(Ω ) × B(Ω ) = B(Ω × Ω ). 1
2
1
2
×
→ ∈B ∈B A × B = π1−1 (A) ∩ π2−1 (B ) ∈ B(Ω1 × Ω2 ),
(a) Como las proyeccion proyecciones es πi : Ω1 Ω2 Ωi son continuas continuas son Ω2 )–medibles, )–medibles, por tanto dados A (Ω1 ) y B (Ω2 ),
Soluci´ on.on.-
B(Ω1 ×
⊂B
y se sigue la inclusi´on on de (a). (b) Si i es una base numerable de la topolog´ıa ıa
C
T i de Ωi , C = {U × V : U ∈ C1, V ∈ C2} ⊂ B(Ω1) × B(Ω2 ), es una base numerable de la topolog´ıa ıa producto T , por tanto T ⊂ σ(C) ⊂ B(Ω1 ) × B(Ω2 ),
y se sigue el resultado.
, tal que f x es Borel medible para cada x y f y continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible.
Ejercicio 82.- Sea f : f : Ind.-
2
→
Basta observar observar que la sucesi´ sucesi´ on de funciones medibles on ∞
f n (x, y) =
f ( f (i/n,y i/n,y )I {(i−1)/n
verifica f n
→ f , f , pues f n (x, y) = f ( f (xn , y), para un xn = i/n tal que |xn − x| ≤ 1/n. /n.
Ejercicio 88.- Sea (Ω, (Ω,
f : Ω → A, µ) un espacio de medida σ–finita y f :
medible
y no negativa. Demostrar que la gr´afica afica de f es medible
E = (x, y )
{
y que µ
∈ Ω × [0, [0, ∞] :
y = f (x)
} ∈ A × B(
),
× m(E ) = 0 .
Ind. Consideremos las funciones medibles π2 (x, y ) = y y h(x, y ) = f ( f (x), entonces E = h = π2 y como m(E x ) = 0, µ m(E ) = 0.
{
}
Ejercicio 89.- Sea (Ω, (Ω,
×
medible , µ) un espacio de medida σ–finita y f : f : Ω y no negativa. Demostrar que la funci´ on F ( F (y ) = µ f −1 (y ) es medible y F = 0 c.s.
A
{
}
→
En los t´ erminos erminos del ejercicio anterior F ( F (y ) = µ(E y ) y 0 = µ F ( F (y ) dm. dm. Ind.
× m(E ) =
31 Ejercicio Ejercicio 91.- Sea (Ω, (Ω,
medible y 1
A, µ) un espacio de medida σ–finita, f : f : Ω → [0, [0, ∞] ≤ p < ∞. Demostrar que ∞
f p dµ =
ptp−1 µ f > t dt.
{
0
Ind.
}
Haciendo Haciendo el cambio cambio de variable s = tp , ∞
f p dµ =
{
0
Ejercicio 95.- Sea (Ω, (Ω,
∞
µ f p > s ds =
}
ptp−1 µ f > t dt.
{
0
}
carga. Demostrar: Demostrar: , λ) un espacio medible con una carga. olo si es λ –integrable. (a) g es λ–integrable si y s´ (b) Si g es λ–integrable, g dλ g dλ. on medible f , con integral respecto de µ, tal (c) Existe una medida µ y una funci´ que para todo E , λ(E ) = E f dµ. Ind.
A
|| ≤ || ||
∈A
(c) Considerar Considerar una descomposici´ descomposici´ on on de Hahn, P, N , f = I P P
Ejercicio 99.- Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, (Ω,
− I N N y µ = |λ|.
A), demostrar que
n
|λ|(A) = sup{ |λ(E )| : i
E i
i=1
¿Es cierto el resultado si ponemos Ind.
Sean E 1 , . . . , En
∞ i=1
∈ A, disjuntos , ∪E = A}, i
en lugar de sumas finitas?.
∈ A medibles medibles y disjuntos, disjuntos, tales que ∪E i = A entonces
n
n
i=1
|λ(E i)| ≤
i=1
|λ|(E i ) = |λ|(A),
||
por tanto λ (A) es una cota superior para el supremo. Veamos que se alcanza, para ello sea P, N una descomposici´ on on de Hahn
|λ|(A) = λ+(A) + λ− (A) = |λ(A ∩ P ) P )| + |λ(A ∩ N ) N )|, y el resultado se sigue pues A ∩ P , P , A ∩ N es una partici´ on on de A. Ejercicio 100.- Sea (Ω, (Ω,
λ1 + iλ2 = λ+ 1 ± Ind. λi
≤
λ1− + iλ+ 2 − λ+ + λ = i i
−
Ejercicio 101.- Sea (Ω, (Ω,
A) un espacio medible con una medida compleja λ = − iλ , demostrar que λ ≤ |λ| ≤ λ + λ + λ + λ . − 2
± i
|λi| ≤ |λ| ≤ |λ1 | + |λ2| = λ+1 +
+ 1 λ1− + λ+ 2
− 1 + λ2− .
+ 2
− 2
on medible medib le A, µ) un espacio de medida y f una funci´on
no negativa negativa.. Si definimos definimos la medida medida λ(A) = funci´ on medible g
g dλ =
A
f dµ, demostrar que para cada
fg dµ,
32 en el sentido de que si una de las integrales existe tambi´ en en la otra y son iguales. Demu´ estrese estrese para indicadores, funciones simples, funciones no negativas y en general. Ind.
Ejercicio 103.- Sean µ y ν medidas σ–finitas, con ν
Demostrar Demostrar que ν entonces 0 λ y si f = dν/dλ, entonces dν/dµ = f /(1 f ).
−
≤
µ y sea λ = µ + ν . ≤ f < 1 c.s ( µ) y que
∞ ≤
dν/dµ, con 0 g < , entonces g + 1 = dλ/dµ y f ( f (g + 1) = Ind. Existe g = dν/dµ, dν/dµ, dν/dµ, por tanto g = f ( f (g +1) c.s. (µ (µ) y 0 f = g/( g/ (g +1) < 1 c.s. (µ (µ) y g = f /(1 f ) f ) c.s.(µ c.s.(µ). Ejercicio 104.- Sean λ y µ medidas σ–finitas en (Ω, (Ω, ), demostrar que son
−
A
equivalentes las condiciones: (a) µ λ y λ µ. (b) A : µ(A) = 0 = A : λ(A) = 0 . Exist e una u na funci´ f unci´on on medibl m edible e g : Ω (c) Existe (0, (0, ), tal que λ(A) =
{ ∈A
} { ∈A
⇔
}
→ ∞
A
g dµ.
(a) (b) es trivial. (a) (c) Por el Teorema de Radon–Nikodym 0 dλ/dµ < y por el ejercicio anterior dµ dµ dλ 1= = , dµ dλ dµ por tanto dλ/dµ es invertible c.s. y por tanto positiva c.s. (c) (a) Como existe g −1 y es no negativa tiene integral y si consideramos ν (A) = −1 dλ, g dλ, tendremos que A Ind.
⇒
≤
∞
⇒
dν dν dλ = = g −1 g = 1 dµ dλ dµ
Ejercicio 105.- Demostrar que si (Ω, (Ω,
⇒
ν = µ.
, µ) es un espacio de medida σ–finita, existe una medida finita λ, que tiene los mismos conjuntos nulos que µ.
A
∞
on o n de Ω, con 0 < µ(An ) < (observemos que los de Ind. Sea An una partici´ medida nula los podemos unir a cualquier otro An de medida positiva) y sea ∞
g= n=1
1 2n µ(A
n)
I An ,
entonces el resultado se sigue del ejercicio anterior para λ(A) =
Ejercicio 106.- Sea (Ω, (Ω,
dµ. A g dµ.
, µ) un espacio de medida finita y f : Ω grable. grable. Demostrar Demostrar que si S es un cerrado de , tal que para cada E µ(E ) > 0, se tiene 1 f dµ S µ(E ) E
→ inte∈ A con
A
∈
entonces f ( f (x)
∈ S c.s.
Hay que demostrar que µ[f −1 (S c )] = 0, ahora bien como S c es abierto es una uni´ on numerable de discos cerrados y basta demostrar que para cualquiera de on Ind.
33 ellos D[z, r], µ[f −1 (D[z, r])] = 0. Supong Supongamos amos que no, que E = f −1 (D[z, r]), tiene µ(E ) > 0, entonces llegamos a un absurdo, pues r<
1 µ(E )
f dµ E
−z
Ejercicio 107.- Sea (Ω, (Ω,
M(A, M(A,
1 µ(E )
=
(f E
− z) dµ ≤ µ(1E )
E
|f − z| dµ ≤ r.
Demost Demostra rarr que λ µ , es un subespacio vectorial cerrado del espacio de Banach
): λ ).
}
espacio de medida. medida. A, µ) un espacio
{ ∈
M
{ ∈MA
Ind. Veamos que su complementar complementario io es abierto. Sea ( , ) : µ = λ λ µ y λ entonces existe A , tal que µ(A) = 0 y λ(A) = 0, µ , entonces entonces entonces para 0 < r λ(A) y ν λ < r , ν µ , pues
}
∈ M −M ∈A ≤| | − ∈ M− M |ν (A) − λ(A)| ≤ ν − λ < r, 0. y por tanto ν (A) =
Ejercicio 108.- Sean ν 1
1
σ–finitas. Demostrar que ν 1
2
µ en (Ω , A ) y ν µ en (Ω , A ), medidas × ν µ × µ y que d(ν × ν ) dν dν (x, y ) = (x) (y ). d(µ × µ ) dµ dµ 1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
∈A
×
Soluci´ on.on.- Sea E tal que µ(E ) = µ1 µ2 (E ) = 0, entonces como µ(E ) = µ2 (E x ) dµ1 , µ2 (E x ) = 0 c.s. µ1 , por tanto c.s. ν 1 y ν 2 (E x ) = 0 c.s. ν 1 , por tanto ν (E ) = ν 1 ν 2 (E ) = ν 2 (E x ) dν 1 = 0. Ahora si f = dν 1 /dµ1 , g = dν 2 /dµ2 y h(x, y) = f ( f (x)g (y), entonces como h 0, tiene integral y
×
≥
ν (E ) = =
ν 2 (E x ) dν 1 = (
( Ex
g dµ2 ) dν 1 =
I Ex hx dµ2 ) dµ1 =
( Ex
g dµ2 )f dµ 1
h dµ. dµ. E
Ejercicio 111.- Calcular el ´area area y el volumen de la elipse y elipsoide respectivaresp ectiva-
mente
Ind.
x2 y2 + = 1, 1, a2 b2
x2 y2 z 2 + + = 1. 1. a2 b2 c2
Consideremos la aplicaci´ on on lineal 2
T : T :
{
que para E = (x, y) por tanto
→
2
2
x2 a2
,
(x, y) y2 b2
→
a 0
0 b
x y
=
ax , by
≤ 1}, y B = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}, T ( T (B ) = E , m[E ] = m[T ( T (B )] = | det T |m[B ] = abπ. ∈
:
+
34 Ejercicio 114.- (a) Demostrar que el ´ area de la esfera de radio r es 4πr 2 .
Demost rar que q ue el ´area area del casquete casque te esf´erico erico de radio r y altura h es 2πrh . (b) Demostrar Basta demostr demostrar ar (b). (b). La proyecc proyecci´ i´ on on del casquete casquete es el c´ırculo de radio Ind. Basta k = 2rh h2 , pues k2 + (r ( r h)2 = r2 , y su ´ area area es para z (x, y) = r2 x2 y 2 y U = x2 + y 2 k2
√ − {
−
≤ } U
− −
1 + zx2 + zy2 dxdy = r
dxdy r2
U
− x2 − y2
,
2, y por el teorema de cambio de variable para F = (f ( f 1 , f 2 ) : V = (0, (0 , k) (0, (0, 2π ) F ( F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), como como F ( F (V ) V ) = U = x2 + y2 k2 y J (DF (ρ,θ) ) ρ,θ) = f 1ρ f 2θ f 1θ f 2ρ = ρ,
|
−
{
|
dxdy
r F ( F (V ) V )
r2
x2
− −
y2
Ejercicio 118.- Sea (Ω, (Ω,
ρdρdθ
=r V
r2
−
ρ2
=
≤ }
−2π r
r2
− ρ2
k 0
×
→
= 2π 2π r h .
medi, µ) un espacio de medida σ–finita y f : f : Ω ble. Demostrar Demostrar que µf (B ) = µ[f −1 (B )] es una medida en ( ), y que si f L∞ , entonces K = z : µf [B (z, )] > 0, > 0 ,
A
{ ∈
B }
→
∈
∀ es un compacto, donde B (z, ) = {z : |z − z | < } y que f = sup{|z | : z ∈ K }.
∞
Veamos que K c es abierto abierto.. Sea z K c , entonces existe > 0 tal c que µf [B (z, )] = 0, pero entonces B (z, ) K , pues la bola es abierta y dado z B (z, ), existe un δ > 0, tal que B (z , δ ) B (z, ), por tanto µf [B (z , δ)] = 0 y z K c . Ahora veamos que K es acotado, para ello veamos que si z K , z f ∞ o ´ rec´ıpro ıpro camente sea z con f ∞ < z , entonces existe > 0 tal que Soluci´ on.on.-
⊂ ⊂
∈ ∈
∈
∈ | | ≤ ∈ || f ∞ < |z| − ⇒ {x : |f ( f (x) − z | < } ⊂ {|f | > f ∞ }, |− |f ( pues |z |−| f (x)| ≤ |z − f ( f (x)| y µf [B (z, )] = µ{x : |f ( f (x) − z | < } ≤ µ{|f | > f ∞ } = 0, por tanto z ∈ K c . }}, Ahora veamos que el supremo es f ∞ . Para ello ello sea sea k > sup{|z | : z ∈ K }} entonces µf {|z | ≥ k} = 0, pues para z tal que k ≤ | z |, z ∈ K c y existe un > 0 tal que µf [B (z, )] = 0, ahora basta considerar que {z : k ≤ |z|} es uni´ on on numerable
de compactos por tanto existe un recubrimiento numerable suyo por bolas del tipo anterior. anterior. Pero entonces entonces µ f k = 0 y f ∞ k. Un argumento argumento alternativo alternativo es: tomemos para cada z k de coordenadas racionales, la bola de radio m´ aximo aximo rz tal que µf [B (z, rz )] = 0. La uni´ uni´ on on de esta colecci´ on numerable de bolas contiene a on z:k z y tiene medida nula.
| |≥
{
{| | ≥ }
≤
≤ | |}
Ejercicio 119.- Demostrar que si 0 < r < p < s <
Lp
⊂L
r + Ls .
∞, entonces L ∩ L ⊂ r
s
35 Soluci´ on.on.-
Sea A =
|f |p dµ =
Ac
{|f | ≤ 1}, entonces si f ∈ Lr ∩ Ls, |f |p dµ + |f |p dµ A
|f |r dµ ≤ |f |s dµ + |f |r dµ < ∞, y si f = I A f + I A f ∈ Lp , I A f ∈ Ls , I A f ∈ Lr . ≤
s
Ac
|f |
dµ +
A
c
c
Ejercicio 120.- Demostrar que si 0 < r < s <
f
∈ L , para todo p ∈ [r, s]; que la funci´ on p
φ( p) p) = log es convexa en [r, s] y que f
p
|f |
∞ y f ∈ L ∩ L , entonces r
s
dµ,
≤ max{f , f }. p
r
s
≤ a < b ≤ s y t ∈ [0, [0, 1], entonces entonces basta demostrar que ta+(1− −t)b] tφ(a)+(1− )+(1−t)φ(b) ≤ etφ( eφ[ta+(1 , es decir que, para c = ta + (1 − t)b, Soluci´ on.on.-
Sean r
|f |c dµ ≤
|f |a dµ
t
|f |b dµ
1−t
,
− ∈
y esto es consecuencia de la Desigualdad de Holder , pues para p = 1/t 1 /t y q = 1 /(1 t), obviamen obviamente te conjugados conjugados y las funciones funciones g p = f a , hq = f b , tendremos que g Lp , h Lq , y
||
∈
||
gh = f
a b +q p
||
ta+(1− −t)b = f ta+(1 = f c ,
||
||
adem´ as as tomando ahora a = r y b = s y un valor intermedio intermedio c = tr + (1 tendremos que 1/c
t/c
|f |c dµ ≤ |f |r dµ |f |s dµ tr/c (1− (1−t)s/c ≤ max{f r , f s}. = f r f s
− t)s,
(1− (1−t)/c
f c =
Ejercicio 121.- Demostrar que un espacio normado
sucesi´ on xn
∈ E x < ∞ ⇒ n
xn
E es completo sii para cada
es convergente convergente..
⇒) Sea xn < ∞, entonces entonces vn =
n i=1 xi
es de Cauchy y tiene l´ımite por ser el espacio completo. ) Sea vn de Cauchy e yn una subsucesi´on o n suya tal que yn+1 yn 2−n , entonces para xn = yn+1 yn , xn es convergente, converg ente, p or tanto ta nto tambi´en es co nver−1 gente xn = x y como yn = y1 + n x , tiene tie ne l´ ımite ı mi te as´ ı como com o vn . i=1 i Soluci´ on.on.-
⇐
−
− ≤
36 Ejercicio 123.- Demostrar que si f, g
∈ L para 0 < p < 1, entonces f + g ≤ 2 (f + g ) 1
p
p
p
−1
p
p
Ind. Por Por la desigu desiguald aldad ad (a ( a + b)r < ar + br , para 0 < r < 1 y a,b > 0 y por la concavidad de xp
2
2
Ejercicio 124.- Demostrar que si f
f → f
∞,
r
cuando r
1/p
|f |p
|f + g|p dµ ≤ |f |p dµ + |g|p dµ ≤
∈L
p
|g|p
+ 2
1/p
para alg´ un 0 < p <
p
.
∞, entonces
→ ∞.
∈ Lp ∩ L∞ , entonces {|f | > 0} es σ–finito y {|f | > f ∞ } es loc. nulo, nulo, por tanto su intersecci´ on on A = {|f | > f ∞ } es nulo y para r ≥ p Soluci´ on.on.-
Si f
f r =
|f |p|f |r−p dµ
1/r
= Ac 1/r
|f |p|f |r−p dµ
1/r
≤ f (∞r−p)/r |f |p dµ = f (∞r−p)/r f pp/r < ∞, A y haciendo r → ∞ se sigue que limsup f r ≤ f ∞ . Ahor Ahora a para cad cada a B = {|f | > f ∞ − } no es localmente nulo, por tanto µ(B ) > 0 y c
> 0,
1/r
µ(B )1/r ( f
∞ − ) ≤ |f |r dµ ≤ f r , B por lo que µ(B ) < ∞ y haciendo haciendo r → ∞, tendremos que f ∞ − ≤ liminf f r , y el resultado se sigue. Si por el contrario f ∞ = ∞, entonces para todo n, µ{|f | > n} > 0 y 1/r |f |r dµ ≤ f r , µ{|f | > n }1/r n ≤ {|f {|f |>n} >n} y haciendo r → ∞, tendremos que n ≤ liminf f r y el resultado se sigue. Ejercicio 125.- Demostrar Demostrar que si µ(Ω) <
Ls
⊂L
r
y que para f
∈L
s
∞ y 0 < r < s < ∞, entonces entonces
f ≤ f µ(Ω) r
s
1
r
−1 s
.
Ls , entonces para p y q conjugados, con 1 < p = s/r, s/r, f r Lp y Ind. Sea f como 1 Lq , tendremos por la Desigualdad de Holder que f r 1 = f r L1 , es decir f Lr y adem´ as as
∈
∈
∈
·
|f |r ≤ f r p · 1q =
|f |rp dµ
1/p
µ(Ω)1/q ,
∈
∈
37 el resto es simple.
Ejercicio 126.- Demostrar que si µ(Ω) <
∞ y f , f son medibles, medibles, entonces: entonces: → f c.s., entonces f → f en medida (es decir que para todo > 0 ∈ , tal que para n ≥ N , µ{|f − f | > } < ). → f en L (con 1 ≤ p ≤ ∞), entonces f → f en medida.
(a) Si f n existe un N (b) Si f n
n
n
n
p
n
(a) Observemos que f n (x) no converge a f ( f (x) sii existe un > 0, tal que para todo N , hay un n N , para el que f n (x) f ( f (x) > , , por lo tanto Soluci´ on.on.-
∈
≥
| − | ∞ ∞ 0 = µ{f n f } = µ{∪>0 >0 ∩N =1 N =1 ∪n=N |f n − f | > }, y para cada > 0 y An () = {|f n − f | > }, como la medida es finita se tiene (ver
ejercicio 14)
{ } ≤ µ{limsup An()} = 0 ⇒ (b) Para p < ∞, por la desigualdad de Tchebycheff f n − f pp → 0, µ{An ()} ≤ limsup µ An ()
{
}
lim µ An () = 0. 0.
p
y para p = pues
∞, dado el > 0, basta considerar N tal que para n ≥ N , f n − f ∞ < , , µ{|f n − f | > } ≤ µ{|f n − f | > f n − f ∞ } = 0. 0.
Ejercicio 127.- Demostrar la Desigualdad de Jensen, es decir que si µ(Ω) =
1, f : f : Ω ϕ f dµ
→ (a, b) es medible e integrable y ϕ : (a, b) → ≤ ϕ ◦ f dµ.
es convexa, entonces
∈
on on convexa convexa tiene la propiedad propiedad de que para todo x0 (a, b) Soluci´ on.on.- Toda funci´ existe una funci´on on af´ın, ın , h(x) = px+ px + c, tal que h(x) ϕ(x) y h(x0 ) = ϕ(x0 ). Tomemos x0 = f dµ, dµ , y veamos en primer lugar que x0 (a, b), para ello observemos observemos que para a= , como f es integrable, a < x0 , p or lo que tambi´en en si si b = es x0 < b. b . En el caso finito, pongamos b < , si fuera x0 = b, como f < b , b f > 0 y tiene integral nula, lo cual implicar´ implicar´ıa que b f = 0 c.s., lo cual es absurdo. absurdo. Ahora el resultado resultado es evidente pues tomando la funci´on on h correspondiente tendremos que
∈
−∞
∞
ϕ
f dµ
≤
−
−
= ϕ(x0 ) = h(x0 ) = px0 + c = p =
( pf + c) dµ =
h[f ] f ] dµ
≤
∞
f dµ
+c
ϕ[f ] f ] dµ.
Ejercicio 128.- Demostrar que si µ(Ω) = 1 y f, g son medibles y positivas y
tales que f g
≥ 1, entonces (
Soluci´ on.on.-
1/f
f dµ) dµ ) ( g dµ) dµ)
·
≥ 1.
≤ g y por la Desigualdad de Jensen , para ϕ(x) = 1/x, /x, 1 1 ≤ dµ ≤ g dµ. dµ. f dµ f
Ejercicio 129.- Demostrar que si 0 < r < s
≤ ∞, entonces l ⊂ l . r
s
38 Para s = es obvio, pues si xn es tal que xn r < , en particular r r tendremos que xn xn < y por tanto xn est´ a acotada. Sea ahora s < , como s´ olo hay un conjunto finito F de n para los que xn olo 1, pues en caso contrario r = xn r x , se tiene que n F
∞ | | ≤ | | | | ∞
| |
Soluci´ on.on.-
| | ≥
∞
| |
∞
∞
| |≥
∞ n=1
|xn |s =
F
|xn|s +
Ejercicio 130.- Sea g
−F
|xn|s ≤
F
|xn |s +
−F
|xn |r < ∞.
L∞ , demostrar que para 1 p < , si f Lp , on G : Lp gf Lp , que la aplicaci´ Lp , G(f ) = gf , es lineal y continua y que G = g ∞.
∈
∈
≤
→
∞
∈
f Lp y g L∞ , entonces f g f g ∞ c.s., por tanto f g p G(f ) f ) p g ∞ f p , por tanto G es acotada y G g ∞, veamos la otra desigualdad, para ello sea > 0, entonces g > g ∞ no es localmente nulo y tiene un subconjunto medible A, con 0 < µ(A) < , por tanto f = I A Lp , f p = µ(A)1/p y f p
Soluci´ on.on.- Si g p∞ c.s. c.s. y
||
∈
∈
∈ ≤
| | ≤ | |
| | ≤ ≤ {| | − } ∞
(g ∞ − )µ(A)1/p ≤ ( |f g |p )1/p = G(f ) f )p ≤ Gf p .
