ANALISIS NUMERICO
Docente: Dr. Soruco Maita J. Antonio
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUIA PRACTICA DE ANALISIS NUMERICO
Docente: Dr. Soruco Maita J. Antonio. Auxiliar: Univ. Ulloa Claure Aldo Jhared.
Semestre 2/2017
Auxiliar : Univ. Aldo J. Ulloa Claure
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Practica # 1 Resolución Numérica de Ecuaciones Unidimensionales (En todos los ejercicios que no indique el error de tolerancia tomar como ε = 0,0001)
3.8,3.4 , 0.5,0.8 , 1.2,1.8 2,11
2 3 126 ℎ − 1.5
1. Determinar los ceros de la función en forma gráfica y también con el método indicado: a) , en los intervalos aplicando el método de la bisección y considerando un error de ε = 0.001. b) , en el intervalo resuelva por el método de falsa resuelva posición y considerando un error de ε = 0.0001. 2. Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando diferentes métodos, calcule los ceros de la función en un solo punto de los muchos que existen en dichas funciones y con un error de tolerancia de ε = 0.0001 , dense los valores apropiados del intervalo a usar (SUGERENCIA: grafique la función): a) b) c) d) e)
−∙ cos0 10 10 0 sincos20 2− 2cos160 2 25510
3. Utilizando la ecuación de Chen, un alumno de ingeniería química obtuvo un factor de fricción (f) de 0,01 para una tubería con rugosidad relativa (ε) 0,006. Si por la tubería circulaba agua con un caudal de 0,01 m 3/s. ¿Cuál era el diámetro de la tubería? (Utilice el método de regula falsi para calcularlo con error de tolerancia de 0.00001) Ecuación de Chen:
1 4log3.4502 7.0567 logg 3..9654 7.4.579 ; ; 1 1 4
4. De Santis (1976) dedujo una relación para el factor de compresibilidad compresibil idad de gases reales de la forma:
Donde b es la correlación de van der Waals y v es el volumen molar. Si Z = 0.892, R = 0,082 (atm l / mol K), b = 0.007864, T = 1350 K, ¿Cuál es el valor de p? 5. Una mezcla de composición (fracción molar) como la de la tabla se introduce en un evaporador flash a la temperatura de 160°C y 1 atm. Determinar que fracción de mezcla se ha evaporado y la composición del líquido y vapor. Suponer mezcla ideal. Compuesto j 1 2 3 4 5 6
Z j 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1
A j -3848 -4002 -4997 -5595 -6301 -7296
B j 8.358 7.833 8.665 8.847 9.261 10.078
; ° ° ln() 460 Auxiliar : Univ. Aldo J. Ulloa Claure
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Nota: la forma más fácil de resolver el problema es resolver con las ecuaciones siguientes.
∑=( ) 0
; ,
6. En estudios sobre recolección de energía solar al enfocar un campo de espejos planos en un colector central. Un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentración geométrica C.
∙ ℎ cos 5 cos 0.5 ∙ 1sin0. cos
Donde A es el ángulo del anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo. Encuentre A, si h = 100, C = 1000, F = 0.5 y D = 20. 7. Para obtener la temperatura de burbuja de una solución liquida de CCl 4 y CF4 en equilibrio con su vapor, se llegó a la ecuación:
,0. 2 5∙[ ,] 7600.75∙10.−+, 5∙ [10,−+.
Aplicando un método método iterativo iterativo de dos puntos, puntos, encuentre encuentre la temperatura temperatura de burbuja burbuja T con una -2 aproximación de 10 . 8. Lee y Duffy (1976) recalcularon el coeficiente de fricción, para el flujo de una suspensión de partículas fibrosas con el número de Reynolds mediante la siguiente ecuación empírica:
1 1∙( ∙( ) 25 7.6
En su relación, f es el coeficiente de fricción, Re es el número de Reynolds y K es la constante determinada por la concentración de la suspensión. Para una suspensión con K = 0.058, ¿Cuál es el valor de f si Re = 5850? 9. Con la base en el trabajo de Frank-Kameneski realizado en 1955, las temperaturas en el interior de un material con fuentes de calor incrustadas pueden determinarse si resuelve la siguiente ecuación:
− cosh− 12
Dado que L C = 0.078, encuentre T(°C).
10. Un proyecto de diseño en ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molar (v) del dióxido de carbono y del oxígeno para diferentes combinaciones de temperatura y presión, de tal forma que los recipientes que contengan dichos gases se pueden seleccionar apropiadamente. También es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando el volumen molar calculado con las ecuaciones de los gases ideales y la ecuación de van der Waals. Se proporcionan los siguientes datos: Dióxido de carbono
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oxigeno
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a = 3.592 a = 1.360 b = 0.04267 b = 0.03183 Donde R = 0,082054 atm L / mol k, la presion de diseño de interés es de 1.10 atmosferas para combinaciones de temperatura de 300 y 700 K. Calcular el volumen molar de cada gas usando cada combinación de presión y temperatura, por lo cual se tendría que calcular 2 volúmenes molares para cada gas. 11. En un proceso de ingeniería química el vapor de agua (H 2O) se calienta a temperatura lo suficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie o se rompa, para formar oxigeno (O 2) e hidrogeno (H 2): H2O ↔ H2 + ½ O2 Si se asume que esta es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar X de H 2O que se disocia se representa por:
1 ∙ 22
Donde K es la constante de equilibrio de la reacción y P T es la presión total de la mezcla. Si la PT = 1.5 atm y K = 0.087, determine la fracción molar de agua que se disocia. 12. La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un reactor donde se tiene una mezcla completa:
1 −.∙ −.∙
Si la concentración inicial es C O = 5 y la concentración de entrada es C ent = 9, calcule el tiempo requerido para que C sea el 83 % de C ent. 13. Considere un líquido en equilibrio con su vapor. Si el líquido está formado por los componentes 1, 2, 3 y 4. Con los datos dados a continuación, calcule la temperatura y la composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia. Componente Composición del Presión de vapor del Presión de vapor del líquido (% mol) componente puro (psia) a componente puro (psia) a 250 °F 400 °F 1 10.0 25.0 200.0 2 54.0 14.7 60.0 3 30.0 4.0 14.7 4 6.0 0.5 5.0
Utilice la siguiente ecuación para la presión de vapor:
14. Una reacción química irreversible:
1, 2, 3, 4 ∙
°
Donde la nomenclatura C n representa la concentración del componente n. Suponga que se define una variable X que representa el número de moles de C producidos. La conservación de la masa se utiliza para reformular la relación de equilibrio como:
, ) (, (2) 2) ∙ (, )
Donde el subíndice 0 indica la concentración inicial de cada componente. Si K = 0.0125, C 4.2, Cb,0 = 2.5, calcular las concentraciones en el equilibrio.
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a,0 =
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15. Determinar la velocidad terminal de una partícula solida cayendo en un fluido. Considere una partícula esférica uniforme de hierro cayendo en aire. Datos para la partícula:
7853 0.8 − 1. 4 52 1. 5 1∙10 ∙
Datos para el aire:
Notas: La velocidad terminal de una partícula esférica cayendo en un medio fluido se puede determinar por la siguiente expresión.
4(4(3 ) 27 10.14. 0.1≤≤1000 ) ( )
El coeficiente de rozamiento depende del número de Reynolds de la siguiente manera, considere que el número de Reynolds es mayor a 0,1:
Donde:
16. Se emplea un intercambiador de calor para enfriar aceite. Encuentre la temperatura de salida del aceite y del agua , para un flujo de aceite de 50000 Lbm/h.
17. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a contracorriente está dado por:
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∆
Donde:
Th = temperatura del fluido caliente. Tc = temperatura del fluido frio.
Se sabe que en este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 50°C (LMTD). El fluido caliente se alimenta al sistema a 100°C y sale a 40°C, mientras que el fluido frio se alimenta a 8°C. ¿A qué temperatura sale del intercambiador el fluido frio? 18. La concentración de saturación del oxígeno disuelto en agua se calcula con la ecuación:
6.64230810 1.24380010 8.62194910 ln 139.34411 1.57570110 Donde O sf = = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm (mg/L) y T a = temperatura absoluta en kelvin. Recuerde que T a = T+273.15, donde la T = esta en °C. La ecuación sirve para determinar rangos de concentración de oxigeno desde 14.621 (mg/L) a 0°C, hasta 6.949 (mg/L) a 35°C. Dado un valor de concentración de oxígeno, esta fórmula y el método de bisección son útiles para hallar la temperatura en °C. a) Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35°C. ¿Cuántas iteraciones del método bisección se requieren para determinar la temperatura cuando la concentración de oxigeno sea de 10 (mg/L), con un error absoluto de 0.05°C? 19. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 28 % de SO 2 y 35 % de O 2 y la diferencia de N 2. Y se desarrolla la siguiente reacción:
12 ↔
Calcular la composición en equilibrio a presión constante de 3.5 atm, cuando la constante de equilibrio (Kp) es de 120. 20. Calculo de la presión de vapor, una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos de termodinámica es la presión de vapor o presión de saturación. A la cual existen en equilibrio una fase liquida y una fase gaseosa, si la presión de vapor iguala a la atmosférica, el líquido entra en ebullición y solo depende de la temperatura, existen diversas ecuaciones para calcular. Una de las ecuaciones es de Frost-Kalkwant:
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∙ ∙
Donde: A, B, C, D, son constantes constantes empíricas empíricas que dependen dependen de cada cada sustancia, sustancia, calcular calcular la P vap del metilbenceno a una temperatura de 447.25 K. Los valores de las constantes son: A = 53.154, B = 7912.31, C = -5.881, D = 4898, las unidades de T son K y las de P vap es mmHg. 21. En un tanque mezclador entran dos fluidos a diferentes temperaturas y salen a la misma temperatura. La capacidad calorífica del fluido A esta dada por:
3.3811.80410−4.30010− 8.5921.29010−4.07810− ∆ ∆ ∫
Y la capacidad calorífica del fluido B está dada por:
Donde las unidades de C P son cal/mol K, y las de T está en unidades de K, recuerde que el calor a presión constante es: , el fluido A entra al mezclador a 400°C y el B entra al mezclador a 700°. La cantidad de A que entra al mezclador es el doble de la cantidad de B. ¿A qué temperatura salen los fluidos del mezclador? 22. Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxígeno, debe alcanzar el equilibrio a 3000 K y a una presión de 2.5 bar, la reacción teórica es: CO + ½ O 2 ↔ CO2 La reacción química real se escribe así: CO + O 2 ↔
1 1 1 ∙ √ 3 , 0<<1 ∙ 1∙ 1 ∙
La ecuación de equilibrio químico para determinar la fracción de CO restante, o sea x, está dada por:
Donde KP = 3.06 es la constante de equilibrio para CO + ½ O 2 ↔ CO2 a 3000 K, P = 2.5 bar y PO = 1 bar. Determinar el valor de x. Practica # 2 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 23. En los sistemas lineales siguientes, obtenga de ser posible una solución mediante los métodos gráficos. Explique los resultados: a.
b.
c.
d.
203 24 166 22 7 89 2 34 33 51 22 13 1 12 4 7 1
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24. Use la eliminación gaussiana para resolver los sistemas lineales siguientes. No reordene las ecuaciones: a.
b.
434 16 8 3 9 1 522 32 1 41 55 18 8 19 2 13 2 2 11 5
25. Use alguno de los siguientes algoritmos eliminación gaussiana, gauss Jordán o Factorización LU para resolver el sistema lineal siguiente: a.
b.
6 13 3 68 79 34 2 11 13 5 12 1 427 21 17 3 2 9 3 31 28 72 94 11 1 92 32 2 4 55 7 23 12 19
26. Resuelva las ecuaciones utilizando el método de Gauss-Siedel, con un error de 0.05: a.
b.
417 7 18 94 92 113 21 63 2 3 8 31 3 95 64 12 123 2 2 17 3 2 39
27. Con los datos del diagrama siguiente (donde los porcentajes están dados en peso), encuentre posibles valores de las corrientes M 1, M2, M3 dado M4 = 100 Kg:
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28. En el siguiente sistema de 5 reactores en estado estacionario y conectados como se muestra en el esquema. Determinar las concentraciones en cada uno de los reactores de mezcla completa. (Los caudales Q están en metros cúbicos por minuto y las concentraciones C están en miligramos por metro cubico).
29. Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado. Dispone de maíz, desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos, de acuerdo con la tabla siguiente:
a. Determinar los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el requerimiento diario (presentado en la última columna). b. Determinar el costo de la mezcla. 30. Balances de materia en estado estacionario para una secuencia de separación . El Auxiliar : Univ. Aldo J. Ulloa Claure
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P-xileno, estireno, tolueno y benceno se separan en la siguiente secuencia de columnas de destilación: a) Calcular el flujo molar de las corrientes D1, D2, B1 y B2. b) Determina el flujo molar y las composiciones de las corrientes B y D del apartado (a).
31. En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas V, con un aceite L, que circula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L fluyendo a contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de Henry (y = mx) y que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato. Datos: V = 100 moles/min ; L = 500 moles/min Y0 = 0.09 fracción molar de benceno en V X0 = 0.0 fracción molar de benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno) m = 0.12 32. A continuación se muestra el diagrama de flujo de un proceso en régimen estacionario para la recuperación de cromado de potasio cristalino, a partir de una disolución acuosa de esta sal, se combinan 4500 Kg/h de una disolución que contiene 1/3 (fracción másica) de cromato de potasio con un flujo de recirculación que contiene 36.36% en peso de cromato. El flujo
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combinado se alimenta a un evaporador. L flujo de concentrado que sale del evaporador contiene un 49.9% en peso de cromato. Este flujo se alimenta a un cristalizador donde se enfría (produciendo la precipitación de cristales de cromato de potásico). Una parte se filtra y se recircula. La otra parte sale del cristalizador y contiene un 95% en masa de cromato sólido. Plantee un sistema de ecuaciones lineal y calcule las variables desconocidas del sistema.
33. En una columna de cinco platos, se requiere absorber tolueno contenido en una corriente de gas V0 (moles de gas sin tolueno/min), con un aceite L 0 (moles de aceite sin tolueno/min). Considérese que la relación de equilibrio está dada por la ley de Henry (y = mx), que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del tolueno en cada plato. Datos: V0 = 39.6 moles/min L0 = 6.0 moles/min Los moles de tolueno/min que entran a la columna con el gas y el aceite son, respectivamente: respectivam ente: TV0 = 5.4 moles/min TL0 = 0.0 moles /min m = 0.155 De aquí:
..+.
Practica # 3 Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones No Lineales (En todos los ejercicios que no indique el error de tolerancia tomar como ε = 0,0001) 34. Resolver el sistema utilizando el método de Newton-Raphson:
35. Resuelva los siguientes sistemas verificando primero su partición:
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36. Resolver el sistema:
→ → → 2.5 1.5 1.06 2.63 5 1
37. Sea el siguiente conjunto de reacciones:
Calcule las concentraciones de equilibrio de cada una de las especies si inicialmente se introduce una concentración de: Datos:
Las constantes de equilibrio para el sistema son:
Resuelva el sistema de ecuaciones por el método que considere oportuno. Justif ique su elección. Tome valores iniciales razonables para cada una de las variables. (No use el valor cero como valor inicial).
↔↔2 21
38. En un reactor se efectúan las siguientes reacciones en fase gaseosa:
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A la temperatura temperatura de la la reacción, reacción, las constantes constantes de de equilibrio equilibrio son Kp 1 = 2.5 y Kp 2 = 4. Las composiciones iniciales son C A0 = 2 M y C B0 = 1.5 M. Calcular la composición a la salida del reactor, asumiendo que se alcanza el equilibrio. 39. Considere el sistema que consiste inicialmente de 1 mol de CO y 3 mol de H 2 a 1000 K. la presión del sistema es de 25 bar, considere las siguientes reacciones que se producen: 2CO + 2H2 ↔ CH4 + CO2 (A) CO + 3H2 ↔ CH4 + H2O (B) Donde las constantes de equilibrio de (A), (B) se expresan en términos de la presión parcial de las especies en (bar), las constantes de equilibrio para las reacciones son:
0.046 ; 0.034
Determine la composición de equilibrio de la mezcla.
40. Una compañía desea producir acetileno y etileno a partir de etano, lo cual demanda una serie de reacciones químicas las cuales se dan a la presión atmosférica. La particular mezcla de gases obtenidos depende de la temperatura en el reactor. Determine la composición de equilibrio correspondiente a una operación de 1 atm y temperatura de 2000 K, comente sus resultados. Asuma que ocurren las las siguientes siguientes reacciones: reacciones:
↔↔ 2 ↔ ⁄ ∆° 24. 1 42 42 , ⁄ ∆° 57. 8 60 60 , ∆°, 33.718 18 ⁄ − 2.22210 − − ∆° 31. 0 946. 1 011. 4 610 9. 8 4310 − − ∆° 69. 9 3618. 0 820. 0 10 6. 6 1710 1. 2 3610 ∆° 38.84211.9818.54610− 1.56110− 2.51710−
Las correspondientes energías estándar de Gibss son:
Las entalpias estándar de reacción en cal / mol dependen de la temperatura en (K):
41. El mezclado imperfecto en un reactor continuo de tanque agitado se puede modelar como dos o más reactores con recirculación entre ellos, como se muestra en la figura. En este sistema se lleva a cabo una reacción isotérmica irreversible del tipo A → B de orden 1.8 con respecto al reactante A. con los datos dados más abajo, calcular la concentración del reactante A en los reactores 1 y 2 (C A1 y C A2 respectivamente), una vez alcanzado el régimen permanente. Datos:
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F = 25 L/mol, F R = 100 L/min, C A2(0) = C A1(0) = 0 M, C A0 = 1 M, K = 0.2 (1/ M 0.8 min). 42. Las alcanolaminas se usan en depuradores para limpiar los arroyos, Que contienen gases ácidos. Ampliación de las solicitudes existentes Nuevas situaciones de captura y secuestro de carbono de CO2 por razones medioambientales conducirá a una mayor demanda de estas sustancias. La reacción del amoníaco (A) con óxido de etileno (EO) en solución acuosa produce Monoetanolamina (MEA) dietanolamina (DEA), Y trietanolamina (TEA). Las reacciones por pasos Formación de estos productos. Desde el punto de vista del óxido de etileno, estos Las reacciones son competitivas; En cambio, desde la perspectiva De las aminas, son consecutivas. Considere una investigación Operando a 60 ° C y 20 bar para mantener Todas las especies en fase líquida. Producción real de Estos productos básicos a gran escala En reactores de flujo, como se describe. Las leyes de tasa de interés son de la forma mixta de segundo orden (primer orden en Cada reactivo), con constantes de velocidad hipotéticas k1, k2, y K3 igual a 1, 0,4 y 0,1 L mol-1 mol-1 / min, respectivamente. MUE Y DEA son productos químicos de alto volumen, mientras que TEA es Menos en demanda. La distribución de productos de alcanolamina Obtenidos en las condiciones especificadas pueden darse Controlando la relación molar inicial de EO a A y el tiempo De la reacción.
⋅ → ; 1 → → ; 2 → ; 3
a) Se preparan soluciones de amoníaco y óxido de etileno Independientemente y se calienta a la temperatura de reacción. En el tiempo cero las soluciones se mezclan rápidamente en un lote Reactor para obtener una solución que es 1M en amoníaco y 2,4 M en óxido de etileno. Determinar las concentraciones De las cinco especies de reactivos y productos presentes en el tiempo de equilibrio cuando el avance de reacción alcance el régimen permanente, cuando tienen lugar las reacciones (1) a (3) Bajo condiciones isotérmicas. 43. La reacción del isobutano y butenos lineales a hidrocarburos C 8 ramificados es utilizada para sintetizar aditivos para combustibles de alto octanaje:
1↔2, 2 , 3 1 1↔2,2,4 2
Determinar la composición en el equilibrio para este sistema a la presión de 2.5 bar y temperatura de 400 K. el cambio en la energía de Gibbs estándar para las reacciones (1) y (2) son respectivamente: -15.56 KJ/mol, -18.79 KJ/mol. Practica # 4 Interpolación, Aproximación Funcional y Ajuste de Curvas (En todos los ejercicios de esta práctica debe realizar su correspondiente grafica para verificar cual es el comportamiento de los datos)
44. La inversión K y el producto interior bruto Y se relación mediante la expresión , (denominada en términos económicos función simple de Cobb-Douglas). Se pide ajustar una función de Cobb-Duglas a los datos siguientes y hallar los parámetros de esta relación: Yi 2.6 2.9 3.4 4.1 5.1 6.0 7.2 9.1 11.2 13.4 15.2 17.3 Ki 0.6 0.8 0.9 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.6 2.9 3.1 3.8 45. Se ha medido el consumo de oxígeno a 25°C de 11 artrópodos, y también sus pesos. Sabiendo que se admite el consumo de oxígeno y su peso una relación de tipo:
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,
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donde C es el consumo de oxígeno y P el peso estimado, sobre la base de datos tomados de la muestra indicada en la siguiente tabla, ¿cuáles son los valores de los parámetros de esta relación?: Peso (mgr) 3 34 17 21 50 43 39 37 28 17 19 8 O2 consumido en 24 2 40 31 34 50 44 31 46 31 25 22 Hrs 7 46. La relación entre la presión P y el volumen V de aire en un cilindro durante el ascenso de un piston en una compresora de aire puede expresarse como sigue:
Donde K y C son constantes. En una prueba de compresión se obtienen los siguientes resultados: P (mmHg) 760 1140 1520 2280 3040 3800 3 V (cm ) 48.3 37.4 31.3 24.1 20.0 17.4 a) Determine los valores de K y C que se ajusten ajusten mejor a los datos. b) Cuál sería la presión a un volumen de 15 ml.
47. Se considera que el número de colonias de colonias de una bacteria dentro de un medio nutritivo dado sigue una ley del tipo dentro de una gama de temperaturas observadas: N° de colonias 68 112 187 244 360 443 a) b) c) d) e)
Temperatura 10 12 14 16 Realizar una representación gráfica. Escribir el modelo en en su representación representación matricial. matricial. Determinar los parámetros del modelo. Determinar el coeficiente de determinación. Determinar el coeficiente de correlación.
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48. Al modelar el efecto de una impureza sobre el crecimiento de un cristal, se derivó la siguiente ecuación:
∙1
Donde C es la concentración de la impureza, G L es la velocidad límite del crecimiento, G 0 es la velocidad de crecimiento del cristal cuando no hay impureza presente y K L y Cm son las – 3 – 3 constantes del modelo. En un experimento dado, G 0 = 3.00x10 – 3 mm/min, y G L = 1.80x10 – 3 mm/min, se miden las velocidades de crecimiento y la concentración y los datos obtenidos son: C (ppm) 50.0 75.0 100.0 125.0 150.0 3 G (mm/min)x10 2.50 2.20 2.04 1.95 1.90 a) Determine KL y Cm, indicando las unidades. b) Si la concentración de la impureza es 475 ppm cual es la velocidad de crecimiento crecimient o en (mm/min). – 3 c) Cuál es la concentración de la impureza, si la velocidad de crecimiento crecimient o es 1.50x10 – 3 (mm/min).
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49. Sea una muestra aleatoria de 6 firmas farmacéuticas que presentan las ganancias y los gastos de investigación siguientes:
a. b. c. d.
Gastos de Ganancias investigación (en (en millones de millones de dólares) dólares) 50 40 70 60 40 30 30 21 55 45 65 54 Representar gráficamente los datos. Calcular la recta de mínimos cuadrados. Determinar el coeficiente de determinación. Determinar el coeficiente de correlación.
50. Dada la siguiente tabla de datos: Puntos 0 1 2 3 4 Xi 1.5 3.0 4.0 6.3 10.2 F(Xi) 0.5 2.5 1.8 5.5 5 .5 7.1 7. 1 a. Calcular F(7.8) aplicando el método: i. Polinomio simple de cuarto grado. ii. Polinomio de lagrance de cuarto grado. iii. Polinomio de newton en diferencias divididas de cuarto grado. iv. Polinomio de newton en diferencias finitas de cuarto grado. 51. El calor especifico Cp ( cal/mol K) del Mn 3O4 varia con la temperatura de acuerdo a la siguiente tabla: T(K) 280 650 1000 1200 1500 1700 Cp (cal/mol K) 32.7 45.4 52.15 53.7 52.9 50.3 a) Aproxime a un polinomio de lagrange de tercer grado y calcule Cp (1150). b) Aproximar a un polinomio de tercer grado mediante el método de regresión. c) Aproxime a un polinomio de newton newton en diferencias divididas de cuarto grado y calcule Cp (900). 52. Se realizó un estudio sobre el desgaste de un cojinete y su relación con X 1 = viscosidad del aceite y X 2 = carga, se obtuvieron los siguientes datos: Y X1 X2 193 1.6 851 230 15.5 816 172 22.0 1058 91 43.0 1201 113 33.0 1357 125 40.0 1115 a) Ajustar a un modelo de regresión lineal múltiple los datos. b) Determinar el coeficiente de determinación múltiple R 2. c) el coeficiente de correlación múltiple R. d) Los coeficientes de correlación parcial.
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53. La reacción:
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→
Se efectuó en un reactor intermitente a volumen constante donde se registraron las siguientes medidas de concentración en función del tiempo: t (min) 0 5 9 15 22 30 40 60 3 C A (mol/dm ) 2 1.6 1.35 1.1 0.87 0.70 0.53 0.35 a) Utilice una regresión adecuada para determinar el orden de reacción y la constante de velocidad específica. b) Cuál sería el coeficiente de correlación c) Estime el tiempo para el cual la concentración de A sea de 0.1 M. 54. Se cree que la lectura de un instrumento de proceso, Z(Volts), se relaciona con la velocidad de flujo de la corriente de proceso Q (L/s) y la presión P (KPa) por la siguiente expresión:
∙ ∙∙
Se obtuvieron los siguientes datos: Punto 1 2 3 4 Q (L/s) 0.65 1.02 1.75 3.43 P (KPa) 11.2 11.2 11.2 11.2 Z (Volts) 2.27 2.58 3.72 5.21 5. 21 a) Calcule a, b y c, usando una regresión adecuada. b) Calcule el coeficiente de correlación. correlació n.
5 1.02 9.1 3.50
6 1.02 7.6 4.19
7 1.02 5.4 5.89
55. Se reportaron los siguientes datos para la descomposición en fase gaseosa a volumen constante del éter dimetilico a 504°C en un reactor intermitente, inicialmente había (CH 3)2: t (s) 390 777 1195 3155 PT (mmHg) 408 488 562 799 931 Asumiendo que la reacción reacción es:
∞
→
a) Determine el orden de reacción y la constante de velocidad específica. b) Cuál sería el valor de la presión del éter dimetilico a los 1000 segundos. c) Cuál es la fracción que reacciona a los 500 segundos. 56. Al medir la velocidad con un tubo pitot en una tubería de diámetro interior de 20 cm, se encontró la siguiente información: V (cm/s) 600 550 450 312 240 r (cm) 0 3 5 7 8 Donde r es la distancia en cm medida a partir del centro del tubo. a. Obtenga la curva V = F(r) que se aproxima a estos datos experimentales. b. Calcule la velocidad en el punto r = 4 cm. c. Si la velocidad es de 200 cm/s cual es el radio. 57. La transmisión de calor a través de tuberías se sabe que el número de Nusselt (Nu) es función del número de Reynolds y del número de Prandlt:
, ℎ ∙
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Una correlación ampliamente utilizada es la ecuación sugerida por Sieder y Tate:
0.023./
Los coeficientes de la anterior ecuación se han obtenido por correlación de muchos datos experimentales. Aunque en general la anterior ecuación se puede escribir como: Donde a, b, c son parámetros ajustables. Para los siguientes datos experimentales obtenidos en una tubería de ¾ de pulgada de diámetro externo: Punto Re Pr Nu 1 49000 2.3 277 2 68600 2.28 348 3 8480 2.27 421 4 34200 2.32 223 5 22900 2.36 177 6 1321 246 114.8 7 931 247 95.9 8 518 251 68.3 9 346 273 49.1 10 122.9 1518 56 11 54.0 1549 39.9 12 84.6 1521 47 13 1249 107.4 94.2 14 1021 186 99.9 15 465 414 83.1 16 54.8 1302 35.9 a) Compruebe la ecuación original de Sieder y Tate y utilícela como una correlación lineal múltiple para hallar los parámetros a, b, c. 58. Dow y Jacob [Dow, W.M. y Jacob, M. Chem. Eng. Prog. 47, 637 (1951)], propusieron las siguientes ecuaciones adimensionales para modelar la transmisión de calor en un tubo vertical con un sólido fluidizado con aire:
1 ℎ 1
Determine los parámetros a 1, a2, a3, a4, a5, utilizando una regresión lineal múltiple. La tabla de datos obtenida para el experimento es:
Donde:
469 913 1120 234 487 709 581 650 885 672 986 1310
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0.636 0.636 0.641 0.285 0.285 0.283 0.518 0.521 0.524 0.455 0.451 0.455
309 309 309 309 309 309 683 683 683 1012 1012 1012
833 868 800 800 800 767 795 795 795 867 867 867
256 555 786 255 555 850 254 300 440 338 565 811
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1190 1890 2460 915 1260 1690
0.944 0.974 0.985 0.602 0.602 0.617
1130 1130 1130 1130 1130 1130
1608 1608 1608 1673 1673 1673
ℎ ℎ ℎ , , , ,
343 573 814 343 485 700
59. La ecuación de antoine permite calcular la presión de vapor de un componente puro en función de la temperatura.
+ + 10
Linealice la ecuación anterior y determine, utilizando una regresión lineal múltiple, los parámetros A, B y C para los siguientes datos de presión de vapor del propano: Punto T ( °F ) P ( Psia ) 1 -70 7.37 2 -60 9.72 3 -50 12.6 4 -40 16.2 5 -30 20.3 6 -20 25.4 7 -10 31.4 8 0 38.2 9 10 46 10 20 55.5 11 30 66.3 12 40 78 13 50 91.8 14 60 107.1 15 70 124 16 80 142.8 17 90 164 18 100 187 19 110 213 20 120 240 a) Represente los valores experimentales experimentale s en una gráfica P vs T. 60. La capacidad calorífica del propano gas se puede expresar como un polinomio de la temperatura:
⋯
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Punto
a) b) c) d)
T(K)
CP ( KJ/Kmol K) 1 50 34.06 2 100 41.3 3 150 48.79 4 200 56.07 5 273.15 68.74 6 298.15 73.6 7 300 73.93 8 400 94.01 9 500 112.59 10 600 128.7 11 700 142.67 12 800 154.77 13 900 163.35 14 1000 174.6 15 1100 182.67 16 1200 189.74 17 1300 195.85 18 1400 201.21 19 1500 205.89 Ajuste los datos de la tabla anterior a polinomios de diferentes grados y compárelos entre sí, grafique la capacidad calorífica versus la temperatura. Ajustar a un polinomio de newton en diferencias finitas de quinto grado y calcule Cp (1600). Ajustar a un polinomio de newton en diferencias finitas de cuarto grado. Ajustar a un polinomio de Lagrange de cuarto grado y calcule Cp (250).
61. La ecuación de Margules para la correlación de coeficientes de actividad en mezclas binarias es:
−+− − − − −+ − −
,
Donde X 1, X2 son las fracciones molares de los componentes 1 y 2 respectivamente y son los coeficientes de actividad. Los parámetros A y B son constantes para cada mezcla binaria. Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar para calcular la energía libre de exceso de Gibbs.
ln ln
Para la mezcla Benceno (1) y tolueno (2) están disponibles los siguientes datos: Punto 1 0.0464 1.2968 0.9985 2 0.0861 1.2798 0.9998 3 0.2004 1.2358 1.0068 4 0.2792 1.1988 1.0159 5 0.3842 1.1598 1.0359 6 0.4857 1.1196 1.0676 7 0.5824 1.0838 1.1096 8 0.6904 1.0538 1.1664 9 0.7842 1.0311 1.2401
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10 0.8972 1.0078 1.4038 a) ajuste los datos a una regresion lineal multiple y obtenga los valores de los paramentros A y B.
→
62. La tabla siguiente presenta la velocidad de reacción para la siguiente reacción catalítica heterogénea, representada por . P A ( atm ) PB ( atm ) 1 0.0010 5.10 0.9 0.1016 5.40 0.8 0.2021 5.55 0.7 0.3011 5.85 0.6 0.4004 6.00 0.5 0.5043 6.15 0.4 0.6040 6.30 0.3 0.7020 6.45 Se ha sugerido la siguiente ecuación para correlacionar los datos:
∙10
1
Donde k 1, K A y KB son coeficientes que deben determinarse por regresión. Utilizando regresión lineal, determine dichos coeficientes. 63. A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio. Puntos 1 2 3 4 5 6 7 8 P(mmHg) 10 20 40 60 100 200 400 760 T(°C) 930 988 1050 1088 1142 1316 1223 1418 Calcule la presión de vapor correspondiente a T = 1000°C: a. Aplicando un polinomio de newton de diferencias finitas de tercer grado. b. Aplicando un polinomio de regresión de tercer grado. 64. Para calibrar un medidor de orificio, se miden las velocidades V de un fluido y la caída de presión ∆P, los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación que representan a estos datos:
∆∆
Dónde: V = velocidad promedio (pies/s) ∆P = caída de presión (mmHg) Puntos 1 2 Vi 3.83 4.17 ∆Pi 30.0 35.5 a) Graficar V vs ∆P. b) Determinar los parámetros parámetros de a y b. c) Calcular V(85.5), V(60).
3 4.97 50.0
4 5 6 6.06 6.71 7.17 75.0 92.0 105.0
7 7.51 115.0
Practica # 5 Integración Numérica 65. Ensaye por dos métodos de integración numérica para aproximar: a)
∫− +√ +√ − −
; método de trapecio y Simpson 1/3.
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b) c)
∫ + ++ +
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; método de Simpson 3/8 Y Boole.
∫ √ +
; método de punto medio y Simpson 1/3.
66. Integrar la función tabular mostrada a continuación desde x = 0 hasta x = 8: x 0 1 2 3 4 5 6 y -5 1 9 25 55 105 181 Aplicar el método método de: de: a) Trapecio. b) Simpson 1/3. c) Simpson 3/8 67. Un flujo que se mueve a través de un tubo de 16 in de diámetro tiene el siguiente perfil de velocidades: Radio, r (in) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Velocidad, v (ft/s) 3.00 2.92 2.78 2.61 2.36 1.78 1.40 0.67 0.00 Encuentre la tasa volumétrica de flujo, Q, usando la relación
∫ 2
donde r es el radio
axial del tubo, R es el radio del tubo y v es la velocidad. Resuelva el problema usando el método de: a) Utilice una regla de Simpson compuesta para integrar. b) Utilice el método de trapecio para integrar.
→
68. En un reactor discontinuo se planifica la conversión de A en R. la reacción se efectúa en fase liquida la estequiometria y la velocidad de reacción es la indicada en la tabla. a) Calcúlese el tiempo que ha de reaccionar cada carga para que la concentración descienda de C A0 = 1.3 M a C Af = = 0.3 M, Tabla de datos: C A0 (M) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.3 2.0 -r A (M/min) 0.1 0.3 0.5 0.6 0.5 0.25 0.1 0.06 0.05 0.045 0.042 b) Calcúlese el tamaño del reactor de flujo en pistón para alcanzar la conversión del 80% con una alimentación de 10.000 mol A/hr ( C A0 = 1.5 M ). 69. La concentración química registrada a la salida de un reactor perfectamente agitado fue: t, (min) 0 2 4 6 8 12 16 20 3 C, (mg/m ) 10 20 30 40 60 72 70 50 3 a) Para un flujo de salida Q = 12 m /min, estime la masa de sustancia química que sale del reactor desde t = 0 hasta 30 min. 70. En el interior de un cilindro de aluminio, se tiene una resistencia eléctrica que genera una temperatura T 1 = 1200°F. En la superficie exterior del cilindro circula un fluido que mantiene su temperatura a T 2 = 300°F. calcular la cantidad de calor transferido al fluido por unidad de tiempo. Datos: R 1 = 2 pulg, R 2 = 12 pulg, L = 15 pulg. La conductividad térmica del aluminio varia con la temperatura según la tabla siguiente:
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K ( BTU/pie 2 (°F/pie)) 165 150 130 108 T (°F) 1200 900 600 300 71. La reacción es una reacción de primer orden que ocurre en un reactor flujo pistón, la velocidad de flujo molar alimentada de A es 0.4 mol/s. Calcule el volumen del reactor flujo pistón que se necesita para alcanzar una conversión del 80 %. x (conversión) (conversión ) 0 0.1 0.2 0.4 0. 4 0.6 0.7 0.8 3 -r A (mol/m s) 0.45 0.37 0.30 0.195 0.113 0.079 0.05
→
Se sabe que un reactor flujo pistón sigue la ecuación:
72. Se planea enfriar agua de 110°F a 85°F en una torre de enfriamiento empacada que opera a contracorriente, mediante aire de entrada a 85°F con una temperatura de bulbo húmedo de 75°F y un flujo de aire G = 1400 Lb m de aire/h pie 2, el coeficiente total de transferencia de masa es KGa = 6.90 Lb mol/h pie 3 atm. Calcule la altura necesaria de la torre para operar. TL (°F) 85 90 95 100 105 110 Hy° (BTU/Lbm aire) 41.8 48 55.3 63.7 73.6 84.5 Hy (BTU/Lbm aire) 30.8 38 45.2 52.4 5.5 66.7 Donde la altura de la torre se puede calcular mediante la ecuación:
̆ ∙ ∙ °
73. En una columna de absorción se pretende absorber amoniaco de una mezcla amoniaco – aire, – aire, mediante el uso de agua a contracorriente a la presión atmosférica normal. Calcule la altura de la torre de absorción teniendo los siguientes datos: K Ga = 0.001 Kmol/m 3 s (KN/m2), Gm = 0.0307 Kmol/m2 s. 0.111 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01 0.005 0.001 Y
Yi
0.089
0.078
0.059
0.042
0.027
0.013
0.006
0.0026
0
Donde la altura de la torre se puede calcular mediante la siguiente ecuación:
1 1 ∙ 1
74. En un cilindro se comprime amoniaco por medio de su embolo. La temperatura inicial es de 100°F, la presión inicial es de 60 Psia y la presión final es de 180 Psia. Se dispone de los siguientes datos del proceso: P (Psia) 60 80 100 120 140 160 180 3 V (pulg ) 80 67.5 6 7.5 60 52.5 45 37.5 32.5 Determínese el trabajo asociado a este proceso. 75. Un recipiente de contiene R-12 a 450 K. por efecto de la transmisión de calor, su temperatura aumenta reversiblemente hasta 600 K mientras su entropía también aumenta. Los datos van en la siguiente tabla: T (K) 450 460 500 520 540 560 580 600 S ( KJ/Kg-K) 1.0239 1.04 1.1 1.13 1.15 1.18 1.21 1.22 Determine el calor entregado en KJ/Kg. 76. La capacidad calorífica a presión constante de un gas a diversas temperaturas se determina en forma experimental con los siguientes resultados:
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T (°C) 0 100 200 300 400 500 600 CP (J/mol °C) 33.5 35.1 36.7 38.4 40.2 42.0 43.9 a) Calculo el calor (KW) necesario para elevar la temperatura de 150 mol/s del gas de 0°C 0°C a 600°C, utilice el método de Simpson compuesto. 77. Calcule el coeficiente de fugacidad del isopentano a 20 bar y 800 K utilizando el método adecuado, se sabe que la ecuación para calcular el coeficiente de fugacidad es igual a:
Donde
°′ Pr Z° Z'
ln ∅ ° 1ln
y y Pr° = 0.010, w = 0.227, se tienen los siguientes datos estimados: 0.010 0.05 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9994 0.9971 0.9943 0.9886 0.9775 0.9667 0.0008 0.0040 0.0081 0.0163 0.0329 0.0497
Practica # 6 Ecuaciones Diferenciales 78. El mezclado imperfecto en un reactor continuo de tanque agitado se puede modelar como dos o más reactores con recirculación entre ellos. En este sistema se lleva a cabo un reacción isotérmica irreversible del tipo de orden 1.75 con respecto al reactante A. Datos: F = 25 L/min ; F R = 100 L/min ; C A1(0) = C A2(0) = 0 M ; C A0 = 1.5 M ; k = 0.22 (1 / M 0.75 min)
→
a) Con los datos que se dan, calcule la concentración del reactante A en los reactores (1) y (2) ( C A1 y C A2, respectivamente ) a los 10 minutos de iniciado el proceso, usando el método de Euler y tomando un paso de h de manera que obtenga al menos 20 puntos. 79. Un balance de masa para una sustancia química en un reactor completamente mezclado se escribe como:
Donde V = volumen ( 15 m 3 ), C = concentración ( gr/m 3 ), F = velocidad de alimentación ( 400 gr/min ), Q = velocidad de flujo ( 2 m 3/min ) y k = constante de velocidad de reacción de segundo orden ( 0.22 m 3/ gr min ). a) Si la concentración C (0) = 0, cuál sería el tiempo para el cual la concentración sea igual a 3 ( gr/m 3 ), resuelva la EDO tomando h = 0.5.
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b) Cuál sería la concentración para un tiempo de 5 min, resuelva la EDO usando un método numérico adecuado y un valor de h tal que obtenga 6 puntos. 80. El compuesto A se difunde a través de un tubo de 5 cm de largo, y reacciona conforme se difunde. La ecuación que rige la difusión con reacción es:
0
En un extremo el tubo, hay una gran fuente de A a una concentración de 0.1 M. En el otro extremo del tubo, hay un material que absorbe rápidamente cualquier concentración de A, – 6 – 6 volviendo la concentración 0 M. Si D = 1x10 – 6 ( cm2/s ) y k = 4x10 – 6 ( 1/s). a) Use el método de Runge – Runge – Kutta Kutta 4, para calcular la concentración de A como una función de la longitud. Tome un tamaño de paso h = 0.034 cm. b) Cuál es la concentración de A en una posición de 1.305 cm, use un método adecuado para el cálculo y un tamaño de paso h tal que obtenga 7 puntos.
,, 2 12 ,, 4. 0.75
81. Calcular: a) Con el método de Runge – Runge – Kutta Kutta de segundo orden integre +8.5 usando un tamaño de paso de h = 0.1 y la condición inicial es y(0) = 1 hasta x = 5. b) De manera similar use el método de Euler y integre utilizar h = 0.05 con y(0) = 2 desde X = 0 hasta 0.5.
20
82. La reacción A → B tiene lugar en dos reactores en serie. Los reactores están bien mezclados pero no permanecen en estado estacionario. El balance de masa en estado no estacionario en cada reactor con agitación se muestra abajo, donde C A0 es la concentración de A a la entrada del primer reactor. C A1 es la concentración de A a la salida del primer reactor ( y entrada del segundo reactor ). C A2 es la concentración de A a la salida del segundo reactor. C B1 es la concentración de B a la salida del primer reactor ( y entrada al segundo reactor ). C B2 es la concentración de B en el segundo reactor. es el tiempo de resistencia en cada reactor, y k es la constante de velocidad de reacción de A para producir B.
Condiciones iniciales:
1 1 1 1 0 0 0 0 0
a) Si C A0 es igual a 10, use los métodos numéricos de Taylor de orden dos y Runge – Kutta 4, para hallar la concentración de A y B en ambos reactores, durante los primeros 10 minutos de operación. Use k = 0.1 (1/min) y = 5 min,. Así como un tamaño de paso de h = 0.5 minutos. 83. Un reactor batch no isotérmico se puede describir mediante las siguientes ecuaciones:
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−+ 1000−+ 1020
Donde C es la concentración del reactivo y T es la temperatura del reactor. Inicialmente el reactor está a 25°C de temperatura y la concentración del reactivo C es de 1 M. a) Utilice el método de Taylor de orden 2 y Runge – Kutta – Kutta 2, para encontrar la concentración y la temperatura del reactor para el tiempo de 5 minutos, utilice un tamaño de paso h = 0.5 minutos. 84. Un tanque cilíndrico de fondo plano con un diámetro de 1.5 cm, contiene un líquido de densidad 1.75 Kg/L a una altura de 4 m. se desea saber la altura del líquido dentro del tanque, como una función del tiempo, después que se abre completamente la válvula de salida, la cual da un gasto de (m3/s), donde A es el área de la sección transversal del tubo de – 4 salida y es 78.7x10 – 4 m2.
0.6 2 2
Resuelva la ecuacion diferencial empleando el metodo de Runge – Kutta – Kutta 2, tomando un tamaño de paso h tal que obtenga 12 puntos: a) Cual es la altura del liquido en el tanque a un tiempo de 4 minutos. b) Cuanto tiempo tarda en vaciarse completamente el tanque. 85. Considere un tanque esférico con radio de 5 m, la veocidad de salida por el orificio del fondo es (m/s) y el diámetro de dicho orificio es de 10 cm.
4.895√
Resuelva la ecuacion diferencial empleando el metodo de Runge – Kutta – Kutta 4, tomando un tamaño de paso h tal que obtenga 10 puntos: a) Cual es la altura del liquido en el tanque a un tiempo de 10 segundos.
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b) Cuanto tiempo tarda en vaciarse completamente el tanque. 86. Se tienen tres tanques de 1000 litros de capacidad cada uno, perfectamente agitados. Los tres recipientes están completamente llenos con una solución cuya concentración es de 30 gr/L. A partir de cierto momento, se alimenta el primer tanque una solución que contiene 50 gr/L con un gasto de 300 L/min (hay un arreglo entre los tres recipientes tal que al haber un gasto al primero, la misma cantidad fluye de este al segundo, del segundo al tercero y de este afuera del sistema, con lo cual se mantiene constante el volumen en todos ellos).
0≤≤10
a) Calcule la concentración en cada tanque para minutos después de haber empezado a agregar solución al primero, usando el método de Runge – Kutta – Kutta de cuarto orden, con un tamaño de paso de h = 0.5 minutos. 87. En un tanque perfectamente agitado se tienen 400 L de una salmuera en la cual están disueltos 30 Kg de sal comercial ( NaCl ). En cierto momento se hace llegar al tanque un gasto de 100 L/min de una salmuera que contiene 0.50 Kg de sal común por litro. Si se tiene un gasto de salida de 80 L/min, determine: a) Cuál es la cantidad de sal que hay en el tanque transcurridos transcurri dos 5 minutos. b) Grafique la cantidad de sal en función del tiempo, calculando la cantidad de sal para minutos, usando el método de Runge – Kutta – Kutta de segundo orden, con un tamaño de paso de h = 0.1 minutos.
0≤
≤20
88. Resolver la ecuación diferencial:
PVI
0.52 ′001.1.28 1212 ?
89. Se hace reaccionar isotérmicamente 300 gr de acetato de etilo ( CH 3COOC2H5 ) con 150 gr de hidróxido de sodio ( NaOH ) en solución acuosa ( ajustando el volumen total a 7.5 litros ), para dar acetato de sodio ( CH 3COONa ) y alcohol etílico ( C 2H5OH ), de acuerdo con la siguiente ecuación estequiometria:
→
– 2 Si la constante de velocidad de reacción k es 1.45x10 – 2 ( L/ mol min ).
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0≤≤30
a) Determine la cantidad de acetato de sodio y alcohol etílico presentes para minutos después de iniciada la reacción, usando el método de Runge – Kutta – Kutta de cuarto orden, tomando un tamaño de paso h = 1 minutos. 90. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente y sin cabio de fase. Las ecuaciones que describen el intercambiador de calor en ciertas condiciones de operación son:
PVI
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0.03 0.04 00 100° 20° 33 ??
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