METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
PRELIMINARES FUNCIONES _____________________________________________________ 3 Selecciones la respuesta correcta _____________________________________________________ 4
TEORIA DE ERRORES _________________________________________________________ 11 RAICES DE ECUACIONES _______________________________________________________ 16 Teoría de Descartes _______________________________________________________________ 16 Sturm __________________________________________________________________________ 16 Aproximaciones Sucesivas __________________________________________________________ 17 Bisección ________________________________________________________________________ 20 Falsa Posición y Secante ____________________________________________________________ 22 Newton Raphson _________________________________________________________________ 24 Horner __________________________________________________________________________ 27 Muller __________________________________________________________________________ 27 General Todos los métodos _________________________________________________________ 27 Aplicación _______________________________________________________________________ 29
INTEGRALES DEFINIDAS _______________________________________________________ 41 Rectangular, Trapecial y Simpson ____________________________________________________ 43 Aplicación (P4_ParteA_MB535_2006_1-Int) ____________________________________________ 49
MATRICES __________________________________________________________________ 63 ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES ___________________________________________ 65 A. Métodos Directos_______________________________________________________________ 69 A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward _____________________________________________ 69 A-2. Factorización LU y Sustitución Forward ___________________________________________________ 69 A-3. Pivoteo y número de dígitos ____________________________________________________________ 70
B. Métodos Iterativos ______________________________________________________________ 71 B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos ______________________________________ 71 B-2. Mejoramiento iterativo de soluciones _____________________________________________________ 72
AJUSTE DE CURVAS __________________________________________________________ 79 Interpolación de Newton ___________________________________________________________ 79 Polinomios de Lagrange ____________________________________________________________ 79 Mínimos Cuadrados _______________________________________________________________ 80 Linealizables _____________________________________________________________________ 84
Problemas propuestos
1
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Hermite _________________________________________________________________________ 84 Trazadores o Splines_______________________________________________________________ 86
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS _______________________________________ 96
Problemas propuestos
2
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
PRELIMINARES FUNCIONES Consideraciones especiales: Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa
f (x) es un máximo si f ' ( x )
0 y f ' ( x ) cambia de signo pasando de positivo a negativo
f (x) es un mínimo si f ' ( x )
0 y f ' ( x ) cambia de signo pasando de negativo a positivo
El número de raíces de una función depende del número de variaciones de signo en dicha función. Al reemplazare el x por (1) las variaciones de signo nos dará el número de raíces positivas, Al reemplazar el x por (-1) las variaciones de signo dará el número de raíces negativas y la máxima potencia dará el número total de raíces. Las imaginarias serán las restantes. Encontrar: Los máximos, Los mínimos, el número de raíces positivas, negativas e imaginarias y decir los rangos para los cuales es creciente y decreciente cada una de las siguientes funciones. Asuma los valores que considere necesarios. 1. f ( x )
2 x 3 9 x 2 12 x 3
2. f ( x )
( x 1) 2 ( x 1) 3
3. f ( x )
a b( x c ) 2 / 3
4. f ( x )
x3
6x 2
6. f ( x )
x
3
2
x
4
5. f ( x )
10 12 x 3x
7. f ( x )
2x
9. f ( x )
4
x
2
x
11. f ( x )
x5
13. f ( x )
x
2
15. f ( x )
x2
17. f ( x )
x
2
2x
4
3
8. f ( x )
1
5x 4 2a 3 x a4 x2
x2
21. f ( x )
x a x 2 2a 2 x2 a2 ( 2 x ) 2 (1 x ) 3
23. f ( x )
a b( x c )1 / 2
25. f ( x )
x(a
19. f ( x )
27. f ( x ) 29. f ( x )
x 2
x x2 x2
x ) 2 (a 2 2x 4 x 4 2x 4
Problemas propuestos
3
x)3
2x
9x 15 x 20
4x 4
4 x 3 12 x 2
10. f ( x )
3x
12. f ( x )
3x 5
20 x 3
14. f ( x )
2x
a3 x2
16. f ( x )
2
18. f ( x )
ax x
a2
x2 x2
a2
20. f ( x )
(2
x ) 2 (1 x ) 2
22. f ( x )
b c( x a ) 2 / 3
24. f ( x )
(2
26. f ( x )
( 2 x a )1 / 3 ( x a ) 2 / 3
28. f ( x ) 30. f ( x )
x2
x )1 / 3 (1 x ) 2 / 3 x
4
x 1 ( x a )(b x2
x)
3
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
31. De una pieza cuadrada de cartón de lado a, se desea construir una caja abierta por encima, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrado iguales y doblando hacia arriba el cartón para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? 32. Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d. 33. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede escribirse en una esfera de radio r. 34. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado. 35. Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área del campo es dada hallar la razón de los lados para que la longitud total de las vallas sea la mínima. 36. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un área de 10.800m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo?. 37. Un fabricante de Instrumentos electrónicos averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno siendo 5 x
375 3 p . El costo de la producción es 500 15x
1 2 x pesos. 5
Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. p , demostrar que la 5 producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana.
38. Si el problema anterior se supone que la relación entre x y p es x
100
20
39. Si en el problema anteriormente planteado se supone que la relación entre x y p es: x 2 2500 20 p , ¿Cuantos instrumentos deben producir semanalmente para obtener la máxima ganancia?. 40. Cuál es el ancho del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un segmento dado de una parábola.
Selecciones la respuesta correcta 41.
Es un procedimiento que describe con ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden especifico: a) Algoritmo b) Seudo código c) a y b son correctas
Problemas propuestos
d) Ninguna de las anteriores
4
METODOS NUMERICOS
42.
Uno de los criterios que siempre trataremos de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeños en los datos iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales. Un algoritmo que satisface esta propiedad es: a) Estable
43.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
b) Inestable
c) Condicionalmente estable d) ninguna de las anteriores
Un Punto Fijo de una función " g " es un numero " p" para el cual: a)
g p
p
Problemas propuestos
b)
g0
p c) g p
0 d) f p
0 e) Ninguna de las Anteriores
5
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
PRELIMINARES SERIES
1.
2.
Fibonnaci, partiendo de dos valores iniciales (0,1) se continúa calculando el siguiente valor con la suma de los dos anteriores. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34............ Desarrolle un algoritmo que permita encontrar: 1. Los primeros N términos de dicha serie 2. Los términos hasta encontrar el primero mayor a Q 3. Los términos comprendidos entre un valor M y N (con M>N) Son varios los procedimientos para calcular el resultado de elevar un valor al cuadrado. Ej: Caso 1: La forma sencilla es multiplicar n*n Caso 2: Otra forma es sumar n veces n: n+n+....nn Caso 3: Otra forma es sumar los primeros n impares: 1+3+5+.....(2*n-1) Desarrolle un algoritmo utilizando estructuras cíclicas para resolver el ejercicio por los dos casos últimos. Raíz n ( n # ) de un número(#): Una forma de encontrar la raíz n a un número es el siguiente: si se quiere calcular la
7 entonces se puede replantear como ecuación así: f ( x) x 2 7, f ' ( x) 2 x
Si 3 9 , se asume a x 0 3 como la raíz supuesta de 7 para iniciar el proceso. La primera iteración quedará:
f x0 f ' x0
32 7 2(3)
0.333333
x
x0
3 0.333333
2.666667
Para La segunda iteración el x0 toma el valor de x y se tendrá:
f x0 f ' x0
3.
x
x0
(2.666667) 2 7 2(2.666667) 2.666667 0.0208333
0.0208333 2.6458334
Al igual que el caso anterior, la tercera iteración quedará:
f x0 f ' x0 x
x0
(2.6458334) 2 7 0.000820 2(2.6458334) 2.666667 0.000820 2.6457514
Desarrolle un algoritmo que le permita calcular la raíz de: 1. Los números primos menores a 100. 3 75 , 4 48 , 5 120 2. Para los siguientes ejercicios:
a. Sumar los primero N términos, donde N representa un valor entero que se lee cada vez que se ejecuta el programa junto con el valor de X (en los casos que se requiera). b. Continuar sumando términos sucesivos a la serie hasta que el valor del ultimo término sea menor (en magnitud) que 1 * 10 5
4.
5. 6.
e
ex
1
1 2
1 x
1 1 ... 2 2 2! 2 33! x2 x3 x4 ...... 2! 3! 4!
Problemas propuestos
6
METODOS NUMERICOS
7. 8.
ex e
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
cosh(x) sinh(x) x
cosh(x) sinh(x)
12.
x3 x5 .... 3 30 sin 2 ( x ) sin 3 ( x ) e sin ( x ) 1 sin( x ) 2! 3! t 13 3 5 4 e 2 sin( 2t ) 2t t 2 t t ... 12 8 e ix cos(x ) i sin( x )
13.
Sin( x )
x
x3 3!
x5 5!
14.
Sin(
x)
1 2
3
15.
sin( x )
9. 10. 11.
16. 17. 18. 19. 20. 21.
e x sin( x )
3
x2
x
x7 7!
......
... 3x 2 2!
x
sin 4 ( x ) 4!
x3 3!
3x 4 4!
x5 5!
e ix 2i x 2 x4 x6 cos(x) 1 ... 2! 4! 6! e ix e ix cos(x ) 2 x 3 2x 5 17x7 62x 9 tan(x) x .... 3 15 315 2835 x 3 x 5 x7 x 9 1 atan(x) tanh (x) x .... 3 5 7 9 1 π x 3 x 5 x7 x 9 atan( ) x .... x 2 3 5 7 9 2k 1 π π 1 3 k x 1/2 acos(x) k 1 x x 2 k0 2k 1 2 6
...
e ix
3 5 x 40
x
2 22.
asin(x)
x3 6
x
3x 5 40
....
24.
sinh( x )
ex
sinh(x) x
Problemas propuestos
1*3*..( 2n 1 )*x 2 n 1 2*4*...(2n 2 )( 2n 1 )
...
1
1 x 1 x 1
2 23.
5 7 x 112
e 2 x3 3!
x
x5 5!
x7 7!
...
7
METODOS NUMERICOS
1
25.
sinh (x)
x
26.
a sinh( x )
x
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
x 3 3x 5 15 x 7 ... 6 40 336 1 x3 1* 3 x 5 2 3 2*4 5
1* 3 * 5 x 7 2*4*6 7
...
27. n
28.
1 (2n )! x 2 n 1 ,x 2 2 n ( n ! ) 2 2n 1
asinh(x) n 0
29.
asinh(x) ln x
30.
cosh(x)
31.
acosh(x) ln(2)
ex
1
x2 1 e
x
2
1 x 2 2 2
1*3 x 4 2*4 4
1*3*5 x 6 2*4*6 6
...
n
32.
1 ( 2n )! x 2 n ,x 2 2n (n !) 2 2n
acosh(x) ln(2) n 1
33. 34.
x2 1
a cosh(x) ln x tanh( x )
x
1
x3 3
2x5 15
17 x 7 315
.....
35.
36.
37.
38.
a sec h( x ) acosh(x 1 ) ln(2)
39.
asech(x)
1 x2 2 2
1* 3 x 4 2*4 4
1* 3 * 5 x 6 2*4*6 6
...
n
ln(2) n 1
1 (2n )! x 2 n ,0 2 2 n ( n ! ) 2 2n
x
1
40. 41.
42.
arc sec h ( x ) ln
Problemas propuestos
1
1 x2 x
8
METODOS NUMERICOS
43.
arc csc h ( x ) ln
44.
tan(x)
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
4)n (1 4 n ) 2n 1 x , donde Bs son los números de Bernulli. 2n!
B2n( n 1
45.
46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.
atanh(x) ln
1 x2 1 x
1 1 x ln 2 1 x
acoth(x) ln
x2 1 x 1
1 x 1 ln 2 x 1
x 2 5 x 4 61 x 6 Sec( x ) 1 .... 2 24 720 x 2 5 x 4 61 x 6 Sech( x ) 1 .... 2 24 720 1 2 7 4 Sec( x ) 1 x x ... 4 96 x2 x3 x4 ln(x 1) x ... 2 3 4 (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 ln(x) (x 1) ... 2 3 4 x x2 x3 1n x n 1 ln(a x) ln(a) ... a 2a 2 3a 3 (n 1)a n 1 ln(1 x)
x
x2 2
x3 3
x4 4
...
x2 2
x4 x6 ln(cos(x)) ... 12 45 1 1 1 1 1 ln(3) ln(2) 2 * * .... 5 3 53 5 55 4(1 1 / 3 1 / 5 1 / 7 1 / 9 1 / 11 1 / 13 ....)
57. i 1
58.
1 x2 x
1
( 1) n *4 2n 1 1 2
6
1 1 1 * 2 3 2
3
1 3 1 1 * * 2 4 5 2
5
....
2
59. 60. 61.
1 1 1 .... 2 2 6 2 3 42 1 2 2 3 3 4 x ( * * * ....) 2 3 3 4 4 5 x 1 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 1
Problemas propuestos
...
9
METODOS NUMERICOS
62. 63. 64.
d ( Log e (1 x)) dx
x2 2 1 x x2
log(1 x) (1 x)
1
Problemas propuestos
x
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
(1
2x 2
x3 3 x3
3x 2 3
x4 4 ...
4 x3 4
...)
...
10
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
TEORIA DE ERRORES 2
Dados y 0.2115 *10 y x 0.4523*104 , en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular x y en coma flotante: a) No se produce error generado. 1. ya b) El error absoluto generado es 0.4523*104. c) El error propagado es nulo. d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor. El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando se divide un número por otro muy pequeño. 2. ya b) Cuando se suma dos números de la misma magnitud y distinto signo. c) Cuando se realiza el producto de dos números muy grandes. d) Cuando se restan dos números de la misma magnitud y distinto signo. Dados x = 0.4523*104, e y = 0.2115*10-2 en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular x + y en coma flotante: a) No se produce error generado. 3. ya
b) El error absoluto generado es 0.4523*104. c) El error propagado es nulo. d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor. El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando dividimos un número por otro muy pequeño.
4. ya
b) Cuando sumamos dos números de la misma magnitud y distinto signo. c) Cuando realizamos el producto de dos números muy grandes. d) Cuando restamos dos números de la misma magnitud y distinto signo.
x 1 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es Supongamos que tenemos la siguiente función f ( x ) correcta? a) Si queremos evaluar la función en un punto positivo cercano a uno, no habrá problemas de cancelación de términos significativos. b) Debemos utilizar la función g ( x ) 5.
x 1 , que es una función equivalente a f(x) y no presenta x 1
problemas en puntos cercanos a uno. c) Debemos utilizar la función g ( x )
x 1 , que es una función equivalente a f(x) y no presenta x 1
problemas en puntos cercanos a uno. d) Ninguna de las anteriores. Obtener el error absoluto y relativo al considerar 60 mt como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 mt. 6. ya a. 0.25% b. 0.15% c. 0.35%
Problemas propuestos
11
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
d. 1.5% e. Ninguna de las anteriores Obtener el error absoluto y relativo al considerar 3,5 mt como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 mt. a. 2.5% 7. ya
b. 3.5% c. 1.5%
d. Ninguna de las anteriores Un carpintero tiene que construir una mesa de 136 cm de largo para obtener una superficie de 9.396 cm2. Cuanto medirá el otro lado si utiliza una regla que solo aproxima hasta los milímetros. a. 69.1 8. ya b. 69.09 c. 69.0 d. 69.2 e. Ninguna de las anteriores Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x=2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores están correctamente redondeados): 9. a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40) Calcular la siguiente expresión, incluyendo su cota de error absoluto: w = x y² / z 10.
11.
Donde x = 2,0 ± 0,1, y = 3,0 ± 0,2 y z = 1,0 ± 0.1. Indicar qué variable tiene mayor incidencia en el error en w. ¿Con cuántos decimales significativos hay que tomar a pi y e en las siguientes expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?: a) 1,3134 b) 0,3761 e Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:
12.
c)
e
6
21 / 2 1 1 6 21 / 2 1
a.
f
b.
f
c.
f
d.
f
e.
f
3 2 * 21 / 2 1 3 2 * 21 / 2 99 70 * 21/ 2
f.
f
1 / 99 70 * 21/ 2
3
3
a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes. b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raíz cuadrada de 2, indicar qué alternativa proporciona el mejor resultado. Se tiene la expresión y
ln [x - (x² - 1) ½ ]
13. a. Calcular y para x = 30, incluyendo su error absoluto. Suponer que la raíz cuadrada se conoce con 6
Problemas propuestos
12
METODOS NUMERICOS
14.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
decimales correctos y que el error en x es despreciable. b. Obtener una expresión matemáticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el punto de vista numérico, y recalcular el resultado con el nuevo error. Se realizan observaciones de un satélite para determinar su velocidad. En la primera observación la distancia al satélite es L = 30.000 ± 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dígitos de precisión) la distancia radial ha aumentado en r = 125 ± 0,5 km y el cambio en la orientación ha sido ø =0,00750 ± 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satélite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en línea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo. Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral: bx
1
I ( a, b)
e
(a x2 )
dx
0
Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla: a 0.39 0.40 0.40 0.40 0.41
15.
b 0.34 0.32 0.34 0.36 0.34
I 1.425032 1.408845 1.398464 1.388198 1.372950
Ahora bien, se midieron las cantidades físicas z e y, obteniéndose: z = 0,400 ± 0,003
16.
y = 0,340 ± 0,005
Estimar el error en I ( z, y ) y expresar el resultado final. En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el número p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cómo se almacenan los números: a)
2.7182818285 b) -1073741824
c) 0.577216
d) -123E-45
Indicar cuál es la cota de error relativo que tiene un número almacenado según esta representación. Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la gráfica de proceso: a)
17.
18.
b)
Suponer que a es positivo y que los números 2 y 3 tienen una representación exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a=0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dígitos luego de cada operación aritmética. Considerar las expresiones v (a b) / c y w (a / c) (b / c) . Suponer que a, b y c son positivos, sin errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b. a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v. b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmética de punto flotante con 2 dígitos de precisión.
Problemas propuestos
13
METODOS NUMERICOS
19.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Mostrar en los siguientes cálculos que, trabajando en punto flotante con una precisión de 5 dígitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simétrico. 0.98765 + 0.012424 - 0.0065432, 3
20.
(4.2832 - 4.2821) * 5.7632
2
3 x - 0,149 en x 4.71 utilizando aritmética de punto flotante de 3 Evaluar el polinomio P(x) x - 6 x dígitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresión alternativa P( x ) (( x 6) x 3) x 0.149 (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simétrico. Sumar los siguientes números de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando aritmética de punto flotante con 4 dígitos de precisión. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones.
21. 0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*10² 0.6249*10² 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104 Calcular v 2 w2 usando aritmética de punto flotante de 4 dígitos de precisión, con v=43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos: 22. a) Indicar cuál algoritmo es más conveniente y justificar. Investigar la estabilidad numérica en el cálculo de:
b)
x 1/(1 2 * a) (1 a) /(1 a ) , siendo |a| << 1. 23.
La secuencia de operaciones es:
a,
1
2
1 2*
1
,
3
1/
2
,
4
1
1
,
5
1
1
,
6
4
/
5
,
7
3
6
, x
7
Cambiar la secuencia de operaciones de modo que resulte un algoritmo más estable que el anterior. Indicar cuál de los siguientes algoritmos es más estable numéricamente para calcular la menor raíz de la ecuación x 2 2 x a 0 , con a positiva y mucho menor que 1. 24.
a) b)
1 1
1 a 1 a
2
e11 / 2
2
1/ 2 1
e
x 3
3
1
1
2
2
x
4
a/
3
Se desea evaluar la derivada de la función f (x) en el punto x1 , pero sólo se dispone de valores de f sobre un conjunto discreto de puntos. Se utiliza la siguiente estimación:
D
f ( x2 )
f ( x1 ) / x 2
x1
a. Suponiendo que x 2 25.
26.
x1 es pequeño, obtener una estimación del error de truncamiento cometido. Para ello, desarrollar f ( x 2 ) en serie de Taylor alrededor de x1 . b. Suponiendo que los valores de f ( x 2 ) y f ( x1 ) se redondean de tal forma que sus errores relativos son r2 y r1 , respectivamente, obtener una estimación del error en D por el redondeo durante las operaciones. Para ello utilizar la gráfica de proceso, sin considerar errores en x1 y x 2 . c. Estimar el error en D debido a errores de entrada x 2 y x1 en x 2 y x1 , respectivamente. Para ello utilizar la fórmula general de propagación de errores. f 2 f 2 / 6 permite interpolar el valor de la función f en x=0 conociendo La fórmula f 0 4 f 1 f 1
Problemas propuestos
14
METODOS NUMERICOS
sus valores en x
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
2
2, x
1
1, x1 1, x 2
2.
a. Estimar, mediante la gráfica de proceso, los errores en f0 debido al redondeo de los valores de la tabla de f y al redondeo durante los cálculos. b. Suponiendo que la función f es par y que f 1 y f 2 son del mismo orden, y utilizando el resultado del punto a, obtener una condición que garantice que el error debido al redondeo en los cálculos sea despreciable. 1.345 0.0005 y 2 1.352 0.0005 , ambos medidos Se desea evaluar z cos( 2 1 ) , donde 1 en radianes. Los cálculos se efectúan con 7 dígitos de precisión. El valor del coseno se obtiene de una tabla con 5 decimales significativos. Se pide: 27.
a. Calcular z y efectuar una estimación de la cota de error mediante la gráfica de proceso. Identificar la principal fuente de error. sen 2 sen 1 b. Repetir el cálculo anterior utilizando el algoritmo alternativo z cos 2 cos 1 Explicar cuál de los dos algoritmos es mejor y justificar.
Problemas propuestos
15
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
RAICES DE ECUACIONES Teoría de Descartes 3
1.
2.
3.
2
Dada la ecuación P(x) 8x -20x -2x 5 0 , mediante la regla de Descartes, analizar cuántas raíces reales positivas y negativas posee. Estudiar si cada una de las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, indicando qué resultados o resultados se han utilizado en cada caso: a) El polinomio 2x 3 -x 2 -x-1 1) tiene tres raíces reales positivas 2) no tiene raíces reales 3) tiene dos o ninguna raíz real negativa. b) Si nos dicen que el cociente de dividir un polinomio P(x) por x 2 es 2x 3 -4x 2 5x-7 podemos deducir que 1) el valor de la derivada de P(x) en el punto −2 es 10. 2) El valor de la derivada de P(x) en el punto −2 es 49. 3) No podemos deducir nada sobre P' ( 2) Dado el polinomio: g(x) (2x 5 3x3 4)(x-1) a. Aplicando la regla de Descartes estima el número de raíces reales de g. ¿Puedes precisar el número exacto de raíces reales de g utilizando sólo Descartes? b. Encuentre un intervalo que aísle la raíz menor.
Sturm 3
1.
2.
3.
2
ax-ab . Dados dos números, a, b con a 0 , se considera el polinomio P(x) x -bx a) Encontrar una relación entre a y b que garantice que la sucesión de Sturm de P tenga sólo tres términos. b) Decidir, en el caso en que a y b verifiquen la relación anterior, el número de raíces reales y distintas de P. Obtener cotas superiores e inferiores de las raíces positivas de las siguientes ecuaciones, aplicando un método distinto a cada una de ellas: a. x 5 -x 4 x 3 -x 2 1 0 b. 2x 5 -100x2 2x-1 0 . c. x 7 5 x 6 27 x 5 3 x 3 4 x 2 7 x 2 0 Acotar y separar las raíces de : a. x 3 -7x 2 14x-6 0 b. x 3 -x-1 0 c. x 4 -2x3 -4x 2 4x 4 0 d. x 4 2x 2 -x-3 0
Problemas propuestos
16
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Aproximaciones Sucesivas o Punto Fijo Dada la función g(x) de la que se pretende calcular su punto fijo, indicar la respuesta correcta.
1.
a) Si aplicamos el método del punto fijo para x0
1 , entonces éste converge.
b) Si aplicamos el método del punto fijo para x0
1 , entonces éste diverge.
c) Si aplicamos el método del punto fijo para x0 d) Ninguna de las anteriores.
4 , entonces éste converge.
En 1225 Leonardo de Pisa estudió la ecuación p ( x) x 3 2 x 2 10 x 20 y obtuvo la raíz x=1,368808107. No se sabe como encontró este valor, pero es un resultado notable para su época. En este ejercicio se pretende resolver la ecuación usando varios métodos. 2. Transforma la ecuación en una ecuación equivalente x
g (x ) , dando dos posibles elecciones de g ( x n ), n 0 , sea convergente en un
g(x), de forma que el método de iteración funcional x n 1 caso y divergente en el otro. Para localizar la raíz de una función en el intervalo 1 , 2 , comenzando con P0 1.2 . Determine cuál de las cuatro funciones de iteración es la conveniente para realizar el método: 3.
x 1 x2
g1 x
b) g 2 x
a) g1 x
anteriores. La ecuación x 2 como sigue: 4.
g2 x
a.
x
b.
x
c.
x
( x2
Problemas propuestos
c) g3 x
x
1
1
x
d) g 4 x
2
g3 x
x3 x
1 1
2
e) Todas las funciones g x
g4 x
3
x
1
d) Ninguna de las
2 x 3 0 se puede reformular mediante el método de sustitución sucesiva
3)
2 2x 3 2x 3 x 17
METODOS NUMERICOS
x
d.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
x 0.2( x 2
2 x 3)
Las soluciones de la ecuación son x 3 y x 1 . Determine en forma gráfica cuales de las fórmulas convergen cuando se utilizan con la sustitución sucesiva (Punto fijo) para encontrar la raíz x 1. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar un intervalo [a,b] en el cual la iteración de punto fijo sea convergente, analizando el tipo de convergencia. Estimar el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una tol comparar con las que se utilizan en realidad al aplicar el método. 5.
10
5
y
1 x = ( 2 ex + x2 ) 3 x 18 b. x = + 2 3 x 4x 7 c. x = 1.75+ x 2 2 x d. x = e / 3 Verificar que x a es un punto fijo de la función g (x ) . Encontrar, sin realizar ninguna iteración, a.
los valores de a para los cuales el método de punto fijo converge linealmente o cuadráticamente. 6.
a.
g(x) = (x + a) / 2
b.
g(x) = - x 2 + 3ax + a 2a 2
c.
g(x) =
a3 + ax x 2 2 x
Se desean calcular por iteración las raíces positivas de la ecuación x proponen los métodos siguientes: 7.
(i) xn a. b.
8.
9.
1
log( xn ) , (ii) x n
1
e
xn
, (iii) xn
1
1 ( xn 2
e
xn
log(x )
0 . Para ello, se
)
Hay alguno de ellos cuyo uso no sea aconsejable? Cuál es el más adecuado de los tres?
Proporcionar alguna otra fórmula mejor que las anteriores. Resuelve la ecuación x cos(x ) con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo x x f (x ) x toma como intervalo inicial [0, 1]. Considere la ecuación x cos(x ) a. Demuestra que la formulación x ( x cos(x )) / 2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x 0 en el intervalo [0,1]. b. Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. Verifica el resultado resolviendo la ecuación con MatLab.
10.
Considere la ecuación f ( x) a. Graficar.
Problemas propuestos
sen ( x ) x .
18
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
b. Resolver manualmente mediante el método de “Punto Fijo”. Hacer 5 iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado E a . c. Adecuar el algoritmo del método de Punto Fijo para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones cuando el error relativo aproximado E a 0.01% y un número máximo de iteraciones. Utilizar como valor inicial x0 0.5 Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.
x2
x
2x
11.
Hallar la raíz de la siguiente función f ( x )
12.
3 2 Encontrar la raíz de la ecuación f ( x ) x 4 x 10 . Usa el manejo algebraico para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto fijo en p 4 2x 2 -x-3 . exactamente cuándo f ( p) 0 , donde f(x) x
g1 ( x)
3 x 2x 2
b.
g 2 ( x)
x 3 x4 2
c.
g3 ( x)
d.
g4 ( x)
a. 13.
2 xe
e
Para 0
x 1
1/ 4 1/ 2
1/ 2
x 3 x2 2 3x 4 2 x 2 3 4x3 4x 1
Se proponen los tres métodos siguientes para calcular 211/ 3 . Clasifica por orden, basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que p0 1 .
14.
20 pn
a.
pn
b.
pn
pn
c.
pn
pn
d.
pn
1
1
21 pn 1
1
21 / pn2 1 21 pn3 1 21 3 pn2 1
pn4 1 21pn pn2 1 21
1
1/ 2
En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en que convergirá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de 10 5 y realiza los cálculos. 15.
16.
2 ex x2 3 x 1/ 2 c. x ( e / 3) e. x 6 x a. x
5 2 x2 d. x 5 x f. x 0.5(sin( x ) cos(x )) b. x
Utilice los algoritmos desarrollados para verificar el resultado encontrado en los ejercicios anteriores y para encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones con una exactitud de 10 5 .
Problemas propuestos
19
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Determine el número de pasos para cada método. x 2 x 2 cos x 6 0, 1 x 2 a. e b. ln( x 1) cos(x 1) 0, 1.3 x 2 c.
2 x cos 2 x
(x
2
d.
(x
2)
e.
ex
3x 2
2) 2
ln x
0, 2
0, 1
0, 0
x
x
x 2
1 y 3
3 y 3 y
e
x
x
x
4
4
5
x
17.
0, 0 x 1, 3 x 4 y 6 x 7 f. sen x e Demostrar que la sucesión generada N-R diverge para independientemente del punto inicial elegido: 2 1 a. f(x) x
funciones,
2
Obtenga las soluciones con una exactitud de 10 5 . Ensaya con la iteración del punto fijo xn 1 1 19.
siguientes
b. f(x) 7x 3x π En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a, b] donde la iteración de punto fijo convergirá en una solución positiva de la ecuación. a. 3x 2 e x 0 b. x cos(x ) 0 4
18.
las
0.7, 0.9, 2 . Observar que aunque la iteración converja, esto no implica necesariamente comportamiento caótico para 2.
x
x
2 n
n 1
para los valores del parámetro
g ( xn ) genere una sucesión que no
que la sucesión tienda a infinito. Observar el
2
La función g ( x ) 0.4 x 0.1x tiene dos puntos fijos ( x 2 y x 2 ). Calcula los primeros términos de la sucesión generada con la iteración del punto fijo xn 1 g ( xn ) : 20.
a. Comenzando con x0
1.9
1.9 b. Comenzando con x0 c. Explicar por qué la sucesión generada en a. converge y la generada en b. diverge. 2 3 Las raíces reales de f(x) = 23 ,330 + 79 ,35 x 88 ,09 x + 41,6 x
21.
cuatro iteraciones, usando el valor inicial de a) xi el error aproximado.
22.
Determine la raíz real mayor de
3.5 b) xi
8,68 x 4 + 0,658 x 5 hasta 4 c) xi 4.5 , también calcule
f(x) = 6 + 11 x 6x 2 + x 3
Bisección 1. 2.
Con una precisión de 10 [3,2, 4].
2
las soluciones de x 3
Utiliza el método de bisección para aproximar considera f ( x)
x 2 14 x 6 0 en los intervalos [0,1], [1, 3,2] y
3 con un error absoluto máximo de 10-4 (Ayuda:
x2 3 . 3
3. 4.
x 1 tiene una única raíz en [1,2]. Aproximar dicha raíz con 5 Demuestra que f ( x ) x decimales exactos utilizando el algoritmo de bisección Utiliza el algoritmo de bisección para encontrar soluciones aproximadas con tol 10 5 para los
Problemas propuestos
20
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
siguientes problemas: a. x 2 x 0, x b. c.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13.
e
x
e
x
Sea f ( x ) que x
x
2 x
2
0,1
2 cos(x ) 6 0, 3x 2 0,
x
( x 1)10 , x 1 y x n
xn
x
1,2
0,1
1 1 / n . Demostrar que f ( xn )
10 3 cuando n 1 , pero
10 3 requiere que n 1000
Considere la ecuación x e x 0 . a. Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1]. b. Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [0, 1]. c. Si se usa el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuántas iteraciones hacen falta para asegurar 4 decimales exactos? Calcule las 5 primeras iteraciones. Halla una cota del número de iteraciones del método de bisección necesarias para aproximar la solución de x 3 x 4 0 que esta en el intervalo [1, 4] con 3 cifras decimales exactos y calcula dicha aproximación. La función f ( x ) sin( px) . Se sabe que tiene ceros en cada número entero. Prueba que cuando 1 a 0 y 2 b 3 -el método de bisección sobre [a, b] converge a: a. 0, si a+b < 2, b. 2, si a+b > 2, c. 1, si a+b = 2. Calcular las raíces de la siguiente ecuación, mediante los Métodos de Intervalo. 675 f ( x) * (1 e .15*x ) 38 x a. Graficar y establecer el/los intervalo/s. b. Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el “error relativo aproximado”. c. Adecuar los logaritmos de los métodos de Bisección para que cada uno sea un programa y programarlo en C, o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un E r 0.05 % (error previamente fijado) y un número máximo de iteraciones. Encuentre la raíz de las ecuaciones siguientes en el intervalo (0,1.6). Determínelas con un error menor que 0.02 usando el método de bisección: a. x*cos(x) ln(x) , b. 2 * x e x 0 , c. e 2 x 1 x . Utilice el método de secante para encontrar las soluciones de x 3 7 x 2 14x 6 0 con un error menor que 10 2 en cada uno los siguientes intervalos: a. [0, 1] b. [1, 3.2] c. [3.2, 4] Encuentre el número de iteraciones necesarias para encontrar una solución de x 3 x 4 0 , mediante el método de bisección en el intervalo 1,4 con una exactitud de 10 3 . Usa el método de bisección para encontrar una solución exacta dentro de 10 en [4, 4.5]
Problemas propuestos
3
para x
tan(x)
21
METODOS NUMERICOS
14. 15.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Encontrar la raíz de la siguiente ecuación utilizando el método de Intervalo Medio o Bisección. f ( x) x 2 x . Usar como valores iniciales 0, 1 (Resultado X 7 0.6445 ) Encuentra una aproximación de
3 correcta con una exactitud de 10
bisección. [SUGERENCIA: considere f ( x )
x
2
4
usando el algoritmo de
3]
Falsa Posición y Secante A
1.
B
C
Con cual de las Figuras anteriores se describe el Método de Posición Falsa: a. Figura 1 b. Figura 2 c. Figura 3 d. Figura 4 e. Figura 1 y 3 f. Ninguna de las Anteriores Si se calcular una iteración del método de la secante para calcular un cero de la función partiendo de
2.
3.
D
a. b. c. d. e.
x0
f ( x)
x3 3,
0 y x1 1 , se tiene como resultado
3 3.2 3.3 2.4 Ninguna de las Anteriores
Dada la función
f ( x)
x 3 cos(x ) y dados x 0
1 y x1
0 , calcula tres aproximaciones
sucesivas de la raíz de f en [-1,0] usando tanto el método de la secante como el de regula falsi. 2
4.
Hallar la menor raíz positiva de la ecuación e x cos(x) = 0 , con una tol 10 6 , utilizando los algoritmos de bisección, régula falsi (False Posición) y punto fijo (Aproximaciones sucesivas). Establecer una tabla que permita comparar resultados, número de iteraciones, etc. Calcular las raíces de la siguiente ecuación, mediante los Métodos de Intervalo.
f ( x)
5.
675 * (1 e x
.15*x
) 38
a. Graficar y establecer el/los intervalo/s. b. Resolver manualmente mediante los métodos de “Bisección” y el de “Falsa Posición”. Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el “error relativo aproximado”. c. Adecuar los logaritmos del método de Falsa Posición para que cada uno sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un E r 0.05 % (error previamente fijado) y un número máximo de iteraciones.
Problemas propuestos
22
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.
6.
2 6 . Con po 3 y p1 2 encuentre p 3 Sea f ( x ) x a. Aplique el método de la secante b. Aplique el método de la posición falsa c. Está (a) o (b) más cerca de 6 ?
7.
3 1 y p1 0 obtenga p 3 cos(x ) . Con po Sea f ( x ) x a. Aplique el método de la secante b. Aplique el método de la posición falsa c. Está (a) o (b) más cerca de 6 ?
8.
Sea f ( x ) x Rta= 2.45454
2
6 con [2,3] encontrar la raíz por el método de la falsa posición con
0.001 .
Si se calculan 2 iteraciones del algoritmo de la regula-falsi para buscar un cero de la función
x2
f ( x) 9.
a. b. c. d.
2 , en el intervalo [0, 2]. Se tiene como respuesta.
4/3 5/3 1 Ninguna de la anteriores
La función f ( x )
(4 x
7) /( x
2) tiene un cero en x 1.75 .
Aplicar el método de la secante con las aproximaciones iniciales
10.
a. x0
1.625 , x1
1.875
b. x0
1.5, x1
c. x 0
1.9, x1 1.4
d. x 0
1.4, x1 1.9
e. x0
3, x1
f. x0
1.7, x1
1.95
1.7 3
Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 10
5
2 ex + x2 3 a. 2 x b. 3x e =0 x x c. e + 2 + 2cos(x) 6 = 0 x=
11.
2
12. 13. 14. 15.
d. x + 10cos (x) = 0 2 La raíz real más alta de f(x) = 0,874 x + 1,750 x + 2,627 . Emplee como valores iniciales
x1 2.9 y x2 3.1 , calcule también el error aproximado realizando 3 iteraciones. 3,1 x 2 + 0,667 x 3 , emplee como valores iniciales x1 = 0,4 y x2 = 0,6 e itérese hasta que el error estimado a 4% .
La raíz más pequeña de f(x) = 2,1 + 6,21 x
La raíz de ln( x ) 0.5 , usando como valores iniciales x1 1 y x 2 2 realice cuatro iteraciones y calcule el error aproximado después de cada iteración La raíz cuadrada positiva de 10, con un error aproximado menor al 0,5%, empleando como
Problemas propuestos
23
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
valores iniciales x1 = 3 y x2 = 3,2 .
f(x) = x 3 100 con un error aproximado del 0,1 %
16.
La raíz real de
17.
Determine la raíz real mayor de x2 3,6 ).
18.
2 3 ( x ) 9 , 36 21 , 963 x 16 , 296 x 3 , 703 x Determine la raíz real más pequeña de f , Dos iteraciones, x1 0,5 y x 2 1,1
f(x) = 6 + 11 x 6x 2 + x 3 , (dos iteraciones, x1
2,5 y
35 ,51 x 2 8,6 x 3 + x 4 usando el método de la secante. Emplee los valores iniciales xi 1 = 7 y xi = 9 y realice cuatro iteraciones, Encuentre la raíz real positiva de f(x) = 998 ,46 + 464 x
19.
calcule también el error aproximado. Localice la raíz positiva de f ( x ) 0.5x 20.
iniciales a) xi
sin( x ) donde x está en radianes. Use como valores
2.0 ; b) xi
1.0 . Realice cuatro iteraciones y calcule también el error aproximado. Usando el método de la Secante (Dos iteraciones, xi 1 = 2,5 y xi = 3,6 ).
Newton Raphson Dada la siguiente gráfica de la función f(x), indicar la respuesta falsa:
1.
a) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial x0
4.
b) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial x0
0.
c) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial x0
2.
d) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial x0
3.
Indica la respuesta correcta. Si se aplica el método de Newton para resolver la ecuación polinómica x 3 x 1 0 , partiendo de un valor inicial x0 1 , entonces el primer término obtenido es: 2.
a) x1 b) x1 c) x1
7 4 1 4 1
Problemas propuestos
24
METODOS NUMERICOS
3.
4.
5. 6.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
d) Ninguna de las anteriores. Calcular una iteración del método de Newton-Raphson para calcular un cero de la función f ( x ) x 3 3 , partiendo de x 0 1 . b. 4 c. 5/3 d. 4/3 e. Ninguna de las anteriores Dado un número c, se puede calcular su inverso x 1 / c resolviendo la ecuación 1 / x c 0 a. Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos calcular inversos sin hacer divisiones. b. Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales deben estar próximos a la solución para que el método converja. Aproxima el valor de raíz de 41 y 23 con 6 decimales exactos usando el método de NewtonRaphson. Hallar la raíz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el método de Newton y comenzando con el valor inicial x0 3 . Utilizar dos decimales redondeados en los cálculos. Calcular las raíces reales de la siguiente ecuación 0.5x3 4x 2 6x 1/ 3 , mediante el método abierto de Newton-Raphson. Utilizar solo tres cifras significativas. Hacer:
7.
a. Graficar. b. Resolver manualmente mediante el método de Newton Raphson. Hacer 5 iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado a . c. Adecuar el algoritmo del método de Newton-Raphson para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un Es= 0.05% (error previamente fijado) y un numero máximo de iteraciones. Utilizar como valores iniciales X=1.2 y x=3.2. Conclusiones. Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales. Demuestre el siguiente teorema: Sea f ' ( x) 0 , f (a ) * f (b) 0 y f ' ' ( x ) no cambia de signo en
8.
el intervalo [a,b]. Si
f (a ) f ' (a )
b a y
partir de una aproximación inicial x0 6.
Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz distinta de cero de: a. x 1 e 2x b. xln(x) 1 0 , con cuatro decimales correctos. 2 La ecuación x
7.
f (b) b a , entonces el método de Newton converge a f ' (b) a, b .
10cos(x) 0 tiene dos soluciones,
1.3793646. Utilice el método de Newton-
Raphson para encontrar una solución aproximada de la solución con un error menor a 10 considerando los siguientes valores iniciales: 100 a. p0 b.
p0
25
c.
p0
1
Problemas propuestos
5
25
METODOS NUMERICOS
d. 8.
p0
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
0
Calcule 7 con error menor a 10 4 , con los métodos de bisección, de Newton-Raphson y de la secante.
[ (1 - e - 2.3 x ) ( 1 - x ) ] / 2, g (x) cos( x ) , utilice los métodos de Newton-Raphson y de la secante para encontrar el punto x 0,1 tal que f ( x ) g ( x ) , con una precisión del orden de 10 5 / 2 . Hallar la raíz de la siguiente función f ( x) ( x 1) /{( x 1) 2 0.01} para 2 x 2, Dadas las funciones: f (x)
9.
10. 11.
12.
Experimente el comportamiento del método cuando se elijen diferentes valores iniciales. 2
a. b. c.
f(x)
x3
3x 2
1
f(x)
x4
2x2
x 3
f(x)
4
3
x
2x 3
13.
5x 2
15.
16.
2x
12 x 5
2
18x 14 tiene una raíz doble en x La ecuación f(x) x 7.5x Newton-Raphson y observar la lentitud de la convergencia. x Considere la ecuación e cos(x )
14.
x
2 xe e Hallar la raíz de la siguiente función f ( x ) x Para 0 x 1 , Utilizar el programa de Newton para polinomios y la deflación para encontrar, con una precisión de 10 5 , las raíces de los siguientes polinomios:
2 . Aplicar el método de
1
a. Estimar gráficamente las dos soluciones positivas más pequeñas. b. Utilizar el método de Newton-Raphson y el de la secante para aproximar estas soluciones con una tolerancia de 10 6 . Comparar los resultados. c. Analizar la convergencia cuadrática del método de Newton para esta ecuación. La función f ( x ) (4 x 7) /( x 2) tiene un cero en x 1.75 . Utilizar el método de NewtonRaphson con las siguientes aproximaciones iniciales: a. x0 = 1.625 b. x0 = 1.875 c. x0 = 1.5 d. x0 = 1.95 e. x0 = 3 f. x0 = 7 Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 10
5
2 ex + x2 x= 3 a. 2 x e =0 b. 3x x x c. e + 2 + 2cos(x) 6 = 0 d.
x 2 + 10cos (x) = 0
2 3 ( x ) 9 , 36 21 , 963 x 16 , 296 x 3 , 703 x Determine la raíz real más pequeña de f
17. (dos iteraciones xi 18.
0.5
Encuentre la raíz real positiva de
Problemas propuestos
f(x) = 998 ,46 + 464 x 35 ,51 x 2
8,6 x 3 + x 4 , calcule
26
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
también el error aproximado. (Dos iteraciones, xi
3.6 ).
Horner 3
2x Dado el polinomio P(x) Utilizando el algoritmo de Horner. P(x) 1. P(2) P(2) P' (x) P' (2)
3x 2
4x 5 . Evaluar el polinomio y su derivada en el punto x
2,
((2x 3)x 4)x 5 ((7)2 4)2 5 (18)2 5 41 (2x 7)x 18 (4 7)2 18 40
Muller Calcular una iteración del método de Muller para calcular un cero de la función de
2.
a
x0
f ( x)
x 3 3 partiendo
1 (Calculando las derivadas de la función de forma exacta) y quedándonos con la raíz más cercana
x0
Solución:
-2 3(x-1) 3(x-1)2
0 , x1 1
3
336
General Todos los métodos 1.
f ( x)
x2 x
0.9 x 8.5 , Con raíz en el intervalo 2 2
2x 2
3x
2 ex
2.
f ( x) e
3.
f ( x)
x2
4.
f ( x)
x 3 3.23 x 2 5.54 x 9.84
5.
f ( x) ( x 2) 2 ln( x)
6.
f ( x ) (x
7.
x
f ( x)
e
2
x
1) e( x - 1 ) x
2
f ( x)
x
9.
f ( x)
x 3 -2x 2 -5
10.
1
x
3x 2 e x
8.
3
0 , [1, 4]
2
12.
f ( x) f ( x) f ( x)
x -3x -1 0 , [-3, -2] x cos(x ) 0 , [0, /2] x 0.8 0.2 sin( x ) 0 [0, /2]
13.
f ( x)
x 4 -4x 3
11.
Problemas propuestos
x 3.
2x 2 -8 27
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
14.
f ( x ) 1 - x - e -2 x
15. 16.
f ( x ) e x / 4 (2 x ) 1 f ( x ) 0.5 exp( x / 3) sin( x ), x 0
17.
f ( x)
18.
f ( x ) exp( x ) 5 x 2
19.
f ( x)
x 2 sin( x) 4
20. 21.
f ( x) f ( x)
cos(x ) cosh(x ) 1 cos(x) cosh(x) 1
22.
f (t ) e
1.5t
23.
f ( x)
3
24.
f ( x)
25.
f ( x)
x 2
26.
f ( x)
x 4 8.6 x 3 35 .51 x 2
27.
f ( x)
log(1 x ) x 2
x
(3sin(3t )) 0.3sin(4t ) 2x 1
x 2 x
x
3
12 .42 x
4
3
28.
f ( x)
x
29.
f ( x)
x4
12 .2 x
2
50 .444 x 66 .552 55 .57 x 2 111 .996 x 84 .2724
7.223 x 3 13 .447 x 2
f ( x) x
31.
f ( x)
32.
f ( x)
33. 34.
f ( x)
35.
f ( x) cos(x) (1 x 2 )
36.
e
cos(x) x,...con...0
2e x x e
/2
2x
1
Aplicando el método de Laguerre, acotar las raíces positivas y negativas de la ecuación:
37. 38.
f ( x ) 3x 2
40.
x
tan(x) 2 x
2x 5 7x 4 3x 3 17x 2 f ( x) 2 x tan(x)
39.
0.672 x 10 .223
x
30.
x2
464 .4 x 998 .46
5x 1 0
tan( x )
Acotar y separar las raíces de : e. x 3 -7x 2 14x-6 0 x 3 -x-1 0 f. g. x 4 -2x3 -4x 2 4x 4 0 h. x 4 2x 2 -x-3 0 Calcula aproximadamente cada una de las raíces de los polinomios del ejercicio anterior con un error como máximo de 10 2 . 3
41.
2
2 x 10 x 20 y obtuvo la raíz En 1225 Leonardo de Pisa estudió la ecuación p( x ) x x=1,368808107. No se sabe como encontró este valor, pero es un resultado notable para su época. En este ejercicio se pretende resolver la ecuación usando varios métodos. Aplique el método que crea le lleva más rápido a la solución.
Problemas propuestos
28
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Aplicación La variación de temperatura T en el interior de un material con una fuente de calor interna 1.
satisface la ecuación eT / 2 = cosh( 0.5Lcr eT / 2 ) , encontrar el valor de T con una tol cuando Lcr
10
5
0.094 .
La corriente i (en microamperios, por la ecuación
A ) sobre un diodo está relacionada con el voltaje v (en voltios) Ecuación 1 i = I s (ev / q 1 )
2.
Donde I s es la saturación de corriente (en el cual I s
A) y
0.052 es conectado a un circuito en el que v e i deben satisfacer también
20 y
4
4 . Encontrar la corriente (en A ) en el diodo. Obtener una aproximación inicial aproximando la Ecuación 1 por i I s v / . v 10 i
3.
Un cable eléctrico está sujeto a dos torres separadas 100 m. La curva que describe dicho cable recibe el nombre de Catenaria. Si hacemos pasar el eje Y por el punto más bajo del cable, esta curva tiene por ecuación y es un parámetro a determinar. Si cosh(x / ) , donde suponemos que el cable desciende 10 metros en el punto más bajo, determinar el valor de y la longitud del cable. La ecuación que describe la variación de carga en el capacitador de un determinado circuito RLC
4.
5.
6.
7. 8.
1 R 2 0.5 ( ) ) t , suponga que L 5H y C 10 4 F . Determinar la LC 2L resistencia adecuada para disipar la carga al 1% de su valor original en t 0.5s . es q(t)=q0 e(
R/2L)t
cos(
Una corriente oscilatoria en un circuito eléctrico se describe mediante la ecuación I(t) = 10 et sen( 2pt ) , determinar en qué instantes la corriente es de 2 amperios. Una droga administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada por c(t) = Ate t / 3 mg/ml, t horas después de que A unidades han sido inyectadas. La máxima concentración sin peligro es 1 mg/ml. a. ¿Qué cantidad debe ser inyectada para alcanzar esta máxima concentración de seguridad y cuando se alcanza este máximo?. b. Una cantidad adicional de esta droga se tiene que administrar al paciente cuando la concentración decae a 0.25 mg/ml. Determinar, al minuto más próximo, cuando debe darse esta segunda inyección. c. Suponiendo que la concentración de inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de la cantidad inyectada originalmente es administrada en la segunda inyección, ¿cuándo es tiempo para la tercera inyección?. En el estudio de la radiación de un cuerpo negro aparece la ecuación 1 e x = x / 5 a. Demostrar que todas las raíces de la ecuación se encuentran en el intervalo [0,5]. 6 b. Determinar las raíces con una tol 10 El movimiento de una determinada estructura está descrito por la siguiente ecuación para una kt oscilación amortiguada y = 10 e cos wt , Donde k 0.5 y w 2 . Determinar el tiempo
Problemas propuestos
29
METODOS NUMERICOS
9.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
necesario, con una tol 10 5 , para que el desplazamiento baje hasta 4. Aproxima, con un error inferior a 10 4 , el valor de x para el cual se obtiene el punto de la grafica 2 de y x que esta mas cerca del punto (1,0). (Ayuda: minimiza la función d(x)2 tomando d(x) la 2 distancia de cada punto x, x de la gráfica al punto (1,0).
10. Considere la ecuación x
e
x
( x e x ) / 2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x 0 en el intervalo [0.5, 1].
a. Demuestra que la formulación x 11.
b. Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. e. Verifica el resultado resolviendo la ecuación con MatLab. x
12.
Resuelve la ecuación tan(0.1x ) 9.2e con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo x x f (x) toma como intervalo inicial [3, 4]. Para determinar la constante de nacimientos de una población se necesita calcular el valor de la 0.9 en la siguiente ecuación: constante 0.1
13.
1.564 * 10 6
0.435 * 10 6
10 6 e
e
1 , recomendado trabajar con Newton Raphson
partiendo de 0,5 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tubo está dado por:
1/
f
1.14 2 log 10
e D
9.35 Re f
, correlación de Colebrook, Donde R e es el número de
Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos 14.
D = 0.1m, e = 0.0025, Re 3*104 D = 0.1m, e = 0.0001, Re 3*106 Indicación: El orden de magnitud de f es 10 2 ; además es mejor reescribir la ecuación en la forma 2
f
1.14 2 log 10
e D
9.35 Re
f
Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa durante un periodo fijo de tiempo requieren la fórmula A 15.
16.
P 1 (1 i ) i
n
, denominada ecuación de la
anualidad ordinaria. En esta ecuación, A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $135000 por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente son de $1000 dólares mensuales. ¿Cuál será el interés más alto que podrá pagar? Si se compra un Osciloscopio cuyo costo es 3.500.000 para pagarlo a cuotas, cancelando $535.000
Problemas propuestos
30
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
pesos mensuales durante 7 meses. ¿Qué tasa de interés se está pagando?. La fórmula que relaciona el costo actual (P), los pagos mensuales (A), el número de meses (n) y la tasa de interés (i) es:
A
i * (1 i ) n P (1 i ) n 1 Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 años ¿ a qué tasa de interés debe hacerse el préstamo?. El costo actual ( P), el pago anual (A) y la tasa de interés (i) se relacionan entre sí mediante la siguiente fórmula:
17.
P A
(1 i) n 1 i * (1 i) n
Sustituyendo datos y simplificando resulta lo siguiente: f (i)
18.
19.
20.
(1 i)10 1 5 0 i * (1 i)10
a. Calcúlese i(interés) usando el Método de Bisección (a = 0.1 y b = 0.2) b. Se puede aplicar el método de Newton Rapshon ¿sí o no? y ¿por qué? El capital A acumulado en una cuenta de ahorro en la que se ingresa periódicamente una cantidad n P viene dado por la fórmula A P / i 1 i 1 , donde i es el interés en cada periodo y n el número de periodos transcurridos. Un empresario desearía jubilarse dentro de 20 años con un capital acumulado de 7`050,000 Pesos haciendo depósitos mensuales de 10,500 Pesos, ¿cuál es el interés mínimo que debe tener la cuenta de ahorro en la que invierta sus ahorros? La Universidad Surcolombiana está interesada en adquirir un moderno Laboratorio de Electrónica. Hay tres compañías que le cotizan los equipos requeridos con las siguientes condiciones: Compañía 1: Valor de contado 49’000.000, a crédito; cuota inicial de 30’000.000 y 5 cuotas mensuales de 5´000.000 cada una. Compañía 2: Valor de contado 45’000.000, valor a crédito; cuota inicial de 25’.000.000 y 8 cuotas de 4´000.000 cada una Compañía 3: Valor de contado 50’000.000. Valor a crédito; Cuota inicial de 40.000.000 y 4 cuotas de 3’000.000 cada una. La Universidad cuenta en estos momentos con 20’000.000 para dicha compra. Cada una de las empresas manifiesta financiar el resto al mismo interés de la propuesta. A cual de las tres empresas la universidad debe comprarle de tal forma que salga favorecida económicamente. Los equipos cotizados son idénticos en las tres empresas Análisis de punto de equilibrio: En la práctica de la Ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten económicos. Por lo tanto, a un Ingeniero con experiencia deben serle familiares los análisis de costos. El problema que se trata en esta sección se conoce como “Problemas de punto de equilibrio”. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos personales, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de punto de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional. Se está considerando la compra de una de dos microcomputadores: “La microcomputadora uno y la microcomputadora dos”. En el cuadro 1 se encuentra resumidas algunas de las características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20% (y=0.20). ¿Cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan
Problemas propuestos
31
METODOS NUMERICOS
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un valor equivalente?. En otras palabras ¿Cuál es el punto de equilibrio medido en años?. Cuadro 1. Costos y beneficios de dos microcomputadores. Los signos negativos indican un costo o una pérdida mientras que un signo positivo indica una ganancia.
COMPUTADORAS MICRO 1 -3000 -200 1000
Costos de compra Incremento en el mantenimiento costo año Ganancias y beneficios anuales
MICRO 2 -10000 -50 4000
Encuentre una aproximación para con una error menor a 10 4 , para la ecuación de población 435000 1564000 1000000 e (e 1) que resulta de la ecuación diferencial de crecimiento de 21.
población con inmigración constante
:
d N (t ) dt
N (t )
. Utilice este valor para predecir la
población al final del segundo año, asumiendo que la tasa de inmigración se mantiene en 435000 ind/año Una masa de 1 Kg de CO está contenida en un recipiente a T 215 K y p 70bars . Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado de Van Der Waals, parea un gas no ideal, dada 22.
por [Moran/Shapiro], P
a v b v2
RT , donde R=0.08314bar m3/(Kg mol K), a=1.463 bar
m6/(Kg mol)2 y b=0.0394 m3/Kg. Determine el volumen especifico v(en m3/Kg) y compare el resultado con el volumen calculado por la ecuación del gas ideal. Pv RT Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxigeno alcanza el equilibrio a 300 K y a una presión de 5 atm. La reacción teórica es:
CO 23.
1 O2 2
CO O2
CO2 , la reacción química real de escribe como
xCO
1 1 x O2 2
1 x CO2 , La ecuación de equilibrio químico para
determinar la fracción del CO restante, x, se escribe como 1/ 2
1 x 3 x ,0 1/ 2 x x 1 P1 / 2
Kp
24.
x 1 , Donde K p
3.06
es la constante de equilibrio para
CO+1/2O2=CO2 a 3000ºK y P=5 es la presión. Determine el valor de X por medio del método de Newton Raphson. Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal. La velocidad terminal se puede escribir, después de evaluar todas las 5 1.5 1.15 * 10 5 v 2 donde v es la velocidad terminal constantes, como (0.002 )( 9.81) 1.4 * 10 v en m/s. El primer término del lado derecho representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de presión. a.
b.
Se sabe por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v (30m/s). Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz. Verifica el resultado construyendo un gráfico. Determinan el número de pasos que se necesitan para aproximar la solución con 2
Problemas propuestos
32
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
decimales usando el método de la bisección. Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente el valor de los dos primeros pasos. d. Calcula el valor de la velocidad terminal con MatLab. El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuación de criticalidad 2. Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es tan(0.1x) 9.2e x . La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, por experiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4]. c.
25.
a. b. c. d.
Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] y que tal raíz es única. Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de la bisección. Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación. Calcula el valor de la raíz con MatLab.
Usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 3.5 . Calcula la solución con 5 decimales exactos. LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES: La ley de los gases ideales está dada por: Pv nRT , En donde p es la presión absoluta, v es el volumen y n es el número de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación la usan ampliamente los ingenieros y científicos, solo es exacta sobre un rango limitado de presión y temperatura. Más aun, la ecuación anterior es más apropiada para algunos gases que para otros. Una ecuación alternativa del estado de los gases está dada por:
p a / v2 * v b
RT , a la que se le conoce con el nombre de ecuación de Van Der Walls. v=V/n, es el volumen molal y a, b son constantes empíricas que dependen de un gas en 26.
particular. Un proyecto de ingeniería requiere que se calcule exactamente el volumen molal (v) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones diferentes de temperatura y de presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando los volúmenes molales calculados con las ecuaciones. Se proporcionan los siguientes datos: R=0.0820541 atm/(mol*k) A=3.592 B=0.04267 A=1.360 B=0.03183
Bióxido de carbono Oxígeno
Las presiones de interés en el diseño son 1,10 y 100 atm. Para combinaciones de la temperatura de 300,500 y 700ºk Las frecuencias naturales de vibración de una varilla uniforme sujetada por un extremo y libre por el otro son soluciones de: cos( l ) cosh( l ) 1 0 Donde 2
27.
/ EI
l =1 (longitud de la varilla en metros) 1
=frecuencia en seg EI=rapidez de flexión (Byares/Snyder/Plants) =densidad del material de la varilla
Problemas propuestos
33
METODOS NUMERICOS
28.
29.
30.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Determine tres valores más pequeños de que satisfagan la ecuación planteadas mediante el método de newton raspón. La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo a la relación: C 80e 2t 20e 0.1t , Determine el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10. Una determinada sustancia se desintegra según la ecuación A P * e 0.0248t , donde P es la cantidad inicial en el tiempo t=0 y A la cantidad resultante después de t años. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, ¿cuánto tiempo habrá de transcurrir para que quede el 1 por ciento de esta? Utilizar el Método de Newton. La temperatura ( kelvin) de un sistema, varía durante el día de acuerdo con:
T
2 t 400 200 cos( ) , en donde t se expresa en minutos. La presión sobre el sistema está 1440 t / 1440
31.
dada por: p e . Calcule el volumen molal del oxigeno en intervalos de un minuto a lo largo del día. Tome como referencia para las fórmulas el ejercicio anterior. Una medicina administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada por c(t ) Ate t / 3 mg/ml, t horas después de que se hayan administrado A unidades. La máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina concentración de seguridad. a. ¿Que cantidad debe ser inyectada para alcanzar como máximo esta concentración de seguridad?. ¿Cuando se alcanza este máximo?. b. Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentración baja a 0025 mg/ml. Determínese con un error menor de 1 minuto cuando debe ponerse esta segunda inyección. En un proceso químico, el vapor de agua H 2O se calienta a una temperatura lo suficientemente alta para que una porción significativa de l agua se disocie o se rompa en partes para formar oxígeno (O2) e hidrógeno (H2): H 2 H 2 1 / 2O2 , Se supone que es la única reacción que se
32.
lleva a cabo, la fracción molal x, de H 2O que se separa puede representarse como:
2 pt , En donde k p es la constante de equilibrio de la reacción y p t es la presión 1 x 2 x total de la mezcla. Si p 2 Atm y k p =0.04568, determínese el valor de x que satisfaga la kp
33.
x
ecuación anterior. Diseño de un circuito eléctrico: Los ingenieros electrónicos y/o Eléctricos, usan a menudo la ley de Kirchoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varia con el tiempo). Otro tipo de problema son los de corriente momentánea e implica a los circuitos donde súbitamente suceden cambios temporales. Esta situación ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura mostrada abajo. En este caso después de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste esta relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscilaciones. El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de voltaje ( V R ) dado por:
VR
i * R . En donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito. Cuando las unidades de R e
Problemas propuestos
34
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
i son Ohm( ) y Amperes(A), respectivamente, entonces la unidad de V es Volt. De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la caída de voltaje V L al cruzarlo es de: Figura 1
Vl
L
di , en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son Henrios y Amperes, la dt
unidad de V L es el voltaje y la unidad de t es el segundo. La caída de voltaje a través del capacitor (VC) depende de la carga (q) sobre el mismo: Vc q / c , En donde C es la capacitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culombio, la unidad C es el Faradio. La segunda ley de kirchhoff indica que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un circuito es cero. Después de cerrar el interruptor se tiene: está dada en función de la carga como: i
dq
L
di dt
Ri
q C
dt , Por lo tanto: L
0 , Sin embargo, la corriente d 2q dt 2
R
dq dt
q C
0 , Esta es
una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver usando los métodos de cálculo. La solución está dada por:
q(t )
q0 e
Rt / 2 L
Donde t=0, q
cos
1 LC
r 2L
2
t
V0C y V 0 es el voltaje en la batería. La ecuación anterior describe la variación de la carga en el capacitor en función del tiempo. La solución q(t ) se puede graficar: 34.
q0
Determínese el valor de L necesario para que el circuito de la Figura 1 disipe al 1% de su valor original en t 0.05s , dado R=300 , y C 10 4 F t
35.
36. 37.
Una corriente oscilatoria en un circuito eléctrico se describe mediante I 10 e sen ( 2 t ) , En donde t está dado en segundos. Determínese todos los valores de t tales que I 2 . Un problema de diseño típico en Ingeniería Eléctrica, puede necesitar que se determine la resistencia apropiada para disipar energía a una velocidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se supone que la carga se debe disipar al 1% de su valor original q / q0 0.01 en t=0.05s, con L=5H y C 10 4 F . El coeficiente de la fricción f para el flujo turbulento en un tubo esta dado por:
Problemas propuestos
35
METODOS NUMERICOS
1
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
1.14 2.0 Log10
f
e D
9.35 Re
f
Correlación de Colebrook, donde Re es el número de Reynolds,
e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el diámetro del tubo. Evalúe f para los siguientes casos: a. D=0.1m e=0.0025 Re 3 * 10 4
5 * 10 6 Un objeto cayendo verticalmente a través del aire está sujeto tanto a resistencia viscosa como a la fuerza de gravedad. Suponiendo que un objeto con masa m es dejado caer desde una altura y 0 , y que la altura del objeto después de t segundos es: b. D=0.1m e=0.0001 Re
38.
y (t )
y0
mg t k
m2 g (1 e k2
kt m
)
32 .17 ft / s 2 y k representa el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/ft. Suponga 300 ft , m=0.25lb, y k 0.1lb s / ft . Encuentre, con un error de hasta 0.01s, el tiempo
Donde g
y0
que le toma a está masa tocar el suelo. Un proyecto de Ingeniería Química requiere que se calcule exactamente el volumen molal (v) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones de diferentes condiciones de temperaturas y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo es importante examinar que tan bien se apega cada gas a ley de los gases ideales comparando los volúmenes molales. Los datos para el bióxido de carbono son los siguientes: R = 0.082054 a = 3.592 b = 0.04267 p = 1 atm T = 300 K
39.
L . atm / (mol. K )
Las ecuación aplicada es la de Van der Waals.. f ( v )
p
a v2
v b
RT , su derivada.....
2ab / v 3 - Aplicar el método de Newton Raphson para resolver el problema usando el valor inicial de x 0 10 f ' (v )
p a / v2
Para calcular
40.
3 se propone el método x n
2 x n3 1
x n2
3
.
y a. Encontrar para que la convergencia local sea al menos cuadrática. ¿Hay convergencia cúbica en este caso? 2 b. Se considera el método de Newton–Raphson para f ( x) x 3 . ¿Convergería más rápidamente que el método anterior? c. Tomando x 0 2 y operando con seis cifras decimales, calcular 3 con cuatro cifras decimales exactas aplicando los dos métodos anteriores. Comparar con lo observado en (b). 2
3 0 en [1,2], ¿cuantas iteraciones d. Si se aplica el método de bisección a la ecuación x serán necesarias para alcanzar la misma precisión que en el apartado (c)? Problemas propuestos
36
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Según el modelo desarrollado por Malthus, el crecimiento de una población a partir del instante inicial t = 0 con inmigración a tasa constante puede escribirse por la función:
41.
V kt (e k
Co e k t
C (t )
1) , donde: C o es la población inicial, k es la tasa de crecimiento y V
tasa de inmigración. Suponga que una cierta población tiene inicialmente un millón de individuos, durante el primer año han inmigrado 435.000 individuos y al cabo de un ano hay 1.564.000 individuos. a. Determine la tasa de crecimiento de dicha población con cuatro decimales correctos. b. Hacer una provisión de la población al cabo de tres años
42.
( x 1)10 , p 1 y p n
Sea f ( x ) pero que p
pn
1 1/n . Demuestre que f ( pn )
10 3 siempre que n 1 ,
10 3 , requiere que n 1000 . n
Sea 43.
pn
la sucesión definida por p n
lim (pn n
pn 1 )
diverge aun cuando
0
La función definida por f ( x) 44.
1 / k . Demuestra que p n k 1
sin( x) tiene ceros en todos los enteros. Determina un intervalo
[a, b] con a 0 y b 2 para el cual el método de bisección converge a: a. 0 b. 2 c. 1 El método de N-R se ha utilizado para realizar la operación de división en muchos computadores, con lo que se evita el uso de circuitería específica. Para ello se define la función f ( x)
1 x
A,
que tiene un cero cuando x 1/ A (considere A una constante positiva). 45.
46.
a. Demuestra que aplicar el método de N-R a f consiste en aplicar iteración del punto fijo 2 sobre la función g ( x ) 2 x Ax . b. Si una iteración de punto fijo converge en un límite diferente de cero, entonces el límite es p 1/ A , de modo que la inversa de un número puede obtenerse usando sólo multiplicaciones y restas. c. Encuentra un intervalo alrededor de 1 / A donde converja una iteración de punto fijo, a condición de que p0 se encuentre en ese intervalo Pruebe los algoritmos desarrollados en las siguientes funciones: x a. sin( x) e en los intervalos [-10,-9],[-7,-5.5] y [-4,-2] b. 4 * sin( x) 1 x en los intervalos [-1.3,0] y [-2.5,-1.3] Una partícula parte del reposo en un plano inclinado liso, cuyo ángulo razón constante de d
47.
x (t )
g e wt e ( 2w2 2
va aumentando a una
d_. Al final de t segundos, la posición del objeto está dada por
dt
wt
sin( wt )) . Se supone que la partícula se ha movido 0.5 metros en un
segundo. Encontrar con un error menor que 10 5 , la razón w a la cual varia 1
48.
0.1 . Considerar que g
si
0
0.5 y
9.8m / sg 2 y utilizar el algoritmo de bisección
Se desea diseñar un tanque de combustible según la siguiente figura. La forma del tanque es la de
Problemas propuestos
37
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
un cubo y será fabricado con placas de acero de espesor e 3mm . Se requiere que la masa total del tanque lleno (combustible + acero) sea de 0,05 ton. La densidad del acero es 7.85 t / mt 3 y la del 0.83 t / mt 3 . Usar cualquier método para hallar el valor de x.
x
Un fabricante de envases de zumo se dispone a optimizar las dimensiones de sus envases con el objetivo de minimizar el coste de fabricación (proporcional al material usado). Teniendo en cuenta que la capacidad de los envases debe ser de 1.5litros, calcula las dimensiones óptimas de los mismos (usa los datos de la figura).
49.
Para facilitar la resolución sigue las etapas siguientes: a. b. b. c. d.
define la función a optimizar (minimizar en este caso); busca la(s) relación(es) que hay entre las variables del problema; úsalas para reducir el numero de variables de la función inicial; escribe el sistema asociado a la búsqueda de extremos de una función de 2 variables. Para resolver el sistema anterior elimina una de las variables y expresa la ecuación resultante en forma de ecuación polinómica; e. estima la solución (será una de las magnitudes del envase) de la ecuación polinómica aplicando 3-veces el método N–R con aproximación inicial 10 cm; f. por ultimo, usando el valor obtenido en el apartado anterior, estima el resto de magnitudes del envase. En la siguiente figura se muestra un segmento de un círculo delimitado por la cuerda AB. Determinar el valor del ángulo para que el área sombreada sea 1 / 4 del área del círculo. Usar cualquier método de resolución.
50.
51.
x
En la siguiente figura se muestra la sección de un tanque esférico con diámetro interior D
Problemas propuestos
2m . 38
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
El tanque se llena con agua salada con densidad 1.025 t / mt 3 hasta una altura h. Calcular el valor de h para que la masa total de agua sea 2 ton. Obs.: volumen del casquete esférico es
V
h 2 3r h / 3
h El perfil de un abrevadero de longitud L es un semicírculo de radio r (Figura 2). Cuando está lleno hasta una distancia h del borde superior el volumen V de agua que contiene viene dado por
V
L
r2 2
h r 2 arcsen ( ) h r 2 r
h2
Si L=10m, r=1m y V
12.4m 3
determina la
profundidad de agua que hay en el abrevadero con un error máximo de 1cm. Figura 2 52.
Una partícula parte del reposo y de desliza por un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación cambia con respecto al tiempo t con velocidad constante , es decir d / dt . Se sabe que después de t segundos la partícula ha recorrido una distancia x x(t ) dada por
x(t ) 53.
54.
g e 2w 2
t
e 2
t
sin( t ) donde g es la fuerza de la gravedad que se supone constante
e igual a 9,8m/s2. Si la partícula recorre 1,7m en 1 segundo, determina con una precisión de 10 la velocidad .
5
Una máquina que infla botellas de plástico necesarias para envasar líquidos, aplica aire comprimido a una pequeña porción de material plástico. Encuentre el número de botellas que se inflan por segundo, si está en función a la ecuación: x 3 3 * x 2 4 0 a. Utilice los valores iniciales de 2, 3, 4 con una tolerancia al error de 0.01 y utilice 4 decimales para sus cálculos. b. Evalúe el criterio de convergencia para los tres valores iniciales especificados y seleccione el adecuado.
Problemas propuestos
39
METODOS NUMERICOS
55.
56.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
c. Calcule al menos 4 valores para X. Un medicamento administrado a un paciente produce una concentración en el torrente sanguíneo 1/ 3 dada por c(t ) Ate mg / ml , t horas después de que le fueron inyectadas A unidades del medicamento. La concentración máxima segura de medicamento es de 1mg/ml. Donde sea necesario, utilice un método numérico apropiado para responder las siguientes preguntas: a. Qué cantidad de medicamento debe ser inyectada para alcanzar la concentración máxima segura y cuando ocurrirá ese ultimo. b. Una dosis adicional de este fármaco le será administrada al paciente después de que la concentración decaiga a 0.25mg/ml. Determine, con un error máximo de un minuto, cuándo debe ser proporcionada la segunda inyección. c. Suponiendo que la concentración de las inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de la dosis inyectada originalmente se administra en la segunda inyección, ¿cuándo se presenta el momento para la tercera inyección?. El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo sumergido en un líquido es igual al peso del fluido desplazado. Al plantear esta condición de equilibrio para una 0.75 gm / cm 3 , se consigue la ecuación h 3 3h 2 3 0 , esfera de radio 1cm y densidad donde h es la altura de la parte de la esfera que está sumergida. Se pide aplicar el método de Newton-Raphson para estimar un valor aproximado de h, usando dos iteraciones. Tomar h0 1 (valor inicial).
Problemas propuestos
40
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
INTEGRALES DEFINIDAS Actividades preliminares 1. Para que se utiliza la derivación numérica y cuáles son sus ventajas. 2. Cuáles son los tres tipos de aproximación por diferencias que es posible obtener por un gradiente de interpolación lineal. 3. Cuáles son las ecuaciones que se obtienen por el gradiente de interpolación lineal. 4. Deduzca la ecuación de derivación mediante el desarrollo de Taylor para la primera derivada por la aproximación por diferencias hacia adelante de 3 puntos. 5. Deduzca la ecuación de derivación mediante el desarrollo de Taylor para la segunda derivada por aproximación por deferencias centrales de 5 puntos. 6. Deduzca la ecuación de derivación mediante el desarrollo de Taylor para la segunda derivada por aproximación por deferencias centrales de 3 puntos. 7. Qué ventajas presenta el empleo de la integración numérica, respecto de la integración analítica. 8. Como se obtienen los métodos de integración numérica 9. Describa el método de integración por la regla trapezoidal. 10. Describa el método de integración por la regla de 1/3 de Simpson. 11. Como se obtienen las fórmulas de integración de Newton-Cotes. 12. Como se dividen las formulas de integración de Newton-Cotes. Explique en qué consiste cada una. 13. Cuáles son las formulas de integración de Newton-Cotes cerradas para N=1 hasta N=10, 14. Como se obtienen la fórmula de integración de Newton-Cotes abiertas. 15. Como se obtienen la fórmula de integración de Newton-Cotes abiertas para N=1 hasta N=6. 16. Como es el error de las formulas abiertas de Newton Cotes respecto de las cerradas. 17. Describa el método de integración por la regla del trapecio compuesto. 18. Describa el método de integración por la regla de 1/3 de Simpson compuesta.
Calcule las siguientes derivadas Obtener la derivada de las siguientes funciones en el punto fórmulas para 3 y 5 puntos. a. b. c.
. Considerar el incremento h. Emplear las
d. e. f. g. h. i. j.
Problemas propuestos
41
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
1. Determina una aproximación a la derivada de una función en el punto utilizando el polinomio interpolador de Newton de grado 2 que coincide con f en los puntos ¿Cuál es el error cometido en la aproximación? 2. Determina una aproximación a la derivada de una función en el punto utilizando los puntos . ¿Cuál es el error cometido en la aproximación? 3. Determina una aproximación a la derivada de una función en el punto utilizando los puntos x N , x N -1 y x N-2 ¿Cuál es el error cometido en la aproximación? 4. Determina una fórmula en diferencias finitas centrada para la segunda derivada de cuarto orden de precisión.
Calcule las siguientes integrales. Asuma la función f(x). 1
1.
Jacobi polynomials
: x k f ( x)dx 0 b
2.
Legendre Polynomials : f ( x) b x dx a
b
3.
f ( x)
Legendre polynomials :
b
a 1
4.
f ( x)
Chebyshev Polynomials :
1 x2
1 b
5.
dx dx
f ( x)
Chebyshev Polynomials :
x a x b
a
6.
x
dx
Laguerre Polynomials : e x f ( x)dx 0
7.
Hermite Polynomials
: e
x2
f ( x)dx
1
8.
Special Polynomials
:
f ( x) log e ( x)dx 0
9. 10.
11.
1 1 tan( x)
f ( x ) ae
2
dx
( x b )2 2 c2
Obtener las siguientes integrales, empleando los algoritmos de integración simple por la regla del trapecio y de Simpson, los métodos de integración compuesta del trapecio y de Simpson y las formulas de integración de Newton-Cotes para N=1 a 10 cerradas y para N=1 a 6 abiertas. a. b. c. d.
Problemas propuestos
42
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
e. f. g. h.
Rectangular, Trapecial y Simpson 1.
A partir de la siguiente tabla de valores x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) 2.0000 4.2500 9.1111 16.0625 25.0400 36.0277 49.0204 determinar la mejor aproximación posible al valor del la integral Utilice medios analíticos para evaluar a)
( 10 + 2x 6x 2 + 5x 4 )dx
b)
( 1 x 4x + 3x 5 )dx
c)
( 8 + 5senx)dx
Evalúe las integrales a)
( 10 + 2x 6x 2 + 5x 4 )dx
b)
( 1 x 4x + 3x 5 )dx
c)
( 8 + 5senx)dx
2.
a. aplicando la regla trapezoidal simple. b. aplicando la regla trapezoidal de segmentos múltiples, con n = 2, 4 y 6. c. aplicando la regla de Simpson 1/3 simple. d. aplicando la regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples, con n = 4 y 6. e. aplicando la regla de Simpson 3/8 simple. f. aplicando la regla de Simpson 3/8 con segmentos múltiples, con n = 5 Aproximar las siguientes integrales aplicando la regla del trapecio y de Simpson, y calcular el error que se comete: 1.6
a.
3.
1
2x x
2
4
dx (con m=4, m=6)
1
e x x 2 dx (con m=4, m=10)
b. 0
Determinar el valor necesario de puntos que hay que tomar para aproximar la integral 5
e x sin( x)dx por la regla de los Trapecios compuesta y la regla de Simpson compuesta con
4. 0
precisión 10 5 . Problemas propuestos
43
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
x
Aplicar la regla de Simpson compuesta a la integral 5.
1 dt para obtener una aproximación de t 1
logaritmo neperiano de 2, determinando el número de subintervalos necesario para que el error cometido en esa aproximación sea inferior a 10-3. 1.15
Se desea calcular el valor aproximado de 6.
7.
x f (x)
1 1.05 1.1 1.15 1 1.0247 1.0488 1.0724 Utilizar la formula de los trapecios y la de Simpson. Calcular con h 0.25 un valor aproximado de / 4 utilizando la fórmula de los trapecios y la de 1
Simpson compuestas, sabiendo que Encontrar
8.
f ( x)dx y se conoce la siguiente tabla: 1
el
área
/4
comprendida
1 dx x2 01
entre
las
curvas
f1 ( x ) (3 x )( x 1)
y
f 2 ( x ) x( x 1)( x 3) en el intervalo [1, 3], aplicando la regla de Simpson compuesta con h 1 . Calcular una cota del error cometido 1.4
log( x)dx y trabajando con redondeo a 6 cifras decimales, aplicar
Dada la integral
0.6
9.
sucesivamente la regla del Trapecio para encontrar una aproximación a la integral anterior con m=2,4 y 8 intervalos. Halle el área de la superficie limitada por la catenaria: y El volumen del sólido generado por la rotación de
I
0
f (x )
1
x 2
2a .
2
0 x
2 en torno al
2
2
eje X está dado por :
x a cosh( ) , y la recta y a
f (x ) dx
a) Estime el paso de integración necesario para aproximar I con 5 D.S. mediante la regla trapezoidal compuesta. Ind. I=11.7286. 10.
b) Denote Ih la aprox. De I mediante la regla trapezoidal compuesta y Eh el error, siendo h el paso de integración. Suponga:
I Eh
Ih
Eh ,
Ch 2 ,
I
I2 h E2 h
E2 h C(2h)2
Obtenga, aislando C, que :
Problemas propuestos
44
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Eh I
c) Sea g ( x )
11.
1 (I I ) 3 h 2h 1 Ih (I I ) 3 h 2h
(*)
f ( x ) 2 . Suponga :
0.5 1 1.5 x g ( x) 112891 . 15625 . 2.44141 Para h=0.25 suponga Ih 117940 . i) Calcule I2h. ii) Calcule I mediante la fórmula (*) obtenida en b) iii) Compare con el dato en a). ¿Cuántos D.S. obtuvo? Nota: La fórmula(*) es la “fórmula de Romberg” usada por las calculadoras manuales. 3 a) Calcular un valor aproximado para la longitud de la curva f ( x ) x desde x 0 hasta x 1 . Hacer un gráfico de la función f. Usar: Regla trapezoidal y Simpson 1/3 b) Hacer un cambio de variable que lleve su intervalo de integración al intervalo de la Cuadratura Gausssiana. Consultar en una tabla de Cuadratura Gaussiana los coeficientes y los nodos, para c) Calcular el valor exacto de la longitud de arco. De ser necesario, usar tablas de integración. Comparar. Calcular errores relativos. x
12.
13.
14.
Lo mismo que en el problema anterior. Pero para la función f ( x ) e . Con relación al literal c), si considera que el valor exacto no lo puede obtener, hallar los tres primeros términos de la serie de Taylor para el integrando, alrededor de x0 1 / 2 . Calcular y comparar. Formular la integral que da el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar la región bajo la curva y f (x ) , alrededor del eje x, y para cada una de las siguientes funciones: x
x3
f ( x) e , , Proceder en la misma forma que en el problema dos atrás. Calcular un valor numérico para ln( 2) , usando una integral.
f ( x)
b
15.
Para
f ( x )dx deducir: 1) La fórmula trapezoidal simple, y 2) la fórmula para el término de error a
de esta aproximación. Usar el método de coeficientes indeterminados para deducir la fórmula de Simpson 1/3 que 16.
b
aproxima
f ( x )dx . a b
17.
18.
f ( x )dx
Expresar
,
usando un cambio de variable lineal (sin
a
cambiar su valor). De una cierta cantidad física Q(t), se obtuvo en el laboratorio la siguiente información: t 0 0.5 1.0 1.5 2.0 Q(t) 3 2 2.5 2.8 2.9
Problemas propuestos
45
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
2
i. Escoger un método para aproximar Q(t )dt . Dar la fórmula general de método seleccionado. 0 2
ii. Hallar un valor aproximado para
Q(t )dt , usando el método definido en i. Que use los cinco 0
datos dados en la tabla. iii. Exhibir con claridad el paso que corresponde a la situación numérica en la fórmula. 19.
20.
1
Mostrar que
sin(t ) dt t 0
1 2
Mostrar que
1
e 0
b
21.
Mostrar que
f ( x )dx a
t2 2
1
1
dt
1 x 2 dx . 1 x
sin
1
1 2
1 b a 2
e
1 1
f 1
( x 1) 2 8
2
1 b at 2
1 b a dt 2
b
b a f (a ) 2
f ( x )dx
Calcular el término de error E para que 22.
dx
a
f ( b)
E , Precisar la fórmula
para E, y dar una cota para el error absoluto, correspondiente a E. Suponer que f (x) tiene sus dos primeras derivadas continuas en (a,b). 23.
Usar la regla de Simpson 1 / 3 para calcular una aproximación de
x2 dx 5 1 x 2
b
Deducir la fórmula trapezoidal simple para aproximar 24.
f ( x )dx . Dividir el intervalo (a,b) en a
N subintervalos, aplicar regla trapezoidal simple en cada uno de los subintervalos, totalizar, buscar regularidades. Compare lo obtenido por usted con lo que presenta el texto de su confianza. 1
Deducir la fórmula simple de Simpson 1 / 3 para aproximar
f ( x )dx , exigiendo que la fórmula 1
25.
Af ( 1)
Bf (0) Cf (1) Sea exacta para polinomios hasta de grado 2. Cómo extiende la b
f ( x )dx ? Continuar con las mismas
fórmula anterior para que sea aplicable para aproximar a
ideas del problema anterior Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B c y C tales que la 1
26.
27.
fórmula Af (0)
f ( x )dx , cuando f (x) es un
Bf (c) Cf (1) es exacta para calcular 0
polinomio hasta de grado 3. Verificar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson 1/3 satisfacen el sistema. Existirán otras soluciones? Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B, c, C, d y D tales
Problemas propuestos
46
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
1
que la fórmula Af (0)
Bf (c) Cf (d )
Df (1) . es exacta para calcular
f ( x )dx , cuando 0
f (x) es un polinomio hasta de grado 5. Hallar un coeficiente C y nodos x 0 , x1 y x 2 para que la fórmula C f ( x0 )
f ( x1 )
f ( x2 ) sea
1
28.
f ( x )dx cuando f (x) es un polinomio cuadrático. Verificar, con algunos
exacta para calcular 1
casos particulares, que la fórmula obtenida funciona. Usar el método de coeficientes indeterminados para encontrar las abscisas x1 y x2 y los pesos w1 1
29.
y w2 tales que la fórmula
w1 f ( x1 ) w2 f ( x2 ) sea exacta para todos los polinomios
f ( x )dx 1
de grado a lo más tres. Usar una fórmula 30.
1
J 0 ( x)
de
cos(x sin( ))d
Cuadratura
Gaussiana
para
estimar
el
valor
de
en x=1. ( J 0 ( x ) : Función de Bessel de orden cero). Compare su
0
respuesta con la conseguida en tablas para J 0 (1) (*) en calculadora o en MatLab. Usar la fórmula simple de Simpson 1/3 (únicamente) para aproximar la integral: 31.
2 2
y 2 dydx , ¿ Es exacto el valor calculado? Justificar.
4 0 2x
Usar solamente la regla simple de Simpson 1/3 para calcular un valor aproximado de 32.
1 4 x2 2 2
x2 0
4 y 2 dydx , ¿Es aceptable la aproximación? Justificar su respuesta.
0
Calcular
los
1
f ( x )dx 33.
0
coeficientes
A,
B
y
C
tales
que
la
fórmula
de
Cuadratura:
1 Af (0) Bf ( ) Cf (1) , sea exacta para polinomios de grado menor o igual que 2
dos. Verificar que la fórmula obtenida también resulta exacta para polinomios de grado tres. b
f ( x )dx .
Obtenga la fórmula equivalente de (1) para a
En 34.
H ( x)
algunas
1 1 x2
aplicaciones
aparece
la
función
H(x)
definida
por:
/2
1 x 2 sin 2 ( )d para x
0,1 . Usar la regla de Simpson 1/3 para obtener
0
1 2
1 2
una aproximación de H(x) y H ( ) . Para H ( ) consultar en tablas el valor y comparar. Considerar la integral sin 2 ( x )dx 35.
0
i) Usar la fórmula simple de los Trapecios y Simpson 1/3 y Cuadratura Gaussiana de 4 nodos para hallar valores aproximados de la integral. ii) Calcular el valor exacto de la integral.
Problemas propuestos
47
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
iii) Calcular los errores relativos. Analizar. 2
Considerar la integral arctan(x )dx . 0
36.
i) Usar la fórmula simple de los Trapecios y Simpson 1/3 y Cuadratura Gaussiana de 4 nodos para hallar valores aproximados de la integral. ii) Calcular el valor exacto de la integral (Usar tablas, calculadoras, MatLab). iii) Calcular los errores relativos. Analizar. 3 2
37.
2x2
Obtener un valor aproximado de la integral
3 y dxdy . Usar únicamente la regla de
1 1
Simpson 1/3. Dar el valor exacto del error que se comete en la aproximación. Justificar. 2 4
38.
x 2 y 2 17 dxdy , Usar únicamente la regla de
Obtener un valor aproximado de la integral 0 2
Simpson 1/3 . Dar el valor exacto del error que se comete en la aproximación. Justificar. 1
39.
Construir una regla de integración de la forma
f ( x )dx 1
A0 f
1 2
A1 f (0)
A2 f
1 , que 2
sea exacta para todos los polinomios hasta de grado menor o igual que dos. 2 1
40.
41.
y 1 x 2 dydx , ¿En qué orden aplicar las reglas trapezoidal y
Considerar la integral doble 0 0
Simpson 1/3 ? Calcular el error relativo. Calcular una aproximación al volumen de la octava parte de una esfera de radio uno. Usar fórmula de Simpson 1/3, únicamente. Calcular el error relativo. Considerar la integral impropia: 1
1 1 sin 2 dt , 2 t t
1
42.
i. Convertir la integral dada en sin( x 2 )dx . 0
ii. Calcular una aproximación de la integral dada usando la regla de Simpson 1/3, y a partir de los 2 cuatro primeros términos de la expansión en serie de Taylor de sin( x ) . Comparar con los resultados de su calculadora y de un paquete computacional como MatLab 1
43.
Usar la regla de Simpson 1/3 para calcular 0
ex dx x
/2
44.
tng( x )dx es divergente. ¿Qué valores darían la regla de Simpson 1/3 y la
Mostrar que 0
Cuadratura de Gauss para dos puntos? 1
Muestre que 45.
0
dx , es convergente. Obtener una aproximación con el método de Cuadratura x
Gaussiana para dos puntos. ¿La regla de Simpson 1/3 le da algún resultado numérico? Si es posible, en ambos casos calcular el error relativo.
Problemas propuestos
48
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
3
Considerar la integral impropia 46.
0
dx 2 x 1
a. Analizar la convergencia o divergencia de la integral dada. b. Analizar el resultado numérico que se consigue aplicándole la regla simple de Simpson 1/3. 4
47.
48.
Considerar la integral
1
t dt , Obtener aproximaciones con distintas fórmulas de
0
cuadratura y su calculadora. Calcularla también exactamente. Calcular los errores relativos. Probar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson 1/3 forman la única solución al sistema no-lineal conseguido en el problema 16.
Richardson 1.
Se calcula una cierta integral definida mediante la regla trapezoidal, con distintos valores para el número de intervalos, obteniendo los resultados que se muestran en la tabla Número intervalos Regla trapezoidal
3 0.2366255
7 0.2067888
8 0.2052002
Usar la extrapolación de Richardson para obtener el mejor valor posible de la integral y además una estimación del error de dicho valor. 2.
3.
4.
Determínese el valor de la integral , con pasos h = 0:5; 0:25 y 0:125 , mediante la regla trapezoidal y las extrapolaciones de Richardson correspondientes. Estimar el error del mejor resultado. Un cuerpo está sometido a la fuerza conservativa y se desplaza desde la posición x=1 hasta x=1.8. Determinar el trabajo realizado utilizando la regla trapezoidal con pasos de h=0.2; 0.4 y 0.8 y haciendo todas la extrapolaciones de Richarson posibles. Obtener asimismo, una estimación del error del mejor resultado. Sea la función . Calcúlese en , numéricamente, aplicando el método de extrapolación de Richardson a las derivadas numéricas, con paso h=0.8; 0.4 y 0.2. ¿En qué factor mejora el error la extrapolación de Richardson con respecto al valor obtenido con ?
Aplicación (P4_ParteA_MB535_2006_1-Int) Hallar la velocidad (primera derivada) y la aceleración (segunda derivada) en: 1.
2. 3.
Una partícula se mueve a lo largo del polinomio cúbico . Hallar la velocidad y la aceleración en La distribución de velocidad de un fluido cerca de la superficie está dada por la siguiente tabla.
Problemas propuestos
49
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
I 0 0.0 0.000000 1 0.002 0.006180 2 0.004 0.011756 3 0.006 0.016480 4 0.008 0.019021 La ley de newton para la tensión superficial está dada por:
Donde es la viscosidad Calcule la tensión superficial en y=0, mediante aproximación por diferencias. Empleando: a) i=0 e i=1 y b) i=0.1 y 2 Para la siguiente tabla de valores: Evalúe la integral:
4.
, para h=0.4, h=0.2, h=0.1; X F(x) 0.0 0 0.1 2.122 0.2 3.0244 0.3 3.2568 0.4 3.1399 0.5 2.8579 0.6 2.5140 0.7 2.1639 0.8 1.8358 Un automóvil con masa M=5400 Kg se mueve a una velocidad de 30m/s. El motor se apaga súbitamente a los t=0seg. Suponga que la ecuación de movimiento después de t=0 está dada por:
Donde v=v(t) es la velocidad (m/s) del automóvil al tiempo t 5.
El lado izquierdo representa Mv(dv/dx). El primer término del lado derecho es la fuerza aerodinámica y el segundo término es la resistencia de las llantas de rodaje. Calcule la distancia que recorre el automóvil hasta que la velocidad se reduce a 15m/s. Recuerde que la ecuación de movimiento se puede integrar como:
6.
Un estudio requiere del cálculo del número total de automóviles que pasan a través de una intersección en un periodo de 24 horas. Un individuo visita la intersección varias veces al día y cuenta el número de automóviles que pasan a través de la intersección en un minuto. Los datos se resumen en la tabla siguiente. Calcule el número total de automóviles que pasa por la intersección durante el día.
Problemas propuestos
50
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Tiempo Autom/Min 12:00 10 2:00 4 6:00 6 7:00 40 8:00 60 9:00 80 11:00 25 13:00 18 15:00 17 16:00 28 17:00 35 18:00 77 19:00 40 20:00 30 22:00 31 24:00 15 Se tiene un tanque esférico de radio r=5 mt, la velocidad de salida por el orificio del fondo es v 4.895 h m / s , el diámetro de dicho orificio es 10 cm. Si el tanque tiene inicialmente un nivel de agua de h=4 mt, calcular el tiempo requerido para que el nivel de agua sea h=3 mt.
Este problema se puede resolver a partir de la siguiente ecuación. 7.
Resolver mediante: a) La cuadratura de Romberg con una precisión de 8 c.d.e. b) El método del Trapecio con una precisión de 3 c.d.e. c) El método del Simpson 1/3 con una precisión de 8 c.d.e. d) La cuadratura de Gauss-Legendre con n= 4, 5 y 6. e) Para cada caso escriba rutinas en MATLAB, y compare sus resultados con el valor exacto.
8.
Aproxime , cree sus rutinas en MATLAB para los siguientes métodos: a. La cuadratura de Gauss-Legendre (n=2, 3, 4, 5 y 6) e indique la precisión en c.d.e. tome como referencia el valor exacto. b. Aproxime mediante la fórmula compuesta de Simpson abierta, para ello use 4, 16 y 64 particiones y evalué el error. c. Evalué la solución exacta mediante matemática simbólica y luego mediante la función quad y quad8. Sugerencia: hacer x= 1/ t . Aproxime
9.
, escriba rutinas en MATLAB para resolver mediante:
a. La cuadratura de Gauss-Legendre (n=2, 3, 4, 5 y 6) e indique la precisión en c.d.e. tome como referencia el valor exacto. b. Aproxime mediante fórmulas abiertas basadas en polinomios interpolantes de grado
Problemas propuestos
51
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
0,1 y 2. Tome diversos de valores de h y evalué los errores. c. Haga un análisis comparativo teniendo en cuenta los errores para ambos métodos, con la función quad y las soluciones mediante matemáticas simbólicas. Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de una tubería, es posible calcular la rapidez del flujo Q (es decir, el volumen de agua que pasa a través de la tubería por unidad de tiempo) mediante Donde v es la velocidad y A es el área de la sección transversal de la tubería. En un tubo circular. y Por tanto
10.
Donde r es la distancia radial medido desde el centro de la tubería. Si la distribución de la velocidad está dada por: Donde es el radio total (en este caso, 2cm) a. Determinar Q utilizando el método de Simpson para N=10,20,30 intervalos. b. Determinar el error máximo cometido en el ítem anterior. c. Cuantas particiones se requieren como mínimo para que se obtenga el valor de la integral con un error inferior a 0.001 d. Implementar rutinas en Matlab para obtener sus resultados. Una compuerta de presa vertical en un dique tiene la forma de un trapecio con 8 pies en la parte superior y 6 pies en el fondo con una altura de 5 pies, como se muestra en la figura
11.
12.
a. Utilizar el método de cuadratura gaussiana con 3 puntos (este resultado tendrá 3 c.d.e) para calcular la fuerza del fluido en la compuerta cuando la parte superior está a 4 pies debajo de la superficie. b. Cuantos intervalos serán necesarios para alcanzar la misma precisión usando el método de Simpson 1/3 c. Estime el error contenido en cada caso. d. Coincide sus cálculos con el valor exacto. e. Implementar rutinas en MatLab para obtener sus resultados.
La pompa de un barco con un sistema de coordenadas sobrepuesto se ilustra en la figura. La tabla muestra la anchura w de la pompa en los valores indicados de y.
Problemas propuestos
52
METODOS NUMERICOS
Y W
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
0 0
1/2 3
1 5
3/2 8
2 9
5/2 10
3 10.25
7/2 10.5
4 10.5
a) Escriba una formula Gaussiana para calcular fuerza del fluido contra la popa. b) Implementar un programa en MatLab que calcule los errores obtenidos al aplicar la formula Gaussiana para N=5, 6, 7,8 puntos con respecto al valor exacto. c) Determinar el número mínimo N para alcanzar una precisión de 2c.d.e. d) Implementar rutinas en MatLab para obtener sus resultados. El volumen del solido generado por la rotación de en torno al eje X está dado por: a) Estime el paso de integración necesario para aproximar con 5 c.d.e. mediante la regla trapezoidal compuesta. b) Denote la aprox. De mediante la regla trapezoidal compuesta y el error, siendo el paso de integración. Suponga:
Obtenga, aíslan C, que: 13.
c)Sea
Suponga: 0.5 1,12891
1 1.5625
1.5 2.44141
Para h=0.25 suponga i. Calcule . ii. Calcule mediante la formula obtenida en b. iii. Compare con el dato en a). ¿Cuántos c.s.e. obtuvo?
Problemas propuestos
53
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Nota: La fórmula manuales.
es la “fórmula de Romberg” usada por las calculadoras
Considere el problema de calcular la intensidad de corriente RMS
En que la intensidad de corriente está dada por:
14.
Con
seg
a) Escriba una formula Gaussiana para calcular la integral Construya el programa donde lea desde un archivo los datos de los pesos y los ceros de Legendre hasta 10 puntos, o desarrollar una rutina para crear los ceros de Legendre y los pesos respectivos de esta cuadratura. Investigue el número de puntos necesarios para alcanzar una precisión de 6 c.d.e. b) Asumiendo cota para , donde , estime el paso de integración o el número de sub-intervalos para calcular la integral en IMRS con una precisión de 5 decimales, usando la regla compuesta de Simpson (1/3). Considérese la condensación de un vapor puro en la superficie exterior de un tubo refrigerado horizontal. De acuerdo con la teoría de la condensación de capas de Nusselt, el coeficiente medio de transmisión de calor, h viene dado por:
Donde:
15.
Aquí son respectivamente la conductiva térmica, la densidad y la viscosidad cinemática de la película de líquido condensada, es el radio del tubo, es el calor latente del vapor condensado. es la aceleración de la gravedad, es la diferencia de temperatura de saturación del vapor y la temperatura de la pared del tubo , y todas estas cantidades vienen dadas en unidades consistentes. Para el agua, el grupo Como sigue:
Problemas propuestos
en
varia con la temperatura
.
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
0.481
0.536
0.606
0.67
0.748
0.82
0.892
0.976
1.051
1.130
1.218
1.280
1.327
54
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
230 1.376
240 1.430
250 1.503
Cuando utilicé la formula anterior de , debe calcularse a la temperatura media de la capa condensada Escribir un programa que utilice las ecuaciones anteriores para hallar .Los datos deben incluir los valores de (°F) y (diámetro del tubo en pulgadas); estos valores deben también aparecer impresos en os resultados. El programa debe calcular y escribir los valores de la integral y el número de intervalos utilizando según consta en Nota. La temperatura media de la capa condensada . El valor correspondiente y el coeficiente de transmisión de calor resultante ¿Indique con que precisión se está calculando el valor del coeficiente de transmisión resultante?. Se sugiere los cuatro conjuntos de datos. d 212 208 0.75 212 208 2.00 212 210 0.75 120 116 0.75 Nota: Use la cuadraturas de Newton cerradas, Newton cotes, del trapecio y Simpson 3/8 o 1/3 analice y compare los resultados para obtener un valor de adecuado de tal forma que la integral tenga 4 c.s.e.En cada caso reporte el valor de o el número de intervalos requeridos. Encuentre el potencial eléctrico (V) a lo largo del eje de un disco uniformemente cargado de radio a y carga por unidad de área .
16. El cálculo del potencial en un punto axial P ubicado a una distancia x del disco, se simplifica al dividir el disco en anillos de área 2 rdr . La carga sobre dicho anillo es dq dA 2 rdr . Por lo que el potencial en el punto P debido a este anillo está dado por:
dV 17.
kdq r2
k 2 rdr x2
r2
x2
El espacio entre un par de tubos coaxiales se llena completamente con silicon como muestra la figura. El radio del tubo interior es a=0.5cm, el radio del tubo exterior es b=1.75 cm y la
Problemas propuestos
55
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
longitud de los tubos es de L=15 cm. Calcule la resistencia total del silicón cuando es medida entre el tubo interior y el exterior.
b
dR
2 rL
dr , donde R
dr a
dR es la resistencia de la sección del conductor de espesor dl y de área A. para el silicon es de 640 *m. Si una diferencia de potencial de 12 Voltios se aplica entre los tubos de cobre interior y exterior, calcule la corriente que pasa a través de ellos. El cuerpo de revolución mostrado se obtiene al girar la curva dada por y
0
x
1
x/2
2
con
2 en torno al eje x. Calcule el volumen utilizando los tres métodos con un error menor 2
f ( x )dx donde f ( x )
a 1e-3. El volumen está dado por: v
*1
x/2
2 2
0
18.
La
longitud
de
b
19.
dr d
r2
L a
con
ds
arco
Problemas propuestos
una
curva
coordenadas
polares
d . Calcule la longitud de arco de la curva dada por r utilizando
2
en
está dada
por:
2
0 rd
de
dr 2
r2
dr d
los
métodos
de
2 * 1 cos( )
integración
descritos.
2
d
evalúe para a=0 y b=
56
METODOS NUMERICOS
20.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Un problema que se encuentra a menudo en Ingeniería, es calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un material. La característica necesaria para realizar este cálculo es la capacidad calórica . Este parámetro representa la cantidad de calor necesaria para elevar una unidad de masa a una unidad de temperatura. Si es la constante sobre el rango de temperaturas que se van a examinar, el calor necesario se calcula como , en donde c tiene unidades de calorías por gramo por grado centígrado, m es la masa en gramos y es el cambio de temperatura en (ºC)- Ej. La cantidad de calor necesaria para elevar 20gr de agua de 5ºC a 10ºC es igual a Calorías. Tal valor es adecuado para T pequeños, en rangos mayores de temperatura, la capacidad calórica no es constante. Ej. La capacidad calórica de un material aumenta de 4 7 2 acuerdo a relaciones tales como: C (t ) 0.132 1.56 * 10 t 2.64 * 10 t . Calcular el calor necesario para elevar 1000gr de material de –100ºC a 200ºC t2
C (t )
t2
C (t ) dt t t 2 1 t1
H
m * C (t )dt . Resolver aplicando los tres métodos descritos con t1
3
un error menor a 1e . Al viajar por un camino secundario un motociclista anota la velocidad de su vehículo cada 4 minutos, obteniendo los siguientes valores:
21.
Problemas propuestos
hora Velocidad(Km./hr) 9:00 60 9:04 65 9:08 70 9:12 60 9:16 40 9:20 45 9:24 40 9:28 40 9:32 35 9:36 37 9:40 45 9:44 50 9:48 55 9:52 60 9:56 70 10:00 65
57
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Si el odómetro del coche no funciona, estimar la distancia recorrida dada por la integral:
d
22.
vdt
Aplicar las reglas de Simpson para a) para lecturas cada 4 minutos. b) Para lecturas cada 12 minutos. La función DECONV en MATLAB nos permite dividir dos polinomios. Opera de la siguiente forma: Si A y B son dos polinomios conocidos, y el grado de A es mayor o igual que el de B, si escribimos [Q,R] = DECONV(A,B) en la línea de comandos, MATLAB nos devuelve el cociente Q y el resto R de la división de A entre B. Utilizar esta función para realizar un programa sturm.m que admita como entradas un polinomio pol y su derivada dpol, y nos devuelva la sucesión de Sturm de dicho polinomio. El valor promedio de una corriente eléctrica oscilante durante un período puede ser cero. Por ejemplo, supongamos que la corriente se describe mediante una senoidal simple
i (t )
2 t T
sin
Donde T es el período. El valor promedio de esta función resulta ser T
sin I
0
2 t dt T T
cos 2
cos 0 T
0
A pesar de que, en promedio, la corriente es nula, esta corriente es capaz de realizar un trabajo y generar calor. Por tanto, los ingenieros eléctricos, a menudo consideran como promedio la corriente RMS (raíz cuadrada media), T
i 2 (t )dt I 23.
0
T
Para evitar este resultado nulo. Supongamos que la corriente de un circuito viene dada por:
i (t )
e
t /T
2 t , para 0 t T / 2 T i (t ) 0 para T / 2 t T
sin
Y que T=1. Se pide: a. Determinar el valor necesario de puntos que hay que tomar en el intervalo [0,1/2] para aproximar la Integral Ecuación 2 1/ 2
i 2 (t )dt 0
Por la regla de los trapecios compuesta y la regla de Simpson compuesta con una precisión de 10 5 b. Determinar una fórmula que aproxime la corriente RMS en términos de la estimación de
Problemas propuestos
58
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
la integral de la Ecuación 2 . Un campo está atravesado por un río y queremos calcular cuantas ha cultivables tiene ese terreno, sabiendo que a lo largo de la ribera, del río al lado de las márgenes se dejan 5 metros de cada lado. El siguiente dibujo ilustra la situación: Calle 1 Área norte 2Km
río Área sur
Calle 2
24.
5 Km
Los datos aportados fueron diferentes mediciones realizadas desde la Calle 1 a la margen norte del río (tabla 1) y desde la calle 2 a la margen sur del río (tabla2) . El ancho (y Km) del terreno es la distancia desde un punto (x Km) de la calle a la marca de la ribera una distancia x de la calle. Esos valores se muestran en la siguiente tabla: Tabla 1 (Km) 0 Y(Km) 0,54
0,5 0,83
1 0,72
1,5 0,62
2 0,74
2,5 0,82
3 0,68
3,5 0,72
4 0,98
4,5 1,03
5 0,89
Tabla 2 X(Km) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4, 4,5 5 Y(Km) 0,96 0,89 1,12 0,87 0,98 0,86 0,79 0,48 0,68 0,76 0,94 Un terreno está situado entre una valla rectilínea y un río. El ancho del terreno medido en metros a un punto x de la valla viene dada por: X(m) Y(m)
0 0
20 22
40 41
60 53
80 38
100 17
120 0
25. Grafica el área a estimar. Realiza los cálculos para estimar el área del terreno utilizando a) el método del rectángulo, b) el método del trapecio, c) el método de Montecarlo, realiza 7 tiros y recalcula 5 veces la planilla. Estima el valor final de la aproximación como el valor promedio. cantidad de tiros cantidad de unos área rectángulo área bajo la curva
Problemas propuestos
59
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
VECTORES Se tienen N datos almacenados en un vector. Desarrolle un algoritmo que permita calcular lo siguiente: 1.
Cuál es el mayor valor almacenado y su respectiva posición.
2.
Cual es promedio de todos los datos almacenados
3.
Cuantos datos son positivos y cuantos son negativos
4.
Cuantos datos impares se encuentran almacenados
5.
Cuantos datos impares hay, que sean mayores que el promedio
6.
Que encuentre la posición J, tal que x( j ) contenga el mayor valor absoluto de X.
7.
Considérese una sucesión de números reales, X i , , i
x3 .... xm . La desviación con respecto al promedio es: d i ( xi x) y la M d12 d 22 ... d M2 desviación estándar es: . Leer M valores, almacenarlos en un vector y M x
x1
1,2,3,... M , el promedio se define como
x2
calcular a dichos valores las desviaciones a cada uno de ellos y la desviación estándar. 8.
Calcularle al ejercicio anterior las varianzas utilizando las siguientes fórmulas.
v
1 x1 M
x 2
( x2
x) 2
... ( x M
x) 2 y v
1 2 ( x1 M
x22
x32
...xm2 )
x2
En las fórmulas anteriores x es el valor medio de los M valores almacenados en el vector. 9.
Si los N valores están almacenados en un vector X, desarrolle un algoritmo que le permita intercambiar los valores de x1 con x 2 , x 3 con x 4 y así sucesivamente. Se supone que N es par.
10.
Si los N valores están almacenados en un vector x , desarrolle un algoritmo que le permita intercambiar los valores de x1 con x 2 solo si x1 > x 2 , x 3 con x 4 solo si x 3 x 4 y así sucesivamente. Se supone que N es par.
11.
Permute los valores del vector X, de tal forma que x1 contenga el valor original de x 2 , x 2 contenga el valor original de x 3 , x 3 contenga el valor original de x 4 y así sucesivamente hasta que en la posición x n se guarde el valor original de x1 .
Problemas propuestos
60
METODOS NUMERICOS
12.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Permute los valores del vector X, de tal forma que x 2 contenga el valor original de x1 , x 3 contenga el valor original de x 2 , x 4 contenga el valor original de x 3 y así sucesivamente hasta que en la posición x1 se guarde el valor original de x n .
13.
Desarrolle un algoritmo que permita la captura de de valores para almacenarlos en el vector teclado.
valores para almacenarlos en el vector y son valores diferentes y deben leerse desde
14.
Desarrolle un algoritmo que permita ordenar cada uno de los vectores de manera ascendente o descendente. El algoritmo debe dar la opción de escoger la forma de ordenamiento.
15.
Desarrolle un algoritmo que le permita mezclar los datos de los vectores del ejercicio anterior en un tercer vector y cuyo resultado sea el de un vector donde el número de datos sea igualmente ordenados.
16.
Desarrolle un algoritmo que permita realizar
intersección .
17.
Desarrolle un algoritmo que permita realizar
unión .
18.
Se tienen n datos almacenado en un vector A y n datos en un vector B. Cada posición del} cada uno de los vectores almacena datos de una sola cifra "del 0 al 9". Multiplique los dos vectores de tal forma que el resultado de la multiplicación algebraica de los datos almacenados en cada vector así:
Para el caso del ejemplo n valdrá 5. Las multiplicaciones serán: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
* * * * * * * * *
= 1*8 + + + + + + +
* * * * * * *
+ + + + +
* * * * *
+ + +
* * *
+
*
= 8
= 6*1+2*8 = 4*1+6*2+8*5 = 56 = 3*1+4*2+6*5+8*4 = 1*1+3*2+4*5+6*4+8*2 = 1*2+3*4+4*4+6*2 = 42 = 1*5+3*4+4*2 = 25 = 1*4+3*2 = 1*2
= 22 = 73 = 61
= 10 = 2
El vector resultante tendrá los siguientes datos. 2
10
25
42
61
73
56
22
8
Como cada posición debe tener un solo digito entonces quedará así: 3
2
Problemas propuestos
9
8
7
8
8
2
8.
61
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Simplemente se almacena la última cifra y lo que quede se deja llevando para la casilla de atrás.
Problemas propuestos
62
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
MATRICES 1.
Desarrolle un algoritmo que le permita leer dos dimensiones a,b donde a representa las filas de una matriz y b el número de columnas, e inmediatamente permita la captura de todos los coeficientes de dicha matriz en la variable A de tamaño
2.
Escriba la posición donde se encuentra el mayor valor y el menor valor almacenado en dicha matriz.
3.
Con los datos anteriores desarrolle un algoritmo que deje en la variable C la suma de
4.
Desarrolle otro algoritmo que lea otra matriz similar a la del problema 1 y almacene los valores en B.
5.
Dejar en D, la matriz resultante de multiplicar multiplicación se pueda realizar.
6.
Para el ejercicio 1 encuentre la determinante de A.
7.
Deje en la variable E de tipo matriz, el valor de
8.
Encuentre la inversa de la matriz A del problema 1 y dejar su resultado en la matriz F.
9.
Desarrolle un algoritmo que le permita leer un vector Z de a filas por 1 columna. Y genera a matrices donde la primera matriz generada sea igual a la matriz A del primer ejercicio pero con la columna primera igual al vector Z, La segunda matriz sea igual a la matriz A pero con la segunda columna igual al vector Z y así sucesivamente. Puede utilizar una tercera dimensión para guardar las a matrices.
10.
CUADRADO MAGICO: 3 22 16 15 9
14 8 2 21 20
25 19 13 7 1
. Para este caso se debe verificar que dicha
.
6 5 24 18 12
17 11 10 4 23
Generar la matriz anterior de n filas por n columnas, donde n debe ser impar. El número 1 se coloca en la fila (n) columna (n div 2 "Parte entera de la división") y los demás números en forma consecutiva se colocan restando 2 a las filas y restando 1 a las columnas, a la posición donde se encuentra el número inmediatamente anterior. Ejemplo: El número 1 en el caso del ejemplo anterior está en la posición (5,3) y el número 2 quedará en la posición (3,2), donde el primer valor es la fila y el segundo es la columna. En caso de que una posición esté ocupada entonces el número se coloca encima de la posición origen. Hay que tener en cuenta
Problemas propuestos
63
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
que cuando se sale de la matriz al restar los valores, estos se reacomodarán dentro de valores posibles en la matriz. Siga el ejemplo y entenderá mejor. También puede restarle una posición a las filas y sumar una a las columnas, en caso de estar ocupada la posición entonces se colocará el valor inmediatamente debajo de la posición de origen. El primer valor se colocará en la primera fila en la columna del centro. Vea la siguiente tabla. 17 23 4 10 11
24 5 6 12 18
1 7 13 19 25
8 14 20 21 2
15 16 22 3 9
Al final le quedará una matriz en donde la suma de los números debe ser igual en cualquier fila, columna o diagonal de n números. Si en una matriz se tienen los datos de N alumnos del primer semestre de Ingeniería y en cada fila de dicha matriz se tienen las notas de 6 Materias así; Química, Física, Cálculo, Ingles, Introducción, Informática, desarrolle un algoritmo que le permita realizar lo siguiente: 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
Indicar la posición de estudiante con mejor promedio Indicar cuál es la mejor nota en cada una de las asignaturas. Indicar cuál es el promedio de todas las notas del grupo. Indicar cuál es la asignatura con mayor promedio en el grupo. Indicar cuál es asignatura con menor promedio en el grupo Indicar el promedio de notas de cada estudiante. Indicar cuál es la menor de todas las notas y a que asignatura pertenece.
Problemas propuestos
64
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Una manera de caracterizar un sistema de ecuaciones es por: ( ) Sus números ( ) Sus signos ( ) Sus términos ( ) Sus dimensiones Al resolver sistemas de ecuaciones nos interesamos en identificar valores de variables que satisfacen de manera simultánea: ( ) Todas las ecuaciones del sistema ( ) Una de las ecuaciones del sistema ( ) Ninguna de las ecuaciones del sistema ( ) Ninguna de las anteriores La gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de dimensiones 2 x 2 se representa con: ( ) Dos líneas rectas ( ) Una sola línea recta ( ) Ninguna línea recta ( ) Tres líneas rectas Cuando se grafica un sistema de ecuaciones 2x2 y las dos líneas se intersectan en un punto (x, y) se dice que: ( ) Las coordenadas del punto de intersección (x, y) representan el conjunto vacío ( ) Las coordenadas del punto de intersección (x, y) representan la solución para el sistema de ecuaciones ( ) Las coordenadas del punto de intersección (x, y) representan el conjunto universo ( ) Las coordenadas del punto de intersección (x, y) no representan la solución para el sistema de ecuaciones Se dice que dos rectas paralelas tienen: ( ) La misma pendiente ( ) Pendientes diferentes ( ) Inclinaciones contrarias ( ) Ninguna de las anteriores Dado el siguiente sistema de ecuaciones diga su naturaleza de solución: ( ( ( (
7.
Solución única Ninguna solución Soluciones infinitas Todas las anteriores
Dado el siguiente sistema de ecuaciones diga su naturaleza de solución: ( ( ( (
8.
) ) ) )
) ) ) )
Solución única Ninguna solución Soluciones infinitas Todas las anteriores
Dado el siguiente sistema de ecuaciones diga su naturaleza de solución: ( ( ( (
) ) ) )
Solución única Ninguna solución Soluciones infinitas Todas las anteriores
Problemas propuestos
65
METODOS NUMERICOS
9.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones diga su naturaleza de solución: ( ( ( (
10.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
) ) ) )
Solución única Ninguna solución Soluciones infinitas Todas las anteriores
Dado el siguiente sistema de ecuaciones diga su naturaleza de solución: ( ( ( (
) ) ) )
Solución única Ninguna solución Soluciones infinitas Todas las anteriores
11.
Eliminación Gaussiana 1.
2.
3.
4.
5.
Aplicando el procedimiento de eliminación para los sistemas 2x2, encuentre el conjunto solución del siguiente sistema:
( ) (-2, -3) ( ) (2, 3) ( ) (-2, 3) ( ) (2, -3) Aplicando el procedimiento de eliminación para los sistemas 2x2, encuentre el conjunto solución del siguiente sistema:
( ) (-2, -3) ( ) (2, 3) ( ) (-2, 3) ( ) Ninguna de las anteriores Aplicando el procedimiento de eliminación de Gauss para los sistemas 2x2, encuentre el conjunto solución del siguiente sistema:
( ) (4, 5) ( ) (5, 4) ( ) (-4, -5) ( ) (-5, 5) Aplicando el procedimiento de eliminación de Gauss para los sistemas 2x2, encuentre el conjunto solución del siguiente sistema:
( ) (-2, -3) ( ) (5, -4) ( ) (2, 3) ( ) Ninguna de las anteriores Dos padres de familia llegaron a una juguetería a comprar los regalos navideños para sus pequeños hijos y familiares. Uno de ellos adquirió 5 autopistas y 3 carros armables y liquidó su compra con $20350.oo. El otro padre de familia eligió 4 autopistas y 8 carros montables similares a los que adquirió el otro padre de familia. Por su compra liquidó $49880.oo. Determine el precio de cada autopista y de cada carro
Problemas propuestos
66
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
montable.
6.
( ) Precio de la autopista: $4900.00 precio del carro armable: $600 ( ) Precio de la autopista: $592.00 precio del carro armable: $4875 ( ) Precio de la autopista: $4500.00 precio del carro armable: $700 ( ) Precio de la autopista: $470.00 precio del carro armable: $6000 Una mueblería ofrece en venta sillones reclinables y videojuegos en dos lugares diferentes. En un lugar coloca 25 sillones reclinables y 15 videojuegos y pretende obtener $120,000.00 con su venta. En el otro lugar coloca 22 sillones reclinables y 18 videojuegos, deseando obtener $120,000.00 con su venta. Calcule el precio unitario de cada sillón reclinable y de cada videojuego para lograr los ingresos que pretende.
7.
( ) Sillón reclinable:$3,000.00 videojuego: $3,000.00 ( ) Sillón reclinable:$3,500.00 videojuego: $2,500.00 ( ) Sillón reclinable:$1,500.00 videojuego: $3,500.00 ( ) Sillón reclinable:$3,200.00 videojuego: $2,800.00 Una mueblería ofrece en venta radio reloj despertador y reproductor de DVD. Dos clientes revendedores compraron las siguientes cantidades: uno de ellos compró 24 radio reloj despertadores y 17 reproductores de DVD, y pagó en total $968.000, mientras que el otro revendedor compró 15 radio reloj despertadores y 22 reproductores de DVD, habiendo pagado en total $1.060.000 ¿Cuál es el precio de cada radio reloj despertador y de cada reproductor de DVD que pagaron los clientes a la mueblería?
8.
( ) Precio del radio reloj: $12.000 precio del reproductor de DVD: $40.000 ( ) Precio del radio reloj: $11.000 precio del reproductor de DVD: $40.500 ( ) Precio del radio reloj: $13.000 precio del reproductor de DVD: $41.000 ( ) Ninguna de las anteriores El gerente de una compañía adquirió en un almacén 4 radio grabadoras y 7 teclados electrónicos para obsequiar a los empleados de una sucursal en su cumpleaños. Igualmente compró 3 radio grabadoras y 9 teclados electrónicos para obsequiarlos a los empleados de otra sucursal en su cumpleaños. Si en la primera compra pagó $825.000 y en la segunda compra pagó $855.000 calcule el precio unitario de cada radiograbadora y de cada teclado electrónico.
9.
( ) Radio grabadora: $54.000 teclado electrónico: $61.000 ( ) Radio grabadora: 75.000 teclado electrónico: $70.000 ( ) Radio grabadora: $92.500 teclado electrónico: $92.500 ( ) Radio grabadora: $36.000 teclado electrónico: $89.000 Dos padres de familia llegaron a una juguetería a comprar los regalos navideños para sus parientes pequeños. Uno de ellos adquirió 6 vehículos de control remoto y 3 videojuegos electrónicos y liquidó su compra con $16,980.00. El otro padre de familia eligió 3 vehículos de control remoto y 6 videojuegos electrónicos similares a los que adquirió el otro padre de familia. Por su compra liquidó $28,740.00. Determine el precio de cada vehículo de control remoto y de cada videojuego electrónico. ( ( ( (
10.
) ) ) )
Precio del vehículo: $850.00 Precio del vehículo: $2,660.00 Precio del vehículo: $580.00 Precio del vehículo: $3,789.00
precio del videojuego: $5,450.00 precio del videojuego: $2,650.00 precio del videojuego: $4 500.00 precio del videojuego: $4,500.00
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) Para sistemas de ecuaciones lineales en los que la matriz de coeficientes es de gran dimensión y dispersa, suele ser mejor utilizar los métodos iterativos frente a los métodos directos (suponiendo la convergencia de los mismos). b) Si para un sistema de ecuaciones lineales el método de Gauss-Seidel converge, entonces eligiendo un valor de w comprendido entre 0 y 1 (0
Problemas propuestos
67
METODOS NUMERICOS
c) d)
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
El coste por iteración de los algoritmo iterativos es del orden de 2n2. Para sistemas de ecuaciones lineales en los que la matriz de coeficientes es de pequeña dimensión, suele ser mejor utilizar los métodos directos.
Gauss Jordán y eliminación Gaussiana Simple 1.
Resolver:
2.
Calcular:
3.
Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones:
4.
Gauss Seidel 1.
Con
, resolver:
2.
Con
3.
Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones (
)
4.
Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones (
)
resolver el sistema.
5.
Problemas propuestos
68
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
A. Métodos Directos A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward Algoritmo de sustitución Backward: , Algoritmo de eliminación de Gauss: para
1. Encuentre, si existe, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás. Describa el sistema en función de la solución encontrada.
a
b
c
d
A-2. Factorización LU y Sustitución Forward 2. Factorizar las siguientes matrices utilizando el algoritmo de factorización LU.
a) A =
b) B =
c) C =
3. Utilizar la factorización realizada en el ejercicio 2.a y resolver el sistema [4, 1, -3, 4]
, sabiendo que
=
4. Resolver los siguientes sistemas lineales utilizando factorización LU a)
b)
c)
5. Resolver, previa descomposición LU, el sistema
Problemas propuestos
. Calcular el determinante de A.
69
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
A-3. Pivoteo y número de dígitos 6. Resolver el siguiente sistema, trabajando con tres decimales exactos. Repetir el procedimiento con cuatro decimales.
7. Resolver los siguientes sistemas utilizando eliminación gaussiana y redondeo en tres dígitos, a) sin pivoteo, b) con pivoteo parcial y comparar con la solución exacta: 8. a)
b)
Solución:
solución:
9. Resolver los sistemas y utilizando: a) Descomposición LU sin pivoteo, b) descomposición LU con pivoteo parcial y c) descomposición LU con pivoteo completo
(n )
10. Se conoce como matriz de Hilbert a lá matriz definida como = , con . Sea la matriz cuyos elementos definidos según los elementos de la matriz de Hilbert están redondeados con cinco decimales exactos. Usando descomposición LU, resolver el sistema , donde , con igual precisión que los elementos de Ã. 11. Determinar cuáles de las siguientes matrices son no singulares y computar su inversa
12. Sea la matriz
Problemas propuestos
y los vectores
70
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
a) Resolver el sistema lineal aplicando eliminación Gaussiana a la matriz ampliada
b) Resolver el sistema encontrando y multiplicando la inversa de la matriz A. c) Determinar cuál de ambos métodos requiere menos operaciones.
B. Métodos Iterativos B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos 21. Dado el sistema líneal
, con
, se encontraron dos
22. soluciones aproximadas: a) Computar el vector residual correspondiente a dichas soluciones aproximadas. b) Determinar el error en ambas soluciones. 23. a) Resolver el siguiente sistema utilizando eliminación Gaussiana y redondeo en cinco dígitos. b) Encontrar el vector residual y dar una estimación del número condición. c) Calcular el número condición exacto.
24. Calcular, si existe, el número condición de las siguientes matrices
Los siguientes sistemas lineales tienen a
como solución exacta y a
como solución aproximada.
y
Utilizando los resultados obtenidos del ejercicio anterior, calcular
.
25. a)
b)
26. Teorema: Dada una matriz A no singular tal que Aproxima a la solución x de
Problemas propuestos
c)
A
1 A 1
, la solución
de
con un error estimado de .
71
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
a) Resolver el sistema 24.b cambiando el término a 21 de la matriz de coeficientes por 0.9999 redondeando en cinco dígitos. Comparar el error relativo de la solución obtenida con la cota propuesta por el teorema. b) Resolver el sistema 24.b cambiando el vector b por redondeando en siete dígitos. Comparar el error relativo de la solución obtenida con la cota propuesta por el teorema. 26. a) Probar la identidad: = y luego deducir :
b) Probar que si: , Entonces: , c) Probar que si ,
,
luego ,
,
,
.
27. Dada la matriz; llamada matriz de Wilson, a) Encontrar y determinar la solución de dado b) Si perturbamos con un vector tal que , dar un límite superior para donde es la correspondiente perturbación en la solución. c) Resolver el sistema con d) Encontrar el número condición y compararlo con el límite del cociente entre el cual se deriva de b) 28. Idem al ejercicio anterior con la matriz de Hilbert de dígitos significativos y perturbando el vector b con
, el vector
y
, trabajando con seis
B-2. Mejoramiento iterativo de soluciones 29. El siguiente sistema tiene como solución aproximada Mejore esta solución, utilizando: a) Punto flotante con cuatro dígitos, b) punto flotante con seis dígitos. c) cambie el coeficiente 371 por 371.2 y compare el % de cambio en la solución.
Problemas propuestos
72
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
30. Mejore la solución aproximada siguiente sistema con punto flotante y cuatro dígitos:
30. El sistema lineal
que se obtuvo resolviendo el
, con
tiene como solución
exacta , .Resuelva el sistema usando aritmética de punto flotante con tres dígitos; a) sin pivoteo, b) con pivoteo completo y c) con pivoteo completo luego de ajustar , y equilibrar. 1. Codifique los siguientes algoritmos y compruebe su funcionamiento con la resolución de los ejercicios anteriores. a) Eliminación Gaussiana y sustitución Backward: Para resolver el sistema lineal
Entrada: n, matriz Salida: Solución , Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Paso 7 Paso 8 Paso 9 Paso 10
,.. ,
o mensaje de que el sistema no tiene una única solución.
Para
hacer los pasos 2 a 4 mínimo entero con Si no se encuentra ningún entero p, entonces el sistema no tiene una solución única. Si entonces intercambiar Para hacer los pasos 5 y 6 Reemplazar por si entonces el sistema no tiene una solución única. Para Salida =
hacer que
i
, .. ,
b) Factorización LU (Decidir cuál va a ser la entrada y salida del algoritmo) Paso 1 Paso 2
Seleccionar Si Para
Paso 3 Paso 4
Para Seleccionar
Problemas propuestos
y que satisfaga entonces la factorización es imposible hacer que
y
hacer los pasos 4 y 5 que satisfaga
73
METODOS NUMERICOS
Paso 5
Paso 6 Paso 7
Si Para
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
entonces la factorización es imposible hacer:
Seleccionar y (Nota: si Salida: para Salida: para
] que satisfaga entonces
pero
es singular)
n
Una segunda versión simplificada del algoritmo de factorización LU es la siguiente. Entrada: La matriz A de n por n Salida: las matrices L y U Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Paso 7
L = una matriz de ceros con unos en la diagonal U = la matriz A para un desde hasta repetir los pasos 3 a 6 para un desde hasta repetir los pasos 4 a 6 para un k desde i hasta n repetir el paso 6 – Salida: las matrices L y U
2. Resolver los ejercicios 2, 3, 4 y 5 con la sentencia de GNU Octave correspondiente a la Factorización LU. lu(A) donde A es la matriz a factorizar. Sabiendo que en GNU Octave resultados de los ejercicios 6 y 7.
compruebe los
3. Cálculo de corrientes
La corriente I en la malla1 se calcula apoyado en la ley de Ohn entonces que en la malla anterior: * resistencias están en serie. Si
Problemas propuestos
(12V) y cada una de las resistencias de
Se puede decir , esto debido a que las
entonces la I de dicha malla será:
74
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Amperios ó 4 MiliAmperios. Si se tiene un sistema de mallas como l descrito en la figura siguiente, para
Resolverlo se asume la dirección de la corriente (en este caso en el sentido de las manecillas del reloj). Si se hace el análisis a la malla A, se tiene lo siguiente:
En esta malla como no hay fuente de voltaje entonces se tiene: . Al observar la figura se nota que por esta malla circulas tres corrientes y la circulan en sentido contrario a la , entonces la ecuación para esta malla quedará así: Si analiza la malla tres tendrá la siguiente ecuación:
Analizando la mallaC se tiene: Al final se tiene una ecuación pata cada una de las mallas, lo que nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se puede resolver utilizando uno de los métodos para solucionar ecuaciones simultáneas.
Desarrolle un algoritmo que permita calcular:
Problemas propuestos
75
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
a. La corriente que circula por cada una de las mallas b. Calcular la corriente que circula por cada una de las resistencias así como su dirección. Mantenga el valor de y varíe el valor de encuentre lo anterior para cada caso determinado.
desde
hasta
de
en
y
4. Otra forma de resolver este tipo de problemas es haciendo uso de las leyes de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. La ley de corriente dice que la suma algebraica de todas las corrientes sobre un nodo debe ser igual a 0. Tenga en cuenta que todas las corrientes que entran al nodo tienen signo positivo. La ley de Ohm dice que la corriente a través de una resistencia está dada en función del cambio de voltaje y de la resistencia.
Determínese el valor de cada una de las corrientes (I) y cada uno de los voltajes (V) en cada nodo. 5. Supóngase que tres cajas se conectan por medio de cuerdas muy ligeras mientras caen libremente a una velocidad de 10m/s. Calcúlese la tensión en cada cuerda y la aceleración de las cajas, dada la siguiente información:
Caja 1 2 3
Masa, kg 70 60 40
Coeficiente de Rozamiento Kg/s 10 14 17
6. Un Ingeniero Industrial supervisa la Producción de cuatro tipos de Osciloscopios. Se requiere cuatro clases de recursos (Horas-hombre, Metales, Plásticos y Componentes Electrónicos) en la producción. En el cuadro abajo se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de Osciloscopio.
Problemas propuestos
76
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg de metal, 970Kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántos Osciloscopios se pueden construir de cada tipo por día? Oscil
Horas/hombre Metales
1 2 3 4
3 4 7 20
Plásticos
20 25 40 50
10 15 20 22
Componentes 10 8 10 15
Nota: Cada valor anterior representa cantidad por equipo. 7. Un problema de importancia en Ingeniería Estructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. La figura siguiente muestra el ejemplo de tales armaduras.
Las fuerzas F representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura. Las reacciones externas son fuerzas que caracterizan como interacciona la armadura con la superficie que la soporta. El efecto de la carga externa de 1000Kg se distribuye a todos los elementos de la armadura. 8. Úsese la eliminación gaussiana para resolver:
=
4
Empléese el pivoteo y compruebe la respuesta: 9. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones: -
Problemas propuestos
77
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
a) Por el Método de Eliminación Gaussiana b) Por el Método de Gauss-Jordan c) Por el Método de Gauss-Seidel. 10. Un ingeniero supervisa la producción de 4 tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos (horas-Hombre, Metales, plásticos y componentes electrónicos) en la producción. En el cuadro se muestran las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 856 horas-hombre, 3,050 kg. de metal, 1450 kg. de plástico y 948 unidades de componentes electrónicos, ¿cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir? Supóngase que las ganancias correspondientes a cada computadora están dadas por los valores en el cuadro 2. ¿Cuánto será el monto de la ganancia total asociado con un día de trabajo? Ahora supóngase que existe la posibilidad de aumentar cualquiera de los recursos disponibles. Realice un estudio de evaluación rápida sobre los beneficios que se obtendrán al incrementar cada uno de los recursos y explique el comportamiento al aumentar los recursos, también recomiende en que recursos es mejor invertir a fin de aumentar la utilidad. (Utilice el criterio de la matriz inversa para determinar la variación unitaria). 11. Una fábrica produce los artículos . Para fabricar el articulo A emplea la máquina M durante 2 horas, la máquina durante , y la máquina durante 3 horas. Para fabricar el artículo B se emplea la máquina durante 3 horas, la máquina durante 2 horas y la máquina durante 3 horas. Para fabricar el articulo se emplea la máquina M durante 1.5 hora, la máquina N durante 2.5 horas y la máquina Z durante 3 horas. Si la máquina M está disponible 176 horas al día, la máquina N durante 228 horas, la máquina Z durante 250 horas. Determinar el número máximo de productos que se pueden fabricar en un día. Utilice método de Eliminación de Gauss o Gauss-Jordan. 12. Utilice el método de Gauss-Seidel y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: (Tolerancia de 0.01 y 4 cifras de decimales. Realice al menos 4 iteraciones). Analiza el sistema antes de empezar la solución. +X2
Problemas propuestos
78
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
AJUSTE DE CURVAS Interpolación de Newton Calcúlese el log(4) usando interpolación lineal.
1.
a) Interpolar entre y b) Interpolar entre y Para cada una de las interpolaciones calcúlese el error relativo porcentual basado en el valor verdadero de .
2.
3.
Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para aproximar usando los datos del problema 1. Calcúlese el error relativo porcentual. Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para calcular usando los datos del problema 1, además del punto adicional . Calcúlese el error relativo porcentual. Dado los datos
4. Calcúlese usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta 3. Escójase la secuencia de puntos base para obtener una buena aproximación y calcule los errores relativos porcentuales. Dado los datos
5. Calcúlese usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta 3. Escójase la secuencia de puntos base para obtener una buena aproximación y calcule los errores relativos porcentuales.
Polinomios de Lagrange Calcular el polinomio interpolador de Lagrange de la función en los puntos. Solución: Puesto que sólo necesitamos los polinomios base de Lagrange centrados en 1.
2.
Calcúlese el c)
Problemas propuestos
usando interpolación lineal. Interpolar entre
y
79
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
d) Interpolar entre y Para Para cada una de las interpolaciones calcúlese el error relativo porcentual basado en el valor verdadero de . 3. Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para aproximar usando los datos del problema anterior. Calcúlese el error relativo porcentual 4.
5.
Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para calcular log(4) usando los datos del problema 1, además del punto adicional . Calcúlese el error relativo porcentual. Dadas las afirmaciones: A- Cuanto mayor sea el grado del polinomio de interpolación mayor será la precisión de la interpolación. B- Para interpolar mediante el método de Lagrange es imprescindible calcular primero el polinomio de interpolación. a) Las dos son falsas. b) A es verdadera y B falsa. c) A es falsa y B verdadera. d) Las dos verdaderas. Use el polinomio interpolante de Lagrange de grado tres o menos y la aritmética de corte a cuatro dígitos para aproximar por medio de los siguientes valores. Calcule una cota de error para la aproximación.
6.
7.
8.
El valor real de es (con una exactitud de cuatro cifras decimales). Explique que la discrepancia existente entre el error real y la cota de error. Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a cuatro dígitos para construir una aproximación del tercer polinomio de Lagrange a . La función que va a ser aproximada es . Conociendo lo anterior, calcule una cota del error en la aproximación.
Repita el ejercicio Anterior usando el MatLab y la aritmética de redondeo a diez dígitos.
Mínimos Cuadrados 1.
x 1 3 5 7 10 12 13 16 18 20 y 3 2 6 5 8 7 10 9 12 10 Calcule el error estándar de la aproximación y el coeficiente de determinación. Grafique los datos y la línea de regresión. Repita el problema intercambiando las variables. x 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28 28 34 36 38 y 30 18 22 28 14 22 16 8 20 8 14 14 0 8
2.
3.
Calcúlese el error estándar de aproximación y el coeficiente de determinación. Grafique los datos y la línea de regresión. Ajustar a los datos:
Problemas propuestos
80
METODOS NUMERICOS
a) b)
4.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
x 0 2 4 4 8 12 16 20 24 28 30 34 y 10 12 18 22 20 30 26 30 26 28 22 20 Una línea recta Una parábola
Calcúlese los errores estándar y los coeficientes de determinación. Grafique los datos, la línea recta y la parábola. Compare los resultados. Dados los datos: x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 17 25 30 33 36 38 39 40 41 42 Usando regresión con mínimos cuadrados ajustar: a. Una línea recta b. Una parábola Calcule los errores estándar y los coeficientes de determinación. Grafique y compare los resultados. La cantidad de madera en un bosque joven crece de la siguiente forma según las observaciones realizadas en un experimento controlado por la CNA. Después se pretende en un proyecto de inversión a 10 años predecir la cantidad de madera que obtendremos al final del periodo de 1 a 10 años: Año Cantidad de madera (m3)
5.
1 2 3 4 5 6 100 103 107 110 114 118
a. b. c. d.
Realice una regresión lineal. (10) Realice una regresión polinomial de segundo grado. (10) Cuál es el mejor ajuste. (30) Cuál será la cantidad de madera aproximada en el año 10 si utilizas el mejor ajuste resultante en el inciso C (10) e. Calcule el coeficiente de correlación. En unas tablas estadísticas se encontraron los siguientes valores tabulares para distribución normal estandarizada: 0.40 0.41 0.42 0.43
6.
0.6554 0.6591 0.6628 0.6664
a. A partir de estos datos determinar a qué valor de , la probabilidad 0.66 Las notas obtenidas por 10 alumnos de Matemáticas y Música son:
es igual a
Alumno Matem. Música. 7.
Problemas propuestos
1
6
6.5
2
4
4.5
3
8
7
81
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
4
5
5
5
3.5
4
6
7
8
7
5
7
8
10
10
9
5
6
10
4
5
Se pide: a. Calcular la covarianza, correlación y recta de regresión b. ¿Cuál sería la nota esperada en Música de un alumno que haya obtenido 8.3 en Matemáticas así como el intervalo de confianza del 95%? Una teoría financiera sostiene que existe una relación directa entre el riesgo de una inversión y el rendimiento que promete. El riesgo de una acción se mide por medio de su valor . A continuación se presentan los rendimientos y los valores de para 12 acciones sugeridas por una empresa de inversiones. ¿Confirman estos datos la teoría financiera de una relación directa? 8. 5.4 1.5
8.9 1.9
2.3 1.0
1.5 0.5
3.7 1.5
8.2 1.8
5.3 1.3
0.5 -0.5
1.3 0.5
5.9 1.8
6.8 1.9
7.2 1.9
Solución: N , en el caso lineal, representa el % del cambio en y explicado por un cambio en . Según la ley de Boyle-Mariotte de los gases ideales, si una masa de gas se comprime o dilata a temperatura constante, el producto de la presión por el volumen permanece constante: .
9.
Esta ley sólo es válida en condiciones ideales pero en un problema real se verifica con mucha aproximación. Estimar la constante por el método de mínimos cuadrados para un gas del que se observaron los siguientes datos: P(kg/cm) V(litros)
0.1 2.24
0.15 1.50
0.20 1.13
0.25 0.92
Solución: cte=0.235 Las ventas de café de las cafeterías se supone que son función del número de camareros. Para distintas cafeterías se han obtenido los datos siguientes:
10.
Problemas propuestos
cafetería
camareros
ventas de café
1
0
508.1
2
0
498.4
82
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
3
1
568.2
4
1
577.3
5
2
651.7
6
2
657.0
7
4
755.3
8
4
758.9
9
5
787.6
10
5
792.1
11
6
841.4
12
6
831.8
13
7
854.7
14
7
871.4
El modelo que se supone que representa esta relación es: Determinar la validez del modelo. Se realiza un experimento para investigar el efecto de un programa de entrenamiento sobre el tiempo que le toma a un estudiante universitario típico, correr los 100 metros planos. Nueve estudiantes se sometieron al programa. Después de dos semanas, se midió la reducción y del tiempo para correr los 100 metros planos a tres estudiantes. Después de cuatro semanas se hizo lo mismo para otros tres estudiantes. Después de cuatro semanas se hizo lo mismo para otros tres estudiantes y después de seis semanas de entrenamiento para los tres restantes. Los datos obtenidos son los siguientes: Reducción del tiempo, (segundos) Semanas de entrenamiento,
11.
1.6, 8, 1.0
2.1, 1.6, 2.5
3.8, 2.7, 3.1
2
4
6
a. b.
12.
Encuentre la recta de mínimos cuadrados para estos datos. Estime la reducción media del tiempo después de cuatro semanas de entrenamiento. Use un intervalo de confianza del 90%. c. Supongamos que se emplean sólo 3 estudiantes en el experimento y que se mide la reducción del tiempo para cada estudiante al final de 2, 4 y 6 semanas. ¿Se cumplirían las suposiciones requeridas para el intervalo de confianza? d. Explique la respuesta. Se realiza un experimento para observar el efecto de un aumento en la temperatura sobre la potencia de un antibiótico. Tres porciones de 1 onza del antibiótico se almacenaron durante períodos de tiempo iguales, a cada una de las siguientes temperaturas: . Las potencias observadas a las temperaturas correspondientes fueron:
Problemas propuestos
83
METODOS NUMERICOS
Potencia, Temperatura,
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
38, 43, 29
32, 26, 33
19, 27, 23
14, 19, 21
a) Encuentre la recta de mínimos cuadrados apropiada para estos datos. b) Represente los puntos y la recta, como verificación de sus cálculos. c) Calcule . Sea , para . a. Aproxime mediante la interpolación lineal con y . b. Aproxime mediante la interpolación lineal con y . c. Aproxime y mediante el segundo polinomio interpolante con , .y . d. ¿Cuáles aproximaciones son mejores y por qué?
13.
Linealizables 1.
El muestreo de áreas contiguas se utiliza en Ecología para contar el número de especies distintas de plantas que hay por área. El recuento se realiza de manera que cada siguiente área continua tiene el doble de extensión que la anterior y se empieza por un área de . Así, el modelo que relaciona el número de especies distintas con el área es donde el coeficiente a representará un índice de diversidad y el coeficiente b es el número de especies por área unidad. Calcular las constantes a y b para los siguientes datos: 1 2 4 8 16 32 64 2 4 7 11 16 19 21
2.
Analizar también los modelos adecuados.
e
(exponencial y potencial) para ver si son
Solución: 1. 2. 3.
yˆ
2.6852 * x 0.5676
2
0.9325
Hermite
Problemas propuestos
84
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Construir el polinomio de Hermite de aproximación para los siguientes datos. a. 8.3 8.6
17.56492 3.116256 18.50515 3.151762
0.8 1.0
0.22363362 2.1691753 0.65809197 2.0466965
b.
c.
1.
0.5 0.25 0
.0247500 0.3349375 1.1010000
0.7510000 2.1890000 4.0020000
0.1 0.2 0.3 0.4
0.62049958 0.28398668 0.00660095 0.24842440
3.58502082 3.14033271 2.666680043 2.16529366
d.
Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a cinco dígitos para construir un polinomio interpolante de Hermite que le permita aproximar .
0.30 0.32 0.35
2.
Sea
3.
4. 18.
0.29552 0.31457 0.34290
0.95534 0.94924 0.93937
b. Determine una cota de error para la aproximación de la parte (a) y compárela con el error real c. Agregue y a los datos y vuelva a efectuar los cálculos. .
a. Aproxime por medio del polinomio interpolante de Hermite de grado máximo tres utilizando y . Compare el error real con la cota de error. b. Repita (a) con el polinomio interpolante de Hermite de grado máximo cinco, utilizando , y Escribe en pseudo código el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de Hermite para puntos. Los datos del ejercicio 15 se generaron por medio de las siguientes funciones. Use los polinomios construidos en el ejercicio 15 para el valor dado de y con ellos aproxime y calcule el error real.
Problemas propuestos
85
METODOS NUMERICOS
a. b.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
; aproximar ; aproximar
c.
; aproximar
d. 19.
; aproximar
Use la fórmula de error y un software matemático para encontrar una cota de los errores en las aproximaciones de en las partes y del ejercicio 16.
Trazadores o Splines 1.
Un spline cúbico natural S en [0,2] está definido por: si si
Obtener
y .
2.
Obtener el spline cúbico natural S para los datos:
3.
Un spline cúbico sujeto S en [1,3] para la función f está definido por: si si
(0,0), (0.5,0.51060), (1.5, 0.72020) y (2,1.01502)
Dado que
4.
, obtener
Suponga que la función siguiente es una función spline cúbica en
:
Encuentre 4.
Se extrae aleatoriamente entre . a. Obténgase la correlación entre la variable e b. ¿Pueden ser dos variables aleatorias incorrelacionadas y al mismo tiempo dependientes?
5.
Hallar un intervalo de confianza con coeficiente de confianza del 95% para la media m de una distribución , donde es conocido, en muestras de tamaño n.
6.
Una muestra de tamaño 16 de un cierto tipo de transitores ha presentado una vida media de 735 horas. Se conoce la desviación típica horas. Se pide: a. Hallar un intervalo de confianza para la vida media poblacional al normalidad. b. ¿Se puede aceptar que es horas con confianza del ?
Problemas propuestos
Se supone
86
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
7.
Se hace un envío de latas de conserva, de las que se afirma que el peso medio es de 1000gr. Examinada una muestra de 5 latas, se han obtenido los siguientes pesos: 995, 992, 1005, 998 y 1000. ¿Puede mantenerse la hipótesis de que , con un nivel de confianza del ?. Hállese, además, un intervalo de confianza del para . (se supone normalidad)
8.
Un metalúrgico ha realizado 4 determinaciones del punto de fusión del magnesio: 1269°, 1271°, 1263° y 1265°. Según un manual, el punto de fusión es 1260°. ¿Están de acuerdo los datos con el manual o debe aceptar que el punto de fusión es mayor?. Tomar un y un de nivel de confianza.
9.
De una muestra de tamaño 18 de una población normal, se ha obtenido la siguiente media y varianza muestral:
Se pide: a. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional. b. ¿Podemos admitir que la varianza poblacional es ? Tómese al 10.
Las varianzas muestrales de dos poblaciones normales independientes son y . Sabiendo que los tamaños de las muestras son 86 y 121, se pide: a. Demostrar que puede admitirse que las varianzas poblacionales son iguales, con un nivel de confianza del b. Hallar un intervalo de confianza del para la varianza poblacional, que se supone común para las dos poblaciones.
11.
Los errores aleatorios de dos aparatos de medida siguen la distribución han detectado los siguientes errores: Primer aparato
y
. Se
0.3 0.7 -1.1 2.0 1.7 -0.8 -0.5
Segundo aparato 1.6 -0.9 -2.8 3.1 4.2 -1.0 2.1 Se desea saber si el primer aparato posee mayor precisión que el segundo. 12.
Un botánico observa la longitud y la anchura de una muestra de 16 hojas de una determinada especie: Hoja Anchura Longitud
Problemas propuestos
1
2.1
4.1
2
2.4
6.0
3
3.6
5.5
4
3.7
8.2
5
4.3
7.5
6
5.1
12.6
7
5.5
8.1
87
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
8
5.8
10.8
9
5.9
7.2
10
6.6
13.1
11
7.4
11.3
12
8.2
15.6
13
8.8
13.4
14
9.0
19.0
15
9.1
15.8
16
9.8
14.6
Suponiendo normalidad, se pide: ¿Son independientes la anchura y la longitud de estas hojas en la población? Tómese al 13.
Se realizó una prueba para determinar la relación entre el contenido de fósforo en una solución y la temperatura de cristalización. Los datos son los siguientes: Cantidad de P Temperatura de cristalización (g/l) 1.1 1.7 2.3 0.4 3.2 0.2 4.3 1.1 5.4 2.3 6.6 3.1 7.8 4.2 8.8 5.3
20.
Se desarrolló un método analítico para el benzoilmetronidazol y desean saber si existe linealidad en el método. Se agrega una cantidad conocida de benzoilmetronidazol y se determina la cantidad de activo con el método analítico desarrollado. Se obtienen los siguientes resultados Benzoilmetronidazol Activo (mg) (mg) 0.5 0.510 0.7 0.687 1.0 1.000 1.3 1.330 1.5 1.510
21.
Se obtuvieron los siguientes datos sobre la cantidad de bromuro de potasio que se puede disolver en 100 gramos de agua, a distintas temperaturas. 0 10 20 30 40 50 52 60 64 73 76 81
Problemas propuestos
88
METODOS NUMERICOS
22.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Los siguientes datos representan el efecto del tiempo en la pérdida de hidrógeno en muestras de acero almacenadas a una temperatura de . Tiempo t (h) Contenido de H perdido (ppm) 1 8 2 7 6 6 17 5 30 4
23.
Se hicieron determinaciones de la cantidad (ppm) de un compuesto soluble presente a dos diferentes profundidades en cierto número de suelos. 12 plg. 20 plg. 24 20 84 103 13 16 13 20 48 86 61 36 112 53
24.
12 plg. 20 plg. 66 84 31 30 43 62 19 26 7 21 50 73 72 83
Se realizó una prueba para determinar la relación entre la concentración de conservador en fase acuosa y la concentración en fase oleosa para la distribución de clorocrezol. Los resultados obtenidos son: Conc. fase acuosa Conc. fase oleosa (g/l) (g/l) 0.2 0.4 0.4 0.7 0.6 1.0 1.0 1.6 0.8 1.3 0.3 0.5 0.5 0.8 0.7 1.2
25.
Una muestra de 12 hojas fue recogida aleatoriamente de un árbol y la longitud y el ancho de cada hoja fueron medidos con una precisión de un milímetro. Los datos se muestran a continuación Hoja Longitud Ancho 1 35 55 2 21 44 3 25 46
Problemas propuestos
89
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
4 5 6 7 8 9 10 11 12 26.
35 26 40 35 40 25 42 23 25
60 55 57 64 68 51 61 46 44
Se ha establecido que la presión de vapor del Eugenol (mmHg) depende de la temperatura ( C ). La siguiente tabla muestra la relación entre estas dos variables. T( ) 78.4 108.1 123.0 138.7 155.8 167.3 182.2 204.7 228.3 253.5 F(mmHg) 1 5 10 20 40 60 100 200 400 760
27.
Se realiza un experimento psicológico para estudiar la relación entre el tiempo necesario para que un ser humano tome una decisión y el número de alternativas que se le presentan. La situación presentada a los participantes requiere la clasificación de un objeto en una de dos o más categorías, similar a la situación que se encontraría al clasificar un producto de acuerdo a su calidad (de primera, segunda, etc.). Cinco individuos clasificaron un artículo en dos categorías posibles. Otros cinco clasificaron un artículo en 3 categorías posibles y otros cinco en 4 categorías posibles. A cada uno de los 15 participantes se le tomó el tiempo necesario para llegar a una decisión. Tiempo de reacción (seg) Número de alternativas, a. b. c.
28.
1, 3, 3, 2, 4 2
2, 4, 3, 4, 5 3
5, 6, 5, 7, 4 4
Encuentre la recta de mínimos cuadrados apropiada para estos datos. Represente los puntos y la recta para verificar sus cálculos. Calcule .
Los siguientes datos codificados representan la producción, , de un compuesto químico para distintos niveles de la temperatura, : -2 4 a. b. c. d. e. f.
-1 3
0 3
1 2
2 1
Calcule la recta de mínimos cuadrados para estos datos. Para verificar los cálculos de a), represente los puntos y la recta ajustada . Calcule SCE y s para estos datos. ¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique que hay una relación lineal entre y ? Use Estime el verdadero valor de usando un intervalo de confianza del Haga una predicción de un valor particular de para usando un intervalo de predicción del
Problemas propuestos
90
METODOS NUMERICOS
g. h. i.
29.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Si tuviéramos que estimar el valor esperado de para , ¿sería la cota del error mayor o menor? (Asuma que el coeficiente de confianza es. ). Calcule el coeficiente de correlación. ¿En qué porcentaje se reduce la suma de cuadrados de error al usar el predictor lineal .en lugar de .
Supongamos que los siguientes datos corresponden a pacientes de enfisema: el número de años que el paciente ha fumado y la evaluación subjetiva del médico en relación al daño sufrido por los pulmones La última variable se mide en una escala de 0 a 100. Las observaciones correspondientes a 10 pacientes son las siguientes: Paciente Años que ha Daño en fumado, pulmones, 1 25 55 2 36 60 3 22 50 4 15 30 5 48 75 6 39 70 7 42 70 8 31 55 9 28 30 10 33 35 a. b. c.
30.
Calcule el coeficiente de correlación entre el número de años que ha fumado y el daño a los pulmones Calcule el coeficiente de determinación . Interprete Ajuste una recta de mínimos cuadrados a los datos. Represente la recta y los puntos. Compare la gráfica con la recta y los valores de y calculados.
Algunas variedades de lombrices viven en la tierra y se alimentan de las raíces del césped y de las plantas de los jardines. Esta plaga, que es particularmente problemática en los climas cálidos, se puede combatir con la aplicación de pesticidas. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de lombrices eliminadas para varias tasas de aplicación (kilos de ingrediente activo por cada 4.000 metros cuadrados). Tasa de aplicación, Porcentaje eliminado,
2 3 4 5 50, 56, 48 63, 69, 71 86, 82, 76 94, 99, 97
a.
Calcule el coeficiente de correlación , entre la tasa de aplicación
b. c. d.
Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. Ajuste una recta de mínimos cuadrados a los datos. Supongamos que se desea estimar el porcentaje medio de lombrices eliminadas correspondiente a una aplicación de 4 kilos de pesticida por 4.000 metros cuadrados. ¿Satisfacen los datos las suposiciones requeridas por los intervalos de confianza?
Problemas propuestos
y el porcentaje
91
METODOS NUMERICOS
31.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
La producción de soya importante fuente de proteínas, varía con el clima, con la cantidad de lluvia y con la producción de productos alternos. Los datos de la tabla siguiente muestran la producción anual en los Estados Unidos (en cientos de miles de toneladas) para los años 1960 y 1977. Año 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 a. b. c.
32.
Año - 1960 Producción de soya 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 10 11 10 11 12 13 13 14 17 18 17 16 19 16 20 18 20
Ajuste una recta de mínimos cuadrados a estos datos. Pronostique la producción de soya en los estados Unidos para el año 1978, usando un intervalo de predicción del Obsérvese que se ha pronosticado un valor de y fuera del intervalo de valores de usados para desarrollar la ecuación de predicción. ¿Cómo podría afectar esto la interpretación del intervalo de predicción?
Los siguientes datos corresponden a dos tipos de analizadores del aliento, para los conductores sospechosos de encontrarse bajo la influencia del alcohol. Estos tipos se denominan “Analizador” y “V.S.”. Los datos corresponden a las mediciones hechas por estos dos dispositivos en 15 personas. Analizador V. S. .15 .10 .09 .14 .08 .11 .12 .10 .09
Problemas propuestos
.15 .08 .07 .14 .07 .07 .09 .08 .08
92
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
.09 .09 .09 .08 .08 .06
.07 .08 .09 .06 .07 .05
a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que relaciona las mediciones del Analizador con las del dispositivo V.S. b. Represente la recta y los puntos. c. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia que indique que las mediciones de los dos dispositivos están relacionadas linealmente? d. Supongamos que el aliento de una persona se analiza usando el dispositivo V.S. y que se obtiene el valor .01. Haga una predicción de la medición que se obtendría con el Analizador, usando un intervalo de predicción del 90%. 33.
Se han medido los siguientes valores de tensión resistencia en un circuito eléctrico
e intensidad
en los bordes de la
25.3443 27.1937 28.3841 31.5963 32.6162 35.4612 35.8144 25.9544 27.5767 29.7065 31.7134 33.8900 35.3157 37.2115 Con objeto de calcular de forma aproximada el valor de dicha resistencia eléctrica R a través de la ley de Ohm y de un ajuste lineal de los datos. Se pide: a. b.
c. d.
Realizar una representación gráfica de la nube de puntos Calcular un ajuste lineal de dicha nube mediante mínimos cuadrados. La pendiente b de dicha recta constituye una aproximación del valor de la resistencia R. Observe que, si se han realizado las medidas con precisión, el valor del término independiente debe ser próximo a . Representar gráficamente la recta que se acaba de obtener, junto con la nube de puntos del apartado 1. Para evaluar la recta, Calcular la varianza S del ajuste y el error de la pendiente de la recta :
Como siempre, preste especial atención al significado de los operadores. Este es el último ejercicio de MATLAB como herramienta de cálculo y representación. Ahora puedes pasar a los de programación básica
Problemas propuestos
93
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
34.
Repetir el problema anterior suponiendo un modelo en el que no hay término independiente, es decir:
35.
Para las funciones dadas , sean interpolación de grados uno y dos a lo máximo para aproximar a. c.
. Construya polinomios de , y calcule el error real.
b. d.
36.
Aplique el teorema referente al error en la interpolación para calcular la cota de error en las aproximaciones del ejercicio 1.
37.
Sean más grande de
38. 39. 40.
y en
el polinomio interpolante en para el cual
Aplica el método de Neville para aproximar Con los valores la cota de error Con los valores cota de error
. Calcule el valor .
y la función
, Calcula
, y la función
, Calcula la
41.
Escribe en pseudocódigo el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por puntos.
42.
Use la fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton para construir polinomios interpolantes de grado uno, dos y tres con los siguientes datos. Use cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado. a. b.
43.
si si
, ,
,
Con una función la fórmula de las diferencias divididas interpolantes de Newton da el polinomio interpolante En los nodos
44.
, ,
. Obtenga
Con una función f las diferencias divididas progresivas están dadas por .0 , , , ,
Problemas propuestos
94
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Determine los datos que faltan en la tabla. 45.
Escribe en pseudocódigo el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de Newton que pasa por puntos.
Problemas propuestos
95
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Considere el siguiente algoritmo para aproximar la solución de en los puntos pequeño :
para
1. Aplique el algoritmo descrito y calcule z1,w1 correspondiente al sistema :
Resuélvase el siguiente problema con valor inicial sobre el intervalo de
a
con
2. Utilice el método de Runge-Kutta de cuarto Orden para encontrar el valor original de la función diferencial. La altura del fluido del sistema hidráulico de la figura está caracterizada por la siguiente ecuación diferencial:
Donde A es el área del fondo del tanque y K es una constante que depende de la viscosidad del fluido y de la apertura por la que sale. Figura de un sistema hidráulico:
3.
Determinar la altura en el como función del tiempo por el método de RungeKutta de cuarto orden empleado los siguientes valores:
Solución:
4.
Problemas propuestos
96
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
En el circuito de la figura cuando el interruptor pasa de la posición 1 a la posición 0 hay un período de ajuste, que llamamos transitorio, hasta que se alcanza un estado estacionario. La ecuación del circuito es: , como y reemplazando queda una ecuación diferencial ordinaria de 2do. Orden cuya solución es:
si
. Esta es
t 0 , q q 0 V0 C y reordenándola para dejarla en función de R nos queda:
Utilice los métodos de Bisección y de la Regla Falsa para determinar una resistencia apropiada para disipar energía a una velocidad constante, , para los siguientes valores de : , Realice iteraciones hasta obtener un
. .
5. Para el circuito de la figura, determine las corrientes que circulan por cada una de las resistencias, como así también las caídas de tensión en las mismas. Utilice las reglas de mallas y nodos de Kirchhoff para establecer el sistema de ecuaciones. Para resolver el mismo Aplique los métodos de Eliminación Gaussiana y el método de Gauss-Jordan. La ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento de la corriente del circuito eléctrico ilustrado de la figura es:
6.
Donde A es un voltaje constante, R es la resistencia y L la inductancia. Obtener la solución numérica de la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta, utilizando los siguientes datos:
Circuito Eléctrico:
Problemas propuestos
97
METODOS NUMERICOS
Solución
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
.
La temperatura inicial de una pieza metálica de masa de 0.1kg es de 25 C . Dicha pieza se calienta internamente de forma eléctrica a razón de q=3000W. La ecuación de la temperatura es:
Calcule la temperatura hasta
7.
Minutos utilizando el método de Runge-Kutta con
y
.
Las constantes son las siguientes: (Densidad del metal) (Área de la superficie del metal) (Calor específico del metal) (Constante de Stefan-Boltsmann) (Emisividad del metal) (Volumen del metal) (coeficiente de transferencia de calor) Un líquido de baja viscosidad, como el agua, fluye de un tanque cónico invertido, por un orificio circular, a una razón de:
0.8
8.
Donde r es el radio del orificio, x es la altura del nivel del líquido desde el vértice del cono y es el 2 área transversal del tanque x unidades arriba del orificio. Suponga que pies, g=32 pies/seg , que el tanque tiene un nivel inicial de agua de 8 pies y un volumen inicial de pies cúbicos. 1. Calcule 2. Calcule el nivel de agua después de 10 segundos usando el método de runge-kutta de cuarto orden con Dos moléculas de dicromato de potacio sólido, dos moléculas de agua y tres moléculas de azufre sólido se combinan mediante una reacción química irreversible para dar tres moléculas de dióxido de azufre gaseoso, cuatro moléculas de hidróxido de potacio sólido y dos moléculas de óxido crómico sólido. La reacción puede representar simbólicamente mediante la ecuación estequimétrica:
9.
Si se tiene moléculas de , moléculas de y originalmente, la ecuación diferencial siguiente describe la cantidad
moléculas de presentes de en el tiempo
Donde es la constante de la velocidad de la reacción. Si , , ¿Cuántas unidades de hidróxido de potasio se formarán después de dos segundos? Use el método de Runge-Kutta de cuarto orden con .
Problemas propuestos
98
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Considera el
10.
;
b) Determinar si el tiene solución y si es única. (Justificar). c) Hallar la solución exacta del . Dar un intervalo abierto donde la solución satisface el dado. d) Deducir la fórmula de avance de a , para el método de Euler. e) Usar el método de Euler para obtener una aproximación de y 0.4 , con tamaño de paso h 0.2. En ambos pasos dejar explícitas e indicadas las sustituciones numéricas. Usar aritmética exacta. f) Calcular el error relativo de la aproximación para y 0.4 . Considerar el
11.
a) Justificar que el P.V.I. tiene solución única. b) Calcular la solución exacta del c) Escribir la fórmula de avance de t a t h para el método de Euler. Usar tamaño de paso calcular una aproximación de y 0.2 . Calcular el error relativo. Aproximar la solución del Para
para
(Problemas de Valores Iniciales):
, con pasos
12.
0.3 0.05
0.3/2 0.05/2
0.3/4 0.05/4
0.3/8 0.05/8
Teniendo en cuenta que la solución exacta es compararlo con el estimado a posteriori. Aproximar la solución del Para
0.3/16
calcular el error exacto cometido y
(Problemas de Valores Iniciales):
con pasos
13.
0.3
0.3/2
0.3/4
0.3/8
Teniendo en cuenta que la solución exacta es compararlo con el estimado a posteriori. Teniendo el
0.3/16 calcular el error exacto cometido y
(Problemas de Valores Iniciales):
Aproximar para
;
con pasos
14.
h
0.3
0.3/
0.3/4
Teniendo en cuenta que la solución exacta es
0.3/8
0.3/16
calcular el error exacto cometido y
compararlo con el estimado a posteriori. Aproximar la solución del Para x
(Problemas de Valores Iniciales):
[0; 1], con pasos
15. 0.3
0.3/2
0.3/4
0.3/8
0.3/16
Teniendo en cuenta que la solución exacta es desconocida calcular el error a posteriori. Utilizar el método de Euler para resolver:
16.
Empleando pasos con La solución exacta.
Problemas propuestos
,
y
. Graficar las tres soluciones numéricas obtenidas junto
99
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Convertir el
17.
En un sistema de E.E.D.D. de primer orden autonomo. Representar el sistema en forma victorial. Para un tamaño de paso , calcular dos pasos, por medio del metodo Runge-Kutta, de cuarto orden. Para ambos resultados, calcular el error relativo. Considerar la ecuacion diferencial
18.
con condicion inicial
a) Obtener el polinomio que interpola a calcular y
en
. Usarlo para
b) Lo mismo que en a), pero interpolando el trazador sujeto para la tabla c) En a) y b), comparar con los valofres exactos. d) Estudiar los resultados.
vs.
Considerar el
19.
a) Mostrar que es la solucion exacta del dado. b) Hallar los cuatro primeros terminos para la expansion en serie de Taylor para , alrededor de cero. c) Usar la regla trapezoidal para mostrar que con “pequeño”. d) Halle los cuatro primeros terminos de la expansion en serie de Taylor de , alrededor de cero. e) Dibujar, usando DERIVE, por ejemplo, y calcular , en con DRIVE, aritmetica mixta y 30 digitos. f) Analizar los resultados. Formular conclusiones. Considerar
a) Mostrar que la funcion
20.
es la solucion del P.V.I. dad0.
b) Usar la regla trapezoidal para mostrar que c)
“pequeño”
Calcular (con DRIVE, poe ejemplo), mismos valores. d) Analizar los resultados. Sacar las conclusiones. Hacer el mapa de curvas integrales en la región
y
, en los
de la ecuación diferencial.
21. Graficando simultáneamente, para Euler con paso y con condición inicial.
, la solución que se obtiene utilizando el método de
22.
Problemas propuestos
100
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Considerar el
Con
una fuuncion continua. a) Mostrar que es la solucion al b) Aplicar el metodo Runge-Kutta 4 para aproximar c) Como le resulto ? Justifique que d) Analizar sus resultados.
dado. , suponiendo que se conoce .
.
Considerar el
23.
24.
a) Mostrar que el tiene una unica solucion. Encontrar tal solucion. b) Escribir la expansion en serie de Taylor para alrededor de cero. c) Al resolver b), posiblemente observo que . Como concluye que . d) Que metodo numerico resulto en b)? Cual es el error relativo para cada aproximacion calculada mediante este metodo? Considerar el
a) Convertir el dado en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden autonomo. b) Expresar el sistema conseguido en a) en forma vectorial. c) Usando el metodo Runge-Kutta de orden (4) para sistemas autonomos,obtener una aproximacion de . Dejar claramente indicado el proceso de calculo numerico. Considerar el
25. En un sistema de E.E.D.D. de primer orden autonomo. Representar el sistema en forma vectorial. Para un tamaño de paso , dar la formula de avance del metodo Runge-Kutta, cuarto orden. Hallar una aproximacion en de la olucion del siguiente problema de valor inicial:
26. Use el metodo Runge-Kutta 4. Calcule el error relativo en el calculo realizado. Considerar el
27.
a) Considerar dado un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales de primer orden autonomo. b) Expresar el sistema obtenido en a) en forma vectorial. Usar el metodo numerico Runge-Kutta cuatro ( con tamaño de paso 0.1) para: i. Calcular una aoproximacion de . ii. Calcular una aproximacion de
28.
Problemas propuestos
101
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
En forma ideal, el movimiento de un pendulo esta descrito por el
a) Convertir el en un sistema equivalente de dos ecuaciones diferenciales de primer orden con dos incognitas. b) Expresar lo conseguido en a) en forma vectorial. c) Convertir el en un sistema equivalente de tres ecuaciones diferenciales de primer orden con tres incognitas,autonomo, y expresarlo en forma vectorial. d) Utilizando la respuesta en c). escribir la formula de avance para Runge-Kutta cuatro de a Un modelo matematico para un circuito electrico esta dado por el
29. Realizar lo mismo que en el problema 25,c).d). Usar el metodo aproximado para calcular y
, sabiendose que
30. Considerar el problema (a) Probar que el metodo de Euler con ;paso
31.
genera la sucesion:
(b) Mostrar que si la solucion exacta tiende va cero a medida que crece. (c) Para ,determinar para que valores de ocurre que cuando . Considerar el problema
32.
(a) Demostrar que la solucion es una funcion convexa. (b) Utilizar los metodos de Euler explicito e implicito, con paso para obtener dos aproximaciones de la solucion y graficarlar. Decidir en que region del grafico debera situarse la solucion analitica del problema. (c) Graficar la solucion que se logra al utilizar el comando ode45 de MatLab. La vibracion de un resorte sometido a amortiguamiento y fuerza extrema esta modelada por el
33.
Usar el metodo Runge –Kutta cuatro para calcular valores aproximados de la posicion y la aceleracion del pendulo (usar un tamaño de paso .
.
, la velocidad
El movimiento de un pendulo esta dado por el
34.
Usar Runge-Kutta cuatro para calcular la posicion angular , la velocidad angular aceleracion angular del pendulo.(usar tamaño de paso .
y la
35.
Problemas propuestos
102
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Considerar la ecuacion diferencial con condiciones iniciales
Calcular y usando un procedimiento vectorial Runge-Kutta cuatro para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden autonomas. Considerar el
36.
37.
a) Considerar el en un sistema equivalente de E.E.D.D. de primer orden,autonomo. b) Expresar el sistema obtenido en a) en forma vectorial. Definir cada uno de los terminos que aquí aparecen. c) Dar la formula de avance de a , en forma vectorial, para el metodo de Runge-Kutta cuatro. Definir cada uno de los terminos de esta formuloa. Considerar el
a) Convertir el en un sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente que sea autonomo. Expresar dicho sistema en forma vectorial. b) Usar Runge-Kutta cuatro con tamaño de paso para calcular un valor aproximado de . Considerar el
a) Usar expansion en serie de Taylor para probar que
38. b) Si ,dar los valores de los nodos. Discretizar la ecuacion diferencial en un expresando los valores posibles de .
apropiado,
c)
Explicar, paso a paso,la construccion del sistema tridiagonal que permite calcular la funcion desconocida en los nodos interiores. Resolver el sistema resultante. Considerar el
39. Escribir el sistema matricial que permite calcular valores aproximados de metodo de diferencias finitas y aritmetica exacta. Considerar el
y
. Usar el
40. Usando el metodo de diferencias para resolver el , tomando como tamaño de paso a , Explicar paso a paso la construccion del sistema tridiagonal asociado con la aplicaciion del metodo. Considerar el
41. Responda las preguntas en el problema 35, con
.
42.
Problemas propuestos
103
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Considerar el
Para un tamaño de paso , dar ,los valores de los nodos. Discetizar la ecuacion diferencial en un apropiado, dando los posibles valores de . Obtener, paso a paso, el sistema tridiagonal que permite calcular en los nodos interiores. Resolver dicho sistema. Para el
43. Usar el metodo de diferencias finitas para calcular valores aproximados de tamaño de paso ). En el
y
(use
44. Calcular aproximaciones de es la solucion del Calcular valores aproximados de
y . Usar el metodo de diferencias finitas. Verificar que . Calcular los errores relativos (si es posible). y , sabiendo que satisface el
45. Considerar el
46. Escribir el sistema matricial que permite calcular valores aproximados de metodo de diferencias finitas. Considerar el
y
; usar el
47. Usar el metodo de diferencias finitas para calcular valores aproximados de Considerar el
48.
49.
y
.
Calcular valores aproximados de y . Verificar satisface el dado. Investigar un teorema que tenga relacion con existencia y unicidad de y aplicarlo. Calcular los errores relativos en las aproximaciones obtenidas. Para el .
Calcular los valores aproximados de
en los puntos
,
,
,y
.
Usar tamaño de paso en ambos ejes. Considerar el problema de Dirichlet.
50. Tomar tamaño de paso 1/3 en ambos ejes, precisar los nodos de la malla resultante y calcular valores aproximados para ) en los nodos donde no se tienen.
Problemas propuestos
104
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Considerar el problema de Dirichlet.
51.
Para los casos ,
, hallar los valores aproximados de ,
,
,
,
, ,
,
. Aproximados para en los nodos donde no se tienen. Considerar el siguiente sistema de E.E.D.D. de primer orden:
52. a) Representarlo en forma vectorial no autonoma. b) Representando en forma vectorial autonoma. Convertir el
53. En un sistema no autonomo de E.E.D.D. de primer orden. Expresarlo en forma vectorial. En los siguientes Calcular el (los) datos perdidos con el metodo indicado. a)
54.
b)
formula de avance para el metodo de Euler, solucion exacta
c)
55.
Una caja rectangular hermética (de dimensiones unitarias) con peso específico ¾ se sumerge en un líquido de peso específico unitario, bajo la acción de una fuerza externa (movimiento y fuerza tienen dirección vertical) Se pide: a. Obtener el que describe el hundimiento de la caja, sabiéndose que en , posición y velocidad son nulos. b. Usar Runge-Kutta cuatro para calcular aproximaciones de posición, la velocidad y la aceleración de la caja, en paso de una décima. c. Obtener la solución exacta de d. Calcular los errores relativos correspondientes a las aproximaciones calculadas (si es posible). Graficar.
56.
Problemas propuestos
105
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Para cada uno de los siguientess interiores:
Calcular valores aproximados de la variable en los nodos
a) b) c) Aquí verificar que d)
es solucion. Calcular los errores relativos (si es posible). solucion exacta
e)
solucion exacta
.
A traves de una tuberia cilindrica fluye vapor de agua a alata temperatura y presion. La distribucion de temperatura esta modelada por el
57. Los valores y corresponden al radiio interior y exterior de la tuberia, respectivamente. Calcular valores aproximados de la temperatura tomando un paso . Considerar el problema de Dirichet:
58.
Para las funciiones dadas, tomar un tamano de paso adecuado (igual por ambos ejes) con sus posibbilidades de calculo, y calcular los valores de en los nodos interiiores de la malla: a) b) c) d) e) Expresar los siguientes como sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. a) Autonomos. b) Nno autonomos. i.
59.
ii. Probar que cuando la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden se aplica al
60.
La fórmula de avance es error es
y que el
, en un paso.
Usar el método de Runge-Kutta para resolver aproximadamente el P.V.I.
61.
62.
Usar . Hacerlo con un programa de computador. Calcular varios pasos. Estar atento al overflow. Una masa está colocada sobre un resorte que está sometido a fuerza externa y amortiguamiento. Su posición satisface el
Problemas propuestos
106
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Se pide e. Tomar tamaño de paso en el método de Runge-Kutta cuatro y calcular posición, velocidad y aceleración de la masa, para . Graficar f. Obtener la solución exacta del . Graficar . g. Comparar los resultados exactos con los cálculos aproximados. Analizar. Considerar el P.V.F.
63. Mediante un programa de computador. Calcular valores aproximados de . graficar vs Considerar la siguiente ecuacion diferencial:
64.
65.
66.
Cuya solucion exacta es la funcion Graficar simultaneamente en el intervalo la solucion exacta y las que obtiene con los metodos de Euler y Taylor de orden 2, ambos con paso Hallar el error local para los metodos de Euler explicito e implicito. Se quiere estimar, aplicando el método de Euler, el valor de e como donde es solución de , Hallar un paso h de modo que el error cometido resulte menor que . Realizar el mismo trabajo para el método de Taylor de orden 2. Considerar el problema . a) determinar una cota, en terminos de , para el error cometido si se usa el metodo de Euler para calcular . b) ¿Cómo deberia tomar si se desea que el error cometido sea menor que c) Calcular la solucion en usando el valor de obtenido en el item previo, y verificar las estimaciones previstas comparando con la solucion exacta. Repetir los items (a) y (b) del ejercicio anterior para el problema:
67. 68.
Probar que una ecuación de orden n se puede escribir como un sistema de n ecuaciones de primer orden. Mostrar que un problema de valores iniciales para la primera se transforma en un problema de valores iniciales para el sistema. La trayectoria de una particula que se mueve en el plano esta dada por la curva , donde las funciones , son la solucion del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
69. Resolver este sistema en el intervalo con el metodo de Euler utilizando paso y graficar la trayectoria de la particula, sabiendo que en tiempo se encontraaba en el punto . Realizar nueva,mente el grafico utilizando la solucion obtenida con el comando ode45. Verificar que la funcion error, erf, puede ser definida como la solucion de la ecuacion diferencial.
70. Utilizar un metodo de Runge-Kutta de orden 2 para hallar erf( con Comparar con los valores obtenidos directamente con el comando erf de MatLab. Analice el orden del siguiente método:
.
71.
Problemas propuestos
107
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Un vehiculo de masa M, suspendido por un amortiguador como el mostrado en la figura, se mueve a una velocidad constante. En el instante el vehiculo tiene su centro de gravedad por encima del suelo y tiene velocidad vertical nula. Conforme pasa el tiempo, el desplazamiento vertical de la carretera por encima de la posicion de referencia (para ) viene dado por la funcion . Suponga que el muelle es lineal con una constante de Hooke y que el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguamento que es una funcion no lineal de las velocidades relativas entre los dos extremos del amortiguador. . Es facil mostrar que el desplazamiento del centro de gravedad del vehiculo la siguiente ecuacion diferencial de segundo orden.
se rige por la solucion de
Con las condiciones iniciales
Considere que el contorno de la carretera tiene la forma , Donde 2 A es el máximo desplazamiento de la carretera respecto al nivel de referencia. Note que el problema lineal el sistema esta sub-amortiguado, críticamente amortiguado y sobre-amortiguado cuando
, Es más pequeño, igual o mayor de la unidad, respectivamente. 1. Desarrolle los siguientes métodos numéricos de paso fijo para la resolución de este problema.
a) El método estándar ode45 de MatLab (Runge-Kutta explícito de paso adaptativo de cuarto orden y con estimación de error mediante un método de quinto orden empotrado”. b) Runge-Kutta explícito de segundo orden (el visto en clase). c) Runge-Kutta explícito de cuarto orden (el visto en clase). d) Método de Adams explícito de segundo orden. e) Método de Adams implícito de segundo orden. f) Método predictor corrector basado en métodos de Adams de segundo orden.
Problemas propuestos
108
METODOS NUMERICOS
1.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Resuelva numéricamente el problema para ,
Para un tiempo t de 5 segundos utilizando los seis métodos previamente desarrollados y compare los resultados entre sí. 2. Considere el método de ODE45 con una tolerancia suficientemente pequeña como el más preciso y estudie en la práctica. Cuál de los métodos es el más preciso? Cuál es el de menor costo? Cuál es el más eficiente, es decir, el mejor en cuanto al compromiso precisión costo? 3. Investigue el comportamiento del sistema para , con , respectivamente. Considerar el siguiente problema:
Resolver la ecuación analíticamente y aproximar el valor para distintos valores de Considerar la ecuacion a) Deducir la formula de Milne:
72.
con un método de Runge-Kutta de orden 2
, Aproximando la integral
Con la formula de Simpson. Sugerencia: Tener encuenta un ejercicio 16 de la practica 7. b) Proceder en forma anagonal al item anterior y dar un metodo multipaso de la forma. . c) Analizar la convergencia ( estabilidad y consistencia) de los metodos de los items anteriores y calcular su orden.
73. Analizar la convergencia de los siguientes métodos y calcular su orden. Adams-Bashforth
74. Adams-Moulton
Considerar el método de 2 pasos.
75. 76.
Determinar a, , de modo que el método resultante tenga orden 4. Decidir si existe algún valor de para lo cual el siguiente método multipaso sea convergente. h.
77.
79.
Encuentre los coeficientes A y B de forma tal que el método multipaso sea exacto para el caso en que . i. Es convergente el método resultante para una función f cualquiera. j. Cuál es el orden del método?. Calcule el error de truncamiento local. Un proyectil de masa m=0.11 Kgr.se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial y va frenando debido a la fuerza de la gravedad y a la resistencia del aire donde y . a.
Demuestre que la ecuación diferencial para la velocidad v(t) del proyectil en cada instante t es
Problemas propuestos
109
METODOS NUMERICOS
b.
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Demuestre que el problema de valor inicial
Correspondiente a la situación descrita en el enunciado tiene solución única en el intervalo siendo el tiempo que tarda el proyectil en caer. c. Utilice el método de Runge Kutta de cuarto orden para estimar la velocidad del proyectil en cada uno de los instantes 0.1,0.2,…1.0 segundos, tomando tamaño de paso d. Estime el tiempo para el cual el proyectil alcanza la altura máxima y empieza a caer. e. Estime la altura máxima alcanzada por el proyectil. f. Compare los resultados usando del Matlab El movimiento en un sistema masa – resorte amortiguado se describe con la siguiente ecuación diferencial ordinaria.
80.
Donde x=desplazamiento de la posición de equilibrio (m), t=tiempo(s), m=10kg de masa, c=el coeficiente de amortiguamiento El coeficiente de amortiguamiento toma tres valores: (subamortiguamiento), (amortiguamiento crítico) y (sobre amortiguamiento). La constante del resorte, . Intervalo: Condiciones iniciales: La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es a. b. c.
Transformar el sistema de EDOS dadas en un sistema de primer orden de EDOS. Usando el método de resolver a) para el intervalo dado con valores diferentes de . Grafique en la misma curva, para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento, desplazamiento vs tiempo. d. Compare los resultados usando ODE45 del Matlab Los nodos de vibración y las frecuencias de una viga delgada con constante de resorte que varía linealmente, se rige por la siguiente ecuación diferencial: Los valores de
81.
están tabulados:
Hallar para a) Euler b) Taylor orden 2 c) Runge-Kutta de orden 2 d) Runge-Kutta de orden 4 e) Para cada caso escriba rutinas propias en MATLAB y haga gráficos comparativos con la solución exacta obtenida con matemática simbólica y también con la función ode45. Las siguientes ecuaciones diferenciales describen un fenómeno físico:
82. =1
Problemas propuestos
110
METODOS NUMERICOS
Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA
Aproxime y , y use: a) Euler b) Taylor orden 2 c) Runge-Kutta de orden 2 d) Runge-Kutta de orden 4 e) Para cada caso escriba rutinas propias en MATLAB y haga gráficos comparativos con la solución exacta obtenida con matemática simbólica y también con la función ode45. f) Realice gráficos comparativos del error para diferentes valores de paso y comente sus resultados. Modelar la suspensión de un automóvil. Intervalo: Condiciones iniciales:
83.
a. b. c.
d.
Transformar el sistema EDOS dadas en un sistema de primer orden de EDOS. Usando el método de resolver a) para el intervalo dado con valores diferentes de . Encuentre el valor de h que permitan soluciones hasta de para lo cual deberá construir un programa o función que grafique las soluciones para diferentes valores de h y que muestre los valores de hasta con de comparación. Compare los resultados usando ODE45 de MAtlab y demuestre los gráficos correspondientes de
Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
84.
a. Determine la solución analítica de dicho sistema. b) Establecer qué condición o condiciones han de cumplir los parámetros para que la solución decaiga exponencialmente a cero para tiempos muy altos. Asumir en los siguientes apartados que se verifican dichas condiciones. c) Utilizar el método de Euler explícito para aproximar la solución del sistema y obtener explícitamente las fórmulas que generan dicha aproximación. d) Estudiar analítica y numéricamente el sistema para los valores , Utilizar el método de Euler explícito para la resolución numérica y determinar si existen en este caso problemas de rigidez. ¿ Existe un h adecuado que sigue la solución analítica?. Si su respuesta es afirmativa cual es este valor. e) Estudiar la solución numérica al aplicar el método de Euler Modificado.¿ Existe un h adecuado que sigue la solución analítica? Si su respuesta es afirmativa cual es este valor
Problemas propuestos
111