CADENAS DE MARKOV maestría en relaciones internacionales •
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DEFINICIÓN. Es una herramienta para analizar el comportamiento de un proceso estocástico que varía su estado a lo largo del tiempo. Cada cambio es una transición, de la que se conoce la probabilidad. ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV Estados = situación en la que se encuentra el sistema en un momento dado, se considera un número finito de estados Etapa = intervalo temporal en el que se detecta el estado Probabilidad de pasar pasar de un estado a otro pij de una etapa etapa a la siguiente, el estado siguiente sólo depende del estado actual Matriz de transición transición T = matriz de probabilidad, las entradas entradas son los estados y la suma por renglón = 1
Ejemplo: •
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El clima cambia con rapidez de un día a otro, La probabilidad de que mañana no llueva es de 0.8 si hoy no llueve y es de 0.6 si hoy llueve. Su comportamiento es un proceso estocástico, se comporta como una cadena de Markov. Elementos: Estados: lluvioso, soleado Etapa: día Probabilidad de transición: 0.8, 0.6
Propiedades de una cadena de markov
Las observaciones se hacen en momentos específicos del tiempo: periodos. En cada periodo la descripción del comportamiento se hace a partir de un número finito de estados. Si el sistema pasa de un estado en un periodo a otro estado en el siguiente periodo se dice que sucedió una transición,
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La colección de probabilidades de pasar de un estado a otro se acomodan en una matriz de probabilidad llamada matriz de transición EJEMPLO Periodos: días Estados: Soleado y Lluvioso Matriz de transición:
Estados nodos, transiciones =Arcos Probabilidad de hoy a pasado mañana:
Ejemplo:
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Si una persona consume productos importados ¿Cuál es la probabilidad de que su tercera compra sea un producto nacional? 1. Una familia vive en una zona fronteriza con dos países. Cada año el 15% de las familias nacionales (1), se trasladan al país (2) y el 5% al país (3). El 6% de las familias de (2) se trasladan a (1) y el 4% a (3). El 4% de las familias de (3) se cambiaron a (1) y el 6% a (2). ¿Cuál es la probabilidad de que una de (1) continúe en la ciudad dentro de dos años? Y ¿Cuál es la probabilidad de que se cambie a (3)? Actualmente la población es : (60% (1), 25% (2), 15% (3)) en dos años más cómo estará clasificada?
Clasificación de estados
Alcanzables si hay una trayectoria que llegue a él. Comunicados si se puede ir de uno a otro Conjunto cerrado de estados, si ningún edo. de fuera puede alcanzarse desde adentro Absorventes si no es posible salir. Transitorios se puede salir de él pero no regresar Recurrentes a los que se puede regresar
Periodico con periodo k>1 si la longitud de la trayectoria de i a i es k o múltiplo de k. Cadena Ergódica: los estados son recurrentes, aperiódicos y comunicados, una cadena ergódica alcanza el estado estable.
0
1
0
0
0
1
1
0
0
Estado Estable •
La matriz de transición de una cadena ergódica siempre alcanza el estado estable, existe un vector que corresponde a la
distribución de probabilidad del estado estable y se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:
Ejercicios:
3.
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Se observa el destino de los viajes a dos países vecinos que se comporta como una cadena de Markov. La mitad de los viajes que inician en el primer país terminan en cada uno de los otros dos, si el viaje comienza en el (2), sólo el 25% de los viajes finaliza en (3) y cuando un viaje empieza en el tercero siempre termina en el (1) Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena b) Dibujar el grafo asociado c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo se encuentre en cada uno de los tres países.
4.
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Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que viajar a B al día siguiente es 0,4, y la de tener que ir a A es 0,2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de 60% al día siguiente viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1 e irá a B con una probabilidad de 0,3. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?
5.
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La cervecería más importante Guiness ha contratado a un analista para conocer su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor, Heineken. El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes indican que el 30% de los clientes de G cambia de marca, pero sólo el 20% consume H, de los clientes de H cambian de marca sólo el 25% y G atrae el 20% de ellos, de los consumidores de otras marcas sólo cambian el 10% dividiéndose por partes iguales entre G y H. Establece la matriz de transición y ¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos grandes cervecerías.?
8.- Una corporación, al considerar sus estrategias de mercado, observa que sus clientes son bastante leales: 85% compran de nuevo su producto. Sin embargo, solo 10% de los clientes de la competencia se aventuran a comprarle. El departamento de publicidad piensa que la lealtad de los clientes puede elevarse al 90% con una campaña especial. También podrían diseñarse anuncios para comparar a la compañía con sus competidores. Con esto se espera elevar el cambio de marca de 10% al 20%. Cualquiera de las campañas de publicidad cuesta $100 000 y redundaría en una contribución de $6 000 por cada punto ganado en el porcentaje del mercado. Antes de cualquier campaña publicitaria ¿Cuál es el porcentaje de mercado a favor de la empresa? ¿Cuál es la estrategia de publicidad que da el mayor aumento en el porcentaje de mercado? ¿Es provechosa la mejor campaña de publicidad?
9.- Se está considerando la posibilidad de comprar una fotocopiadora de
oficina, las alternativas son dos similares en todos los aspectos excepto en el control de claro-oscuro que opera en forma automática. En la máquina A existe una posibilidad del 95% de que el control permanezca ajustado todo el día, si está ajustado en la mañana, pero si no está ajustado, hay un 10% de posibilidades de que permanezca así. Para la máquina B, las cantidades equivalentes son 90% y el 5%, respectivamente. Si el costo es el mismo ¿Qué maquina debe comprarse?
10.- En la terminología forestal un rodal se define como un área de cosecha con características homogéneas, por ejemplo el año de plantación o el costo de cosecha. Un bosque está compuesto por muchos rodales. Un rodal puede clasificarse como de altura baja (B) si la mayoría de los árboles tiene una altura menor a 16 metros, de altura media (M) si la mayoría está entre los 16 y 21, y altura alta (A) si predominan los árboles con más de 21 metros. En un período de 5 años un rodal M evoluciona a uno con A con probabilidad 0,7, un rodal B puede permanecer así o con probabilidad 0,4 pasa M. Debido a las cosechas parciales un A puede volver a M, y uno M puede volver a B. La cosecha final o tala se traduce en el paso de un A directamente a uno B. Las transiciones M a M y B a A no ocurren. La primera vez que se planta un rodal es necesario esperar un lapso de tiempo, denominado “fuera de oferta”, debido a que ninguno de los árboles est á en condiciones de ser explotado. Al cabo de 5 años, la probabilidad que un rodal “fuera de oferta” se mantenga como tal es 0,6. De no ser así, pasa a clasificarse como B y evolucionaría de acuerdo a lo descrito en la parte anterior. Encuentra la matriz de transición ¿Existe estado estable? Calcula la probabilidad de que un rodal recién plantado alcance la altura A Calcula cuántos años en promedio un rodal recién plantado está “fuera de oferta”
11.- En la ciudad diariamente se liberan contaminantes a la atmósfera provenientes
principalmente del uso de vehículos y de plantas industriales. La autoridad correspondiente monitorea diariamente la calidad del aire, y según la concentración de contaminantes distinguen 3 estados de alerta ambiental: Normal (N), Pre-emergencia (P) y Emergencia (E). Si se supone que la contaminación sólo es causada por los vehículos, si en un día Normal circulan 3 millones de vehículos entonces la probabilidad de que el día siguiente sea también Normal vale .75 y la probabilidad que el día siguiente sea de PreEmergencia es .25. Si en un día de Pre-Emergencia circulan todos los vehículos entonces el día siguiente será Pre-emergencia con probabilidad 0.15 o Emergencia con probabilidad 0.85. Si en un día de Emergencia circulan todos los vehículos entonces el día siguiente puede repetirse el estado de emergencia con probabilidad .95, o bien pasar a estado de Pre-Emergencia, con probabilidad .05 . Si no se toman medidas de control ¿Cuántos días al año serán de Emergencia?
Tiempo de Primera Visita
Ejercicios:
Al principio de cada año la condición de mi auto es buena, regular o mala, con probabilidades .85, .10 y .05 respectivamente. Si ahora es regular, será regular al comienzo del año siguiente con probabilidad .7 o mala con .3. Un auto en mal estado debe ser reemplazado de inmediato por un auto bueno. El costo de un auto nuevo es de $180,000,°°, un auto regular tiene valor comercial de $60,000.°°, el costo anual de mantenimiento de un auto bueno es de $12,000.°° y el de un auto regular es de $18,000.°°¿Me conviene cambiar mi auto
cuando se convierta en regular o mantenerlo hasta que se descomponga?
Cadenas Absorbentes
Muchas aplicaciones interesantes involucran cadenas con estados absorventes y transitorios, que se manejan de manera diferente a las ergódicas.
EJEMPLO: Una empresa supone que una cuenta es incobrable si
tiene más de tres meses de atraso. Al comienzo de cada mes cada cuenta se puede clasificar como: nueva, con un mes de atraso, con dos meses de atraso, con tres meses de atraso, pagada o incobrable. Los datos aseguran que una cuenta nueva se atrasa un mes con probabilidad 0.6, una atrasada un mes es pagada el 50% de los casos, una retrasada dos meses no liquida su adeudo en el 40% de los casos, una con tres meses de atraso es pagada con probabilidad de 0.70. ¿Cuál es la probabilidad de que se cobre una cuenta nueva? ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta con un mes de atraso se vuelva incobrable? Si en promedio las ventas de la empresa son de $100,000.°° mensuales, ¿Cuánto dinero por año se queda sin que sea cobrado?
Ejercicios
Un bufete jurídico emplea tres tipos de abogados: pasantes, titulados y socios. Durante un año determinado hay la probabilidad de 0.15 de que un pasante se titule y .05 de que se salga de la empresa. Hay una probabilidad de 0.2 de que un titulado sea promovido a socio y con 0.1 de probabilidad se sale de la empresa, en cambio un asociado se sale con probabilidad 0.05
¿Cuál es la probabilidad de que un pasante se salga de la empresa antes de ser promovido a asociado? ¿En promedio cuánto tiempo permanece en la empresa un pasante?
2. La oficina de admisiones de la universidad clasifica a los estudiantes en estudiantes de T.I., T.D, tronco de carrera y área de concentración. La probabilidad de que un estudiante de T.I. pase a T.D. es de 0.8 y la probabilidad de que deserte es de .1, la probabilidad de que un estudiante de T.D. pase a tronco de carrera es de 0,8 y de que deserte es de .05. Un estudiante del área de concentración se gradúa con probabilidad de 0.85 y deserta con probabilidad de .05. El estudiante de tronco de carrera pasa al área de concentración el 92% de las veces y deserta con probabilidad .03. •
¿Cuántos años pasa como estudiante uno de nuevo ingreso?
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¿Cuál es la probabilidad de que se gradúe un estudiante de T.I.?
3. La Jornada obtuvo la siguiente información a cerca de sus suscriptores: De los nuevos cancelan el 20%, de los que tienen un año recibiendo el periódico, cancelan el 10%, de los que han completado dos años o más, cancelan el 4%. En promedio ¿Cuánto tiempo mantiene su suscripción vigente un lector?
4. En un bosque hay dos tipos de árboles: los que miden 1.5 metros o menos y los más altos. Cada año mueren 40% de los pinos pequeños y el 10% de ellos se venden a $200.°° y el 20% pasan a formar parte de los pinos altos. Cada año el 50% de los pinos altos se venden a $500.°° y el 20% se venden a $300.°°. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un pino pequeño muera antes de venderse? b) Si se planta un árbol ¿Cuál es el ingreso esperado correspondiente?
Una empresa distribuidora de refrigeradores G.E. otorga una garantía por tres años y tiene la siguiente información: el 3% de refrigeradores nuevos falla en el primer año, el 5% de refrigeradores con un año de funcionamiento fallan durante el segundo año y el 7% de los refrigeradores que han funcionado durante dos años falla durante el tercero. ¿Qué fracción de refrigeradores deberá cambiarse? Si cuesta $5000.°° cambiar un refrigerador y se venden 10,000 refrigeradores anualmente, ¿Cuánto se ahorraría al reducir la garantía a dos años?
Modelos de planeación personal
Ejemplo:
En el bufete de abogados, si a largo plazo se desea tener 50 pasantes, 30 abogados y 10 socios, ¿Cuántos abogados de cada tipo se deben contratar cada año?
1. En el problema de la universidad, si se admiten 700 alumnos a TI, 50 a T.D., Tronco de carrera y a Área de concentración, respectivamente, a largo plazo cuántos alumnos habrá en cada nivel?
En la ciudad de México se producen 1000 toneladas de contaminación al día, en Toluca 100 toneladas y en Puebla 50. Cada día la tercera parte de la contaminación del D.F. es llevada por el viento a Puebla y 1/3 se disipa. También 1/3 de la contaminación de Toluca es llevada al D.F. y 1/3 llega hasta Puebla, el resto permanece. Por último 1/3 de la contaminación de Puebla permanece y el resto pasa a Toluca. En un día normal ¿Qué ciudad es la más contaminada?
4. En la universidad los profesores se clasifican en de tiempo completo y de tiempo parcial. Cada año el 10% de los de TP pasan a ser de TC y el 10% se salen de la universidad. El 95% de los de TC permanecen y el 5% se salen. Se desea mantener un profesorado compuesto por 1025 profesores de los cuales sólo el 10% sean de tiempo parcial, ¿Cuál es la política de contratación para alcanzar esta meta?
