Problemas Aplicativos de Volúmenes

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES d) 3 problemas reales sobre Presió ! "#er$a de # %#ido& Pa'(3* E+er,i,io -( Encuentre el trabajo realizado para subir una masa de 10000kg desde la superfcie terrestre hasta una altura de 500km. Solución: Datos !" m!10000kg d 0=0 km d f =500 km

1lb!0.#5#$g %alculamos la &uerza' necesaria para reemplazarla en la &órmula de la (ntegral. F =m . g 2

F =10000 kg .9.8 m / s F =98000 N

E)*+)%ES: b

∫

W = Fx .dx a

500

W =

∫ 98000 ( x ) . dx 0

W =

[

98000 x

2

2

500

]

0

10

3

W = 1.25 x 10 u Joule

Pa'(3. E+er,i,io .( ,na tina horizontal con sección trans-ersal semicircular contiene aceite cua densidad es

80

lb pie

2

./as dimensiones del tanue en

pies2' como se muestra en la fgura. Si la pro&undidad del aceite es

Torres Calderó Br!a

P/'ia .

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES de 3 pies' encuentre el trabajo realizado para bombear todo el aceite hasta la parte superior del tanue.

Solución: Datos !" Densidad!

80

lb pie

2

1lb!0.#5#$g D =

m V

P=m . g

•

*eniendo la densidad del 4uido' calculamos su masa: 2

¿ π (¿¿ 2 ( 25 )) m ¿ lb m =¿ 80 5

pie

3

2

25000 πlb

=m

%on-ertido en $ilogramos: •

11350 π Kg

=m

+btenida la masa' calculamos el peso' necesario para reemplazar en la &órmula:

P=m . g

P=11350 π Kg x 9.8 m / s

2

P=111230 π N

•

+btenido el eso' calculamos el trabajo:


P/'ia 0

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES b

∫

W = P . Ax . dx a

2

¿ ¿ π (¿ 2 ¿) x dx 111230 π ¿ 5

5

∫

W = ¿ 3

W =

[

2

1390375 π x

2

2

5

]

3

2

3

W = 11123000 π u Joule

Pa'(3. E+er,i,io 01( 6uestre ue cuando un cuerpo de peso mg se ele-a -erticalmente desde un punto

y 1

' hasta un punto

y 2

'

y 2 > y 1

' el trabajo

realizado es el cambio en energ7a potencial. W = mg y 2− mg y 1

Solución: ara subir el cuerpo a -elocidad constante' ha ue realizar una &uerza estrictamente igual al peso. De esta &orma el trabajo DE /8 9,E;8 ES+ se calcula como: •

y2

∫

W = F . dr y1

y2

∫ ( mg ) j. dyj

W =

y1

y2

∫ mg.dy

W =

y1


P/'ia 3

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES

y2

∫ mg.dy

W =

y1

y 2

W = mg

∫ dy y 1

W = mg [ Y ] y

y 2 1

W = mg ( y 2− y 1) W = mg y 2− mg y 1

e) 3 problemas reales sobre Traba+o& Pa'(32 E+er,i,io ( Suponga ue el eje <= es hacia abajo  ue una placa acotada por la par>bola x = y

2

 la recta
-erticalmente espec7fco es

en 50

aceite

cuo

peso

lb pie

2

. Si el -?rtice de la

par>bola est> en la superfcie' encuentre la &uerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa.

Solución: 8plicamos el principio de ascal: •

P= P0 + P P0= Presió A!mosf"ri#a P0=0

Sabemos ue: F = P. A


P/'ia 1

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES eemplazamos con presión: F = $g%. A

/a &uerza es di&erente en -arios puntos entonces tomamos un di&erencial d82  ser>

2 y dx

' porue son @ partes iguales ue

corresponden a una sola cara. dA =2 y dx

eemplazamos en: F = $g%. A

(ntroducimos di&erencial: d F = $g%. dA % = x

d F = $g% .2 y dx x = y

2

√ x = y

(ntroducimos la integral: 4

∫

F !o!al = $gx .2 √ x dx 0

4

3

∫

F !o!al = 2 $g x 2 dx 0

F !o!al =2 $g

[ ] 2 5

5

4

x 2

0

4

F !o!al = $g ( 32) 5

%omo sabemos: & = $g ' & = 50

Entonces:


P/'ia 2

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES F !o!al =

4 5

(50 ) ( 32 )=1280 (ibras

Pa'(32 E+er,i,io 4( Suponga ue el eje <= es hacia abajo  ue una placa acotada por la par>bola

x = y

2

 la

recta y =− x + 2 ' se sumerge -erticalmente en agua. Si el -?rtice de la par>bola est> en la superfcie' encuentre la &uerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa. Solución: Aallando los puntos de intercepción:

•

x = x 2

y + y =2− y

( y −1 ) ( y + 2 )=0 y =1 B

y =−2

eemplazando los -alores:

•

y =−2

y =1

x =1

x =4

ecordando: C>rea entre dos cur-as

•

b

∫

A = ( f ( x )− g ( x )) dx a

•

8l igual ue el ejercicio anterior: dF =¿ pghd8 12

Dibujo dA =[ √ x −( 2− x )] dx


P/'ia 

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES dA =( √ x + x −2 ) dx @2 •

eemplazando en @2  12: √ x

dF = pg% ¿ =FG@2dF

•

•

%omo hemos puesto todo en &unción de C<' los inter-alos de integración ser>n de 0 a #H si todo estu-ieran en &unción de CB' los inter-alos &ueran de G@ a @.

()*EI86+S 4

3

∫ dF =∫ pg ( x

2

+ x −2 x ) dx

2

0

2

5

F = pg ( x + 2

5

F =ɣ (

2 5

x

3

3

2

− x )

4 0

(32 ) + 64 − 16 ) 3

F =ɣ 18.13

•

6ultiplicamos el peso espec7fco del aguaJ2 .

F =(1000 ) 18.13

F =18130 N

Pa'( 3


P/'ia 

PROBLEMAS APLICATIVOS DE VOLÚMENES E+er,i,io .1( ,n tanue cuos eFtremos tienen &orma el7ptica

x

2

4

+

x

2

9

=1 ' se sumerge en un & ' de

l7uido cuo peso espec7fco es

modo ue las placas eFtremas son -erticales. Encuentre la &uerza ue el l7uido ejerce sobre un eFtremo' si su centro est> a 10pies por debajo de la superfcie del l7uido. Solución: •

Se ha trasladado la elipse hasta x =10 ' teniendo en cuenta el %g ' entonces: 2

( x −10 ) x + =1 2

4

y

y

2

2

9

2

9

=1 −

=9

(

( x −10 ) 4

(

4 − x −10 4

)

2

)

2

x −10 ¿ 4

−¿ 3

y = √ ¿ 2

•

ecordamos ue: dF =¿ pgh d8

% = x •

Entonces:

dA =2 y dx

•

/uego reemplazamos e introducimos di&erencial:


P/'ia 4


dF =¿ pg@dF 2

x −10 ¿

¿ 4 −¿

3

dF =2 pg x √ ¿ 2

x −10 ¿

2

¿ 4 −¿ dF = 3 & x √ ¿ •

(ntroducimos integración: 2

x −10 ¿ 4

¿ −¿

3& x

√ ¿ 12

∫ dF =∫ ¿ 8

2

x −10 ¿

¿ −¿ x √ ¿ 4

12

∫

F =3 & ¿ 8

2

x −10 ¿

¿ −¿ x √ ¿ 4

12

∫

F =3 & ¿ 8

•

Desarrollando la integral por partes  por &órmula trigonom?trica ueda:


P/'ia -


5

[

1 3

x x

−

2

√ − x + 20 x − 96 (¿¿ 2− 5 x −54 )−20 Ar#se ¿8

12

¿

F =3 & ¿ F =3 & ( 1800−−1800 )

F =3 & ( 3600 ) F =10800 &


P/'ia .*

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