DIPLOMATURA DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA ASIGNATURA: ASIGNATURA: MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS FINITAS RELACIÓN DE PROBLEMAS CURSO 2005
1.- Consideremos una población con 5 elementos, U = { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } y el siguiente procedimiento de extracción de muestra de tamaño n=3. Se extraen al azar y sin reposición dos unidades de las tres primeras a continuación se extrae una tercera unidad eligiendo entre la cuarta y la !uinta unidad de la población. a" #eterminar el diseño muestral. b" $roponer un estimador del par%metro poblacional & suma de los sub'ndices de los elementos de la población( , comprobar si es insesgado, calcular su )arianza y su error cuadr%tico medio. ∧
Solución: X =
N n
n
∑ X
i
; Sesgo=-0,83; Varianza=2,54; ECM= 3,25
i =1
*.- Sea π i la probabilidad de seleccionar una unidad de la población en la primera extracción. Supongamos !ue en el resto de extracciones +asta completar las n unidades de la muestra se aplica muestreo aleatorio simple sin reposición. $robar !ue la probabilidad de cada muestra es proporcional a la suma de las probabilidades de !ue las unidades sean seleccionadas en la primera extracción. 3.- Consideremos el siguiente procedimiento de muestreo sobre una población con tres unidades U = { u1 , u2 , v} en una primera extracción se asignan probabilidades iguales a las tres unidades si se extrae una unidad u no se repone y se realiza una segunda extracción con probabilidades iguales para las otras dos si la unidad extra'da en la primera ocasión es v se se repone repone asign%ndole doble probabilidad probabilidad en la segunda extracción. a" #eterminar el espacio muestral b" Se dene la )ariable aleatoria !ue toma el )alor 1 sobre las unidades u y / sobre v . . $ara estimar el n0mero de unidades de tipo u se dispone del estimador ∧
2
T = K ∑ X i . Calcular el sesgo, el )alor de para !ue sea insesgado y la )arianza. i =1
Solución: =!2"!4; Varianza=3,#
2.- #ada la población U = { u1 , u2 , u3 } con probabilidades de ser seleccionadas en cada extracción respecti)amente 14, *4 y 34. Se pide, suponiendo !ue tenemos muestreo sin reposición y n=* a" #eterminar el espacio muestral. b" Calcular las probabilidades de cada unidad de pertenecer a la muestra. Solución: $a %ri&era, 0,44; la segun'a, 0,(5 ) la *ercera, 0,84
5.- #ada la población U = { u1 , u2 , u3 } y la )ariable aleatoria !ue toma los )alores 1, *,3 respecti)amente, se selecciona mediante un 6S73,*" . Se da la norma de !ue cuando no se pueda conseguir in8ormación de la primera unidad se sustituya por la siguiente no seleccionada. a" #eterminar el espacio muestral suponiendo !ue
u
1
no contesta.
b" Calcular el sesgo !ue esta situación causa en el estimador del total. Solución: Sesgo=!,5
4.- #e una población se +a extra'do una muestra 6S71//, 9" con los siguientes )alores de una )ariable aleatoria sobre los elementos de la muestra *5,3*,*9,35,*4,32,3/,*9. a" Calcular una estimación del total y de su error de muestreo. Solución: Es*i&ación=2+#(5, error 'e &ues*reo=!23,8
b" #eterminar el tamaño de muestra necesario para !ue el error de muestreo sea 5/. Solución: 35
:.- #eterminar el tamaño de muestra en 8unción de ; y de $, para estimar el promedio de indi)iduos de una población con un error de muestreo del /,/5. 6plicarlo al caso $=/,*4 y ;=*///.7 Suponer !ue ;-1 ≈ ; y muestreo sin reposición". Solución: (5
9.- #eterminar el tamaño de muestra necesario para estimar el total con un error relati)o del 5< para muestreos con y sin reposición, sabiendo !ue ;=5// y c7"=/,4/. Solución: Con re%osición !44, sin re%osición !!2+
.- Se sabe !ue la )arianza de una )ariable aleatoria X → B(1, P ) es $71-$". Si es un estimador insesgado de $, probar !ue
∧
∧
P
∧
P 71- P " es un estimador sesgado de
dic+a )arianza.
1/.- #eterminar el tamaño de muestra necesario para estimar el total con un error m%ximo admisible del 1< para un coeciente de conanza del 5<, sabiendo !ue ;=19//,
S
2
−
= 16; X = 42 .
Solución: !#
11.- >n un %rea geogr%ca existen ;=1//// )i)iendas. ?os datos de un censo anterior nos dice !ue *3 de ellas corresponden a r@gimen de al!uiler. #eterminar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción con un error de muestreo igual a /,/2 para muestreo con y sin reemplazamiento.
Solución: Con ree&%laza&ien*o !3(, sin ree&%laza&ien*o !35+
1*.- >n un municipio existen 5*// )i)iendas. Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar el n0mero de )i)iendas desocupadas con un error de muestreo igual a 1/, sabiendo !ue una encuesta piloto +a obtenido !ue la proporción de )i)iendas desocupadas era de /,1*. ACual ser'a el tamaño de muestra si el error de muestreo 8uese igual a 3/B a" Si se supone muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento. b" Si se supone muestreo aleatorio simple con reemplazamiento. ∧
∧
2 Solución: a V ( A) = N
1 − f n −1
p (1 − p ) ; n=4400 %ara error 'e &ues*reo !0 )
n=!#(2 %ara n=30+ ∧
∧
V ( A)
=
N 2
1 n −1
p(1 − p ) ; n=28+55. %ara error 'e &ues*reo !0 ) n=3!(4 %ara
n=30+
13.- >n una zona con 1/// )i)iendas, determinar el tamaño de muestra necesario para !ue, con un ni)el de conanza del 5<, la estimación de la proporción de )i)iendas sin agua corriente no diera en m%s de /,1/ del )alor )erdadero, suponiendo muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento. Solución: #!
12.- sualmente, se inspeccionan grandes mam'8eros en un espacio abierto desde aeroplanos. Cuando el aeroplano )uela sobre una 8ranDa de terreno, se cuentan todos los animales de las especies dentro de una distancia predeterminada del aeroplano. #ebido a irregularidades en la 8orma del %rea de estudio, las 8ranDas de terreno sobre las !ue se )uela pueden tener distintas longitudes. $odr'an seleccionarse 8ranDas de terreno 7unidades" con probabilidades proporcionales a sus longitudes. $ara ello pueden seleccionarse aleatoriamente n puntos sobre un mapa del %rea baDo estudio, e incluir en la muestra cual!uier 8ranDa de terreno !ue contenga uno de los puntos seleccionados. ediante este procedimiento, la probabilidad de selección de una 8ranDa es proporcional a su longitud. na 8ranDa es seleccionada m%s de una )ez si contiene m%s de un punto. Supongamos !ue el terreno baDo estudio tiene un %rea de 1// Em *, y !ue es di)idida en 8ranDas con una anc+ura de 1 Em y de longitud )ariable. Siguiendo el procedimiento anterior, una muestra de n =2 8ranDas +a sido seleccionada. na de ellas, con yi = 4/ animales, 8ue seleccionada dos )eces sus longitud era de 5 Em, y por tanto su probabilidad de inclusión es p i = /,/5. ?as obser)aciones se recogen en la siguiente tabla, incluyendo las repeticiones,
y i
longitud
pi
60 60 14
5 5 2
0,05 0,05
0,02
1
0,01
1
Calcular un estimador del total y del error de muestreo cometido.
15.- Se utilizaron dos procedimientos para in)estigar el estado de *// cuestionarios. a"- Se seleccionó una muestra aleatoria simple con reemplazamiento de */ cuestionarios y se contó en cada uno de ellos el n0mero de errores !ue conten'a, obteneni@ndose los siguientes resultados ;0mero de errores / 1 * 3 2 5 4 : 9 1/ ;0mero de cuestionarios 9 2 * * 1 1 / / / 1 1 b"- Se examinaron los *// cuestionarios localizando 0nicamente a!uellos !ue no ten'an ning0n error, encontrando 4/ cuestionarios sin error. >stimar el n0mero total de errores y el error de muestreo utilizando cada uno de los dos m@todos 7 en el b" considerar dos estratos, uno con los cuestionarios sin error y otro con los cuestionarios con alg0n error". Solución: a 420 errores; !3!,3 el error 'e &ues*reo+ 4#0 errores; !24,# error 'e &ue s*reo+
14.- na población se di)ide en dos estratos de igual tamaño, de los !ue se obtienen muestras aleatorias simples sin reemplazamiento. Se realiza una aDación proporcional con una 8racción de muestreo global del 5<. AFu@ tamaño de muestra es necesario para obtener un error de muestreo para la media igual a /,5B Se conoce por una encuesta anterior !ue S 12 = 25 y S 22 = 15 . Solución: n=(.+
1:.- #eterminar el tamaño de muestra n !ue con aDación óptima sin costes proporciona la misma precisión !ue una muestra aleatoria simple de tamaño n/ , para estimar la proporción de una cierta caracter'stica. Suponer en ambos casos muestreo con reposición y aplicar el resultado a los siguientes datos con n/ =1///
W j P j
I
>stratos 11 111
/,*
/,3
/,5
/,5
/,4
/,2
Solución: n=#(0
19.- na muestra aleatoria simple sin reposición de 35 unidades, procedente de una población con tres estratos, uno de los cuales est% 8ormado por N 3 = 4 unidades !ue entran con certeza en la muestra, presenta los siguientes datos
18
>strato 1 ∑ X i1 = 119
18
∑ X i1 = 837 2
i =1
i =1
13
13
>strato * ∑ X i 2 = 278
∑ X i 2 2
i =1
i =1
4
4
>strato 3 ∑ X i 3 = 336 i =1
n1 = 18 y N 1 = 400
= 7978
∑ X i 3 = 28866 2
n 2 = 13 y N 2 = 200 n3 = 4 y N 3
=
4
i =1
Se pide estimar la media de la población y su error de muestreo. Solución: n=5(#
1.- #eterminar el tamaño de muestra !ue en un muestreo aleatorio estraticado con aDación proporcional aporta la misma precisión !ue un muestreo aleatorio simple 7con reemplazamiento en ambos casos", para estimar la proporción $ de una cierta caracter'stica. Se sabe !ue W 1 = 0,5 , W 2 = 0,3 , W 3 = 0,2 , P 1 = 0,5 , P 2 = 0,6 , P 3 = 0,4 y tamaño de la muestra aleatoria simple de 4//. ∧
Solución: R
=
0,4436 ;
∧
∧
V ( R)
=
0,0236
*/.- >n una población con ;=2/ unidades se obtiene una muestra aleatoria simple sin reemplazamiento de 2 unidades, !ue proporciona los siguientes )alores
X i GGGGGGG 1*5 135 :/ 159
Y i GGGGGG *5/ 3// *// 35/ −
>stimar el cociente H y su error de muestreo sabiendo !ue Y = 275 . *1.- na muestra aleatoria simple de tamaño n=2 obtenida con reemplazamiento proporciona los siguientes )alores
X i GGGGGGG 1 * 3 2
Y i GGGGGG 1 3 2 5
>stimar el sesgo del estimador de la razón y su relación con el error de muestreo −
sabiendo !ue Y = 3,25 . **.- >n una localidad con 5// )i)iendas se desea +acer un estudio sobre el +%bito de 8umar entre las personas mayores de 14 años. $ara ello se estratica la población en dos estratos, en el estrato 1 se clasican *// )i)iendas y en el estrato * las restantes 3//. #e cada uno de los estratos se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 )i)iendas con los siguientes resultados
>strato 1 Ii)iendas en la muestra
1
*
3
2
5
$ersonas mayores de 14 años Jumadores mayores de 14 años
2 1
3 1
* /
1 1
* 1
Ii)iendas en la muestra
1
*
3
2
5
$ersonas mayores de 14 años Jumadores mayores de 14 años
5 3
4 3
2 1
2 *
3 *
>strato *
>stimar la proporción total de 8umadores entre las personas mayores de 14 años y calcular el error de muestreo. *3.- >n una población con ;=9 unidades se dispone de los siguientes datos >strato 1 >strato * H H * / 1/ : 5 3 19 15 : *1 1/ 15 1/ *5 14 $ara una muestra estraticada con n1 = n2 = 2 , comparar los errores muestrales de los estimadores del total de separados y combinados para todas las muestra posibles 7sin reposición". *2.- na población se +a estraticado en dos estratos con ?os pares de )alores para cada unidad son los siguientes >strato 1 H * 1 2 * 5 3
N 1
=
N 2
= 3 unidades.
>strato * H 5 2 : 5 1* 4
a" Calcular para cada estrato los coecientes de regresión b j . b" Calcular las )arianzas m'nimas de los estimadores de regresión separado y combinado de la media poblacional para n1 = n2 = 2 y muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento en cada estrato.
*5.- >n una población se +an establecido conglomerados, de los !ue se seleccionan m seg0n el siguiente procedimiento de selección - ?a primera selección se +ace con probabilidades desiguales P i , i=1,..., - >l resto de los m-1 conglomerados de la muestra se realiza con probabilidades iguales.
- Kodo se realiza sin reposición. a" Calcular la probabilidad de pertenecer a la muestra !ue tiene cada conglomerado y comprobar !ue la suma de dic+as probabilidades es igual a m b" Calcular una estimación insesgada del total poblacional con =5/, m=2 y sabiendo !ue en los conglomerados de la muestra P =/,/*4, P 2 =/,/1:, P 3 1 =/,/** y P 4 =/,/13 X 1 = 100, X 2 = 80, X 3 = 120 y X 4 = 60 . Solución: 4+48(
*4- >n una población de 2// unidades se 8orman 1// conglomerados y se extrae una muestra de 1/. >l n0mero total de unidades 0ltimas seleccionadas en cada uno de estos 1/ conglomerados y el de las unidades !ue poseen cierta caracter'stica es 72,*" ,2 unidades en total en el primer conglomerado de la muestra y * de ellas tienen la caracter'stica, 7*,1", 74,2", 71,1" , 75,*" , 73,1" , 73,*" , 79,5" , 71,/" y 72,3". a" >stimar la proporción de indi)iduos !ue poseen la caracter'stica y su error de muestreo. b" >stimar el coeciente de +omogeneidad. *:.- >n una población con 1// conglomerados de 2/ unidades cada uno se obtiene una muestra de 4 conglomerados. #entro de cada uno de estos 0ltimos se extrae una muestra de un 1/< de unidades, !ue proporciona los siguientes )alores de una )ariable aleatoria $rimer conglomerado 2,3,*,3 Segundo conglomerado 3,2,5,2 Kercer conglomerado *,3,3,2 Cuarto conglomerado 5,2,5,5 Fuinto conglomerado 4,3,*,1 Sexto conglomerado *,2,3,3 Calcular el estimador de la media y su error de muestreo suponiendo muestreo sin reposición en ambas etapas. *9.- >n una población de 3/// unidades con 3/ conglomerados de igual tamaño se extrae con reposición una muestra de 5 conglomerados. >n cada uno de estos conglomerados se obtienen unos totales de */,*5,3/,35 y 2/. Se supone muestreo con reposición. Calcular el estimador del total y su error de muestreo.
TRABAJO OPTATIVO SOBRE LA ASIGNATURA >l obDeti)o del trabaDo es comprobar en la pr%ctica cómo 8uncionan los di8erentes procedimientos de muestreo estudiados durante el cuatrimestre, analizando la meDora en la precisión de los estimadores !ue se obtienen con los di8erentes es!uemas. $ara ello cada grupo de alumnos deber% proponer un estudio 7determinando población, )ariables obDeto de estudio y auxiliares" a los !ue deber% aplicar muestreo aleatorio simple, muestreo con probabilidades desiguales y muestreo estraticado, incluyendo el uso de estimadores de razón y regresión. >studiar%n y analizar%n las di8erentes ganancias de precisión en relación al muestreo aleatorio simple y su Dusticación.
