PROBLEMARIO MEC FLU II (1)

Dedicado a mis nietas Isabel y Verónica

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES

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AGRADECIMIENTO Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al profesor Julián Aguirre Pe, quien con dedicación y detenimiento leyó los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el fin de obtener una mejor claridad en la explicación de los problemas. A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colaboró ampliamente en la realización de los gráficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el tiempo previsto. Agradezco también a Mildred Pérez, por su dedicación y colaboración prestada de una u otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.

Lionel

3



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INDICE

Capítulo 1

Pág.

Flujo de fluidos reales.

5

Capítulo 2 Flujo permanente en conductos cerrados.

39

Capítulo 3 Principio de energía y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales.

85

Capítulo 4 Flujo uniforme en canales abiertos.

117

Capítulo 5 Flujo gradualmente variado.

155

Capítulo 6 Flujo de un fluido ideal.

205

4



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Capítulo 1 FLUJO DE FLUIDOS REALES

Problema F.II-1.01 El aire a 20º C (ν = 1.6 x 10-5 m2/s) con una presión absoluta de 1.00 kg/cm2 fluye a lo largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. ¿Qué longitud debe tener la placa para obtener un espesor de la capa límite de 7.40 mm?

Determinación de la longitud de la placa x. Considerando como hipótesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105), tendremos entonces:  0.37  x R X1 / 5

  U x  0.37    



1/ 5

   

 0.37  x  U x 1 / 5      5/ 4



    x   0.37 

 U   0.37   

5/ 4

U   

1/ 5

1/ 4



x x1/ 5

 x

4/5

 0.0074   x   0.37 

 U    0.37   

5/ 4

 108 x 1000     3600   1.6 x 10 5     

x = 0.2783 m Determinación del número de Reynolds de la placa.

RX 

Ux 

 108 x 1000   0.2783  3600    RX   R X  5.22 x 10 5 5 1.6 x 10

como RX = 5.22 x 105 > 5 x 105, entonces el flujo es turbulento y la hipótesis es cierta.

5

1/ 5

1/ 4



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-1.02 2

u  y  y Utilizando un perfil de velocidades dado por  3    2  , determinar: U   La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar. a) b) La tensión de cortadura. La relación entre el espesor desplazado 1 y  . c)

Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:  0  U  x 2

Si

y



y   d y  d η

η 





u 

u

 U 1  U  d y 0

no depende de y 

Los nuevos límites de integración son: para

y0  

y 

 

0  0 

para

y  

y 

 

   1 

entonces el esfuerzo cortante es: 0  U 2 

como

y   

0  U 2 

 x

 x

1

u 

u

 U 1  U  d η 0

u  3   2  2 . Al sustituirlo en la expresión anterior se tiene: U

1

 3   2   1  3   2   d η   2

2

0

 U2 

0

 x

1

 3   11 0

1

0  U 2 

   3 2 11 3 12 4 4 5           x  2 3 4 5 0

0 

U2    30  x 6

2



 12 3  4  4 d 



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene: u  y  y  3    2  U    

0  

du d y  y 0

2

2   y  y   u   3    2   U , entonces        

  y   y  2    d  3    2   U              3 4 y   0      0     2  dy     y 0    y 0 0  3

U 

igualando las expresiones del esfuerzo cortante  0 se tiene: U2    U  3 30  x 

  d 

90  90 dx   d   dx U  U

integrando se tiene:  2 90  x  2 U

 

180  x U

   13.42

x U

Determinación del esfuerzo cortante.

Si se sustituye  en la expresión del esfuerzo cortante  0 se tiene: 0  3

U  180  x      U  

  0  0.224

  U3 x

Determinación de la relación entre el espesor desplazado 1 y  .

El espesor desplazado 1 es la distancia que habría que desplazar la pared hacia dentro del fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendría si no existiera el efecto de frenado de las partículas próximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:

7



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El espesor desplazado 1 está expresado analíticamente por 





u U u   U  1   U  u  d y   1      d y   1    1   d y U U U 0 0 0

Para la distribución de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar u por 3  2  2 y hacer el cambio de variable y =  , los nuevos índices de integración, U los cuales resultan: para y = 0,  = 0, para y = ,  = 1 1





1   1  3   2  2  d  0

Al integrar 1

3 2    1      2   3  2 3 0  1 

 3 2  1   1     2 3  6

Problema F.II-1.03 Desarrollar: Una expresión para la velocidad media V. a) La ecuación de crecimiento de la capa límite turbulenta en tuberías circulares b)

u  y de radio r0, a partir de   U 

1/ 9

y f 

8

0.185 RX

1/ 5



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la velocidad media V.

u  y   U 

1/ 9

R

y  uU  

1/ 9

R

 u

U 1/ 9 y 1 / 9

R

 U  Q   u dA  Q   u 2  r d r   Q    1 / 9 y1 / 9  2  r d r  0 0 0

La relación que existe entre el radio de la tubería R, el radio variable r, y la distancia desde la pared y, es: R  y  r  r  R  y  d r  d y

los nuevos límites de integración son: para r = 0

 rRy  0Ry  yR

para r = R

 rRy  R Ry  y0

Al sustituir en la expresión del caudal se obtiene: 0

0

U2 U2 Q  1 / 9  y1 / 9 R  y  d y   Q   1 / 9  y1 / 9 R  y10 / 9 d y   R R 0

Q

U 2   9 10 / 9 9  y R  y19 / 9  1/ 9  19  10 R Q

U 2  R 19 / 9 1 / 9

 Q





U 2    9 19 / 9 9 19 / 9   R 0 R  19 1 / 9   10 

U  R 19 / 9 9 9     Q  0.853 1 / 9  10 19 

Por otra parte: Q  V A  Q  V  R2 al igualar las expresiones del caudal se tiene: U  R 19 / 9 U R 19 / 9   V  R  0.853 V 0 . 853 1 / 9 R 2 1 / 9 Determinación del espesor de la capa límite. 2

R  V  0.853 U   

El esfuerzo cortante en placas es: 0  U 2 

 x



u 

u

 U 1  U  d y 0

9

1/ 9



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si

y  η  y    d y  d η 

 no depende de y 

los nuevos límites de integración son: para

y0  

y 

 

0  0 

para

y  

y 

 

   1 


Como

y   

 x

1

u 

u

 U 1  U  d η 0

u  1 / 9 , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene: U 1

  1 / 9 1  1 / 9 d η   0  U 2  0  U   x x 0 2





1

 

1/ 9

0

1

   9 10 / 9 9 11 / 9      0  U   x 10 11 0 2

 0  U 2 

 0  0.0818 U 2 



 2 / 9 d 

  9 9      x  10 11 

 x

En tuberías el esfuerzo cortante es:

0 f V  8

 0 

 V2 f 8

como en el presente caso, f 

0.185 Rx

 f 

1/ 5

0.185 1 / 5 U1 / 5 x 1 / 5

y

R V  0.853 U   

1/ 9

entonces, 1/ 9   R     0.853 U         0  8

2

 0.185 1 / 5   1 / 5 1 / 5   U x 

 0.853 2 U 2 R 2 / 9 0.185 1 / 5  0  8  2 / 9 U1 / 5 x 1 / 5

10



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 0  0.01683  U 2

R 2 / 9 1 / 5  2 / 9 U1 / 5 x 1 / 5

igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene: 0.0818 U 2 

 R 2 / 9 1 / 5  0.01683  U 2 2 / 9 1 / 5 1 / 5 x  U x

 R 2 / 9 1 / 5  0.01683 2 / 9 1 / 5 1 / 5 0.0818 x  U x

9 11 / 9    0.205 R 2 / 9   11 U

1/ 5

9 11 / 9   0.205 R 2 / 9 11

 

2/9

d   0.205 R

2/9

5 4/5 9 11 / 9    0.205 R 2 / 9   x dx  4 11 U      U x

1/ 5

5 11 x  11 / 9  0.205 R 2 / 9 4 9

 11    0.205 R 2 / 9 9  

     U x

1/ 5

5  x 4  

   U 1/ 5

1/ 5

x 1 / 5 d x

5 1 / 5  1 x 4

     U x

1/ 5

5 x 4

9 / 11

0.387 R 2 /11 x 9 /11 9 / 55 RX

Problema F.II-1.04 Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubería circular de diámetro D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La viscosidad del aceite es μ = 10 poise y la densidad ρ = 91.73 UTM/m3.

Determinación del número de Reynolds del flujo completamente establecido. R

vD 20.00 x 0.05 x 91.73  R  R  899   10     98 

El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa límite es laminar hasta que  sea igual a la mitad del diámetro.

11



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La ecuación para la capa límite laminar es: 4.65   x R x1/ 2

 2 4.65   RX x2

 2 4.65 2  RX x2

2

D   U 2 x  2  x 4.65 

2 U  4.65 2 2  x  x2  U x   4.65 2      



2

 0.05   x 20.00 x 91.73   2   x  0.52 m 2  10  4.65    98 

Problema F.II-1.05 Hallar es espesor de la capa límite laminar en función de de la distancia x, y del

u  y número de Reynolds, si el perfil de velocidades está dado por   U  2.50 U  . cortante obtenido experimentalmente es  0  

El esfuerzo cortante en placas es: 0  U 2 

 x



u 

u

 U 1  U  d y 0

12

1/ 3

y el esfuerzo



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si

y  η  y    d y  d η 


los nuevos límites de integración son: para

y0  

y 

 

0  0 

para

y  

y 

 

   1 


Como

y   

 x

1

u 

u

 U 1  U  d η 0

u  1 / 3 , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene: U 1

  0  U  1 / 3 1  1 / 3 d η   0  U 2   x 0 x 2





1

 

1/ 3

0

1

  3 4/3 3 5/3  0  U       x  4 5 0

 0  U 2 

2

0  U 2 

  3 3    x  4 5

 3  x 20

por otra parte experimentalmente se encontró que: 0 

2.50 U  

Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que: U2 

d  3 2.50 U   d x 20 

  d 

 2 50  x  C 2 3 U

13



 2 / 3 d 

20 2.50 U  dx 3 U2 



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Las condiciones de borde son para x = 0, anterior se obtiene C = 0, así:

 = 0. Al sustituir estos valores en la expresión

 2 50  x 100  x   2   2 3 U 3 U

2   33.33 2 Ux x



 2 33.33  Rx x2

 5.77  x R x1/ 2

Problema F.II-1.06 Una lámina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. (γ = 1.20 kg/m3 y ν = 1.40 x 10-5 m2/s).

a) Calcular el espesor de la capa límite al final de la placa y la potencia necesaria para mantener el movimiento de la lámina. b) Si la velocidad de la lámina aumenta a 5.00 m/s ¿Cuál sería el espesor de la capa límite al final de la lámina? y ¿cuál la potencia requerida? Cuando la velocidad es de 1.00 m/s

Supongamos que la lámina se encuentra en reposo y sobre ella actúa una corriente de aire con una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.

Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.

RL 

Ux 

 RL 

1.00 x 2.50  R L  1.786 x 10 5  5 x 10 5 5 1.40 x 10

por lo tanto la capa límite es laminar y su espesor es:  4.65  x R L1 / 2

 

x 4.65 RL

1/ 2

  14

2.50 x 4.65

1.786 x 10 

5 1/ 2

   0.0275 m



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior. Para este caso el coeficiente de arrastre CD es: CD 

1.288 1/ 2 RL

 CD 

1.288

 C D  0.003

1.786 x 10 

5 1/ 2

Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.    U2   U2 L B FD  2  C D  A   FD  2  C D 2 g 2    

  1.20 1.00 2 2.50 x 1.00  0.00092 kg FD  2  0.003 9.81 2  

Determinación de la potencia.

P  FD U  P  0.00092 x 1.00  P  0.00092

kg m s

Cuando la velocidad es de 5.00 m/s Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.

RL 

Ux 

 RL 

5.00 x 2.50  R L  8.9 x 10 5  5 x 10 5 1.40 x 10 5

por lo tanto la capa límite es turbulenta y su espesor es:  0.37  x R L1 / 5

 

0.37 x RL

1/ 5

 

0.37 x 2.50

8.9 x 10 

5 1/ 5

   0.0597 m

Para la capa límite turbulenta después de corregir la resistencia de la sección laminar el coeficiente de arrastre CD es:

15



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CD 

0.074 RL

1/ 5

CD 



válida para 5 x 10

1700 RL

0.074

8.9 x 10 

5 1/ 5



1700 8.9 x 10 5

5

 R L  1 x 10 7



 C D  0.0029

Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.    U2   U2 L B FD  2  C D  A   FD  2  C D 2 g 2       1.20 5.00 2 2.50 x 1.00  0.022 kg FD  2  0.0029 9.81 2  

Determinación de la potencia.

P  FD U  P  0.022 x 5.00  P  0.0111

kg m s

Problema F.II-1.07 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una velocidad U = 0.60 m/s actúa sobre una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en número de Reynolds es de RX = 300000. Determinar: a) El espesor de la capa límite al final de la placa. b) La velocidad en la sección terminal de la placa para: y1  0.40 , y 2  0.80 , y 3   si el perfil de velocidades esta dado por:

c)

u 3 1 y    3 donde:   U 2 2  La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.

Determinación de la longitud de la placa. UL RL  

RL  300000 x 10 6  L  L U 0.60

 4.65  x R X1 / 2

 

4.65 x RX

1/ 2

 

16

 L  0.50 m

4.65 x 0.50    0.00424 m 3000001 / 2



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las velocidades  3  y  1  y 3  u 3 1 3     u  U       2  2   U 2 2   para y1  0.4 

 3  y  1  y 3  y1 1 3 3  0.4  u  U         u  0.60  0.4   0.4    u  0.34 m / s    2 2  2  2   para y 2  0.8 

3 y2  0.8  u  U  2  

 y   

3

   u  0.60  3 0.8  1 0.83   u  0.57 m / s  2 2  

 y 1  y      2 

3

   u  0.60  3 1.0   1 1.03   u  0.60 m / s  2 2  

 y 1    2

para y 3   3 y3  1.0  u  U  2  

Determinación de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa.

Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:

17



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CD 

1.288 RX

 CD 

1/ 2

1.288 3000001 / 2

 C D  0.00235

   U2  1000 0.60 2 0.50 x 0.50 FD  2  C D  A   FD  2  0.00235 x 2 9.81 2    

FD = 0.0216 kg Problema F.II-1.08 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el fondo de un canal desarrollando una capa límite. La velocidad al uniforme al inicio del canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa límite ocupe toda la sección del flujo, es decir para que   0.50 m .

Al inicio del canal, zona I, se produce una capa límite laminar hasta que R = 500000, esta distancia es: RX 

Ux 

 x

RX  500000 x 1 x 10 6  x U 1.20

 x  0.42 m

desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa límite turbulenta, para esa distancia el espesor de la capa límite laminar es:  4.65  x R x1/ 2

 

4.65 x Rx

1/ 2

 

18

4.65 x 0.42    0.0027 m 5000001 / 2



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

despreciando la zona I y considerando que la capa límite es toda turbulenta se tiene:  0.37  x R X1 / 5



   U 1 / 5   x  0.37      

 0.37  x  U x 1 / 5      5/ 4

 U   0.37   



    x   0.37 

5/ 4

U   

1/ 5

1/ 4



x x1/ 5

 x4/5 

 0.50   x   0.37 

5/ 4

 U   0.37   

1/ 5

 1.20    5  1 . 6 x 10  

1/ 4

la capa límite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m

Problema F.II-1.09

u y  , determinar: U   La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar x La ecuación del esfuerzo cortante  0 La expresión de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho 1.00 m. La ecuación del coeficiente de arrastre CD. La longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.

Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por a) b) c) d) e)

Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:  0  U  x 2

Si

y  η  y    d y  d η 



u 

u

 U 1  U  d y 0


Los nuevos límites de integración son: para

y0  

y 

 

0  0 

para

y  

y 

 

   1  19



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


como

y   

 x

1

u 

u

 U 1  U  d η 0

u   , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene: U 1

0  U 2 

   1   d η   0  U 2   x 0 x

1

    d  2

0

1

0  U 2 

  1 2 1 3       x  2 3 0

0 

U2    6 x

Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para u y  U 

0  

du d y  y 0

 u

y U , entonces 

y  d  U  U    0     0      y 0 dy    y 0

0  

U 

igualando las expresiones del esfuerzo cortante  0 se tiene:

U2    U  6 x 

6   d  dx  U

2 6   xC 2 U

Las condiciones de borde son para x = 0, anterior se obtiene C = 0.

 = 0. Al sustituir estos valores en la expresión

2 6  x   2 U

12 2   2 x Ux     

1 2 1 6 x   2 2 x 2 x U

20

 12  x R X1 / 2



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 3.464  x R X1/ 2

Determinación del esfuerzo cortante  0

0  

U 

 0  

U

  0  0.2887  U R X

 3.464     R 1/ 2   X  1/ 2

Ux  0  0.2887  U     

  0  0.2887

1/ 2

U3   x

Determinación de la fuerza de arrastre FD.

 FD    0 d x  FD     0  0.2887  0 0 L

L





L dx U 3    3 d x  FD  0.2887 U    1 / 2 x  0 x

FD  0.2887 U 3   2 x 1 / 2



 FD  0.577 L1 / 2 U 3   L

L 0

 U 1 / 2 L1 / 2 1 / 2 0.577 L1 / 2 U 3   L  1 / 2  FD  1/ 2 RX

    F  0.577 U 2  D

L RX

1/ 2

Determinación del coeficiente de arrastre CD.

U2 U2 1.00 L  FD  C D  A  FD  C D  2 2 Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene: U2 1.00 L   0.577 U 2  L1 / 2 CD  2 RX

 CD 

1.154 RX

1/ 2

Determinación de la longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia. R L  500000  500000 

U LC 

21

 LC 

500000  U



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-1.10 Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los esquís (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s y la densidad es 102.00 UTM/m3.

Determinación del número de Reynolds de la placa.

RL 

UL 

 50.00 x 1000   x 1.20  3600    R L  1.67 x 10 7  RL  6 10

Determinación del coeficiente de arrastre CD (válido para 106 < RL < 109)

CD 

0.455 log R e 2.58

 CD 

0.455

log 1.67 x 10  7

2.58

 C D  0.00277

Determinación de la fuerza sobre los esquís.

F  CD 

U2 2 A  2

 50.00 x 1000    3600    F  0.00277 x 102 2

2

2 x 1.20 x 0.15

F = 9.81 kg Determinación de la potencia P.

PCV  

FU 75

 PCV 

 50.00 x 1000  9.81 x   3600    P  ( CV )  1.81 CV. 75

22



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-1.11 a) Un globo esférico contiene helio y asciende en aire a 50º C a un presión atmosférica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qué diámetro permite una ascensión a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de arrastre CD es 0.21. b) Si éste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una velocidad de 10.00 km/h cuál es el ángulo de inclinación del cable y cuál su tensión.

Determinación de las densidades del aire y del helio.

En los gráficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemática para algunos gases y líquidos (gases a presión atmosférica normal) se encuentra para una temperatura de 50º C los valores que se muestran en la siguiente tabla.

 (m /s)

μ (kg.s/m ) Viscosidad absoluta

ρ (UTM/m3)   /

2

2

Viscosidad cinemática

Densidad

Aire

2.0 x 10-6

1.9 x 10-5



0.11

Helio

2.2 x 10-6

1.4 x 10-4



0.02

a)

Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actúan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.

Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.

23



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

E

FD 1 w w1

  aire    aire

C D  aire

 4  D 3  4 g         aire g   D 3 0.11 x 9.81  0.565 D 3 3  2   24  

U2 3.00 2   2  2 A  0.21 x 0.11  D   0.082 D 2 2 4 

150.00   helio    helio

 4  D 3  4 g         helio g   D 3 0.02 x 9.81  0.103 D 3 3  2   24  

La condición de equilibrio para esta condición es

F

V

 0 , es decir:

E – FD 1 – w – w1 = 0 Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene: 0.565 D 3  0.082 D 2  150.00  0.103 D 3  0  0.462 D 3  0.085 D 2  0 D  150.00  0

ésta ecuación cúbica tiene dos soluciones imaginaras y una solución real positiva cuyo valor es D = 6.93 m. b)

cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y actúa una corriente de aire las fuerzas que actúan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.

24



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del coeficiente de arrastre para la condición b.

R

UD 

 10 x 1000    x 6.93 3600    R  R  1.01 x 10 6 5 1.9 x 10

Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición b.

 4  D 3  4   aire   aire g       aire g  3.14 x 6.933 x 0.11 x 9.81  187.95 kg 3  2   24  

E

2

FD 2

w

C D  aire

 100 x1000    2 U 3600     2 A  0.20 x 0.11  6.93   319.98 kg 2 2  4

150.00

w1

 4  D 3  4  6.933 x 0.02 x 9.81  34.17 kg   helio    helio g         helio g  3  2   24  

Las condiciones de equilibrio son:  FH  0 y

F

V

 0 , es decir:

F

 0  E  w  w 1  T sen   0  T sen   E  w  w 1

F

 0  FD 2  T cos   0

V

H

 T cos   FD 2

25



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:

tg  

E  w  w1 FD 2

Sustituyendo los valores numéricos se obtiene:

tg  

187.95  150.00  34.17 319.98

 tg   0.0118    0.677º  0º 40´ 37´´

Problema F.II-1.12

a) b)

a)

¿Cuál es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de diámetro y peso especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y viscosidad μ = 1 poise? ¿Cuál sería la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa S = 7.00? Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actúan en este caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.


26



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1  1   aceite   S acite  agua     D 3  S acite  agua    0.05 3 0.80 x 1000  0.05233 6  6

E

FD

C D  aceite

U2 U2   2  U2  A  C D S  agua  0.05 2  C D 0.08 U 2  D   C D 0.80 x 102 2 2 4 2 4 

1  1   bola   S bola  agua     D 3  S bola  agua    0.05 3 3.50 x 1000  0.22896 6  6

w

La relación de equilibrio para esta condición es

F

V

 0 , es decir:

E + FD 1 – w = 0 Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene: 0.052233  C D 0.08 U 2  0.22896  0 U

0.177 0.08 C D



 U

C D 0.08 U 2  0.177 2.2125 CD

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación anterior El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y éste a su vez de la velocidad; por lo tanto, el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación. 

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando U



2.2125 CD

Con U se determina R según la ecuación  800  U 0.05   UD 9.81   R  R  R  U 399.59   1     98 



Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD 27



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1 Cálculo en forma tabulada para el caso a.

CD (asumido)

U

2.2125 CD

R  U 399.59

CD (obtenido del gráfico)

1.00

1.49

596

0.60

0.60

1.92

768

0.50

0.50

2.10

841

0.50

Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s. b)

Ahora, si la bola del mismo diámetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la bola así:

1  1 w 2    bola   S bola 2  agua     D 3  S bola 2  agua    0.05 3 7.00 x 1000  0.45792 kg 6  6 La condición de equilibrio para esta condición es

F

V

 0 , es decir:

E + FD 1 – w2 = 0 Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene: 0.052233  C D 0.08 U 2  0.45792  0 U

0.406 0.08 C D



 U

28

C D 0.08 U 2  0.406 5.075 CD



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cálculo en forma tabulada para el caso b.

CD (asumido)

U

5.075 CD

R  U 399.59


0.50

3.18

1274

0.40

0.40

3.56

1425

0.40

Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s. Problema F.II-1.13 En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esféricas) tienen un diámetro d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esférica) se necesita un millón de de góticas de neblina. ( γagua = 1000 kg/m3, γaire = 1.09 kg/m3, μaire = 18 x 10-5 poise.) Para estas condiciones determinar:

a) b)

La velocidad de caída de una gotica de neblina. La velocidad de caída de una gota de lluvia.

Determinación de la velocidad de caída de la gótica de neblina.

Suponiendo como hipótesis, que el número de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces según la Ley de Stokes se tiene: 3 1 d2  S     U  1 0.025 x 105  1000.00  1.09  U  0.019 m / s U 18  18  18 x 10    98  

2

Determinación del número de Reynolds para verificar si la hipótesis asumida es cierta.





 1.09  0.019 x 0.025 x 10 3   Ud 9.81    R R  R  0.0288  1 , hipótesis correcta.   18 x 10 5    98  

Determinación de la velocidad de caída de la gota de lluvia.

29



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El diámetro de la gota de lluvia es:  1 1 10 6   d 3    D 3  6 6

 D 3  10 6 d 3

 D  10 6 d 3 

1/ 3

 D  10 2 d

D  10 2 0.025 x 10 3   D  0.0025 m

Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actúan en este caso se muestran en siguiente diagrama de cuerpo libre.


E

1    aire    D 3    6 

FD

C D  aire

U2 A  CD 2

w

1    gota    D 3   S 6 

  aire   g

 D3  6

 U2   2    U2 D2   D   CD g 8   2 4



La condición de equilibrio para esta condición es

 D3 S 6

F

V

 0 , es decir:

E + FD 1 – w = 0 Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene: 30



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 D3    U 2 D 2  D3 S   U 2 D2  D3  S  D3   CD   0  CD   6 g 8 6 g 8 6 6

CD

  U 2 D 2  D3  S     C D U 2  8 D g   S     g 8 6 6   

U2 

4 D g  S       U 3 C D   

 4 D g  S   1 3    CD

La ecuación anterior representa la velocidad de caída de una esfera de diámetro D y de peso especifico γS en un ambiente de peso especifico γ cuando el número de Reynolds R > 1. Para el presente caso se tiene:

U

 4 D g  S 4 x 0.0025 x 9.81  1000    1  1  3   3 5.47   1.09  La velocidad   U CD CD CD U se puede determinar a partir de la ecuación anterior.

El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación. 

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando 5.47 CD Con U se determina R según la ecuación U

 1.09  U 0.0025   UD 9.81   R  R  U 151.24  R   18 x 10 5    98  



Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD

31



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1 Cálculo en forma tabulada.

CD (asumido)

U

5.47

R  U 151.24

CD

CD

(obtenido del gráfico)

0.49

7.81

1.20 x 103

0.40

0.40

8.65

1.30 x 103

0.40

Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.

Problema F.II-1.14 Un cable de conducción eléctrica de 12.00 mm de diámetro está tensado y expuesto a un viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje. Determinar la fuerza que actúa sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene es de 100.00 m. La temperatura del aire es de 20.00 º C. (ρ = 0.1224 UTM/m3, ν = 1.488 x 10-5 m2/s) Determinación del número de Reynolds R.

UD R 

27.00 x 12 x 10 3   R  R  2.2 x 10 4 5 1.488 x 10

Determinación gráfica del coeficiente de arrastre CD.

En el siguiente esquema se muestra un gráfico para la determinación del coeficiente de arrastre para cilindros de gran longitud.

32



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuerza de resistencia.

FD  C D 

U2 27.00 2 A  FD  1.30 x 0.1224  100.00 x 12 x 10 3  2 2 FD = 69.6 kg

Problema F.II-1.15 Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a través de aire en reposo (γ = 1.20 kg/m3), formando un ángulo de 12º con respecto a la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentación CL = 0.72, determinar:

a) b) c)

La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa. La fuerza debido al rozamiento. La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.

Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire tiene una velocidad U = 12.00 m/s Determinación de la fuerza de arrastre FD. FD  C D 

2 U2  1.20  12.00 0.90 x 1.20  FD  1.62 kg A  FD  0.17 x   2  9.81  2

Determinación de la fuerza de sustentación FS. FS  C S 

2 U2  1.20  12.00 0.90 x 1.20  FS  6.85 kg A  FS  0.72 x   2  9.81  2

En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante. 33



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

R  FD  FS

2

 R  1.62 2  6.85 2

 R  7.02 kg

el ángulo de inclinación de R respecto a la horizontal es:  X  arc tg

FS FD

  X  arc tg

6.85   X  76.7 º 1.62

el ángulo de existente entre la resultante R y la placa es.    X  12º    76.7 º  12º

   88.7 º

La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra en el siguiente esquema.

FR  R cos   FR  7.02 x cos 88.7 º  FR  0.16 kg

Determinación de la potencia P. PCV 

FD U 75

 P

1.62 x 12.00  P  0.259 CV 75

PKW 

FD U 102

 P

1.62 x 12.00  P  0.191 KW 102

34



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-1.16 Un alerón se mueve en aire en reposo (γ = 1.22 kg/m3) a una velocidad de 252.00 km/h. La longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el a´ngulo de inclinación es de 8º sobre la horizontal, determinar:

a) b) c)

La fuerza de arrastre FD. La fuerza de sustentación FS. La potencia requerida para desplazar el alerón.

En el siguiente esquema se muestra el alerón y las fuerzas de arrastre y sustentación, considerando el alerón en reposo y actuando sobre él una corriente de aire con velocidad U.

Determinación de los coeficientes de arrastre CD y de sustentación CS. En el siguiente esquema se muestra la determinación de dichos coeficientes.

35



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuera de arrastre FD.

 252.00 x 1000    2 U 3600  1.22    FD  C D  A  FD  0.04 x   2 2  9.81  Determinación de la fuera de sustentación FS.

U2  1.22  A  FD  0.80 x   2  9.81  Determinación de la potencia P. FS  C S 

PCV 

FD U 75

 PCV

 252.00 x 1000    3600   2

2

2.00 x 15.00  FD

 366.00 kg

2.00 x 15.00  FD

 7320.00 kg

2

 252.00 x 1000  366.00 x   3600    P  341.60 CV  75

Problema F.II-1.17 Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h en una atmósfera de peso especifico 1.00 kg/cm2 y viscosidad cinemática 1.5 x 10-5 m2/s. Para frenar el planeador se suelta un paracaídas con un coeficiente de resistencia CD = 1.20. Calcular el diámetro del paracaídas para que éste produzca una resistencia al movimiento igual a la resistencia por fricción originada sobre las alas. Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y 15.00 m de profundidad.

Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).

El número de Reynolds de la placa RL es:

36



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

RL 

UL 

 144.00 x 1000    3.00 3600    RL   R L  8 x 10 6 1.5 x 10 5

para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es: CD 

0.074 0.074  CD  1/ 5 RL 8 x 10 6 1 / 5

 C D  0.00308

la fuerza de arrastre es: 2    144.00 x 1000       3600  1.00    3.00 x 30.00 FD  2  0.00308   2  9.81       



FD  45.26 kg

Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre el paracaídas. 2

 144.00 x 1000    2 U 1.00  3600    D 2   F  76.92 D 2 FD  C D  A  FD  1.20   D 2 2 9.81 4  La fuerza generada en el paracaídas = La fuerza generada en la placa  45.26  76.92 D 2  45.26  D     76.92 

1/ 2

 D  0.77 m

Problema F.II-1.18 Un aviso formado por un disco de 3.50 m de diámetro, se encuentra instalado como se muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre él actúa perpendicularmente una corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se produce al pie del soporte. (ρ = 0.126 UTM/m3 , μ = 2 x 10-6 kg.s/m2)

37



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del número de Reynolds.

 100.00 x 1000    x 3.50 x 0.126 UD 3600   R  R  R  6.1 x 10 6  2 x 10 6 Determinación del coeficiente de arrastre CD.

Con R = 6.1 x 106 se encuentra CD en el siguiente gráfico (discos).

Determinación de la fuerza de arrastre FD. 2

 100 x 1000    2 U 3600     2 FD  C D  A  FD  1.00 x 0.126  3.50   FD  468.00 kg 2 2 4  El momento respecto al pie del soporte es: M  FD H  468.00 x 10.00  M  4680.00 kg.m

Problema F.II-1.19 A qué velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de diámetro, a través de una masa de agua a 10º C (ν = 1.2 x 10-6 m2/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación de la fuerza de arrastre.

 2F  U2  A  U   F  CD  2 C A   D 

1/ 2

    2 F  U  C   D2   D  4  

38

1/ 2

 8F  U   2  CD   D

  

1/ 2



__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación.  Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior, resultando  8 x 0.50 U   2  C D 102 x 3.14 x 0.12

  

1/ 2

 0.86730    U    CD 

1/ 2

 Con U se determina R según la ecuación R

UD 

 R

U 0.12 1.2 x 10 6

 R  U 10 5

 Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD

 Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1 Cálculo en forma tabulada. 1/ 2

CD (asumido)

 0.86730   U    CD 

R  U 105


2.00

0.66

6.6 x 104

0.58

0.58

1.22

1.22 x 105

0.50

0.50

1.31

1.31 x 105

0.50

39


FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capítulo 2 FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS CERRADOS Problema F.II-2.01 Para vaciar aceite (γ = 800 kg/m3, μ = 0.10 poises) de un depósito se utiliza una tubería de acero comercial de 12 mm de diámetro y 12.00 m de longitud. Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depósito se encuentra a 2.00 m por encima de la sección de salida de la tubería.

Determinación de la velocidad.

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene: 2

2

p v p1 v1   z1  2  2  z 2  h f 2g  2g 

 0  0  z1  0 

v2  0  hf 2g

La fórmula de Darcy-Weisbach para la pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es: hf  f

L v2 D 2g

al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene: v2 L v2 0  0  z1  0  0f 2g D 2g v

2 g z1 L 1 f D

 v



v2 L v2 f  z1 2g D 2g

2 x 9.81 x 2.00 12.00 1 f 0.012 39

 v

v2  L  1  f   z 1 2g D 39.24 1  1000 f



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Considerando como hipótesis que el flujo es turbulento. Determinación de la rugosidad relativa ε/D.

En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad ε para acero comercial es ε = 0.0046 cm.  0.0046 cm   D 1.2 cm

  0.0038 D


R

vD 

 v D   g  R 

 R

vD g

 R

v 0.012 x 800  0.10    9.81  98 

 R  960 v

Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene. v

39.24 1  1000 f

 v

39.24 1  1000 x 0.065

 v  0.77 m / s

con v se obtiene: R  960 v  R  960 x 0.77  R  739 

2000 , la hipótesis es falsa, por lo tanto

el flujo es laminar. Considerando como hipótesis que el flujo es laminar: Para el caso de flujo laminar el coeficiente de fricción es: 40



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f 

64  g 64 64  f   f  R vD vD     g 

al sustituir f en la ecuación de Bernoulli se tiene: v 2  64  g  L v 2    z1 2 g  v D   D 2 g



v 2 32 L  v   z1 2g D2 

 0.10  32 x 12.00 x  v v 98     2.00 2 x 9.81 0.012 2 x 800 2

0.051 v 2  3.40 v  2.00  0  v  0.583 m / s Determinación del número de Reynolds para verificar el tipo de flujo. R  960 v  R  960 x 0.583  R  560  2000 , la hipótesis es correcta, el flujo es laminar, entonces el caudal es:     Q  v A  A  v  D 2   Q  0.583  0.012 2   Q  0.000066 m 3 / s 4  4 

Q  0.000066 x 1000  Q  0.066 l / s  Q  0.066 x 60  Q  3.95 l / min Problema F.II-2.02 Por el sistema de tuberías de fundición que se muestran en el esquema circula agua (  = 1 x 10 -6 m2 /s), despreciando las pérdidas menores para las longitudes siguientes. Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, diámetro del tramo 1, D1 = 30 cm. Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, diámetro del tramo 2, D2 = 15 cm. Determinar: a) El caudal. b) La presión en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del tanque de alimentación de la tubería.

41



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la velocidad.

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene: 2

2

pA vA p v   zA  D  D  zD  hf1  hf 2  2g  2g

 0  0  zA  zD  0  hf1  hf 2

La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es: 2

h f 1  f1

2

L1 v1 D1 2 g

hf 2  f2

,

L2 v2 D2 2 g

al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene: 2

z A  z D  f1

2

L v L1 v1  f2 2 2 D2 2 g D1 2 g

Mediante la aplicación de la ecuación de continuidad se tiene:  2  2  v1 D1  v 2 D 2 4 4

Q1  Q 2

D  v1  v 2  2  D1

  

2

que al sustituirla en la ecuación anterior se tiene:  v 2 L  z A  z D  f1 1  D1

 D2   D1 2g

  

2

2

  2  L2 v2  f2 D2 2 g

2 L1 v 2  D 2   z A  z D  f1 D1 2 g  D1

 L 1  D 4 L2  2   f 2 z A  z D  v 2  f1 1  D1 2 g  D1  D2 2 g  2

4

2  L2 v2   f 2 D2 2 g 

   

4  60.00 1 30.00  0.15   17.50  10.00  v 2 f 1    f2  0.30 2 x 9.81  0.30  0.15 x 2 x 9.81  2

   

7.50  v 2 0.64 f1  10.19 f 2  2

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa  / D , según se observa en el diagrama de Moody.

42



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El procedimiento de cálculo es el siguiente: Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se determinan los números de Reynolds y con estos números de Reynolds se encuentra en el diagrama de Moody, para ε/D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1 Suponemos f1 = 0.023

y

7.50  v 2

2

f2 = 0.020

0.64 x 0.023  10.19 x 0.02

D v1  v 2  2  D1

  

2

 0.15   v1  5.86    0.30 

 v 2  5.86 m / s

2

 v1  1.47 m / s

Determinación de los números de Reynolds. R1 

v1 D1 

 R1 

1.47 x 0.30  R 1  4.40 x 10 5 6 1 x 10

R2 

v2 D2 

 R1 

5.86 x 0.15  R 1  8.80 x 10 5 1 x 10 6

para tubería de fundición se encuentra en el diagrama de Moody  = 0.0259 cm Determinación de las rugosidades relativas.  0.0259   D1 30

  0.00086, D1

 0.0259   D2 15

  0.0017 D1

con

1 / D1

y R 1 se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023

con

2 / D2

y R 2 se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019  0.020

43



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

por lo tanto v1 = 1.47 m/s

y v2 = 5.86 m/s

Determinación del caudal Q.

Q  v A  Q  v1

 2 D1 4

 Q  1.47

 0.30 2 4

 Q  0.100 m 3 / s

Determinación de la presión en el punto B.

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene: 2

2

pA vA p v   zA  B  B  zB  hf B  2g  2g

2

p v  0  0  zA  B  zB  1  hf B  2g

La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es: L1 B v1 2 h f B  f1 D1 2 g Al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene: 2 L1 B v1 2 pB v p 1.47 2 30.00 1.47 2  z A  z B  1  f1  B  17.50  16.50   0.023 2g D1 2 g 2 x 9.81 0.30 2 x 9.81  

pB  0.64  p B  0.64 x 1000  p B  640 kg / m 2  Problema F.II-2.03 Una bomba eleva agua a 15º C, desde un lago a un tanque como se muestra en el esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubería tiene una longitud de 400.00 m y un diámetro de 460 mm y es de fundición. Las pérdidas menores se producen principalmente por una válvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90º con un valor de kC = 0.90 cada uno. Despreciando otro tipo de pérdidas menores, ¿cuál será la potencia necesaria para la bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.

44



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie del tanque se tiene: 2

2

pA vA p v   z A  H B  B  B  z b  h f A B   h menores  2g  2g Las fórmulas de las pérdidas de energía por fricción y las pérdidas menores son: hf AB  f

LAB v2 D 2g

hm  k

,

v2 2g

al sustituirlas en la ecuación de Bernoulli se obtiene: 2 2 LAB v2  v2  pA vA p v    zA  HB  B  B  zb  f   k    D 2g 2 g 2g 2g  

0  0  100.00  H B  0  0  134.00  f

400.00 v2 v2  10  3 x 0.9 0.460 2 x 9.81 2g

Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad. 0.560  v  3.37 m / s  2  2 D 0.46 4 4 Determinación del coeficiente de fricción f, mediante el diagrama de Moody, QvA  v

Q

 v

 0.0259 cm  D 46 cm



  0.000562 D

v m / s  D cm   3.37 x 46  v D  155

  0.000562 se encuentra f = 0.0178 según se muestra el siguiente D esquema del diagrama de Moody.

con v D = 155 y

45



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

H B  34.00  0.0178

400.00 3.37 2 3.37 2  10  3 x 0.9 0.460 2 x 9.81 2g

 H B  50.31 m

Determinación de la potencia P. PC V 

Q  HB 75 

 PC V 

0.560 x 1000 x 50.31  P  626 C V 75 x 0.60

Problema F.II-2.04 Está fluyendo aceite desde un depósito cerrado a través de una tubería nueva de fundición asfaltada (  = 0.012 cm) de 15.00 cm de diámetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B como se muestra en la figura, ¿qué presión, en kg/cm2, tendrá que actuar sobre la superficie del depósito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84 y la viscosidad cinemática es 2.10 x 10-6 m2/s.

Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.

QvA  v

Q A

 v

Q  2 D 4

 13    1000    v 2   15    4  100 

 v  0.735 m / s


R

vD 0.735 x 0.15  R  R  5.25 x 10 4 6  2.10 x 10

Determinación de la rugosidad relativa.

 0.012 cm   D 15 cm

  0.0008 D

Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.

46



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la presión en A.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene: 2

2

pA vA p v   zA  B  B  zB  hf  h m  2g  2g 2

2

2

2

pA v p v v L vB  A  zA  B  B  zB  f  ke B S  agua 2 g 2g D 2g 2g 

pA 0.735 2 0.735 2 150.00 0.735 2  0  24.00  0   30.00  0.0235  0.5 0.84 x 1000 2 x 9.81 0.15 2 x 9.81 2 x 9.81 p A  56.17 kg / m 2

 p A  56.17 x 10  4

 p A  0.5617 kg / cm 2

Problema F.II-2.05 a) El sistema está formado por una tubería de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm de diámetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min, la viscosidad es de 0.10 poises y el peso específico es de 960 kg/m3, determinar el desnivel entre los depósitos ΔH si la válvula de ángulo se encuentra completamente abierta y su coeficiente es kV = 5. b)Determinar el coeficiente kV 2 de la válvula si el caudal que circula es de 300 l/min.

47



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a)

Determinación de ΔH.


QvA  v

Q A

 v

Q  2 D 4

 v

 0.750     60 

 75 x 10 3 4





2

 v  2.83 m / s


  960  v D   2.83 x 75 x 10 3   g 9.81    R  R  R  2.04 x 10 4 0 . 10       98  Determinación de la rugosidad relativa.

 0.046 cm   D 7.5 cm

  0.0006 D

Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.


2

p v pA vA   zA  B  B  zB  hf  h m 2g 2g  

61.00 2.83 2 2.83 2 0  0  H  0  0  0  0.0278  0.5  5  1 0.075 2 x 9.81 2g 48

 H  11.83 m



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b)

Determinación del coeficiente kV de la válvula para un caudal Q = 300 l/min.


QvA 

v

Q A



v

Q  2 D 4



v

 0.300     60 

 75 x 10 3 4





2



v  1.13 m / s


  960  v D   2.83 x 75 x 10 3   g 9.81    R  R  R  8.14 x 10 3   0.10     98  Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.


2

p v pA vA   zA  B  B  zB  hf  h m 2g 2g  

61.00 1.13 2 2.83 2 0  0  11.89  0  0  0  0.0278  0.5  k V  1 0.075 2 x 9.81 2g

49

 k V  153 m



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-2.06 Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15º C es de 220 l/s. Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:

a) b) c) d)

La cota del tanque D. Las rugosidades de las tuberías. Presión, en kg/cm2, en la entrada de la bomba. Presión, en kg/cm2, en la salida de la bomba.

Determinación de la altura de bombeo HB.

PCV 

Q  HB 75

 HB 

75 P Q

 HB 

75 x 70  H B  23.86 m  220.00    1000  1000 

Determinación de las velocidades.

Q  v1 A 1

Q  v2 A2

 v1 

 v2 

Q A1

Q A2

 v1 

 v2 

Q  2 D1 4 Q  2 D2 4

 220    1000    v  0.452 4  220    1000    v  0.302 4

 v  1.38 m / s

 v  3.11 m / s

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene: 2

2

p v pA vA   zA  HB  D  D  zD   hf   h m   2g 2g

50



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.00  23.86  z D  0.030

6.00 1.38 2 120.00 3.112 1.38 2 3.112  0.020  0.4 1 0.45 2 x 9.81 0.45 2 x 9.81 2 x 9.81 2 x 9.81 zD = 21.51 m

Determinación de las rugosidades de las tuberías.

con v1 m / s  x D1 cm   1.38 x 45  62.10 y f 1  0.0030 

con v 2 m / s  x D 2 cm   3.11 x 30  93.30

y

f 2  0.020 

Moody 

  0.005 D1

Moody 

  0.001 D1

1  0.005  1  0.005 x 45  1  0.225 cm D1 2  0.001  1  0.001 x 30  1  0.030 cm D2

Determinación de la presión en la entrada de la bomba (punto B)


2

p v pA vA   zA  B  B  zB  hf AB  hm 2g 2g   0  0  6.00 

pB 1.38 2 600.00 1.38 2 1.38 2   3.00  0.030  0.4 0.45 2 x 9.81 2 x 9.81  2 x 9.81

pB  1.02  p B  1.02 x 1000  p B  1020 kg / m 2  p B  0.102 kg / cm 2 51

 p B  1020 x 10  4



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la presión en la salida de la bomba (punto C)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene: 2

2

p v pA vA   zA  HB  C  C  zC  hf AC  h m 2g  2g  0  0  6.00  23.86 

pC 3.112 600.00 1.38 2 1.38 2   3.00  0.030  0.4 0.45 2 x 9.81 2 x 9.81  2 x 9.81

pC  22.45  p C  22.45 x 1000  p C  22450 kg / m 2 

 p C  22450 x 10  4

p C  2.245 kg / cm 2

Problema F.II-2.07 Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el diámetro de la tubería es D = 60 cm y el coeficiente de fricción es f = 0.020, despreciando las pérdidas menores, determinar:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Una expresión para la altura consumida por la turbina HT en función del caudal Q. Una expresión para la potencia consumida por la turbina en función del caudal. Tabular y graficar la expresión anterior. El caudal para que la potencia sea máxima. La potencia máxima. El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV. Dibujar la línea de energía. El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)




_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

pA vA p v   zA  B  B  zB  HT  hf AB  2g  2g sustituyendo los valores numéricos y la expresión de HT y las pérdidas se tiene:  4Q    2  610.00  610.00   0.60  0  0  106.00  0  0  30.00  H T  0.020 2 x 9.81 0.60

 4Q    2 1220.00   0.60  H T  76  0.020 0.60 2 x 9.81

2

2

 H T  76  25.95 Q 2

Determinación de la potencia consumida por la turbina P.

PCV

Q  HT  75



Q 1000 76  25.95 Q 2  P 75 Q (m3/s) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.71

P (CV) 0.00 100.95 199.83 294.56 383.06 463.25 533.06 590.42 633.25 659.47 667.00 653.77 617.71 556.74 468.78 351.75 203.58 22.20 0.00

53



 P  1013 Q  346 Q 3



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del caudal para que la potencia sea máxima.





d 1013 Q  346 Q 3  0  1013  3 x 346 Q 2  0 dQ

dP 0  dQ

 1013   Q    3 x 346 

1/ 2

 Q  0.99 m 3 / s

como se evidencias en el gráfico anterior. Determinación de la potencia máxima.

La potencia máxima ocurre para Q = 0.99 m3/s y es: P  1013 Q  346 Q 3

 P  1013 x 0.99  346 x 0.99 3

 P  667.15 CV

como se evidencia en el gráfico anterior. Determinación del caudal cuando P = 530 CV.

P  1013 Q  346 Q 3

 530  1013 Q  346 Q 3

346 Q 3  0 Q 2  1013 Q  530  0 la ecuación anterior tiene como solución: 54



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Q1  1.340

Q 2  0.596

Q 3  1.929

(negativo)

como se evidencia en el gráfico anterior. Solución a.

Para Q1  1.340 m 3 / s  H T  76  25.95 x 1.340 2

 H T  29.40 m  P  530 CV

Solución b.

Para Q  0.596 m 3 / s  H T  76  25.95 x 0.596 2

 H T  66.78 m  P  530 CV

El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0

En la expresión de la potencia se tiene: P  1013 Q  346 Q 3

 0  1013 Q  346 Q 3

 346 Q 3  0 Q 2  1013 Q  0  0

la ecuación anterior tiene como solución:

Q1  0.00

Q 2  1.71 55

Q 3  1.71

(negativo)



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como se evidencia en el gráfico anterior. Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B cuando no existe turbina. Lo recomendable desde el punto de vista práctico relacionado con el consumo de agua es que el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3/s y Q = 0.99 m3/s, la utilización de caudales mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia. Problema F.II-2.08 Para el sistema de tubería que se muestra en el esquema se tiene la siguiente información: kA = 0.5, kB = 0.2,  = 1.13 x 10-6 m2/s, ε = 0.12 cm, D = 30 cm

Para estas condiciones se pide: a) El caudal. b) La presión el los puntos A y B. c) Trazar la línea de energía y la línea piezométrica.

Determinación de las longitudes de las tuberías. sen 45º 

z LAB

 LA B 

28.50  13.20  L A B  21.64 m sen 45º

sen 45º 

z LBC

 LA B 

19.20  13.20  L B C  8.49 m sen 45º

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene: 2

2

p v p1 v1   z1  C  C  z C  h f   h m  2g  2g

 v2 21.64  8.49 v 2 v2  19.20  f  0.5  0.2  0  0  30.00  0  2 x 9.81 0.30 2 x 9.81 2 x 9.81 56



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

v2  30.13  1  0.5  0.2  f   30.00  19.20  v  2 x 9.81  0.30 

v

2 x 9.8130.00  19.20   30.13  1.7  f    0.30 

14.55 1.7  100.43 f

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.

R

vD 

 R

v 0.30 1.13 x 10 6

 R  2.65 x 10 6 v

Determinación de la rugosidad relativa:

 0.12 cm   D 30 cm

  0.004 D

Para un valor supuesto de f = 0.028 se tiene.

f (supuesto)

v

14.55 1.7  100.43 f

R  2.65 x 10 6 v

f (Moody)

0.028

6.86

1.8 x 106

0.0284

0.0284

6.83

1.8 x 106

0.0284

la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es: 57



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

QvA  Qv

 2 D 4

 Q  6.83

 0.30 2 4

 Q  0.483 m 3 / s

Determinación de la presión en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubería).

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene: 2

2

p1 v1 p v   z1  A  A  z A  h m  2g  2g

2

 0  0  z1 

pA 6.83 2 6.83 2 0  0  30.00    28.50  0.5 1000 2 x 9.81 2g

2

pA vA v   z A  0.5 A  2g 2g  p A  2066 kg / m 2

Determinación de la presión en el punto B (inmediatamente antes de B).

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene: 2

2

2

2

p1 v1 p v p v v   z 1  B  B  z B  h f   h m  0  0  z 1  B  B  z B  h f  0.5 B  2g   2g 2g 2g pB 6.83 2 6.83 2 21.64 6.83 2   13.20  0.0284  0.5 0  0  30.00  1000 2 x 9.81 0.30 2 x 9.81 2g p B  8360 kg / m 2 Determinación de las pérdidas concentradas. Pérdida menor en el punto A

hA  kA

v2 2g

 h A  0.5

6.83 2  h A  1.19 m 2 x 9.81

Pérdida menor en el punto B

hA  kB

v2 2g

 h A  0.2

6.83 2  h A  0.48 m 2 x 9.81

Determinación de la pérdida de energía entre los puntos A y B.

21.64 6.83 2 h f  0.0284  h f A B  4.87 m 0.30 2 x 9.81 Determinación de la pérdida de energía entre los puntos B y C.

h f  0.0284

8.49 6.83 2  h f B C  1.91 m 0.30 2 x 9.81 58



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cotas de la línea de energía.

Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = 30.00 – pérdida en la entrada



CLE A = 30.00 – 1.19 = 28.81 m



CLE A = 28.81 – 4.87 = 23.94 m

Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE A = 28.81 – pérdida hf AB

Cota en el codo, inmediatamente después del punto B CLE A = 23.94 – pérdida en el codo



CLE A = 23.94 – 0.48 = 23.46 m



CLE A = 23.46 – 1.91 = 21.55 m

Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = 23.46 – pérdida hf B C Cotas de la línea piezométrica.

Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE A = 28.81 – 2.38 = 26.43 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE B = 23.94 – 2.38 = 21.56 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE A = 23.46 – 2.38 = 21.08 m Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE C = 21.55 – 2.38  19.20 m

con estos valores se dibuja la línea de energía total y la línea piezométrica como se indica en el siguiente esquema:

59



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-2.09 Por el sistema de tuberías de acero comercial de 10 cm de diámetro circula agua con una viscosidad cinemática  = 1.3 x 10-6 m2/s, adicionalmente se tiene la siguiente información: L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0

Para estas condiciones hallar el coeficiente de pérdida kV de la válvula parcialmente cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la válvula totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).

Determinación del caudal para la válvula totalmente abierta.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene: 2

2

p1 v1 p v   z1  2  2  z 2  h f   h m  2g  2g 102.00  100.00  f

4.00  7.00  3.00 0.10

v2 v2  0.5  0.9  0.9  0.2  1 2 x 9.81 2 x 9.81 60



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

v2  14.00   3.5  f   102.00  100.0  v  2 x 9.81  0.10 

v

2 x 9.81102.00  100.00   14  3.5  f    0.10 

6.26 3.5  140 f

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.

R

vD 

 R

v 0.10 1.3 x 10 6

 R  7.69 x 10 4 v

Determinación de la rugosidad relativa:

En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0046 cm  0.0046 cm   D 10 cm

  0.0005 D

Para un valor supuesto de f = 0.017 se tiene.

f (supuesto)

v

6.26 3.5  140 f

R  7.69 x 10 4 v

f (Moody)

0.017

2.58

1.98 x 105

0.019

0.019

2.52

1.99 x 106

0.019

la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es: 61



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

QvA  Qv

 2 D 4

 Q  2.52

 0.10 2 4

 Q  0.020 m 3 / s

Determinación de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.

Q  50 % Q inicial

 Q  0.50 Q inicial

 Q  0.50 x 0.020  Q  0.010 m 3 / s

Determinación de la velocidad media. QvA v

Q  2  D  4 

 v

0.010  v  1.27 m / s  2  0.10  4 


R

vD 1.27 x 0.10  R  R  9.80 x 10 4 6  1.3 x 10

con ε/D = 0.0005 y R = 9.80 x 104 se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, según se muestra en el siguiente esquema:

El valor de k se puede determinar a partir de la expresión de la velocidad en función de kV v

6.26 3.3  k V  140 f

 1.27 

6.26 3.3  k V  140 x 0.0205

 k V  18.13

Problema F.II-2.10 Dos depósitos contienen agua a 15º C y están conectados mediante tres tuberías de acero comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los dos depósitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente información: Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm

62



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para agua a 21º C se encuentra en la tabla de propiedades físicas del agua   0.975 x 10 6 m 2 / s Para tubería de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody ε = 0.0046 cm Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene: 2

2

p1 v1 p v   z1  2  2  z 2  h f   h m  2g  2g

0  0  z 1  0  0  z 2  h f 1  h f 2  h f 3  h ent  h exp 1  h exp 2  h llegada L v v  v 2   v 2  v 3   k v 3 L1 v1 L v v  f 2 2 2  f 3 3 3  k1 1  1 2 D1 2 g D2 2 g D3 2 g 2g 2g 2g 2g 2

H  f 1

2

2

2

2

2

2

Determinación de las velocidades, los números de Reynolds, la rugosidad relativa y el coeficiente de fricción en los diferentes tramos de tuberías.

Reynolds

Tramo

Velocidad Q v  2  D  4 

1

2.86

2 3

Rugosidad relativa  D

f Obtenido del diagrama de Moody

5.86 x 105

0.00023

0.0155

1.27

3.90 x 105

0.00015

0.0155

0.57

2.60 x 105

0.00010

0.0160

R

vD 

63



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

H  0.0155

300.00 2.86 2 360.00 1.27 2 1200.00 0.57 2  0.0155  0.0160   0.20 2 x 9.81 0.30 2 x 9.81 0.45 2 x 9.81

2.86  1.27   1.27  0.57   1.0 0.57 2 2.86 2   0.5  2 x 9.81 2 x 9.81 2 x 9.81 2 x 9.81 2

2

H  12.31 m Problema F.II-2.11 La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos LT = 48.3 km. Los depósitos estaban originalmente conectados cun una tubería diseñada para transportar 265.00 l/s. Tiempo después fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidió colocar otra tubería del mismo diámetro en paralelo con la anterior en una parte de su longitud conectándolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la tubeías Para estas condiciones se pide:

a) b)

El diámetro para la condición inicial. La longitud de tubería, del mismo diámetro, necesaria para aumentar el caudal hasta 370.00 l/s

Condición inicial.

64



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del diámetro para la condición inicial.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) se tiene:

2

2

v p v p z1  1  1  z 2  2  2  h f  2g  2g  4Q  2 L T   D f D 2g

 4Q  2 L T   D  z1  0  0  z 2  0  0  f D 2g

  

2

2

   z 

 42 f LT Q2 42 f LT Q2   z  D   2 2 D5 2 g  2 z  g

 4 2 x 0.007 x 48300.00 x 0.265 2 D   2 x 152.00 x 3.14 2 x 9.81 

  

  

1/ 5

1/ 5

 D  0.41 m

La instalación para la condición final con tuberías de diámetro D = 0.41 m es:

condiciones: Las pérdidas por fricción en el tramo AC = pérdidas por fricción en el tramo BC la longitud del tramo AC, LAC = longitud del tramo BC, LBC  L2 El diámetro del tramo AC = diámetro del tramo BC = D El coeficiente de fricción del tramo AC = coeficiente de fricción del tramo BC 2

2

h f AC  h f BC

 f

Q  Q AC  Q BC

L 2 v AC L v  f 2 BC D 2g D 2g  Q  Q AC  Q AC 65

 v AC  v BC

 Q  2 Q AC

 Q AC  Q BC

 Q AC 

Q 2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) y considerando entre el punto 1 y el punto B la tubería AB y entre el punto B y el punto 2, la tubería inicial se tiene: 2

z1 

2

v1 p v p  1  z2  2  2  hf 2g  2g 

 4 Q / 2    2 L  L AC  L AC   D  zf f T D 2g D 2

 4Q  2 D 2g

  

 4 0.370 / 2    2 48300.00  L AC  L AB  3.14 x 0.41   0.007 152.00  0.007 0.41 2 x 9.81 0.41 2

2

 4 x 0.370  2  3.14 x 0.41 2 x 9.81

  

2

L AC  34776 m Problema F.II-2.12 Una tubería principal se divide en tres ramales que descargan a la atmósfera como se muestra en el siguiente esquema, si la presión en el punto A es de 8.20 kg/cm2 y el coeficiente de fricción de todas las tuberías se puede suponer como f = 0.017. Determinar el caudal que circula por cada una de las tuberías y el caudal en la tubería principal.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1 se tiene: 2

2

pA vA p v   z A  1  1  z1  h f tramo1 2g   2g



 4 Q1  2 pA L1   D1  z A  z1  f D1 2g 

 4 Q1  2 4 8.2 x 10 3200.00  3.14 x 0.40  120.00  90.00  0.017 1000 0.40 2 x 9.81 66

  

   

2

2

 Q1  0.504 m 3 / s



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 2 se tiene:

2

2

pA vA p v   z A  2  2  z 2  h f tramo 2 2g 2g  



 4 Q2  2 pA L 2   D 2  zA  z2  f D2 2g 

 4 Q2  2  8.2 x 10 4 4800.00  3.14 x 0.40  120.00  60.00  0.017 1000 0.40 2 x 9.81

  

   

2

2

 Q 2  0.464 m 3 / s

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 3 se tiene:

2

2

p v pA vA   z A  3  3  z 3  h f tramo3 2g   2g



 4 Q3  2 L 3   D 3 pA  zA  z3  f D3 2g 

 4 Q3  2 4 8.2 x 10 6800.00  3.14 x 0.40  120.00  30.00  0.017 1000 0.40 2 x 9.81

  

   

2

2

 Q 3  0.429 m 3 / s

El caudal por la tubería principal es: Q  Q1  Q 2  Q 3

 Q  0.504  0.464  0.429  Q  1.397 m 3 / s

Problema F.II-2.13 Un caudal (  = 0.0113 x 10-4 m2/s) de 570 l/s circula a través de la red de tuberías de hierro fundido (ε = 0.26 mm) mostradas en la figura. Para una presión manométrica de 7.03 kg/cm2 en el nodo A. Determinar:

a) b) c)

El caudal Q1 en el tramo 1. El caudal Q2 en el tramo 2. La presión en el nodo B.

67



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las pérdidas por fricción en el tramo 1 entre el nodo A y el nodo B.

Asumiendo un valor de Q1 = 0.170 m3/s se tiene que la velocidad v1 es: v1 

Q A1

 v1 

4Q  D1

 v1 

2

4 x 0.170 3.14 x 0.30 2

 v1  2.405 m / s

Determinación del número de Reynolds R1 R1 

v1 D1 

 R1 

2.41 x 0.30 0.0113 x 10  4

 R 1  6.4 x 10 5

Determinación de la rugosidad relativa. 0.26 mm    0.0009 D1 300 mm   0.0009 se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.0198, D1 según se muestra en el siguiente esquema. con R1 = 6.4 x 105

y

La pérdida de energía en el tramo 1 es:

2

hf  f

h f tramo1

L1 v1 D1 2 g

 h f tramo1

 4 x 0.170  2 600.00  3.14 x 0.30  0.0198 0.30 2 x 9.81 68

 4 Q1  2 L1   D1  f1 D1 2g

  

   

2

2

 h f tramo 1  11.68 m



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para el tramo 2  0.26 mm   0.0006 , suponiendo flujo turbulento en el diagrama de Moody f2 = 0.018 D 2 470 mm entonces 2

L v  f2 2 2 D2 2 g

h f tramo 2

R2 

v2 D2 

2

460.00 v 2  11.68  0.018  v 2  3.61 m / s 0.470 2 x 9.81  R2 

3.61 x 0.47 0.0113 x 10  4

 R 2  1.5 x 10 6

con   0.0006 y R2 en el diagrama de Moody f2 = 0.018 D2 por lo tanto    2 Q 2  v 2 A  Q 2  v 2  D 2   Q 2  3.61  0.47 2   Q 2  0.626 m 3 / s 4  4  Q  Q1  Q 2

 Q  0.170  0.626  Q  0.796 m 3 / s  Q  0.570 m 3 / s

como no se cumple que la sumatoria de los caudales sea igual al caudal que transporta la tubería, se reparte proporcionalmente el caudal, es decir: ´

Q1 

Q1 0.170 Q  Q1  0.570  Q1  0.1217 m 3 / s ´ 0.170  0.626 Q

Q2 

Q2 0.626 Q  Q1  0.570  Q 2  0.4483 m 3 / s ´   0 . 170  0 . 626 Q

´

Determinación de las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías. La pérdida de energía en el tramo 1 es. v1 

4 Q1  D1

1.722

2

R1 

v1 D1 

4.6 x 105

69

 D1

f (del diagrama de Moody)

0.0009

0.0198



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

L v hf  f 1 1 D1 2 g

h f tramo1

 h f tramo1

 4 Q1  2 L1   D1  f1 D1 2g

 4 x 0.1217  2 600.00  3.14 x 0.30  0.0198 0.30 2 x 9.81

  

   

2

2

 h f tramo 1  5.98 m

Para el tramo 2 La pérdida de energía en el tramo 1 es. v2 

4 Q2  D2

R2 

2

v2 D2 

1.07 x 105

2.58

2

L v hf  f 2 2 D2 2 g

h f tramo1

 4 x 0.4483  2 460.00  3.14 x 0.47  0.018 0.47 2 x 9.81

hf1  hf 2

como,

 h f tramo 2

 Q1  0.127 m 3 / s

 D2

(del diagrama de Moody)

0.0006

0.018

f

 4 Q2  2 L 2   D 2  f2 D2 2g   

   

2

2

 h f tramo 2  5.995 m 

Q 2  0.448 m 3 / s

Determinación de la presión en el nodo B.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

2

2

pA vA p v   z A  B  B  z B1  h f tramo1 2g 2g  



 4 Q1  2 pA pB L1   D1  zA   z1  f D1 2g  

 4 x 0.1217  2 4 pB 7.03 x 10 600.00  3.14 x 0.30  6.00   15.00  0.018 1000 1000 0.30 2 x 9.81 70

  

   

2

2

 p B  55855 kg / m 2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-2.14 Una tubería de diámetro uniforme une dos depósitos. Determinar el porcentaje en que se incrementa el caudal si a partir del punto medio se pone a funcionar en paralelo otra tubería del mismo diámetro. Suponer un valor constante e igual para la fricción en todas las tuberías. Despreciar las pérdidas menores. Determinación del caudal para la condición inicial.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 se tiene:

2

2

p1 v1 p v   z1  2  2  z 2  h f 1 2  2g  2g   Qi   D2  4 

2 g z D f L

Determinación del caudal para la condición final.

71

 4 Qi  2 L   D  f D 2g

2

    z



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

QA  QB  Q  QA  QB

 Q  2 QA

 QA 

Q 2

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, a través de la tubería A se tiene: 2

2

p1 v1 p v   z1  2  2  z 2  h f 1M  h f M  2  2g  2g L   2 f   D

 4 Qf  2 D 2g

  L   4 Q f / 2     2    f  2    D   z D 2g 2

2

2

f

2

Qf Qf L L f  z 2 2D  2 2 D   2 2 4 D  2g  D  2g 4  4 

2

2

Qf f L 1 1 f L 5     z     z 2 2   2  2 g D  2 8  2  2 g D 8  D   D  4  4  Qf

2

Qf

2

  2 g z D 8   D2  fL 5 4 

  8  Qf   D2  4  5

2 g z D fL

Determinación del porcentaje de incremento en el caudal.

Q f  Q i Q   Qi Qi

  2  8  D   5  4

2 g z D    2     D  f L   4   2  D  4 

2 g z D fL

2 g z D   f L 



8 1 5  0.26 1

Q  26 % Qi

Problema F.II-2.15 Determinar la pendiente de la línea de alturas piezométricas para un flujo de aire atmosférico a 27 º C a través de conducto de sección rectangular de 45 cm x 15 cm de hierro galvanizado si la velocidad media es v = 9.00 m/s.

72



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La viscosidad cinemática de aire a 27º C se encuentra en el gráfico de viscosidad cinemática de algunos gases y líquidos. Los gases están a presión atmosférica normal, según se muestra en el siguiente esquema.

El radio hidráulico es RH 

A P

 RH 

0.15 x 0.45  R H  0.056 0.15  0.15  0.45  0.45

Determinación del número de Reynolds R

v 4 R H  9.00 4 x 0.056   R  R  1.26 x 10 5 5  1.6 x 10

Determinación de la rugosidad relativa En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0152 cm 0.00152 m    0.007 4 R H 4 x 0.056 m con la rugosidad relativa y el número de Reynolds se encuentra en le diagrama de Moody f = 0.035, según se muestra en el siguiente esquema.

73



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la pérdida de energía para una longitud de 100.00 m hf  f

L v2 4 RH 2 g

 h f  0.035

100.00 9.00 2  h f  64.50 m 4 x 0.056 2 x 9.81

esto quiere decir que en 100.00 m de conducto hay una pérdida de energía de 64.50 m; lo que se puede expresar por un 64.50 % como se muestra en el siguiente esquema

Problema F.II-2.16 ¿Qué dimensiones tendrá un conducto cuadrado para que transporte 300 l/s de agua a 15º C con una pendiente de la línea piezométrica de 0.1 % si la rugosidad del conducto es ε = 0.001 m.?

Determinación del radio hidráulico RH 

A P

 RH 

a2 4a

L v2 hf  f 4 RH 2 g

 RH 

a  4 RH  a 4

Q   L  a2   hf  f a 2g

2

si el conducto tiene un longitud de 100.00 m y suponiendo un valor de f = 0.020 se tiene. 2

 0.300    100.00  a 2  0.1  0.020 a 2 x 9.81

 0.1 

0.020 x 100.00 x 0.300 2 2 x 9.81

 a  0.62 m

El resultado del lado “a” es correcto si el valor supuesto de f es el adecuado, esto se puede verificar mediante el diagrama de Moody de la siguiente manera: 74



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



con el valor de “a” determinar la velocidad



con v determinar v (4 RH)



con “a” determinar la rugosidad relativa



con la rugosidad relativa y v (4 RH) se encuentra en el diagrama de Moody f



se repite el procedimiento hasta que fn  fn – 1

a

v

Q a2

v m / s  4 R H cm

 4 RH

f (del diagrama de Moddy)

0.62

0.78

48

0.0016

0.022

0.63

0.76

49

0.0016

0.022

Por lo tanto el valor de a es 0.63 m Problema F.II-2.17 Para el esquema de la figura si f = 0.025 y se desprecian las pérdidas menores. Determinar: a) La altura piezométrica en el punto J. b) El sentido y magnitud del caudal en cada una de las tres tuberías.

Adicionalmente se tienen la siguiente información: z1 = 130.00 z2 = 115.00 z3 = 100.00 D1 = 0.30 D2 = 0.25 D3 = 0.20 L1 = 900.00 L2 = 1100.00 L3 = 1500.00

Primera vuelta

Suponiendo una altura piezométrica en el punto J de: pJ  z J  120.00  75

zj =

110.00



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

2

 4 Q1  2  pJ    D1  0  z 1  0    z J   2g   

2

p v p1 v  z1  1  J  z J  J  h f 2g 2g  

1 J

 4 Q1  3.14 x 0.30 2  0  130.00  0  120.00  2 x 9.81

2

    0.025 900.00 0.30

2

 4 Q1    2   L   f 1   D1 D1 2g

 4 Q1  2  3.14 x 0.30 2 x 9.81

  

   

2

2

Q1 = 0.114 m3/s al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:

2

2

pJ v p v  zJ  J  2  z2  2  hf 2g 2g    4 Q2  3.14 x 0.25 2 120.00   2 x 9.81

J2

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

 4 Q2    2   L   0  115.00  f 2   D 2 D2 2g

2

    115.00  0.025 1100.00 0.25

 4 Q2  2  3.14 x 0.25 2 x 9.81

  

   

2

2


2

2

pJ v p v  zJ  J  3  z3  3  h f 2g 2g    4 Q2  3.14 x 0.20 2  120.00  2 x 9.81

J 3

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

2

 4 Q3    2   L   0  100.00  f 3   D 3 D3 2g

    100.00  0.025 1500.00 0.20 Q3 = 0.0455 m3/s 76

 4 Q3  2  3.14 x 0.20 2 x 9.81

  

2

   

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Verificación si se cumple la ecuación de continuidad. Q1  Q 2  Q 3

 0.114

?

0.0465  0.0455  0.114  0.0920

No se cumple la ecuación de continuidad, esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 disminuya y Q2 y Q3 aumenten, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo: pJ  z J  125.00  Segunda vuelta

al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

2

2

p v p1 v  z1  1  J  z J  J  h f 2g 2g  

1 J

 4 Q1  2  pJ    D1  0  z 1  0    z J   2g   

 4 Q1  3.14 x 0.30 2  0  130.00  0  125.00  2 x 9.81

2

    0.025 900.00 0.30

2

     f L1 D1

 4 Q1  2  3.14 x 0.30 2 x 9.81

 4 Q1  D 2 1  2g   

   

2

2


2

2

pJ v p v  zJ  J  2  z2  2  hf 2g 2g  

 4 Q2  3.14 x 0.25 2  125.00  2 x 9.81

J2

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

2

     0  115.00  f L 2 D2

    115.00  0.025 1100.00 0.25

 4 Q2  2  3.14 x 0.25 2 x 9.81

  

 4 Q2  D 2 2  2g

2


77

   

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

pJ v p v  zJ  J  3  z3  3  h f 2g 2g  

J 3

 4 Q2  3.14 x 0.20 2 125.00   2 x 9.81

2

2

     0  100.00  f L 3 D3

    100.00  0.025 1500.00 0.20

 4 Q3  2  3.14 x 0.20 2 x 9.81

  

 4 Q3  D 2 3  2g

   

2

Q3 = 0.0509 m3/s Verificación si se cumple la ecuación de continuidad. Q1  Q 2  Q 3

 0.0802 ?

0.0656  0.0509  0.0802  0.1165

No se cumple la ecuación de continuidad; esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 aumente y Q2 y Q3 disminuyan, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo: pJ  z J  122.50  Tercera vuelta

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

2

2

p v p1 v  z1  1  J  z J  J  h f 2g 2g  

1 J

 4 Q1  2  pJ    D1  0  z 1  0    z J   2g   

 4 Q1  3.14 x 0.30 2  0  130.00  0  122.50  2 x 9.81

2

    0.025 900.00 0.30

2

     f L1 D1

 4 Q1  2  3.14 x 0.30 2 x 9.81

 4 Q1  D 2 1  2g

  

   

2

2

Q1 = 0.1016 m3/s Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:

78

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

pJ v p v  zJ  J  2  z2  2  hf 2g 2g  

 4 Q2  3.14 x 0.25 2  122.50  2 x 9.81

J2

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

  4 Q2   2   L   0  115.00  f 2   D 2 D2 2g

2

    115.00  0.025 1100.00 0.25

 4 Q2  2  3.14 x 0.25 2 x 9.81

  

   

2

2

Q2 = 0.0551 m3/s Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 3 (el flujo es de J a 3) se tiene:

2

2

pJ v p v  zJ  J  3  z3  3  h f 2g 2g  

 4 Q2  3.14 x 0.20 2 122.50   2 x 9.81

J 3

 4 Q2  2  pJ    D 2    z J   2g   

2

2

 4 Q3    2   L   0  100.00  f 3   D 3 D3 2g

    100.00  0.025 1500.00 0.20

 4 Q3  2  3.14 x 0.20 2 x 9.81

  

2

Q3 = 0.0478 m3/s Verificación si se cumple la ecuación de continuidad. Q1  Q 2  Q 3

 0.1016 ?

0.0551  0.0478  0.1016  0.1029

Solución



La altura piezométrica en el punto J es 122.50 m.



En la tubería 1 circula un caudal Q1 = 0.1016 m3/s del tanque 1 hacia el nodo J.



En la tubería 2 circula un caudal Q2 = 0.0551 m3/s del nodo J hacia el tanque 2.



En la tubería 3 circula un caudal Q2 = 0.0478 m3/s del nodo J hacia el tanque 3.

79

   

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-2.18 Determinar los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la red mostrada. Adicionalmente se dispone de la siguiente información:

L1 = 800.00

D1 = 0.10

ε 1 = 0.15 mm

L2 = 500.00

D2 = 0.15

ε 2 = 0.20 mm

L3 = 400.00

D3 = 0.20

ε 3 = 0.10 mm

Primera vuelta

Se supone una distribución de caudales como la indicada en la figura de tal forma que el caudal en cada nodo sea cero:

80



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Las pérdidas de energía por fricción para cualquier tramo de tubería es:

 4 Qi  2 L i   D i  fi 2g Di

2

h f i  fi

Li vi Di 2 g

 hf i

ri 

si

8 fi Li

2

 hf i 

 h f i  ri Q i

5

 Di g 2

   

8 fi Li 5

 Di g 2

Qi

2

2

para los diferentes tramos se tiene:

Moody

8f L ri  2 i 5 i  Di g

Q x 10-3 (m3/s)

Pérdida por fricción 2 h f i  ri Q i

0.0015

0.022

145570

30

131.01

4367.10

0.20

0.0013

0.021

11437

20

- 4.58

228.74

0.10

0.0005

0.017

1757

70

- 8.61

122.99

(mm)

 D

0.10

0.15

500

0.15

400

0.20

T

L (m)

D (m)

1

800

2 3

ε

f

Q  

h 2r Q

ri Q i

f

i

i

la corrección ΔQ es:

Q  

 131.01  4.58  8.61

2 4367.10  228.74  122.99 

 Q  

 117.82  Q  0.0125 m 3 / s 9437.66

Q  12.5 l / s nuevos caudales tramo 1 2 3

Corrección ΔQ + 12.5 +12.5 +12.5 81

Caudal Q 30 - 12.5 = +17.5 - 20 - 12.5 = - 32.5 - 70 - 12.5 = - 82.5



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Segunda vuelta


Moody

8f L ri  2 i 5 i  Di g

Q x 10-3 (m3/s)


0.0015

0.022

145570

17.5

44.58

2547.48

0.20

0.0013

0.021

11437

- 32.5

- 12.08

371.70

0.10

0.0005

0.017

1757

- 82.5

- 11.96

144.95

(mm)

 D

0.10

0.15

500

015

400

0.20

T

L (m)

D (m)

1

800

2 3

ε

f

Q  

h 2r Q

ri Q i

f

i

i


Q  

 44.58  12.08  11.96 2 2547.48  371.70  144.95

 Q  

 20.54  Q  0.0033 m 3 / s 6128.26

Q   3.3 l / s nuevos caudales tramo 1 2 3

Corrección ΔQ - 3.3 - 3.3 - 3.3

82

Caudal Q +17.5 - 3.3 = +14.2 - 32.5 - 3.3 = - 35.8 - 82.5 - 3.3 = - 85.8



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tercera vuelta


Moody

8f L ri  2 i 5 i  Di g

Q x 10-3 (m3/s)


0.0015

0.022

145570

14.2

29.35

2067.09

0.20

0.0013

0.021

11437

- 35.8

- 14.66

409.44

0.10

0.0005

0.017

1757

- 85.2

- 12.75

149.70

(mm)

 D

0.10

0.15

500

0.15

400

0.20

T

L (m)

D (m)

1

800

2 3

ε

f

Q  

h 2r Q

ri Q i

f

i

i


Q  

 29.35  14.66  12.75 2 2067.09  409.44  149.70 

 Q  

 1.94  Q   0.0003 m 3 / s 5252.46

Q  0.3 l / s nuevos caudales tramo 1 2 3

Corrección ΔQ - 0.3 - 0.3 - 0.3

83

Caudal Q + 14.2 - 0.3 = + 13.90 - 35.8 - 0.3 = - 36.10 - 85.2 - 0.3 = - 85.50



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cuarta vuelta


Moody

8f L ri  2 i 5 i  Di g

Q x 10-3 (m3/s)


0.0015

0.022

145570

13.9

+ 28.13

2023.42

0.20

0.0013

0.021

11437

36.1

- 14.90

412.88

0.10

0.0005

0.017

1757

85.5

- 12.84

150.22

(mm)

 D

0.10

0.15

500

0.15

400

0.20

T

L (m)

D (m)

1

800

2 3

ε

f

Q  

h 2r Q

ri Q i

f

i

i

la corrección ΔQ es: Q  

 28.13  14.90  12.84 2 2023.42  412.88  150.22 

 Q  

 0.39  Q   0.00008 m 3 / s 5173.04

Q  0 l / s Resultado

Los caudales que circulan por las diferentes tuberías son: tubería 1; Q1 = 13.90 l/s,

tubería 2; Q2 = 36.10 l/s,

tubería 3;

Q3 = 85.5 l/s

tubería 3;

hf 3 = 12.84 m

Las pérdidas por fricción en las diferentes tuberías son: tubería 1; hf 1 = 28.13 m,

tubería 2;

hf 2 = 14.90 m,

84


PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capítulo 3 PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES Problema F.II-3.01 a) Desarrollar una expresión que represente E/yc en función de y/yc para canales rectangulares. b) Graficar la expresión anterior.

La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es: Ey

v2 2g

esta ecuación se hace adimensional al dividir entre yC, obteniéndose: E y v2   yC yC 2 g yC en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene



v

Al sustituir en la expresión anterior resulta: E y q2   yC yC 2 g y2 yC La profundidad crítica en canales rectangulares es: yC  3

q2 g



3

q 2  yC g ,

al sustituir en la expresión anterior 3

yC g E y   yC yC 2 g y2 yC

E y   yC yC



85

1  y 2   yC

  

2

q y



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

si

E  x, e yC

y  z , entonces la ecuación anterior se escribe como: yC x z

1 2z

La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:

y/yc

Diagrama adimensional de energía específica 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6, 7 7, 8 5 5 5 5 5 5 5 5

E/yc

Problema F.II-3.02 c) Desarrollar una expresión que represente q/qmax en función de y/yc para canales rectangulares. d) Graficar la expresión anterior.

El caudal máximo qmax, se produce cuando la profundidad es la crítica yc, por lo tanto: yc 

3

q max g

2



3

q max  y c g

La energía mínima corresponde a la profundidad crítica yc y es igual E min 

3 yc 2

La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es:

86



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ey

v2 2g 

en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene

v

q y

al sustituir en la ecuación anterior se obtiene: E  y

q2 2 g y2

q 2  2 g y 2 E  y 



al dividir la expresión anterior entre qmax se obtiene:

 q   q max si

q q max

 x, e

2

 2 g y2   3 yc g 

3   yc  y 2 

 q   q max



2

 y     2    yc  

2

3 y      2 yc 

y  z , entonces la ecuación anterior se escribe como: yC 3  x2  2 z2   z 2 

La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:

y/yc

Diagrama adimensional de descarga 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

q/qmáx

87

1

1,1



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.03 Construir un diagrama adimensional que represente las alturas alternas y1/y2, de la compuerta rectangular que se muestra en la figura en función de E/yC

La ecuación adimensional de energía específica para canales rectangulares es: E y   yC yC

E/yC 1.50 2.07 2.50 3.02 3.53 4.02 4.67 5.20 5.51

y2/yC 1.00 0.58 0.50 0.44 0.40 0.37 0.34 0.32 0.31

1  y  2    yC 

2

y1/yC 1.00 1.93 2.41 2.97 3.49 3.99 4.64 5.19 5.49

y1/y2 1.00 3.33 4.82 6.75 8.73 10.78 13.65 16.22 17.71

20

y1/y2

15 10 5 0 1,5

2,5

3,5

4,5 E/yc

88

5,5



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.04 En un canal rectangular de 1.00 m de ancho, se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, por dicho canal fluye un caudal de 4.00 m3/s. Si la profundidad aguas debajo de la compuerta es de 60.00 cm, determinar mediante la utilización de los gráficos adimensionales: a) La profundidad aguas arriba de la compuerta. b) La fuerza producida por la corriente de agua sobre la compuerta.

Perfil longitudinal Determinación de la energía especifica aguas debajo de la compuerta:

2

v E2  y2  2 2g

 q    y  E2  y2   2  2g

2

al sustituir los valores numérico se obtiene: 2

 4.00    0.60   E 2  0.60   E 2  2.87 m 2 x 9.81 Determinación de la profundidad crítica yC: yC  3

q2 g

 yC  3

4.00 2 9.81

 y C  1.18 m

a)Mediante la utilización del gráfico adimensional de alturas alternas de una compuerta de admisión inferior.

Con la relación adimensional de la compuerta

E 2.87   2.43 , se encuentra en el gráfico de alturas alternas y C 1.18

y1  4.70 , como se indica en el siguiente esquema: y2

89



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

por lo tanto y1 = 4.70 x y2 b)



y1 = 4.70 x 0.60



y1 = 2.82 m

Mediante la utilización del gráfico adimensional de energía específica.

Con la relación adimensional específica

y1  2.39 , como se indica en el siguiente esquema: yC

por lo tanto y1 = 2.39 x yC c)

E 2.87   2.43 , se encuentra en el gráfico de energía y C 1.18



y1 = 2.39 x 1.18



y1 = 2.82 m

Determinación de la fuerza sobre la compuerta mediante la utilización del gráfico adimensional de fuerza especifica.

Con

y1 2.82 M1   2.39 se encuentra en el gráfico de fuerza especifica,  3.20 2 y C 1.18  b yC

Con

y 2 0.60 M2   0.51 se encuentra en el gráfico de fuerza específica,  2.10 2 y C 1.18  b yC

90



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F  b yC



2

F  3.20  2.10   b y C

2

M1  b yC

2



M2  b yC

2



F  b yC

2

 3.20  2.10

 F  3.20  2.10  x 1000 x 1.00 x 1.18 2

 F  1531 kg

Problema F.II-3.05 Calcular, analíticamente, la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta rectangular de 1.00 m de ancho que se muestra en la figura.

La sección de aproximación, aguas arriba de la compuerta, se designará, sección 1. La sección de salida, aguas debajo de la compuerta, se designará, sección 2. Determinación de las velocidades v1 , v2 y el caudal Q:

La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica: Q1  Q 2

 v1 A 1  v 2 A 2

 v1 B y1  v 2 B y 2

91

 v2 

y1 v1 y2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

para el presente caso la velocidad V2 es: v2 

1.80 v1 0.60

 v 2  3 v1

La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 al despreciar las pérdidas de energía y sustituir la ecuación de continuidad indica: v2 v2 y1  1  y 2  2 2g 2g

3 v1  v2  y1  1  y 2  2g 2g

2



9 v12 v12   y1  y 2 2g 2g

al despejar y sustituir se obtiene: v1 

la velocidad V2 es:

2 g y 1  y 2  8

 v1 

2 x 9.81 1.80  0.60   1.72 m / s 8

v 2  3 v1

 v 2  3 1.72   v 2  5.16 m / s

Q  v1 A 1

 1.72 1.00 x 1.80   3.10 m 3 / s

y el caudal Q es:

Determinación de la fuerza F, que ejerce el agua sobre la compuerta:

Debido a que el agua se encuentra en movimiento esta fuerza se determina mediante la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2. Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control se muestran en el siguiente esquema:

donde: F1

es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 1, al ser las líneas de corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática. 92



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F2

es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 2, al ser las líneas de corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática.

Fx

es la fuerza producida contra el volumen por la acción de la compuerta.

F1 

1  B y12 2

 F1 

1 1000 x 1.00 x 1.80 2  1620.00 kg 2

F2 

1  B y 22 2

 F2 

1 1000 x 1.00 x 0.60 2  180.00 kg 2

La ecuación de cantidad de movimiento aplicada entre las secciones 1 y 2 indica:

F

x

 Q  v 2 x  v1x   F1  F2  FX  Q  v 2 x  v1x  1620.00  180.00  FX  3.10 x 102 5.16  1.72 

Fx = 354.00 kg Esto indica que la acción de la compuerta sobre el volumen de control es de 354.00 kg hacia la izquierda, por lo tanto la acción del agua sobre la compuerta es de 354.00 kg hacia la derecha, es decir: 

F  354.00 kg

Problema F.II-3.06 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, según se muestra en la figura. Demostrar que la profundidad crítica yC, se puede expresar en función de las profundidades alternas (profundidades correspondientes a la misma energía 2 2 2 y1 y 2 específica) como: y C  y1  y 2

93



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Energía especifica antes de la compuerta = Energía específica después de la compuerta 2

2

v v y1  1  y 2  2 2g 2g

 y1 

q2 2

y1 2 g

 y2 

q2 2

y2 2 g



q 2  1 1  2 2  2 g  y1 y2

   y 2  y1  

la profundidad crítica en canales rectangulares es: yC  3

q2 g

3

 yC 

q2 g

al sustituir yC3 en la ecuación anterior se tiene: yC 2

3

 1 1  y 2  y 2 .2  1

   y 2  y1  



yC 2

3

 y 2 2  y1 2  2 2  y y  1 2

   y 2  y1  

sustituyendo la diferencia de los cuadrados y 2  y1 por y 2  y1  y 2  y1  , es tiene: 2

yC 2

3

 y 2  y 1   y 2  y 1      y 2  y1 2 2   y1 y 2  



yC 2

3

2

2 2  y 2  y 1   2 y 2 y1  2 2   1  yC3   y y  y1  y 2  1 2 

Problema F.II-3.07 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico con profundidades de 0.60 m antes del resalto y 1.50 m aguas abajo del resalto, como se muestra en la figura. Para las condiciones indicadas se pide: a) El caudal por unidad de ancho q. b) La profundidad y0 antes de la compuerta. c) La energía disipada por el resalto. d) La fuerza por unidad de ancho, que ejerce el agua contra la compuerta.

94



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del caudal unitario q:

A partir de la ecuación del resalto hidráulico se puede obtener el número de Froude en la sección 1 así: 2 y2 2  1  1  8 F1 y1 Al sustituir los valores numéricos en la ecuación anterior se obtiene que el número de Froude es: 2

2 x 1.50 2  1  1  8 F1 0.60

 2 x 1.50   1  1  0.60    F1   F1  2.09 8

por otra parte

F1 

v1 g y1

 2.09 

v1 9.81 x 0.60

 v1  2.09 9.81 x 0.60  v1  5.07 m / s

mediante la ecuación de continuidad se obtiene: q  v1 y1

 q  5.07 x 0.60  q  3.04 m 3 / s / m

Determinación de la profundidad crítica yC: yC  3

q2 g

 yC  3

3.04 2 9.81

 y C  0.98 m

Determinación de la profundidad y0, aguas arriba de la compuerta: y y1 0.60   0.61 se encuentra en el gráfico adimensional de energía especifica 0  1.81 , y C 0.98 yC según se muestra en el siguiente esquema.

con

95



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como

y0  1.81 , entonces y 0  1.81 x y C yC

 y 0  1.81 x 0.89  y 0  1.81 m

Determinación de pérdida de energía en el resalto hidráulico: con

E y1 0.60   0.61 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 1  2.00 y C 0.98 yC

este valor corresponde a la sección 1 (antes del resalto) con

y 2 1.50 E   1.53 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 2  1.76 y C 0.98 yC

este valor corresponde a la sección 2 (después del resalto), por lo tanto la pérdida de energía es: E E 1 E 2   yC yC yC



E  2.00  1.76  yC

E  0.24 yC

E  0.24 x 0.98  E  0.24 m

Determinación de la fuerza sobre la compuerta: con

y 0 1.81 M0   1.85 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza especifica  2.28 2 y C 0.98  b yC

Este valor corresponde a la sección 0 (antes de la compuerta) Con

y1 0.60 M1   0.61 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza específica  1.82 2 y C 0.98  b yC

Este valor corresponde a la sección 1 (después de la compuerta), por lo tanto la fuerza sobre la compuerta es: F  b yC

2



M0  b yC

2



M1  b yC

2



F  b yC

F  0.46 x 1000 x 0.98 2

96

2

 2.28  1.82 

 F  442 kg

F  b yC

2

 0.46



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.08 Para la compuerta rectangular que se muestra en el esquema determinar y1 y el caudal unitario, sabiendo que la fuerza por unidad de ancho que ejerce el agua sobre la compuerta es de 400.00 kg.

La ecuación de continuidad muestra que: v0 

q y0



v0 

q 2

y que v1 

q y1



v1 

La ecuación de cantidad de movimiento entre los puntos 0 y 1 es: 1 1 q   q 2 2   y 0   y1  F  q   2 2 g  y1 y 0 

sustituyendo y0 = 2.00, F = 400.00 y dividiendo la expresión entre γ se tiene: 1 1 1 1 1 1   q q 2  22   y1  400  q    2  2   g  y1 2 

97

q y1



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Por ser agua γ = 1000 kg/m3 2

1 2 400 1  q q  y1   q   2 1000 g  y1 2 

q2 g

 1    0.5   1.6  0.5 y1 2  y1 

Al simplificar se obtiene: ec.I

La ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1 es: 2

2

v v y 0  0  y1  1 2g 2g

q2 q2  y1  2 2 2 2 2g y1 2 g



1 q 2  1 1    2  y1 2 g  y1 2 4   1 q 2  1   2  y1  0 . 25 2  2 g  y1 

ec.II

Dividiendo miembro a miembro la ec. I entre la ec. II se tiene:  1    0.50  2  y1   1.6  0.5 y1 2  y1  1  1   0 . 25 2  2  y1  En la ecuación anterior y1 está implícito y se satisface para y1 = 0.72 m. De la ec. I se obtiene al despejar q:

1.6  0.5 y  g 2

q

1

1  0.5 y1



q

1.6  0.5 x 0.72  9.81 2

1  0.5 0.72

98



q

3.85 m 3 / s m



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.09 Para el canal rectangular de ancho B que se muestra en el esquema si ΔE = 4 cm y Δy = 96 cm determinar: 1.La profundidad y1, aguas arriba del resalto. 2.La profundidad y2, aguas abajo del resalto. 3.El caudal unitario q. 4.La profundidad yo, aguas arriba de la compuerta.

Determinación de las profundidades secuentes o conjugadas del resalto hidráulico: Las dos profundidades y1 e y2 antes y después de un resalto se denominan profundidades secuentes o conjugadas y corresponden a una fuerza especifica constante. En este caso el resalto hidráulico tiene una diferencia de alturas de: 

y2 – y1 = 0.96 m

y2 = y1 + 0.96

La pérdida de energía en los resaltos hidráulicos en canales rectangulares es:  E  E1  E 2

0.04 

0.963 4 y1 y1  0.96

3  y 2  y1  

4 y1 y 2

 4 y12  4 x 0.96 y1 

0.96 3 0 0.04

4 y12  3.84 y1  22.12  0 Esta ecuación de segundo grado en y1, tiene como raíz real positiva: y1 = 1.92 m,

como además

y2 = y1 + 0.96,

entonces, y2 = 1.92 + 0.96 = 2.88 m

Determinación del caudal unitario, q: El caudal unitario q, se define como la relación entre el caudal total Q y el ancho del canal rectangular B es decir: 99



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

q

Q B

m / s 3

m

ó

m / s 2

y corresponde a la cantidad de agua que circula en una franja de canal rectangular de 1.00 m de ancho La ecuación de continuidad aplicada entre las secciones 1 y 2, para un ancho unitario indica: q  q 1  q 2  q  v1 y1

 v1 

q y1

;

q  v2 y2

 v2 

q y2

La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 y sustituyendo la ecuación de continuidad indica: y1 

v12 v2 q2 q2  y 2  2  E  y1  2  y2  2  E 2g 2g y1 2 g y2 2 g

al sustituir los valores numéricos correspondientes al presente caso se tiene: 1.92 

q2 q2  2.88   0.04 1.92 x 2 x 9.81 2.88 x 2 x 9.81

obteniendo al simplificar y despejar: 0.01380 q 2  0.00615 q 2  2.88  0.04  1.92  q 

2.88  0.04  1.92 m3 / s  11.41 0.01380  0.00615 m

Determinación de la profundidad yo, antes de la compuerta: Las dos profundidades yo e y1 antes y después de una compuerta se denominan profundidades alternas y corresponden a una energía constante E. y0 

V02 V2  y1  1 2g 2g

 y0 

q2 q2   y 1 y 02 2 g y12 2 g

al sustituir los valores correspondientes al presente caso se tiene. y0 

11.412 11.412   1 . 92 y 02 x 2 x 9.81 1.92 2 x 2 x 9.81

obteniendo al simplificar y despejar:

100



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.63  3.72  y 30  3.72 y 02  6.63  0 2 y0 Esta ecuación de tercer grado en y0, tiene como raíz real positiva: y0 

y0 = 2.96 m

Problema F.II-3.10 Para el esquema que se muestra se pide: a) Demostrar que el caudal se puede expresar como: a CC B Q 2gH a CC 1 H b) Calcular el caudal por unidad de ancho para H = 2.00 m, a = 0.25 m, CC = 0.60. c) La altura y2 del resalto suponiendo que el resalto comienza inmediatamente después de la vena contraída. d) La energía disipada por el resalto ΔE. e) La profundidad crítica yC. f) La altura del escalón Δz0 para que se produzca sobre él la profundidad crítica yC.

a) Demostración de la ecuación para el caudal:

La ecuación de continuidad muestra que: Q 0  Q1



v 0 H B  v1 a C C B



Si no existe pérdida de energía entre la sección o y la 1 entonces: 2

2

v v H  o  a CC  1 2g 2g 101

v0 

v1 a C C H



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sustituyendo v0 en la expresión anterior se tiene: 2

 v1 a C C    2 v1 H   H  a CC  2g 2g

2

2

2

v a 2 CC v1  1  H  a CC 2g 2 g H2



2 2 v1  2  a C C   1    H  a CC 2 g   H  

v1 

2 g H  a C C   a CC   a CC  1   1   H  H   v1 

 a CC  2 g H 1   H   v1   a CC   a CC  1   1   H  H  



2gH  a CC  1   H  

Según la ecuación de continuidad Q = v A, entonces para el presente caso:     2gH   a C C B Q  v1 A 1    a CC    1      H   

Q

a CC B  a CC  1   H  

2gH

b) Para H = 2.00 m, a = 0.25 m y CC = 0.600 el caudal unitario es: a CC Q q  B  a CC  1   H  

2gH

 q

0.25 x 0.600  0.25 x 0.600  1   2.00  

m3 / s 2 x 9.81 x 2.00  0.906 m

c) Determinación de la profundidad secuente o conjugada del resalto. 102



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El número de Froude en la sección 1, de aproximación al resalto es:

F1 

v1 g y1



q y1 g y1



q a CC g a CC



q a CC g a CC



0.906 0.25 x 0.600 9.81 x 0.25 x 0.600

 4.98

Como 4.98 > 1, el flujo antes del resalto es supercrítico. La profundidad secuente o conjugada es: 2 y2 2  1  1  8 F1 y1

y2 



y2 



0.25 x 0.600  1  1  8 x 4.98 2 2



y1  2   1  1  8 F1   2



y 2  0.984 m

d) La energía disipada por el resalto ΔE es:

E 

y 2  y1 3



4 y 2 y1

E 

0.984  0.25 x 0.6003  0.983 m 4 x 0.984 x 0.25 x 0.600 

e) La profundidad crítica yC es: yC  3

q2 g



yC  3

0.906 2 9.81



y C  0.44 m

f) Determinación de la altura del escalón Δz0 Como en el escalón se produce la profundidad crítica la energía correspondiente sobre él es la energía mínima. Si en el escalón no se produce pérdida de energía, entonces la energía especifica antes del escalón es igual a la energía sobre el escalón más la altura de Δz0, es decir: 2

2

v2 3   y 2   y C   z 0 2g 2 

 q    2 y v2 3  3   z 0   y 2   y C   z 0   2   y 2   y C  2g 2g 2  2 

al sustituir los valores numéricos se obtiene: 103



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

 0.906    0.984  3   z 0   0.984   x 0.44  2 x 9.81 2 



z 0  0.37 m

Problema F.II-3.11 Determinar la profundidad crítica en el canal triangular, simétrico, que se muestra en la figura si el caudal que circula es de 300 lts/s.

La condición de flujo crítico se expresa por: Q2 T 1 g A3 El ancho de la superficie libre T, en función de la profundidad crítica yc se obtiene así:  T/2 tg  2 yC



 T  2 y C tg 2

60 0 T  2 y C tg 2





T2

El área de la sección transversal del flujo es: A

 1 3  yC 2 y C  2  3 



A

3 2 yC 3

sustituyendo los valores de T y A en la condición de profundidad crítica se obtiene:  3  0.300 2  2 y C   3  1 3  3 2 g  y C   3   0.300 2 x 2 3 x 33   yC   3  3 x 9.81 3 

1/ 5

 

104



y C  0.56 m

3 yC 3



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.12 Para el canal triangular, simétrico, de madera que se muestra en la figura, con vértice de 90º, si n = 0.011 y Q = 280 l/s determinar: a) la profundidad crítica. b) la pendiente crítica.

como el canal es simétrico y el ángulo del vértice es de 90º entonces T = 2 yc Determinación de la profundidad crítica yC:

La condición de flujo crítico se expresa por: Q2 T 1 g A3 al sustituir y despejar se obtiene: 0.280 2 2 y C  1  9.81  2 y C y C  2 

3

1

5



yC 

0.280 2 x 2 9.81



y C  0.44 m

Determinación de la pendiente crítica SC :

Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC. Q

1 2/3 1/ 2 R H SC A n

la pendiente SC es: SC

1/ 2



Qn RH

2/3

A



El área de la sección transversal del flujo es: 105

 Qn   S C   2/3   RH A 

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A

1 2 y C  y C 2



A  yC

2

El radio hidráulico es: Radio hidráulco 

Area de la sec ción transversal Perímetro mojado 2

RH 

   Q n SC     y 2 /3 2   C  y C  2 2  

yC y A   C P 2 2 yC 2 2

       

2



   0.280 x 0.011 SC     0.44  2 / 3  x 0.44 2    2 2  

       

2

S C  0.003012  3.012 x 10 3  3.012 0 / 00  0.3012 0 / 0 Problema F.II-3.13 En el canal trapezoidal, simétrico, que se muestra en la figura circula un caudal de 22.4 m3/s, si el coeficiente de rugosidad de Manning es 0.023, determinar: a) La profundidad crítica yC. b) La pendiente crítica SC.

Determinación de la profundidad crítica yC:

El inverso de la pendiente transversal del talud m, del canal es: m  ctg   106

3  1.50 2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El área A, de la sección transversal es: A  b y  m y2



A  6.00 y C  1.50 y C

2

El perímetro mojado P, es: P  b  2 y 1 m2



P  6.00  2 y C

1  1.50 2



P  6.00  3.61 y C

El ancho de la superficie libre T, es: T  b2m y



T  6.00  2 x 1.50 y C



T  6.00  3 y C

La condición de flujo crítico se expresa por: Q2 T 1 g A3 al sustituir los valores de Q, g y las expresiones de T y A se obtiene: 22.4 2 6  3 y C 



9.81 x 6 y C  1.50 y C



2 3

1

El valor de yC que satisface la ecuación anterior es yC = 1.03 m. Determinación de la pendiente crítica SC :

Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC. Q

1 2/3 1/ 2 R H SC A n

la pendiente SC es: SC

1/ 2



Qn RH

2/3

A



 Qn   S C   2/3   RH A 

      22.4 x 0.023 SC    2/3    6 x 1.03  1.50 x 1.03 2   6 x 1.03  1.50 x 1.03 2     6  3.61 x 1.03    107

2

2



S C  0.00592



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.14 Calcular en función de Q y g al ancho de la base b, en un canal triangular como el mostrado en la figura si se diseña de tal forma que la profundidad crítica sea yC = b/3.

La condición de flujo crítico se expresa por: Q2 T 1 g A3 Con el fin de determinar el área A y el ancho de la superficie libre T la sección transversal se divide en áreas parciales como se indica:

El área de la sección transversal del flujo.

Como el ángulo es de 45º la base de los triángulos laterales es b/3, por lo tanto el ancho del cuadrado central también es b/3. A  2 A1  A 2

2 1 b b b b 2 b  A  2  9 2 3 3 3 3



El ancho de la superficie libre T.

T

b 3 108



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

sustituyendo los valores de A y T en la condición de flujo crítico se obtiene: Q2

b 3

 2 b2 g   9

  

3

1

 Q2   b  3  8g



1/ 5

Problema F.II-3.15 En el esquema se muestra el canal rectangular de ancho B cerrado en el extremo por una compuerta. Por el canal fluye agua con una velocidad v y una profundidad y, el agua fluye sin pérdidas hacia una descarga de fondo. Calcular la sobre elevación Δy, en la superficie del agua, aguas arriba de la compuerta. a) Aplicando la ecuación de energía entre las secciones 1 y 2. b) Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 (suponer Δy pequeño). c) Cuál de las dos respuestas es la correcta y porqué.

a)

Energía específica E1 = E2 y

b)

v2  y  y   0 2g



Cantidad de movimiento

F

x

 Q  v 2  v1 

109

y 

v2 2g



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F1  F2  Q v 2  v1 



1 1  2  y 2 B   y  y  B  v y B 0  v  2 2 g

1 1 1  y 2   y 2   2 y y 2 2 2

1   y 2  v 2 y 2 g

v2 y 1 y 2   2 g como Δy se considera pequeño, entonces el término Δy2 es despreciable por lo tanto:  y y 

y 

c)

v2 g

El resultado obtenido con la ecuación de energía es el correcto, en el caso de usar la ecuación de cantidad de movimiento se comete el error de despreciar la fuerza R, mostrada en la siguiente figura

Problema F.II-3.16 a) Un canal rectangular tiene un escalón, con una altura Δz = 0.40 m. y extremos aerodinámicos para no ofrecer resistencia al flujo. En estas condiciones las profundidades del agua son de 1.05 m. en la sección de aproximación y de 0.60 m. sobre el escalón. b) Si la altura del escalón se modifica a Δz = 0.80 m cual será la nueva profundidad en la sección de aproximación.

110



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica: Q1  Q 2

 v1 y1 B  v 2 y 2 B  v 2 

y1 v1 y2

 v2 

1.05 v1 0.60

 v 2  1.75 v1

Para la condición inicial, la energía específica en la sección 1 es igual a la energía específica en la sección 2 más la altura del escalón, es decir: 2

2

E 1  E 2  z



v v y1  1  z  y 2  2 2g 2g

Al sustituir la ecuación de continuidad en la ecuación de energía y los valores de la altura del escalón y las profundidades se obtiene:

1.75 v1  v1  0.40  0.60  2g 2g 2

1.05 

v1 

2

2







v1 1.75 2  1  1.05  0.40  0.60 2g

1.05  0.40  0.60 x 2 x 9.81

 v1  0.69 m / s

1.75 2  1

El caudal unitario, q es: q  v1 y1

 q  0.69 x 1.05  q  0.724 m 3 / s / m

La profundidad crítica, yC es: yC  3

q2 g

 yC  3

0.724 2 9.81

 y C  0.376 m

La energía que dispone del fluido en la sección 1 es: 2 v 0.69 2 E 1  y1  1  E 1  1.05  2g 2 x 9.81

 E 1  1.07 m

La energía mínima, necesaria en la sección 2, cuando la altura del escalón es Δz = 0.80 m es: E min  z 

3 yC 2

 E min  0.80 

3 x 0.376  1.36 m 2

Como la energía existente en la sección 1 (E1 = 1.07 m) es menor que la mínima necesaria en la sección 2 (E2 = 1.36 m) entonces la altura en la sección 1, ahora denominada yN, debe aumentar hasta que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima, es decir: 111



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

 q    2 y N  vN q2  yN   1.36  y N  2  1.36  1.36  y N  2g 2g yN 2 g

al sustituir q se obtiene: yN 

0.724 2 2

y n x 2 x 9.81

 1.36

al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica: 3

2

y N  1.36 y N  0.0267  0

la cual se satisface para y N = 1.34 m, altura correspondiente a flujo sub crítico ya que (yN = 1.34) > (yC = 0.376). Problema F.II-3.17 En un canal rectangular de 2.00 m de ancho fluye un caudal de 500 l/s con una profundidad de 1.00 m. Si se introduce un obstáculo lateral para reducir la sección, como el mostrado en la figura, determinar el valor de x, que permite el flujo con la misma profundidad.

Planta. Energía disponible en la sección 1:

2

v E 1  y1  1 2g

Q   A 1    E 1  y1  2g

2

2

 500 / 1000    2..00 x 1.00    E 1  1.00   1.003 m 2 x 9.81

En la garganta, sección contraída, se produce la energía mínima, como no se produce alteración de la profundidad esta energía es igual a 1.003 m, por lo tanto la profundidad crítica en la sección 2 es: 2 2 y C 2  E  y C 2  x 1.003  y C 2  0.67 m 3 3 112



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Por otra parte la profundidad crítica en la sección 2 es:

yC 2  3

q2 g

2

 yC 2

Q   3 x    g

2



y 

3

C2



Q2 x2 g

 x

Q2

y 

3

C2

g

al sustituir los valores de Q, yC 2 y g se obtiene: x

500 / 10002 0.67 3 x 9.81

 x  0.29 m.

Problema F.II-3.18 Un río muy ancho conduce un caudal q1 de 4.00 m3/s/m a una profundidad de 1.80 m. La construcción de un puente requiere pilas de 1.80 m de espesor cuyos centros están separados 5.50 m. Las pilas son hidrodinámicas y no tienen resistencia al flujo, para estas condiciones se pide: a) Verificar si se produce sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente. b) En caso afirmativo determinar dicha profundidad.

Determinación de la energía disponible en la sección 1, de aproximación: 2

v E 1  y1  1 2g

Q   A  E 1  y1    2g

2

 qB    y1 B    E 1  y1  2g

al sustituir los valores numéricos se tiene: 2

 4 x 5.50    1.80 x 5.50   E 1  1.80   2.05 m 2 x 9.81 113

2



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica en la sección 1: 2

yC1  3

q1 g

 yC1  3

4.00 2 9.81

 y C 1  1.17 m

Determinación del caudal unitario en la sección 2 (entre las pilas del puente): q2 

Q B2

 q2 

q1 S Se

 q2 

4.00 x 5.50  q 2  5.95 m 3 / s / m 5.50  1.80

Determinación de la profundidad crítica en la sección 2:

yC 2  3

q2 g

2

 yC 2  3

5.95 2 9.81

 y C 2  1.53 m

Determinación de la energía mínima en la sección 2 (entre las pilas):

E min 

3 yC 2 2

 E min 

3 x 1.53  E min  2.30 m 2

Como la energía disponible en la sección 1 es de 2.05 m y la energía mínima necesaria en la sección 2 es de 2.30 m, por lo tanto no hay suficiente energía, entonces el nivel del agua debe aumentar hasta yN de manera que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima de 2.30 m, es decir: 2

 qS    2 y N S  vN q2   2.30  y N  2  2.30 yN   2.30  y N  2g 2g yN 2 g

al sustituir q se obtiene: 4.00 2 yN  2  2.30 y n x 2 x 9.81 al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica: 3

2

y N  2.30 y N  0.82  0

la cual se satisface para y N = 2.12 m, altura correspondiente a flujo subcrítico ya que (yN = 2.12 m) > (yC 1 = 1.17 m).

114



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-3.19 Un río muy ancho conduce un caudal q, de 5 m3/s/m, con una profundidad de 2.00 m. en la sección 1. La construcción de un puente requiere que existan pilas separadas 6.50 m entre centros. Si las pilas tienen forma hidrodinámica y no ofrecen resistencia al flujo, cuál es el máximo espesor a, que pueden tener las pilas sin que se produzca sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente.

Planta La energía disponible en la sección 1, se muestra en el siguiente esquema.

Perfil longitudinal y tiene un valor de: 2

E 1  y1 

v1 2g

 E 1  y1 

q2 2

y1 2 g

 E 1  2.00 

52  E 1  2.32 m 2.00 2 2 x 9.81

Si se quiere que no se produzca sobre elevación de la superficie del agua esta energía permanecerá constante y como no hay pérdida de energía entre las secciones 1 y 2, entonces, E1 = E2. Se quiere el máximo valor de a, en la sección 2, entonces entre dos pilas se producirá la profundidad crítica la cual corresponde a la energía mínima es decir: 115



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

E min 

3 yC 2 2



yC 2 

2 E min 3



yC 2 

2 2.32 3



y C 2  1.54 m

El caudal máximo qmáx, se puede determinar mediante la utilización del diagrama adimensional de descarga como se muestra a continuación: Para

y 2.00 q   1.29 se puede encontrar el diagrama adimensional de descarga el valor de y C 1.54 q máx

q

5.00  6.024 m 3 / s / m que es el caudal máximo que circula q máx 0.83 entre las pilas o mediante la utilización de las ecuaciones correspondientes como se indica a continuación: como

yC 2  3

 0.83  q máx 

q máx g

2 3

 q máx  y C 2 g  q máx  1.54 3 x 9.81  q máx  5.99 m 3 / s / m.

entonces: q máx 

Q 6.50  a

 6.024 

5.00 x 6.50 6.50  a

 a  6.50 

116

5.00 x 6.50  a  1.10 m. 6.024


FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capítulo 4 FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS Problema F.II-4.01 Un canal trapezoidal de concreto con una rugosidad n de Manning de 0.013, conduce en flujo uniforme un caudal Q de 1.00 m3/s. La pendiente longitudinal S0 tiene un valor de 0.0004 y un talud lateral con un valor m = 1.00. Si la relación y/b es aquella que corresponde a la sección de máxima eficiencia determinar las dimensiones de la base o plantilla b y de la profundidad o tirante y.

La sección de máxima eficiencia es aquélla en la que el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad, es decir: y RH  2 Por definición el radio hidráulico es igual a la relación entre el área y el perímetro mojado, es decir: RH 

A P

 RH 

b y  m y2 b  2 1 m2

 RH 

y b  m y  b  2 1 m2

al igualar las expresiones anteriores se tiene: y b  m y  y  2 b  2 1 m2

b  2.83 y  2 b  2 y





b  1.00 y 1  2 b  2 y 1  1.00 2

2.83 y  2 y  2 b  b



0.83 y  b

y 1 y    1.21 b 0.83 b Se debe cumplir con la condición anterior para que la sección sea de máxima eficiencia. Como el flujo es uniforme se debe satisfacer la ecuación de Manning Para la determinación de las dimensiones del canal existen dos procedimientos. a.

Con

Determinación de las dimensiones b e y mediante la utilización de los gráficos adimensionales. Qn y  1.21 se encuentra en el gráfico siguiente  1.90 1/ 2 b S0 b 8 / 3

117



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Qn S0

1/ 2

b8 / 3

b  0.67 m

 1.90 

como

1.00 x 0.013

0.00041 / 2 b 8 / 3

 1.00 x 0.013    1.90  b   1/ 2    0 . 0004 x 1 . 90  

3/8

y  1.21  y  1.21 b  y  1.21 x 0.67  y  0.81 m. b

El canal es el mostrado en la siguiente figura.

b.

Determinación de las dimensiones b e y mediante la ecuación de Manning. 2 1 1  b yn  m yn 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q   n n  b  2 y n 1  m 2

   

2/3

S0

1/ 2

b y

n

 m yn

2



como (b = 0.81 y) la ecuación anterior se puede escribir como: 1  0.83 y n  y n  1.00 y n 1.00  0.013  0.83 y n   2 y n 1  1.00 2 2

1  1.83 x y n 1.00  0.013  3.66 y n

2

   

   

2/3

2/3

118

0.00041 / 2 0.83 y n  y n  1.00 y n 2 

0.00041 / 2 1.83 x y n 2 



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 0.50 y n 2 / 3 0.00041 / 2 1.83 y n 6 / 3 1.00  0.013

  1 x 0.013   y n   2/3 1/ 2   0.0004 0.50  x 1.83 

3/8

y n  0.81 m

Problema F.II-4.02 Diseñar un canal rectangular que transporte un caudal de 20.00 m3/s de tal manera que la sección hidráulica sea de máxima eficiencia y el flujo uniforme sea crítico. El canal tiene un revestimiento con un valor del coeficiente de n de Manning de 0.015. Para estas condiciones determinar: a. Las dimensiones b e y. b. La pendiente longitudinal S0 del canal. c. La velocidad media V. d. El esfuerzo cortante  0 , en el contorno del canal. Determinación de las dimensiones b e y del canal.

La condición de máxima eficiencia en un canal rectangular es aquélla en la que b = 2y

Q / b  q2  y3 g g

yn  yC  y  y  3

2



y 3

 Q / b 2  3  g 

   

3

 y3 

Q2 b2 g

como b = 2y, entonces: y  3

Q2

2 y 2 g

Q2  y  2 2 g 5

 Q2   y   2  2 g

1/ 5

 20.00 2   y    4 x 9.81 

1/ 5

 y  1.59 m

b  2 y  b  2 x 1.59  b  3.18 m

entonces

Determinación de la pendiente longitudinal S0 del canal.

1A Q   n P 

2/3

S0

1/ 2

1  1.59 x 3.18    A  20.00  0.015  3.18  2 x 1.59 

      20.00 x 0.015 S0    2/3   1.59 x 3.18     3.18  2 x 1.59  1.59 x 3.18    

119

2/3

S0

1/ 2

1.59 x 3.18

2

 S0  0.0048



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la velocidad media v. v

Q A

 v

20.00  v  3.96 m / s. 1.59 x 3.18

Determinación del esfuerzo cortante  0 .  0   R H S0

 1.59 x 3.18   x 0.0048   0  3.82 kg / m 2   0  1000 x  3 . 18  2 x 1 . 59  

Problema F.II-4.03 Por un canal triangular simétrico, con ángulo inferior igual 60º circula, en régimen uniforme, un caudal de 300 l/s. Si el coeficiente n de Manning es de 0.010 y la pendiente longitudinal S0 es 0.040, determinar: a) La profundidad normal yn. b) La profundidad crítica yC. a) La profundidad normal yn, es aquella profundidad que satisface la ecuación de Manning.

Determinación del ancho de la superficie libre T: tan 30º 

T/2  T  2 y tan 30º  T  1.155 y y

Determinación del perímetro mojado P: 2

P  2 L1

T  P  2    y2 2

2

 1.155 y  2  P2   y  2 

 P  2.310 y

Determinación del área transversal mojada A: A

Ty 2

 A

(1.155 y) y 2 120

 A  0.578 y 2



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del radio hidráulico RH: RH 

A P

 RH 

0.578 y 2 2.310 y

 R H  0.250 y

El valor de y que satisface la ecuación de Manning se denomina profundidad normal yn.

Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning: Q

0.300 

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n



1 0.250 y 2 / 3 0.0401 / 2 0.578 y 2 0.010

  0.300 x 0.010  y n   1/ 2 2/3  0.040 x 0.250 x 0.578 



3/8

 y n  0.36 m

b) La profundidad crítica yC es aquella profundidad que satisface la condición de flujo crítico, es decir: Q2 T 1  g A3

0.300 2 x 1.155 y C 



9.81 x 0.578 y C



2 3

 0.300 2 x 1.155    1  y C   3   9.81 x 0.578 

1/ 5

 y C  0.56 m

Problema F.II-4.04 Por el canal trapezoidal mostrado en la figura, circula agua en régimen uniforme. Si se dispone de la siguiente información: ancho de la base o plantilla b = 3.00 m, coeficiente de Manning n = 0.010, talud lateral m = 1.00, S0 =0.0036 y profundidad crítica yC = 2.00 m. determinar: a) La velocidad crítica VC. b) La energía mínima Emin. c) El caudal. d) La profundidad normal yn. e) Tipo de flujo.

121



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la velocidad crítica, condición de flujo crítico. 2

vC  Q 2 TC g AC

3

Q2

1 

AC  b yC  m yC

2

AC

2



g AC TC

Q2 AC

2

2

 vC 

g AC TC

 A C  3.00 x 2.00  1.00 x 2.00 2

TC  b  2 m y C

g AC TC

 vC 

 A C  10.00 m 2

 TC  3.00  2 x 1.00 x 2.00  TC  7.00 m

vC 

9.81 x 10.00 7.00

 v C  3.74 m / s.

Determinación de la energía especifica mínima. 2

E min

v  yC  C 2g

 E min

kg . m 3.74 2  2.00   E min  2.71 2 x 9.81 kg

 E min  2.71 m.

Determinación del caudal. Q  vC AC

 Q  3.74 x 10.00  Q  37.40 m 3 / s.

Determinación de la profundidad normal. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning. 2 1 1  b y n  m y n 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q  n n  b  2 y n 1  m 2

1  3.00 y n  1.00 y n 37.40  0.010  3.00  2 y n 1  1.00 2 2

   

2/3

   

2/3

S0

1/ 2

b y

n

 m yn

2



0.00361 / 2 3.00 x y n  1.00 x y n 2 

El valor de yn es aquel que satisface la ecuación anterior el cual se puede obtener por tanteo, por un programa o mediante la utilización de un gráfico. La ecuación anterior se satisface para yn = 1.47 m. Utilización del gráfico adimensional:

122



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Qn S0

con el valor de

1/ 2

b8 / 3

Qn S0

1/ 2

b

8/3



37.40 x 0.010

0.0036 3.00 1/ 2

8/3

Qn



S0

 0.33 se encuentra en el gráfico

1/ 2

b8 / 3

 0.33

yn  0.50 , por lo tanto: b

y n  0.50 x b  y n  0.50 x 3.00  y n  1.50 m  1.47 m.

bien 

Determinación del tipo de flujo. Se puede determinar comparando la profundidad normal con la profundidad crítica así: Como yn < yC (1.47 m < 2.00 m) el flujo es supercrítico También se puede determinar el tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude. El número de Froude para una sección no rectangular es: F

F

Q2 T g A3

37.40 2 x 3.00  2 x 1.00 x 1.47 



9.81 x 3.00 x 1.47  1.00 x 1.47 2



3

 F  1.73

Como el número de Froude es mayor que 1 el flujo es supercrítico. 123



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la energía especifica correspondiente a la profundidad normal.

2

E  yn 

vn 2g

Q   A  E  yn    2g

2

E  3.12

 37.40  3.00 x 1.47  1.00 x 1.47 2  E  1.47   2 x 9.81 kg . m kg

  

2

 E  3.12 m.

Problema F.II-4.05 Determinar el caudal o gasto que circula por el canal cuya sección transversal se muestra en la figura si la pendiente longitudinal es de 1/2000 y el coeficiente de rugosidad de Manning es de 0.017.

Determinación del área mojada: 1  A  A 1  A 2  2 A 3  A  5.40 x 1.50  3.00 x 1.20  2  1.20 x 1.20   A  13.14 m 2 2  Determinación del perímetro mojado: P  2 L1  2 L 2  b  P  2 x 1.50  2 x 1.20 2  1.20 2  3.00  P  9.40 m

Determinación del caudal mediante la ecuación de Manning: Q

1 1  13.14  2/3 1/ 2 R H S0 A  Q    n 0.017  9.40 

2/3

124

 1     2000 

1/ 2

13.14  Q  21.64 m 3 / s.



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-4.06 Por un canal trapezoidal con ancho de la base o plantilla b = 2.40 m, taludes laterales con m = 0.80, coeficiente de Manning n = 0.012 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001circula agua en régimen uniforme. Si la energía especifica mínima, es Emin = 2.40 kg.m/kg. Determinar: a. b. c. d.

La profundidad crítica yC. El caudal. La profundidad normal. El tipo de flujo.

Determinación de la profundidad crítica. La condición de flujo crítico es: Q2 T 1  g A3

Q2 A  2 T gA

2



vC A  C g TC

2

 

vC b yC  m yC  2 g b  2 m yC



 

2

Al sustituir el valor de la velocidad crítica en la ecuación de la energía mínima se obtiene:

vC 2g

b y  m y  2 b  2 m y  2

2

E min  y C 

 E min  y C 

C

C

2

C

2.40 x y  0.80 x y   2 2.40  2 x 0.80 x y  2

2.40  y C

C

C

2

C

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.76 m.

Determinación del caudal:  g A3  Q2 T   1  Q   g A3  T 

1/ 2



 



Q  23.79 m 3 / s.

g b y m y 2 C C  Q  b  2 m y C  

3

1/ 2

 

al sustituir los valores se tiene:



 9.81 x 2.40 x 1.76  0.80 x 1.76 2 Q  2.40  2 x 0.80 x 1.76  125



3

   

1/ 2



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning. 2 1 1  2.40 y n  0.80 y n 2/3 1/ 2 Q  R H S 0 A  23.79  n 0.012  2.40  2 y n 1  0.80 2

esta ecuación se satisface para yn = 3.74 m, ( y n  y C

   

2/3



0.00011 / 2 2.40 y n  0.80 y n

 flujo subcrítico)

Otra forma de obtener la profundidad normal yn es a través de los gráficos adimensionales. Con

Qn S0

1/ 2

b

8/3



23.79 x 0.012 y  2.76 se encuentra en el gráfico siguiente  1.60 1/ 2 8/3 b 0.0001 x 2.40

por lo tanto yn = 1.60 x 2.40 = 3.84 m. este procedimiento gráfico no es exacto, el valor verdadero es yn = 3.74 m. Otra manera para determinar el tipo de flujo es determinar el número de Froude sección no rectangular así: F

Q2 T g A3

 F

23.79 2 x 2.40  2 x 0.8 x 3.74 9.81 x 2.40 x 3.74  0.8 x 3.74 2





 F  0.24

F = 0.24 < 1 indica que el flujo es subcrítico.

Problema F.II-4.07 Se desea construir un canal rectangular muy rugoso con un valor de la n de Manning de 0.035. El canal debe transportar un caudal de 43.20 m3/s. y tiene una pendiente longitudinal del uno por mil. Determinar el ancho del canal y la profundidad del agua para una sección hidráulica óptima. 126

2





______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir: RH 

y ; 2

RH 

A P

by A y y b 1       2b b2 y  2bb 2 y  b 2 y P 2 b2 y 2 b2 y 2

Determinación de la profundidad normal mediante la ecuación de Manning. 1 1 y  2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q   n  n 2  n

 Q n 22 / 3  y n   1 / 2   S0 2 

3/8

2/3

S0

1/ 2

2 y n

yn   yn

 43.20 x 0.035 x 2 2 / 3    y n   0.0011 / 2 2  

b  2 yn

8/3



Q n 22 / 3 S0

1/ 2

2

3/8

 y n  3.91 m.

 b  2 x 3.91  b  7.82 m.

Problema F.II-4.08 Para un canal triangular, simétrico, de concreto, con un valor del coeficiente n de Manning de 0.015 y vértice con un ángulo de 90º que conduce un caudal de 5.00 m3/s en flujo uniforme, con una pendiente longitudinal S0 de 0.001 determinar: 1. La profundidad normal del agua. 2. El esfuerzo cortante promedio en el contorno. 3. El coeficiente de Chezy. 4. El factor de fricción f de Darcy. 5. La rugosidad ε en el diagrama de Moody que produce dicha fricción si la viscosidad cinemática ν, del agua es 1 x 10-6 m2/s. 6. Como es el flujo, sub crítico, crítico o super crítico. 7. La profundidad alterna que corresponde a la misma energía especifica.

127



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del área:

A  2 A1

1   A  2  y y  A  y2 2 

Determinación del perímetro P.

P  2 L  P  2 y2  y2

 P  2 2 y2

 P2y 2

Determinación del radio hidráulico RH.

A RH  P

 RH 

y2 2 2y

 RH 

y 2 2

Determinación de profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.

1  y  1 2/3 1/ 2 Q  R H S 0 A  5.00  n 0.015  2 2 



 5.00 x 0.015 x 2 2 y  0.0011 / 2 



2/3

   

2/3

0.0011 / 2 y 2

3/8

 y  1.79 m

Determinación del esfuerzo cortante promedio en el contorno  0 . 1.79  0   R H S 0   0  1000 x x 0.001   0  0.63 kg / m 2 2 2 Determinación del coeficiente C de Chezy. 1/ 6

1/ 6

R C H n

 1.79    2 2    C 0.015 128

 C  62 m1 / 2 / s



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del factor de fricción f de Darcy.

f

8g C2

 f

8 x 9.81  f  0.024 62 2

En número de Reynolds equivalente para el flujo en este canal es:

R

v 4 R H  

 5.00   1.79  Q 4    4 R H  2   1 . 79   A  2 2   R  3.95 x 10 6  R   R  1 x 10 6

Determinación de la rugosidad ε, en el diagrama de Moody que produce la fricción f.  Con f = 0.024 y R = 3.95 x 106 se encuentra en el diagrama de Moody  0.0011 por lo 4 RH

tanto   0.0011 x 4 R H

 1.79      0.0028 m    2.8 mm    0.0011 x 4   2 2

Determinación del tipo de flujo. a.

Mediante la determinación de la profundidad crítica.

 5.00 2 x 2  5.00 2 x 2 y C  Q2 T        1 1 y C 2 3 g A3  9.81  9.81 x y C

 

como yn = 1.79 m. > yC = 1.39 m. el flujo es subcrítico b.

Mediante la determinación del número de Froude.

El número de Froude para una sección no rectangular es: F

Q2 T g A3 129

1/ 5

 y C  1.39 m.



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F

5.00 2 x 2 x 1.79 



9.81 x 1.79 2



3

 F  0.53

Como el número de Froude es menor que 1 el flujo es subcrítico. Determinación de la profundidad alterna. 2

 5.00    1.79 2   E  1.79  2 x 9.81

 E  1.91 m

2

 5.00   2  y  1.91  y   2 x 9.81



y  1.13 m

Problema F.II-4.09 El canal mostrado en la figura tiene un coeficiente de Chezy de 55 m1/2/s y transporta 10.00 m3/s de agua en régimen uniforme. Determinar: a La pendiente que debe tener el canal. b El coeficiente de fricción f de Darcy. c El coeficiente n de Manning. d El esfuerzo cortante  0 promedio del contorno. e El caudal por unidad de ancho q.

Determinación del área transversal A.

A  A1  A 2  A 3

 A  1.20 x 1.20 

1 1 1.20 x 1.20  1.20 x 2.40  A  3.60 m 2 2 2

Determinación del perímetro mojado P.

P  L1  L 2  L 3

 P  1.20  1.20 2  1.20 2  1.20 2  2.40 2 130

 P  5.58 m



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del radio hidráulico RH.

RH 

A P

 RH 

3.60  R H  0.65 m 5.58

La ecuación que expresa el caudal en un canal en función del coeficiente de Chezy es: Q  C RH Determinación de la pendiente del canal.

S0 

Q2 C2 R H A2

1/ 2

S0

1/ 2

A

10.00 2 55 2 x 0.65 x 3.60 2

 S0 

 S 0  0.00392

Determinación del factor de fricción f de Darcy. C

8g f

 f 

8g C2

 f 

8 x 9.81  f  0.026 55 2

Determinación del coeficiente de n de Manning. 1/ 6

R n H C



1/ 6  0.65 n

55

 n  0.017

Determinación del esfuerzo cortante  0 .

 0   R H S0

  0  1000 x 0.65 x 0.00392   0  2.55 kg / m 2

El concepto de caudal unitario solamente es válido para canales rectangulares por lo tanto el caudal unitario para este canal no existe. Problema F.II-4.10 Un canal muy ancho conduce agua en flujo uniforme con una profundidad de 4.00 m. y una velocidad de 1.50 m/s. El coeficiente de fricción de Chezy es de 75 m1/2/s. Determinar: a. La pendiente S0 del canal. b. La rugosidad n de Manning. c. El factor de fricción f de Darcy. La altura ε de las rugosidades. d. Determinación de la pendiente del canal S0.

vCy

1/ 2

S0

1/ 2

 S0

1/ 2

v  C y1 / 2

 v  S 0   1/ 2 C y 131

  

2

 1.50    S 0    4.00 x 75 

2



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S 0  0.0001 Determinación de la n de Manning. 1/ 6

R C H n

1/ 6  4.00 n

1/ 6

R  n H C



 n  0.017

75


C

8g f

 C2 

8g f

 f

8g C2

 f 

8 x 9.81  f  0.014 75 2

Determinación de las rugosidades.

El número de Reynolds representativo para canales es: R

v 4 R H  1.50 x 4 x 4.00   R  R  2.40 x 10 7 6  1 x 10

con el valor de R = 2.40 x 107 y f = 0.014 se encuentra en el diagrama de Moody   0.0002 , según se muestra en el siguiente esquema. 4 RH

Esquema del diagrama de Moody. por lo tanto ε = 0.0002 x (4 x 4.00)



ε = 0.003 m 132



ε = 3 mm.



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-4.11 Un canal trapezoidal de sección transversal mínima transporta un caudal de 2.25 m3/s. La pendiente longitudinal es S0 = 0.0008 y la rugosidad de Chezy es C = 80 m1/2 /s. Los taludes laterales están inclinados 45º con respecto a la horizontal. Determinar:

a. b. c. d. e.

La anchura del fondo del canal B. La profundidad normal yn. La rugosidad n de Manning. El factor f de fricción de Darcy. El diámetro de los elementos de rugosidad que constituyen el contorno.

El valor de m es: m  ctg   m  ctg 45 0

 m  1.00

La sección hidráulica óptima es aquélla que corresponde a la sección transversal mínima. RH 

y 2



yn y n b  1.00 y n   2 b  2 y n 1  1.00 2



b  0.828 y n

Determinación de la profundidad normal. Yn. Q  C RH

y  2.25  80.00  n   2 

1/ 2

1/ 2

S0

1/ 2

0.00081 / 2 0.828 y n 2  y n 2 

  2.25 x 21 / 2  y n   1/ 2 80 . 00 x 0 . 0008 x 1 . 828   b  0.828 y n

A

2/5

 y n  0.90 m.

 b  0.828 x 0.90  b  0.745 m.

Determinación de la n de Manning. 1/ 6

1/ 6

C

RH n

1/ 6

 n

RH C

 0.90    2    n 80.00 133

 n  0.011



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


C

8g f

 C2 

8g f

 f

8g C2

 f 

8 x 9.81  f  0.012 80.00 2

Determinación de las rugosidades.

El número de Reynolds representativo para canales es:

R

v 4 R H  

Q  y 4  A  2  R R 

 2.25  2  0.745 x 0.90  1.00 x 0.90 1 x 10 6

  0.90   x  4 x  2   

R  2.74 x 10 6 con el valor de R = 2.74 x 106 y f = 0.012 se encuentra en el diagrama de Moody   0.00005 , según se muestra en el siguiente esquema. 4 RH

Esquema del diagrama de Moody.

por lo tanto ε = 0.00005 x

0.90 2



ε = 0.00009 m

134



ε = 0.09 mm.



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-4.12 En un canal trapezoidal de ancho de la base b = 6.00 m, talud lateral con m = 2.00 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001 circula agua en régimen uniforme con un caudal de 20.00 m3/s con una velocidad media de 0.50 m/s. Determinar:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

La profundidad normal yn. La profundidad hidráulica media ym. El tipo de flujo. El radio hidráulico. El coeficiente n de Manning. El coeficiente C de Chezy. El factor de fricción f de Darcy. El esfuerzo cortante promedio  0 . La profundidad crítica. La velocidad crítica.

Determinación de la profundidad nonrmal yn.

QvA  A A  b yn  m yn

2

20.00 Q  A  A  40.00 m 2 v 0.50

 40.00  6.00 y n  2.00 y n

2

2

 2 y n  6 y n  40  0

Esta ecuación de segundo grado se satisface para un valor positivo de yn = 3.22 m. Determinación de la profundidad hidráulica media ym.

Se define la profundidad hidráulica media como la relación existente entre el área mojada y el ancho de la superficie libre como se indica en la siguiente figura.

A ym  T

b y  m y2  ym  b2m y

 ym 

40.00  y m  2.12 m. 6.00  2 x 2.00 x 3.22

Determinación del número de Froude para sección no rectangular.

135



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F

v

0.50

 F

g ym

 F  0.11 < 1

9.81 x 2.12

(Flujo sub crítico)

Determinación del radio hidráulico. RH 

A P

 RH 

b y  m y2 b  2 y 1 m2

40.00

 RH 

6.00  2 x 3.22 1  2.00 2

R H  1.96 m.

Determinación de coeficiente n de Manning.

v

1 2/3 1/ 2 R H S0 n

 n

RH

2/3

S0

1/ 2

 n

v

1.96 2 / 3 x 0.00011 / 2 0.50

 n  0.03

Determinación de la C de Chezy. 1/ 6

R C H n

 C

1.961 / 6 0.03

 C  37.29 m1 / 2 / s.

Determinación del factor de fricción f de Darcy. C

8g f

 C2 

8g f

 f

8g C2

 f 

8 x 9.81  f  0.056 37.29 2

Determinación del esfuerzo cortante  0 .

 0   R H S0

  0  1000 x 1.96 x 0.0001   0  0.196 kg / m 2

Determinación de la profundidad crítica.

Mediante la utilización condición de flujo crítico. Q2 T 1  g A3

20.00 2 6.00  2 x 2.00 y C 



9.81 6.00 y C  2.00 y C

Esta ecuación se satisface para yC = 0.93 m. Mediante la utilización de los gráficos adimensionales. Q 20.00   0.072 5/ 2 1/ 2 g b 9.81 6.00 5 / 2 1/ 2

136



2 3

1



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

con el valor de críticas

Q  0.072 se encuentra en el diagrama adimensional de profundidades g b5/ 2 1/ 2

yC  0.156 , según se muestra en el siguiente esquema. b

por lo tanto yC = 0.156 x 6.00



yC = 0.93 m.

Determinación de la velocidad crítica vC.

vC 

Q AC

 vC 

20.00 6.00 x 0.93  2.00 x 0.93 2

 v C  2.74 m / s.

Problema F.II-4.13 Determinar la profundidad normal y para que el caudal sea máximo en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.

 S 01 / 2 1 2/3 1/ 2 Q  R H S 0 A  Q   n  n

3

3   A 2 / 3  S 1/ 2     A  Q3   0  A P  n  P2   

137



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para que el caudal sea máximo

A5/3 debe ser máximo. Esto es equivalente a que el caudal al P2/3

A5 es máximo. P2 Este valor se encuentra derivando la expresión anterior e igualándola a cero.

cubo es máximo cuando

El área mojada es, según el siguiente esquema: 1  A  10.00 y  2  y 2   A  10 y  y 2 2  El perímetro mojado según el siguiente esquema es: P  10.00  2 2 y  P  10  2.83 y

A5 P2

A5 10  y 2   P 2 10  2.83 y 2 5



 A5  d  2  P  0  dy

d  10  y 2  d y  10  2.83 y 2 5

 0  

al derivar respecto a y se obtiene:



5 10 y  y 2

 10  2 y  10  2.83 y  4

2



 2 10  2.83 y  2.83 10 y  y 2

10  2.83 y 



5

2 2

0

5 10 y  y 2  10  2 y  10  2.83 y   2 10  2.83 y  2.83 10 y  y 2   0 4

2

al simplificar se obtiene: 22.64 y 2  15.10 y  500  0 138

5



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:

A  22.64 ; B  15.10 ; C  500 cuya solución es: y

 15.10 

15.102  4 22.64  500 2 22.64  y1  5.04 m,

 y

 15.10  213.33 45.28

y 2  4.38 m

Problema F.II-4.14 Pruebe que la sección triangular más eficiente es aquélla que tiene un ángulo de 90º en el vértice.

1 1 A 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q    n n P

2/3

S0

1/ 2

AA

5/3

 Qn   1 / 2  S0

 2/3  P A Qn   S 1/ 2   0

3/ 5

   

3/ 5

P2/5

 Qn  por ser constante el termino  1/ 2  se puede denominar K, entonces A  K P 2 / 5  S0  lo que muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Como se quiere obtener el talud óptimo se debe hallar la derivada del perímetro mojado con respecto al talud m e igualarla a cero. 1  A  2  m y  y 2  P  2 y 2  m y 

2



 P  2 y 1 m2 139

A  m y2

 y

P 2 1 m2



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

sustituyendo y en la expresión anterior se tiene:  P A  m  2 1 m2 

   

2

 A

m P2 4 1  m 2 

al igualar las dos expresiones del área se obtiene: KP

al realizar

m P2  4 1 m2





 m  K P 2 / 5  P 2  2  4 1 m





  

dP  0 en la expresión anterior, se obtiene: dm k

al sustituir

2/5

2    2 3 / 5 dP dp  m 2 1 1 1  m   2 m  m   P P 2P    2  2 5 dm dm  4 1  m   4  1  m 2  

dP  0 en la expresión anterior se obtiene: dm P2 4

1 1  m 2   2 m  m  0  2 2   1 m   



1 1  m 2   2 m  m

1  m 

2 2

0

1 1  m 2   2 m  m  0  1  m 2  2 m 2  0  m  1

m  1    45º    2     2 x 45º    90º Problema F.II-4.15 Determinar la profundidad y como función de h para que en el canal, cuadrado, mostrado en la figura la velocidad sea máxima. La pendiente S0 y la rugosidad n se consideran constantes.

140



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 2/3 1/ 2 v  R H S0 n

 S 01 / 2  v    n

  R H2/3  

 v

3/ 2

 S 01 / 2    n

   

3/ 2

RH

Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios es máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema: 2

h 2 1 h2   2  h  y 2   A  2 y h  A    y2  2 2 2     El perímetro mojado según el siguiente esquema es: h 2   2 2  y  h   P  2 2 y P  2   2   2 

El radio hidráulico es:

RH 

A P

 RH 

h2  y2 2 2 2y

2yh

al derivar RH respecto a y se obtiene:

d RH 0  dy

 h2 2 y h  y2 d  2 d x 2 2y   141

  0   



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  h2 2 y  2 2  2 y h   y 2  2   0 2 2 2y

2 h  2 y  2





  h2 2 y  2 2  2 y h   y 2   0 2  

2 h  2 y  2 al simplificar se obtiene: 2 y2  h2

y 1  h 2





y  0.707 h

Problema F.II-4.16 Determinar la sección hidráulica óptima (b,y) del canal mostrado en la figura, el cual transporta un caudal Q de 30.00 m3/s, el coeficiente n de Manning es de 0.020 y la pendiente longitudinal S0 es 1/10000.

1 1 A 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q    n n P

2/3

S0

1/ 2

AA

5/3

 Qn   1 / 2  S0

 2/3  P A Qn   S 1/ 2   0

   

3/ 5

P2/5

3/ 5

 Qn  por ser constante el termino  1/ 2  se puede denominar K, entonces A  K P 2 / 5 , lo que  S0  muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Así la sección óptima desde el punto de vista de economía en la excavación también es hidráulicamente óptima cuando se produce mínima infiltración y mínimo revestimiento. La sección óptima se encuentra derivando el perímetro mojado respecto a y e igualando la expresión a cero. A b y P  y  b  y 2  m y 

2

1 2 y y   A  b y  y 2 2  P  yb 5 y  b  Py 5 y

142



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

sustituyendo b en la expresión anterior se tiene:





A  P  y  5 y y  y2

 A  P y  5 y2

al igualar las dos expresiones del área se obtiene: P y  5 y2  k P2/5 al realizar

dP  0 en la expresión anterior, se obtiene: dy 2 dp dP y  P  2 5 y  k P 2 / 51 dy 5 dy

al sustituir

dP  0 en la expresión anterior se obtiene: dy

P2 5 y 0  P  2 5 y

perímetro mínimo

El radio hidráulico óptimo es:

RH 

A P

 RH 

P y  5 y2 2 5y

 RH 

2



5y y

2 5y

 RH 

y 2

b y  y2 y b  y  by y y y 1 RH         b  1.24 y 2 2 yb 5 y 2 yb 5 y 2 yb 5 y Para las condiciones encontradas se tiene, según la ecuación de Manninag: 1 1 y 2/3 1/ 2 Q  R H S 0 A  30.00    n 0.020  2  1 y2/3 30  0.00011 / 2 2.20 y 2 2/3 0.020 2

2/3

0.00011 / 2 1.24 y  y  y 2 

 30 x 0.020 x 2 2 / 3    y   1/ 2  2 . 24 x 0 . 0001  

3/8

b  1.24 y  b  1.24 x 4.08  b  5.06 m. 143

 y  4.08 m



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-4.17 Determinar la profundidad y (profundidad normal) en función de z para que la velocidad sea máxima en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.

1 2/3 1/ 2 v  R H S0 n

 S 01 / 2  v    n

  R H2/3  

 v

3/ 2

 S 01 / 2    n

   

3/ 2

RH

Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios sea máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema: 1  A  z y  2  y2   A  z y  y2 2  El perímetro mojado según el siguiente esquema es: Pz2 2 y

El radio hidráulico es: RH 

A P

 RH  144

z y  y2 z2 2 y



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d  z y  y 2  0 d x  z  2 2 y 

d RH 0  dy al derivar RH respecto a y se obtiene:

z  2 y  z  2

z  2

z  2 y  z  2





2 y  2 2 z y  y2 2y



2

0



2 y  2 2 z y  y 2   0

al simplificar se obtiene:

2 2  y

2





 2 z  y   z 2  0

la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:

A  2 2  ;

B  2 z ;

C  z  2

cuya solución es: y

 2 b  

2 b 2  4 2



2 2 2



 

2  z2

 y

 2 b  3.91 b 5.66

 y

 2 b  3.91 b 5.66

y  0.34 b Problema F.II-4.18 El canal que se muestra en la figura conduce un caudal de 740 l/s con una pendiente longitudinal de 0.0001. Si la rugosidad de Manning es 0.0378 y el radio del semicírculo inferior es de 1.00 m. Determinar:

a. b. c.

La profundidad normal yn. La profundidad crítica yC. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).

145



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn, mediante la ecuación de Manning.

Q

1 1 A 1/ 2 1/ 2 R H S0 A  Q    n nP

1/ 2

S0

1/ 2

A

Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yn es mayor que 1.00, entonces:

A  A1  A 2

P  P1  P2

 A  2.00 X 

 P2X

1  2.00 2 2 4

 A  2 X  1.57

1  2.00  P  2 X  3.14 2

1  2 X  1.57    0.740  0.0378  2 X  3.14 

2/3

0.00011 / 2 2 X  1.57 

La solución de esta ecuación es X = 1.00 m, por lo tanto y n  X  1.00  y n  1.00  1.00  y n  2.00 m como yn = 2.00 m > 1.00 m la hipótesis asumida es correcta.

Determinación de la profundidad normal yC mediante la utilización del gráfico adimensional.

Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es menor que 1.00, entonces, Q gd con

Q g d 2.5

2.5



0.740  0.042 9.81 x 2.00 2.5

 0.042 en el gráfico adimensional de profundidad crítica para canales

circulares se encuentra

yC  0.20 d

146



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

por lo tanto y C  0.20 x 2.00  y C  0.40 m  1.00 m , valor que satisface la hipótesis asumida, por lo tanto yC = 0.40 m. Determinación del tipo de flujo.

Como yn = 2.00 m > yC = 0.40 m el flujo es sub crítico. Problema F.II-4.19 Se presenta flujo uniforme en un canal de concreto con un coeficiente n de Manning de 0.015 a una profundidad de 0.80 m con una pendiente S0 de 0.01. La sección transversal correspondiente se muestra en el esquema. Determinar:

a. b.

El caudal. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).

Determinación del caudal Q, mediante la ecuación de Manning.

Q

1 1 A 1/ 2 1/ 2 R H S0 A  Q    n nP

147

1/ 2

S0

1/ 2

A



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2/3

 A1  A 2   P1  P2

  

1  1.20 x 0.20  1.20 2 1  24 Q 1 0.015   0.20 x 2   1.20 2 

     

1 Q n

S0

1/ 2

A1  A 2 

2/3

1   0.011 / 2 1.20 x 0.20  1.20 2  24  

Q  2.68 m 3 / s. a.

Determinación del tipo de flujo mediante la comparación entre la profundidad crítica yC y la profundidad normal yn.

La condición de flujo crítico es: Q2 T 1 g A3 Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es mayor que 0.60, entonces: Q2 T 1  g A3

 2.68 2 x 1.20  2.68 2 x 1.20      1 A 9.81 9.81 A 3  

0.985  y C  0.60 1.20 

1  1.20 2 2 4

1/ 3

 A  0.958 m 2

 y C  0.928 m

como yC = 0.928 m > 0.60 m la hipótesis asumida es correcta por lo tanto yC = 0.928 m. como yn = 0.80 m < yC = 0.928 m, el flujo es supercrítico. b.

Determinación del tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude.

F

Q2 T g A3

 F

2.68 2 x 1.20 1    9.81  0.20 x 1.20  1.20 2  2 4  

como F = 1.30 > 1, el flujo es supercrítico. 148

3

 F  1.30



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-4.20 Por un canal circular de coeficiente de Chézy igual a 98 m1/2/s, fluye agua con una profundidad igual al radio. Si en estas condiciones el flujo uniforme es crítico cuál será la pendiente del canal.

La ecuación de Chézy para flujo uniforme indica que el caudal es: Q  C R

1/ 2

S0

H

1/ 2



A

Q2  C2 R

H

S0 A 2

La condición de flujo crítico es: Q2 T 1 g A3

g A3 Q  T



2

como el flujo uniforme es crítico, al igualar las ecuaciones anteriores se obtiene:

C 2 R H S0 A 2 

gA T

S0 

3

 C 2 R H S0 

g 2 C2



gA T

S0 

1 2 D  2 2 4  C   1D   2

3.14 x 9.81 2 x 98 2



1  2  g D   2 4    S0  D   

S 0  0.0016

Problema F.II-4.21 ¿Qué radio debe tener un canal semicircular para transportar 2700.00 l/s, en flujo uniforme con una pérdida de energía de 1.25 m por kilómetro de canal, si el coeficiente de Manning es 0.018? ¿Existe una sección rectangular que tenga menos perímetro?

149



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En flujo uniforme, la línea de energía, la línea de la superficie del agua y la línea del fondo del canal son paralelas es decir; tienen la misma pendiente. Determinación de r mediante la ecuación de Manning.

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

1  r2 2700 1  2  1000 0.018   r  

     

2/3

 1.25     1000 

 2700   x 0.018 x 2 2 / 3 x 2    r   1000  1/ 2   1.25  x 3.14      1000  

1/ 2

1  r2 2

3/8



r  1.13 m.

Determinación de las dimensiones óptimas de un canal rectangular.

La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir: RH 

y ; 2

RH 

A P

by A y y b 1       2b  b2 y  2bb  2 y  b  2 y P 2 b2 y 2 b2 y 2

1 1 y  2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q   n  n n 2 

2/3

150

S0

1/ 2

2 y n

yn   yn

8/3



Q n 22 / 3 S0

1/ 2

2



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 Q n 22 / 3  y n   1 / 2   S0 2 

3/8

  2700   2/3   x 0.018 x 2   1000    yn     1/ 2  1.25     2     1000   

b  2 yn

3/8

 y n  1.03 m.

 b  2 x 1.03  b  2.06 m.

El perímetro de la sección semicircular es: P1   r  P1  3.14 x 1.13  P1  3.55 m.

El perímetro de la sección rectangular es: P2  b  2 y  P2  2.06  2 x 1.03  P2  4.12 m

La sección semicircular tiene menos perímetro que la rectangular, por lo tanto la sección semicircular es mejor ya que tiene menos revestimiento y menos área de infiltración. Problema F.II-4.22 Un canal circular de 5.00 m de diámetro conduce en flujo uniforme un caudal de 10.00 m3/s. Si el agua ocupa la mitad del diámetro y n = 0.012, determinar:

a. b.

La pendiente del canal. El mínimo diámetro para que persista la condición de superficie libre.

Determinación de la pendiente del canal.  Qn  1 2/3 1/ 2  Q  R H S 0 A  S 0   2/3  n R A  H 

2

     Qn   S0    2/3   A  A   P    

1  10.00 x 0.012   5.00  2  S0  10 / 3  1  5.00 2   2 4  2

2

 S0 

Q2 n 2 P4/3 A 10 / 3

4/3

2

 S 0  0.00011

Determinación del mínimo diámetro.

Se requiere el mínimo diámetro para que el canal fluya lleno sin presión, es decir que el conducto se comporte como un canal donde tenga validez la ecuación de Manning. 151



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 n

 Q n 42 / 3 x 4   D   1/ 2   S0  

3/8

 2 D 1  4 A  Q n D  

     

2/3

S0

 10.00 x 0.012 x 4 5 / 3    D   1/ 2  0.00011 x 3.14 

1/ 2

 2  D   4

3/8

 D  3.86 m.

Problema F.II-4.23 Por una alcantarilla de drenaje fluye un caudal 56 l/s. en flujo uniforme. La alcantarilla tiene una pendiente de 1 por mil y un diámetro de 45 cm con un valor de n de 0.015. Determinar:

a. b.

Q ll 

La profundidad normal. La velocidad media

1 1 A 2/3 1/ 2 R H S 0 A  Q ll    n nP

1  D Q ll    n 4 

2/3

S0

1/ 2

 2 D 4

2/3

S0

1/ 2

 2 D 1  4 A  Q ll  n  D  

1  0.45   Q ll    0.015  4 

2/3

     

0.0011 / 2

2/3

S0

 0.45 2 4

Q ll  0.078 m 3 / s.

v ll 

Q ll A ll

 v ll 

Q ll  2 d 4

 v ll 

0.078  0.45 2 4

 v ll  0.49 m / s.

con

y Q 0.056   0.72 , se encuentra en el siguiente gráfico n  0.63 , d Q ll 0.078

con

yn v  1.10 ,  0.63 , se encuentra en el siguiente gráfico d v ll

152

1/ 2

 2  D  4 



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

entonces

yn = 0.63 x 0.45



yn = 0.28 m.

entonces

vll = 1.10 x 0.49



vll = 0.54 m/s.

Problema F.II-4.24 El canal mostrado en la figura tiene una pendiente longitudinal S0 = 0.001, con las rugosidades y profundidades indicadas. Determinar:

a. b. c. d. e.

a.

La rugosidad equivalente de Manning suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones. La rugosidad equivalente de Manning tomando la áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto a. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto b. Calcular el porcentaje de error en el gasto total si consideramos que el valor de n determinado en el punto b es el correcto.

Suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones.

P n

1

1.5

n1

 .............  Pm n m P2/3



1.5 2 / 3

P1  3.00 2  3.00 2  10.00  P1  14.24 m. P2  2.00 2  4.00 2  4.00  10.00 2  5.00 2

 P2  19.65 m.

153



______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

n

14.24 x 0.015

1.5

 19.65 x 0.0301.5

14.24  19.652 / 3



2/3

n  0.0243

b.

Tomando las áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades.

A5/ 3 n  2/3 P

A 1  10.00 x 3.00 

1  Ai5/ 3  1  n P 2 / 3   i i  n

1 3.00 x 3.00  A 1  35.40 m 2 . 2

1 1 A 2  4.00 x 5.00  5.00 x 10.00  5.00  3.00 4.00  A 2  61.00 m 2 2 2 A  A1  A 2 P  P1  P2

n

 A  35.40  61.00  A  95.50 m 2 .  P  14.24  19.65  P  33.89 m.

A5/ 3 P2/3

1  Ai5/3  1  n P 2 / 3   i i  n

 n

95.50 5 / 3 1 2/3 5/3 33.89   35.50 61.00 5 / 3    2/3 2/3  0.030 x 19.65   0.015 x 14.24 n  0.0225

c.

El caudal suponiendo n = 0.0243.

1  95.50  1 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q    n 0.0243  33.89  d.

2/3

x 0.0011 / 2 x 95.50  Q  247.94 m 3 / s.

El caudal suponiendo n = 0.0225.

Q

1 1  95.50  2/3 1/ 2 R H S0 A  Q    n 0.0225  33.89 

2/3

x 0.0011 / 2 x 95.50  Q  267.78 m 3 / s.

El porcentaje de error ε. 267.78  247.94 QC  Qd %   x 100  %   7.42 % x 100  %   267.78 Qd e.

154


FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capitulo 5 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de fricción de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una caída libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crítica. Determinar:

a. b. c. d. e. f. g. h.

La profundidad crítica. El coeficiente C de Chézy. La pendiente crítica SC. La pendiente del canal S0. La profundidad normal yn. La n de Manning. El tipo de flujo. El perfil que se produce aguas arriba de la sección terminal.

Determinación de la profundidad crítica yC.

yC 

3

q2 g

 yC 

3

Q2 B2 g

 yC 

3

1.50 2  y C  0.33 m. 2.50 2 x 9.81

Determinación de la C de Chézy. C

8g f

 C

8 x 9.81 m1 / 2  C  62.64 0.020 s

El caudal según la ecuación de Chézy es:





Q  v A  Q  C R H S0 A Determinación de la pendiente crítica SC.

En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:

2

Q  C R H C SC A C  Q 2  C 2 R H C SC A C  SC 

155

Q2 2 C2 R H C AC



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

SC 

Q2  b yC C 2   b  2 yC

 SC 

  b y C 2 

1.50 2  2.50 x 0.33   2.50 x 0.332 62.64 2   2.50  2 x 0.33 

S C  0.0032 Determinación de la pendiente del canal S0.

S0 

0.0032  S 0  0.0016 2

Determinación de la profundidad normal yn.

Q  C R H S0 A  Q  C R H

1/ 2

S0

1/ 2

 b yn A  Q  C   b  2 yn

 2.50 y n 1.50  62.64   2.50  2 y n

  

1/ 2

  

1/ 2

0.00161 / 2 b y n 

0.00161 / 2 2.50 y n 

la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinación de la n de Manning.

1/ 6

R n H C

 b yn  b  2 yn  n C

  

1/ 6

 2.50 x 0.42    2.50  2 x 0.42    n 62.64

1/ 6

 n  0.014

Determinación del tipo de flujo.

Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrítico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial.

En la caída, punto B, se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, según se muestra en el siguiente esquema.

156



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar:

a. b. c. d. e.

a.

La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. La prfundidad crítica yC. El caudal. Trazar cualitativamente el perfil superficial.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es suprcrítico.


E min 

3 yC 2

 yC 

2 E min 3

 yC 

2 1.52  y C  1.01 m 3

Determinación del caudal unitario q. yC  3

q2 g

3

 yC 

q2 g

3

3

 q 2  yC g  q  yC g

q  3.195

 q  1.013 x 9.81

m3 / s m

Determinación de la profundidad normal.

1 2/3 1/ 2 q  y n  S 0 y n n

1 5/3 1/ 2  q  y n  S 0 n

 3.195 x 0.0165  yn    1/ 2   0.0016

 qn  y n   1 / 2  S0

3/ 5

157

 y n  1.18 m.

   

3/5



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crítico por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces el flujo es subcrítico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crítica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal uno es subcrítico.

En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1.

La velocidad en el tramo 1 según la ecuación de Manning es: vn1  vn1 

1 2/3 1/ 2 R H S0 1 n

 vn 1 

1 2/3 1/ 2 y n 1 0.0016 0.0165

1 2/3 1/ 2 y n 1 S0 1 n

 v n 1  2.42 y n 1

2/3

La energía existente para esa profundidad es: E  yn 1 

vn 1

2

2g

 1.52  y n 1

2.42 y 



2/3 2 n1

2 x 9.81

 1.52  y n 1  0.30 y n 1

la ecuación anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario según la ecuación de Manning es: q

1 2/3 1/ 2 y n 1 S0 1 y n 1 n

 q

1 2/3 1/ 2 x 1.16 x 0.0016 x 1.16 0.0165

q  3.099

m3 / s m

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):

yC 

3

q2 g

3.0999 2  yC  9.81 3

158

 y C  0.99 m.



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.

1 2/3 1/ 2 q  y n 2 S0 2 y n 2 n

 yn 2

 qn   1/ 2  S0 2 

   

3/ 5

 yn 2

 3.099 x 0.0165     1/ 2    0 . 0400  

3/ 5

yn 2 =0.44 m. Perfiles superficiales.

En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S. 

A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y ésta permanece constante hacia aguas abajo.



En el punto C se produce la profundidad crítica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.



Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrítico tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2

159



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrítico. La manera físicamente posible para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.

Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en régimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar:

a. b. c. d. e. f.

La profundidad normal. La energía correspondiente a la profundidad normal. La profundidad crítica. La energía mínima La profundidad aguas arriba de la compuerta. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.

Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.

1 1  b yn 2/3 1/ 2 Q  R H S 0 A  Q   n n  b  2 yn

  

2/3

S0

1/ 2

b y n 

al sustituir los valores numéricos se tiene: 1  4.00 y n  5.00  0.01  4.00  2 y n

  

2/3

160

0.000011 / 2 4.00 y n 



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

la ecuación anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinación de la energía correspondiente a la profundidad normal.

v2 E  y 2g

Q2  E  y 2 g A2

Q2  E  y 2 2 g 4.00 y 

al sustituir los valores numéricos se tiene: E  3.39 

5.00 2

2 x 9.81 4.00 x 3.39

2

 E  3.40 m.


yC  3

q2 g

Q   3 B  yC  g

2

 5.00    3 4.00    yC  9.81

2

 y C  0.54 m.

Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrítico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinación de la energía mínima. 2

E min

v  yC  C 2g


Q2 2 g AC


2

Q2

2 g b y C 

al sustituir los valores numéricos se tiene: E min  0.54 

5.00 2

2 x9.81 4.00 x 0.54

2

 E min  0.81 m.

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta. 2

yB 

2

v vB  yC  C 2g 2g

 yB 

Q2 Q2  yC  2 g b y B  2 gb y C 

al sustituir los valores numéricos se tiene: yB 

5.00 2 5.00 2  0 . 20  2 2 19.62 4.00 y B  19.62 4.00 x 0.20

la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).

161

2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m, entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.



Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.



Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico, formándose éste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:

Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporción 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una sección terminal de caída libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisión inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide:

a. b. c. d. e. f.

La profundidad normal. El caudal. La profundidad crítica. El número de Froude. La profundidad antes de la compuerta. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.

162



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico.

La velocidad crítica es:  Q2 T   Q2     1  2 3   g A C g A

 A     C  T C

 Q2   2 2g A

  A      C  2 T C

2



 A  vC    2 g  2 T  C

Determinación de la profundidad crítica.

como la energía disponible es E0 = 3.00 m, entonces: 2

v E0  yC  C 2g

 A    E 0  y C    2 T C

2

b yC  m yC  E0  yC  2 b  2 m y C 

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC: 2

4.00 y C  1.00 y C 3.00  y C  , la cual se satisface para yC = 2.19 m. 2 4.00  2 x 1.00 x y C  Determinación de la velocidad crítica. 2

E0  yC 

vC 2g

2

 3.00  2.19 

vC  v C  3.98 m / s. 2 x 9.81

Determinación del caudal Q.

Q  vC AC



 Q  3.98 x 4.00 x 2.19  1.00 x 2.19 2



 Q  53.95 m 3 / s.


La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n 163



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1  4.00 y n  1.00 y n 53.95  0.013  4.00  2 y n 1  1.00 2 2

   

2/3

0.00041 / 2 4.00 y n  1.00 y n 2 

la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrítico, por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces la pendiente es subcrítica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crítica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es subcrítico.

En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinación de la profundidad normal yn.

La velocidad correspondiente a la ecuación de Manning es: 1 2/3 1/ 2 v  R H S0 n

1  4.00 y n  1.00 y n  v 0.013  4.00  2 y n 1  1.00 2 2

   

2/3

0.00041 / 2

La energía existente para esta profundidad es: E  yn 

v2 2g

al sustituir el valor de la energía y la expresión de la velocidad se tiene:  2  1  4.00 y n  1.00 y n  0.013  2   4.00  2 y n 1  1.00  3.00  y n  2g

   

la ecuación anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinación del caudal Q.

El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.-

Mediante la utilización de la ecuación de Manning. 164

2/3

 1/ 2  0.0004   

2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1  4.00 x 2.777  1.00 x 2.777 2 Q 0.013  4.00  2 x 2.777 1  1.00 2

   

2/3

0.00041 / 2 4.00 x 2.777  1.00 x 2.777 2 

Q = 39.40 m3/s. 2.-

Mediante la determinación de la velocidad a partir de la energía especifica. 2

E  yn 

2

vn v  3.00  2.777  n  v n  2 x 9.81 3.00  2.777   v n  2.092 m / s. 2g 2g

QvA

 Q  v n b y n  m y 2 

Q  2.092 4.00 x 2.777  1.00 x 2.777 2 



Q = 39.37 m3/s. Determinación de la profundidad crítica yC.

Q 2 b  2 m yC  Q2 T  1  2 g A3 9.81 b yC  m yC





3

39.402 4.00  2 x 1.00 x yC 

1 



9.81 4.00 yC  1.00 yC



2 3

1

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.82 m. como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrítico y los perfiles son tipo M.

Determinación del número de Froude. F

Q2 T g A3

 F

Q 2 b  2 m y n 



9.81 b y n  m y n



2 3

F

39.40 2 4.00  2 x 1.00 x 2.777 



9.81 4.00 x 2.777  1.00 x 2.777 2



3

F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrítico. Determinación de la profundidad antes de la compuerta.

Si se considera que en la compuerta no hay pérdida de energía entonces la energía antes de la compuerta es igual a la energía después de la compuerta por lo tanto: E1  E 2

 y1 

Q2 2 g A1 165

2

 y2 

Q2 2 g A2

2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

y1 



Q2

2 g b y1  m y1



2 2

 y2 

Q2



2 g b y2  m y2



2 2

al sustituir los valores numéricos se tiene: y1 



39.402



2 2

2 x 9.81 4.00 y1  1.00 y1

y1 





 1.20 



2 x 9.81 4.00 x 1.20  1.00 x 1.202

39.40 2

2 x 9.81 4.00 y1  1.00 y1 2

39.402



2 2



2

 3.232





y1 19.62 4.00 y1  1.00 y1  39.40 2  3.232 x 19.62 4.00 y1  1.00 y1

2



simplificando y agrupando términos semejante se obtiene: 19.62 y 5  93.55 y 4  193.37 y 3  10140.59 y 2  0 y  1552.36  0 el polinomio anterior tiene como solución:

 1.80672;

1.20001;  2.54782; 3.0629;

 4.67645

el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta.  En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.



Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energía de la compuerta con la de aguas debajo de ésta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B. 166



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 



En el punto E por ser una caída libre se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C hacia aguas abajo es supercrítico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.

Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una sección de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha sección aumentará, disminuirá o permanecerá constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situación e indicar el perfil superficial que se produce.

167



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


yC 

3

q2 g

 yC 

3

Q2 B2 g

36.00 2  yC   y C  2.21 m 3.50 2 x 9.81 3

yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrítica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.

El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situación.

168



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formación de un resalto hidráulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar:

a. b. c.

La profundidad aguas arriba del resalto. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formará el resalto hidráulico.

Determinación de la profundidad aguas arriba del resalto y1. 2

 v2    2 y1 2 y1 q   2 y1  1  1  8    1  1  8 F2 2   1  1  8   gy    y y2 y2 2 2    y2 g y2 

y y1  2 2

2 2          q 2 . 50 5 . 00    y1     1  1  8    1  1  8     2 y g y 2 . 50 9 . 81 x 2 . 50   2     2   

2

    

y1  0.65 m

Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.

169



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la distancia xA B.

xA B 

xA B 







3 1 3 1 4/3 4/3 13 / 3 13 / 3 yB  yA  yB  yA 2 2 2 4 n g 13 n q



3 1 3 1  0.65 4 / 3  0.50 4 / 3    0.6513 / 3  0.5013 / 3  2 2 2 4 0.015 x 9.81 13 0.015 x 5.00 x A B  52.50 m

Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico, determinar:

a. b. c. d. e.

La profundidad aguas arriba de la compuerta. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. La profundidad secuente del resalto. La longitud desde el resalto hasta la sección terminal de caída libre. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta. 2

yA 

yA 

yA

2

2

vA v  yB  B 2g 2g

 yA 

q2 2

yA 2 g

5.00 2 5.00 2  0.90  0.90 2 x 2 x 9.81 x 2 x 9.81

 yB 



q2 2

yB 2 g

y A  2.22 m

A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico formándose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1. 170



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3.

x B1 

30.00 







3 1 3 1 4/3 4/3 13 / 3 13 / 3 y1  y B  y1  y B 2 2 2 4 n g 13 n q









3 1 3 1 4/3 13 / 3 y1  0.90 4 / 3  y1  0.9013 / 3 2 2 2 4 0.015 x 9.81 13 0.015 x 5.00



la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinación de la profundidad recuente del resalto y2. 2

 v    2 y2 2 y2 2 y2 q   1  1  8 F1 2   1  1  8  1    1  1  8   gy    y1 y1 y y g y 1 1  1    1 2 2         y1  q 1 . 00 5 . 00   y2   y2  1 1 8    1  1  8    y g y   2 2  1   1.00 9.81 x 1.00   1   

2

    

y 2  1.81 m

En la caída en el punto C se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinación de la profundidad crítica yC. yC  3

q2 g



yC  3

5.00 2 9.81



y C  1.37 m

Determinación de la distancia x2 C.

x2C 







3 1 3 1 4/3 4/3 13 / 3 13 / 3 yC  y2  yC  y2 2 2 2 4 n g 13 n q 171





_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x2C 

3 1 3 1  1.3713 / 3  1.8113 / 3  1.37 4 / 3  1.814 / 3   2 2 4 0.015 x 9.81 13 0.015 x 5.00 2 x 2 C  143.60 m

Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la sección terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar:

a. b. c. d. e.

La profundidad normal yn. La profundidad crítica yC. Tipo de perfil que se produce. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresee hasta 200.00 m aguas arriba del dique. Dibujar el perfil superficial.


1  b yn 1 1/ 2 1/ 2 Q  R H S 0 A  Q   n n  b  2 yn 1  8.00 y n  11.00  0.025  8.00  2 y n

  

1/ 2

  

1/ 2

S0

1/ 2

b y n 

0.00151 / 2 8.00 y n 

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinación de la profundidad crítica yC.

La condición de flujo crítico es:  Q2 Q2 T Q2 b Q2 b 3 1  1  yC   y C   3 2 g A3 g b3 g b y C  g b 172

  

1/ 3

 Q2  y C   2 g b

  

1/ 3



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 11.00 2 y C   2  9.81 x 8.00

  

1/ 3

 y C  0.58 m.

o también para canales rectangulares: yC  3

q2 Q2  yC  3 2 g b g

 yC  3

11.00 2  y C  0.58 m. 8.00 2 x 9.81

como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrítica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

y x n S0

  y z  1   C    y n 

  

3

       

Para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene: x

3 1.02    0.58    z  1     0.0015    1.02   



x  680.00 z  0.82  

Tabla para el cálculo del perfil M1

y (m) 1.70 1.65 1.61 1.55 1.52 1.50 1.47

z

y yn

1.67 1.62 1.58 1.52 1.49 1.47 1.44



x (m)

Distancia al origen (m)

0.1972 * 0.2116 0.2246 0.2466 0.2591 0.2680 0.2824

1025.64 9.83.61 949.16 896.10 868.73 850.16 821.73

0.00 42.03 76.48 129.54 156.91 175.48 203.91

El valor de   0.1972 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.

173



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de fricción de Chézy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crítica. El canal termina en una caída libre, determinar:

a. b. c. d. e. f. g.

La profundidad crítica yC. La pendiente crítica. La pendiente del canal. La profundidad normal. El tipo de pendiente. El tipo de perfil que se produce en el canal. Calcular mediante el método de la función de Bresse la distancia en la cual la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.

Determinación de la profundidad crítica yC. yC 

3

q2 1.00 2 3  yC  g 9.81

 y C  0.47 m.

Determinación de la pendiente crítica SC.

En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así: 2

q  C y C SC y C  q  C y C SC y C  SC  2

2

174

q2 C2 yC

3



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

SC 

q2 3 C2 yC

 SC 

1.00 2 55.00 2 x 0.47 3

S C  0.00318 Determinación de la pendiente del canal S0.

S0 

0.00318  S 0  0.000796 4

La pendiente del canal es subcrítica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinación de la profundidad normal yn.

q  C y n S0 y n

 q y n   1/ 2  C S0

   

2/3

 q  C yn

1/ 2

S0

1/ 2

yn

 q  y n   1/ 2  C S0

 1.00  y n   1/ 2  55.00 x 0.000796

La profundidad instantánea es y = 0.95 yn



  

   

2/3

2/3

y = 0.95 x 0.74

 y n  0.74 m.



y = 0.70 m.

como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.

Determinación de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

y   y x  n z  1   C S0    y n   175

  

3

       



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene: 3 0.74    0.47    x z  1     0.000796    0.74   



x  930.00 z  0.74  

Tabla de cálculo del perfil M2

y (m)

z

0.47 0.70

y yn

0.64 0.95



x (m)


0.6897 1.4670

120.55 -126.09

120.55 -126.09

La distancia desde la caída libre donde ocurre la profundidad crítica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 – (– 126.09) = 246.64 m Problema F.II-5.10 En cierta sección (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una caída libre, 90.00 m aguas debajo de la sección (a). Determinar:

a. b. c. d. e. f.

La profundidad crítica yC. La profundidad normal yn. Tipo de pendiente. Tipo de perfil que se produce. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresse tomando incrementos Δy = 5 cm. La profundidad en la sección terminal de caída libre.

Determinación de la profundidad crítica yC. yC 

3

q2 g

5.00 2  yC  9.81 3

176

 y C  1.37 m



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1 2/3 1/ 2 q  y n  S 0 y n n

1 5/3 1/ 2  q  y n  S 0 n

 5.00 x 0.014  yn    1/ 2   0.004

 qn  y n   1 / 2  S0

   

3/5

3/ 5

 y n  1.06 m.

como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3

Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

y   y x  n z  1   C S0    y n  

  

3

       

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene: 3 1.06    1.37    x z  1     0.004    1.06   



x  265.00 z  1.159  

Tabla de cálculo del perfil S3

y (m) 0.53 0.58 0.63 0.68

z

y yn

0.50 0.55 0.59 0.64

 0.5168 0.5754 * 0.6245 * 0.6897

x (m)


291.23 322.47 348.15 381.43

0.00 31.24 56.92 90.20

Los valores  * fueron obtenidos por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse. 177



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La profundidad del agua en la caída libre es de aproximadamente 0.68 m.

Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contraída tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre está a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el método de la función de Bresse. Si se produce un resalto hidráulico determinar su ubicación.


yC 

3

q2 g

 yC 

3

6.00 2 9.81

178

 y C  1.54 m



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1 2/3 1/ 2 q  y n  S 0 y n n

1 5/3 1/ 2  q  y n  S 0 n

 6.00 x 0.015  yn    1/ 2   0.0001

 qn  y n   1 / 2  S0

   

3/5

3/ 5

 y n  3.74 m.

como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrítico. Cálculo de perfil superficial M3 mediante la función de Bresse.

y   y x  n z  1   C S0    y n  

  

3

       

para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene: 3 3.74    1.54    x z  1     0.0001    3.74   



x  37400.00 z  0.9302  


y (m) 0.500 0.748 0.935 1.122 1.496

z

y yn

0.1337 0.20 0.25 0.30 0.40

 0.1337 * 0.2004 0.2510 0.3021 0.4066

179

x (m)


349 508 617 710 814

0 159 268 361 465



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


En la sección terminal del canal en el punto C, en la desembocadura, l a p r o f u n d i d a d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrítico y el perfil que se produce en M2. Cálculo del perfil superficial M2 mediante la función de Bresse. x  37400.00 z  0.9302  


y yn

y (m)

z

1.80 1.87 1.94 2.02 2.16

0.4813 0.50 0.52 0.54 0.58



x (m)


0.4950 * 0.5168 0.5399 0.5634 0.6120

839 720 665 595 400

0 119 174 244 439

El valor de   0.4950 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse. 180



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

2 y2 2  1  1  8 F1 y1

2 y2 8 q2  1  1  8 3 y1 g y1

  2 y2 q   1  1  8  y g y  y1 1   1



 y2 

2

y1  8 x 6.00 2 1 1 3 2  9.81 y1

   

Tabla de cálculo de las profundidades secuentes del resalto

Profundidad aguas arriba y1 (m)

0.50 0.748 0.935 1.122 1.496

Profundidad aguas abajo y2 (m) y  8 x 6.00 2  y2  1  1  1  3 2  9.81 y1  3.58 2.78 2.37 2.06 1.59

La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente. 181



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un gráfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior. Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura está formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidráulico determinar si éste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formará.

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales): yC  3

q2 g

 yC  3

5.00 2 9.81

 y C  1.37 m.


 qn 1 2/3 1/ 2 q  y n 1 S0 1 y n 1  y n 1   1 / 2  S0 1 n 

   

3/ 5

yn 2 = 0.70 m. 182

 yn 1

 5.00 x 0.02     1/ 2    0 . 0328  

3/ 5



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1 2/3 1/ 2 q  y n 2 S0 2 y n 2 n

 yn 2

 qn   1/ 2  S0 2 

   

3/ 5

 yn 2

 5.00 x 0.02     1/ 2    0 . 0025  

3/ 5

yn 2 =1.52 m.

En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidráulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formándose un resalto hidráulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.

Tomando como hipótesis la posibilidad I.

La profundidad y1 del resalto hidráulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

183



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 y2 2  1  1  8 F1 y1 2 y2 8 q2  1  1  8 3 y1 g y1



  2 y2 q   1  1  8  y g y  y1 1   1

 y2 

2

8 x 5.00 2 0.70  1 1 2  9.81 x 0.70 3

   

La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es físicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hipótesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hipótesis la posibilidad II.

La profundidad y2 del resalto hidráulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto. 2 y1 2  1  1  8 F2 y2 2 y1 8 q2  1  1  8 3 y2 g y2



  2 y1 q   1  1  8  y g y  y2 2   2

 y1 

2

8 x 5.00 2 1.52  1 1 2  9.81 x 1.52 3

   

La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual sí es físicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hipótesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinación de la distancia donde se forma el resalto hidráulico. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

y   y x  n z  1   C S0    y n  

  

3

       

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene: 3 1.52    1.37    x z  1     0.0025    1.52   



184

x  608.00 z  0.2678  



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


y (m) 0.70 1.22

z

y yn

0.46 0.80



x (m)

Distancia al punto A (m)

0.472 * 0.9505

202.83 331.64

0 128.81


Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construcción de un puente requiere de la construcción de una pila de 2.00 m de diámetro. Si la pila es hidrodinámica y no ofrece resistencia al flujo, determinar:

a. b. c. d.

Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qué. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. Qué tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. A cuántos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la profundidad normal yn 1. (realice el cálculo mediante un solo paso)

Sección de aproximación 1 - 1.

185



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la energía existente en la sección de aproximación antes de colocar la pila. 2

E 1  y1 

v1 2g

 E 1  y1 

E 1  2.00 

Q2 A2 2 g

 E 1  y1 

50.00 2

6.00 x 2.00  2.00 x 2.00 

2 2

2 x 9.81

b

Q2 1

y1  m y1



2 2

2g

 E 1  2.32 m

Determinación de la profundidad crítica yC 1 en la sección de aproximación. Q2 T 1  g A3

Q 2 b1  2 m y C 1 



g b1 y C 1  m y C 1



2 3

1 

50.00 2 6.00  2 x 2.00 y C 1 



9.81 6.00 y C 1  2.00 y C 1



2 3

1

La ecuación anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Sección donde es colocará la pila 2 - 2.

Determinación de la profundidad crítica yC 2 en la sección 2. Q2 T 1  g A3

Q 2 b 2  2 m y C 2 



g b2 yC 2  m yC 2



2 3

1 

50.00 2 4.00  2 x 2.00 y C 2 



9.81 4.00 y C 2  2.00 y C 2



2 3

La ecuación anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinación de la energía mínima en la sección 2 – 2 E min  1.86 

50.00 2

4.00 x 1.86  2.00 x 1.86 

2 2

186

2 x 9.81

 E min  2.48 m

1



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La energía mínima necesaria para que el agua pase a través de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energía disponible en la sección 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mínima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la sección de aproximación para adquirir la suficiente energía para poder pasar. Esta nueva energía en la sección 1 -1 debe ser igual a la mínima; es decir, E1N = 2.48 m. 50.00 2 y1 N   2.48 m 2 2 6.00 y1 N  2.00 y1 N 2 x 9.81





La ecuación anterior tiene cinco raíces, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condición de flujo sub crítico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinación de la pendiente S0 del canal. 2

2

 Qn   Q n P2/3  Q2 n 2 P4/3 1 2/3 1/ 2     S  S Q  R H S 0 A  S 0     0 0 2/3  A 2 / 3 A   n A 10 / 3    RH A  S0 

S0 



Q 2 n 2 b1  2 y1 1  m 2

b

1

y1  m y1



4/3

2 10 / 3



50.00 2 0.015 2 6.00  2 x 2.00 1  2.00 2

6.00 x 2.00  2.00 x 2.00 





4/3

2 10 / 3

 S 0  0.000954

A continuación se muestran en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1 y = 1.01 x 2.00

y = 2.02 m

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

ΔE

S x104

S x104

S0  S

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

2.25

23.63

16.06

1.67

0.23

2.48

-

6.0795

-

-

2.02

20.28

15.03

1.49

0.31

2.33

0.15

9.1845

7.63201

1.90798

RH

187

x104

Δx (m)

786.17



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reducción produce la profundidad crítica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reducción es crítico. Se pide:

a. b. c.

El caudal. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reducción hacia aguas arriba hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.

La ecuación de continuidad indica que Q1  Q 2

 q 1 b1  q 2 b 2

 q2 

b1 q1 b2

 q2 

5.00 q1 4.00

Energía especifica en la sección 2. Como en la sección 2 la altura del agua es la profundidad crítica yC2, entonces la energía específica en la sección 2 es la energía mínima; es decir, 3 E 2  yC 2 2

2 3  3 q 2  E2  2 g 

2/3    E  3 q2 2  2 9.811 / 3 

2/3

2/3

E2 

3 q2 2 9.811 / 3

5   q  3 4 1  E2  2 9.811 / 3 188

2/3

 E2 

3 5 2 / 3 q1 2 4 2 / 3 9.811 / 3



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Energía especifica en la sección 1. 2

v E1  y1  1 2g

2

q  E1  y1  2 1 y1 2 g

2

q1  E1  4.00  2 4.00 x 2 x 9.81

Como no existe pérdida de energía entre las secciones 1 y 2 entonces 2

E1  E 2



4.00 

2/3

q1 3 5 2 / 3 q1  4.00 2 x 2 x 9.81 2 4 2 / 3 9.811 / 3

la ecuación anterior se satisface para q1 = 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es:

Q  q 1 b1  Q  13.3 x 5.00  Q  66.50 m 3 / s

El caudal unitario q2 es:

q2 

5 5 q 1  q 2  13.3  q 2  16.63 m 3 / s / m 4 4 2

La profundidad crítica yC1 es:

La profundidad crítica yC2 es:

yC1  3

yC 2  3

 yC1  3

13.3 2 9.81

 y C 1  2.62 m

 yC1  3

16.63 2 9.81

 y C 1  3.04 m

q1 g q2 g

2

Determinación de la profundidad normal yn1 en el tramo 1. 1 1  b1 y n 1  2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q   n n  b1  2 y n 1 

1 66.50  0.014

 5.00 y n 1     5.00  2 y n 1   

2/3

2/3

S0

1/ 2

b

1

yn 1 

0.0011 / 2 5.00 y n 1 

la ecuación anterior se satisface para yn1 = 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crítico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2

189



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cálculo del perfil superficial. x

E 2  E1 S0  S

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.


v2 2g

E

ΔE

(m)

(m)

(m)

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

4.00

20.00

13.00

1.776

0.563 4.563

4.11

20.55

13.22

1.801

0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180

RH

-

S

S

S0  S

Δx (m)

0.00122

-

-0.00018

450

Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 45º fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una caída libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de Δy = 10.00 cm.

m

190

1 tg 45º

 m 1



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC. La profundidad crítica es aquélla que satisface la siguiente ecuación: Q2 T 1  g A3



Q 2 b  2 m y C 

g b yC  2 yC 1  m2



3

15.00 2 3.00  2 x 1.00 y C 

1 



9.81 3.00 y C  2 y C 1  1.00 2



3

1

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.19 m

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal yn es aquélla profundidad que satisface la ecuación de Manning. 2 1 1  b y n  m y n 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q  n n  b  2 y n 1  m 2

1  3.00 y n  1.00 y n 15.00  0.015  3.00  2 y n 1  1.00 2 2

   

2/3

   

2/3

S0

1/ 2

b y

n

 m yn

2



0.0011 / 2 3.00 y n  1.00 y n 2 

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.58 m yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la caída se produce la profundidad crítica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn formándose un perfil M2.

Esquema del perfil superficial.


E 2  E1 S0  S


191



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


v2 2g

E

ΔE

S0 - S

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

1.19

4.99

6.37

0.72

0.46

1.65

-

0.00282

-

-

1.29

5.53

6.65

0.78

0.38

1.67

-0.02

0.00215

0.00249

-0.0015

13.33

1.39

6.10

6.93

0.84

0.31

1.70

-0.03

0.00163

0.00189

-0.0009

33.33

1.49

6.69

7.22

0.90

0.26

1.75

-0.05

0.00128

0.00146

-0.0005

100.00

1.55

7.05

7.39

0.94

0.23

1.78

-0.03

0.00108

0.00118

-0.0002

150.00

1.57

7.17

7.44

0.95

0.22

1.79

-0.01

0.00102

0.00105

-0.00005

200.00

RH

S

S

Δx (m)

  496.66 m

Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crítico a una profundidad de 1.50 m. En determinada sección su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide: a. b. c.

El caudal. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. Hacer los cálculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la distancia Δx entre los límites de variación de y.

Determinación del caudal. Q2 T 1  Q  g A3

g A3 T

 Q



9.81 5.00 x 1.50  2.00 x 1.50 2 Q 5.00  2 x 2.00 x 1.50  192







2 3

g b yC  m yC b  2 m y C 

3

 Q  39.26 m 3 / s



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la pendiente crítica S0 C en el tramo 1. La pendiente crítica es aquélla que satisface la ecuación de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC. 2

2

 Qn   Q n P2/3  Q2 n 2 P4/3 1 2/3 1/ 2     Q  R H S0 A  S0   2/3   S 0   A 2 / 3 A   S 0  n A 10 / 3    RH A  S0 

S0 C 



Q 2 n 2 b1  2 y1 1  m 2

b

1

y1  m y1





4/3

2 10 / 3



39.26 2 0.025 2 5.00  2 x 1.50 1  2.00 2

5.00 x 1.50  2.00 x 1.50 



4/3

 S 0 C  0.0065

2 10 / 3

Determinación de la pendiente crítica S0 en el tramo 2. S 0 2  S 0 C  0.001  S 0 2  0.0035  0.001  S 0 2  0.0055

Determinación de la profundidad normal en el tramo 2.

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 n

2 1  b1 y n 2  m y n 2 A  Q  n  b1  2 y n 2 1  m 2 

2 1  5.00 y n 2  2.00 y n 2 39.26  0.025  5.00  2 y n 2 1  2.00 2 

   

2/3

   

2/3

S0

1/ 2

b

1

yn 2  m yn 2

2



0.00551 / 2 5.00 y n 2  2.00 y n 2 2 

la ecuación anterior se satisface para yn1 = 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1

193



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


E 2  E1 S0  S


Tabla para el cálculo del perfil C1 mediante un solo paso. 4/3

v2 2g

E

ΔE

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

12.78

12.02

1.09

0.481 2.051

12.00

11.71

1.03

0.546 2.046 0.005 0.00650

y

A

P

(m)

(m2)

1.57 1.50

RH

-

S

S

S0  S

Δx (m)

0.00541

0.00596

0.00054

9.25

Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un río. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crítica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide: a. b. c. d. e. f. g.

La profundidad crítica yC. La profundidad normal yn. El caudal Q. El tipo de perfil superficial. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidráulico si este se produce. Calcular mediante el método paso a paso el perfil superficial calculado cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crítica.

194



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si se considera como hipótesis que la pendiente del canal es supercrítica (yC > yn) entonces:

yC 

2 E min 3

 yC 

2 9.00  y C  6.00 m 3

Determinación del caudal.

yC  3

Q2 b2 g

3

 yC 

Q2 b2 g

3

 Q  yC b2 g

Q  230.16 m 3 / s / m  q 

Q b

 q

 Q  6.00 3 x 5.00 2 x 9.81

230.16  q  46.03 m 3 / s / m 5.00

Determinación de la profundidad normal yn La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

1  5.00 y n  230.16  0.013  5.00  2 y n

  

2/3

0.0067 1 / 2 5.00 y n 

la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hipótesis es correcta.

195



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Perfiles superficiales. 

Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.



En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.

Para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico se tiene que formar un resalto hidráulico. Si se considera como hipótesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es:

Determinación de las profundidades secuentes del resalto. 2 y2 2  1  1  8 F1 y1 2 y2 8 q2  1  1  8 3 y1 g y1



  2 y2 q   1  1  8  y g y  y1 1   1

 y2 

2

8 x 46.03 2 5.16  1 1 2  9.81 x 5.16 3

   

y2 = 6.93 m lo cual es físicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidráulico.

196



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquema y cálculo del perfil superficial.

x

E 2  E1 S0  S

A continuación, se muestran forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

ΔE

(m)

(m)

(m)

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

56

280

117

6.868

0.034 56.034

54

270

113

6.817

52

260

109

50

250

48

240

RH

-

S x 10-5

S x 10-5

S0 - S x 10-5

Δx (m)

1.64

-

-

0.00

0.037 54.037 1.997

1.80

1.72

68.28

298.53

6.762

0.040 52.040 1.997

1.96

1.88

668.12

298.90

105

6.705

0.043 50.043 1.997

2.13

2.05

667.95

298.97

101

6.643

0.047 48.047 1.996

2.35

2.24

667.76

298.91

  1195.61m

197



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la sección de entrada. Se pide: a. b. c. d. e. f. g.

La profundidad crítica yC. El caudal Q. La profundidad normal yn. El tipo de perfil que se produce. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. Calcular la distancia mínima desde la entrada del canal a la que se puede ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b. Dibujar el nuevo perfil superficial.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es:  Q2 T   Q2    1   3  2 g A  C g A

 A     C  T C

 Q2   2 2g A

  A      2 T C C 

2



 A  vC    2 g  2 T  C

Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 2.40 m entonces: 2

E0  yC 

vC 2g

 A    E 0  y C   2 T  C

2

 E0  yC 

b yC  m yC 2 b  2 m y C 

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC: 2

2.40  y C 

6.00 y C  2.00 y C , la cual se satisface para yC = 1.76 m. 2 6.00  2 x 2.00 x y C 

Determinación de la velocidad crítica. 2

v E0  yC  C 2g

2

vC  2.40  1.76   v C  3.54 m / s. 2 x 9.81

Determinación del caudal Q 198



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Q  vC AC



 Q  3.54 x 6.00 x 1.76  2.00 x 1.76 2



 Q  59.31 m 3 / s.

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

1  6.00 y n  2.00 y n 59.31  0.014  6.00  2 y n 1  2.00 2 2

   

2/3

0.0051 / 2 6.00 y n  2.00 y n 2 

la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrítico por lo tanto la hipótesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrítica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:

Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua moviéndose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el límite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situación descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:

199



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


E 2  E1 S0  S


Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

ΔE

S x 10-3

S x 10-3

S0 - S x 10-3

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

2.10

21.42

15.39

1.55

0.40

2.50

-

0.992

-

-

-

2.00

20.00

14.94

1.48

0.46

2.46

0.04

1.20

1.096

3.904

10.25

1.90

18.62

14.49

1.40

0.53

2.43

0.03

1.45

1.330

3.670

8.17

1.80

17.28

14.04

1.32

0.62

2.42

0.01

1.80

1.630

3.37

2.97

1.76

16.89

13.91

1.30

0.65

2.419 0.001

1.92

1.860

3.140

0.32

RH

Δx (m)

  21.71 m

Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada sección se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar: a. b. c. d.

La profundidad crítica yC. El coeficiente n de Manning. El tipo de perfil superficial que se forma. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la compuerta.

200



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC. yC  3

q2 g

 yC  3

Q2 b2 g

 yC  3

0.65 2  y C  0.27 m 1.50 2 x 9.81

Determinación del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es: S0 

z L

 S0 

1.00  S 0  0.00063 1600

1 1 A 2/3 1/ 2 Q  R H S0 A  Q    n nP

n

b y 5 / 3 2/3 Q b  2 y  S0

1/ 2

2/3

1/ 2

S0

1/ 2

S A5/ 3 A  n  0 2/3 QP

0.000631 / 2 1.50 x 0.70 

5/3

 n

0.65 1.50  2 x 0.70 

2/3

 n  0.0205

como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:

Cálculo del perfil superficial.

x 

E 2  E1 S0  S





 E 1  E 2  S 0  S x


201



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

4/3

v2 2g

E

(m)

(m)

S (10-4)

S (10-4)

S0 - S (10-4)

E

Δx

y

A

P

(m)

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

1.00

1.50

3.50

0.3231

0.0096 1.0096

2.442

--

--

1.0096

685

0.75

1.125

3.00

0.2704

0.0170 0.7670

0.519

3.81

2.43

0.857

685

0.84

1.26

3.18

0.2910

0.0136 0.8530

3.843

3.14

3.11

0.815

685

0.80

1.20

3.10

0.2821

0.0149 0.8149

4.370

3.41

2.84

0.832

685

0.817

1.226

3.134

0.2861

0.0143 0.8310

4.130

3.29

2.96

0.825

685

0.810

1.215

3.120

0.2845

0.0146 0.8250

4.220

3.33

2.92

0.827

RH

(m)

La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.

Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m 3 /s/m, con una pendiente longitudinal S 0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una caída libre. Determinar: a. b. c. d. e.

La profundidad crítica y CLa profundidad normal y n. El tipo de perfil que se produce. La profundidad a 20.00 m de la caída. La profundidad a 40.00 m de la caída.

202



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


yC 

3

q2 g

1.50 2  yC  9.81 3

 y C  0.61 m


1 2 / 3 1/ 2 q  y n S0 y n n

 qn  y n   1 / 2  S0

   

3/ 5

 1.50 x 0.020   yn    1/ 2  0.0001 

3/ 5

 y n  1.93 m

como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M, el canal termina en una caída libre donde se produce la profundidad crítica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formándose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:

Cálculo del perfil superficial.

x 

E 2  E1 S0  S





 E 1  E 2  S 0  S x

A continuación se muestran, en forma tabulada, los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

203



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

Δx

y

v2 2g

E

(m)

(m)

(m)

(m)

0.621

0.309

0.918

46.25

20

0.700

0.234

0.934

29.55

37.90

- -36.90

0.992

20

0.758

0.200

0.958

22.66

34.46

- 33.46

0.985

20

0.758

0.186

0.971

20.17

33.21

- -32.21

0.982

20

0.796

0.181

0.977

19.26

32.76

- -31.76

0.982

20

0.800

0.181

0.981

18.94

32.60

-31.60

0.981

20

1.000

0.115

1.115

9.00

13.97

- -12.97

1.011

20

0.896

0.143

1.039

12.98

15.96

- -14.96

1.011

20

0.868

0.152

1.020

14.42

16.68

- -15.68

1.012

20

0.860

0.155

1.015

14.87

16.91

- 15.91

1.013

S (10-4)

S (10-4)

S0 - S (10-4)

E (m)

204

0.918


FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capitulo 6 FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL Problema F.II-6.01 La función de corriente para flujo bidimensional es:   1  3 x  2 y  3 x y . Hallar la función potencial. Las expresiones de u y v son: u

 y

v

 x

 u

 v

 1  3 x - 2 y  3 x y   y

 1  3 x - 2 y  3 x y   x

u  2  3 x

v  33 y

para que exista función potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir: v u  x y



 3  3 y    2  3 x   00  y x

entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe función potencial.

Determinación de la función potencial:   3 x2  u    2  3 x    2 x   f y   x x 2 

  f y  y

 3 y2  v   f y   v   f y   3  3 y  f y   3 y  C y 2

  2 x 

 3 x2 3 x2  3 y2  f y     2 x     3 y   C  2 2 2  



3 x 2 3 y2  2 x 3 yC 2 2

205



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.02 La función de corriente de cierto flujo está dada por la expresión   5 x y , para esta función se pide: La expresión del vector velocidad en coordenadas cartesianas. Verificar si el flujo cumple con la ecuación de continuidad. La vorticidad. El potencial si existe.

a) b) c) d)

Determinación de la velocidad. u

 y

 u

v

 x

 u

  Vu i v j

  5 x y   y

  5 x y   x

u5x

v  5 y

     V  5 x  i   5 y  j  V  5 x i  5 y j

Verificar si se cumple la ecuación de continuidad

 u v   5 x    5 y    xV   x V  55  x V  0  0 x V  y x y x lo cual indica que sí se satisface la ecuación de continuidad

Determinación de la rotacionalidad. Z 

v u  x y

 Z 

  5 y   5 x    Z  0  0  Z  0 x y

Lo que indica que el flujo es irrotacional por lo tanto existe función potencial.

Determinación de la función potencial. u

 x

 v y

 5x

 x

    5 x d x    

5 x2  f y   2

  f y  y

 v   f y    5 y   f y   f y    5 y d y  f y   

5 x 2 5 y2  C 2 2 206

5 y2 C 2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.03 Para un flujo definido por la función de corriente   y y  1  x  x  1 Determinar: a) Las componentes de velocidad u y v según los ejes x e y respectivamente. b) Verificar si efectivamente la ecuación dada representa el flujo de un fluido incompresible. c) El rotacional. d) El potencial si éste existe. Determinación de las expresiones de u y v u

 y

 u

v

 x

 u

 y y  1  x  x  1  y

 y y  1  x  x  1  x

u  2 y  1

v  2 x  1

Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

 u v    2 y  1   2 x  1   .V   0  .V  0  0  .V  0   0  .V   y x y x efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad Determinación del rotacional z 

1 v  u 1    2 x  1   2 y  1  1    Z   2  2    Z  0     Z     2 x  y 2 2 x y 

entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial.

Determinación de la función potencial: 

  u    2 y  1    2 y x  x  f y   x x



  v   f y   2 x   v   f y   2 x  2 x  1  f y    y  C y

  2 x  f y  y

  2 y x  x   y  C     2 y x  x  y  C

207



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.04 Un flujo irrotacional, bidimensional e incompresible tiene como función potencial   2 x 2  k y 2 ; para estas condiciones se pide: El valor de k para que se cumpla con la condición enunciada. La función de corriente.

a) b)

Determinación de las expresiones de u y v u

 x

 u

v

 y

 u









 2 x 2  k y2 x  2 x 2  k y2 y





u4x

v  2 k y

verificación si el flujo es irrotacional Z 

1 v  u 1    2 k y    4 x   1    Z  0  0    Z  0     Z     2 x  y 2 2 x y 

efectivamente, el flujo es irrotancional.

Determinación de k para que se cumpla la ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

 u v    4 x    2 k y  .V    0  .V    0   4  2 k  0  k  2 x y x y

Determinación de la función de corriente. 

    4 x    4 x y  f x   u   y y

  4 y  f x  x

  v  4 y  f x   2 k y  4 y  f x   4 y  f x   0  f x   C x

  4 x yC

208



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.05 Se predice que un campo de flujo bidimensional tiene las siguientes componentes de velocidad: u  x 3  3 x y 2 ; v  y3  3 y x 2 . Para estas funciones se pide: a) b) c) d)

Es acertada la predicción, es decir, se cumple la ecuación de continuidad. El flujo es rotacional. La rotacionalidad. La vorticidad.

Para verificar la ecuación de continuidad se debe cumplir. u v  0  x y









 x 3  3 x y 2  y3  3 y x 2  0  x y

3 x

2

 

Entonces, si se cumple la ecuación de continuidad, es acertada la predicción. El flujo es rotacional si se cumple: v u 0  x y









 y3  3 y x 2  x 3  3 x y2   0   6 x y   6 x y   0 x y Lo que indica que el flujo no es rotacional; es irrotacional. Determinación de la vorticidad, 2ω. 22

1 2









  v  v   y3  3 y x 2  x 3  3 x y2      6 x y   6 x y   0  x y  x  x

la vorticidad es nula.

Problema F.II-6.06     Para v  x  y  i  y  z  j  x 2  y 2  z 2  k , hallar las componentes de la rotación en el punto (2, 2, 2) La rotación de un fluido es una cantidad vectorial y se puede expresar como: 209



 3 y2  3 y2  3 x 2  0



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

i    rot V   x V  x u

j  y v

k  z w

   w  v   u  w   v  u   k  j    i   rot V   x V      y z z x x y            

si

X 

1 w  v 1 u  w 1 v  u  ,  Z    ,  Y      2  y  z 2 z  x  2   x  y 

     rot V   V   X i   Y j   Z k La rotación alrededor del eje x es:

X 





1 w  v 1   x 2  y 2  z 2  y  z   1 1    X  2 y  1   X  y      X     2  y  z 2 2 2 y z 

La rotación alrededor del eje y es: Y 



1 u  w 1   x  y   x 2  y 2  z 2     Y     2 z  x  2  z x

     

y



1 0  2 x    Y   x 2

La rotación alrededor del eje z es: Z 

1 v  u 1    y  z   x  y   1 1    Z  0  1   Z       Z     2 x  y 2  x 2 2 y 

          rot V   x V  2 y  1 i  0  2 x  j  0  1 k  rot V   x V  2 y  1 i  2 x  j  k La rotación particularizada para el punto (2, 2, 2) es:

          rot V   x V  2 x 2  1 i  2 x 2 j  k  rot V   x V  3 i  4 j  k 210



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.07 En un flujo paralelo bidimensional en la dirección x positiva, la velocidad varía linealmente desde 0.00 m/s para y = 0.00 m hasta un valor de 50.00 m/s para una altura y = 2.00 m. Para estas condiciones se pide: a) b) c)

Una expresión para la función de corriente  . Graficar la función de corriente con intervalo de    10 m 3 / s / m . El rotacional.

como la distribución es lineal se tiene: U u  H y

 u

U 50 y  u y  u  25 y H 2 v0

 u y

  25 y   y v

 x



25 y 2   f x  2

  0  f  x  x

 0  0  f x   f x   C



25 y 2 C 2

25 y 2 25 0  C  0  C  C 0 2 2 2

para y = 0,   0    



25 y 2  2 Graficar las líneas de corriente con intervalos de    10 211



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



25 y 2 2

 2  y     25 

1/ 2

 2 y     25  0.894 1.260 1.549 1.782 2.000

 - 10 - 20 - 30 - 40 - 50

1/ 2

Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es: z 

1 v  u 1   0   25 y   1 25    Z  0  25   Z       Z     2 x  y 2  x 2 2 y 

por lo tanto el flujo es rotacional, por lo tanto no existe función potencial.

Problema F.II-6.08 En un canal rectangular, horizontal, de 2.00 m de ancho se produce flujo uniforme con una velocidad de 2.00 m/s. Para estas condiciones se pide: a) b) c) d) e) f)

Una expresión para las líneas de corriente  . Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. El rotacional. La función potencial, si existe  . Hacer un esquema de las líneas de corriente y equipotenciales. Determinar el caudal si la profundidad del agua en el canal es de 40.00 cm.

212



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como el flujo es horizontal y uniforme se tiene:

u2 u

 y

 2

v

 x

 y

v0

    2 y  f x  

  0  f  x  x

 0  0  f  x   f x   C

   2 yC para y  0,

  0     2 y  C  0   2 0   C  C  0

2y Verificación de la ecuación de continuidad: La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

 u v   2  0    .V    0  .V    0  .V  0  0  .V  0 x y x y efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad. Determinación del rotacional   0   2    v  u   X  0  0  X  0    X     z     y   x  x  y

entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial.


   2    2 x  f y   2   x x 213

  0  f y  y



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



  0   f y   0  f y   C 2 y   2 x  f y     2 x  C 2   0  0  2 0   C 2

para x  0,

 C2  0

  2 x

y 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

2y 0.0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

  2 x 0.0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8

En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente y las líneas potenciales.

Determinación del caudal unitario. q   04   00

 q   0.80  0.0  q   0.80 m 3 / s / m

El caudal total es: Q  q B  Q   0.80 x 2.00  Q   1.60 m 3 / s

Donde el signo menos corresponde según el convenio establecido, que el caudal es negativo cuando el flujo es de izquierda a derecha. 214



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.09 Para flujo alrededor de una esquina si   3  / 2 , se pide: a) b) c) d) e)

La función potencial. La función de corriente. La expresión para v r . La expresión para v  . Hacer un esquema de los vectores velocidad para un ángulo  .

Las expresiones generales del flujo alrededor de una esquina con ángulo α son para la función potencial y la función de corriente respectivamente: 

  A r  cos



 

  A r  sen

 

La función potencial para el caso particular de   3  / 2 es: 

Ar

3  / 2 

2

  2  cos    A r 3 cos   3  / 2  3 

La función de corriente para el caso particular de   3  / 2 es: 

Ar

3  / 2 

2

sen

 2    A r 3 sen   3  / 2  3 

En el esquema siguiente se muestran la función potencial y la de corriente para α = 270º. 215



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la expresión de vr

vr  

1  r 

  2     A r 2 / 3 sen    1  1 2  3   2   vr    v r   A r 2 / 3 cos   r r 3   3  vr  

2A  2  cos   1/ 3 3r  3 

Determinación de la expresión de v  .

v 

 r

  2     A r 2 / 3 sen    2A  2   3    v   1 / 3 sen   v   r 3r  3 

216



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.10 Las dos componentes de velocidad en un flujo bidimensional son: u = 4 y; v = - 4 x Para estas condiciones determinar: a) b) c) d)

La función de corriente  . El rotacional. La función potencial, si existe. Dibujar las líneas de corriente y las equipotenciales, si éstas existen.

Determinación de la función de corriente.    y2  u 4y4  f x      2 y 2  f x    f x  y y x 2  x2  v  f x    4 x  f x    4  C  f x    2 x 2  C 2 x    2 y2  2 x 2  C Si la condición de borde es:

para x  0, y  0,   0

   2 y 2  2 x 2  C  0   2 0   2 0  C  C  0 2

2

   2 y2  2 x 2  C     2 y2  2 x 2  0     2 y2  2 x 2     2  y2  x 2    2 r 2 lo que representa circunferencias con centro en el origen como se muestra en el esquema.

217



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es: Z 

1 v  u 1    4 x   4 y   1    Z   4  4    Z   4     Z     2 x  y 2  x 2 y 

por lo tanto el flujo es rotacional y no existe función potencial.

Problema F.II-6.11 Por una fuente fluye un caudal q = 1.00 m3/s, para esta fuente se pide dibujar: a) b)

Las líneas de corriente con    30º , desde 0º hasta 360º. Las líneas equipotenciales con  r  0.10 m , desde 0.10 m hasta 0.50 m.

Para una fuente las funciones de corriente y las equipotenciales son: q q  ; ln r  2 2 Nota:  radianes



180º q 2

q ln r 2

 (grados)

 (radianes)

30

/6

- 1/12

0.10

0.366

60

/3

- 2/12

0.20

0.256

90

/2

- 3/12

0.30

0.192

120

2 /3

- 4/12

0.40

0.146

150

5 /6

- 5/12

0.50

0.110

180 210 240 270 300 330 360

 7 /6 4 /3 2 /3 10  / 6 11  / 6 2

- 6/12 - 7/12 - 8/12 - 9/12 - 10/12 -11/12 -12/12



r (m)

218





_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.12 Para la función de corriente   6 x 2 y  2 y 3 , determinar: a) b) c) d)

La expresiones de las componentes de velocidades u y v. El módulo y ángulo del vector velocidad en el punto de coordenadas (2; 3). El rotacional. La función potencial, si ésta existe.

Determinación de las expresiones de u y v.  u y v



 6 x 2 y  2 y3  u y

 x

 u





 6 x 2 y  2 y3 x







u   6 x2  6 y2

v  12 x y

Determinación del las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas (2; 3) u   6 x 2  6 y2

 u   6 2  6 3 2

2

 u  24  54  u  30.00 m / s

v  12 x y  v  12 2  3  v  72.00 m / s

219



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación del módulo de la velocidad. v  u 2  v2

 v  30.00 2  72.00 2

 v  78.00 m / s

Determinación del ángulo de la velocidad con respecto a la horizontal. tg  

v u

 tg  

72.00  72.00     arc tg      67.38º 30.00  30.00 

Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es:



1 v  u 1   12 x y   6 y 2  6 x 2     X    z    2   x  y  2  x y

     

X



1 12 y  12 y    X  0 2

por lo tanto, el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.

Determinación de la función potencial:



6 x3    u   6 x 2  6 y2     6 y 2 x  f y    12 x y  f y  3 x y x



  v    12 x y  f y   12 x y   f y   0  f y   C y



6 x3  6 y2 x  C    2 x3  6 y2 x  C 3 220



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.13 Un campo de flujo tiene como función de corriente   función y potencial   a) b) c) d) e)

q   ln r y como 2 2

q   , para estas condiciones se pide: ln r  2 2

La expresión de v r . La expresión de v  . Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. El Rotacional. Dibujar a escala la línea de corriente para   2 m 3 / s / m ,   1 m 3 / s / m y. q  1 m 3 / s / m

Determinación de v r .

vr  

 r

 q    ln r  2 2  vr    r

     v  q 1 r 2 r

Determinación de v  .

v  

1  r 

 q    ln r  2 1 2  v    r

     v   1  2 r

Verificación de la ecuación de continuidad.  vr 1 1  v  vr  0 r r r 

 q     2 r

1  r 

    1  q 1 1  2       r  2  r  r

1  r 

221



q 1 q  r  2    2 r  2





1 0  r 



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



q q 0 0 2 2r 2  r2

por lo tanto sí se cumple la ecuación de continuidad

Determinación del rotacional. Z 

      r   1    2  Z   r r  

1   r  

1   r v  vr   r   r 

 q    2   

   0 

1    r   1   0   Z  0  0    Z  0 r   

El rotacional es cero por lo tanto el flujo es irrotacional.

Dibujar a escala la línea de corriente para   2 m 3 / s / m ,   1 m 3 / s / m y q  2 m 3 / s / m .



q 1 1   ln r  2   ln r  2  0.1592   0.1592 ln r 2 2 2 x 3.14 2 x 3.14

 (radianes)

r (m) 2  0.1592 0   0.1592 ln r



r = 286751

/6

2  0.1592  / 6   0.1592 ln r



r = 169804

/4

2  0.1592  / 4   0.1592 ln r



r = 130692

/3

2  0.1592  / 3  0.1592 ln r



r = 100589

/2

2  0.1592 2    0.1592 ln r



r = 59588



2  0.1592    0.1592 ln r



r = 12367

2  0.1592 3  / 2   0.1592 ln r 

r = 2575

2  0.1592 2    0.1592 ln r

r=

0

3 / 2 2

222



533



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.14   Dados 1  para un vortice libre, y ln r; 1   2 2 q q ; 2  ln r para un sumidero, 2  2 2 mostrar que las líneas de corriente correspondientes a la superposición del vértice y el sumidero son las espirales r  e q   constante.

  1   2

 

q 1   ln r  q     1 ln r   q  ln r    2 2 2 2





2    ln r   q 





para una línea de corriente determinada el valor de 2   es constante y se llamará k, es decir, k  2   , entonces:

k  ln r   q   k  q   ln r 

 e k q   r 



ek  r q e

Si el valor de e k  constante, entonces: cons tante  r   constante  r  e q  , para cada valor de la constante existe una espiral. eq  En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente del vórtice, del sumidero y de la superposición del vórtice más el sumidero:

223



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-6.15 Una fuente de intensidad 0.20 m3/s/m y un vórtice de intensidad 1.00 m3/s/m están localizados en el origen de coordenadas. Para estas condiciones determinar las ecuaciones de las funciones de: a) b) c) d)

Potencial. Corriente. Velocidad v r Velocidad v 

Para la fuente El caudal por unidad de longitud se llama intensidad de la fuente y se designa por 2   , es decir; q F  2   Las funciones potencial y de corriente para una fuente son: q     ln r     F  ln r 2

       

qF  2

Para el vórtice El caudal por unidad de longitud se llama intensidad del vórtice y se designa por 2   , es decir; q V  2   Las funciones potencial y de corriente para un vórtice son: q          V   2 

   ln r   

224

qV ln r 2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La función potencial correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:  q   q  q  q      F  ln r    V       F  ln r   V   2  2  2   2  

  1   2



1 q F ln r  q V      1 0.20 ln r  1.0  2 2



1 0.20 ln r   2

La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:

  1   2



 

q qF 1  q F   q V ln r    V ln r    2 2 2

1  0.20   1.0 ln r     1  0.20   ln r  2 2

Las expresiones de las velocidades v r y v  en coordenadas polares son:

vr  

 1   r  r

v  

1    r  r

La velocidad vr es:

vr  

 r

 1  0.20 ln r      2   v   0.20 1  v   1  vr    r r 2 r r 10  r

La velocidad v  es:   1 0.20 ln r      1 1  2   v   1   1   v  1 v    v     r  r r  2   2r 

225



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Problema F.II-6.16 La función de corriente de un cierto flujo está dada por la ecuación    4 x y , para esta función se pide: a) b) c) d) e) f)

El vector velocidad. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. El rotacional. El potencial si existe. La velocidad en el punto 1 de coordenadas (r  2;    / 6) . En el punto 2 de coordenadas (3; 30), la presión del fluido es de 1 kg/m2. Cuál será la presión en el punto de coordenadas (r  2;    / 6) , si la densidad del fluido es   1 UTM / m 3

Determinación de las expresiones de u y v. u

v

 y

 x

  4 x y   y

 u

 v

  4 x y   x

u4x

v4y

El vector velocidad es:

         V  u i  v j  V  4 x  i   4 y  j  V  4 x i  4 y j Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad para flujo en dos dimensiones es:

 u v   4 x    4 y   .V    0  .V    0  .V  4  4  0 x y x y si se satisface la ecuación de continuidad.

Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es: Z 

1 v  u    2   x  y 

 Z 

1    4 y   4 x   1    z  0  0    X  0   2  x 2 y 

por lo tanto el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.

226



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


   4 x2 u 4x  f  y     2 x 2  f  y    f y  x x y 2 

4 y2   v   f y    4 y  f y    C  f y   2 y 2  C 2 y

   2 x2  2 y2  C Si la condición de borde es:

para x  0, y  0,   0

   2 x 2  2 y 2  C  0   2 0  2 0  C  C  0 2

2

   2 x 2  2 y2

Determinación de la velocidad en el punto 1 de coordenadas (r  2;    / 6) .

Las coordenadas cartesianas del punto 1 son: x 1  r cos   x 1  2.00 cos  / 6   x 1  2.00 cos 30º   x 1  1.73 m y1  r sen   y1  2.00 cos  / 6   y1  2.00 sen 30º   y1  1.00 m u  4 x  u  4 1.73  u  6.92 m / s v   4 y  v   4 1.00   v   4.00 m / s v  u 2  v2

 v1 

6.922   4.002 227

 v1  8.00 m / s



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la velocidad en el punto 2 de coordenadas (3; 20) u  4 x  u  4 3.00   u  12.00 m / s v   4 y  v   4 20.00   v   80.00 m / s v  u 2  v2

 v2 

12.002   80.002

 v 2  80.90 m / s

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 considerando que el flujo se produce en el plano horizontal es decir, Δ z = 0.00 m. 2

2

p1 v p v  z1  1  2  z 2  2   2g 2g

2



2

p1 v p v  1  2  2  g  2 g  g  2 g

p1 1 8.00 2 80.90 2     p1  3241 kg / m 2 1 x 9.81 2 x 9.81 1 x 9.81 2 x 9.81

Problema F.II-6.17 Una fuente y un sumidero, cada uno de intensidad q = 60 m3/s/m están ubicados en los puntos de coordenadas (-3; 0) y (+3; 0) respectivamente, para estas condiciones se pide: a) b) c) d) e)

La expresión de la función de corriente  , en coordenadas cartesianas. El valor de la función de corriente  , en los puntos de coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4). Una expresión para la velocidad u, en coordenadas cartesianas. Una expresión para la velocidad v, en coordenadas cartesianas. El valor de u y v para los puntos de coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4).

228



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La función de corriente para una fuente es: 1  

y q q q y arctg 1  1   arctg 1  en coord. cartesianas   1   2 2 x1 2 x 3

La función de corriente para el sumidero es: 2 

y q q q y arctg 2   2  arctg  2  en coord. cartesianas    2  2 2 x2 2 x 3

La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el sumidero es:   1   2

 

y  y y q  y q q    arctg arctg arctg  arctg  x  3 x 3 x3 2  x 3 2  2

El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 0) es: 

0  0 y  60  y q   arctg  arctg     arctg  0  arctg 0  3 03 x  3 2  x 3 2 

El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 4) es: 

4  4 y  60  y q  3  arctg  arctg  arctg     1014 m / s / m  arctg  0  3 03 x  3 2  x 3 2 

Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes a la fuente son:

vr  

1 r 

v 

 r

 q     1  1  2   vr   r   q     1  2   vr   r

 vr 

q 2r

 v  0

Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes a la fuente son: u 1  v r cos 1  v  sen 1

 u1 

q cos 1 2  r1

v1  v r sen 1  v  cos 1

 v1 

q sen 1 2  r1

229



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes al sumidero son:

vr  

1 r 

v 

 r

 q    1  1  2   vr   r 

 vr  

 q    1  2   vr   r

q 2r

 v  0

Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes al sumidero son: u 2  v r cos  2  v  sen  2

 u2 

q cos  2 2  r2

v 2  v r sen  2  v  cos  2

 v2 

q sen  2 2  r2

Los vectores velocidad correspondientes a la superposición de la fuente y el sumidero son: u  u1  u 2

 u

q q cos  2 cos 1  2  r2 2  r1

 u

q 2

 cos 1 cos  2   r2  r1

  

v  v1  v 2

 v

q q sen  2 sen 1  2  r2 2  r1

 v

q 2

 sen 1 sen  2   r2  r1

  

En general para cualquier punto se tiene: sen  

y r

 sen  

y x y 2

y

2

cos  

x r

 cos  

x x  y2 2

por lo tanto.  x1   2 2 q   x 1  y1 u 2 x 2 y 2 1 1   

  x2     2 2    x 2  y2 2

x 2  y2

2

   

   x1 x2 q     u  2 x 2 y 2  x 2 y 2 1 2 2  1   

230

   



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

u

 y1   2 2 q   x 1  y1 v 2 x 2 y 2 1 1   

q 2

 x  3 x  3   x  32  y 2  x  32  y 2 

   

   y2 q  y1    v  2   x 2  y 2  x 2  y 2 2 2  x 2  y2     q  y y   v  2 2 2   x  3  y 2 x  3  y 2    y2     2 2    x 2  y2

   

  

Los valores de u y v en el puntos P1(0; 0) son: u

q 2

 x  3 x  3   x  32  y 2  x  32  y 2 

 0  3 0  3   0  32  0 2  0  32  0 2 

   

 60  0 0   v   2 2  2 x 3.14  0  3  0 0  32  0 2 

   

 60   u  2 x 3.14 

u  6.37 m / s v

q  y y   2 2 2   x  3  y x  32  y 2

v  0 m/s

Los valores de u y v en el puntos P2 (0; 4) son: u

q 2

 x  3 x  3   x  32  y 2  x  32  y 2 

 0  3 0  3   0  32  4 2  0  32  4 2 

   

 60  4 4   v   2 2   2 x 3.14  0  3  4 0  32  4 2 

   

 60   u  2 x 3.14  u  2.29 m / s

v

q  y y   2 2  2   x  3  y x  32  y 2

v  0 m/s

231

BIBLIOGRAFIA

Aguirre, J., Florez, I., Macagno, E. “Mecánica de Fluidos Fundamental”, Consejo de Publicaciones, ULA, Mérida, 1987. Irving H. Shames, “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. Colombia, 1995 R. Roca Vila, “Introducción a la Mecánica de los Fluidos”, Editorial Limusa, México, 1978. Streeter, Víctor L., “Mecánica de los Fluidos”, McGraw-Hill, inc. México, 1974.

White, Frank M., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. España, 1983.

PROBLEMARIO MEC FLU II (1)

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