PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN
El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial redes especial en programación lineal que lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punt pu nto o es espe pecí cífic fico o lla llama mado do Fuente u Origen ha haci cia a ot otro ro pu punt nto o es espe pecí cífifico co llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos y claro está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas. El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar soluciones atinentes al área de operaciones inventario y asignación de elementos. El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo medianteprogramación mediante programación lineal com!n com!n sin embargo su estructura permite la creaci cre ación ón de m! m!ltip ltiples les alt altern ernati ativa vass de so soluc lución ión tal tales es com como o la estru estructura ctura de asignación o asignación o los m"todos heurísticos más
populares como #ogel #ogel Esquina $oroeste o $oroeste o %ínimos &ostos. &ostos.
'ryan (ntonio )alazar López Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la economía actual dejando como es de prever m!ltiples casos de "xito a escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.
*+,'LE%( -E +($)*,+E %E-/($E *+,0+(%(&/1$ L/$E(L &omo se mencionó anteriormente la programación lineal puede lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el %"todo )implex si )implex si puede ser de gran utilidad la fase de modelización la programación carece de la practicidad de los m"todos de asignación pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.
'ryan (ntonio )alazar López Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la economía actual dejando como es de prever m!ltiples casos de "xito a escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.
*+,'LE%( -E +($)*,+E %E-/($E *+,0+(%(&/1$ L/$E(L &omo se mencionó anteriormente la programación lineal puede lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el %"todo )implex si )implex si puede ser de gran utilidad la fase de modelización la programación carece de la practicidad de los m"todos de asignación pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.
EL *+,'LE%( 2na empresa energ"tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria el"ctrica en cuatro ciudades &ali 'ogotá %edellín y 'arranquilla. Las plantas 345 y 6 pueden satisfacer 78 58 98 y 6: millones de ;< al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de &ali 'ogotá %edellín y 'arranquilla son de =8 68 =8 y 5: millones de ;> al día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energ"tico por cada millón de ;< entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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?ormul ?orm ule e un mo mode delo lo de pr prog ogra rama maci ción ón line lineal al qu que e pe perm rmitita a sa satitisf sfac acer er la lass nece ne cesi sida dade dess de to toda dass la lass ci ciud udad ades es al titiem empo po qu que e mi mini nimic mice e lo loss co cost stos os asociados al transporte.
),L2&/1$ %E-/($E *L El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada como es el caso de este ejercicio sin embargo trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orígenes y@o destinos ficticios con el excedente de oferta y@o demanda.
&omo ya lo hem &omo emos os pla lant ntea ead do en mó módu dulo loss ant nte eri rior ores es el pri rime merr pas aso o corresponde a la definición de las variables regularmente se le denomina a las variables de manera algebraica A ij donde i simboliza simboliza a la fuente y j simboliza simboliza al destino. En este caso i define el conjunto B*lanta 3 *lanta 4 *lanta 5 y *lanta 6C y j define define el conjunto B&ali 'ogotá %edellín y 'arranquillaC. )in embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un n!mero respectivo por ende la
variable A34 corresponde a la cantidad de millones de ;< enviados diariamente de la *lanta 3 a la ciudad de 'ogotá.
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El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y demanda cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos en este caso 39 restricciones.
+estricciones de oferta o disponibilidad las cuales son de signo D
A33 F A34 F A35 F A36 D 78 A43 F A44 F A45 F A46 D 58 A53 F A54 F A55 F A56 D 98 A63 F A64 F A65 F A66 D 6:
+estricciones de demanda las cuales son de signo G
A33 F A43 F A53 F A63 G =8 A34 F A44 F A54 F A64 G 68 A35 F A45 F A55 F A65 G =8 A36 F A46 F A56 F A66 G 5:
Luego se procede a formular la función objetivo en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.
H%/$ I :A33 F 4A34 F =A35 F 5A36 F 5A43 F 9A44 F 9A45 F 3A46 F 9A53 F 3A54 F 4A55 F 6A56 F 6A63 F 5A64 F 9A65 F 9A66 Luego se puede proceder al uso de la herramienta
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Este problema presenta una solución óptima alternativa aquí los resultados.
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+ed )olución %odelo de ransporte >>>.ingenieriaindustrialonline.com
Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser bastante interesantes pues pueden llegar a determinar aumentos de
capacidad en las fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo justifica.
https://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-detransporte-2/
2.1 Problema de Transporte 2.1 Problema de Transporte
2.1.1 Método esquina noroeste 2.1.2 Procedimineto de optimizacion
Programación Lineal
Un modelo de Programación ineal !P" considera #ue las $ariables de decisión tienen un comportamiento lineal% tanto en la &unción objeti$o como restricciones del problema. 'n este sentido% la Programación ineal es una de las herramientas m(s utilizadas en la )n$estigación *perati$a debido a #ue por su naturaleza se &acilitan los c(lculos + en general permite una buena apro,imación de la realidad. os odelos atem(ticos se di$iden b(sicamente en odelos etermistas !" o odelos 'stoc(sticos !'". 'n el primer caso !" se considera #ue los par(metros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta% a di&erencia de los odelos 'stoc(sticos% donde la totalidad o un subconjunto de los par(metros tienen una distribución de probabilidad asociada. os cursos introductorios a la )n$estigación *perati$a generalmente se en&ocan sólo en odelos etermistas.
as aplicaciones de los modelos de Programación ineal abarcan di$ersas (reas de la )ngeniera. 0 continuación un bre$e compendio de alguna de sus aplicaciones + re&erencias de inters para el lector:
1. Problema de Transporte: (Referencia: Hitchcock, 191! "antoro#ich, 19$! "oopmans 19%& . 'l problema consiste en decidir cu(ntas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen !platas% ciudades% etc" a ciertos puntos de destino !centros de distribución% ciudades% etc" de modo de minimizar los costos de transporte% dada la o&erta + demanda en dichos puntos. e suponen conocidos los costos unitarios de transporte% los re#uerimientos de demanda + la o&erta disponible. Por ejemplo% suponga #ue una empresa posee dos plantas #ue elaboran un determinado producto en cantidades de 234 + 544 unidades diarias% respecti$amente. ichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 244% 244 + 234 unidades% respecti$amente. os costos de transporte !en 6/unidad" son:
e re#uiere &ormular un modelo de Programación ineal #ue permita satis&acer los re#uerimientos de demanda al mnimo costo.
'olción: )ariables de *ecisión : +i : Unidades transportadas desde la planta i !i71% 2" hasta el centro de distribución j !j71% 2% 8" -nción beti#o: /inimi0ar el costo de transporte dado por la &unción: $1+11 $2+1$ 12+13 $4+$1 13+$$ 19+$3 Restricciones: 'atisfacer los re5erimientos de *emanda :
911 921 7 244 912 922 7 244 918 928 7 234
'eto a la ferta de las plantas: : 911 912 918 7 234 921 922 928 7 544
6o 6egati#idad: +i 78 'l siguiente diagrama permite una $isualización de la situación anterior:
Resolción tili0ando el complemento 'ol#er de /icrosoft ;cel:
1. lclo de ;cel.
. 'eleccione @Resol#erA. btendr> la solción al problema B podr> re5erir los Cnformes de 'ol#er. -inalmente presione @
2. 'e actali0ar>n los #alores en la Planilla de =>lclo en las celdas marcadas en amarillo desplegando la solción óptima B #alor óptimo.
E. -inalmente, se obtienen los informes de sensibilidad los cales entregan información rele#ante en canto a los precios sombra asociados a las restricciones, inter#alos de #ariación de garanti0an la #alide0 del precio sombra, inter#alo de #ariación para los coeDcientes de la fnción obeti#o, etc.
/Ftodo de Transporte
febrero $4, $13
;< PR-/R=*'GCLLR/C6
l mFtodo de la es5ina 6oroeste es n algoritmo herJstico Ktil para resol#er problemas de transporte o distribción por medio la consección de na solción b>sica inicial 5e satisfaga todas las restricciones e;istentes sin 5e esto impli5e 5e se alcance el costo óptimo total. l beneDcio de este mFtodo es la rapide0 de s eección, B es aplicado con maBor frecencia en eercicios donde el nKmero de fentes B destinos sea mB ele#ado. ' nombre se debe al gFnesis del algoritmo, el cal inicia en la rta, celda o es5ina 6oroeste. s comKn encontrar gran #ariedad de mFtodos 5e se basen en la misma metodologJa de la es5ina 6oroeste, dado 5e se pede encontrar de igal manera el mFtodo e la es5ina 6oreste, 'reste o 'roeste.
1: 'n la celda seleccionada como es#uina =oroeste se debe asignar la m(,ima cantidad de unidades posibles% cantidad #ue se $e restringida +a sea por las restricciones de o&erta o de demanda. 'n este mismo paso se procede a ajustar la o&erta + demanda de la >la + columna a&ectada% restando la cantidad asignada a la celda.
2:'n este paso se procede a eliminar la >la o destino cu+a o&erta o demanda sea 4 despus del ?Paso 1@% si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar + la restante se deja con demanda u o&erta cero !4" segAn sea el caso.
3:Una $ez en este paso e,isten dos posibilidades% la primera #ue #uede un solo renglón o columna% si este es el caso se ha llegado al >nal el mtodo% ?detenerse@.
La segnda es 5e 5ede m>s de n renglón o colmna, si este es el caso iniciar ne#amente el @Paso 1A. Por emplo: 'e tienen 3 departamentos <, , = 5e tienen plataformas B departamentos 5e necesitan plataformas M, +, I, N. Recordando 5e peden transportarse dos plataformas a la #e0 , se anota en la tabla 1, el nKmero de plataformas re5eridas B disponibles. por serte los nKmeros de plataformas re5eridas igalan en nKmero a las disponibles, an5e esto no es n re5isito para la solción. n los cadros pe5eOos se han anotado los tiempos para hacer n #iae redondo entre todas las combinaciones. Por ejemplo el $iaje redondo de 0 a B es 14 min. a tabla 1 se denomina matriz de distribución. 0hora bien la medida de e>cacia es el tiempo del $iaje redondo + se desea contribuir las 82 cargas de los departamentos 0% ; + C a los departamentos B% 9% < + D en &orma tal #ue el tiempo total in$ertido sea mnimo dentro de las restricciones impuestas por las plata&ormas disponibles o re#ueridas.
e comenzar( por asignar las di$ersas cargas en &ormas arbitrarias% ol$id(ndose de los tiempos. e parte de la parte superior iz#uierda de la matriz !llamada es#uina del noroeste" + se ad$ierte #ue 0 tiene E cargas disponibles + B necesita F cargas. e asigna F cargas de 0 a B !$ase la tabla 2" os nAmeros dentro de los siglos representan cargas asignadas. Por ejemplo el F del cuadro 0B signi>ca F cargas asignadas de 0 a B. Toda$a no se han agotado las e,istencias de 0% 1 carga a 9. Giendo la parte in&erior de la columna de 9 % se mira #ue tiene el re#uerimiento de 14 % se pasa a la hilera ; + se asigna el resto de los re#uerimientos de 9 H cargas a la e,istencia de ; #ue tiene 18 cargas. uego se a$anza otra $ez hacia la derecha + se asigna el resto de e,istencia de ; % 5 cargas a <. e sigue en esta &orma % bajando en &orma de escalera por la matriz% hasta #ue se conclu+en todas estas asignaciones arbitrarias como se mira en la tabla 2.
'l tiempo total #ue este cuadro se muestra en la tabla 2 dando como respuesta 5F3 minutos. 'l mtodo general se llama escalera de Piedra. 0 menudo se le designa como cuadro de piedra a los cuadros #ue tienen asignaciones + cuadros de agua a los #ue carecen
de asignaciones. 0#u se les denominar( simplemente cuadro con asignaciones + cuadros sin asignaciones o cuadros abiertos.
s la solción del 6oroeste la meorQ
e puede responder e,aminando sucesi$amente los cuadros sin asignaciones para $eri>car si es posible disminuir el tiempo total pasandoles algunas asignaciones. cuando se ha+an hecho todos los cambios posibles de asignaciones de esta clase se podr( estar seguro de tener una solución óptima.
)Fase como se pede segir este procedimiento:
Tómese el primer cuadro sin asignación de la primera columna% el cuadro ;B. i se suma una carga a ;B + otra a 09 + se resta una carga de 0B + otra de ;9% toda$a se cumplira con las restricciones de la carga disponible + la carga re#uerida. a tabla 8 muestra #ue tal cambio no bene>cia por#ue se estara pasando de rutas de cortas m(s bajas a otras de mas alto. e estara agregando una carga a la ruta ;B + otra a la ruta 09% a un costo de 13 22 7 8F minutos% + restando una carga a la ruta 0B + otra a la ruta ;9 con un ahorro de 14 24 7 84 minutos% o sea un aumento neto de 8F I 84 7 F minutos por carga.
Cada uno de los cuadros sin asignación se puede e,aminar en la misma &orma buscando mejorarlo. 'l patrón #ue se obtiene no es siempre rectangular. 'n la tabla 5 se $e el patrón #ue re#uiere para la e$aluación del cuadro CB. o #ue se debe tener es una ruta
cerrada #ue parta del cuadro #ue se desea e$aluar con giros en (ngulo recto sólo en los cuadros #ue +a tengan asignaciones% procediendo en la dirección de las manecillas del reloj o a la in$ersa. e pueden saltar cuadros para llegar a las es#uinas% como se aprecia en la tabla 5. =o se permite un mo$imiento diagonal. 'mpezando en el cuadro #ue se desea e$aluar% se asigna un signo de m(s% puesto #ue ha+ la intención de agregar un carga + se alternan los signos de m(s + de menos al a$anzar por la ruta cerrada. Por lo regular sólo ha+ una ruta cerrada para e$aluar un cuadro abierto dado% si la solución arbitraria inicial se ha obtenido en &orma correcta. e acuerdo con la tabla 5 se ad$ierte #ue no se gano nada con hacer alguna asignación al cuadro CB% as #ue se procede a e$aluar sistem(ticamente los cuadros no asignados de la columna 9.
'l cuadro C9 es el Anico cuadro abierto de la columna 9 #ue es posible e$aluar en este momento + en la tabla 3 se hace por el procedimiento anterior. 0#u se $e #ue con$iene hacer un cambio por#ue por cada carga trans&erida a C9 + ;< desde ;9 + C< ha+ una disminución neta de J minutos en el tiempo del $iaje redondo. Puesto #ue se ha encontrado un cambio $entajoso% se desea sacar el mejor pro$echo del mismo aumentando al m(,imo la asignación a C9. Pero el cambio de asignaciones est( limitado a dos cargas por#ue tal es la asignación e,istente en C<% + no es posible reducirla a menos de cero. Por lo tanto% el mejoramiento m(,imo de la solución #ue se puede lograr en C9 es de 2 cargas a la $ez% con un ahorro de J minutos por carga% o sea 12 minutos. 'l tiempo total se reduce ahora a 5J8 minutos. e hacen los cambios de asignación indicados% + las asignaciones resultantes en los cuatro cuadros a&ectados son las siguientes. e hacen los cambios de asignación indicados + las asignaciones resultantes en los cuatro cuadros a&ectados son las siguientes:
e prosigue sistem(ticamente a lo largo de la tabla% e$aluando cada uno de los cuadros abiertos + haciendo cambios de asignaciones siempre #ue resulten $entajosos. Por supuesto% se puede hallar #ue algunos cuadros #ue antes no indicaban ninguna mejora posible se encuentren en ese caso posteriormente a causa de cambios subsecuentes.
'ste proceso continua hasta #ue ninguno de los cuadros abiertos indi#uen mejora posible alguna. en este punto se habr( obtenido una solución óptima% la #ue aparece en la tabla J. el tiempo total re#uerido por la solución óptima es de 884 minutos o sea cerca del 84K menos #ue la solución original de la es#uina noroeste. 'sta reducción del tiempo total se puede lograr mediante la e$aluación columna por columna de 18 cuadros abiertos% J de los cuales producen mejoras. a
primera $ez #ue se recorre la tabla no se obtiene ninguna mejora en los cuadros ;B% CB% + C< mientras #ue los cuadros C9% 0<% 0D + ;D% en esa secuencia% si producen mejoras. a segunda $ez #ue se pasa por la tabla no se obtiene mejora de ;B% CB% 09 + ;9% pero si se obtiene en 0< + C<. 'n este punto la solución es optima% por#ue una nue$a e$aluación de todos los cuadros sin asignación demuestra #ue no se pueden lograr nue$as mejoras. 'ste procedimiento es tedioso% aun en el caso de un problema pe#ueLo% pero ha+ #ue recordar #ue el trabajo mas arduo de este tipo se adapta mu+ bien al computadora electrónica.
La degeneración en los problemas de distribción
*tros aspecto de la mec(nica del desarrollo de una solución #ue es preciso mencionar es la condición conocida como degeneración. la degeneración se presenta en los problemas de
distribución cuando% al cambiar las asignaciones para pro$echar una mejora potencial% dos de las asignaciones e,istentes se con$ierten en cero% en $ez de #ue talcosa suceda sólo con una de ellas% como se $io en los ejemplos anteriores.
0l e,aminar el problema de tabla F !#ue solo di>eren ligeramente del ejemplo con #ue se ha $enido trabajando" se ad$ierte #ue esto est( apunto de ocurrir. Tal problema se planteo en la &orma usual% + se determino una solución inicial de la es#uina noroeste. e e$aluaron los cuadros abiertos columna por columna + se hicieron cambios de asignaciones cuando parecan indicar una mejora.
'n la tabla F se e$alAa el cuadro ;D mediante el patrón de ruta cerrada #ue se indica. 0parece una mejora potencial% +a #ue el cambio de una unidad ahorra 13 minutos. e desea apro$echar esta $entaja al m(,imo cambiando el ma+or numero posible de cargas. 'stamos limitados por los cuadros ;9 + CD% cada uno de los cuales tiene una asignación de 3 cargas. Cuando se ejecuta el cambio de asignaciones% tanto ;9 como CD se reducen a cero. 0s se muestran en la matriz de distribución la resultante representada en la tabla E. Garios de los cuadros
abiertos CB% 09% ;9% C<% CD no se pueden e$aluar por#ue no es posible establecer una ruta cerrada para ellos.
a degeneración se puede resol$er considerando uno de los dos cuadros donde desaparecen las asignaciones como un cuadro con asignación de cero !piense en una asignación sumamente pe#ueLa" 0s se ilustra en la tabla H. uego se utiliza el cuadro de asignación cero para completar rutas en la &orma acostumbrada. i en manipulaciones subsecuentes ocurre #ue el cuadro con asignación de cero es el #ue limita los cambios de asignación se cambia la asignación cero al cuadro #ue se este e$aluando + se continua luego con el procedimiento usual. 0s se ilustra en la tabla 14. Cuando se e$alAa el cuadro C<% aparece una mejora potencial% pero no se puede hacer ningAn cambio de las asignaciones e,istentes a causa de la limitación de la asignación de cero. 'ntonces se trans>ere la asignación cero a C< + se continua el procedimiento hasta #ue se obtenga una solución optima.
ferta B *emanda desigales 0hora se puede e,aminar los problemas en #ue no son iguales la o&erta + la demanda. Por ejemplo en la tabla 11:
'e #a a Reali0ar este eercicio con el mFtodo del costo mJnimo =aracterJsticas . 's m(s elaborado #ue el mtodo de la es#uina noroeste . Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones . Meneralmente nos deja alejados del óptimo la o columna satis&echa + actualice la disponibilidad + el re#uerimiento% ret(ndoles lo asignado. 3. u$ase a la casilla con el costo mnimo de la tabla resultante !in tener en cuenta la >la o columna satis&echa". J. Negrese a los puntos 8%5%3 sucesi$amente% hasta #ue todas las casillas #ueden asignadas. 'n el ejemplo% la tabla 12 #ueda de la siguiente manera:
Ojese #ue el menor costo de toda la tabla es cero !4"% pero ha+ 5 celdas con costo cero !4"% 'scogemos al azar la >la 5% columna 2 + se le asigna el 14 + rellenamos la columna 1 con ceros !4" + la columna 8 con 1 para completar el 11. a columna 8 esta con J se le resta el 1 obteniendo 3 + se coloca en el costo 14 #ue es C< #ue es el mnimo de esa columna. 0hora en la >la de disponibilidad 14 se resta con 3 coloc(ndole en el costo 12 en CD. 0hora se resta H-3 7 5 poniendo la ci&ra 5 en ;D #ue es el mnimo de la columna D. e resta 3-5 7 1 coloc(ndole en ;B.
e resta H-1 7 E + se adiciona en 0B. os resultados se muestran en la tabla 18:
'l resultado de los costos Totales en la distribución es:
/Ftodo de #ogel =aracterJsticas . 's m(s elaborado #ue los anteriores% m(s tcnico + dispendioso. . Tiene en cuenta los costos% las o&ertas + las demandas para hacer las asignaciones. . Meneralmente nos deja cerca al óptimo. la + para cada columna.
8. 'scoger entre las >las + columnas% la #ue tenga la ma+or di&erencia !en caso de empate% decida arbitrariamente". 5. 0signe lo m(,imo posible en la casilla con menor costo en la >la o columna escogida en el punto 8. 3. asigne cero !4" a las otras casillas de la >la o columna donde la disponibilidad ó el re#uerimiento #uede satis&echo. J. Nepita los pasos del 2 al 3% sin tener en cuenta la!s" >la!s" +/o columna!s" satis&echas% hasta #ue todas las casillas #ueden asignadas. Por ejemplo:
Ojese #ue la ma+or di&erencia la tiene la columna 5 con un $alor de 1H% escogido entre 2%2%8%4%13%18%1H + 1J. 'l menor costo de la columna 5 es cero !4"% se asigna lo m(,imo posible entre 34 + 54% #ue es 54% se satis&ace la columna + se actualiza la o&erta + la demanda. 0hora se calcula las di&erencias% sin tener en cuenta la columna 5% #ue est( satis&echa. Una $ez ejecutado todo el algoritmo hasta asignar todas las casillas% se obtiene la siguiente asignación b(sica + &actible inicial.
Ojese #ue el nAmero de $ariables b(sicas es: mn-17E olución b(sica &actible no degenerada: 913754 921784 928724 923714 982754 988784 955754 953714
D 7 1J!54" 13!84" 18!24" 1J!14" 13!54" 1E!84" 4!54" 4!14" 7 2.J34
/Ftodo /odiDcado de distribción (/odi& Partiendo de la solución b(sica &actible encontrada por el mtodo de $ogel% aplicamos el mtodo de modi% para a$eriguar cual es la $ariable no b(sica #ue debe entrar + cual la $ariable b(sica #ue debe salir. para ello e&ectuamos los siguientes pasos: 1. Construimos una tabla de costos para las $ariables b(sicas + en ella calculamos los ui + los $j #ue cumplan Cij I ui I $j 7 4 2. Construimos una tabla de costos ó coe>cientes en la &unción objeti$a para las $ariables no b(sicas cu+o $alor es Cij I ui I $j
D 7 2.J34 olución b(sica &actible no degenerada lograda mediante el mtodo de $ogel% con mn-17E $ariables b(sicas. Tabla de costos para las $ariables b(sicas Calculamos los ui Q $j de tal &orma #ue Cij I ui I $j 7 4.
e 0signa el primer $alor de ui ó de $j arbitrariamente% pre&erentemente 4 !Puede ser cual#uier $alor" en la >la ó columna% #ue tenga a mayor cantidad de asignaciones (Variables Básicas) para
nuestro caso !la " # columna $. %on base en éste primer &alor calculamos todos los ui y &' aplicando %i' ui &' * para ui %i' G1 7 C21 I u2 7 13 I 4 7 13 G8 7 C28 I u2 7 18 I 4 7 18 u1 7 C13 I $3 7 1J I 1J 7 4 u3 7 C53 I $3 7 4 I 1J 7 -1J G3 7 C53 I u3 7 4 I !-1J" 7 1J
G3 7 C23 I u2 7 1J I 4 7 1J U8 7 C88 I $8 7 1E -18 7 3 G2 7 C82 I u8 7 13 I 3 7 14
*bser$e #ue el c(lculo para cual#uier ui %es el costo menos el respecti$o $j + para cual#uier $j% es el costo menos el respecti$o ui Tabla de costos para las $ariables no b(sicas Cij-ui -$j % as:
C11 I u1 I $1 7 24 I 4 I 13 7 3 C12 I u1 I $2 7 1H I 4 I 14 7 H C18 I u1 I $8 7 15 I 4 I 18 7 1 C15 I u1 I $5 7 21 I 4 I 1J 7 3 C 22 I u2 I$2 7 24 I 4 I 14 7 14 C25 I u2 I$5 7 1H I 4 I 1J 7 8 C81 I u8 I $1 7 1E I 3 I 13 7 -2 C85 I u8 I $5 7 24 I 3 I 1J 7 -1 C83 I u8 I $3 7 I 3 I1J 7 -21 C51 I u5 I $1 7 4 I !-1J" I 13 7 1 C58 I u5 I $8 7 4 I !-1J" I 18 7 8
C52 I u5 I $2 7 4 I !-1J" I 14 7 J
*bser$e #ue stos c(lculos se pueden hacer directamente sobre la tabla% aplicando para las casillas de las $ariables no b(sicas Cij I ui I $j Ojese #ue en sta Altima tabla% est(n todos los coe>cientes de las $ariables no b(sicas en la &unción objeti$a% despus de haber sumado mAltiplos de las restricciones a la &unción objeti$o para eliminar las $ariables b(sicas. a nue$a &unción objeti$o es: D 7 3911 H912 918 3915 14922 8925 -2981-985 !-21"983 951 J952 8958 2.J34 a $ariable #ue al crecer hace #ue D disminu+a m(s es 981 % luego escogemos sta $ariable para entrar a la base.
*bser$e #ue en la tabla de costos para las $ariables no b(sicas se encuentran los $alores en #ue aumenta ó disminu+e D por cada unidad de crecimiento de las $ariables no b(sicas. )denti>cada la $ariable para entrar !981"% debemos determinar la $ariable para salir% #ue debe ser a#uella #ue primero se $uel$a cero !4" a medida #ue la $ariable #ue entra crezca. para ello% construimos un circuito cerrado de !" + !-"% empezando% sumando en la casilla de la $ariable #ue entra 981. *bser$e #ue el circuito de !" + !-" tiene como objeti$o preser$ar la suma de las >las + de las columnas% esto es% seguir satis&aciendo la o&erta + la demanda% conser$ando la &actibilidad del problema.
D72.J34 Gariable #ue entra 981. Ojese #ue a medida #ue 981 crece% 921 + 988 decrecen en la misma cantidad. 0#u 921 + 988 llegan a cero al mismo tiempo. 'scogemos arbitrariamente a 988 como $ariable #ue sale + a 921 al restarle 84 #uedar( con un $alor de R S 4
D7!54"!13"!4"!13"!34"!18"!14" !1J"!84"!1E" !54"!13"!54"!4"!14"!4" 7 2.3H4 . Ojese #ue mn-17E . 921 es $ariable b(sica 7 4 . a o&erta es igual a la demanda. . D disminu+e en J4 unidades 2!84"7J4 2.J34 – J4 7 2.3H4 a pregunta a#uí es: Ésta es la solución óptima% la respuesta la conoceremos cuando calculemos la nue$a tabla de costos para las $ariables no básicas. Tabla de costos para las #ariables b>sicas: =i ? i ? # 8
Tabla de costos para las $ariables no b(sicas: Cij I uiI $j Ojese #ue todos son V 4 'stamos en la solución óptima
olución óptima Gariables b(sicas: 913W 7 54 921W 7 R 7 4 928W 7 34 923W 7 14 981W 7 84 982W 7 54 935W 7 54 933W 7 14 DW 7 54!1J"4!13"34!18"14!1J"84!1E"54!13" 54!4" 14!4" 7 2.3H4
Cnterpretación de la solción a &orma óptima de hacer los en$os desde las &(bricas !1%2%8" a los distribuidores !1%2%8%5%3" para #ue los costos totales del transporte sean mnimos es: esde la &(brica 1 al distribuidor 3 en$iar 54 unidades% a un costo de: 6 J54 esde la &(brica 2 al distribuidor 8 en$iar 34 unidades% a un costo de: 6 J34 esde la &(brica 2 al distribuidor 3 en$iar 144 unidades% a un costo de: 6 1J4 esde la &(brica 8 al distribuidor 1 en$iar 84 unidades% a un costo de: 6 354 esde la &(brica 8 al distribuidor 2 en$iar 54 unidades% a un costo de: 6 J44 Total de unidades en$iadas 1F4% a un costo total de 62.3H4 *bser$e #ue el distribuidor 5 se #uedar( sin sus 54 unidades + #ue el distribuidor 3 sin sus 14 unidades% en total #uedar( una demanda insatis&echa de 34 unidades !)n&ormación #ue conocimos desde el principio"% lo rele$ante
a#u% es #ue ahora sabemos a #uien no en$iarle las 34 unidades #ue no tienen los distribuidores + #ue podemos tomar decisiones administrati$as re&erentes a la demanda no cubierta% tales como: 1. Conseguir las 34 unidades a tra$s de la competencia agremiada% como consecuencia de acuerdos pre$iamente establecidos. 2. 0cordar con el distribuidor 5 + 3 cubrir dicha demanda en el periodo de producción siguiente. 8. *tras decisiones podr(n ser tomadas en concordancia con la situación real Problemas propuestos Una cadena de cinco !3" 0lmacenes% ubicados en di&erentes partes del pas% re#uieren cierta mercanc+a para cada uno de sus almacenes. ,as -mpresas abastecedoras an in/ormado que disponen de la mercanc+a solicitada pero en tres (") di/erentes /ábricas. ,a escasez del producto ace que la cadena de almacenes deba transportar la mercanc+a. -n base a los costos del transporte por unidad a los requerimientos de los almacenes y a la disponibilidad de las /ábricas que se muestra en el siguiente cuadro0 ormule el problema de programaci#n lineal que minimice los costos totales del transporte y resuel&a
Una CompaLa desea saber% #ue poltica de distribución minimizar( sus costos totales% se cuenta con tres !8" &(bricas + cuatro !5" clientes% la producción de las &(bricas es de: 334%844 + 2J4 unidades respecti$amente + las necesidades de los cuatro !5" clientes son: 234%844%244% + 1J4 unidades respecti$amente.os costos de en$iar una !1" unidad entre cada &(brica + los clientes se da a continuación:
Considere en la tabla siguiente de costos a" Use el mtodo de la es#uina noroeste para obtener una solución b(sica /actible. b) se el método del costo m+nimo para obtener una soluci#n básica /actible. c) se el método de &ogel para obtener una soluci#n básica /actible. d) 3btenga la soluci#n #ptima partiendo de la soluci#n básica obtenida por el método de &ogel.
https://pro&mgodo+.wordpress.com/
MÉTODO SIMPLEX
El Método Si!"e# es un m"todo analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante elm"todo gráfico sin restricción en el n!mero de variables. El Método Si!"e# es un m"todo iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el m"todo consiste en caminar del v"rtice de un poliedro a un v"rtice vecino de manera que aumente o disminuya Kseg!n el contexto de la función objetivo sea maximizar o minimizar dado que el n!mero de v"rtices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo m"todo fue creado en el aMo de 3N6= por el estadounidense 0eorge 'ernard -antzig y el ruso Leonid #italievich ;antorovich con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
OJ2E E) 2$( %(+/H /-E$/-(-P 2na matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos Ko listado finito de elementos los cuales pueden ser n!meros reales o complejos dispuestos en forma de filas y de columnas.
La matriz id"ntica o identidad es una matriz cuadrada Kque posee el mismo n!mero tanto de columnas como de filas de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno K3 y todos los demás componentes iguales a cero K8 se denomina matriz id"ntica o identidad de orden n, y se denota por
La importancia de la teoría de matrices en el %"todo )implex es fundamental dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
,')E+#(&/,$E) /%*,+($E) (L 2/L/H(+ %Q,-, )/%*LEA #(+/('LE) -E R,L02+( S EA&E), El %"todo )implex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables
denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del )implex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S" se suman si la restricción es de signo TUI T y se restan si la restricción es de signo TVIT.
*or ejemplo
#(+/('LE (+/?/&/(L @ %Q,-, -E L( T%T 2na variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones TVIT en ecuaciones o cuando aparecen igualdades en el problema original la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones su coeficiente es % Kpor esto se le denomina %"todo de la % grande donde % significa un n!mero demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma es decir en problemas de %aximización su signo es menos KW y en problemas de %inimización su signo es KF repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero K8.
modelos simplex y transporte mi"rcoles 4: de mayo de 4833 Xerbis colmeranez Metodo Si!"e# $ Tr%ns!orte DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE http@@modelosimplexytransporte.blogspot.com@
'l modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercanca de $arias &uentes a $arios destinos. os datos del modelo son: 1.
=i$el de o&erta en cada &uente + la cantidad de demanda en cada destino.
2.
'l costo de transporte unitario de la mercanca a cada destino Como solo ha+ una mercanca un destino puede recibir su demanda de una o m(s &uentes. 'l objeti$o del modelo es el de determinar la cantidad #ue se en$iar( de cada &uente a cada destino% tal #ue se minimice el costo del transporte total. a suposición b(sica del modelo es #ue el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. a de>nición de ?unidad de transporte@ $ariar( dependiendo de la ?mercanca@ #ue se transporte.
.
'l es#uema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m&uentes + n destinos. Una &uente o un destino esta representado por un nodo% el arco #ue une &uente + un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercanca. a cantidad de la o&erta en la &uente i es a i% + la
demanda en el destino 'es b j. 'l costo de transporte unitario entre la &uente i + el destino ' es Cij. i 9i j representa la cantidad transportada desde la &uente i al destino j% entonces% el modelo general de P #ue representa el modelo de transporte es: inimiza D7 Σ i71 m
Σ j71
n
C ij9 ij
ujeta a: 9 i j X7 ai %
i71%2%Y% m
9 ) j V7 bj %
j71%2%Y% n
Σ j71
n
Σ i71
m
9 i j V74
para todas las i +
'l primer conjunto de restricciones estipula #ue la suma de los en$os desde una &uente no puede ser ma+or #ue su o&erta en &orma an(loga% el segundo conjunto re#uiere #ue la suma de los en$ios a un destino satis&aga su demanda. 'l modelo #ue se acaba de escribir implica #ue la o&erta total Σi71 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Σ j71 n bj. Cuando la o&erta total es igual a la demanda total% la &ormulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte e#uilibrado. 'ste di>ere del modelo solo en el hecho de #ue todas las restricciones son ecuaciones% es decir: 9 i j 7 ai%
i71%2%...% m
9 7 bj%
j71%2%...% n
Σ
Σ i j
'n el mundo real% no necesariamente la o&erta debe ser igual a la demanda o ma+or #ue ella. in embargo% un modelo de transporte siempre puede e#uilibrarse. 'l e#uilibrio% adem(s de su utilidad en la representación a tra$s de modelos de ciertas situaciones pr(cticas% es importante para el desarrollo del mtodo de solución #ue e,plote completamente la estructura especial del modelo de transporte. os dos ejemplos #ue siguen presentan la idea del e#uilibrio + tambin sus implicaciones pr(cticas. 'jemplo 1 !odelo de transporte est(ndar" M 0uto Compan+ tiene plantas en os Zngeles% etroit + =ue$a *rle(ns. us centros de distribución principales son en$er + iami. as capacidades de las plantas durante el trimestre pró,imo son 1 444% 1 344% + 1 244 automó$iles. as demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 844 + 1 544 $ehculos. 'l costo del transporte de un automó$il por tren es de E centa$os por milla. 'l diagrama de las distancias recorridas entre las plantas + los centros de distribución son:
en$er
iami
1 444
1 JH4
etroit
1 234
1 834
6e#a rleans
1 2F3
E34
Los ngeles
'sto produce en costo por automó$il a razón de E centa$os por milla recorrida. Produce los costos siguientes !redondeados a enteros"% #ue representan a C i j del modelo original:
Los ngeles etroit
en$er
iami
E4
213
144
14E
ediante el uso JE 6e#a rleans 142 de códigos numricos #ue representan las plantas + centros de distribución% hacemos #ue 9 i j represente el nAmero de automó$iles transportados de la &uente i al destino '. Como la o&erta total ! 7 1 444 1 344 1 244 7 8 F44" es igual a la demanda ! 7 2 844 1 544 7 8 F44"% el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto% el siguiente modelo de P #ue representa el problema tiene todas las restricciones deigualdad. inimizar D 7 E49 11 2139 12 1449 21 14E9 22 1429 81 JE982 ujeto a: 9 11
9 12
7 1 444
9 21
9 22
7 1 344
9 81
9 82
7 1 244
9 11
9 21
9 12
9 ij
9 81
9 22
7 2 844
9 82
7 1 544
para todas las i + '
Un mtodo mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo #ue se llama tabla de transporte. 'sta es una &orma de matriz donde sus renglones representan las &uentes + sus columnas los destinos. os elementos de costo C i j se resumen en la es#uina noroeste de la celda de la matriz !i% j". Por lo tanto% el modelo de M se puede resumir en la tabla siguiente:
'jemplo 2 !odelo de transporte con e#uilibrio"
'n el ejemplo anterior suponga #ue la capacidad de la planta de etroit es de 1 844 automó$iles !en $ez de 1 344". e dice #ue la situación esta dese#uilibrada debido a #ue la o&erta total !78 344" no es igual a la demanda total !78 F44".=uestro objeti$o consiste en $ol$er a &ormular el
modelo de transporte de manera #ue distribu+a la cantidad &altante!78 F44 I 8 344 7 244" en &orma optima entre los centros de distribución. Como la demanda es ma+or #ue la o&erta se puede agregar una planta Dcticia con una capacidad de 244. e permite #ue dicha planta% en condiciones normales% en$e su ?producción? a todos los centros de distribución. Osicamente% la cantidad de unidades en$iadas a un destino desde una planta >cticia representar( la cantidad &altante en ese destino. a Anica in&ormación #ue &alta para completar el modelo son los ?costos de transporte@ unitarios de la planta >cticia a los destinos. Como la planta no e,iste% no habr( ningAn en$o &sico + el costo de transporte unitario es cero. in embargo% podemos en&ocar la situación desde otro (ngulo diciendo #ue se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatis&echa en los centros de distribución. 'n este caso los costos de transporte unitarios ser(n iguales a los costos de penalización unitarios en los di$ersos destinos. en$er
iami
os Zngeles
E4
213
1 444
etroit
144
14E
1 844
=ue$a *rle(ns
142
JE
1 244
Planta >cticia
4
4
244
e manera an(loga% si la o&erta en ma+or #ue la demanda podemos aLadir un destino Dcticio #ue absol$er( la di&erencia. Por ejemplo% suponga #ue la demanda en en$er disminu+e a 1 H44cual#uier automó$il en$iado de una planta a un centro de distribución >cticio representa un e,cedente en la planta. en$er
iami
estino Oicticio
os Zngeles
E4
213
4
1 444
etroit
144
14E
4
1 344
=ue$a *rleans
142
JE
4
1 244
a aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de ?transporte@ 'l siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos. 'jemplo 8 !odelo de in$entario de producción" Una compaLa constru+e una planta maestra para la producción de un articulo en un periodo de cuatro meses. as demandas en los cuatro meses son: 144% 244% 1E4 + 844 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satis&acerse a tra$s de: 1. 2. 8.
Producción e,cesi$a en un mes anterior almacenada para su consumo posterior. Producción en el mes actual. Producción e,cesi$a en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.
'l costo de producción $ariable por unidad en un mes cual#uiera es de 65.44. una unidad producida para consumo posterior incurrir( en un costo de almacenamiento razón de 64.34 por unidad por mes. Por otra parte% los artculos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de 62.44 por unidad por mes. a capacidad de producción para elaborar el producto $ara cada mes. os c(lculos de los cuatro meses siguientes son 34% 1E4% 2E4 + 2F4 unidades% respecti$amente. 'l objeti$o es el de &ormular el plan de in$entario de producción a costo mnimo. 'ste problema se puede &ormular como un modelo de ?transporte@. a e#ui$alencia entre los elementos de los sistemas de producción + transporte se establece de la manera siguiente.
'istema de Transporte
istema de Producción
1. Ouente i
1. Periodo de producción i
2. estino '
2. Periodo de demanda '
8. *&erta en la &uente i
8. Capacidad de producción del periodoi
5. emanda en el destino '
5. emanda del periodo '
3. Costo de transporte &uentei al destino '
de
la 3. Costo de producto e in$entario del periodo i al '
'n tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:
Periodo 1
2
8
5
Capacidad
emanda 1
5
5.3
3
3.3
34
2
J
5
5.3
3
1E4
8
E
J
5
5.3
2E4
5
14
E
J
5
2F4
244
1E4
844
emanda: 144
'l costo de ?transporte@ unitario del periodo i al ' es:
Costo en i%
= i 8 en i a j
de i7j
producción
=osto de prodcción en i S costo de almacenamiento i
=osto de prodcción en i S costo de penali0ación en i a j i7 a de>nición de C i j indica #ue la producción en el periodo i para el mismo periodo !i 7 j" sólo iguala el costo unitario de producción. i el periodo i se produce para periodos &uturos j !i X j"% se incurre en un costo de almacenamiento adicional. e la misma manera% la producción en i para cubrir ' pedidos hechos con anterioridad !i V j" incurre en un costo de penalización adicional. P43B,-M56 7- 5689:5%8;: (Método
Un problema de asignaci#n es un problema de transporte balanceado% en el cual todas las o&ertas + todas las demandas son iguales a uno. e puede resol$er e>cientemente un problema de asignación m , m mediante el mtodo [Angaro:
•
Paso 1.- 'mpiece por encontrar el elemento mas pe#ueLo en cada renglón de la matriz de costos. Constru+a una nue$a matriz% al restar de cada costo% el costo mnimo de su renglón. 'ncuentre% para esta nue$a matriz el costo
mnimo en cada columna. Constru+a una nue$a matriz ! la matriz de costos reducidos " al restar de cada costo el costo mnimo de su columna.
•
Paso 2.- ibuje el mnimo numero de lneas !horizontales o $erticales " #ue se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. i se re#uieren m lneas para cubrir todos los ceros% siga con el paso ".
•
Paso ".- 'ncuentre el menor elemento no cero !llame su $alor \ en la matriz de costos reducidos% #ue no esta cubiertos por las lneas dibujadas en el paso 2. 0hora reste \ de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos + sume \ a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos lneas. Negrese al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el #ue todas las o&ertas + demandas son iguales a 1 as se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de o&erta a cada punto de demanda. a matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.
Como todas las o&ertas + demandas para el problema de asignación son nAmeros enteros% todas las $ariables en la solución óptima deben ser $alores enteros.
']'P* ' PN*;'0 ' 0)M=0C)*=
1.
Una empresa ha contratado a 5 indi$iduos para 5 trabajos% los 5 indi$iduos + 5 trabajos pueden mostrarse en una tabla #ue indi#ue las clasi>caciones obtenidas% analizando al indi$iduo para cada trabajo. os renglones se re>eren a los hombres% mientras #ue las columnas se re>eren a los trabajos el problema consiste en ma,imizar las cali>caciones para asignar los 5 trabajos. e supone #ue las cali>caciones de un indi$iduo es directamente proporcional a la ganancia #ue obtendra la compaLa si ese indi$iduo se encargara del trabajo.
2.
*tro problema #ue utiliza la misma estructura del modelo de transporte% es la asignación de camiones para reducir al mnimo los costos de un problema de asignación.
8.
Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente e#uipados para &uncionar en condiciones climatológicas espec>cas. a empresa ha di$idido en cinco regiones geogr(>cas. e compra el camión 0 + se modi>ca para #ue &uncione e>cientemente en las regiones uno + dos% + para #ue &uncione bastante bien en las regiones tres + cuatro. 'l mismo camión no &unciona bien en la región cinco. os gastos de gasolina% mantenimiento + otros costos directos de operación% seran mnimos en las regiones uno + dos% promedio en las regiones tres + cuatro% + altos en la región cinco. e tiene esa misma in&ormación con respecto a los dem(s camiones de la compaLa% o sea% los tipos ;% C + .
SOLUCION DEL PROLEMA DE TRANSPORTE! 'n esta sección presentamos los detalles para resol$er el modelo de transporte. T'C=)C0 ' TN0=P*NT'. os pasos b(sicos de la tcnica de transporte son:
Paso 1: determnese una solución &actible.
Paso 2: determnese la $ariable #ue entra% #ue se elige entre las $ariables no b(sicas. i todas estas $ariables satis&acen la condición de optimidad !del mtodo simple,"% detngase de lo contrario% dirjase al paso 8.
Paso 8: determnese la $ariable #ue sale !mediante el uso de la condición de &actibilidad" de entre las $ariables de la solución b(sica actual despus obtngase la nue$a solución b(sica. Negrese al paso 2.
OTENCIÓN DE SOLUCIONES "SICAS FACTILES PARA PROLEMAS DE TRANSPORTES
Podemos obtener una solución b(sica &actible !sb&" para un problema de transporte balanceado mediante el mtodo de la es#uina =oroeste% el mtodo de costo mnimo% o el mtodo de Gogel. Para obtener una sb& mediante el mtodo de la es#uina noroeste% empiece en la es#uina superior iz#uierda del cuadro del transporte + haga a 911 lo m(s grande posible.
=aturalmente% 911 no puede ser ma+or #ue el menor $alor i + as 911 1 tache el primer renglón del cuadro de transporte 'sto indica #ue si habr( m(s $ariables b(sicas del renglón 1 del cuadro. Tambin d1-1 . i 9117d1% tache la primera la columna del cuadro de transporte + cambie 1 I d1.
i 9117 1 7 d1% tache o el renglón 1% o la columna 1 !pero no ambos"% del cuadro de transporte. i tacha el renglón 1% cambie d1 por cero si tacha columna 1% cambie 1 por 4.
ContinAe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del cuadro #ue no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.
Oinalmente% llegara un momento en el cual solo #ueda una celda a la cual se puede asignar un $alor. 0signe a esta celda un $alor igual a la o&erta de su renglón o a la demanda de su columna% + tache el renglón + la columna de la celda. e obtiene de esta manera una soluci#n básica /actible.
*;T'='N 0 *UC)^= ^PT)0 P0N0 U= PN*;'0 ' TN0=P*NT'
Paso 1= i el problema no est( balanceado% balancelo.
Paso 2= Utilice uno de los mtodos descritos anteriormente para obtener una solución b(sica &actible.
Paso "= Utilice el hecho de #ue U174% + UiGj7Cij en todas las $ariables b(sicas para encontrar !U1%U2...Um G1%G2...Gn" para la sb& actual.
Paso >= i Ui Gj I Cij es menor o igual a cero% para todas las $ariables no b(sicas% entonces la sb& actual es óptima. i no es as se introduce la $ariable con $alor m(s positi$o de Ui Gj ICij en la base. Para hacer esto% encuentre un circuito cerrado !se puede demostrar #ue solamente e,iste un circuito cerrado" #ue contiene la $ariable #ue entra + algunas de las $ariables b(sicas. espus% tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado mar#ue las #ue se encuentren alejadas en nAmero par !4%2%5%J%..." de celdas de la $ariable #ue entra como celdas pares. Tambin mar#ue las celdas en el circuito cerrado% #ue se encuentra un nAmero impar de celdas de la $ariable #ue entra como celdas impares. 0hora encuentre la celda impar cu+a $ariable toma el menor $alor. lame este $alor teta. a $ariable correspondiente a esta celda impar saldr( de la base. Para realizar
el pi$oteo% disminu+e el $alor de cada celda impar en teta + aumenta el $alor de cada celda par en teta. os $alores de las $ariables #ue no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. 0hora se completó el blo#ueo. o
o
teta es igual a cero% la $ariable #ue entra ser( igual a cero% + una $ariable impar #ue tiene un $alor actual de cero% saldr( de la base. 'n este caso% e,ista un sb& degenerada antes del pi$oteo + resultar( despus del pi$oteo.
i m(s de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para #ue salga de la base se obtendr( una $ez m(s una sb& degenerada. 'l pi$oteo produce una nue$a sb&.
Paso $= Negrese a los pasos 8 + 5% utilizando la nue$a sb&. Para un problema de ma,imización% proceda como se especi>có% pero cambie el paso 5 por el paso 5_.
Paso ?= i Ui Gj ICij es ma+or o igual a cero% para todas las $ariables no b(sicas% entonces% la sb& actual es óptima. e otra manera% colo#ue la $ariable con el $alor m(s negati$o de Ui Gj I Cij en la base mediante el procedimiento de pi$oteo.
'L=C6 C6C=C
0.
*'* ' C*T* )=)*
0signese el mas grande $alor posible a la $ariable con el menor costo unitario de toda la tabla. Tachese el renglon o columna satis&echo.espues de ajustar la o&erta + la demanda de todos los renglones + columnas no tachados% repitase el proceso asignando el $alor mas grande posible a la $ariable con el costo unitario no tachado mas pe#ueLo. 'l procedimiento esta completo cuando #ueda e,actamente un rebglon o bien una columna sin tachar.
1 1
2 14
8 4
5 24
11
13
4 2
13 12
4 F
H 13
8
4
15
24
23
1E
3
14 1J
3 3
;.
13
13
14
'T** ' 0PN*9)0C)*= ' G*M' !G0"
'ste metodo es heuristico + suele producir una mejor solucion inicial #ue los dos metodos antes descritos. e hecho% G0 suele producir una solucion inicial optima% o pro,ima al ni$el optimo. os pasos del procedimiento son los siguientes: Paso1: '$aluese una penalizacion para cada renglon restando el menor elemento del costo del renglon del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglon. Paso2: )denti>#ueze el renglon o columna con la ma+or penalizacion% rompiendo empates en &orma arbitraria. 0signese el $alor ma+or posible a la $ariable con el costo mas bajo del renglon o columna seleccionado. 0justese la o&erta + la demanda + tachese el renglon o columna satis&echo. i un renglon o columna se satis&acen al mismo tiempo% solo uno de ellos se tacha + al renglon restante se le asigna una o&erta cero.Cual#uier renglon o columna con o&erta o demanda cero no debe utilizarce para calcular penalizaciones &uturas. Paso 8: a.-si solo ha+ un renglon o columna sin tachar% detengase. b.-si solo ha+ un renglon cono&erta positi$a sin tachar% determinense las $ariables basicas del renglon a tra$ez del metodo del costo minimo. c.-si todos los renglones + columnas sin tachar tienen o&erta o demanda cero asignadas% determinese las $ariables basicas cero a tra$ez del metodo del costo minimo. etengase. d.-de lo contrario% calculense las penalizaciones de las renglones + columnas no tachados + despues dirijase al paso 2.
1
2
8
5
PN
1
14
4
24
11
13
14
2
12
F
H
24
23
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8
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15
1J
1E
3
15
3 PC
3
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F
F
F
PN 7 Penalización de Nenglón PC 7 Penalización de Columna
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-
13 8
4 3
PC
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F
11
H
%3:%,683:=
e han presentado $arios mtodos para obtener una solución al problema de transporte u otro semejante. Una consideración mu+ importante #ue ha+ #ue tener en cuenta con cual#uier mtodo #ue se utilice% es #ue el problema de transporte no siempre puede aislarse + resol$erse dentro de sus propios lmites. 'l transporte es tan sólo una parte de todo el sistema de distribución de la compaLa. 's mu+ di&cil resol$er el mejor programa de transporte en trminos de ser$icio + bajo costo. 'sa (rea de la empresa re#uiere de una constante atención para incorporar los cambios #ue constitu+an + una di&cil tarea para cual#uier grupo de in$estigaciones de negocios.
/Ftodo 'imple; 'l mtodo imple, es un procedimiento iterati$o #ue permite ir mejorando la solución a cada paso. 'l proceso conclu+e cuando no es posible seguir mejorando m(s dicha solución. Partiendo del $alor de la &unción objeti$o en un $rtice cual#uiera% el mtodo consiste en buscar sucesi$amente otro $rtice #ue mejore al anterior. a bAs#ueda se hace siempre a tra$s de los lados del polgono !o de las aristas del poliedro% si el nAmero de $ariables es ma+or". Cómo el nAmero de $rtices !+ de aristas" es >nito% siempre se podr( encontrar la solución. 'l mtodo imple, se basa en la siguiente propiedad: si la &unción objeti$o% &% no toma su $alor m(,imo en el $rtice 0% entonces ha+ una arista #ue parte de 0% a lo largo de la cual & aumenta. eber( tenerse en cuenta #ue este mtodo sólo trabaja para restricciones #ue tengan un tipo de desigualdad `` + coe>cientes independientes ma+ores o iguales a 4% + habr( #ue estandarizar las mismas para el algoritmo. 'n caso de #ue despus de ste proceso% aparezcan !o no $aren" restricciones del tipo `` o `7` habr( #ue emplear otros mtodos% siendo el m(s comAn el mtodo de las os Oases.
V =onstrcción de la primera tabla : 'n la primera columna de la tabla aparecer( lo #ue llamaremos base% en la segunda el coe>ciente #ue tiene en la &unción objeti$o cada $ariable #ue aparece en la base !llamaremos a esta columna Cb"% en la tercera el trmino independiente de cada restricción !P4"% + a partir de sta columna aparecer(n cada una de las $ariables de la &unción objeti$o !Pi". Para tener una $isión m(s clara de la tabla% incluiremos una >la en la #ue pondremos
cada uno de los nombres de las columnas. obre sta tabla #ue tenemos incluiremos dos nue$as >las: una #ue ser( la #ue liderar( la tabla donde aparecer(n las constantes de los coe>cientes de la &unción objeti$o% + otra #ue ser( la Altima >la% donde tomar( $alor la &unción objeti$o. =uestra tabla >nal tendr( tantas >las como restricciones.
Tabla C1
C2
...
Cn
;ase
Cb
P4
P1
P2
...
Pn
Pi1
Ci1
bi1
a11
a12
...
a1n
Pi2
Ci2
bi2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
...
Pim
Cim
bim
am1
am2
...
amn
D4
D1-C1
D2-C2
...
Dn-Cn
D
os $alores de la >la D se obtienen de la siguiente &orma: 'l $alor D4 ser( el de sustituir Cim en la &unción objeti$o !+ cero si no aparece en la base". 'l resto de columnas se obtiene restando a este $alor el del coe>ciente #ue aparece en la primera >la de la tabla. e obser$ar( al realizar el mtodo imple,% #ue en esta primera tabla% en la base estar(n las $ariables de holgura. - Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nue$a iteración o no% #ue lo sabremos si en la >la D aparece algAn $alor negati$o. i no aparece ninguno% es #ue hemos llegado a la solución óptima del problema. - 'lección de la $ariable #ue entra: i no se ha dado la condición de parada% debemos seleccionar una $ariable para #ue entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos >jamos en los $alores estrictamente negati$os de la >la D% + el menor de ellos ser( el #ue nos de la $ariable entrante. - 'lección de la $ariable #ue sale: Una $ez obtenida la $ariable entrante% obtendremos la $ariable #ue sale% sin m(s #ue seleccionar a#uella >la cu+o cociente P4/Pj sea el menor de los estrictamente positi$os !teniendo en cuenta #ue sólo se har( cuando Pj sea ma+or de 4". a intersección entre la columna entrante + la >la saliente nos determinar( el elemento pi$ote.
- 0ctualización de la tabla: as >las correspondientes a la &unción objeti$o + a los ttulos permanecer(n inalterados en la nue$a tabla. 'l resto deber( calcularse de dos &ormas di&erentes: •
i
es
la
>la
pi$ote
cada
nue$o
elemento
se
calcular(:
:ue&o -lemento ila Pi&ote -lemento ila Pi&ote actual @ Pi&ote. •
Para
el
resto
de
elementos
de
>las
se
calcular(:
:ue&o -lemento ila -lemento ila Pi&ote actual A (-lemento %olumna Pi&ote en la !la actual :ue&o -lemento ila).
PN*;'0 ' 0)M=0C)^=
'l problema de asignación es una $ariación del problema original de transporte% $ariación en la cual las $ariables de decisión 9!i%j" solo pueden tomar $alores binarios% es decir ser cero !4" o uno !1" en la solución óptima% lo #ue supone #ue la o&erta + la demanda est(n per&ectamente alineadas% de hecho ambas son iguales a uno !1".
Altiples son los casos en los #ue como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignación para resol$er di$ersas situaciones% entre los #ue cabe mencionar se encuentran la asignación de personal a ma#uinas% herramientas a puestos de trabajos% horarios a maestros% candidatos a $acantes% huspedes a habitaciones% comensales a mesas% $endedores a zonas territoriales etc.
'n el modelo de asignación la idea &undamental de resolución es #u &uente satis&ace mejor el destino% + dado #ue hemos asociado el modelo a una gran di$ersidad de circunstancias esta pregunta puede plantearse en mAltiples conte,tos% como #u candidato es el idóneo para la $acante% o #u personal es el indicado para la lnea producti$a% o #u personal es el mejor para ejecutar determinada tarea. Una caracterstica particular del modelo de asignación es #ue para su resolución no se hace necesario #ue el nAmero de &uentes sea igual al nAmero de destinos% lo cual es mu+ comAn en la $ida real teniendo en cuenta su aplicación% pues generalmente la
cantidad de aspirantes es e,ageradamente superior al nAmero de $acantes !lógicamente haciendo re&erencia a la aplicación del modelo al conte,to de o&erta + demanda laboral"
%Q,-, RY$0(+, (partándonos un poco de la idea expresada en módulos anteriores respecto a la facilidad de resolver problemas atinentes a la investigación operativa en especial aquellos de transporte mediante el uso de herramientas tecnológicas como lo son
El m"todo R!ngaro es un m"todo de optimización de problemas de asignación conocido como tal gracias a que los primeros aportes al m"todo clásico definitivo fueron de -"nes ;Znig y [en\ Egerváry dos matemáticos h!ngaros. El algoritmo tal como se detallará a continuación está diseMado para la resolución de problemas de inii(%)i*n !nicamente será entonces cuestión de agregar un paso adicional para abordar ejercicios de m aximización.
(L0,+/%, RY$0(+, *(), 3 (ntes que nada cabe recordar que el m"todo h!ngaro trabaja en una matriz de costos n]m Ken este caso conocida como matriz m]m dado que el n!mero de filas es igual al n!mero de columnas n I m una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeMo en cada fila de la matriz.
(L0,+/%, RY$0(+, *(), 4 2na vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n]m en la cual se consignar
(L0,+/%, RY$0(+, *(), 4 2na vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n]m en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia
entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde Kvalor mínimo hallado en el primer paso.
(L0,+/%, RY$0(+, *( *(), 5 Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas es decir se halla el valor mínimo de cada columna con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la columna a la cual cada costo corresponde matriz llamada T%atriz de &ostos +educidosT.
(L0,+/%, RY$0(+, *( *(), 6 ( continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas K!nicamente de esos tipos con el objetivo de cubrir todos l os ceros de la matriz de costos reducidos con el menor n!mero de líneas posibles si el n!mero de lineas es igual al n!mero de filas o columnas se ha logrado obtener la solución óptima Kla mejor asignación seg!n el contexto de optimización si el n!mero de líneas es inferior al n!mero de filas o columnas se debe de proceder con el paso :.
(L0,+/%, RY$0(+, *( *(), : Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las lineas del paso 6 ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas^ a continuación este es te mi mism smo o va valo lorr se su suma mará rá a lo loss va valo lore ress qu que e se en encu cuen entr tren en en la lass intersecciones de las lineas horizontales y verticales una vez finalizado este paso se debe volver al paso 6.
+E),L2&/1$ -E 2$ 2 $ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E EL %Q,-, RY$0(+, EL *+,'LE%( La com compaM paMía ía de man manufa ufactu ctura ra T[i T[im"n m"nez ez y (s (soci ociado adosT sT des desea ea rea realiz lizar ar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales ( ' y &. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 3 día sin embargo la jorna jornada da de mante mantenimien nimiento to no pued puede e dura durarr más de un día teniendo en cuenta que la compaMía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. eniendo en cuenta que seg!n el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla
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*(), 3 Encontramos el menor elemento de cada fila
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*(), 4 &onstruimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.
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*(), 5 En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 3 esta vez en relación a las columnas por ende escogemos el elemento menor de cada columna. /gualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 4 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor.
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*(), 6 En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.
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&omo se puede observar el menor n!mero de líneas horizontales y@o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 4 por ende al ser menor que el n!mero de filas o columnas es necesario recurrir al paso :.
*(), : En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.
Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas en este caso existe una !nica intersección K5.
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(hora ya efectuado este paso pasamos al paso 6.
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(hora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas Kla misma cantidad de filas o columnas de la matriz por ende se ha llegado al tabulado final en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas.
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*or ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 3 realice el mantenimiento de la %áquina 3 el Equipo 4 realice el mantenimiento de la %áquina 5 y el Equipo 5 realice el mantenimiento de la %áquina 4 jornada que tendrá un costo total de 3= unidades monetarias.
+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E %(A/%/H(&/1$ %E-/($E EL %Q,-, RY$0(+,
EL *+,'LE%( 2na organización de recolección de caf" cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo Kequipos 3 4 5. Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso condiciones como lo son el tipo de suelo las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha Kterrenos ( ' & - estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo clima y tipo de grano. &ada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles salvo el equipo 4 que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles. )e ha contratado a un /ngeniero /ndustrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de caf" cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad Ken cientos de sacos de cosecha de caf" de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.
+E),L2&/1$ En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación del m"todo h!ngaro este concepto nos dice que el n!mero de filas debe ser exactamente igual al n!mero de columnas. *or ende la acción a realizar debería ser crear un equipo ficticio el cual nos deje el tabulado balanceado y a este asignarle un n!mero de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. )in embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos en este caso crearemos un equipo 4 alternativo KEquipo 4' el cual nos balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. ( este equipo 4' que crearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 4 Ken adelante equipo 4( seg!n el terreno lógicamente.
2na vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimización pues recordemos que el m"todo h!ngaro se encuentra diseMado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar por lo que tendremos que aplicar un paso adicional.
Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.
En este caso este valor es 3: por lo cual procederemos a realizar la siguiente operación con cada uno de los valores
+estaremos a 3: el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cada una de las celdas correspondientes.
(hora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera
( partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del m"todo h!ngaro como se aplicaría en un caso e minimización Knormalmente.
(hora encontramos el menor elemento de cada fila.
y se lo restamos a todas las celdas de la fila.
(hora efectuamos este mismo paso pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente.
(hora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros con la menor cantidad de líneas si el n!mero de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz Ken este caso matriz grado 6 6x6 habremos llegado al final del ejercicio.
-ado que el n!mero de líneas es igual al grado de la matriz hemos concluido el algoritmo. Lo !nico que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 8 Kcero.
Las asignaciones como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno en este caso al Equipo 5 le corresponde el erreno (. -e esta manera al Equipo 3 le corresponde el erreno -. %ientras tanto el Equipo 4 se encargará de la cosecha en los terrenos ' y &. )eg!n el tabulado del problema Krecordemos que es de maximización la cantidad de sacos Kexpresada en cientos de sacos será así
+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E *+,0+(%(&/1$ L/$E(L EL *+,'LE%( La compaMía de manufactura T[im"nez y (sociadosT desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales ( ' y &. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 3 día sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día teniendo en cuenta que la compaMía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. eniendo en cuenta que seg!n el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla
#(+/('LE) -E -E&/)/1$ Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional es decir variables A ij donde i BEquipo de mantenimiento 345C y j B%áquina 345C y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 3 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a una máquina en particular.
+E)+/&&/,$E) -ado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una maquinaria esta característica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones.
A33 F A34 F A35 I 3 A43 F A44 F A45 I 3 A53 F A54 F A55 I 3
(demás debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un equipo de mantenimiento por ende
A33 F A43 F A53 I 3 A34 F A44 F A54 I 3 A35 F A45 F A55 I 3
(demás se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros Kpor obvias razones y que deben ser mayores que cero Kdado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario.
Aij G 8 Aij BHC
?2$&/1$ ,'[E/#, H%/$ I 38A33 F NA34 F :A35 F NA43 F 7A44 F 5A45 F 9A53 F 6A54 F =A55
/$0+E)($-, L,) -(,) (
+E)2L(-,) ,'E$/-, %E-/($E EL
*or ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 3 realice el mantenimiento de la %áquina 3 el Equipo 4 realice el mantenimiento de la %áquina 5 y el Equipo 5 realice el mantenimiento de la %áquina 4 jornada que tendrá un costo total de 3= unidades monetarias.
+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E
/$0+E)($-, L,) -(,) (
+E)2L(-,) ,'E$/-,) %E-/($E
*or ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 3 realice el mantenimiento de la %áquina 3 el Equipo 4 realice el mantenimiento de la %áquina 5 y el Equipo 5 realice el mantenimiento de la %áquina 4 jornada que tendrá un costo total de 3= unidades monetarias.
-e esta manera se hace evidente cual es la alternativa predilecta para resolver problemas de asignación.
