Tratamiento Tratamiento de agua En situaciones de mejoramiento de calidad del agua es importante analizar la cantidad de compuestos minerales y específicamente específicamente la cantidad cantidad de sal, puesto que tienen muchas muchas aplicaciones industriales y consecuencias ambientales. Por ejemplo en el mantenimiento de piscinas se necesita ablandar el agua para mantener la calidad y salubridad de esta. Mediante tratamientos complejos se busca adicionar sal al agua la misma que va a servir de agente purificador. Este proceso consiste en hacer pasar esta agua ligeramente salada, por unas láminas de titanio (electrodos) que, previamente, se han intercalado en las tuberías de retorno del sistema de depuración de la piscina. Cuando el agua salada pasa por los electrodos, la sal (cloruro sódico) se convierte en un desinfectante activo, el hipoclorito sódico, que destruye algas, bacterias y hongos. Este desinfectante se reconvierte en sal, volviendo de esta forma a renovarse el ciclo sin que se produzcan pérdidas de este elemento natural. Este sistema puede aplicarse a cualquier tipo de piscina o spa y también en balnearios, parques acuáticos, lagos, puertos deportivos. Es decir, para cualquier lugar en el que exista la necesidad de una instalación con circuito de depuración. En el sistema de ablandamiento de agua necesitamos mezclar agua con sal, por ejemplo consideremos el caso de dos tanques A y B, que contienen cada uno 100 galones de salmuera al principio del proceso. El líquido, bien agitado, pasa entre ambos, como muestra la figura. Encuentre la ecuación que describe la cantidad de sal en libras en cada tanque en cualquier tiempo.
1
Solución Llamemos
y
a la cantidad de sal en los tanques A y B respectivamente en cualquier tiempo t.
Entonces balance de masa obtengamos el modelo matemático que describe este fenómeno. En el tanque A la entrada de sal es
La salida de sal es
7 2 +1 =10+ 3 +5 =
.
.
En el tanque B la entrada de sal es
5 = 1 +4 = .
La salida de sal es
.
El sistema de ecuaciones diferenciales es
=14+ =
.
.
2
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales:
(1)
en donde
= +( )
=0 0 0 ̇ =+ =; ̇ =´´ = =() ℳ , + , ∙ × ℝ, + , ∙ y
(en el tiempo matricial como:
son las funciones incógnita. Suponemos que el sistema tiene unas condiciones iniciales
) que son:
y
. Entonces, el sistema anterior puede reescribirse en forma
(2)
en donde:
,
,
;
;
.
Vamos a resolver la ecuación matricial (2). Observamos que esta ecuación es diferencial ordinaria de primer orden, lineal, en la variable . Como sabemos, la terna es un anillo no conmutativo con elemento neutro multiplicativo. Igualmente, la terna tiene igual estructura algebraica o superior. Puesto que los campos escalares de ambos anillos es el conjunto de números reales, podemos afirmar que la resolución de una ecuación diferencial con función incógnita real de variable real es análoga algebraicamente a la resolución de una ecuación diferencial con función incógnita vectorial de variable real. Esto determina que, si logramos resolver la ecuación escalar análoga: (3)
´=+ =0 =0 ≠0 , con
,
podremos escribir la solución análoga para la ecuación matricial (2). Procedemos, entonces, a resolver la ecuación escalar (3):
=+ ⟹ + =⟹∫ + =∫ ⟹ 1 ln+| =
Despejando
+ =⟹ 0+ + = ⟹ +=0+ ln+| =⟹ln 0+
de la ecuación anterior, obtenemos la solución de la ecuación escalar (3): (4)
= 0+ +=0+
Por las consideraciones anteriores, estamos en capacidad de escribir la solución análoga a la ecuación matricial (2). Para ello, vamos a utilizar la última expresión antes de la solución: (5)
3
Si escribimos la versión matricial de esta ecuación, obtenemos:
+= 0+ +−=− 0+=− 0+− − − − − − = 0+ = 0+ (6)
que equivale a:
(7)
Finalmente, despejando (8)
de la ecuación anterior, obtenemos:
Esta expresión es la solución a la ecuación diferencial matricial (2). Vamos a comprobar que, en efecto, la expresión (8) es la solución a la ecuación diferencial matricial (2). Derivando la ecuación (8), obtenemos: (9)
´ =−0+− = − 0+ − ´ = 0+= 0+ ´ = + (10)
(
Igualando esta última expresión con la ecuación (6), obtenemos de (10): (11)
Con esto, se ha comprobado teóricamente – por derivación directa – que la expresión (8) es la solución de la ecuación diferencial matricial (2). Ahora, para calcular en forma numérica la solución (8), requerimos evaluar la función exponencial de la matriz A. Esto se logra fácilmente mediante el uso de la descomposición canónica de Jordan de la matriz A. Existe un teorema clásico asociado con la descomposición de Jordan, el cual dice que si es la descomposición canónica de Jordan de la matriz A, entonces: variable real.
− = = − ∙ =− , en donde
es cualquier función real de
Aplicando este teorema a nuestros cálculos, podremos calcular como: . Dado que la matriz de Jordan es una matriz diagonal, es fácil calcular la exponencial natural de esta matriz. Procedemos al cálculo iniciando con la descomposición canónica de Jordan de A (la cual no se muestra aquí, porque existen procedimientos de cálculo estándar que deben llegar al mismo resultado que se muestra a continuación):
=− 3 2 9 √ = = 1 3+1 √ 29 ,
donde:
;
;
4
13 2 9 0 √ = 0 13+√ 29 − = √ √ ;
Por tanto, el cálculo de
√ + √
se realiza de la siguiente manera:
5 1 3 (13√29) 0 1 1 200 2 2 9 2√ 2 9 √ (3+√29) =− =10 (3√29) 10 5 1 3 1 1 0 200 (13+√29) [ √ 29 2 + 2√ 29] 5 1 3 (13√29) (13√29) 1 1 200 2 200 2 9 2√ 2 9 √ (3√29) (3+√29) =10 1 10 1 5 200 (13+√29) 12 + 3 200 (13+√29) 2√ 29 √ 29
2 9) 2 9) 1 1 (3+√ = (3√ 2 9)+ 2 9) 2 9)+ 2 9) (13√ (13+√ (13√ 200 200 200 200 2√ 29 5 (13√ 29)+ 5 2 9 (13√ 29)+√ 12+9 3 (13+√ √ 29 (13+√ 29) 1 3√ 2 200 200 2 200 2 200 [ √ 29 2√ 29 2√ 29 (13+√ 29)] √ 29
(3√ 2 9) (3+√ 2 9) 2 9 2 9 1 2 9 1 2 9 √ √ √ √ + + 200 200 200 200 2√ 2 9 2√ 2 9 2 9 2 9 √ √ = 5 √ 29+ 5 √ 29 1 3 √ 29+1 + 3 √ 29 [ √ 29 200 √ 29 200 2 2√ 29 200 2 2√ 29 200 ] −
2 9 3 2 9 2 2 9 √ √ √ ℎ ℎ ℎ 200 200 200 2 9 2 9 √ √ − = 10 ℎ√ 29 3 ℎ√ 29+ℎ√ 29 √ 29 200 √ 29 200 200 En consecuencia, podemos calcular cada uno de los sumandos de la expresión (8):
Empecemos con el cálculo de
− 0 5
La inversa de la matriz A es,
Luego
− = 207 55 18 − 0=
2 9 3 2 9 2 2 9 √ √ √ ℎ ℎ ℎ 20= 7 55 18− 20010 √ 29√ 29 200 3 √ 29√ 29 200 √ 29 1252 10011 00 √ 29 ℎ 200 √ 29 ℎ 200 +ℎ 200 20 20 22009 3 ℎ √ 20029 22009 √ √ 2 9 ℎ 2 ℎ √ = 35√ 129 55 18 10 ℎ √ 29 3 ℎ √ 29 + √ 29 ℎ √ 29 58 51 1200 200 200 ] [ 200 20013
2 9 2 9 2 9 √ √ √ 7 2 9 ℎ 21 ℎ 14 ℎ √ 13 1 200 200 200 = 7√ 29 200 70 ℎ √ 29 21 ℎ √ 29 +7√ 29 ℎ √ 29 1200 200 200 200 ] [
29 21 ℎ √ 29 10 + 14 ℎ √ 29 20 √ 7 2 9 ℎ √ 200 200 200 1 = 7√ 29 70 ℎ √ 29 0 + 21ℎ √ 29 +7√ 29 ℎ √ 29 0 1 2 200 200 200 [ ] 13 200
6
7
Ahora, calculemos
− = 2 9 2 2 9 √ √ 3 ℎ √ 29 1 ℎ ℎ 20= 7 55 18 200 10 √ 2√ 929 200 3 √ √ 2929 200 √ 29 104 √ 29 ℎ 200 √ 29 ℎ 200 +ℎ 200 1 20013
20013
20013
20013
20013
20013
2 9 3 2 9 √ √ ℎ ℎ 51 200√ 1029√ 29ℎ√ 20029200 = 40 58 10 ℎ√ 29 2 9 15 2 9 √ √ 5 ℎ + ℎ +5 = 40− 5 ℎ√ 20029+ √ 1529 ℎ√ 20029+5 √ 8029 ℎ√ 20029 200 √ 29 200 √ 29 200
−
1√ 29 ℎ√ 20029 ℎ√ 20029+ = 13 ℎ√ 29 ℎ√ 29+ [ √ 29 200 200 ]
200
−
8
Entonces la ecuación para
=00
es
29 21 ℎ √ 29 10 + 14 ℎ √ 29 20 √ 7 2 9 ℎ √ 200 200 200 +200 √ 129 ℎ √ 20029 ℎ √ 20029 + 10= 1 20 7√ 29 70 ℎ √ 20029 10 + 21 ℎ √ 20029 +7√ 29 ℎ √ 20029 20 √ 1329 ℎ √ 20029 ℎ √ 20029 + [ ] 13 200
13 200 13 200
13 200
Se sigue que:
= 7√ 129 − 7√ 29 ℎ √ 20029 21 ℎ √ 200290+ 14 ℎ √ 200290+ 20020013 √ 129 ℎ √ 20029 ℎ√ 20029 +20013 = 7√ 129 − 70 ℎ √ 200290+21 ℎ √ 20029 +7√ 29 ℎ √ 200290+ 20020013 √ 1329 ℎ √ 20029 ℎ√ 20029 +20013 9
Ahora bien si suponemos las siguientes condiciones iniciales:
0=10 0=0
Se tienen las ecuaciones
= 7√ 129 − 7√ 29 ℎ √ 20029 21 ℎ √ 2002910+ 20020013 √ 129 ℎ √ 20029 ℎ√ 20029 +20013 = √ 10029 − ℎ √ 20029+ 20020013 √ 1329 ℎ √ 20029 ℎ√ 20029 +20013 Cuyas gráficas, son:
10
Curva de color rojo: Curva de color azul:
Conclusión: En la gráfica se puede ver que la cantidad de sal en ambos tanques se estabiliza en 200 lb.
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Bibliografía Luis A. Calero, Y. S. (2003). Modelo Numérico de Calidad de Aguas para la Ciénaga Grande de Santa Martha. Centro de Investigaciones Oceanográficas e Hidrogáficas, 14. Zill, D. (2002). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. México: International Thomson Editores, S.A.
Hernán Benalcázar Gómez, (2012), “ Algebra Lineal y Aplicaciones”, Derechos de Autor QUI-039804, ISBN 978-9942-11-264-4. Primera Edición. Quito. Hernán Benalcázar Gómez, (2015), “Donde habitan los problemas matemáticos de la vida real”, En revisión. Primera Edición. Quito.
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