Sistemas de Transporte y Redes de Abastecimiento: Cadena de suministro de la bauxita
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PROBLEMA DE LA BAUXITA: Ejemplo de una cadena de abastecimiento Preparado por: Carlos Julio Vidal Holguín, Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística, Universidad del Valle Fecha:
Julio de 2005
Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles:
Minas de bauxita
Costo de explotación ($/ton.)
Capacidad anual de bauxita (ton.)
Rendimiento de alúmina
A B C
420 360 540
36000 52000 28000
6.0% 8.0% 6.2%
Conversión de Bauxita en Alúmina:
Planta
Cost Costo o Prod Produc ucci ción ón ($/ton alúmina)
Capaci Capa cida dad d anu anual al procesamiento de Bauxita
Costo osto fij fijo anua anuall de la planta de alúmina
B C D E
330 320 380 240
40.000 20.000 30.000 80.000
$3,000,000 $2,500,000 $4,800,000 $6,000,000
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Proceso de Esmaltado:
Planta
Costo Procesamiento ($/ton alúmina)
Capacidad anual procesamiento de Alúmina (ton)
D E
8500 5200
4000 7000
Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 ton en la planta D y de 1200 ton en la planta E. Costos de transporte en $/ton de Bauxita:
DE
HACIA j =
i=
A B C
1 2 3
B 1
C 2
D 3
E 4
400 10 1630
2010 630 10
510 220 620
1920 1510 940
Costos de transporte de la alúmina, en $/ton de alúmina:
DE
HACIA k=
j =
B C D E
1 2 3 4
D 1
E 2
220 620 0 1465
1510 940 1615 0
Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada. Note que existe el problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.
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MODELO DE OPTIMIZACIÓN PROPUESTO
W j Xij
B
Y jk
A C
D
D
E
B
C
A l u m i n i o
T e r m i n a d o
E Minas de Bauxita
Plantas de Alúmina
Plantas de Esmaltado
La figura muestra el esquema de la cadena de abastecimiento planteada. Se definen entonces las siguientes variables de decisión:
Variables de Decisión X ij
=
Ton/año de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j ; i = A, B, C; j = B, C, D, E.
Y jk
=
Ton/año de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k ; j = B, C, D, E; k = D, E.
W j
=
1, si la planta de alúmina j se abre; 0, de lo contrario; j = B, C, D, E.
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Función Objetivo
Minimizar Costo Total Anual
= Costo anual de explotación de bauxita + Costo anual de producción de alúmina + Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado + Costo anual de transporte de bauxita desde las minas hacia las plantas de alúmina + Costo anual de transporte de alúmina desde las plantas de alúmina hacia las plantas de esmaltado + Costo fijo anual de las plantas de alúmina
Costo anual de explotación de bauxita ($/año): Mina A : 420( X AB
X AC X AD
X AE )
Mina B : 360( X BB
X BC X BD
X BE )
Mina C : 540( X CB
X CC X CD
X CE )
Costo anual de producción de alúmina ($/año): Planta B : 330(Y BD
Y BE )
Planta C : 320(Y CD
Y CE )
Planta D : 380(Y DD
Y DE )
Planta E : 240(Y ED
Y EE )
Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado ($/año): Planta D : 8500(Y BD
Y CD
Y DD
Y ED )
Planta E : 5200(Y BE
Y CE
Y DE
Y EE )
Costo anual de transporte desde las minas de bauxita hacia las plantas de alúmina ($/año): Desde la mina A : 400 X AB Desde la mina B : 10 X BB Desde la mina C : 1630 X CB
2010 X AC 630 X BC 10 X CC
510 X AD
220 X BD 620 X CD
1920 X AE
1510 X BE 940 X CE
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Costo anual de transporte desde las plantas de alúmina hacia las plantas de esmaltado ($/año): Hacia la planta D : 220Y BD
620Y CD
Hacia la planta E : 1510Y BE
940Y CE
1465Y ED 1615Y DE
Costo fijo anual de plantas de alúmina ($/año): Planta B : 3,000,000W B Planta C : 2,500,000W C Planta D : 4,800,000W D Planta E : 6,000,000W E
Restricciones: 1) Por capacidad anual de explotación de bauxita en cada mina (Ton de bauxita/año): Mina A : X AB
X AC X AD
X AE
36 ,000
Mina B : X BB
X BC X BD
X BE
52 ,000
Mina C : X CB
X CC X CD
X CE
28 ,000
Estas restricciones expresan que todo el flujo anual de bauxita que sale de cada mina no puede exceder su capacidad anual de explotación. 2) Por capacidad anual de procesamiento de bauxita en cada planta de alúmina (Ton de bauxita/año): Planta B : X AB
X BB
X CB
40,000W B
Planta C : X AC X BC X CC
20,000W C
Planta D : X AD
X CD
30,000W D
Planta E : X AE X BE X CE
80,000W E
X BD
Nótese que no se puede recibir ningún flujo de bauxita desde las minas, si la planta de alúmina correspondiente no ha sido abierta. Obsérvese también que las anteriores restricciones, en combinación con el conjunto de restricciones (5) descrito más adelante, aseguran que no se pueda despachar ninguna cantidad de alúmina hacia las plantas de esmaltado, si la planta correspondiente no ha sido abierta.
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3) Por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado (Ton de alúmina/año): Planta D : Y BD
Y CD
Y DD
Y ED
4,000
Planta E : Y BE
Y CE
Y DE
Y EE
7,000
Estas restricciones expresan que todo el flujo anual de alúmina que llega a cada planta de esmaltado no puede exceder su capacidad anual de procesamiento de alúmina. 4) Por ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado aluminio terminado/año): Planta D : 0.4(Y BD
Y CD
Y DD
Y ED )
1,000
Planta E : 0.4(Y BE
Y CE
Y DE
Y EE )
1,200
(Ton de
Estas restricciones aseguran que la demanda anual proyectada en cada planta de esmaltado se va a satisfacer en forma total. Nótese que se aplica el factor de rendimiento de alúmina en aluminio terminado (0.4 toneladas de aluminio terminado por cada tonelada de alúmina). 5) Por balance de masa en cada una de las plantas de alúmina: Planta B : 0.060 X AB
0.080 X BB
0.062 X CB
Y BD
Y BE
Planta C : 0.060 X AC
0.080 X BC
0.062 X CC
Y CD
Y CE
Planta D : 0.060 X AD
0.080 X BD
0.062 X CD
Y DD
Y DE
Planta E : 0.060 X AE
0.080 X BE
0.062 X CE
Y ED
Y EE
Estas restricciones aseguran que la cantidad anual de bauxita que entra a cada planta de alúmina, afectada por su correspondiente rendimiento para producir alúmina, es igual a la cantidad anual de alúmina que sale de dicha planta hacia las plantas de esmaltado. 6) Por límites en los valores de cada una de las variables: X ij
0
Y jk
0 j , k
W j
0, 1
i , j
j
Estas restricciones, denominadas comúnmente obvias, simplemente expresan la naturaleza de las variables involucradas en el modelo. Las variables X ij y Y jk son variables continuas que pueden tomar cualquier valor real positivo o cero, mientras
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que las variables W j son variables enteras que sólo pueden tomar valor 0 o 1, denominadas variables binarias. El modelo matemático para resolver el problema planteado comprende entonces minimizar la función objetivo, sujeto a las restricciones anteriormente enunciadas. Al simplificar la función objetivo y las restricciones, se obtiene el modelo de programación lineal mixta mostrado en la página siguiente. Como puede observarse, este modelo contiene 24 variables de decisión, de las cuales 4 son binarias y el resto son continuas, y 15 restricciones (sin incluir las restricciones obvias). Los modelos matemáticos de cadenas de abastecimiento reales pueden contener decenas o cientos de miles de variables con decenas o cientos de miles de restricciones, llegando incluso a millones de ellas. La dificultad para su solución eficiente depende principalmente del número de variables enteras (binarias) involucradas en el modelo.
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Minimizar Costo Total Anual (CTA) 820 X AB
2430 X AC
930 X AD
2340 X AE
370 X BB
990 X BC
2170 X CB
550 X CC
1160 X CD
1480 X CE
9050Y BD
8880Y DD
7195Y DE
10205Y ED
5440Y EE
3,000,000W B
4,800,000W D
580 X BD
7040Y BE
9440Y CD
2,500,000W C
6,000,000W E
Sujeto a: X AB
X AC X AD
X AE
36 ,000
X BB
X BC X BD
X BE
52 ,000
X CB
X CC X CD
X CE
28 ,000
X AB
X BB
X CB
40,000W B
0
X AC X BC X CC
20,000W C
0
X AD
X CD
30,000W D
0
X AE X BE X CE
80,000W E
0
X BD
Y BD
Y CD
Y DD
Y ED
4,000
Y BE
Y CE
Y DE
Y EE
7,000
0.4(Y BD
Y CD
Y DD
Y ED )
1,000
0.4(Y BE
Y CE
Y DE
Y EE )
1,200
0.060 X AB
0.080 X BB
0.062 X CB
Y BD
Y BE
0
0.060 X AC
0.080 X BC
0.062 X CC
Y CD
Y CE
0
0.060 X AD
0.080 X BD
0.062 X CD
Y DD
Y DE
0
0.060 X AE
0.080 X BE
0.062 X CE
Y ED
Y EE
0
X ij
0
Y jk
0 j , k
W j
0, 1
1870 X BE
i , j
j
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6460Y CE
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# MODELO EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA DE LA BAUXITA # CONJUNTOS PRINCIPALES
set MINAS; # Conjunto de minas de bauxita indexado por i set PLALU; # Conjunto de plantas de alúmina indexado por j set PLESM; # Conjunto de plantas de esmaltado indexado por k # PARÁMETROS
param capal_es{k in PLESM} >= 0; # Capacidad de procesamiento de alúmina en la planta de esmaltado k # (Ton de alúmina/año) param capb_al{j in PLALU} >= 0; # Capacidad de procesamiento de bauxita en la planta de alúmina j # (Ton de bauxita/año) param capbaux{i in MINAS} >= 0; # Capacidad de explotación de bauxita de la mina i # (Ton de bauxita/año) param cexp{i in MINAS} >= 0; # Costo de explotación de la mina i # ($/Ton de bauxita) param cfijo{j in PLALU} >= 0; # Costo fijo de la planta de alúmina j # ($/año) param cpal{j in PLALU} >= 0; # Costo de producción de alúmina en la planta de alúmina j # ($/Ton de alúmina) param cpes{k in PLESM} >= 0; # Costo de procesamiento de la alúmina para producir aluminio # terminado en la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina) param ctran_al{j in PLALU, k in PLESM} >= 0; # Costo de transporte de alúmina desde la planta de alúmina j hacia # la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina) param ctran_b{i in MINAS, j in PLALU} >= 0; # Costo de transporte de bauxita desde la mina de bauxita i hacia # la planta de alúmina j # ($/Ton de bauxita) param demanda{k in PLESM} >= 0; # Demanda de aluminio terminado en la planta de esmaltado k # (Ton de aluminio terminado/año param rendal{i in MINAS} >= 0; # Rendimiento de alúmina de la bauxita extraída de la mina i # (Ton de alúmina/Ton de bauxita)
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param rendim >= 0; # Rendimiento de alúmina para producir aluminio terminado # (Ton de aluminio terminado/Ton de alúmina) # VARIABLES DE DECISIÓN
var x{i in MINAS, j in PLALU} >= 0; # Ton de bauxita/año a explotar en la mina i # y a transportar a la planta de alúmina j # (Ton de bauxita/año) var y{j in PLALU, k in PLESM} >= 0; # Ton de alúmina/año a producir en la planta de alúmina j # y a transportar a la planta de esmaltado k # (Ton de alúmina/año) var w{j in PLALU} binary; # Variable binaria igual a 1 si la planta de alúmina j se abre, # e igual a 0 de lo contrario # FUNCIÓN OBJETIVO
minimize costo_total:
# ($/año)
sum{i in MINAS, j in PLALU} (cexp[i]*x[i,j]) # Costo anual de explotación de bauxita + sum{j in PLALU, k in PLESM} (cpal[j]*y[j,k]) # Costo anual de producción de alúmina + sum{j in PLALU, k in PLESM} (cpes[k]*y[j,k]) # Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado + sum{i in MINAS, j in PLALU} (ctran_b[i,j]*x[i,j]) # Costo anual de transporte de bauxita desde las minas hacia # las plantas de alúmina + sum{j in PLALU, k in PLESM } (ctran_al[j,k]*y[j,k]) # Costo anual de transporte de alúmina desde las plantas de alúmina # hacia las plantas de esmaltado + sum{j in PLALU} (cfijo[j]*w[j]); # Costo anual fijo de las plantas de alúmina # RESTRICCIONES # Por capacidad anual de explotación de bauxita en cada mina # (Ton de bauxita/año):
subject to cap_exp{i in MINAS}: sum{j in PLALU} (x[i,j]) <= capbaux[i];
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# Por capacidad anual de procesamiento de bauxita # en cada planta de alúmina # (Ton de bauxita/año):
subject to cap_prodal{j in PLALU}: sum{i in MINAS} (x[i,j]) <= capb_al[j]*w[j]; # Por demanda (ventas) de aluminio terminado # en cada planta de esmaltado # (Ton de aluminio terminado/año):
subject to demand_es{k in PLESM}: sum{j in PLALU} (rendim*y[j,k]) = demanda[k]; # Por balance de masa en cada planta de alúmina
subject to balance{j in PLALU}: sum{i in MINAS} (rendal[i]*x[i,j]) = sum{k in PLESM} (y[j,k]); # Restricciones de configuración para análisis de sensibilidad:
# subject to pl_abierta_b: # w["B"] = 1; # subject to pl_abierta_c: # w["C"] = 1; # subject to pl_abierta_d: # w["D"] = 1; # subject to pl_abierta_e: # w["E"] = 1;
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# CONJUNTO DE DATOS EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA DE LA BAUXITA # CONJUNTOS PRINCIPALES
set MINAS:= A B C; set PLALU:= B C D E; set PLESM:= D E; # PARÁMETROS # Capacidad de procesamiento de alúmina en la planta de esmaltado k # (Ton de alúmina/año):
param capal_es:= D 4000 E 7000; # Capacidad de procesamiento de bauxita en la planta de alúmina j # (Ton de bauxita/año):
param capb_al:= B C D E
40000 20000 30000 80000;
# Capacidad de explotación de bauxita de la mina i # (Ton de bauxita/año):
param capbaux:= A 36000 B 52000 C 28000; # Costo de explotación de la mina i # ($/Ton de bauxita):
param cexp:= A 420 B 360 C 540; # Costo fijo de la planta de alúmina j # ($/año):
param cfijo:= B C D E
3000000 2500000 4800000 6000000;
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# Costo de producción de alúmina en la planta de alúmina j # ($/Ton de alúmina).
param cpal:= B C D E
330 320 380 240;
# Costo de procesamiento de la alúmina para producir aluminio # terminado en la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina):
param cpes:= D 8500 E 5200; # Costo de transporte de alúmina desde la planta de alúmina j hacia # la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina):
param ctran_al: B C D E
D 220 620 0 1465
E
:=
1510 940 1615 0;
# Costo de transporte de bauxita desde la mina de bauxita i hacia # la planta de alúmina j # ($/Ton de bauxita):
param ctran_b: A B C
B 400 10 1630
C 2010 630 10
D 510 220 620
E
:=
1920 1510 940;
# Demanda de aluminio terminado en la planta de esmaltado k # (Ton de aluminio terminado/año):
param demanda:= D 1000 E 1200; # Rendimiento de alúmina de la bauxita extraída de la mina i # (Ton de alúmina/Ton de bauxita):
param rendal:= A 0.060 B 0.080
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C 0.062; # Rendimiento de alúmina para producir aluminio terminado # (Ton de aluminio terminado/Ton de alúmina):
param rendim:= 0.4;
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# COMANDOS EN AMPL CORRESPONDIENTES AL PROBLEMA DE LA BAUXITA # COMANDOS DE INICIALIZACIÓN DE CONDICIONES:
option option option option option option option
show_stats 1; solution_precision 0; omit_zero_rows 1; omit_zero_cols 1; display_precision 6; display_round 1; display_width 50;
# COMANDO DE SOLUCIÓN:
solve; # COMANDOS DE IMPRESIÓN DE RESULTADOS:
printf "\n\n*************************************\n"; printf "RESULTADOS DEL PROBLEMA DE LA BAUXITA\n"; printf "*************************************\n\n"; printf "\nCOSTO TOTAL = \t%9.1f", costo_total; printf "\n\nCONFIGURACION DEL SISTEMA (PLANTAS DE ALÚMINA ABIERTAS) =\n\n"; display w; printf "\nFLUJO DE BAUXITA DESDE MINAS HACIA PLANTAS DE ALÚMINA =\n\n"; display x; printf "\nFLUJO DE ALÚMINA DESDE PLANTAS DE ALÚMINA HACIA PLANTAS DE ESMALTADO =\n\n"; display y;
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SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO DE BAUXITA
40000
A
B
1666.67
1760
C B
D
1000
E
1200
1240
12000
D C
1440
1060
20000
A l u m i n i o
T e r m i n a d o
E Minas de Bauxita
Plantas de Alúmina
Plantas de Esmaltado
SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA DADA POR QSB:
|----------------------- Solution Summary for Bauxita ------------------------| | 06-08-2001 08:36:58 Page: 1 of 1 | |-----------------------------------------------------------------------------| | | | Objective | | | Objective | | Variable | Solution |Coefficient | Variable | Solution |Coefficient | |------------+------------+------------+------------+------------+------------| | XAB | 0 | 820 | YBD | 1440 | 9050 | | XAC | 0 | 2430 | YBE | 1760 | 7040 | | XAD | 1666.667 | 930 | YCD | 0 | 9440 | | XAE | 0 | 2340 | YCE | 1240 | 6460 | | XBB | 40000 | 370 | YDD | 1060 | 8880 | | XBC | 0 | 990 | YDE | 0 | 7195 | | XBD | 12000 | 580 | YED | 0 | 10205 | | XBE | 0 | 1870 | YEE | 0 | 5440 | | XCB | 0 | 2170 | WB | 1 | 3000000 | | XCC | 20000 | 550 | WC | 1 | 2500000 | | XCD | 0 | 1160 | WD | 1 | 4800000 | | XCE | 0 | 1480 | WE | 0 | 6000000 | |-----------------------------------------------------------------------------| | Minimized OBJ = 87455600 Iteration = 3 Elapsed CPU seconds = .111328 | | Branch selection: Newest problem Integer tolerance = .01 Max. #node = 2 | |-----------------------------------------------------------------------------|
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SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA DADA POR AMPL/CPLEX:
OBJECTIVES: costo_total = 87,455,600 VARIABLES: w [*] := B 1 C 1 D 1 E 0 ; x A A A A B B B B C C C C ;
:= B C D E B C D E B C D E
0 0 1666.67 0 40000 0 12000 0 0 20000 0 0
y B B C C D D E E ;
:= D E D E D E D E
1440 1760 0 1240 1060 0 0 0
CONSTRAINTS (Dual Values): balance [*] := B 15330 C 15910 D 15500 E 16930 ; cap_exp [*] := A 0 B -660 C 0 ;
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cap_prodal [*] := B -196.4 C -436.42 D 0 E 0 ; demand_es [*] := D 60950 E 55925 ; ALGUNOS ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA : 1.
CAPACIDAD ANUAL DE LAS MINAS:
Mina A: Mina B: Mina C: 2.
CAPACIDAD ANUAL DE PROCESAMIENTO DE BAUXITA EN LAS PLANTAS DE ALÚMINA:
Planta Planta Planta Planta 3.
Sólo se utilizan 1,666.67 ton/año de las 36,000 ton/año disponibles. Se utiliza a la máxima capacidad de 52,000 ton/año. Sólo se utilizan 20,000 ton/año de las 28,000 ton/año disponibles.
B: C: D: E:
Se utiliza a la máxima capacidad de 40,000 ton de bauxita/año. Se utiliza a la máxima capacidad de 20,000 ton de bauxita/año. Sólo se utilizan 13,666.67 ton/año de las 30,000 disponibles. No se abre.
CAPACIDAD ANUAL DE PROCESAMIENTO DE ALÚMINA EN LAS PLANTAS DE ESMALTADO:
Planta D: Sólo se utilizan 2,500 ton/año de las 4,000 ton/año disponibles. Planta E: Sólo se utilizan 3,000 ton/año de las 7,000 ton/año disponibles. 4.
BALANCE DE MASA EN LAS PLANTAS DE ALÚMINA:
Verificar que éstas se cumplen exactamente. ALGUNOS ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD :
1.
Si se obliga a la planta de alúmina E a estar abierta: Se abren todas las plantas, pero no se produce nada en la planta de alúmina E. Simplemente se paga su costo fijo y el costo total anual asciende a 93,455,600 $/año.
2.
Si sólo se abren las plantas B y C, el problema no tiene ninguna solución factible .
3.
Si sólo se abren las plantas B, C y E, se obtiene una solución óptima con un costo mínimo de 103,457,000 $/año.
Se sugiere al lector realizar otros análisis de sensibilidad.
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