PROBLEMA N°02.- Los directivos de una empresa tienen 2 proyectos A y B para salir de la crisis por la que atraviesa su organización. Por estudios previos realizados, se sabe que la probabilidad que funcione B y no funcione A es de 0.20 y la probabilidad de que ninguno de ellos funcione es de 0.40. Calcular la probabilidad de que: a) El proyecto A funcione dado que B funciono. b) El proyecto A funcione dado que B no funciono. funciono. c) El proyecto proyecto B funcione funcione dado dado que A no funciono. RESOLUCIÓN. Definamos los eventos A : El proyecto A funcione B : El proyecto B funcione
Del problema tenemos c
P[ B A c
P[ A
] 0.20 P( B A)
B
c
b)
0.40 y
P[ A / B]
P[ A / B
c
P[ B]
0.40
P[ A B]
]
P[ B]
P[ A B P[ B
c
c
c
P[ B / A
]
P[ B A c
P[ A
]
] c
c)
0.20
] 0.40 P( A B) 0.60
Luego P[ A]
a)
]
]
0.20 0.40
0.20 0.60 0.20 0.60
0.5 50%
0.3 33.33%
0.3 33.33%
PROBLEMA N°06.- Un contratista hace las siguientes estimaciones para terminar una obra de la siguiente manera, en 10 días avanzara el 30%, en 15 días el 20% y el resto de la obra en 22 días. ¿En cuántos días se espera que concluya la obra? PROBLEMA N°10.- Tres personas A, B y C solicitan empleo a una empresa. Si el experimento consiste en ordenar las solicitudes de acuerdo a las habilidades de trabajo, construye: a) El espacio muestral. b) El evento B ocupa el primer lugar. c) El evento A y B ocupan ocupan los primeros lugares. RESOLUCIÓN. Haciendo el diagrama del árbol
Primer lugar
Segundo lugar
A
B
C
a) b) c)
Tercer lugar
B
C
C
B
A
C
C
A
A
B
B
A
{ ABC , ACB, BAC , BCA, CAB ,CBA}
E
{BAC , BCA}
F { ABC, BAC }
PROBLEMA N°14.- Consideramos una población en la que el 40% son universitarios (B), el 30% mujeres (A) y un 25% mujeres universitarias. Elegida una persona al azar, calcular: a) P[ A B]
b)
P[ A B]
RESOLUCIÓN. Observamos del ejercicio que P[ A]
30%
P[ B]
40%
P[ A B]
a)
25%
P[ A B ] P[ A] P[ B] P[ A B ] P[ A B ] 30% 40% 25% P[ A B ] 45% c
b) P[ A B] 1 P[( A B) ] P[ A B] 1 P[ A B] P[ A B] 100% 45%
P[ A B] 55%
PROBLEMA N°18.- En química clínica son particularmente interesantes los llamados coeficientes falso-positivo y falso-negativo de un test. Tales coeficientes son probabilidades condicionadas. El coeficiente falso-positivo es la probabilidad de que el contraste resulte positivo cuando de hecho el sujeto no padece la dolencia. El coeficiente falso-negativo se define de manera análoga. Es decir: a = coeficiente falso-positivo = P (el test da +=el sujeto es en realidad -), b = coeficiente falso-negativo = P (el test da -=el sujeto es en realidad +). Cada una de estas probabilidades es una probabilidad de error; por tanto, cabe esperar que los valores obtenidos en la práctica sean próximos a cero.
Los resultados siguientes se obtuvieron en un estudio diseñado con el fin de averiguar la capacidad de un cirujano patólogo para clasificar correctamente las biopsias quirúrgicas como malignas o benignas:
positivo ( M A L I G N O )
negativo ( B E N I G N O )
C I E RTO
M A L IG N O
79
19
C I E RTO
B E N IG N O
7
395
Determinar a y b a partir de estos datos. RESOLUCIÓN. Obsérvese que, de acuerdo con la tabla anterior, un diagnóstico positivo corresponde a una clasificación de la biopsia como maligna. Los datos de dicha tabla arrojan los siguientes resultados: Número de casos estudiados: 79+19+7+395 = 500. Número de casos malignos: 79+19 = 98. Número de casos benignos: 7+395 = 402. Número de casos con diagnóstico positivo: 79+7 = 86. Número de casos con diagnóstico negativo: 19+395 = 414. Estamos interesados en calcular los coeficientes falso-positivo a y f alsonegativo b para los casos estudiados. A tal fin, sean los sucesos: T = {el diagnóstico es positivo}; T = {el diagnóstico es negativo}: Al ser equiprobable cada caso estudiado, según los datos inferidos de la tabla encontramos que 86 414 y P (T ) P (T ) 500 500 Asimismo, sean: R = {la biopsia es en realidad maligna}; R = {la biopsia es en realidad benigna}: De modo similar se tiene que 98 402 P ( R ) y P( R ) 500 500 Por definición, P(T R ) a P(T / R ) P( R )
b P(T
/R )
P(T
R
P( R
)
) Ahora bien, el número de casos con biopsia benigna clasificados como positivos es de 7, por lo que 7 P(T R ) 500 De igual manera,
P(T
R
)
19
500 Consecuentemente, 7 a
500 402
7
0.017
402
500 19
b
500 98
19
0.194
98
500
Como conclusión podríamos decir que el cirujano patólogo detecta la enfermedad en pacientes que no la tienen en un 1:7%, mientras que no detecta la enfermedad en pacientes que la tienen en un 19:4% de los casos. OBSERVACIÓN. Para la determinación del coeficiente falso-positivo a podemos razonar también del siguiente modo. De las 402 biopsias benignas, 7 han sido falsamente clasificadas como malignas; por tanto, a =7/402 = 0:017. Similarmente b = 19 /98 = 0:194, ya que hay 98 biopsias malignas de las cuales 19 han sido clasificadas erróneamente como benignas. PROBLEMA N°22.-
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? RESOLUCIÓN.
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(M) = P(F 1 ) · P(M/F 1 ) + P(F 2 ) · P(M/F 2 ) + P(F 3 ) · P(M/F 3 ) + P(F 4 ) · P(M/F 4 ) = = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028