742
Capítulo 26
EJEMPLO 26.7
Capacitancia y materiales dieléctricos
Efecto de una lámina metálica
Un capacitor de placas paralelas tiene una separación de placas d y y área de placa A . Una lámina metálica sin carga, de grosor a , se inserta a medio camino entre las placas.
+
+
+
+
+
s
(d – – a )/2 )/2
A) Encuentre la capacitancia del dispositivo. d a
SOLUCIÓN
(d – – a )/2 )/2
–
–
–
–
– –s
+
+
+
+
+
s
(d – – a )/2 )/2
(d – – a )/2 )/2
Conceptualizar La figura 26.24a muestra la lámina metálica entre las placas del capacitor. Cualquier carga que aparezca en una placa del capacitor debe inducir una carga de igual magnitud y signo opuesto sobre el lado cercano de la lámina, como se muestra en la figura 26.24a. En consecuencia, la carga neta sobre la lámina sigue siendo cero y el campo eléctrico dentro de la lámina es cero.
–
–
–
–
– –s
a)
b)
Figura 26.24 (Ejemplo 26.7) a) Un capacitor de placas paralelas, con separación de placa d , parcialmente lleno con una losa metálica de grosor a . b) El circuito equivalente del dispositivo en a) consiste en dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d – – a )/2. )/2.
Categorizar Los planos de carga en los extremos superior e inferior de la lámina metálica son idénticos a la distribución de cargas sobre las placas de un capacitor. El metal entre los bordes de la lámina sirve sólo para hacer una conexión eléctrica entre los bordes. Por lo tanto, los bordes de la lámina se pueden modelar como planos conductores y el volumen de la lámina como un alambre. Como resultado, el capacitor de la figura 26.24a es equivalente a dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d – – a )/2, )/2, como se muestra en la figura 26.24b. Analizar Use la ecuación 26.3 y la regla para sumar dos capacitores en serie (ecuación 26.10) para encontrar la capacitancia equivalente en la figura 26.24b:
1
1
1
C
C 1
C 2
1
c1
1
2 >2 d c 1
P0A
d
a
2> d
P0A
d
a 2
P0A
C
d
a
B) Demuestre que la capacitancia del capacitor original no es afectada por la inserción de la lámina metálica, si la lámina
es infinitesimalmente delgada.
SOLUCIÓN lím
C
En el resultado para el inciso A), sea a → 0:
a
S
0
a
P0A
d
a
b
P0A
d
Finalizar El resultado del inciso B) es la capacitancia original antes de insertar la losa, lo que significa que se puede insertar una hoja metálica infinitesimalmente delgada entre las placas de un capacitor sin afectar la capacitancia. Este hecho se usa en el siguiente ejemplo. ¿Qué pasaría si? ¿Y si la lámina metálica del inciso A) no está a la mitad entre las placas? ¿Cómo afectaría esto la capaci-
tancia?
Respuesta Imagine mover la lámina de la figura 26.24a hacia arriba, de modo que la distancia entre el borde superior de la lámina y la placa superior es b . Por lo tanto la distancia entre el borde inferior de la lámina y la placa inferior es d – – b – – a . Como en el inciso A), encuentre la capacitancia total de la combinación en serie: 1
1
1
1
C
C 1
C 2
P0A b
b P0A
d
b a P0A
>
d
>1
P0A
a P0A
1 d
S
b C
2
a
P0A
d
a
que es el mismo resultado que se encontró en el inciso A). La capacitancia es independiente del valor de b , así que no importa dónde se ubique la lámina. En la figura 26.24b, cuando la estructura central se sube o se baja, la reducción en separación de placa de un capacitor se compensa con el aumento en la separación de placa del otro.
Sección 26.7
EJEMPLO 26.8
Descripción atómica de los materiales dieléctricos
743
Capacitor parcialmente lleno
Un capacitor de placas paralelas, con una separación de placa d , tiene una capacitancia C 0 en ausencia de un dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando entre las placas se inserta una lámina de material dieléctrico con constante dieléctrica k y grosor fd (figura 26.25a), donde f es una fracción entre 0 y 1?
fd
fd
C 1
k
k
SOLUCIÓN Conceptualizar En explicaciones anteriores de dieléctricos entre las placas de un capacitor, el dieléctrico llenaba el volumen entre las placas. En este ejemplo, sólo parte del volumen entre las placas contiene el material dieléctrico.
(1
d
f )d
(1
C 2
f )d
a) b) Categorizar En el ejemplo 26.7 encontró que una hoja metálica infinitesimalmente delgada, insertada entre las placas Figura 26.25 (Ejemplo 26.8) a) Capacitor de placas paralelas, con de un capacitor, no afecta la capacitancia. Imagine deslizar separación de placas d , parcialmente lleno con un dieléctrico con una lámina metálica infinitesimalmente delgada a lo largo de grosor fd . b) El circuito equivalente del capacitor consiste en dos la cara inferior del dieléctrico, como se muestra en la figura capacitores conectados en serie. 26.25a. Este sistema se puede modelar como una combinación en serie de dos capacitores, como se muestra en la figura 26.25b. Un capacitor tiene una separación de placa fd y se llena con un dieléctrico; el otro tiene una separación de placa (1 f )d y tiene aire entre sus placas.
Analizar Evalúe las dos capacitancias en la figura 26.25b a partir de la ecuación 26.15: Encuentre la capacitancia equivalente C de la ecuación 26.10 para dos capacitores combinados en serie:
Invierta y sustituya para la capacitancia sin el dieléctrico, P0 A /d : C 0
kP0A
C1
fd
P0A
C2
1
1
fd
C
C1
C2
kP0A
fd
C
kP0A
k
11 2
f d
f
k
f d
f
kP0A
k
11 2 f
11 2 11 2
f d
1
1
C
y
P0A
k
11 2 f
k
P0A
d
k
f
k
d P0A
11 2 f
C0
Finalizar Pruebe este resultado para algunos límites conocidos. Si f → 0, el dieléctrico debe desaparecer. En este límite, C → C 0, lo que es consistente con un capacitor con aire entre las placas. Si f → 1, el dieléctrico llena el volumen entre las placas. En este límite, C → k C0 , lo que es consistente con la ecuación 26.14.
744
Capítulo 26
Capacitancia y materiales dieléctricos
Resumen DEFINICIONES Un capacitor consiste en dos conductores que portan cargas de igual magnitud y signo opuesto. La capacitancia C de cualquier capacitor es la relación de la carga Q sobre cualquier conductor, a la diferencia de potencial V entre ellos: C
Q
(26.1)
¢ V
La capacitancia sólo depende de la geométria de los conductores y no de una fuente externa de carga o diferencia de potencial. La unidad del SI para capacitancia es coulomb por cada volt, o farad (F): 1 F = 1 C/V.
→
El momento de dipolo eléctrico p, de un dipolo eléctrico tiene una magnitud 2aq
p
(26.16)
donde 2a es la distancia entre las cargas q y –q . La dirección del vector momento de dipolo eléctrico es desde la carga negativa hacia la carga positiva.
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS Si dos o más capacitores se conectan en paralelo, la diferencia de potencial es la misma a través de todos los capacitores. La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo de capacitores es C eq
C 1
C 2
C 3
p
(26.8)
Si dos o más capacitores se conectan en serie, la carga es la misma en todos los capacitores, y la capacitancia equivalente de la combinación en serie se conoce por 1
1
1
1
C eq
C 1
C 2
C 3
p
(26.10)
En un capacitor se almacena energía porque el proceso de carga es equivalente a la transferencia de cargas de un conductor con un potencial eléctrico más bajo, a otro conductor con un potencial más alto. La energía almacenada en un capacitor con carga Q es U
Q 2
2C
1 2
1 2 Q ¢ V
1 2 2 C ¢ V
(26.11)
Estas dos ecuaciones le permiten simplificar muchos circuitos eléctricos al sustituir múltiples capacitores con una sola capacitancia equivalente.
Cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor, la capacitancia aumenta por un factor adimensional k , llamado constante dieléctrica: C
k C 0
(26.14)
El momento de torsión que actúa sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme es S
S
T
S
p
S
E
(26.18)
La energía potencial del sistema de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es S
donde C 0 es la capacitancia en ausencia del dieléctrico.
U
S
S
p E
(26.20)
Preguntas O indica pregunta complementaria. 1. O ¿Cierto o falso? a) A partir de la definición de capacitancia, C = Q /V , se sigue que un capacitor sin carga tiene una capaci-
tancia cero. b) Como describe la definición de capacitancia, la diferencia de potencial a través de un capacitor sin carga es cero. 2. Si dispone de tres capacitores diferentes C 1, C 2 y C 3, ¿cuántas combinaciones diferentes de capacitancia se pueden hacer? 3. O ¿Por qué factor se multiplica la capacitancia de una esfera metálica si su volumen se triplica? a) 9, b) 3, c) 3 2/3, d) 31/3, e) 1, f) 31/3, g) 3 2/3, h) 13 .
4. O Un capacitor con capacitancia muy grande está en serie
con otro capacitor con capacitancia muy pequeña. ¿Cuál es la capacitancia equivalente de la combinación? a) ligeramente 3 mayor que la capacitancia del capacitor grande, b) ligeramente menor que la capacitancia del capacitor grande, c) ligeramente mayor que la capacitancia del capacitor pequeño, d) ligeramente menor que la capacitancia del capacitor pequeño. 5. O i) Clasifique los siguientes seis capacitores en orden de mayor a menor capacitancia, y note cualquier caso de igualdad. a) un capacitor de 20 m F con una diferencia de potencial
