Sección 26.4
733
Energía almacenada en un capacitor con carga
Ed . Además, su capacitancia es C e 0A/d po eléctrico mediante la corresponden correspondencia cia V (ecuación 26.3). Si sustituye estas expresiones en la ecuación 26.11, obtiene
U
1 2 1 Ad 2 E E
1 P0A 2 2 E d E 2
d
1 2 P0
2
(26.12)
En vista de que el volumen ocupado por el campo eléctrico es Ad , la energía por cada uni- dad de volumen u E U/Ad, conocida como densidad de energía, es u E
1 2 2 P0 E
(26.13)
Aunque la ecuación 26.13 26.13 fue deducida para un capacitor de placas placas paralelas, esta expresión es válida de manera general, independientemente de la fuente del campo eléctrico. Es decir, la densidad de energía en cualquier campo eléctrico en un punto dado es pro porcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico. Pregunta rápida 26.4 Considere tres capacitores y una batería. ¿En cuál de las siguientes combinaciones de tres capacitores se almacenará la máxima energía posible cuando la combinación esté conectada conect ada a la batería? a) En serie, b) en paralelo, paral elo, o c) no hay diferencia, porque ambas combinaciones almacenarán la misma cantidad de energía.
EJEMPLO 26.4
Densidad de energía en un campo eléctrico
PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 26.4
No se trata de un nuevo tipo de energía La energía conocida en la ecuación 26.13 no es un nuevo tipo de energía. La ecuación describe la familiar energía potencial eléctrica asociada con un sistema de cargas fuente separadas. La ecuación 26.13 proporciona una nueva interpretación , o una nueva forma de modelar la la energía. Además la ecuación describe correctamente la energía asociada con cualquier campo campo eléctrico, sin importar la fuente.
Rehacer el circuito de dos capacitores con carga
Dos capacitores, C 1 y C 2, donde C 1 > C 2, están cargados con la misma diferencia de potencial inicial V i . Los capacitores con carga se retiran de la batería y sus placas se conectan con polaridad opuesta, como en la figura 26.12a. Después los interruptores S1 y S2 se cierran como en la figura 26.12b. A) Hallar la diferencia de potencial final después de cerrar los interruptores. i nterruptores.
V f entre
Q 1i C 1 + –
Q 1 f C 1 + –
a
b S1
S2 – Q 2i
a yy b a
a
b S1
+ C 2
S2 + Q 2 f
a)
– C 2
b)
SOLUCIÓN
Figura 26.12 (Ejemplo 26.4) a) Dos capacitores se cargan con la
Conceptualizar La figura 26.12 ayuda a entender entender las concon-
misma diferencia de potencial inicial y se conectan uno con otro con las placas de signo opuesto en contacto cuando los interruptores se cierran. b) Cuando los interruptores se cierran, las cargas se redistribuyen.
figuraciones inicial y final del sistema.
Categorizar En la figura 26.12b, 26.12b, puede parecer parecer como si los capacitores capacitores se conectaran conectaran en paralelo, paralelo, pero no hay hay batería en este circuito para aplicar un voltaje a través de la combinación. Debido a eso, este problema no se puede clasificar clasificar como uno en el que los capacitores estén conectados en paralelo. Se le puede clasificar clasificar como un problema que involucra un sistema aislado para carga eléctrica. Las placas izquierdas de los capacitores forman un sistema aislado porque no se conectan a las placas derechas mediante conductores.
Analizar Escriba una una expresión expresión para para la carga total en las
1)
Q i
Q 1i
Q 2i
C 1 ¢ V i
C 2 ¢ V i
1C
C 2
2 V
2)
Q f f
Q 1 f
Q 2 f
C 1
¢ V f
C 2 ¢ V f
1C
C 2
2 V
placas izquierdas del sistema antes de que los interruptores se cierren, y observe que es necesario un signo negativo para Q 2i porque la carga en la placa izquierda del capacitor C 2 es negativa: Después de que los interruptores se cierran, las cargas en los capacitores individuales cambian a nuevos valores Q 1 f y Q 2 f tal que la diferencia de potencial de nuevo es la misma a través de ambos capacitores, V f . Escriba una expresión para la carga total en las placas izquierdas del sistema después de que los interruptores se cierran:
1
1
¢ i
¢ f
734
Capítulo 26
Capacitancia y materiales dieléctricos
Ya que el sistema está aislado, las cargas inicial y final del sistema deben ser las mismas. Use esta condición y las ecuaciones 1) y 2) resolver para V f :
Q f
1C
S
Qi
2 V 1C C 2 V a CC CC b V
¢ V f
3)
¢ f
C2
1
2 ¢
1
1
2
1
2
i
¢ i
B) Encuentre la energía total almacenada en los capacitores antes y después de que los interruptores se cierran y determine la relación de la energía final a la energía inicial.
SOLUCIÓN 4)
Use la ecuación 26.11 para encontrar una expresión para la energía total almacenada en los capacitores antes de que los interruptores se cierren:
Use los resultados del inciso A) para rescribir esta expresión en términos de V i : Divida la ecuación 5) entre la ecuación 4) para obtener la relación de las energías almacenadas en el sistema:
1 2
5)
U f
1 2
1 2
1C
1
U f Ui
C2 1 2
1 2 2 C 2 ¢ Vi
1 2
1 2 1C
1 2 2 C 1 ¢ V f
U f
Escriba una expresión para la energía total almacenada en los capacitores después de cerrar los interruptores:
1 2
1 2 2 C 1 ¢ Vi
Ui
1 2 2 C 2 ¢ V f
1 2
C2
1
C2
1
1C
1C
2 1 V 2 > 1C C 2 1C C 2 1 V 2 U C C a b U C C
6)
1
C2
1 2
2
1 2
¢ i
¢ i
1
2
1
¢ i
f
1
2
i
1
2
2
2
2 1 V 2 1C C 2 C2
1
2
1
¢ i
¢ f
2ca
2
2 1 V 2
2 1 V 2
C1 C1
C2 C2
b Vd
1C
2
¢ i
2
2
2
2
2
Finalizar La relación de energías es menor que la unidad, lo que indica que la energía final es menor que la energía inicial. Al principio, puede pensar que se violó la ley de conservación de la energía, pero este no es el caso. La energía “perdida” se transfiere afuera del sistema mediante el mecanismo de ondas electromagnéticas (T RE en la ecuación 8.2), como se verá en el capítulo 34. ¿Qué pasaría si...?
¿Y si los dos capacitores tienen la misma capacitancia? ¿Qué ocurrirá cuando se cierren los interruptores?
Respuesta Ya que ambos capacitores tienen la misma diferencia de potencial inicial aplicada a ellos, las cargas en los capacitores tienen la misma magnitud. Cuando los capacitores con polaridades opuestas se conectan uno con otro, las cargas de igual magnitud se deben cancelar mutuamente, lo que deja los capacitores sin carga. Pruebe los resultados para ver si este es el caso matemáticamente. En la ecuación 1), dado que las capacitancias son iguales, la carga inicial Q i en el sistema de las placas izquierdas es cero. La ecuación 3) muestra que V f = 0, que es consistente con capacitores sin carga. Por último, la ecuación 5) muestra que U f = 0, lo que también es consistente con capacitores sin carga.
Figura 26.13 En el lugar de un accidente o en un hospital es posible ver cómo se revive a un paciente utilizando un desfibrilador. Las paletas del desfibrilador se aplican sobre el pecho del paciente y se hace pasar una descarga eléctrica a través de la cavidad torácica. El objetivo de esta maniobra es restaurar el patrón rítmico normal del corazón.
k c o t S l a c i d e M m o t s u C / L P S / s i v a D t r a H m a d A
Un dispositivo en el cual los capacitores desempeñan un papel importante es el desfi- brilador portátil (figura 26.13). Cuando la fibrilación cardiaca (contracciones aleatorias) se presenta, el corazón produce un patrón rápido e irregular de contracciones. Una rápida descarga de energía a través del corazón puede devolverle a éste su patrón normal de contracciones. Los equipos médicos de emergencia utilizan desfibriladores portátiles con baterías capaces de cargar un capacitor a un voltaje elevado. (El circuito eléctrico está organizado para que el capacitor se cargue a un voltaje mucho más elevado que el de la batería). En un desfibrilador totalmente cargado es posible almacenar hasta 360 J en el campo eléctrico de su enorme capacitor. La energía almacenada se libera a través del corazón mediante electrodos conductores, conocidos como paletas, que se colocan en los costados del tórax de la víctima. El desfibrilador puede suministrar toda esta energía a un paciente en aproximadamente 2 ms (¡esto es más o menos equivalente a 3000 veces la energía suministrada a un foco de 60 W!). Los paramédicos deben esperar entre cada aplicación de la energía, debido al tiempo que se necesita para que los capacitores se carguen por completo. En estas aplicaciones y otras (las unidades de destello de las cámaras, así como los láser para experimentos de fusión), los capacitores sirven como depósitos de energía
