Probabilités et Statistiques

Cours de Probabilités et Statistiques Tome 1

Mathieu Gentes

Année / / IUT d’Orsay - Département Mesures Physiques

Table des matières I

Calcul des probabilités

1

2

3

4

5

5

Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Permutations sans répétition . 1.1.2 Permutations avec répét pétitions . 1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Arrangements sans rép étition . 1.2.2 Arrangements avec répét pétitions . 1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . Espace fondamental et événements . . . . . . . 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Opérations sur les événements . . . . . . Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . 3.2 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . Probabilités conditionnelles - Indépen pendance . . . 4.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . 4.2 Partitions - Probabilités totales . . . . . 4.3 Indép endance . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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I I Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles

1

2

Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variables aléatoires indépen pendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Esp érance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Opér pérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Appro proximati ation d’une loi binom nomiale . . . . . . . . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4.22 Appr Approoxima ximati tion on d’un d’unee loi loi bino binomi mial alee par par une une loi loi de Poiss oisson on 3

5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 8 8 9 9 9 10 10 11 13

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 15 16 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18 19

4

TABLE DES MATIÈRES

3

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles

1

2

3 4

5

Variables aléatoires continues . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Paramètres d’une variable aléatoire . . 1.3 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . 2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite Le théorème central limite . . . . . . . . . . . Lois continues dérivant de la loi normale . . . 4.1 La loi du Chi-deux . . . . . . . . . . . 4.2 La loi de Fisher-Snédécor . . . . . . . . 4.3 La loi de Student . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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20 22

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22 22 22 23 23 23 24 25 25 26 26 27 27 27 28 29

Chapitre I Calcul des probabilités 1

Dénombrement

1.1

Permutations

1.1.1

Permutations sans répétition

Définition 1.1. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est une bijection

de E sur lui-même. Le nombre de permutations de E est : P n = n(n

− 1)(n − 2) . . . 2 × 1 = n!

Remarque. Par convention, on pose 0! = 1. 1.1.2

Permutations avec répétitions

Définition 1.2. Soit E un ensemble à n éléments comportant :

n1 éléments d’un premier type, indiscernables entre eux, n2 éléments d’un second type, indiscernables entre eux,

···

nk élément d’un k-ième type, indiscernables entre eux. Une permutation avec répétitions de ces n éléments est une disposition ordonnée de ces éléments. Le nombre de permutations avec répétitions de E est : P n,n

1 ,...,nk

=

n! . n1 ! n2 ! . . . nk !

{

}

Exemple. Combien de mots différents peut-on former à partir des lettres A,B,B,C,A,D,B ?

Il y a

7! = 420 mots possibles. 2! 3!

1.2

Arrangements

1.2.1

Arrangements sans répétition

Définition 1.3. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p

≤ n, un arrangement de p éléments

choisis parmi n est un sous-ensemble ordonné de E ayant p éléments. 5

6

CHAPITRE I. CALCUL DES PROBABILITÉS

Exemple. On tire p boules numérotées prises parmi n, sans remise.

Le nombre d’arrangements de p objets pris parmi n est : A pn = n(n

− 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) = (n −n! p)! .

Remarque. Pour p = n, on retrouve le cas de la permutation sans répétition :

Ann = n!. Exemple. Dans une course opposant 8 athlètes, le nombre de podiums possibles est :

A38 = 8 1.2.2

× 7 × 6 = 336.

Arrangements avec répétitions

Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est n p (tirages avec remise). Exemple. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites différentes de pile

ou face? Il y en a : 2

1.3

× 2 × 2 = 8.

Combinaisons

Définition 1.4. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p

≤ n, une combinaison de p éléments

choisis parmi n est un sous-ensemble de E ayant p éléments. Exemple. Tirage simultané de p boules parmi n.

Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est : C pn =

n! . p!(n p)!

−

Exemple. Le nombre de délégations différentes de 3 personnes prises dans un groupe de 10

est : 3 C 10 =

10! 10 9 8 = = 120. 3!7! 3 2

× × ×

Propriétés. On a les valeurs particulières suivantes :

(i) C n0 = C nn = 1, pour tout entier n. (ii) C n1 = C nn = n, pour n 1.

≥

2

Espace fondamental et événements

2.1

Définitions

On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Exemple. Un lancer de dé est une expérience aléatoire.

On appelle événement élémentaire ou encore issue le résultat d’une expérience aléatoire.

7


Exemple. “J’obtiens un 6” est un événement élémentaire.

On appelle événement un ensemble d’événements élémentaires. Il est possible qu’un événement ne soit constitué que par un seul événement élémentaire. Exemple. “J’obtiens un nombre pair” est un événement.

On appelle espace fondamental ou univers , noté Ω, l’ensemble de tous les événements élémentaires possibles.

{

}

Exemple. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Chaque événement peut ainsi être vu comme un sous-ensemble de Ω qu’on nommera avec une lettre majuscule A , B , . . . Ω est l’événement certain et l’événement vide sera noté ∅. Exemple. L’événement “j’obtiens un 6” s’écrit aussi A =

{

}

nombre pair” B = 2, 4, 6 .

2.2

{6}, l’événement “j’obtiens un

Opérations sur les événements

Le calcul des probabilités nécessite de combiner les événements. On dispose de plusieurs opérations : le complémentaire de l’événement A, noté A, la réunion de deux événements A et B, notée A B, l’intersection de deux événements A et B, notée A B.

• • •

∪

∩

Remarques.

1. On peut généraliser réaliser les notions de réunion et d’intersection à n événements A1 , . . . , An .

∩ B = ∅, les événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints . 3. On note A\B = A ∩ B. Exemple. Dans le cas du lancer de dé, considérant les événements A = {6} et B = {2, 4, 6} 2. Si A

on a :

{

} }

A = 1, 2, 3, 4, 5 , A B = 2, 4, 6 , A B= 6 .

∪ ∩

{ {}

Les événements A et B sont incompatibles. Définition 2.1. Soit E un ensemble fini, on appelle cardinal de E , noté Card(E ), le nombre

d’éléments de E . Propriété. Pour deux ensembles finis E et F , on a la formule :

∪

Card(E F ) = Card(E ) + Card(F )

− Card(E ∩ F ).

8


3

Calcul des probabilités

3.1

Définition et propriétés

Le passage d’une description sur des ensembles à une quantification des phénomènes aléatoires se fait grâce à une mesure de probabilité , notée P. Définition 3.1. On appelle probabilité sur l’espace fondamental Ω une application à valeurs

positives vérifiant les deux propriétés : (i) Ω a la probabilité maximale de réalisation : P(Ω)

= 1,

∪

(ii) Pour deux événements disjoints A et B, la probabilité de réalisation de A B est la somme de la probabilité de réalisation de A et de la probabilité de réalisation de B : P(A

∪ B) = P(A) + P(B).

Alors, on a les propriétés suivantes : Propriétés. Pour tous les événements A et B,

− P(A),

(i)

P(A)

=1

(ii)

P(∅)

= 0,

⊂ B, alors P(A) ≤ P(B), (iv) 0 ≤ P(A) ≤ 1, (v) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(iii) si A

Démonstration. (i) On sait que Ω = A d’une probabilité :

∪ A, où les événements A et A sont incompatibles. Par définition

P(Ω)

= P(A) + P(A) = 1, soit P(A) = 1

− P(A).

(ii) On utilise la propriété (i) avec A = Ω. (iii) Etant donné que B = A

car

P

est positive.

(iv) On a clairement (v) On a

∪ (B\A), où les événements A et B\A sont disjoints : P(B) = P(A) + P(B \A) ≥ P(A),

∅

⊂ A ⊂ Ω, d’où le réslutat en utilisant (iii). ∩ ∩

\ \

= P(A B) + P(A B), P(A) = P(A B) + P(B A), P(A B) = P(A B) + P(B A) + P(A P(A)

∪

\

\

∩ B),

car les événements considérés sont deux à deux incompatibles. La combinaison de ces trois équations donne le résultat recherché.

9


3.2

Probabilité sur un ensemble fini

{

}

On suppose que Ω est l’ensemble fini ω1 , . . . , ωn . On peut construire une probabilité P en se donnant des nombres pi = P(ωi ) tels que n

pour i = 1, . . . , n pi

≥0



pi = 1.

et

i=1

Cas particulier : lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on

dit qu’il y a équiprobabilité . Cette probabilité vaut alors 1/n et dans ce cas la probabilité d’un événement A contenant k événements élémentaires vaut k/n. Plus généralement, on écrit : P(A)

=

card(A) , card(Ω)

où card(A) désigne le nombre d’éléments de A. On retrouve alors la définition d’une probabilité comme étant le quotient : P(A)

=

nombre de cas favorables . nombre de cas possibles

Exemple. Dans l’exemple du lancer de dé, on a

{

}

ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

et p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6,

soit : P(A)

4 4.1

=

1 6

et

P(B)

=

3 1 = . 6 2

Probabilités conditionnelles - Indépendance Probabilités conditionnelles

Définition 4.1. Soit P une probabilité définie sur un espace fondamental Ω et B un événement tel que P(B) > 0. Pour un événement quelconque A, on appelle probabilité conditionnelle

de A sachant que B est réalisé, le nombre P(A

∩ B) . |B) = P(AP(B) |

Il est courant de connaître directement P(A B), ce qui permet de calculer la probabilité conjointe par la formule des probabilités composées : P(A

∩ B) = P(B) × P(A|B).

Exemple. Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de A sachant B vaut : P(A

∩ B) = P(A) = 1/6 = 2 = 1 . |B) = P(AP(B) 1/2 6 3 P(B)

En effet, il s’agit bien de la probabilité d’obtenir un 6 sachant qu’on a un nombre pair.

10


Propriété (Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0, alors P(A

× P(A) . |B) = P(B|A) P(B) |

|

Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P(A B) et P(B A). Démonstration. Le résultat s’obtient en combinant les deux formules des probabilités composées : P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A).

∩

4.2

| ×

| ×

Partitions - Probabilités totales

Définition 4.2. Les événements B1 , . . . , Bn forment une partition de Ω signifie qu’ils sont

deux à deux incompatibles et que leur réunion est Ω. Propriété (Formule des probabilités totales). Si les événements B1, . . . , Bn forment une par-

tition de Ω, alors pour tout événement A : P(A)

=

n

n





P(A

i=1

Démonstration. Les événements A réunion est A, d’où le résultat.

4.3

∩B)= i

i=1

∩ B ,...,A ∩ B 1

P(A

n

|B ) × P(B ). i

i

sont deux à deux incompatibles et leur

Indépendance

Définition 4.3. Deux éléments A et B sont dit indépendants pour une probabilité P si P(A

∩ B) = P(A) × P(B).

Remarque. Il ne faut pas confondre événements indépendants et incompatibles. Dans le

cas d’événements indépendants, la réalisation de l’un des événements n’empêche pas celle du second. Exemple. On lance deux dés simultanément. On note A, B et C les événements suivants :

“j’obtiens 1 avec le premier dé”, “ j’obtiens 4 avec le second dé” et “j’obtiens 3 avec le premier dé”. Les événements A et B sont indépendants alors que les événements A et C sont incompatibles. Propriétés. Si A et B sont indépendants pour P, alors :

|A) = P(B) si P(A) = 0, P(A|B) = P(A) si P(B)  = 0, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B). P(B


5

11

Exercices

Dénombrement Exercice 1. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.

1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ? 2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ? 3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ? Exercice 2. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combien de

possibilités peut-on dénombrer ? Exercice 3. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes se pré-

sentent. 1. Combien de recrutements distincts sont possibles ? 2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements distincts sont possibles ? Exercice 4. Une entreprise fabrique 4 types de pièces numérotées. On dispose d’un stock de :

– 8 pièces de type A, – 7 pièces de type B, – 6 pièces de type C, – 5 pièces de type D. De combien de manières distinctes peut-on constituer : 1. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A ? 2. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A et au moins une pièce B ?

Calcul des probabilités Exercice 5. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque repas. La

probabilité que l’un d’eux soit un yaourt est 0, 4, une orange 0, 8. La probabilité que les deux desserts soient un yaourt et une orange est 0, 3. Calculer la probabilité que l’on propose : 1. un yaourt et pas d’orange ? 2. une orange et pas de yaourt ? 3. ni yaourt, ni orange ? Exercice 6. Que vaut P(A

1. incompatibles, 2. indépendants.

∩ B), lorsque A et B sont :

Exercice 7. On jette deux dés. Soit A l’événement “la somme des chiffres indiqués est impaire”

et soit B l’événement “l’un des dés indique le chiffre 1”. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Exercice 8. Dans un élevage de bovins, trois bêtes A, B, C doivent vêler au cours d’une

semaine donnée. On admet que la probabilité pour que le vêlage de chacune de ces bêtes ait lieu un certains jour, est le même quel que soit le jour de cette semaine, et qu’il y a indépendance entre les vêlages des trois bêtes.

12


1. Quelle est la probabilité pour que les trois vêlages aient lieu le même jour de la semaine ? 2. Quelle est la probabilité pour que deux, et deux seulement, des vêlages aient lieu le même jour ? 3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un vêlage le dimanche ?

{

}

Exercice 9. On considère un espace fondamental Ω = a,b,c,d . On définit les événements

{ }

E = a, d ,

{

F = a,b,c

}

{ }

et G = b, d .

Peut-on trouver une (ou plusieurs) mesure(s) de probabilité sur Ω vérifiant l’une des trois séries de conditions : 1.

P(E )

= 0, 5

P(F )

= 0, 9

P(G)

= 0, 4 ?

2.

P(E )

= 0, 6

P(F )

= 0, 8

P(G)

= 0, 7 ?

3.

P(E )

= P(F ) = P(G) ?

Déterminer le cas échéant ces mesures de probabilité. Exercice 10. Trois personnes vont au cinéma. Il passe trois films différents. Chaque personne

choisit son film au hasard et indépendamment des autres. Quelle est la probabilité que les trois personnes aient vu les trois films différents ?

Probabilités conditionnelles Exercice 11. On considère une population composée de 48% d’hommes et de 52% de femmes.

La probabilité qu’un homme soit daltonien est 0, 05, la probabilité qu’une femme soit daltonienne est 0, 0025. Quelle proportion de la population est-elle daltonienne ? Exercice 12. Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et une machine B

en fabrique 60%. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A est de 3% et par B de 2%. On choisit une pièce au hasard. 1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. 2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par A. Exercice 13. Un serveur de banque de données a calculé qu’un individu se trompe 1 fois sur

20 en saisissant son code de carte bancaire. Sachant que la machine accepte trois essais de code, quelle est la probabilité de bloquer sa carte bancaire ? Exercice 14. On estime qu’une personne a 6 chances sur 10 d’être atteinte d’un certaine

maladie. On effectue deux tests de dépistage. Le premier test est positif à 70% sur les malades et à 20% sur les individus sains. Le second test est positif à 90% sur les malades et 30% sur les individus sains. On suppose que les deux tests sont indépendants. Quelle est la probabilité que le second test soit positif si le premier l’a été ?

Chapitre II Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 1

Variables aléatoires discrètes

1.1

Définitions

Définition 1.1. Soit Ω un espace fondamental et P une probabilité sur Ω. On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans une partie de finie ou dénombrable de R :

X : Ω ω

−→ R −→ X (ω)

X (Ω) fini ou dénombrable.

avec

Exemple. Si Ω est l’ensemble des élèves d’une classe, on peut à chaque élève ω associer le

nombre X (ω) de ses frères et soeurs. X est alors une fonction à valeur dans un ensemble fini (finitude imposée par la nature) : c’est une variable aléatoire discrète.

{

}

Définition 1.2. Etant donnée une variable aléatoire X telle que X ( Ω) = x1 , . . . , xn , on appelle loi de probabilité ou distribution de probabilité de X une expression des probabi-

lités : pi = P(X = xi ), i = 1 . . . n . Remarques.

1. Les probabilités pi trouvées vérifient alors : n



pi = 1.

i=1

2. Cette définition s’étend bien sûr au cas d’une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble infini dénombrable. Dans la suite, on se limite au cas des variables aléatoires discrète à valeurs dans un ensemble fini. Les notions et propriétés étudiées s’étendent bien sûr au cas des variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble dénombrable infini. Exemple. On lance deux pièces de monnaie. L’ensemble fondamental Ω comprend 4 événe-

ments élémentaires notés P P , P F , F P , F F , de probabilité chacun 1/4. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenus. 13

14

CHAPITRE II. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES

• X prend les valeurs 0, 1, 2, • P(X = 0) = 14 , P(X = 1) = 12 et P(X = 2) = 14 . On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau : x P(X = x)

1.2

0 1/4

1 2 Total 1/2 1/4 1

Représentations graphiques

Il est appréciable de pouvoir visualiser une distribution de probabilités. Dans le cas des variables aléatoires discrète on peut utiliser des diagrammes en barres. Exemple. Diagramme en barres représentant la distribution de probabilité de la variable aléa-

toire X :

Une autre représentation, qui trouve son équivalent en statistiques, consiste à regarder la fonction cumul des probabilités, appelée fonction de répartition en probabilités. Définition 1.3. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X (Ω) = x1 , . . . , xn , < xn . On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par : avec x1 <

{

·· ·

−→ [0, 1] x −→ P(X ≤ x).

F :

R

Propriétés.

1. F est une fonction en escalier croissante, 2. Si x < x1 , alors F (x) = 0, j

≤ x < x , alors F (x) = 4. Si x ≥ x , alors F (x) = 1. 3. Si x j

j +1

n



pi ,

i=1

}

15


Remarque. Connaissant la fonction de répartition F d’une variable aléatoire discrète X on

peut retrouver la distribution de probabilité de X : j

P(X = x j )

= p j =

j −1

 − pi

i=1

pi = F (x j )

i=1

− F (x

j −1 ),

j

≥ 2.

Exemple. Fonction de répartition associée à la variable aléatoire X :

1.3

Variables aléatoires indépendantes

On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur l’univers Ω. On note X (Ω) = x1 , . . . , x p

{

et Y (Ω) = y1 , . . . , yq .

}

{

}

La loi de probabilité du couple (X, Y ) est définie par la donnée des nombres :



pij = P (X = xi )



∩ (Y = y ) j

1

≤i≤p

et 1

≤ j ≤ q.

On représentera la loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes par un tableau avec p lignes et q colonnes. En sommant les éléments de chaque ligne (resp. colonne), on trouve la loi de X (resp. Y ), à savoir les valeurs de pi = P(X = xi ) (resp. p j = P(Y = y j )). On les appelle lois marginales de X et Y . •

•

Définition 1.4. Les deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si les événe-

ments (X = xi ) et (Y = y j ) sont indépendants pour toutes valeurs de i et j, en d’autres termes si p (X = xi ) (Y = y j ) = p(X = xi ) p(Y = y j ), ou encore



∩



pij = pi

×

•

× p

j .

•

16


1.4 1.4.1

Paramètres d’une variable aléatoire Espérance mathématique

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience, on peut estimer la moyenne des valeurs obtenues. En réalité, cette quantité peut être calculée mathématiquement : elle correspond à la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire X pondérées par la probabilité d’obtenir cette valeur. Cette moyenne, appelée espérance mathématique joue un rôle central en probabilités et statisques.

{

}

Définition 1.5. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X (Ω) = x1 , . . . , xn , < xn . On appelle expérance mathématique de X le réel avec x1 <

·· ·

E(X )

=





xi P(X = xi ) =

i=1n

xi pi .

i=1n

Exemple. Dans le cas du lancer des deux pièces de monnaie, on trouve : E(X )

1.4.2

× 14 + 1 × 12 + 2 × 14 = 1.

=0

Variance

L’espérance mathématique fournit une valeur moyenne des observations. On s’intéresse souvent à la dispersion de la distribution de probabilité, en d’autres termes si les valeurs observées seront plutôt voisines de la valeur moyenne ou si au contraire elle peuvent s’en éloigner fortement. Exemple. Une classe obtient une note moyenne de 11/20 à un examen. Les notes obtenues

peuvent cependant varier entre 10 et 13 comme elles peuvent varier entre 2 et 19. Cette dispersion peut être mesurée mathématiquement par une quantité appelée variance .

{

}

Définition 1.6. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X (Ω) = x1 , . . . , xn , < xn . On appelle variance de X le réel avec x1 <

·· ·

n



V ar(X ) = E X On appelle écart type de

X

2

  

− E(X )

pi xi

=

i=1

− E(X )

le réel σ(X ) =

Propriété. On a la relation suivante :



V ar(X ).

n 2

V ar(X ) = E(X )

− E(X )

2

=



pi x2i

i=1

2



2

− E(X ) .

.

17


1.4.3

Covariance

Lorsqu’on étudie deux variables aléatoires simultanément, on souhaite connaître leur degré d’indépendance. Pour cela on fait appel à deux indicateurs : la covariance et le coefficient de corrélation . Définition 1.7. Soient X et Y deux variables aléatoires. La covariance de X et Y est le

nombre réel



Cov(X, Y ) = E X et le coefficient de corrélation ρ=

1.4.4

− E(X )



Y



− E(Y )

,

Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) = . σ(X )σ(Y ) V ar(X )V ar(Y )



Opérations sur les variables aléatoires

On a les résultats suivants : Propriétés. Pour tous réel a et b,

(i) E(aX + b) = aE(X ) + b, (ii) V ar(aX + b) = a2 V ar(X ). Propriété. Pour X une variable aléatoire, on appelle variable centrée réduite la variable aléa-

toire Y =

X

− E(X ) .

σ(X )

Y est alors telle que E(Y ) = 0 et σ(Y ) = 1.

2

Lois discrètes usuelles

2.1

Loi de Bernoulli

On effectue un tirage d’une boule dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 p. Soit X le nombre de boules blanches tirées. Modèle :

−

Paramètre :

p

{ } Probabilités : P(X = 0) = q = 1 − p, Valeurs possibles :

Espérance : E(X )

X (Ω) = 0, 1

=p

Variance :

V ar(X ) = pq

Notation :

X

∼ B (1, p)

P(X =

1) = p

18


2.2

Loi binomiale

On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 p. Soit X le nombre de boules blanches tirées. Modèle :

−

Paramètres :

n et p

Valeurs possibles : Probabilités :

X (Ω) = 0, 1, 2, . . . , n

{

∀ k ∈ X (Ω)

Espérance : E(X )

P(X =

}

k) = C nk pk q n

k

−

= np

Variance :

V ar(X ) = npq

Notation :

X

∼ B (n, p)

Remarque. Pour n = 1, on retrouve la loi de Bernoulli. Exemple. Une pièce de monnaie est truquée de sorte qu’à chaque lancer j’ai une chance sur

trois de faire “pile”. Quelle est la probabilité en 4 lancers d’avoir une fois pile ? Propriétés. On a les propriétés suivantes :

1. Si X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X 1 X 2 (n2 , p) alors X 1 + X 2 (n1 + n2 , p).

∼ B

∼ B

∼ B (n , p) et 1

2. Une conséquence est que si X 1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes suivant + X n (n, p). une loi de Bernoulli de paramètre p, alors X 1 +

···

2.3

∼ B

Loi géométrique

On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 p. Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche. Modèle :

−

Paramètre :

p


{

X (Ω) = 1, 2, . . . , n , . . .

∀ k ∈ X (Ω)

Espérance : E(X )

=

V ar(X ) =

Notation :

X

2.4.1

−1

q p2

∼ G ( p)

Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale Loi de Poisson

Modèle :

donné.

k) = pq k

1 p

Variance :

2.4

P(X =

}

Soit X le nombre d’apparitions d’un événement rare sur un intervalle de temps

19


Paramètre :

λ


X (Ω) = N

∀ k ∈ X (Ω)

Espérance : E(X )

P(X =

k) = e

λ

−

·

λk k!

=λ

Variance :

V ar(X ) = λ

Notation :

X

∼ P (λ)

Exemple 2.1. Chaque jour, à une sortie d’autoroute, on compte en moyenne 3 clients qui ont

perdu leur ticket de péage. Quelle est la probabilité qu’un jour, 4 clients aient perdu leur ticket de péage ? Quelle est la probabilité qu’un jour strictement moins de 3 clients aient perdu leur ticket de péage ? Propriété. Si X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X 1

X 2

∼ P (λ ) alors X + X ∼ P (λ

2.4.2

2

1

2

1

+ λ2 ).

∼ P (λ ) et 1

Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

Dans la loi binomiale, deux paramètres n et p interviennent ce qui peut compliquer le calcul des probabilités notamment lorsque n devient grand et p petit. On utilise alors le résultat d’approximation suivant : Propriété. Si n est assez grand et p est assez petit alors on peut approcher la loi binomiale

B (n, p) par la loi de Poisson ayant la même espérance mathématique P (np). Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque n p 0, 1 et np 10. Ces données ne sont pas figées, elles varient généralement d’un auteur à l’autre.

≤

≤

≥

30,

20

3


Exercices

Variables aléatoires discrètes Exercice 1. Lors d’une enquête, on a interrogé 5 hommes et 3 femmes. On choisit au hasard

et sans remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme. Soit X le nombre de tirages nécessaires. 1. Déterminer les valeurs prises par X ainsi que sa loi de probabilité. 2. Calculer E(X ). Exercice 2. On lance simultanément deux dés bien équilibrés. On note X la valeur absolue de

la différence des nombres portés sur les faces supérieures. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Calculer E(X ) et V ar(X ). Exercice 3. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

xi pi

1 0, 2

3 0, 2

4 0, 1

6 0, 2

9 0, 3

1. Tracer la fonction de répartition de X ? 2. Calculer E(X ). Exercice 4. On lance simultanément deux dés équilibrés, l’un rouge, l’autre blanc. On note X

le nombre indiqué par le dé rouge et Y le maximum des deux nombres obtenus. 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). 2. En déduire les lois de X et Y . 3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 5. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

xi pi

−2 −1

1/8

0 1/4 1/5

1 1/8

2 3/10

Calculer E(X ) et V ar(X ).

Lois discrètes usuelles Exercice 6. A un concours se présentent deux fois plus d’hommes que de femmes. On tire

une personne au hasard, et on appelle X la variable aléatoire “nombre de femmes”. 1. Quelle loi suit la variable X ? 2. Calculer E(X ) et V ar(X ). Exercice 7. La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de vie supérieure à

deux ans est égale à 0, 2. Sachant qu’un lustre possède cinq ampoules, calculer : 1. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans, 2. la probabilité de changer toutes les ampoules en deux ans. 3. le nombre moyen d’ampoules changées en deux ans.


21

Exercice 8. Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties.

Calculer la probabilité pour qu’il gagne : 1. trois parties, 2. au plus une partie, 3. au moins deux parties. Exercice 9. Pour accéder à un guichet automatique, il faut utiliser une carte magnétique et

un code confidentiel. Un client tapant un code au hasard est refusé 999 fois sur 1000. Soit X le nombre d’essais nécessaires pour accéder au guichet. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Calculer P(X = 1). 3. Sachant qu’au bout de 3 essais infructueux, la carte est confisquée, calculer la probabilité d’accéder au guichet par hasard. 4. Combien faut-il d’essais en moyenne pour accéder au guichet par hasard ? Exercice 10. Le nombre d’ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin spécialisé suit

une loi de Poisson de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans une journée : 1. on ne vende aucun ordinateur, 2. on vende 4 ordinateurs, 3. on vende au moins un ordinateur, 4. le nombre d’ordinateurs vendus est compris entre 2 et 6. Exercice 11. Lors d’un sondage portant sur 250 individus, 2% des personnes interrogées

acceptent de ne pas rester anonymes. On appelle X le nombre de personnes ne souhaitant pas rester anonymes. 1. Quelle est la loi suivie par X ? 2. Après avoir justifié votre choix, donner la loi qui permet d’approcher la loi de X . 3. Calculer la probabilité que les 250 personnes souhaitent rester anonymes. 4. Calculer la probabilité que 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymes. 5. Calculer la probabilité que plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.

22


Chapitre III Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 1

Variables aléatoires continues

1.1

Définitions

Définition 1.1. Soit Ω un espace fondamental,

une probabilité sur Ω et X une application de Ω dans R. On note F la fonction de répartition de X définie par : F :

P

−→ [0, 1] x −→ P(X ≤ x).

R

On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f définie sur R telle que (i) pour tout x

∈ R,

f (x)

≥ 0,

(ii) f est continue sur R sauf peut être en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauche finies, +∞

(iii)



f (t)dt = 1,

−∞

(iv) pour tout x

t

∈ R,

F (x) =



f (t)dt.

−∞

Remarque. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X . Propriétés. On a les résultats suivants :

1. pour tout a

∈R:

2. si a < b, on a :

1.2

≤ a) = P(X < a), P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F (b) − F (a) = P(X =

a) = 0

donc

P(X

b



f (t)dt.

a

Paramètres d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f . Sous réserve de convergence des intégrales, on définit : +∞

• l’espérance mathématique de X :

E(X )

=



−∞

23

tf (t)dt,

24

CHAPITRE III. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES

• la variance de X :



V ar(X ) = E X

− E(X )

1.3

2

t

=

E(X )

2

f (t)dt,

−∞

+∞

2

= E(X )

• l’écart-type de X :

+∞

    −   −

− (E(X ))

σ(X ) =

Quantiles

2

t2 f (t)dt

=

(E(X ))2 ,

−∞



V ar(X ).

Définition 1.2. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et α appelle quantile d’ordre α, tout réel xα tel que P(X

≤x )=α

∈ ]0, 1[. On

ou encore F (xα ) = α.

α

Remarque. Pour α = 1/2, on parle de médiane.

2

Lois continues usuelles

2.1

La loi uniforme

: une variable aléatoire continue X sui la loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : Densité

f (x) =

 

1 b 0

−a

si x

∈ [a, b],

sinon.

: les bornes a et b de l’intervalle a+b Espérance : E(X ) = 2 (b a)2 Variance : V ar(X ) = 12 Paramètres

−

Notation

: X

∼ U (a, b)

Figure

III.1 – Densité de probabilité de la loi uniforme sur [1, 3].


Figure

2.2

25

III.2 – Fonction de répartition de la loi uniforme sur [1, 3].

La loi exponentielle

: on se place dans un phénomène d’attente et on s’intéresse à la variable aléatoire qui représente le temps d’attente entre deux événements successifs ou encore une durée de vie. Modèle

: une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : Densité

f (x) =

Paramètres Espérance

:λ

: E(X ) =

λe 0

λx

−

si x

≥ 0,

sinon.

1 λ

Variance

: V ar(X ) =

Notation

: X

Figure

 

1 λ2

∼ E (λ)

III.3 – Densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre λ = 1.

26


Figure

III.4 – Fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ = 1.

Exemple 2.1. Le temps d’attente moyen entre deux RER est de 5 minutes. La variable aléa-

toire T qui représente le temps d’attente (en minutes) entre deux RER peut être modélisée par une loi exponentielle d’espérance égale à 5, c’est à dire de paramètre λ = 1/5.

2.3 2.3.1

La loi normale Cas général

: une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètres µ et σ (σ > 0) si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : Densité

f (x) = Paramètres Espérance

−

1 2

( x−σ µ )

2

: µ et σ

: E(X ) = µ

Variance

: V ar(X ) = σ

Notation

: X

Figure

1 √ e σ 2π

∼ N (µ, σ)

III.5 – Densité de probabilité de la loi normale de paramètres µ = 1 et σ = 2.

27


Figure

III.6 – Fonction de répartition de la loi normale de paramètres µ = 1 et σ = 2.

Remarques. On a les propriétés suivantes :

1. la distribution est symétrique par rapport à la droite x = µ. 2. la distribution est d’autant plus étalée que σ est grand. P(µ

3.

− σ < X < µ + σ) = 0, 6826.

4. l’aire sous la courbe à l’extérieur de l’intervalle [µ

− 3σ, µ + 3σ] est négligeable, en effet :

− 3σ < X < µ + 3σ) = 0, 9974. ∼ N (µ , σ ), X ∼ N (µ , σ ), et si X et X sont indépendantes, alors P(µ

Propriété. Si X 1

X 1 + X 2 2.3.2

∼ N (µ

1

1

1

2

2

2

1

2

+ µ2 , σ1 + σ2 ).

La loi normale centrée réduite

Il s’agit de la loi normale obtenue pour µ = 0 et σ = 1. Sa densité f est alors définie par 1 f (x) = √ e 2π

−

x2 2

.

∼ N (µ, σ), alors la variable aléatoire T = X σ− µ suit la loi normale centrée réduite : T ∼ N (1, 0). Propriété. X

Dans la pratique, pour calculer des probabilités, on dispose d’une table pour la loi normale centrée réduite. Pour les autres lois normales, on se ramènera à la loi normale centrée réduite X µ moyennant le changement de variable T = . σ

−

3

Le théorème central limite

Théorème 3.1. Soit X 1 , . . . , Xn , . . . une suite infinie de variables aléatoires indépendantes

possédant toutes la même loi, d’espérance µ et d’écart-type σ. On définit leurs sommes : S n = X 1 +

··· + X , n

28


et les variables centrées réduites correspondantes : Z n =

−√

S n nµ , σ n

pour lesquelles on définit les fonctions de répartitions : F n = P(Z n Alors pour tout réel x, on a : lim F n (x) =

n−→+∞

1 2π

√

x



e

t2 /2

−

≤ x).

dt.

−∞

Remarque. On dit encore que la suite des variables aléatoires Z n converge en loi vers une

variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Approximation de la loi binomiale par une loi normale :

≥

≥

Pour n 30, npq 3, la loi normale la loi binomiale (n, p).

B

N (np, √ npq ) constitue une bonne approximation de

Approximation de la loi de Poisson par une loi normale :

N (λ, √ λ) constitue une bonne approximation de la loi de

≥

20 la loi normale Pour λ Poisson (λ).

P

4

Lois continues dérivant de la loi normale

Les distributions suivantes ne servent pas à représenter des modèles théoriques mais jouent un rôle central dans les problèmes d’estimation et de tests statistiques.

4.1

La loi du Chi-deux

: Si X 1 , . . . , Xn sont n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi normale centrée réduite, alors la quantité X = X 12 + + X n2 est une variable aléatoire qui suit une loi de Chi-deux à n degrés de liberté. Modèle

·· ·


:n

: E(X ) = n

Variance

: V ar(X ) = 2n

Notation

: X

Propriété. Si X 1

4.2

2

∼χ

n

∼χ

2

n1 ,

X 2

2

∼χ

n2 ,

et si X 1 et X 2 sont indépendantes, alors X 1 +X 2

∼χ

2

n1 +n2 .

La loi de Fisher-Snédécor

Modèle

: Si X 1

∼χ

2

n1 ,

X 2

2

∼χ

n2 ,

et si X 1 et X 2 sont indépendantes, alors la quantité

X 1/n1 est une variable aléatoire qui suit la loi de Fischer-Snedecor à n1 et n2 degrés X 2/n2 de liberté. F =

29


Paramètres Notation

: n1 et n2

: X

∼ F

n1 ,n2

Remarque. Attention à l’ordre des paramètres n1 et n2 .

4.3

La loi de Student

(0, 1) et Y χ2n , : Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, X X n alors la quantité T = est une variable aléatoire qui suit la loi de Student à n degrés Y de liberté. Modèle

∼ N

√


:n

: E(T ) = 0 si n > 1

Variance

: V ar(T ) =

Notation

: T

∼ T

n

n

n

− 2 si n > 2

∼

30


5

Exercices

Variables aléatoires continues Exercice 1.

1. Vérifier que l’application définie sur R par :

f (x) =

est une densité de probabilité.

 

x 1 + 8 4

si x

0

sinon ,

∈ [−2, 2],

2. Calculer la fonction de répartition F associée. Exercice 2. Soit f la fonction définie par :

f (x) =



ax(1 0

− x)

∈

si x [0, 1], sinon .

1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ? 2. Calculer alors E(X ) et V ar(X ) pour une variable aléatoire X admettant cette densité. Exercice 3. Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition F est définie

par :

   −  0

F (x) =

≤ 0, si 0 < x ≤ 1, si x

3 x 4 1 2 x + x si 1 < x 4

1

≤ 2,

si x > 2.

1. Vérifier que F est bien une fonction de répartition. 2. Déterminer une densité de probabilité pour X et la représenter graphiquement.

Lois continues usuelles Exercice 4. Calculer E(X ) et V ar(X ) lorsque X suit :

1. la loi uniforme, 2. la loi exponentielle. Exercice 5. Soit X

∼ U (1, 2).

1. Déterminer la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement. 2. Donner la valeur de la médiane. 3. Calculer P(X < 3/2),

P(1/2

< X

≤ 5/4), P(X < 4/3|X < 3/2).

Exercice 6. Représenter graphiquement la densité de probabilité et la fonction de répartition

d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ = 2.

31


Exercice 7. Dans une forêt la durée de vie moyenne d’un chêne est estimée à 250 ans. Soit

D la durée de vie d’un chêne pris au hasard. 1. Quelle loi permet de modéliser D ? Pour quelle(s) valeur(s) de paramètre(s) ? 2. Un chêne grandit jusqu’à 200 ans. Quelle est la probabilité qu’un chêne pris au hasard ait terminé sa croissance ? 3. Quelle est la probabilité qu’un chêne pris au hasard ait une durée de vie comprise entre 100 et 200 ans? Exercice 8. Une usine fabrique 9000 unités d’un certains produit en un temps t. Pour cette

même période, la demande, en milliers d’unités, concernant ce produit peut être considérée comme une variable aléatoire D suivant une loi exponentielle de paramètre 1/3. 1. Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ? 2. Quelle devrait être la production pour que cette demande ne dépasse pas 4% ? Exercice 9 (Absence de mémoire de la loi exponentielle). Soit X une variable aléatoire suivant

une loi exponentielle de paramètre λ. 1. Déterminer la fonction de répartition F de X . 2. Pour un réel t, exprimer P(X > t) à l’aide de F (t). 3. En déduire que X vérifie la propriété d’absence de mémoire : P(X

|

> t + s X > s) = P(X > t),

s

∈ R, t ∈ R

+

.

Exercice 10. Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

1. Calculer : P(T < 0),

P(T

< 2, 04),

P(T

<

−1, 95), P(−1 < T < 2), P(−3 < T < −1).

2. Déterminer les réels t tels que : P(T < t) = 0, 8283, P(T < t) = 0, 1112,

P(0

< T < t) = 0, 4878.

Exercice 11. Les portes isoplanes ont une hauteur de 2,02m. Quelle est la proportion d’in-

dividus susceptibles de s’y cogner la tête dans une population dont la taille est normalement distribuée avec une moyenne de 1,70m et un écart-type de 10cm. Exercice 12. Une entreprise distribue un certain aliment dans une boîte métallique dont le

poids, après remplissage, est en moyenne de 340 grammes, avec un écart-type de 6 grammes. 1. Quelle est la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, ait un poids compris entre 334 et 346 grammes ? 2. Sur une production de 10 000 boîtes, combien auront un poids inférieur à 330 grammes ?

Approximation par une loi normale Exercice 13. Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts.

1. On prélève 1000 vis au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 50 vis défectueuses ? Entre 20 et 40 vis défectueuses ? 2. On veut 1950 vis sans défaut. Par prudence, on en prélève 2000 au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir suffisamment de vis en bon état ?

Probabilités et Statistiques

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