Prob Resueltos 2.2.1

Fundamentos de análisis de falla en componentes mecánicos

PROBL EMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS

B0

P roblema 1 Problema

B1

El límite elástico de una aleación de aluminio es 400 MPa y su módulo de Young es 70 GPa. a. b.

Calcular la carga máxima áxima de de tracción tracción que que una barra puede soportar sin sufrir deformación permanente. Considere que la barra es de sección cuadrada con 10 mm de lado. ¿ Cuánto uánto se alarga alarga cada milím ilímetro etro de la barra cuando se le aplica la carga? Solución S olución U

a.

El lím límite elástico (E) indica el comienzo de la deformación permanente (plástica.). Para valores de esfuerzo menores o iguales a E, el material solo sufrirá deformaciones elásticas (Figura 1.a).

E =

F =400 MP a  F =E x A0 = 400 (N/mm2) x 100 (mm2) = 40 000 N = 40 kN A 0

La carga máxima que puede soportar la barra sin sufrir deformación plástica es 40 kN.

Respuesta:

(MPa)

E

E

=Ex

Figur a 1.a 1.a

Pontificia Universidad Católica del Perú

1

Dr. Ing. Paul Lean Sifuentes

b.

La deformación que presenta la barra será uniforme (ver Figura 2.12), pues el inicio de la estricción ocurre para cargas mayores. Como los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones, entonces:  400 MPa = 5,7 x 10-3 E =E x    = E  E 70000 MPa

=

 L = 5,7 x 10-3  L = 5,7 x 10-3 * L0 (mm)  L L 0

0

Consideremos que nuestra longitud calibrada (L 0) sea de 1 mm. Respuesta:

Cada milímetro de la barra se alargará 5,7 x 10-3 mm.

P roblema 2

B2

En un ensayo de tracción de una probeta de aleación de magnesio (D0 = 20 mm y L0 = 50 mm) se obtuvieron los siguientes resultados: Punto

Carga (N)

Distancia entre marcas, L F (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 14 100 28 200 42 100 54 700 65 600 74 100 84 500 91 700 95 300 (rotura)

50,00 50,05 50,10 50,15 50,20 50,25 50,30 50,40 50,50 50,57 (después de la rotura)

a.

Calcular la resistencia a la tracción (máx) en MPa.

b.

Calcular el módulo de Young (E) en GP a.

c.

Calcular el alargamiento total, en %, un instante antes de producida la rotura. S olución U

La resistencia a la tracción es la carga máxima (Fmáx, punto 10 de la tabla) que soporta la muestra dividida entre el área transversal inicial (A0).

a.

Respuesta:

2

máx = Fmáx  95300 N2 = 303 MPa Ao

100  mm

Facultad de Ciencias e Ingeniería


b.

El módulo de Young es la pendiente de la parte lineal inicial de la curva  -  (puntos 2 y 3 de la tabla).

F 14 100  A 100  E=     L 0,05 L 50 0

0

Respuesta:

c.

28 200 100



,

0 10

 44 881 MPa

50

Su módulo de rigidez es 44,9 GPa.

Un instante antes de romperse, la probeta presentará deformaciones plásticas y elásticas, por lo que el alargamiento total en porcentaje es:

%  total =%  plástico +%  elástico El punto 10 (de la tabla) indica el alargamiento permanente ( L = 0,57 mm) que presenta la muestra después de su rotura.

%  plástico =%  plástico = L  100  0,57  100  1,14 Lo

50

Para el cálculo de la deformación elástica, que presenta la muestra un instante antes de romperse, se emplea el método sugerido en la Figura 2.10. 95 300 rotura =máx =E * elástico  % elástico = rotura *100  100  *100  0,676 E 44881 Respuesta:

Su elongación justo antes de la rotura es %  total = 1,14 + 0,676 = 1,8

P roblema 3

B3

En el Laboratorio de Materiales de la PUCP, se ha realizado un ensayo de tracción de una probeta obtenida a partir de una barra corrugada de acero de 5/8”, utilizada en la construcción. Se conoce que el área transversal nominal es igual a 200 mm2 y que la longitud entre marcas fue de 200 mm. La curva fuerza-alargamiento (F- L) que se obtuvo se muestra en la Figura 3.a.


3


Figur a 3.a. Curva carga vs. alargamiento

Una empresa distribuidora suministra (vende) dichas barras deformándolas previamente, es decir altera sus propiedades. La deformación previa consiste en traccionar las barras hasta 600 MPa y luego eliminar la carga. Otra empresa constructora, que ha comprado un lote de dichas barras a la distribuidora antes mencionada, solicita al Laboratorio de Materiales de la PUCP realizar un ensayo de tracción en una muestra del lote comprado. A partir de este nuevo ensayo (realizado utilizando la misma norma anterior) se pide: a. b. c. d. e.

Determinar el nuevo límite elástico en MPa. Determinar la resistencia a la tracción en MPa. Determinar el alargamiento de rotura (%). Determinar el módulo de resiliencia elástica en MPa. Comparar los valores de ductilidad, resistencia mecánica y resiliencia elástica obtenidos con los de las barras no deformadas. Explique las diferencias en el caso que existan.

4



S olución U

Área inicial = A0 = 200 mm2

Longitud entre marcas = L 0 = 200 mm

Figura 3.b.

Curva carga vs alargamiento

La probeta es previamente deformada hasta 600 MPa, en la gráfica de la Figura 3.b la carga llega hasta el punto A, como muestra la Figura (600 N/mm2 * 200 mm2 = 120 kN). En ese momento, la probeta tendrá una deformación plástica (permanente), pues ha sobrepasado su límite elástico. Cuando la probeta es descargada, seguirá la trayectoria desde A hasta O’, por lo que queda alargada, permanentemente, en 6 mm, como muestra la Figura 3.b en O O´. La deformación plástica en % será:

%plástca 

L O'O *100  *100  L 200 0

a.

mm *100  3% 200 mm 6

Si la muestra “alargada” es de nuevo sometida a un ensayo de tracción, deberá seguir la trayectoria: O’  A  R. Para este caso, el “nuevo” límite elástico se ubica ahora en el punto A.

E 

120kN  600MPa 2 200mm


5


b.

La resistencia a la tracción está definida como la relación entre la carga máxima (Fmáx) que soporta la probeta antes de romperse dividida entre el área transversal inicial (A0), que en este caso concreto no cambia.

máx  c.

140kN  700MPa 200mm2

El alargamiento de rotura se obtiene de la división del alargamiento, medido después de producida la rotura de la probeta (L =R’-O’ = 26 mm - 6 mm = 20 mm), entre la longitud calibrada (L 0 = 200 mm).

% 

L R'  O' *100  *100  L L 0

d.

0

20 200

* 100  10

Para el cálculo del módulo de resiliencia se emplea la fórmula ya conocida:

E *E (E )2 UR   2

2E

El límite elástico es 600 MPa, para ese valor de esfuerzo el alargamiento, de 6 mm, será totalmente elástico (ver Figura 3.b). Ahora se puede calcular la deformación elástica en ese punto:

elástica 

L  L 0

6 200

 0,03

Reemplazando se puede obtener el módulo de resiliencia elástica U R: UR  e.

600 MPa x 0,03  9 MPa 2

El alargamiento de rotura de la muestra sin deformación previa será: % 

26mm * 100  13 200mm

En general, en un metal, a mayor deformación (plástica), mayor resistencia y dureza pero menor ductilidad, esto ocurre en el presente caso. Si se incrementa el límite elástico, por deformación, se incrementará la resiliencia elástica del material. La resistencia mecánica se mide por el límite elástico y la resistencia a la tracción, en este caso, se está incrementando el límite elástico, debido a la deformación previa.

6



P roblema 4

B4

Se quiere fabricar un componente similar al que se aprecia en la Figura 4.a. El componente soportará una fuerza de 100 kN en tracción y estará formado por acero y latón (ver Tabla 4.a), los cuales están unidos a una placa rígida. Calcular el diámetro necesario (D), del latón, para que el componente (latón-acero) trabaje solo en la zona elástica y no sufra deformación permanente.

Figur a 4.a. Esquema del componente

Tabla 4.a Material

E (GPa)

Límite elástic o (MPa)

Resist encia a la tracción (MPa)

Latón

100

345

420

Acero

210

450

550

S olución U

La deformación “” en ambos metales, acero y latón, será el mismo, pues ambos están unidos a una placa rígida. Como ambos elementos deben trabajar en el rango elástico, se debe cumplir la ley de Hooke: = E * , que indica que los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones. Hay que recalcar que, en la práctica, el límite proporcional y el elástico son valores muy similares. La fuerza “F” será soportada por ambos metales de tal manera que: F =F ACERO +F LATÓN


7


Con los datos de la Tabla 4.a se puede realizar un gráfico - para ambos metales: (MPa)

Acero

ELÁSTICO = 450 ELÁSTICO = 345

Latón

LATÓN = 214

 ACERO = 2,14 x 10-3 LATÓN = 3,45 x 10-3

Del gráfico - se aprecia que la máxima deformación “ T” que puede soportar el componente es de 2,14 x 10-3, pues para una mayor deformación el acero sobrepasará su límite elástico. Como = E , se puede determinar ahora el esfuerzo que soporta el acero y luego la fuerza:

ACERO = 210 000 x 2,14 x 10-3 = 449,4 MPa  F = 449,4 MPa x 25  mm2 = 35 295,8 N Por lo tanto, ahora se puede calcular la fuerza que soportará el latón, pues se cumple que la fuerza que soporta el acero más la que soporta el latón deber ser igual a 100 kN. F LATÓN = 64 704,2 N

8



Como  = 2,14 x 10-3, el latón estará trabajando por debajo de su límite elástico, por ello ya se puede determinar el área y luego el diámetro: F N =E   LATÓN = LATÓN =100 000 MP a x 2,14 x 10-3 =214 MPa = 214 ALATÓN mm2

 4

ALATÓN = 302,3 mm2 = (D2 – 100)  D = 22 mm Por lo tanto, el diámetro “D” del latón necesario para que el componente trabaje en el rango elástico será, como mínimo, 22 mm.

P roblema 5

B5

a.

De acuerdo a la información que nos entrega el siguiente gráfico (Figura 5.a), obtenido de un ensayo de tracción, para una probeta de acero de 12,5 mm de diámetro (D0) y L0 =50 mm, se pide encontrar el límite de fluencia y la resistencia a la tracción en MPa.

b.

Si el diámetro medido en la estricción, luego de producida la rotura de la probeta, es 8,5 mm. Determine los valores que indican la ductilidad de dicho material.

c.

Cuando la probeta alcance su resistencia máxima, calcular su alargamiento elástico y plástico.

d.

¿Cuánto será la fuerza máxima que puede soportar una varilla de 6,25 mm de diámetro fabricada del mismo material? S olución U

a.

Para calcular los valores de resistencia mecánica primero debemos obtener el área inicial de la probeta:

12,5

2

A  0

4

 122,72 mm

2

Para calcular el límite de fluencia obtenemos la carga correspondiente, en este caso, por definición, es de 50 kN = 50 000 N.

F 

50000

A

0



N  407,4 MPa mm

50000

,

122 72


2

9


80 70 60 50 ) N k ( F

40 30 20 10 0 0

2

4

6

8

10

12

Alargamiento (mm) Figura 5.a.

Curva carga (N) vs alargamiento (mm)

De manera similar y ahora con la F máx obtenemos la resistencia a la tracción (máx) del material: 70000

máx  b.

A

0



N  570,4 MPa mm

70000

,

122 72

2

Los valores que indican la ductilidad de un material son el alargamiento de rotura y la estricción de rotura. Para determinarlos se traza una línea paralela al rango elástico, como se aprecia en la Figura 5.b. Ahora se puede encontrar los valores pedidos:

% 

L 10,8 100  100  21,6 (alargamiento de rotura) L 50 0

A  AF D  DF %  100  A D 2

0

0

2

0

c.

10

0

2

100



,  8,5 12,5

12 5

2

2

2

100

 53,76 (estricción de rotura)

Para encontrar el alargamiento plástico y elástico, cuando el material alcance su resistencia máxima, procedemos de manera similar que en B, trazando una línea paralela al rango elástico desde la F máx (70 kN), como muestra la Figura 5.c.



Figur a 5.b

Figur a 5.c

d.

Para calcular la Fmáx que soportará la varilla antes de romperse, primero se tiene que determinar el área inicial (A0) que ahora tiene la nueva varilla:

6,25

2

A  0


4

 30,68 mm

2

11


Como:

máx 

Fmáx(N)  570,4 MPa  F máx =570,4 MP a x 30,68 mm2 = 17 500 N 2 Ao(mm )

La fuerza máxima que puede soportar una varilla de 6,25 mm de diámetro fabricada del mismo material es de 17 500 N. Respuesta:

P roblema 6

B6

Se quiere fabricar una máquina para levantar 9500 kg mediante cuatro tubos de 1200 mm de longitud. Los tubos se colocarán verticalmente en los vértices de una placa rectangular de 500 kg de peso y la carga se localizará en el centro de dicha placa, de tal manera que cada tubo soporte la misma carga de tracción (ver Figura 6.a). Los diámetros exterior e interior de los tubos serán D = 11,0 mm y d = 5,5 mm, respectivamente. Asimismo, para fabricar dichos tubos, se cuenta con cuatro tipos diferentes de materiales, cuyas gráficas de los ensayos de tracción correspondientes se muestran en la Figura 6.b. Se pide elegir el material más conveniente para fabricar dichos tubos, sabiendo que por consideraciones de diseño: El material no debe sufrir deformación plástica. El alargamiento debe estar comprendido entre 5,0 mm y 10,0 mm. El factor de seguridad debe ser de 1,5.

  

S olución U

La fuerza total (F TOTAL) de tracción que soportarán los cuatro tubos en conjunto será: F TOTAL = 9500 kg + 500 kg = 10000 kg La fuerza que soportará cada uno de los cuatro tubos (F SOPORTADA POR TUBO) será: F SOPORTADA POR TUBO =

10000 kg  2500 kg 4

Calculando ahora el área transversal (Ao) de los tubos: Ao =

12

 2 2  2 D  d  11  5,52  71,27 mm2 4 4











A

A

9 500 kg

D

d

Vista de planta (desde arriba) (corte A–A) Figura 6.a.

Disposición de los tubos

Con los datos encontrados se puede determinar el esfuerzo máximo (o) que soportará cada tubo:

o =

2500 kg kg 35 , 0  71,27 mm2 mm2

Por condición del problema, el material no debe sufrir deformación plástica y el factor de seguridad (FS) será 1,5; entonces:

admisible 

F F    admisible = F FS 1,5 1,5

Se tiene que cumplir que: o  admisible  35,0


kg  admisible mm2

13


110 100 90 80 ) 2 m m / g k ( o z r e u f s E

70 60 50 40 AISI 1045 AISI 4340 AA7075-T6 Bronce: 91,2Cu-7Al

30 20 10 0 0

2

4

Figura 6.b.

a.

6

8 10 Deformació n ( % )

12

14

16

1

Curvas: esfuerzo – deformación de diferentes metales

Al eaci ón AA 7075-T6 (aleación de aluminio) U

U

En el caso del aluminio, primero ubicamos su esfuerzo de fluencia directamente de kg la Figura 6.b, y es: F = 50,0 mm2 U

U

Ahora podemos encontrar su admisible: 50

admisible =

kg mm2  33,3 kg y como o = 35,0 kg  admisible; 1,5 mm2 mm2 El aluminio NO cumple.

b.

Bro nce 91,2 Cu – 7 Al (aleación de cobre) U

U

Ahora ubicamos el F del bronce  F= 60,0 U

14

U

kg mm2



60

admisible =

kg mm2  40,0 kg y como o = 35,0 kg  admisible; 1,5 mm2 mm2

El bronc e CUMPLE con esta con dició n de dis eño.

Ahora hay que verificar que el alargamiento (L) se encuentre en el rango: 5,0 mm  L  10, mm. De nuevo se ingresa a la Figura 1.b y para un o = 35,0 deformación de 0,5 %.

kg mm2

se tiene una

Entonces: % =

L L 100  100  0,5  L = 6,0 mm; L 1200 0

El bronc e CUMPLE con esta con dició n de dis eño.

c.

AISI1045 y AISI4043 respectivamente) U

(acero

U

al

carbono

y

de

mediana

aleación,

El acero AISI1045 presenta un F similar al del bronce y el AISI 4340 un esfuerzo mayor, por lo tanto ambos aceros cumplen con el requerimiento de esfuerzos. Faltaría verificar el L. De la Figura 6.b se determina que para un esfuerzo kg ambos aceros presentarán la misma deformación (%  = 0,2), o = 35,0 mm2 debido a que ambos materiales se encuentran dentro del rango elástico y presentan similar módulo de rigidez (módulo de Young): % =

L L 100  100  0,2  L = 2,4 mm; L 1200 0

Am bo s ac ero s NO CUMPLEN c on est a co ndic ió n d e di seño.

El material más adecuado para fabricar los tubos, y que cumple con todas las consideraciones de diseño, es el bronce 91,2 Cu – 7 Al. Respuesta.


15


P roblema 7

B7

Las tuercas y los tornillos de un diseño pueden parecer uno de los aspectos de menor interés. El éxito o fracaso de un diseño tal vez dependa de la selección adecuada y el correcto empleo de sus sujetadores (pernos, tornillos, tuercas, etcétera). Si una varilla roscada, como la que se muestra en la Figura 7.a, se sujeta a una carga pura de tracción, se esperaría que su resistencia quedara limitada por el área de su diámetro menor (de la raíz), “dr”. Sin embargo, las pruebas con varillas roscadas a tracción muestran que su resistencia a tracción se define mejor en función del promedio de los diámetros menor, “dr”, y de paso, “dp”. El área de esfuerzo a tracción “At” se define como: dp  dr     At   4 2   

2

Donde, para roscas métricas: dp =d – 0,649 519 p

dr =d – 1,226 869 p

d =diámetro exterior (diámetro mayor)

p =paso en milímetros

Figur a 7.a. Zona roscada

El esfuerzo en una varilla roscada debido a una carga axial F a tracción, es por lo tanto: F . t  At Cuando se utiliza un tornillo o perno para afianzar dos partes, la fuerza que se ejerce entre las partes se denomina “fuerza de afianzamiento”, esta se genera al ejercer un torque “T” para apretar la tuerca. Una relación aproximada entre el torque y la fuerza de tracción axial en el perno o tornillo (fuerza de afianzamiento) es: T = KdF, donde: T=torque, d=diámetro mayor (diámetro exterior), F=fuerza de afianzamiento y K=constante dependiente de la lubricación presente. Para condiciones promedio K=0,15.

16



Los pernos y tornillos para aplicaciones estructurales o para carga severa deben seleccionarse tomando como referencia su “resistencia de prueba”, esta viene a ser el esfuerzo mediante cual el perno empieza a adquirir una deformación permanente y es cercana, pero inferior, al límite de fluencia del material, como muestra la Tabla 7.a. Tabla 7.a.

Propiedades de los pernos según SAE J 429 Grado 2

Grado 5

Grado 8

Resistencia de prueba mínima (MPa)

213

550

775

Resistencia a la Fluencia (MPa)

232

597

843

Resistencia Máxima (MPa)

421

843

1055

Dureza Rockwell

70 – 100 HRB

25 – 32 HRC

33 – 39 HRC

Una de las aplicaciones principales de los pernos y tuercas es sujetar piezas en situaciones donde las cargas aplicadas colocan a los pernos a tracción, según se aprecia en la Figura 7.b. Es práctica común precargar la unión apretando los pernos con un par de torsión suficiente para crear cargas a tracción cercanas a su resistencia de prueba. Para ensambles cargados estáticamente, a veces, se utiliza una precarga que genere un esfuerzo en el perno tan elevado como 90% de la resistencia de prueba. Para ensambles cargados dinámicamente (por fatiga), se utiliza normalmente una precarga de 75% de la resistencia de prueba.

Perno cargado comprimiendo una unión al cual se le aplican cargas externas

Figura 7.b.

En la Figura 7.c, se muestra una columna que está soportando un aviso luminoso, esta se encuentra sujetada por ocho pernos en su parte inferior. Los ingenieros de diseño han determinado que en condiciones muy extremas, cada perno llegaría a soportar como máximo 625 kg de carga en tracción, además recomiendan que esta carga sea el 75% de la fuerza de afianzamiento. De la Tabla 7.a elija el grado del material y de la Tabla 7.b, el diámetro de perno adecuado, asumiendo un factor de seguridad de 1,25 y que los pernos van a estar sometidos a cargas de fatiga. Además calcule el torque adecuado que se necesita para apretar cada uno de los pernos.


17


Para la solución del problema se debe tener en cuenta que para diámetros similares un perno de mayor grado costará más que uno de menor grado. Por ejemplo, un perno de 6,0 mm grado 8 costará más que un perno de 7,0 mm grado 5. Columna F

F Figur a 7.c.

Tabla 7.b.

Columna que soportará el aviso luminoso

Dimensiones principales de las roscas para tornillo Diámetro Mayor d (mm)

Paso p (mm)

4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

0,70 0,80 1,00 1,00 1,25 S olución U

Primero se confecciona la Tabla 7.c para determinar el área de esfuerzo a tracción ( A t ) para cada diámetro exterior (d): Tabla 7.c.

Determinación del área At

d (mm)

p (mm)

dp (mm)

dr (mm)

d medio (mm)

A t (mm 2)

4.00 5.00 6.00 7.00 8.00

0.70 0.80 1.00 1.00 1.25

3.55 4.48 5.35 6.35 7.19

3.14 4.02 4.77 5.77 6.47

3.34 4.25 5.06 6.06 6.83

8.78 14.18 20.12 28.86 36.61

La fuerza de afianzamiento (F) de cada perno será: 625 x 9,81  8175 N , pues la fuerza máxima (625 kg) debe ser el 75% de la fuerza de 0,75 afianzamiento. F

18



Por consideraciones de diseño se tiene que: diseño  admisible … ( 1 ) F 8175 N Donde el esfuerzo de diseño será: diseño  …(2)  At At Para el cálculo del esfuerzo admisible (admisible) tener en cuenta: La resistencia de prueba mínima de cada perno (prueba).  Para cargas de fatiga, la precarga debe ser el 75% de la resistencia de prueba.  El factor de seguridad de 1,25. 

admisiblre 

0,75 x prueba …(3) 1,25

De las ecuaciones 1, 2 y 3 se tiene ahora que:

 diseño 

0,75 x prueba F 8175 N 8175 N 0,75 x prueba   admisiblre    At At 1,25 At 1,25

13625 Despejando se tiene: A t  prueba Ahora se puede calcular el área de esfuerzo de tracción mínima (A mínima) del perno para cada grado y compararlos con los datos de la Tabla 7.c: Tabla 7.d. Grado

2 5 8

Determinación del grado y diámetro

prueba

213 550 775

A mínima (mm 2)

63,97 24,77 17,58

Tabla 7.c d (mm)

A t (mm 2)

No cumple 7,0 28,86 6,0 20,12

De la Tabla 7.d se aprecia que existen dos pernos que satisfacen los requisitos de diseño, pero por consideraciones de costo se elige el perno de grado 5 de 7,0 mm de diámetro externo, en lugar del perno de grado 8 de menor diámetro (6,0 mm). Para calcular el torque ( T ): T =K d F =0,15 x 7,0 mm x 8175 N x (10-3 mm-1) m = 8,58 N m


19

Prob Resueltos 2.2.1

Recommend Documents