Preparação Para Prova Final de Matemática 9º Ano 3º Ciclo

PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 3º CICLO

MATEMÁTICA

Preparação para prova final do 3º ciclo

Luis Carrilho

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MATEMÁTICA

ÍNDICE PRINCIPAIS CONTEÚDOS | 7º ANO E 8ºANO

ESTATÍSTICA ....................................................................................................... 3 Tabela de frequências ............................................................................................................... 3 Tratamento de dados ................................................................................................................ 3

SEQUÊNCIAS ..................................................................................................... 4 Termos e ordem .......................................................................................................................... 4 Termo geral .................................................................................................................................. 4

SEMELHANÇA DE FIGURAS ............................................................................... 5 O que são figuras semelhantes................................................................................................. 5 Razão de semelhança ............................................................................................................... 5 Critérios de semelhança de triângulos .................................................................................... 5

POTÊNCIAS E NOTAÇÃO CIENTÍFICA .............................................................. 4 Regras das potências ................................................................................................................. 4 Notação científica ..................................................................................................................... 5

FIGURAS GEOMÉTRICAS E SÓLIDOS GEOMÉTRICOS ...................................... 7 Áreas de polígonos ..................................................................................................................... 7 Soma dos ângulos internos ........................................................................................................ 7 Área e perímetro do círculo ...................................................................................................... 7 Volume de sólidos ....................................................................................................................... 7 Unidades de volume e de capacidade ................................................................................. 7

RETAS E PLANOS NO ESPAÇO .......................................................................... 8 Posição relativa entre retas ....................................................................................................... 8 Posição relativa entre planos .................................................................................................... 8 Posição relativa entre uma reta e um plano .......................................................................... 8

SISTEMAS DE 2 EQUAÇÕES ............................................................................... 9 Método de substituição ............................................................................................................. 9 Classificação de sistemas de 2 equações .............................................................................. 9

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MATEMÁTICA

PRINCIPAIS CONTEÚDOS | 9ºANO PROBABILIDADES ............................................................................................ 10 Métodos auxiliares de contagem .......................................................................................... 10 Cálculo da probabilidade....................................................................................................... 10

FUNÇÕES ......................................................................................................... 11 Função afim............................................................................................................................... 12 Função de proporcionalidade inversa ................................................................................. 12 Função quadrática .................................................................................................................. 12

EQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................................................................ 12 Casos notáveis .......................................................................................................................... 12 Equações incompletas ............................................................................................................ 12 Equação completa .................................................................................................................. 12

CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................... 13 Relação entre a amplitude de ângulos e arcos correspondentes ................................... 13 Propriedades ............................................................................................................................. 13

LUGARES GEOMÉTRICOS ................................................................................ 14 No plano .................................................................................................................................... 14 No espaço ................................................................................................................................. 15

NÚMEROS REAIS .............................................................................................. 16 Conjuntos numéricos ................................................................................................................ 16 Operações com números reais .............................................................................................. 16 Intervalos de números .............................................................................................................. 16

INEQUAÇÕES .................................................................................................. 17 Resolução de inequações ...................................................................................................... 17 Conjunção e disjunção de inequações ................................................................................ 17

TRIGONOMETRIA ............................................................................................. 18 Razões trigonométricas ............................................................................................................ 18 Relações entre as razões trigonométricas............................................................................. 18



MATEMÁTICA

PRINCIPAIS CONTEÚDOS | 7º ANO E 8ºANO ESTATÍSTICA Tabela de frequências  

Frequência absoluta: número de vezes que se repete um dado Frequência relativa: quociente entre frequência absoluta e o número total de dados

Exemplo:  População: alunos do 5ºB  Variável: notas a matemática  Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3 Notas 1 2 3 4 5 Total

fa 1 6 6 6 1 20

fr 1: 20 = 0,05 6: 20 = 0,3 6: 20 = 0,3 6: 20 = 0,3 1: 20 = 0,3 1

Fr (%) 5 % (0,05 × 100) 30 % (0,3 × 100) 30 % (0,3 × 100) 30 % (0,3 × 100) 5 % (0,05 × 100) 100 %

Tratamento de dados    

Moda: dado que aparece mais vezes Média: quociente entre a soma de todos os dados e o número total de dados Extremos: valor mínimo e valor máximo Amplitude: Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo

Exemplo:  População: alunos do 5ºB  Variável: notas a matemática  Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Moda: 2, 3 e 4 Média:

1+2 ×6+3×6+4×6+5 20

=

1 + 12 + 18 + 24 + 5 20

=

60 20

=3

Mínimo: 1 Máximo: 5 Amplitude: 5 – 1 = 4



MATEMÁTICA

SEQUÊNCIAS Termos e ordem A cada número de uma sequência chama-se termo e a posição que ocupa na sequência chama-se ordem (n).

Termo geral É possível descobrir qualquer termo de uma sequência sabendo o seu termo geral.

Exemplos de termos gerais de sequências: 2, 4, 6, 8, 10, ...

2n (de 2 em 2)

3, 6, 9, 12, 15, ...

3n (de 3 em 3)

4, 7, 10, 13, 16, ...

3n + 1 (de 3 em 3 e começa no 4)

1, 2, 3, 4, 5, ...

n (de 1 em 1)

-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10) 1, 4, 9, 16, 25, ...

n2 (quadrados perfeitos)

1, 8, 27, 64, 125, ...

n3 (cubos perfeitos)

Como se descobre um termo de uma sequência através do seu termo geral: Termo geral: 2 × (n + 10) 2º termo (n = 2): 2 × (2 + 10)= 2 × 12 = 24

Como se descobre se um termo faz parte de uma sequência: Termo geral: 2 × (n + 10) O número 30 é termo da solução? 2 × (n + 10) = 30 2n + 20 = 30 2n = 30 – 20 2n = 10 n = 10 : 2 n=5

30 é termo da sequência (termo de ordem 5)



MATEMÁTICA

SEMELHANÇA DE FIGURAS O que são figuras semelhantes 

Figuras semelhantes têm a mesma forma e, por isso, ângulos correspondentes congruentes e lados diretamente proporcionais.

Razão de semelhança Ampliação l

Redução

L

L

Congruência

l

r=L:l>1

l

l

r=l:L<1

r=l:l=1

Como descobrir o comprimento de lados de figuras semelhantes: 2,5 -------------- 3 1,5 -------------- x

x

1,5 2,5

𝑥=

3

1,5 × 3 7,5 = =3 2,5 2,5

Critérios de semelhança de triângulos 





Critério AA o dois triângulos são semelhantes se tiverem dois ângulos correspondentes congruentes Critério LLL o dois triângulos são semelhantes se tiverem três lados diretamente proporcionais Critério LAL o dois triângulos são semelhantes se tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado congruente

Exemplos:

E

H 2

C F A

B

D

1 2,5

O

K

1,5

4

G I

P

2 5

J

3

L

N

4,5

1

M

[ABC] é semelhante a [ADE] segundo o critério AA pois:

[FGH] é semelhante a [IJK] segundo o critério LLL pois:

[LMN] é semelhante a [NOP] segundo o critério LAL pois:

BÂC = DÂE e ABC = ADE

5 : 2,5 = 2 : 1 = 4 : 2

4,5 : 3 = 1,5 :1 e LNM = ONP



MATEMÁTICA

POTÊNCIAS E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Regras das potências Na multiplicação:  com bases iguais, a base mantém-se e somam-se os expoentes  com expoentes iguais, o expoente mantém-se e multiplicam-se as bases 4𝟓 × 4 𝟑 = 4𝟖 𝟒3 × 𝟐 3 = 𝟖3

Na divisão:  com bases iguais, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes  com expoentes iguais, mantém-se o expoente e dividem-se as bases 4𝟓 : 4𝟑 = 4𝟐 𝟒3 : 𝟐3 = 𝟐3

Potência de potência:  multiplicam-se os expoentes (4𝟓 )𝟑 = 4𝟏𝟓

Potência com base negativa:  se o expoente for par, o resultado fica positivo  se o expoente for ímpar, o resultado fica negativo (−2)𝟐 = 4 (−2)𝟑 = −8

Potência com expoente negativo:  para colocar o expoente positivo coloca-se o inverso da base 1 −𝟓 ( ) = 3𝟓 3

Expoentes 1 e 0:  qualquer número elevado a 1 é igual a si próprio  qualquer número elevado a 0 é igual a 1 3𝟏 = 3 3𝟎 = 1

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MATEMÁTICA

Notação científica Colocar um número em notação científica:  colocar a vírgula de forma que a parte inteira seja um número de 1 a 9, e no expoente da base 10 colocar o número de vezes que andamos com a vírgula. Se andarmos com a vírgula para a direita o expoente fica negativo, e se andarmos para a esquerda fica positivo. 0,000000005486 = 5,486 × 10−9 1545600000000 = 1,5456 × 1012

Comparar números em notação científica:  se os expoentes das potências de base 10 forem iguais, será maior aquele em que o número que antecede a potência é maior  se os expoentes das potências de base 10 forem diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente 𝟐, 𝟓𝟖𝟒 × 10−9 < 𝟓, 𝟒𝟖𝟔 × 10−9 2,584 × 10𝟓 > 5,486 × 10−𝟗

Operações com números em notação científica:  multiplicação:  divisão:



(𝑎 × 10𝑛 ) × (𝑏 × 10𝑚 ) = = (𝑎 × 𝑏) × 10𝑛+𝑚

(𝑎 × 10𝑛 ) ÷ (𝑏 × 10𝑚 ) = = (𝑎 ÷ 𝑏) × 10𝑛−𝑚

(2,54 × 105 ) × (3,2 × 10−3 ) = = (2,54 × 3,2) × 105+(−3) = = 8,128 × 102

(2,54 × 105 ) ÷ (3,2 × 10−3 ) = = (2,54 ÷ 3,2) × 105−(−3) = = 0,79375 × 108 = = 7,9375 × 107

adição e subtração: 1. Na adição e subtração primeiro temos de colocar as potências de base 10 iguais 2. Só depois fatorizamos a expressão, colocando em evidência a potência comum de base 10 e efetuamos os cálculos dentro de parênteses

(𝟐, 𝟓𝟒 × 𝟏𝟎𝟓 ) + (3,2 × 103 ) = (𝟐𝟓𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 ) + (3,2 × 103 ) = (254 + 3,2) × 103 = 257,2 × 103 = 2,572 × 105

(𝟐, 𝟓𝟒 × 𝟏𝟎𝟓 ) − (3,2 × 103 ) = (𝟐𝟓𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 ) − (3,2 × 103 ) = (254 − 3,2) × 103 = 250,8 × 103 = 2,508 × 105



MATEMÁTICA

FIGURAS GEOMÉTRICAS E SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Áreas de polígonos 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑏 × 𝑎

𝐴 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑙 × 𝑙 𝐴 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝑏×𝑎 2

𝐴 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 =

𝐴 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑐 × 𝑙 𝐴 𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =

𝐵+𝑏 ×𝑎 2

𝐴 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =

𝐷×𝑑 2

𝑃 × 𝑎𝑝 2

Soma dos ângulos internos 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) × 180𝑜

Área e perímetro do círculo 𝐴 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟 2

𝑃 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑑

Volume de sólidos 𝑉 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑠 = 𝐴𝑏 × 𝑎 𝑉 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑉 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =

𝐴𝑏 × 𝑎 3

3𝜋𝑟 4

Unidades de volume e de capacidade  

Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml

m3 = kl dm3 = l cm3 = ml


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MATEMÁTICA

RETAS E PLANOS NO ESPAÇO Posição relativa entre retas Estritamente Paralelas Paralelas Coincidentes

Complanares (pertencem ao mesmo plano)

Perpendiculares

Não complanares

Concorrentes (ou secantes)

(não pertencem ao mesmo plano)

Oblíquas

Posição relativa entre planos Estritamente Paralelos Paralelos Coincidentes

Perpendiculares Concorrentes (ou secantes)

Oblíquos

Posição relativa entre uma reta e um plano Estritamente Paralela Paralela Contida

Perpendicular Concorrente

(ou secante) Oblíqua



MATEMÁTICA

SISTEMAS DE 2 EQUAÇÕES Método de substituição 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Colocar na forma canónica Isolar uma das incógnitas de uma das duas equações Substituir a incógnita na outra equação pela expressão equivalente Resolver essa equação Substituir a incógnita na outra equação pelo seu valor Resolver essa equação e apresentar o conjunto-solução

2𝑥 − 𝑦 = 19 + 2𝑦 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 = 19 2𝑥 − 3𝑦 = 19 2𝑥 − 3𝑦 = 19 1. { <=> { <=> { <=> { 4𝑥 + 8 + 𝑦 = 2 4𝑥 + 𝑦 = 2 − 8 4𝑥 + 𝑦 = −6 4(𝑥 + 2) + 𝑦 = 2 2𝑥 − 3𝑦 = 19 2. { 𝑦 = −6 − 4𝑥 3. {2𝑥 − 3(−6 − 4𝑥) = 19 −−− 1 2𝑥 + 18 + 12𝑥 = 19 2𝑥 + 12𝑥 = 19 − 18 14𝑥 = 1 4. { <=> { <=> { <=> {𝑥 = 14 −−− −−− −−− −−−

−−− 5. {𝑦 = −6 − 4 ( 1 ) 14

−−− 6. {𝑦 = −6 −

1 −−− 𝑥= 14 42 2 <=> {𝑦 = − − <=> { 40 14 7 7 𝑦=− 4

1

40

14

7

C.S.= ( ; − )

7

Classificação de sistemas de 2 equações Sistema possível e determinado

Sistema possível e indeterminado

Sistema impossível

As retas cruzam-se num ponto, sendo as suas coordenadas o conjunto-solução

As retas são coincidentes, sendo por isso indeterminado o conjunto-solução

As retas são paralelas, e como não se intersetam não existe conjuntosolução



MATEMÁTICA

PRINCIPAIS CONTEÚDOS | 9ºANO PROBABILIDADES Métodos auxiliares de contagem 

Tabela de dupla entrada

Experiência: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar a sua cor. Com reposição:

Sem reposição:

A

V

P

A

V

P

A

(A,A)

(A,V)

(A,P)

A

-

(A,V)

(A,P)

V

(V,A)

(V,V)

(V,P)

V

(V,A)

-

(V,P)

P

(P,A)

(P,V)

(P,P)

P

(P,A)

(P,V)

-

- 9 casos possíveis




Diagrama em árvore

Experiência: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar a sua cor. Com reposição:

A V P

Sem reposição: A V P A V P A V P

(A,A) (A,V) (A,P) (V,A) (V,V) (V,P) (P,A) (P,V) (P,P)

A V P

V P A P A V

(A,V) (A,P) (V,A) (V,P) (P,A) (P,V)



Cálculo da probabilidade 

Lei de La Place 𝑃(𝐴) =


𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠

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MATEMÁTICA

FUNÇÕES Função Afim Constante

Linear

Nem constante nem linear

Do tipo: 𝒚 = 𝒃

Do tipo: 𝒚 = 𝒌𝒙

Do tipo: 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒃

𝑏 – ordenada na origem, ou seja, onde a reta intersecta o eixo y

𝑘 – declive da reta

𝑏 – ordenada na origem

𝑘=

𝑦 𝑥

𝑘 – declive da reta 𝑘=

Função de proporcionalidade inversa

Do tipo: 𝒚 =

𝒌 𝒙

𝑘 – constante de proporcionalidade direta

𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2

Função quadrática

Do tipo: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 𝑎=

𝑦 𝑥2

𝑘 = 𝑦𝑥



MATEMÁTICA

EQUAÇÕES DO 2º GRAU Casos notáveis (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2

Equações incompletas Do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

Do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

4𝑥 2 = 0 <=>

4𝑥 2 − 16 = 0 <=>

4𝑥 2 − 16𝑥 = 0

<=> 𝑥 2 =

0 <=> 4

<=> 𝑥 2 = 0 <=>

<=> 𝑥 2 =

16 <=> 4

𝑥(4𝑥 − 16) = 0 𝑥 = 0 ⋁ 4𝑥 − 16 = 0

<=> 𝑥 2 = 4 <=>

𝑥 =0⋁𝑥 =

<=> 𝑥 = ±√4 <=>

16 4

𝐶. 𝑆. = {0} 𝐶. 𝑆. = {0; 4}

𝐶. 𝑆. = {−2; 2}

Equação completa Do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 <=> <=> 𝑥 =

−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−8) <= 2(1) >

<=> 𝑥 =

2 ± √4 + 32 <=> 2

<=> 𝑥 =

16 ± √36 <=> 2

<=> 𝑥 =

16 + 6 16 − 6 ⋁𝑥 = <=> 2 2

Fórmula resolvente:

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

<=> 𝑥 = 11 ⋁ 𝑥 = 5 <=>

𝐶. 𝑆. = {5; 11}



MATEMÁTICA

CIRCUNFERÊNCIA Relação entre a amplitude de ângulos e arcos correspondentes Ângulo ao centro

Ângulo inscrito A

A O

𝐴Ô𝐵 = 𝐴𝐵

O

𝐴Ô𝐵 =

B

B

Ângulo com vértice no interior da circunferência

Ângulo com vértice no exterior da circunferência

A

C

𝐴𝐵 2

𝐴Ô𝐵 =

O

𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 2

C

O

A

D

𝐴Ô𝐵 =

𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 2

D B

B

Propriedades Propriedade 1



A

C

AÔB = CÔD, então AB = CD e AB = CD

O D



A ângulos ao centro com a mesma amplitude correspondem cordas e arcos congruentes

B

Propriedade 2

A

Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem 90º AB é diâmetro, então AÔB é um ângulo reto

O B



Propriedade 3 C

A reta tangente à circunferência é perpendicular ao seu raio (e diâmetro) no ponto de tangência

A O

AB é diâmetro, então CÂB é um ângulo reto B


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MATEMÁTICA

LUGARES GEOMÉTRICOS No plano C r

Circunferência  Conjunto de pontos, no plano, cuja distância ao ponto C é igual a r

C r

Círculo  Conjunto de pontos, no plano, cuja distância ao ponto C é igual ou inferior a r

C r

Zona interior da circunferência  Conjunto de pontos, no plano, cuja distância ao ponto C é inferior a r

C r

Zona exterior da circunferência  Conjunto de pontos, no plano, cuja distância ao ponto C é superior a r

A

B

A

B

B A

Mediatriz  Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A e B

Zona limitada por uma mediatriz  Conjunto de pontos, no plano, mais próximos do ponto A do que do ponto B

Circuncentro  Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A, B eC (ponto de interseção entre as mediatrizes dos segmentos de reta [AB], [BC] e [AC])

C

Bissetriz  Conjunto de pontos, no plano, equidistantes às semirretas AB e AC

B A C B A

C

Incentro  Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos segmentos de reta AB, BC e AC (ponto de interseção entre as bissetrizes dos segmentos de reta [AB], [BC] e [AC])


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MATEMÁTICA

No espaço

A

r

Superfície esférica  Conjunto de pontos, no espaço, cuja distância ao ponto C é igual a r

r

Esfera  Conjunto de pontos, no espaço, cuja distância ao ponto C é igual ou inferior a r

B

Plano Mediador  Conjunto de pontos, no espaço, equidistantes aos pontos A e B



MATEMÁTICA

NÚMEROS REAIS Conjuntos numéricos ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} – números naturais ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} – números inteiros ℚ = ℤ ⋃ {números fracionários} – números racionais o o

Dízimas finitas – Ex: 1,5 Dízimas infinitas periódicas – Ex: 1,(5)

ℝ = ℚ ⋃ {números irracionais} – números reais o

Dízimas infinitas não periódicas – Ex: 1,568365439875…

Operações com números reais 3𝜋 + 2𝜋 = 5𝜋 3√2 + 2√2 = 5√2 3√2 + 5√3 + 2√3 = 3√2 + 7√3 3√2 (2√5 − 4) = 6√10 − 12√2 (√2 + 3√5)2 = (√2)2 + 2(√2)(3√5) + (3√5)2 = 2 + 6√10 + 9(5) = 2 + 6√10 + 45 = 47 + 6√10 (2 + √5)(2 − √5) = 22 − (√5)2 = 4 − 5 = −1 √8 √2

= √4 = 2

Intervalos de números Condição

Representação geométrica

{𝑥𝜖ℝ: 𝑥 ≥ 3}

Intervalo de números [3 ; +∞[

+∞

3

{𝑥𝜖ℝ: 3 ≤ 𝑥 < 5}

[3 ; 5[ 3

5

{𝑥𝜖ℝ: 𝑥 ≥ 3 ⋀ 1 ≤ 𝑥 < 5}

[3 ; 5[ 1

3

5

+∞

{𝑥𝜖ℝ: 𝑥 ≥ 3 ⋁ 1 ≤ 𝑥 < 5}

[1 ; +∞[ 1

3

5

+∞



MATEMÁTICA

INEQUAÇÕES Resolução de inequações As inequações resolvem-se tal como as equações. No entanto, deve-se ter atenção aos seguintes casos: 

Quando o termo dependente é positivo, mantém-se o sentido do sinal >, ≥, < 𝑜𝑢 ≤ 2𝑥 > 4 <=> 4 <=> 𝑥 > <=> 2 <=> 𝑥 > 2



Quando o termo dependente é negativo, altera-se o sentido do sinal >, ≥, < 𝑜𝑢 ≤ para o tornar positivo −2𝑥 > 4 <=> <=> 2𝑥 < −4 <=> 4 <=> 𝑥 < − <=> 2 <=> 𝑥 < −2

Conjunção e disjunção de inequações 

Conjunção entre condições - ⋀ o Tem como conjunto-solução a interseção dos conjuntos-solução de cada uma das condições - ∩

−2𝑥 > −4 ⋀ 𝑥 + 10 ≥ 10 <=> <=> 2𝑥 < 4 ⋀ 𝑥 ≥ 10 − 10 <=> 4 <=> 𝑥 < ⋀ 𝑥 ≥ 0 <=> 2 <=> 𝑥 < 2 ⋀ 𝑥 ≥ 0



-∞

0

2

+∞

𝐶. 𝑆. = [0 ; 2[

Disjunção entre condições - ⋁ o Tem como conjunto-solução a reunião dos conjuntos-solução de cada uma das condições - ∪

−2𝑥 > −4 ⋁ 𝑥 + 10 ≥ 10 <=> <=> 2𝑥 < 4 ⋁ 𝑥 ≥ 10 − 10 <=> <=> 𝑥 <

4 2

⋁ 𝑥 ≥ 0 <=>

<=> 𝑥 < 2 ⋁ 𝑥 ≥ 0

-∞

0

2

+∞

𝐶. 𝑆. = [−∞ ; +∞[



MATEMÁTICA

TRIGONOMETRIA Razões trigonométricas ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ ∝

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

sin ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝

tan ∝=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Como descobrir o comprimento de um lado de um triângulo sabendo a amplitude de um ângulo e o comprimento de um outro lado: tan ∝ = 5

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

5 <=> 𝑥 5 <=> 𝑥 = <=> tan 30° <=> 𝑥 ≅ 8,67 tan 30° =

30° 𝑥

Como descobrir a amplitude de um ângulo sabendo o comprimento de dois lados: sin ∝ = 5

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

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5 <=> 10 <=> ∝ = tan−1 (0,5) <=> <=> ∝ ≅ 26,57° sin ∝ =

∝

Relações entre as razões trigonométricas sin ∝2 + cos ∝2 = 1 tan ∝=

sin ∝ cos ∝


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