Pratique de l’économétrie des séries chronologiques à travers des exemples
Plan du cours › Définition et présentation d’une série chronologique › Étude des composantes d’une série chronologique › Élimination des variations › Analyse des composantes stochastique d’une série › Étude des caractéristiques statistiques (stationnarité) › Présentation de modèles (AR, MA, ARMA) › Présentation de la méthodologie Box Jenkins
Présentation › Une série est une suite d’observation ordonnées en fonction du temps › Exemple :
Effectif annuel de la population Chiffre d’affaire annuel de la production intérieur brute Niveau mensuel de l’indice des prix CA mensuel d’une entreprise Nombre de salariés d’un établissement à la fin de chaque mois ….
Présentation Le champ d’application de l’économétrie dans la finance › Déterminer le prix du risque. › Estimer empiriquement le risque. › Appréhender empiriquement le degré d’efficience du marché. › Mesurer la performance du portefeuille. › Analyser de la volatilité.
Présentation Pour élaborer une étude d’une série chronologique : 1. Analyse statistique : › Présentation graphique (Stat descriptives) › Élimination des composantes (trend, saison, cycle,..) 2. Étude des les caractéristi caractéristiques ques stochastiques (E(x) et V(x)) › Analyser et modéliser les processus générateur des données › Étude de la stationnarité › Estimer › Prévoir
Présentation Définition : La périodicité des observations: Mensuelle Trimestrielle Annuelle Hebdomadaire Journalière Horaire
Présentation Prérequis du cours: › Statistiques, probabilité, et techniques quantitatives Il faut associer une manipulation exacte des logiciels d’économétrie. › Eviews, R, STA STATA, SPSS, MATLAB, MATLAB, …
Présentation › Historiquement se sont les astronomes qui les premiers ont travaillé
sur les séries chronologiques. La reproduction ci-après est tiré d’un manu manusc scri ritt du dixi dixièm èmee sièc siècle le,, repr représ ésen enta tant nt l’inclinaison des orbites des planètes en fonction du temps.
Présentation Rappels: › Une chronique est une suite finie de valeurs numériques représentant l’évolution d’une variable aléatoire indexé par le temps. › L’objet des séries temporelles est donc l’étude des processus
temporels .
› Le grand objectif de l’étude des séries chronologique est la
modélisation des processus afin de faire des prévisions.
Présentation Nous allons pour cela appliquer quatre étapes importantes : › Présenter la série chronologique. › Modélisation de la série chronologique › Calcul des trois composantes de la chronique › Faire de prévisions
Présentation En effet, le traitement des séries temporelles peut avoir plusieurs objectifs: › Isoler et estimer une tendance, › Isoler et estimer une composante saisonnière, et désaisonnaliser la
série, › Réaliser une prévision pour des valeurs inconnues manquantes, futures ou passées, › Construire un modèle explicatif en termes de causalité, › Déterminer la durée d’un cycle.
Schéma d’analyse et composantes d’une série Les composantes d’une série chronologique : › La composante tendancielle ou tendance (trend) LT › La composante saisonnière (saison) › La composante aléatoire (erreur) Les modèles de composition › Schéma additif › Schéma multiplicatif › Schéma multiplicatif deuxième type
× × ×
Schéma d’analyse Le modèle additif : est plus approprié dans le cas de séries dont la composante saisonnière est constante dans le temps Le modèle multiplicatif : convient plus aux séries comportant une partie saisonnière qui décroit ou croit dans le temps
Schéma d’analyse › Exemple : Soit la série
chronologique suivante obse ob serrvé véee trim trimes esttriel rielle leme ment nt pendant 6 ans:
1er trimestre nnée 1 nnée 2 nnée3 nnée 4 nnée 5 nnée 6
89,658 96,205 99,602 103,272 105,637 111,118
2e trimestre 3e trimestre 4e trimestre 97,593 108,906 114,157 99,399 112,763 119,185 105,192 116,556 121,911 109,644 121,208 126,508 113,428 125,641 131,147 117,215 129,776 133
133 128 123 118 113 108 103 98 93
Le modèle additif
Schéma d’analyse
1er trimestre trimestre Année 1
› Exemple : Soit la série
chronologique suivante obser ob servée vée trim trimes estr trie iell llem emen entt pendant 6 ans:
Année 2 Année3 Année 4 Année 5 Année 6
224,3705 274,3802 331,9657 406,6326 488,4166 598,0016
2e trimestre 253,2811 300,1641 371,4032 437,9967 536,5268 659,2896
3e trimestre 4e trimestre 201,2421 248,9411 248,9038 298,4386 303,4313 365,9029 361,5774 444,8447 435,5698 549,3614 533,2156 669,2675
651 601 551 501 451 401 351 301 251
Le modèle multiplicatif
Les composantes d’une série chronologique La tendance est un lieu géométrique simple qui peut être une droite ou une courbe. La détection du Trend Trend se fait fait en utilisa utilisant nt la : › Pr em emii è r e mé mé t h ode : On constate à partir de l’analyse graphique que la série chronologique est oscille autour d’une droite, on conclut donc que le trend est une droite. › D eu euxx i è me mé th od ode e : On constate sur le dessin que les pics des
maxima et des minima peuvent s’ajuster s s’ajuster sur une droite : donc le trend est est un unee droit roite. e.
Exemple illustratif Soit la série chronologique sui correspond aux ventes enregistrés pendant la période 2006-2009, les données sont trimestrielles (en Milliers ers de DHS) sont prése ésentées ées dan anss le tab ablleau suivan antt :
Exemple illustratif La représentation graphique de la série chronologique 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
≤≤;=
Yt
C’est un modèle ou un schéma multiplicatif , car on peut remarquer que le deux droites délimitant les maxima et les minima se croisent
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 1. D é termi ter mi n ati on du Tr en d Maintenant pour déterminer le trend, on devra le calculer par la méthode des
Moindres carrés ordinaires (MCO). Nous allons calculer la droite de trend qui prend prend la forme forme suivante suivante : Avec
, ×
Notre équation estimée prend la forme de : D’où:
0,4647 20,425
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 1. D é termi ter mi n ati on du Tr en d
30 11 12 36 32 12 13 37 33 13 15 39 35 14 17
20,8897059 21,3544118 21,8191176 22,2838235 22,7485294 23,2132353 23,6779412 24,1426471 24,6073529 25,0720588 25,5367647 26,0014706 26,4661765 26,9308824 27 3955882
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 2. D é term ter m i n at atii on des composan com posantes tes sai sai son sonn ni è r es › Remarque :
Nous disposons des données trimestrielles › Nous avons quatre saisons en référence à une année. On les appelle,
les coefficients saisonniers et ils sont obtenus grâce à la formule suiv suivan ante te :
1
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 2. D é term ter m i n at atii on des composan com posantes tes sai sai son sonn ni è r es
1 21;2;;1;6;5;190;;1134 43;4;;3;8;7;112;1;1165 ;
coefficient saisonnier relatif à la › Par exemple pour le calcul du coefficient deuxième saison :
› Pour les coefficients saisonniers nous avons quatre :
Donc nous avons :
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 2. D é term ter m i n at atii on des composan com posantes tes sai sai son sonn ni è r es
1
› Exemple de calcul du coefficient saisonnier relatif à la deuxième
sais saison on :
14 0,0,44647×220, 4 25 647×620, 4 25 0, 04,4647×1420, 647 × 10 204,42525 25,0720588 0,4647 20,425 1 11 12 13 14 0,52 4 21,354 23,213 25,072 26,931 = 21,3544118
= 23, 2132353
= 26,9308824
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 2. D é term ter m i n at atii on des composan com posantes tes sai sai son sonn ni è r es › Bien sur
0,1,3582
De la même manière nous pouvons calculer les autres coefficients saisonniers La détermination de la variable « vente » corrigée des variations saisonnières s’effectue à partir de la relation suivante : Par exemple pour
0,1,5583 14 , ;1 14 , 27,05
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 3. D é term ter m i n at atii on de l a com composan posante te al al é atoi at oi r e › Le Schéma retenu est un schéma multiplicatif › La troisième composante est la composante aléatoire
Par exemple pour
14 × 140,52×26,9310,06
× ×
2006
2007
2008
2009
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
30 30 11 11 12 12 36 32 32 12 12 13 13 37 33 33 13 15 39 39 35 14 17
20,8897059 21,3544118 21,8191176 22,2838235 22,7485294 23,2132353 23,6779412 24,1426471 24,6073529 25,0720588 25,5367647 26,0014706 26,4661765 26,9308824 27,3955882
1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58
1,24 -0,05 -0,58 1,91 0,68 -0,02 -0,66 0,06 -0,87 0,02 0,27 -0,78 -1,43 0,06 1,20
,
21,7932045 21,2517546 20,8068107 23,5308615 23,2460848 23,1837323 22,5407116 24,1844965 23,972525 25,11571 26,0085134 25,4917666 25,4254053 27,0476877 29,4763152
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e D r oi oite te 3. D é term ter m i n at atii on de l a com composan posante te al al é atoi at oi r e Yt
45
Ct
Yt cvs
40 35 30 25 20 15 10 5 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tr ai aiton tonss l e cas oùl e Tr en d es est un u n e Cou Courr be 1. D é termi ter mi n at atii on de la l a composan com posante te sai saisson onn ni è r e et l e tr end
› Nous proposant la méthode des moyennes moyennes mobiles › Objectif : lisser et désaisonnaliser la série › Définition : La méthode de lissage par la Moyenne Mobile est une
paramé amétri trique que qui permet de reproduire le plus méthode non par tend ndan ance ce, tout en éliminant le résidu. fidèle èlemen entt possible la te L’avantage de cette méthode est qu’elle ne fait pas d’hypothèse sur la ten enda danc nce, e, qu quii peu eutt av avooir un unee for forme que uellco conq nque ue.. › Mise en œuvre: On utilise de préférence des moyennes mobiles nonpondérées d’ordre égal à la période. Exemple d’ordre 7 po pour ur de dess do donn nnée éess jou journal rnaliè ière res, s, d’ordre 12 po pour ur de dess do donn nnée éess men ensu suel ellles. es.
Définition d’une moyenne mobile
++/+ + + = + 0, 1 , …
› On appelle moyenne mobile de longueur
la série , l’opération transformant celle-ci en une nouvelle série par le calcul des moyennes successifs : +…+
› Si
est impair : le problème ne se pose pas › Si est pair : moyenne mobile pondérée.
Exemple illustratif › Prenons comme exemple les données suivantes, où est enregistré dans
le tableau qui suit les variations de l’indice des prix d’une marchandise de 1980 jusqu’au 1987. 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Trimestre1 295 Trimestre2 317,5 Trimestre3 314,9 Trimestre4 321,4
324,7 372,9 354 323,7 380,9 345,7 322,5 353 319,5 332,9 348,9 317,6
4
333,7 323,9 312,8 310,2
323,2 342,9 300,2 309,8
304,3 285,9 292,3 298,7
312,5 336,1 295,5 318,4
› Nous avons des observations périodiques faisant référence au trimestre,
donc nous avons quatre trimestres (qui représente un chiffre pair). demi -poids › on utilise une moyenne mobile d’ordre impaire accordant un demi-poids
MM
IP 1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Trimestre1
295
Trimestre2
317,5
Trimestre3
314,9
Trimestre4
321,4
Trimestre1
324,7
Trimestre2
323,7
Trimestre3
322,5
Trimestre4
332,9
Trimestre1
372,9
Trimestre2
380,9
Trimestre3
353
Trimestre4
348,9
Trimestre1
354
Trimestre2
345,7
Trimestre3
319,5
Trimestre4
317,6
Trimestre1
333,7
Trimestre2
323,9
Trimestre3
312,8
Trimestre4
310,2
Trimestre1
323,2
Trimestre2
342,9
Trimestre3
300,2
Trimestre4
309,8
Trimestre1
304,3
Trimestre2
285,9
Trimestre3
292,3
Trimestre4
298,7
Trimestre1
312,5
Trimestre2
336,1
Trimestre3
295,5
Trimestre4
318,4
MMC 312,2=1/4*(295+317,5+314, 312,2=1/4*(295+317,5+314,9+321,4) 9+321,4)
312,2 319,6 321,2 323,1 326,0 338,0 352,3 359,9 363,9 359,2 350,4 342,0 334,2 329,1 323,7 322,0 320,2 317,5 322,3 319,1 319,0 314,3 300,1 298,1 295,3 297,4 309,9 310,7 315,6
315,9 320,4 322,1 324,5
322,1=1/2(321,2+323,1)
332,0 345,2 356,1 361,9 361,6 354,8 346,2 338,1 331,7 326,4 322,8 321,1 318,8 319,9 320,7 319,1 316,7 307,2 299,1 296,7 296,3 303,6 310,3 313,2
Chaque trimestre est affecté du même poids, mais mais cette méthode méthode est moins avantageuse car la moyenne mobile est plus étendue. Donc, plus des données seront « perdues » aux extrémités de la série.
Exemple illustratif 390
370
350
330
310
290
270
250
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 2 6 27 2 7 28 2 8 29 2 9 30 3 0 31 3 1 32 32
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité additive. › Soit la série suivante, représentant l’évolution mensuelle des entrées de touristes au Maroc de 1999 à 2001
Représentation graphique : 350
300
250
200
150
100
L I N T T E E E E R R S L I N T T E E E E R R S L I N T T E E E E R R S I I A I I A I A I E Û E Û R R R R E E R E E E R R R R R R E E R R R M U L Û R R R R M U L O B B B M U L O B B B A A A O B B B
JANVIER FÉVRIER MARS AVRIL MAI JUIN JUILLET AOÛT SEPTEMBRE OCTOBRE
1999 120 151 191 199 172 184 291 256 192 205
2000 143 170 211 254 182 187 303 262 196 211
2001 144 193 228 270 209 196 310 251 184 162
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité additive. › Graphique des courbes superposées superposées : › Le graphe montre une évolution à dent de scie avec des valeurs extrême
haute (Juillet = vacances). Les données ne semblent pas présenter des don onné néees an anor orma male less (sau (sauff les les atta attaqu ques es du 11/9) 1/9).. ser la saison onnnalité, on trace › Pour visualiser le grap graphi hiqu quee de dess co cour urbe bess supe superp rpos osée ées. s. › L’amplitude constante montre qu’il s’ag s’agit it d’un d’unee saison saisonnal nalité ité add additi itive. ve. 300
250
200
150
100
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité additive. › Calcul de la moyenne mobile mobile › La calcul de la moyenne mobile sur 12 mois a été effectué sur
ordinateur
350
300
250
200
150 Yt 100
MMC
… … … … … … … … … … … I I I R R S L N T T E B M N T T E B M N T T E B M I A I I A I I A I M R R S L M R R S L E T E T E T Û Û Û E E R E E R E E R O O O E E E I E E I R M U L R M U L I I A R M U L T V C I T V C I T V V R V J L O P V R A V J L O P V R A V J L O P E E E A A A C C C M M M
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité additive. coefficients saisonniers › Le calcul des coefficients
′′
› On calcul les différences à la moyenne mobile
› On calcul la synthèse de ces écarts (deux cas soit le moyenne des
écarts, soit la valeur médiane des écarts) sont des premières estimations des coefficients saisonniers :
› Puisque par définition la somme des coefficients saisonniers doit être
nulle. › On calcul des estimations des coefficients saisonniers par correction proportionnelle des premières estimations
)
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité additive. › Etablissement de la série corrigée des variations saisonnières saisonnières › Les données corrigées sont obtenues en réduisant les données
brutes par le coefficient saisonnier saisonnier du trimestre correspondant:
′′
› Les calculs ont été réalisés sous Excel
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité additive. La représentation graphique
Yt
300
Ycvs
250
200
150
100
R R S L I E E R I I I N T E E V R A R A I T E Û E E R N V M V M U R J L L O B R A É A I B R R E R J F E I U A M O B B I J E T M M V R T C E E N V É P O V C A E O É J F S N D
S L I R I A N T I E T A R V Û M A M U J L L I O U A J
1999
2000
E E R R B B M O E T T C P O E S
E E R R R R S E E R I L I B B I I N T M M V R A R A I E E N V M V M U E L J L A V C A É I J F É O U J N D
2001
T Û O A
E R B M E T P E S
E R B O T C O
E E R R B B M M E E V C O É N D
Yt
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité multiplicative › Soit le tableau suivant de l’indice trimestriel de la production
industrielle, base 100 en 1962. Représentation graphique : 170 160 150
1 trim trimes estr tree 1962 110,3 1963 101 1964 115,6 1965 115,1 1966 124,8 1967 129,4 1968 138,5 1969 149,5
2 trim trimes estr tree 102,9 109,8 119,2 119,5 129 131,8 120,1 157,1
3 trim trimes estr tree 88,4 94,1 97,7 101,1 109,3 110,2 120,8 130,8
4 trim trimes estr tree 107,3 116,1 120,3 127,4 133,6 136,4 154,4 166,5
140 130 120 110 100 90 80
La rep epré rése sent ntaati tion on gra rap phi hiqu quee me mett en évid év iden ence ce de dess vari riaati tioons sa sais isoonn nniè ièrres impor imp orta tant nte, e, ne pe perm rmet et pa pas, s, te telle lle qu quell elle, e, unee an un anal alys ysee sa sati tisf sfai aisa sant ntee de dess te tend ndan ance cess d’évolution de la production industrielle: la cor corre recti ction on des var variat iation ion sai saison sonniè nière ress
Exemple numérique : traitement d’une série ayant une saisonnalité multiplicative › Graphique des courbes superposées superposées :
170
Deux anomalies apparaissent:
160
150
Le 1er trimestre 1963 et le 2 éme trimestre 1968
140
1969 130
1966
1968
120
1967
1964
110
1965
Pour le calcul de la moyenne mobile et les rapports saisonniers, ces données « an anor orma male less »o »ont nt été corr corrig igée ées. s.
1963
100
90
1962
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité multiplicative › Vue 3D 170
160
150
140
130
120 1969
110
1968 1967
100 1966 1965
90 1964
80
1963
1 trimestre 2 trimestre
1962
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité multiplicative Calcul de la moyenne mobile › La calcul de la moyenne mobile sur 4 trimestres a été effectué sur ordinateur Moyenne mobile 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80
Réel Ré el
Pré révi visi sion on
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité multiplicative Le calcul des coefficients saisonniers
› On calcul les rapports à la moyenne mobile
› On calcul la synthèse de ces rapports (deux cas soit le moyenne des
rapports, soit la valeur médiane des rapports) sont des premières estimations des coefficients saisonniers :
› Puisque par définition la somme des coefficients saisonniers doit égale à
4 (nombre de trimestres). › On calcul des estimations des coefficients saisonniers par correction proportionnelle des premières estimations estimations
′′ ×
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité multiplicative Etablissement de la série corrigée des variations saisonnières › Les données corrigées sont obtenues en division les données brutes par
le coefficient saisonnier du trimestre correspondant:
′′
› Les calculs ont été réalisés sous Excel
Exemple numérique : Traitement Traite ment d’une série ayant une un e saisonnalité multiplicative La représentation graphique
170 160
Série Sér ie Bru Brute te
Ycvs Ycv s
150 140 130 120 110 100 90 80
e e e e r r t r r e r e e e e s t r r s t t r r r e e e s t t e e s s t t e e s r r r e e e s t t e e s t t t m m m r r e s t e e s i i r e e e e s m e t t r i r r m e s r i m m m e e s t t t r r i r r e i s t e s r i r e m m m s t t e s e e e r r i t t r r i e 1 2 3 t t t r i e e s m m m r r i r r e t t i e s s t S… 4 1 2 t t t r r i e s r e m i e s s t t r e r m i e s 3 4 1 t t t r e m m m r r i e e e t r r t i t e e s s t r i 2 3 4 t e t t t s r r m i t e s r m r i t e e 1962 m m 1 2 3 t r r i t e s r i m m e s 4 1 2 t t t r i 1963 r i e s m m r i e s 3 4 1 t t r i e m m t 1964 r i t i r m i t 2 r m t t r i 3 4 m 1965 t r i 1 2 r i r 3 4 1 t t 1966 t 2 3 1967 4
1968
1969
Questions pour comprendre
11
› Soit :
Q? est ce que c’est un modèle additif ? › Décomposer une série consiste a estimer, pour chaque date, les valeurs de la composante Ct et de la composante St? Vrai / faux › Il existe deux grandes catégories de méthodes de décomposition utilisées: Méthodes analytiques
Vrai / faux
Méthodes empiriques
Vrai / faux
Méthodes paramétriques Méthodes
Vrai / faux
non paramétriques Vrai / faux
Questions pour comprendre › Les hypothèses sur les composantes Ct et St de la méthode analytique/
paramétrique, sont : Vrai / faux Le mouvement saisonnier est une fonction périodique de période p Le mouvement conjoncturel est une fonction linéaire du temps. › Parmi les avantages de la méthode analytique : Vrai / faux Elle jouit des fondements théoriques solides. Permet d’évaluer la variance de paramètres estimés. Applicable aux séries dont la tendance extra-saisonnière est représentée par une fonction analytique : linéaire, exponentielle, polynôme, etc.
Questions pour comprendre › Les méthodes empiriques/non paramétriques ne supposent aucune
hypothèse sur l’allure du mouvement extra-saisonnier extra -saisonnier Vrai / faux
›
Pratique de l’économétrie des séries chronologiques à travers des exemples
Présentation du Problème › Introduction :
Pour présenter des concepts théoriques de l’analyse des séries chrron ch onol oloogiqu giques es,, il est est util utilee d’envisager à d’envisager à titre d’exemple plusieurs d’exemple plusieurs séries temporelles temporelles macroéconom macroéconomiques iques
TRIMESTRE 1970 – 1970 –II 1970 – 1970 –III 1970 –I –III 1970 – 1970 –IIV 1971 – 1971 –II 1971 – 1971 –III 1971 –I –III 1971 – 1971 –IIV 1972 – 1972 –II 1972 – 1972 –III 1972 –I –III 1972 – 1972 –IIV 1973 – 1973 –II 1973 – 1973 –III 1973 –I –III 1973 – 1973 –IIV 1974 – 1974 –II 1974 – 1974 –III 1974 –I –III 1974 – 1974 –IIV 1975 – 1975 –II 1975 – 1975 –III 1975 –I –III 1975 – 1975 –IIV 1976 – 1976 –II 1976 – 1976 –III 1976 –I –III 1976 – 1976 –IIV 1977 – 1977 –II 1977 – 1977 –III 1977 –I –III 1977 – 1977 –IIV 1978 – 1978 –II 1978 – 1978 –III 1978 –I –III 1978 – 1978 –IIV 1979 – 1979 –II 1979 – 1979 –III 1979 –I –III 1979 – 1979 –IIV 1980 – 1980 –II
Présentation du Problème Présentation des données : Données macroéconomiques américaines trimestrielles. Du 1970 – I au 1991 – IV IV
PIB 2872,8 2860,3 2896,6 2873,7 2942,9 2947,4 2966 2980,8 3037,3 3089,7 3125,8 3175,5 3253,3 3267,6 3264,3 3289,1 3259,4 3267,6 3239,1 3226,4 3154 3190,4 3249,9 3292,5 3356,7 3369,2 3381 3416,3 3466,4 3525 3574,4 3567,2 3591,8 3707 3735,6 3779,6 3780,8 3784,3 3807,5 3814,6 3830 8
PDI 1990,6 2020,1 2045,3 2045,2 2073,9 2098 2106,6 2121,1 2129,7 2149,1 2193,9 2272 2300,7 2315,2 2337,9 2382,7 2334,7 2304,5 2315 2313,7 2282,5 2390,3 2354,4 2389,4 2424,5 2434,9 2444,7 2459,5 2463 2490,3 2541 2556,2 2587,3 2631,9 2653,2 2680,9 2699,2 2697,6 2715,3 2728,1 2742 9
PCE 1800,5 1807,5 1824,7 1821,2 1849,9 1863,5 1876,9 1904,6 1929,3 1963,3 1989,1 2032,1 2063,9 2062 2073,7 2067,4 2050,8 2059 2065,5 2039,9 2051,8 2086,9 2114,4 2137 2179,3 2194,7 2213 2242 2271,3 2280,8 2302,6 2331,6 2347,1 2394 2404,5 2421,6 2437,9 2435,4 2454,7 2465,4 2464 6
Profits 44,7 44,4 44,9 42,1 48,8 50,7 54,2 55,7 59,4 60,1 62,8 68,3 79,1 81,2 81,3 85 89 91,2 97,1 86,8 75,8 81 97,8 103,4 108,4 109,2 110 110,3 121,5 129,7 135,1 134,8 137,5 154 158 167,8 168,2 174,1 178,1 173,4 174 3
Dividend TRIMESTRE 24,5 1981 –I –I 23,9 1981 –I –Il 23,3 1981 –I –III 23,1 1981 –I –IV 23,8 1982 –I –I 23,7 1982 –I –Il 23,8 1982 –I –III 23,7 1982 –I –IV 25 1983 –I –I 25,5 1983 –I –Il 26,1 1983 –I –III 26,5 1983 –I –IV 27 1984 –I –I 27,8 1984 –I –Il 28,3 1984 –I –III 29,4 1984 –I –IV 29,8 1985 –I –I 30,4 1985 –I –Il 30,9 1985 –I –III 30,5 1985 –I –IV 30 1986 –I –I 29,7 1986 –I –Il 30,1 1986 –I –III 30,6 1986 –I –IV 32,6 1987 –I –I 35 1987 –I –Il 36,6 1987 –I –III 38,3 1987 –I –IV 39,2 1988 –I –I 40 1988 –I –Il 41,4 1988 –I –III 42,4 1988 –I –IV 43,5 1989 –I –I 44,5 1989 –I –Il 46,6 1989 –I –III 48,9 1989 –I –IV 50,5 1990 –1 –1 51,8 1990 –I –Il 52,7 1990 –I –III 54,5 1990 –I –IV 57 6 1991 –I –I
PIB 3860,5 3844,4 3864,5 3803,1 3756,1 3771,1 3754,4 3759,6 3783,5 3886,5 3944,4 4012,1 4089,5 4144 4166,4 4194,2 4221,8 4254,8 4309 4333,5 4390,5 4387,7 4412,6 4427,1 4460 4515 ,3 ,3 4559, 3 4625,5 4655,3 4704, 8 4734, 5 4779,7 4809,8 4832, 4 4845, 6 4859,7 4880,8 4900, 3 4903,3 4855,1 4824
PDI 2783,7 2776,7 2814,1 2808,8 2795 2824,8 2829 2832,6 2843,6 2867 2903 2960,6 3033,2 3065,9 3102,7 3118,5 3123,6 3189,6 3156,5 3178,7 3227,5 3281,4 3272,6 3266,2 3295,2 3241 ,7 ,7 3285 ,7 ,7 3335,8 3380,1 3386 ,3 ,3 3407 ,5 ,5 3443,1 3473,9 3450 ,9 ,9 3466 ,9 ,9 3493 3531,4 3545 ,3 ,3 3547 3529,5 3514 8
PCE 2475,5 2476,1 2487,4 2468,6 2484 2488,9 2502,5 2539,3 2556,5 2604 2639 2678,2 2703,8 2741,1 2754,6 2784,8 2824,9 2849,7 2893,3 2895,3 2922,4 2947,9 2993,7 3012,5 3011,5 3046 ,8 ,8 3075 ,8 ,8 3074,6 3128,2 3147 ,8 ,8 3170 ,6 ,6 3202,9 3200,9 3208 ,6 ,6 3241 ,1 ,1 3241,6 3258,8 3258 ,6 ,6 3281,2 3251,8 3241 1
Profits 159,5 143,7 147,6 140,3 114,4 114 114,6 109,9 113,6 133 145,7 141,6 155,1 152,6 141,8 136,3 125,2 124,8 129,8 134,2 109,2 106 111 119,2 140,2 15 7, 7,9 169 ,1 ,1 176 195,5 207 ,2 ,2 213 ,4 ,4 226 221,3 206 ,2 ,2 195 ,7 ,7 203 199,1 193 ,7 ,7 196,3 199 189 7
Dividend 64 68,4 71,9 72,4 70 68,4 69,2 72,5 77 80,5 83,1 84,2 83,3 82,2 81,7 83,4 87,2 90,8 94,1 97,4 105,1 110,7 112,3 111 108 10 5, 5,5 105 ,1 ,1 106,3 109,6 113 ,3 ,3 117 ,5 ,5 121 124,6 127 ,1 ,1 129 ,1 ,1 130,7 132,3 132 ,5 ,5 133,8 136,2 137 8
Présentation du Problème vant nt de prés présen entter les les dif différ féren entts co conc ncep epts ts rela relati tifs fs à l’analyse de dess séri séries es › Ava chrono chronolog logiqu iques es : Exemple : soie oient les séries › Le PIB enuu Dispo sponible des mén énag ages es (RDM) › Le Reven cons nsom omm matio ationn des Mén énag ages es (CM) CM) › La co étés après impôts ) › Les profits (des sociétés Les divi divide dend ndes es (net (netss de dess soci sociét étés és)) › Les Donn Do nnée éess en mill millia iard rdss de pour la période 1970-1991
5000
Présentation du Problème PIB
RDM
250
CM
4500 200 4000 150
3500
3000
100
2500 50
PROFIT
2000
DIVIDENDE 1500
I V I I I I V I I I I I I l I I I l I I I l I I I l I I I I I I V I V I V I V I V – I I – V I I – – I I – – I I – – I I – – I I – – I – 3 I I – 6 I I – 0 – – 2 – – – – 8 9 – – 1 2 – – 4 5 – – 7 8 – – 0 1 – 7 0 1 7 7 3 4 5 7 7 7 0 8 3 8 6 8 9 6 9 2 5 8 1 7 9 7 7 7 9 7 8 8 9 8 8 8 9 8 8 8 9 8 8 9 9 9 7 7 9 9 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
l I V I l I V I l I V I l I V I V I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I V I V I V I – I I – I – I – I – I I I I I – – I I – – I I – – I – 3 – 6 – 9 0 – – 2 2 – – 4 5 – – – 8 – – 0 1 – – – – – – – 7 0 1 7 7 3 4 5 7 6 7 8 7 9 0 1 8 2 3 8 8 5 6 7 8 8 9 9 9 1 8 8 7 7 9 7 7 9 9 7 7 9 9 7 7 9 9 7 8 9 9 8 8 9 9 8 8 9 9 8 8 9 9 9 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 9 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Il y a une tendance mais avec des fluctuations
Objectif fondamental C’est Modéliser la partie aléatoire d’une série temporelle. Dans la première partie du cours nous avons vu que :
×
Cette la partie aléatoire qui nous intéresse
On aimerait maintenant aller plus loin et proposer un modèle capable de reproduire le « comportement » des données de façon analogue A partir de maintenant, la série résiduelle sera notée au lieu de
Analyse des composantes stochastique d’une série › Vocabulaire, et concepts :
1. Processus stochastiques 2. Processus de stationnarité 3. Processus purement aléatoire 4. Processus non stationnaires 5. Variable Variabless non no n intégrées
6. Modèles èles à processu ssus aléatoires 7. Tendances déterministes et stochastiques 8. Tests de racine unitaire 9. Cointégration
Processus stochastique
, , , …
Est une co colllect ection de variables aléatoire inde indexé xées es da danns le tem temps est une réalisation du proc proces essu suss stoc stocha hast stiq ique ue . › Exemple : Dans quel sens pouvons-nous considérer le PIB comme un processus stochastique? › Considérons par exemple le PIB pour 1970-I (2,8728 trillions $). En théorie,, ce chiffre aurait pu être n'importe quel nombre, en fonction du théorie climat économique et politique qui prévalait. Ce chiffre est une réalisation réali sation parti particuliè culière re de tous ces possibilités possibilités.. › Nous pouvons dire que le PIB est un processus stochastique et les le réel réelll nt de réalisations particulières de
Processus stochastique stationnaire Définitions 1. La stationnarité est un concept clé pour la validité d’une régression sur séri éries temporelles. es. D’un point de vue statistique, la stationnarité suppose que le passé est comparable au présent et au futur. Ainsi, une séri sériee ch chro rono nolo logi giqu quee est est stationnaire, au sens strict, si sa distribution de probabilité ne change pas au cours du temps. 2. Un processus est stationnaire si celu celuii-ci ci n’a ni trend, ni saisonnalité et de ce fait, fluctue autour d’une r d’une moyenne constante. Il apparait donc que la stationnarité est une exigence qui assure l’utilisation du modèle en dehors de la période sur laquelle il a été estimé.
Processus stochastique stationnaire 3. Un processus stochastique est dit stationnaire si sa moyenne et sa variance sont constantes dans le temps et la valeur de la covariance entre les deux périodes de temps ne dé dépe pend nd pas pas du temps auquel la covariance est calc calcul ulée. ée. process essus us est dit stationnaire si : › Un proc 1. Moyenne du pro process cessuus est est constante : 2. Variance est invariable dans le temps : 3. L’auto L’auto-covariance -covariance ne dépend que de la distance entre deux points dans le temps et non d’une date date particulière particulière :
µ µ²² [ [ µ − µ]
Processus stochastique stationnaire Exemple : › Supposons que nous déplacions l’origine du 1970.I au 1975.I. le PIB est dit stationnaire si la moyenne moyenne,, la variance et la covariance doivent être identiques. C’est-à-dire, elles ne varient pas dans le temps (pour divers retards / › C’est-à-dire, échantillons). échantillons ).
stationnaire, (faible (faible stationnarité) › Si une série chronologique n’est pas stationnaire, elle représente une moyenne variable dans le temps temps,, ou une variance
Processus stochastique stationnaire › Q? Pourquoi les séries temporelles stationnaires sont-elles aussi
importante ? (b (but ut pr prév évis isio ionn nnel el : im impo poss ssib ible le de gé géné néra rali lise serr su surr d’autre périodes)
Q? Comment Comment savoir si une série est stationnaire ? (après examen des › Q? tests de stationnarité; examen des graphiques)
Processus stochastique stationnaire : Bruit blanc proces essu suss stoc stocha hast stiq ique uess stat statio ionn nnai aire res: s: proc proces essu suss › Un type particulier de proc
purement aléatoires ou proc process essus us bruit blanc. Définition : › Un Un processus processus est dit de bruit blanc si sa moyenne est nulle, sa variance est constante, et si la covari arian ance ce n’est n’est pas pas corrélée sériellement sériellement.. term rmee al aléa éato toir iree du MC est supposé être un processus Rappelons-le que le te de bruit de bruit blanc blanc;; noté C’est-à-dire, C’est-à-dire, est est dist distri ribu buéé indépendamment et identiquement comme une distribution normale avec une moyenne nulle et une variance constante.. constante
~0, ²
Processus stochastique non stationnaire Définitions › Ce sont des séries les plus rencontrées rencontrées dans la pratique la pratique. › Une ch chrronique ne vérifian fiantt pas les tro trois is hyp hypoth othèse èsess de stationnarité stationnarité,, est dite non stationnaire. › Il faudra donc la stationnariser avant son estimation. › La méthode de stationnarisation dépend de la source de non stationnarité. › Avant d’identifier d’identifier ce cettte source :
Processus stochastique non stationnaire Exemple classique : Le mo modè dèle le de ma marc rche he al aléa éato toir iree (RWM). Il est souvent dit que les prix des actifs actifs,, tels que les cours des actions ou les taux de change change,, suivent une ma marc rche he al aléat éatoi oire re;; autrement dit, ils sont non stationnaires. marche chess alé aléato atoire iress: › Nous distinguons deux types de mar (1) (1) Marc Marche he aléa aléato toir iree sans dérive (pas (pas de term termee co cons nsttan ant) t) (2) (2) Marc Marche he aléa aléato toir iree avec dérive ( avec un terme constant)
Processus stochastique non stationnaire Marche aléatoire sans dérive: est un terme d'erreur bruit bruit blanc blanc.. la série est dit › Supposons que être être un unee ma marc rche he al aléa éato toir iree sa sans ns dé déri rive ve si . Ce qui montre que la valeur de Y à l’instant est égale à sa valeur au plus un ch temps choc oc al aléa éato toir iree › Exemple : Les croyants de l'hypothèse des marchés de capitaux l’idée: que le efficients soutiennent l’idée: les cours des actions sont essentiel essen tielleme lement nt aléat aléatoir oiree et donc il n'y a pas de place pour la spécula spéc ulatio tionn ren rentab table le dans le ma marc rché hé bo bour ursi sier er . Si l'on pouvait prédire le prix de demain sur la base des prix d'aujourd'hui, nous serions tous des millionnaires.
1
−
Processus stochastique non stationnaire Marche aléatoire sans dérive: Résultats: › Si le processus commence à nous aurons › Donc : › Et :
Y ²
Comme augmente augmente,, sa variance augmente indéfiniment , violant ainsi une condition de stationnarité stationnarité.. Une marche aléatoire sans dérive est un processus stochastique non stationnaire
Processus stochastique non stationnaire Marche aléatoire sans dérive: Transformation: (première différence)
− ∆
Il est facile de montrer que, si diff différ éren ence ce est est stationnaire stationnaire..
est no nonn st staati tion onna nair iree, sa première
Les premières différences d'une série chronologique de marche aléatoire sont stationnaires . Mais nous aurons plus à dire sur ce sujet plus tard
Processus stochastique non stationnaire Marche aléatoire avec dérive (avec tendance): › Supposons que est un terme d'erreur bruit d'erreur bruit blanc. blanc. la série est dit être une marche aléatoire avec dérive si . Où δ est connu comme le paramètre de la dérive (tendance). Donc : Et :
− ² ∆ −
augmente,, son espérance et sa variance augmentent › Comme augmente
indéfiniment, violant ainsi la condition de faible stationnarité.
Processus stochastique non stationnaire › le modèle de marche aléatoire (RWM) avec ou sans dérive est un
processus stochastique non stationnaire. Exemple numérique › Pour donner un aperçu de la marche aléatoire avec et sans dérive, nous avon av onss effe effect ctué ué de deux ux simulations co comm mmee suit suit::
0 5 1. 2.
où est est un bruit blan ancc. aléattoir oiremen ementt 50 5000 va vale leur urss pou our r et on obtient des valeurs › On génère aléa de . On suppose que et (pour le RWM avec dérive ve)).
Processus stochastique non stationnaire Simulation est faite sur Excel (voir TP) Processus Bruit Blanc 15 10
YT SANS DÉRIVE 50 40 30 20 10 0 -10
5 0
-20 -30 -40
-5
yt=5+Yt-1+ut
-10 1200 -15
Le modèle RWM est un exemple de ce que la littérature nomme processus à racine unitaire
1000 800 600 400 200
Simulation du processus stat st atio ionn nnai aire re so sous us Ev Evie iews ws RESID
stochastique
non
Y
25
4 20 3 15
2
1
10
0
5
-1 0 -2 -5 -3 -10 -4 50
100
150
200
250
300
350
400
450
50
500
3,000
2,500
2,000
1,500
1,000
500
100
150
200
250
Y1
300
350
400
450
50 0
Proc Pr oces essu suss st stoc ocha hassti tiqu quee à ra raci cinne uni nita tair iree
−
Soit le mo modè dèle le RWM suiv suivan antt : il rassemble à un modèle AR . › Si : le modèle devient un modèle avec marche aléatoire sans dérive.. Et nous somme en présence de ce qu’on ap dérive appe pell llee un un problème problème de racine rac ine uni unitai taire re,, c-à-d une situation de non sta statio tionna nnarit ritéé. sign signif ifie ie : Non stationnarité = mar marche che alé aléato atoire ire = rac racine ine uni unitai taire re.. › › Si la séri sériee est stationnaire.
1 1 1
› Pratiquement, il est important de trouver si une série possède une
racine rac ine uni unitai taire re : il existe di dive vers rs te test stss de statio stationna nnarit ritéé
Stationnarité du trend TS, et stationnarité difffé di fére rent ntie iell llee du pr proc oces essu suss st stoc ocha hast stiq ique ue DS › Il est important de savoir si le trend ob obse serv rvéé est est déterministe (prévisible
− 0 0 1 − ≠ 0 0 1 −
ou non vari ariable) ou stochastique (imp (impré révi visi sibl blee et va vari riab able le). ). où est un bruit blanc. On a : › Soit : Marche aléatoire pure aléatoire pure : , , : (Dif (Dif.. Prem Prem.. Pour Pour stationnariser stationnariser ). ). › Donc une marche aléatoire sans dérive est un processus stationnaire différentiel. Marche aléatoire avec dérive : , , : (Dif. Prem. Pour stationnariser )
Stationnarité du trend TS, et stationnarité difffé di fére rent ntie iell llee du pr proc oces essu suss st stoc ocha hast stiq ique ue DS Trend déterministe : , , : Appe Ap pelé lé proc proces essu suss de Tren rendd Sta Statio tionna nnaire ire (TS).
≠ 0 ≠ 0 0 ≠ 0 ≠ 0 1 ∆ − Marche aléatoire avec dérive et Trend déterministe : , , :
Ce qui signifie que
n’est pas n’est pas stationnaire
Stationnarité du trend TS, et stationnarité difffé di fére rent ntie iell llee du pr proc oces essu suss st stoc ocha hast stiq ique ue DS Trend déterministe déterministe et composante stationnaire stationnaire AR(1) : , , :
≠ 0 ≠ 0 < 1 ∆ − Ce qui signifie que
n’est pas n’est pas stationnaire
Exemple : déterministes,, › Pour saisir la différence entre les trends stochastiques et déterministes considérons la simulation suivante : On généré 500 valeurs de à partir d’une distribution normale standard où la valeur initiale de était 1.
300
250
200
150
100
50
0
-50
Stationnarité du trend TS, et stationnarité difffé di fére rent ntie iell llee du pr proc oces essu suss st stoc ocha hast stiq ique ue DS
Le phénomène de la régression fallacieuse (Spuri (Sp urious ous Reg Regres ressio sion) n) rquoi la stationnarisation est aussi importante : soien entt › Pour montrer pourqu
−500 − 0 a b
les de deux ux mo modè dèle less de ma marc rche hess al aléa éato toir ires es suiv suivan ants ts : et Simulation : On généré valeurs de et de à partir d’une distribution normale ale stan anda darrd et on suppose que les vale aleurs initiales de et égalent à . Nous avons également supposé que et sont pas corrélées. › Ces deux séries sont non sta statio tionnai nnaire re.. › Nous allons effectuer une régression › Résultat attendu: R² tend vers 0 puisque les deux processus ne sont
Le phénomène de la régression fallacieuse (Spuri (Sp urious ous Reg Regres ressio sion) n) › Les Les résu résult ltat atss sont sont les les suiv suivan ants ts::
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 12/07/15 Time: 16:28 Sample: 1 500 Included observations: observations: 500 Vari able
Coefficient
Std. Error
t-Statis ti c
C X
14.22577 -0.513393
0.676514 0.164080
21.02803 -3.128914
R-s qu ared Adjus Adjus ted R-sq uared S.E. of regres s ion Sum s quared res i d L o g l i ke l i h o o d F-s tatis tic Prob(F-s tati s tic)
0.019280 0.017311 13.35560 88829.28 -2004.435 9.790103 0.001857
Mean dependent va r S.D. dependent var Akai ke info criterion Schw arz criterion H annan-Qu inn criter. D urbin-Wats on s tat
Prob. 0.0000 0.0019 13.23174 13.47272 8.025741 8.042599 8.032356 0.007627
Commentaires : › Coeff Coeffici icient ent de (la pente nte) est très significatif bien bien que R² est très faible faible.. entr tree les va varriabl iables es,, › Donc il existe une relation statistiquement significative en alors qu’a priori qu’a priori il devrait avoir aucune. › C’est le ph phén énom omèn ènee de régres régression sion fallac fallacieuse ieuse fausse)) corrélation pourrait persister dans les séries › Yule a montré que la (fausse temporelles statio sta tionnai nnai mê si l'éc l'écha hant ntil illo lo t trè de
Test de la stationnarité Dans la pratique pratique,, nous sommes confrontés à deux questions importantes: › Comment pouvons-nous savoir si une série de temps donné est stationnaire? › Si l'on trouve qu'une série donnée est non stationnaire, es estt-il possible de la ren rendr dree st stat atio ionn nnai aire re?? exiiste de multiples test ests de stationnarité, nous discuterons de › Bien qu’il ex deux de ux typ types test tests: s: (1) (1) l'an l'anal alys ysee graphique (2) le test de corrélogramme
Test de la stationnarité Analyse graphique Exemple Soit Soit la séri sériee du PIB › Sur la période de l'étude le PIB a été en hausse, montrant une tendance à la hausse.. hausse › Ce qui suggère peut-être que la moyenne du PIB a été en train de changer . › Cela suggère peut-être que la série du PIB n’est n’est pas pas stationnaire 5000
PIB
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
I V I I I I V I I l I I V I I I I I V I I I V I I I I I I I I I l I l I l V I – I I – V I I – I – V I – – I I I – – I I – – I I – – I – 3 I I – 6 – 9 I I 0 – – 2 2 – – 4 5 – – 8 – – 0 1 – – – – – – – 7 0 1 7 7 3 4 5 7 6 7 8 7 9 0 1 8 2 3 8 8 5 6 7 8 8 9 9 9 1 8 8 7 7 9 7 7 9 9 7 7 9 9 7 7 9 9 7 8 9 9 8 8 9 9 8 8 9 9 8 8 9 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9
Test de la stationnarité ACF F et co corr rrél élog ogra ramm mmee › Fonctions d’autocorrélation AC
› Un simple tes test de la stationn nnaarité est basé sur la fonction
d’autocorrélation, ACF ACF pour pour retards
› La
représentation corrélogramme
graphique
de
est est dé défi fini niee pa par: r:
cette
fonction
e st
appelée
Test de la stationnarité › Fonctions d’autocorrélation ACF et corrélogramme Date: 12/07/15 Time: 16:40 Sample: 1 500 Included observations: 500
Cas du RWM On généré un échantillon de 500 termes d'erreur, l'u, à partir de la distribution normale standard. Le corrélogramme suivant est du bruit blanc ( ) Analyse : Pour le moment voir voir la la colonne AC et le premier diagramme sur la gauche. (valeurs + : -) Pour un processus bruit blanc les AC à divers
Autocorr Autocorrelation
Partial Partial Correlation Correlation
AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2...
PAC
0.003 0.003 0.003 0.003 0.041 0.041 0.041 0.041 0.002 0.002 0.001 0.001 0.076 0.076 0.075 0.075 -0.01... -0.01... -0.01... -0.02... -0.02... -0.02... -0.04... -0.04... -0.04... -0.04... -0.04... -0.05... -0.05... -0.05... -0.04... 0.040 0.040 0.048 0.048 0.044 0.044 0.056 0.056 -0.01... 0.01... -0.01... -0.01... 0.01... -0.01... 0.005 -0.00... 0.060 0.060 0.048 0.048 0.019 0.019 0.018 0.018 -0.03... 0.03... -0.03... 0.002 0.002 0.006 0.006 -0.07... 0.07... -0.07... 0.038 0.038 0.038 0.038 -0.02... 0.02... -0.01... -0.05... 0.05... -0.05... -0.05... 0.05... -0.03... 0.012 0.012 0.014 0.014 -0.10... 0.10... -0.10... -0.11... 0.11... -0.13... -0.12... 0.12... -0.12...
Q-Stat
Prob
0.0033 0.0033 0.8662 0.8662 0.8675 0.8675 3.8075 3.8075 3.8732 4.1483 5.2739 6.3674 7.7629 8.5804 8.5804 9.5555 9.5555 9.6994 9.7734 9.7847 11.648 11.648 11.830 11.830 12.561 12.563 12.563 15.797 16.563 16.563 16.859 18.218 19.893 19.968 19.968 25.266 32.389 40.752
0.954 0.648 0.833 0.433 0.568 0.657 0.627 0.606 0.558 0.572 0.572 0.571 0.571 0.642 0.712 0.778 0.705 0.705 0.756 0.756 0.765 0.817 0.817 0.671 0.681 0.681 0.720 0.693 0.648 0.699 0.699 0.448 0.181 0.044
Test de la stationnarité › Fonctions d’autocorrélation ACF et corrélogramme Date: 12/07/15 Time: 16:59 Sample: 1 500 Included observations: 500
Cas du RWM C’est le corrélogramme d’une RWM RWM Analyse La caractéristique de ce corrélogramme est que les CA à différents retards (lags) sont très élevés, même jusqu'à un décalage de 30 retards.
Autocor Autocorrelation relation
C’est un corrélogramme typique d’une série non stationnaire
Partial Partial Correlation Correlation
AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2...
0.995 0.995 0.989 0.989 0.985 0.985 0.980 0.980 0.976 0.976 0.972 0.972 0.967 0.963 0.963 0.959 0.959 0.956 0.956 0.953 0.953 0.950 0.950 0.947 0.944 0.944 0.941 0.938 0.938 0.936 0.936 0.933 0.929 0.926 0.926 0.922 0.919 0.919 0.915 0.911 0.907 0.903 0.903 0.899 0.899
PAC 0.995 0.995 0.019 0.019 0.037 0.037 0.027 0.027 0.008 0.008 0.015 0.015 -0.02... -0.02... 0.004 0.004 0.013 0.013 0.114 0.114 0.032 0.032 0.023 0.023 -0.04... -0.04... 0.005 0.005 -0.01... -0.01... 0.042 0.042 0.013 0.013 -0.02... -0.02... -0.02... -0.02... 0.004 0.004 -0.02... -0.02... 0.012 0.012 -0.04... -0.04... -0.03... -0.03... -0.03... -0.03... 0.034 0.034 0.024 0.024
Q-Stat Q-Stat
Prob
497.60 497.60 991.05 991.05 1480.8 1480.8 1967.1 1967.1 2450.1 2450.1 2929.8 2929.8 3406.2 3406. 2 3879.3 3879.3 4349.1 4349.1 4817.0 4817.0 5283.2 5283.2 5747.9 5747.9 6210.5 6210. 5 6671.0 6671.0 7129.2 7129. 2 7585.7 7585.7 8040.5 8040.5 8493.4 8493. 4 8943.9 8943. 9 9392.1 9392.1 9837.7 9837. 7 10281. 10281. 10722. 11159. 11594. 12025. 12025. 12454. 12454.
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Test de la stationnarité › Fonctions d’autocorrélation ACF et corrélogramme
Cas du PIB (Exemple concret) › Le corrélogramme du PIB montre une tendance similaire à celle du RWM WM.. › Le coefficient AC affiche (0,969) avec un décalage égale à 1, et diminue très lentement. Ainsi, il semble que la série chronologique du PIB est non stationnaire. stationnaire. Elle peut être non stationnaire en moyenne ou la variance ou les deux
Date: 12/07/15 Time: 17:26 Sample: 1970Q1 1991Q4 Included observations: 88 Autocorrelation
Partial Correlation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 1... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2... 2...
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.969 0.969 0.935 0.935 0.901 0.901 0.866 0.866 0.830 0.830 0.791 0.791 0.752 0.752 0.713 0.713 0.675 0.675 0.638 0.601 0.565 0.532 0.532 0.500 0.468 0.437 0.405 0.375 0.344 0.313 0.279 0.246 0.214 0.182 0.153 0.153 0.123 0.095
0.969 0.969 -0.0 -0.05.. 5.... -0.0 -0.02.. 2.... -0.0 -0.04.. 4.... -0.0 -0.02.. 2.... -0.0 -0.06.. 6.... -0.0 -0.02.. 2.... -0.0 -0.02.. 2.... 0.009 0.009 -0.01... -0.01... -0.02... -0.02... -0.01... -0.01... 0.020 0.020 -0.01... -0.01... -0.02... -0.02... -0.00... -0.00... -0.04... -0.04... -0.00... -0.00... -0.03... -0.03... -0.01... -0.01... -0.06... -0.06... -0.01... -0.01... -0.00... -0.00... -0.01... -0.01... 0.017 0.017 -0.02... -0.02... -0.00.
85.462 85.462 166.02 166.02 241.72 241.72 312.39 312.39 378.10 378.10 438.57 438.57 493.85 493.85 544.11 544.11 589.7 589.77 7 631.12 668.33 701.65 731.56 731.56 758.29 782.02 803.03 821.35 837.24 850.79 862.17 871.39 878.65 884.22 888.31 891.25 891.25 893.19 894.38
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Test de la stationnarité ACF F et co corr rrél élog ogra ramm mmee › Fonctions d’autocorrélation AC Deux qu Deux ques esttio ionns pr prat atiq ique uess pe peuv uven entt êt être re pos osée éess ici ci.. (1) (1) co comm mmen entt po pouv uvon ons-n s-nou ouss choisissons la Lag Lag pour pour ca calc lcul uler er l'l'AC ACF F? (2) (2) co comm mmen entt décidez-vous si une coefficient de corrélation à un certain décalage est statis statistiq tiquem uement ent significative significative?? › Réponse : dess ob obse serv rvat atio ions ns : › (1) Le choix se fait selon la règle du tiers de
≈ 30
;
À priori il est conseillé de co comm mmenc encer er l’analyse l’analyse par par des Lags importants.
Test de la stationnarité (2) Dans la série du PIB comment décider décider si si le co coef effi fici cien entt de co corrrél rélatio ationn pour 10 pour 10 re reta tard rdss (0,638) est est stat statis isti tiqu quem emen entt significative significative?? › Bartlett a montré que si un unee séri sériee ch chro rono nollog ogiq ique ue est est pu purremen ementt aléatoire aléatoire,, les coeff coeffici icient entss d'a d'auto utocor corrél rélati ation on . Puisqu quee no nous us av avon onss 88 observ observati ations ons,, la variance = › Puis
~0, 0,1136 ± 1 , 9 6 0 , 1 1 3 6 0. 0.24089 0. 2 0890. 9 5 291 0.84690.95
› Ensuite, suivant les propriétés de la distribution normale standard, l'l'in inte terv rval alle le de co conf nfia ianc ncee de 95% pour tout e st : › De toute évidence cet intervalle est différents de Zéro au seuil de
signif significa icatio tio 5%.
Test de la stationnarité
(2) Suite : › Au lieu de tester tester la la signification stat statis isti tiqu quee de chaque particulier, particulier, on peut tester l'hy hypo potthè hèse se qu quee tout les jusqu'à ce cert rtai ains ns re rettar ardds sont simultanément égaux à zéro zéro.. Cela ela peut être fait en utilisant la statistique Q dé déve velo lopp ppée ée pa par r B Box et Pierce, qui est définie comme :
Q n = ²~
› Un test similaire à Q-Stat : le LB-Test (Ljung – Box (LB) statistic),
défi dé fini ni pa par: r:
2 = − ~
grands nds éch échant antil illon lonss les les stat statis isti tiqu ques es Q et LB suivent › Bien que dans les gra une distribution de
, la statistique de LB présente, pour les petits
Test de la stationnarité (2) Suite : L’exemple du PIB
La valeur de la statistique de LB jusqu’à 20 retards = 891,25 la probabilité critique d’obtenir une telle valeur de LB sous l’hypothèse nulle que la somme de dess 25 co coef effficie icient ntss AC es esttim imés és et élevés au carré est pratiquement nulle nulle,, co com mme l’indique la de dern rniè ière re co colo lonn nnee (Pro (Prob) b).. Conclusion:: Conclusion On doit conclure à la non sta statio tionna nnarit ritéé de la série du PIB (ce qui est déjà conf co nfir irme merr pa par r l’analyse l’analyse graphique).
Test de racine unitaire Rappel: Rappel: Test de stationnarité (ou non) = test de racine unitaire › Si
11 − 1 ∆ 1− − 0 0 1
(si il y a racine unitaire), unitaire ), devient un RWM san sanss dériv dérivee, qui est un processus stochastique non stationnaire. sta tionnaire. › L’idée est de régresser simplement sur sa valeur retardée et trouver si est statistiquement égal à 1; s’il l’est est non stationnaire.
Pratiquement on teste l’hypothèse nulle que . si alors Il y a donc une racine unitaire, unitaire , c-q-dire que la série n’est pas stationnaire
Test de racine unitaire Problème d’inférence › Quel test à uti utilise liserr po pour ur savoir savoir si si le co coef effi fici cien entt estimé est nul ou non non.. › Malheureusement la valeur de des coe coeff ffici icient entss est estimé iméss ne suit pas une distribution t-Student, ce qui signifie qu’il n’y a pas de distribution normal normalee asympt asymptoti otique que.. ckey ey & Fuller r oont montré que la va vale leur ur es esti timée mée de de dess co coef effi fici cien ents ts › Dick suit la stat statis isti tiqu quee (tau). › Ils ont calculé les valeurs critiques. Puis MacKinnon a élaboré les tables qu quii sont sont inco incorp rpor orée éess da dans ns plus plusie ieur urss logi logici ciel elss d’économétrie. d’économétrie. Dans ns la litt littér érat atur uree est connu sous le nom du test de DF › Da
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Procédure En ex exam amiina nant nt la nature du du processus processus de racine unitaire unitaire.. Un processus processus de marche aléatoire aléatoire peut peut n’avoir pas pas de tendance › Un r une › Ou bien en avoir une enco core re posséder posséder des des tre trends nds dét déterm ermini inistes stes et stochastiques stochastiques.. › Ou en Pour prendre en compte les diverses possibilités, le test DF est estimé sous trois formes différentes, c’est-à-dire c’est-à-dire trois hypothèses nulles différentes.. différentes
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Procédure Dickey et Fuller considèrent trois modèles de base pour la série :
,1,2,3,… ∆ − ∆ − ∆ − 1
Modèle èle [1] : modèle èle sans co connsta stante ni tendance déter éterm ministe : Mod odèl èlee [2] : mod odèl èlee av avec ec co cons nsttan ante te sans sans tend tendan ance ce dé déttermi ermini nist stee : Modèle [3] : modèle èle avec co connstan antte et ten enddan ance ce déterministe : on suppose que statio stationna nnarit ritéé ;
est un bruit blanc, est la variable dont on teste la et sont sont de dess pa para ramè mètr tres es
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Procédure
La règle de décision est la suivante : › Si la valeur calculée de la t- statistique associée à est inférieure à la vale va leur ur crit critiq ique ue,, on rejette l’hypothèse nulle de non sta statio tionnar nnarité ité.. › Si la valeur calculée de la t- statistique associée à est supérieure à la vale va leur ur crit critiq ique ue,, on accepte l’hypothèse nulle de non sta statio tionna nnarit ritéé.
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Procédure En prat pratiq ique ue,, on ad adop opte te un unee str stratég atégie ie séq éque uent ntie iell llee en troi troiss étap étapes es:: r le modèle 3. On peut aboutir à Etap Etape I : On commence par appliquer le test sur l deux de ux rés résulta ultats ts : n’est pas pas significative significative,, on passe au modèle 2. › Si la tendance n’est › Si la tendance est significative significative,, on teste l’hypothèse nu null llee de rac racine ine unit unitair airee : n’est pas n’est pas significativement différent de 0, est non st stat atio ionna nnair iree. Si Dans ce cas, il faut la différencier r eet recommencer la procédure sur la séri sériee en dif différe férenc ncee prem premiè ière re.. est sig signif nifica icativ tivemen ementt dif différ féren entt de 0, est stationnaire stationnaire.. Dans ce cas, Si la proc procédu édure re s’arrête et l’on peut l’on peut directement travailler sur .
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF
Procédure
E tape I I : Cette étape ne doit être appliquée que si la tendance dans le
modèle modèle précéd précédent ent n’est pas n’est pas significative. On estime le modèle 2 : Si la co cons nsttan ante te n’est pas n’est pas significative, on passe au modèle 1. Si la constante est significative, on teste l’hypothèse nulle de racine unit un itai aire re : n’est pas significativement différent de 0, est non Si stationnaire.. Dans ce cas, il faut la différ stationnaire éren enccier r eet reco comm mmeencer la procédure sur la série en différence première. est sig signif nifica icati tivem vement ent différent de 0, est stationnaire stationnaire.. Dans Si ce cas la procédure s’arrête et l’on peut l’on peut directement travailler sur
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Procédure Eta Etape I I I : Cette étape ne doit être appliquée que si la constante dans le modèle modèle précéd précédent ent n’est pas n’est pas significative. On estime le modèle 1 : n’est pas significativement différent de 0, est non Si stationnaire.. Dans ce cas, il fau stationnaire autt la différencier r eet reco ecommencer la procédure sur la série en différence première. est sig signif nificat icative ivemen mentt différent de 0, est stationnaire stationnaire.. Dans Si ce cas, la procédure s’arrête et l’on peut l’on peut directement travailler sur .
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF › Schéma
Procédure et application du test de stationnarité DF et ADF Conclusion › La stationnarité des variables représente une solide garantie contre les régressions fallacieuses ou non cohérentes.
› Si une variable est stationnaire en niveau, on dira qu’elle est intégrée d’ordre zéro. Ce qui sera noté ~I(0) › De manière générale, on dit qu’une série est intégrée d’ordre qu’elle soit stationnaire. «d», s’il faut la différentier «d» fois pour qu’elle
Prévision (modélisation AR, MA, ARMA, ARIMA) › Processus ARIMA ARIMA
Méthodologie de Box & Jenkins
Identification
Estimation du modèle ARIMA
Diagnostique
Prévision
