PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 (CIV223) 1ra Práctica (tipo a) (Segundo Semestre 2014) Indicaciones: 1. 2. 3. 4.
Dura Duraci ción ón:: 1 hora 50 minutos. Se permite el uso individual de calculadora. No se permite el uso de programas. No se permite el uso de libros, apuntes de clase, problemas resueltos o algún otro material. En todas las preguntas deben indicarse todos los pasos seguidos, los cálculos intermedios, y las unidades empleadas. Utilizar al menos dos decimales en los cálculos.
5. El procedimiento, explicación, resultado y limpieza de los trabajos influirán en la calificación Pregunta 1 (5 puntos)
Hallar los esfuerzos en el concreto y acero de la columna circular debido a la carga P mostrada. Se debe considerar que el concreto resiste tracción (Método de la sección transformada). Las 4 varillas de refuerzo de acero (φ 1”) están ubicadas simétricamente con respecto al centroide de la sección. Además, la carga axial de 50000 kg es aplicada excéntricamente sobre el eje Y como se muestra (ey = 4 cm). Considerar que la relación de módulos de elasticidad es η=10.
Pregunta 2 (3 puntos)
En la sección mostrada, ubicar las cotas de los puntos que determinan el núcleo central. (Nota: Todas las dimensiones están dadas en metros.)
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Pregunta 3 (5 puntos)
En el muro de albañilería confinada mostrado, se pide determinar el rango de valores de P (incluye el peso propio) que se debe aplicar para no exceder los esfuerzos admisibles en los materiales. Considerar que la relación de módulos de elasticidad η=7.
tracción (kg/cm2)
σadm
Material
comp. (kg/cm2)
σadm
Albañilería
1.50
25
Concreto
15
100
Pregunta 4 (7 puntos)
En la viga mostrada, hallar la carga máxima que debe aplicarse (q) para que no se sobrepase los esfuerzos admisibles en el concreto y acero. La viga está reforzada según la zona de momento positivo y negativo. Considerar: fcadm<0.50f’c, fsadm<0.60fy, f’c=210 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2. PP: Peso propio de la viga. ϒconcreto=2400kg/m3
Formulario: 2nAs d c2 c 2nAs 0 (Fórmula cuadrática para hallar c) b b I R 4 / 4 (Inercia de un círculo con respecto a un eje principal) e y k z
2
y
e z k y
2
z 1 0 (Ecuación del eje neutro)
Profesores del curso: Francisco Ginocchio, Jonathan Soto, Daniel Quiun y Nicola Tarque. San Miguel, 12 de septiembre de 2014 Página
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 (CIV223) 2da Práctica (tipo a) (Segundo Semestre 2014) Indicaciones: 1. 2. 3. 4.
Duración: 1 hora 50 minutos. Se permite el uso individual de calculadora. No se permite el uso de programas. No se permite el uso de libros, apuntes de clase, problemas resueltos o algún otro material. En todas las preguntas deben indicarse todos los pasos seguidos, los cálculos intermedios, y las unidades empleadas.
5. El procedimiento, explicación, resultado y limpieza de los trabajos influirán en la calificación Pregunta 1 (6 puntos)
En la viga continua mostrada, se sabe que MB = ‐11.26 kN‐m y MC = ‐8.77 kN‐m. Se pide: a) Hallar las reacciones. b) Dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante y momento flector. c) Hallar la ubicación de los puntos de inflexión en el tramo BC.
Pregunta 2 (7 puntos)
En el pórtico mostrado ABCDE, hallar las reacciones y dibujar los diagramas acotados de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Dibujarlos en todo el pórtico.
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Pregunta 3 (7 puntos)
La figura muestra una parrilla ABCD en el plano horizontal con cargas verticales hacia abajo wAB = 3 kN/m y wBD = 4 kN/m y P =10 kN en el punto medio de BC. En los apoyos fijos C y D se han obtenido las reacciones RC = 3.63 kN y RD = 8.58 kN, ambas hacia arriba. El apoyo A es un empotramiento. Se pide dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante (en kN), momento flector (en kN‐m) y momento torsor (en kN‐m) en cada barra de la parrilla.
Profesores del curso: Francisco Ginocchio Jonathan Soto Daniel Quiun Nicola Tarque. San Miguel, 26 de septiembre de 2014
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FCI-Adm-4.01
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 Examen 1 (Primer semestre 2014) Indicaciones generales: ● ●
● ●
Duración: 3 horas. Materiales o equipos a utilizar: útiles personales y sólo una calculadora; sin libros, separatas, ni apuntes de clase. No se permite el uso de celulares, tabletas o laptops. La presentación, la ortografía y la gramática influirán en la calificación.
Puntaje total: 20 puntos. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cuestionario:
Pregunta 1 (4 puntos) En la figura se tiene un muro de albañilería confinada cuya base recibe una carga axial de compresión, incluido el peso propio, de P = 24 ton, ubicada a 1.8 m del borde izquierdo. Además, recibe la carga horizontal F = 8 ton, a una altura h = 2.70 m. Las columnas de concreto tienen dimensiones 0.30x0.30 m y 0.30x0.15 m; mientras que el muro de albañilería tiene 0.14 m de espesor y 3 m de largo. Trabajar con el concepto de sección transformada. Se pide: a) Obtener y dibujar la distribución completa de esfuerzos normales en la sección de la base (en kg/cm2). Incluir las dos columnas y el muro. b) Determinar el máximo esfuerzo cortante en la albañilería (en kg/cm 2). Material Concreto Albañilería
Módulo de elasticidad Ec= 2x105 kg/cm2 Ea = 25000 kg/cm2
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FCI-Adm-4.01
Pregunta 2 (4 puntos) La zapata combinada mostrada en la figura debe transmitir las fuerzas P1 = 300 ton y P2 = 120 ton (ambos valores a nivel de la superficie) y los momentos M1 = 110 ton-m y M2 = 70 ton-m. Se pide: a) Hallar las reacciones del terreno. b) Si el esfuerzo admisible del suelo es 50 ton/m2, ¿cuál sería el máximo incremento ∆M1 para no exceder ese valor? Considere 2400 kg/m3 para el peso unitario del concreto, y 1700 kg/m3 para el suelo.
Pregunta 3 (5 puntos) En la viga continua mostrada, se sabe que MB = -4,26 kN-m, MC = -2,00 kN-m y MD = -5,64 kN-m. Se pide: a) Hallar las reacciones. b) Dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante y de momento flector. c) Hallar la ubicación de todos los puntos de inflexión.
Pregunta 4 (3 puntos)
Determinar las fuerzas en las barras y el desplazamiento horizontal del nudo E (por el método de la carga unitaria). Además de las fuerzas externas, las barras AH, HG, GF y FE sufren un aumento de temperatura de 30 °C, y las barras AB, BC, CD y DE, un descenso de -20 °C. El material de todos los elementos tiene E = 200 GPa y α = 11.6x10-6 °C-1. Proceda en forma tabulada y presente los resultados finales en un esquema de la armadura. Las áreas de las barras son: AH, HG, GF y FE 600 mm2; AB, BC, CD y DE 800 mm2; resto 500 mm2.
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FCI-Adm-4.01
Pregunta 5 (4 puntos) Para el pórtico mostrado en la figura se pide: a) Dibujar el diagrama de momento flector. b) Calcular el desplazamiento horizontal en el extremo E considerando sólo el efecto de flexión. El material del pórtico es acero con E = 2x106 kg/cm2. El momento de inercia I = 4000 cm4 es constante en todo el pórtico.
Profesores del curso: Francisco Ginocchio C. Daniel Quiun W. Nicola Tarque R. Jonathan Soto O. San Miguel, 17 de octubre de 2014.
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FCI-Adm-4.01
REF. Gere – Timoshenko, “Mecánica de Materiales” Segunda Edición (1986)
Fórmulas de carga unitaria:
1 D
Nn
EA
dx
x
1 D
x
n N L EA
f yV y v y GA
dx
x
f zV z v z GA
1 D
dx
M y m y
x
n(
EI yy
LT )
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dx
x
M z m z EI zz
dx
x
T t GJ
dx
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 (CIV223) 3ra. Práctica (tipo a) (Segundo Semestre 2014) Indicaciones: 1. 2. 3. 4.
Duración: 1 hora 50 minutos. Se permite el uso individual de calculadora. No se permite el uso de programas. No se permite el uso de libros, apuntes de clase, problemas resueltos o algún otro material. En todas las preguntas deben indicarse todos los pasos seguidos, los cálculos intermedios y las unidades empleadas. 5. El procedimiento, explicación, resultado y limpieza de los trabajos influirán en la calificación. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Pregunta 1 (5 puntos) La viga continua de dos tramos y dos volados (EI constante) recibe las cargas indicadas. Resolver por el método de flexibilidad considerando únicamente efectos de flexión. Utilizar como redundante X1 el momento interno en B (positivo para tracción en fibra inferior). Dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector, acotando los valores y distancias.
Fórmulas: 3
A
A
B
wL
ML
6 EI
24 EI
; B
ML
3 EI
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Pregunta 2 (8 puntos)
En el pórtico mostrado, determinar el desplazamiento horizontal del nudo B (en mm) y el giro del nudo A (en rad). Usar el método de la carga unitaria. La reacción horizontal en A ha sido hallada por el método de flexibilidad: RA = 57,62 kN hacia la izquierda. El material es concreto con módulo de elasticidad E = 20 GPa y la sección en todo el pórtico es rectangular de 0,30 x 0,50 m. Considerar solamente los efectos de flexión.
Pregunta 3 (7 puntos)
Se muestra una parrilla ABCD en vista horizontal y en proyección oblicua. Sus elementos son de un mismo material y de sección uniforme. Resolver por el método de flexibilidad considerando solamente los efectos de flexión y torsión. Utilizar como redundante la reacción vertical X1 en D (positiva hacia arriba). Dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante (en kN), momento flector (en kN‐m) y momento torsor (en kN‐m) en cada barra de la parrilla. Considerar GJ = 0.85 EI.
VISTA HORIZONTAL
PROYECCIÓN OBLICUA
Profesores del curso: Francisco Ginocchio Daniel Quiun Jonathan Soto Nicola Tarque San Miguel, 14 de noviembre de 2014 Página 2 de 3
REF. Gere – Timoshenko, “Mecánica de Materiales” Segunda Edición (1986)
Fórmula de carga unitaria: 1 D
x
Nn EA
dx
x
f yV y v y GA
dx
x
f zV z v z GA
dx
x
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M y m y EI yy
dx
x
M z m z EI zz
dx
x
T t GJ
dx
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 (CIV223) 4ta. Práctica (tipo a) (Segundo Semestre 2014) Indicaciones: 1. Duración: 1 hora y 50 minutos. 2. Se permite el uso individual de calculadora. No se permite el uso de programas. 3. No se permite el uso de libros, apuntes de clase, problemas resueltos o algún otro material. 4. En todas las preguntas deben indicarse todos los pasos seguidos, los cálculos intermedios y las unidades empleadas.
5. El procedimiento, la explicación, el resultado y la limpieza de los trabajos influirán en la calificación. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Pregunta 1 (4 puntos) En el pórtico mostrado, calcular las reacciones y dibujar el diagrama de momento flector al disminuir la temperatura 25 °C solamente en la parte externa del pórtico. El coeficiente de dilatación es
= 1,2x10‐5 °C‐1. Considerar únicamente efectos de curvatura (flexión).
Utilizar como redundante la reacción horizontal X1 en C (positiva hacia la izquierda). El material es concreto (módulo de elasticidad E = 20 GPa). La sección de todo el pórtico es cuadrada de 0,40 x 0,40 m.
L
Valores de integrales que tienen productos
X
M M dx : 0
V
L
M 1 M 3 L / 3
X
M 1 M 3 L / 6
X
M 1 M 3 L / 2 Página 1 de 3
D
T º h
L
0
mdx
Pregunta 2 (5 puntos) Se muestra un perfil de acero (E = 200 GPa, σf= 250 MPa). a) Hallar el factor de forma (f=Mp/Mf). b) Hallar el momento M1 aplicado tal que la zona plástica alcance el total de la altura de las alas. c) Si se retira M1 , hallar los esfuerzos residuales. Presentar sus resultados en un diagrama acotado.
Pregunta 3 (8 puntos) La barra rígida ABCD se apoya en A y está colgada de las barras BE, CF y DG como se muestra en la figura. La carga P aumenta gradualmente de valor hasta que se alcance la fluencia en todas las barras. Luego, la carga P se retira hasta la descarga total. Hallar la carga de inicio de fluencia, la carga última y los esfuerzos residuales en las barras luego de la descarga total.
BARRA
E (GPa)
f (MPa)
BE
80
150
300
CF
200
250
400
DG
200
250
400
σ
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A (mm2)
Pregunta 4 (3 puntos) Se muestra la distribución de acero en una columna. Utilizando las fórmulas del AISC, se pide calcular las cargas crítica y admisible de una de las barras de la sección cuadrada mostrada para los sectores A, B y C. Nota: Asumir que el concreto se ha fisurado de tal manera que las barras longitudinales de acero se modelen como simplemente articuladas entre estribos. Considerar el módulo de elasticidad E = 2x106 kg/cm2 y el esfuerzo de fluencia σf = 4200 kg/cm2. a) Acero longitudinal de 3/4” y estribo de φ 3/8” @ 0,10 m (sector A). b) Acero longitudinal de 3/4ʺ y estribo de φ 3/8” @ 0,30 m (sector B). c) Acero longitudinal de 1/2ʺ y estribo de φ 3/8” @ 0,30 m (sector C).
Formulario: 2 E
C C
f
Le 2 5 3 Le 1 Le cr f 1 ; FS 2 2 C C C 3 8 8 C C C cr
Le
3
Le
C C
Le
C C
2
E
2
; FS=23/12=1,92
Profesores del curso: Francisco Ginocchio Daniel Quiun Jonathan Soto Nicola Tarque
San Miguel, 28 de noviembre de 2014 Página 3 de 3
FCI-Adm-4.01
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 2 (CIV223) 2do. Examen (Segundo Semestre 2014) Indicaciones Generales:
Duración: 3 horas Materiales o equipos a utilizar: útiles personales y sólo una calculadora; sin libros, separatas, ni apuntes de clase. No se permite el uso de celulares, tabletas o laptops.
Advertencia: la presentación, la ortografía y la gramática influirán en la calificación.
Puntaje total: 20 puntos. ——————————————————————————————————————
Cuestionario: Pregunta 1 (6puntos) El pórtico mostrado consta de una columna y dos vigas. El material del pórtico es concreto armado con E= 2x10 6 t/m2. La sección en todo el pórtico es 0,20 x 0,30 m con la mayor dimensión paralela a la carga distribuida. Utilizando el método de flexibilidad, calcular las reacciones de todos los apoyos considerando sólo los efectos de flexión. Considerar como redundantes la reacción horizontal X1 (hacia la derecha) y la reacción vertical X2 (hacia arriba), ambas del apoyo A. Se pide: a) Graficar los DMF de la estructura primaria isostática (sin redundantes) y luego de cada carga unitaria asociada a las redundantes (se puede usar el análisis de vigas por asimilación a volados; es decir, gráficas parciales). b) Determinar los coeficientes D iP y f ij c) Calcular las reacciones. d) Presentar los diagramas de momento flector finales en el pórtico. Nota: Indicar en cada tramo las operaciones para determinar los coeficientes de flexibilidad y los desplazamientos en la estructura primaria.
FCI-Adm-4.01
Pregunta 2 (5 puntos) La figura muestra una parrilla simétrica ABCD en el plano horizontal con cargas verticales hacia abajo w AB = wBD = 3 kN/m y w BC = 4 kN/m. Sus elementos son de un mismo material y de sección uniforme. Resolver por el método de flexibilidad considerando solamente los efectos de flexión y torsión. Utilizar como redundantes las reacciones verticales X1 y X2 en A y D, respectivamente (positivas hacia arriba). Dibujar los diagramas finales acotados de fuerza cortante (en kN), momento flector (en kN-m) y momento torsor (en kN-m) en cada barra de la parrilla. Considerar GJ = 0,85 EI.
Pregunta 3 (4 puntos) Para la viga de acero ( E = 200 GPa y simétrica) se muestra, determinar:
= 300 MPa), cuya sección (doblemente
σf
a) El momento MF (en kN-m) que inicia la fluencia. b) Los esfuerzos (en MPa) y deformaciones en la sección cuando actúa MF. c) Los esfuerzos (en MPa) y deformaciones en la sección cuando actúa un momento M1 igual al 90% del momento que plastifica totalmente la sección. d) Los esfuerzos residuales (en MPa) y las deformaciones unitarias permanentes al retirarse el momento M1.
Ala de 210 mm x 15 mm Alma de 400 mm x 15 mm
m (entre ejes)
FCI-Adm-4.01
Pregunta 4 (5 puntos) La columna de acero (E=200 GPa, f =250 MPa), tiene 8,8 m de luz libre y puede considerarse como bi-articulada en el plano XY y empotrada-articulada en el plano XZ. La sección tiene forma de I con platinas adicionales de 100mm de ancho y 3mm de espesor soldadas a ambas alas . La carga axial llega excéntrica como se indica. Determinar con las fórmulas empíricas del AISC y la fórmula de interacción lo siguiente: a.- El máximo valor de la carga P en kN que puede aplicarse a la estructura. b.- El máximo valor de la carga P en kN en el caso de que se colocan arriostres a los 4,4 m de altura en el plano de falla obtenido en la parte a).
Formulario:
2 E
C C
f
Le 2 5 3 Le 1 Le cr f 1 ; FS 2 C C 2 C 3 8 8 C C C cr
Le
axial adm axial
3
Le
C C
Le
C C
2
E
2
; FS=23/12=1,92
flexión
1
adm flexión
Profesores del curso: Francisco Ginocchio C. Daniel Quiun W. Jonathan Soto O. Nicola Tarque R. San Miguel, 5 de diciembre de 2014.
FCI-Adm-4.01
REF. Gere – Timoshenko, “Mecánica de Materiales” Segunda Edición (1986)
Fórmulas de carga unitaria: 1 D
Nn
EA
x
dx
x
f yV y v y GA
dx
x
f zV z v z GA
dx
x
M y m y EI yy
dx
x
M z m z EI zz
dx
x
T t GJ
dx
