Practicas Para Bachillerato 2016 (Digital Para El Colegio)

Contenido 1. GEOMETRÍA GEOMETRÍA........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ................ 1

�. �� ......................................................................................................... 1 ��

�. �� ............................................................ ........................................................... 1� �. �� .......................................................... ............................... 26 ��

�. �� ..................................................................................................... 3� �� ........................................................................................... 46 2. FUNCIONES FUNCIONES ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ............................ ..............53

�. �� ..................................................................................................... 53 ��

�. �� ...................................................................................................... 60 �� f ( x ) = a x + b + c

�. �� .............................................................. ........................................ �6 �� f ( x ) = mx + b 2 �� f ( x ) = ax

+

bx + c , a

≠

0

x �� f ( x ) = a

�� f ( x ) = loga x

�. �� ..................................................................................... ��

�. �� ........................................................................... ........ ................................................................... ..................................... 110 �� .............................................................................. ............... ............................................................... ............. 121 3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ...................................................................................................... 129

�. �� ......................................................................... ............................ 12� ��

�. �� ................................................................... ............................. 13� ��

�. �� ...................................................................................... ................... ................................................................... ........................... 14� ��

�� .............................................................. ...... 15� 4. PRÁCTICAS PRÁCTICAS FINALES ............................. ........................................... ............................. ............................. ............................ ............................. .............................. ...................... .......163

�� 1 ................................................................................................. ................. 163 �� 2 ................................................................................................. .................................. ............................................................... ................. 1�3 �� 3 ................................................................................................. .................................. ............................................................... ................. 1�2 5. RESPUESTAS RESPUESTAS ............................ ........................................... .............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ....................... .........193

PIMAS

Geometría

A. Geometría analítica 1.1 Representar las circunferencias de

1. Representar gráficamente gráficamente una circunferencia dado su centro y su radio.

manera analítica y gráfica.

2. Representar algebraicamente algebraicamente una circunferencia dado su centro y su radio. 3. Determinar gráfica y algebraicamente si un punto punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia.

1.2 Analizar relaciones de posición

4. Determinar si una recta dada es secante, tangente o exterior a una

entre rectas y circunferencias.

circunferencia. 5. Representar gráfica y algebraicamente algebraicamente rectas secantes, tangentes tangentes y exteriores a una circunferencia. 6. Analizar geométrica y algebraicamente la posición posición relativa entre rectas en el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad. 7. Aplicar la propiedad propiedad que establece establece que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.

1.3 Utilizar la geometría analítica para 8. Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones. representar

circunferencias

y

9. Aplicar traslaciones a una circunferencia.

transformaciones.

Elementos básicos del círculo y la circunferencia Para calcular el área de un círculo se utiliza la fórmula A = r π y para calcular la longitud de una circunferencia se utiliza C 2

o bien C

= d π , donde r es el radio de la circunferencia y

= 2 πr

d es la medida del diámetro.

Fórmulas básicas de Geometría Analítica Sean A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano cartesiano. La distancia entre A y B , denotada AB es la longitud del segmento

d

2

= ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

2

AB , y se calcula con la fórmula

.

El punto medio entre los puntos A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) es: P m

 x + x =  1 2  2

,

y1 + y 2 2

 . 

Completar el cuadrado

Cuando aparece una expresión de la forma x

2

b + bx y se necesita de la forma ( x − h ) 2 , se suma a ambos lados d e la ecuación   2

2

y se factoriza el polinomio correspondiente como un trinomio cuadrático perfecto.

Prácticas para Bachillerato

1

PIMAS

Geometría

Ecuación canónica y posición de un punto respecto a una circunferencia Considere una circunferencia de centro O ( h, k ) y radio r y un punto P ( x, y ) . Si ( x − h )

2

2

+ ( y − k ) = r 2 ,

entonces, P pertenece a la circunferencia. (Ecuación de la

circunferencia). Si ( x − h )

2

+ ( y − k ) > r 2 , entonces, P es exterior .

2

Si ( x − h )

2

+ ( y − k ) < r 2 , entonces, P es interior .

2

Ecuación de una recta La ecuación de una recta vertical es x

= a ,y

las que no son verticales tiene

ecuación y = mx + b , en particular y = b es la ecuación de una recta horizontal. La forma estándar de la ecuación de una recta: Ax + By + C = 0

Para encontrar la pendiente “ m ” dados dos puntos: ( x1 , y1 ) y pertenecen a la recta se utiliza la fórmula m =

− y1 x2 − x1

y2

( x2 , y2 ) que

. Para encontrar la intersección

con el eje y “ b ” dada la pendiente y un punto, se sustituye los valores de m y las coordenadas de un punto en la ecuación y

= mx + b .

Una fórmula directa para b teniendo m y un punto ( x, y ) es b = y1 − mx1 .

Posición entre rectas En caso de que la intersección de dos rectas en un mismo plano sea un punto decimos que las rectas son concurrentes. Sin embargo, no siempre será posible encontrar tal in tersección: si el conjunto solución es vacío, entonces las rectas son paralelas.

Mientras que si tenemos un sistema dependiente las dos ecuaciones representan la misma recta, o bien las rectas son coincidentes.

Dos rectas cuyas ecuaciones son l1 : y si m1

2

= m1 x + b1 y

l2 : y = m2 x + b2 son paralelas si y sólo

= m2 .


PIMAS

Geometría

Dos rectas cuyas ecuaciones son l1 : y

= m1 x + b1

y

l2 : y

= m2 x + b2

son

perpendiculares si y sólo si m1 ⋅ m2 = −1 .

Rectas tangentes Una recta es tangente a una circunferencia si, y solo si, es perpendicular al diámetro que pasa por  el punto de tangencia. Si BT es tangente en T ⇒ m∠OTB = 90° .

Posición entre rectas y circunferencias Considere la circunferencia de ecuación ecuación y Sea

2 2 ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 y

la recta de

= mx + b

∆ el discriminante de la ecuación ( x − h ) 2 + ( mx + b − k ) 2 = r 2 que se obtiene al

sustituir la ecuación de la r ecta en la ecuación de la circunferencia. Si

∆ > 0 ⇒ La ecuación tiene dos soluciones reales ⇒ la recta es secante

a la

circunferencia. Si

∆ = 0 ⇒ La ecuación tiene una única solución real ⇒ la recta es tangente a la

circunferencia. Si

∆ < 0 ⇒ La ecuación no tiene soluciones reales ⇒ la recta es exterior

a la circunferencia.

Traslación de circunferencias Al trasladar la circunferencia de centro O ( k , h ) y radio r , en dirección

( a, b )

se

obtiene

la

circunferencia

con

ecuación

2 2 ( x − k − a ) + ( y − h − b ) = r 2 .


3

PIMAS

Geometría

SELECCIÓN ÚNICA O RESPUESTA BREVE

5)

La Piedra del Sol de los aztecas, es un disco circular

que está compuesto por varios círculos con el mismo centro.

1)

En una circunferencia de longitud 20π , ¿cuál es el área

siguiente imagen:

del círculo correspondiente?

A) B) C) D)

2)

10 10π 100 100π

En un círculo de área 36π , ¿cuál es el longitud de la

circunferencia asociada?

A) B) C) D)

3)

El menor de ellos posee un rostro humano, según la

Si la medida del radio de la Piedra del Sol es de 1,77 metros y la medida del diámetro del disco con el rostro humano es de

6

0,75 metros, entonces, la diferencia en metros de las

6π

longitudes de los diámetros de la Piedra del Sol y de su disco

12

menor es:

12π

Las llantas de una bicicleta tienen una longitud

aproximada de 63cm . ¿Cuál es aproximadamente la medida

A)

1,02

B)

1,40

C)

2,04

D)

2,79

del diámetro de esas llantas?

A)

4,47cm

B)

8,96cm

C)

10,03cm

D)

20,15 cm

4)

6)

puntos A ( 2,4 ) y B ( −4,8 ) ?

B)

A)

( −2,12 )

B)

( −1, 6)

C)

( −3, −2 )

D)

( −6, −4 )

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la

circunferencia con centro en el origen y radio tres? A)

( 0,3 )

(−

3, 0

C)

(1, 2 )

D)

( 0,0 )

¿Cuál es el punto medio del segmento formado por los

)

7)

Respecto a los puntos A y B de la pregunta anterior,

¿cuánto es aproximadamente la distancia entre ellos?

R/

4


PIMAS

8)

Geometría

El punto medio del segmento formado los puntos

P ( a, −9 ) y Q ( 5, b ) es (1, −2 ) . Entonces, los valores de a y b respectivamente son:

A)

3y

−11

B)

2 y

−7

C)

−3 y

D)

6y

9)

11) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la circunferencia de ecuación x 2

− 4 x + y 2 + 6 y = −4 ?

A)

C)

B)

D)

2

2

5

−11

Respecto a los puntos P y Q de la pregunta anterior,

¿cuánto es aproximadamente la distancia entre ellos?

R/ 12) ¿Cuál es el centro de la circunferencia con ecuación 2 2 ( x + 5) + ( y − 3) = 15 ?

10) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la circunferencia de centro O ( −2,3 ) y radio r = 3 ? A)

A)

( −5, −3)

B)

( 5, −3)

C)

( −5,3 )

D)

( 5,3 )

C)

13) ¿Cuál es el radio de la circunferencia con ecuación x 2

B)

D)

2

+ ( y − 11) = 9 ?

A)

3

B)

9

C)

11

D)

81

14) Si P (10,15 ) pertenece a una circunferencia de centro O ( −20, −8 ) , ¿cuánto es aproximadamente el radio de la circunferencia?

R/


5

PIMAS

Geometría

15) La circunferencia de centro O (1, −5) y radio r = 2 , se

radio de la circunferencia C?

representa algebraicamente con la ecuación:

A)

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 2

B)

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 4 2

18) De acuerdo con la información suministrada, ¿cuál es el

R/

19) ¿A cuál de las siguientes circunferencias pertenece el

2

C)

( x + 1) + ( y − 5) = 2

D)

2 2 ( x + 1) + ( y − 5) = 4

punto ( 5,4 ) ?

A)

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 81

B)

2 2 ( x + 1) + ( y − 3) = 36

C)

2 ( x + 4) + y 2 = 13

D)

2 2 ( x − 2) + ( y + 1) = 34

16) La ecuación de la circunferencia mostrada en la figura corresponde a:

20) Un avión está ubicado en el origen de coordenadas, y su radar tiene una cobertura de 3km . ¿Cuál inecuación deben cumplir los puntos ( x, y ) que están en el alcance del radar?

A)

x 2

− 4x + y2 + 2 y = 4

A)

x 2

+ y2 ≤ 9

B)

x 2

+ 4x + y2 − 2 y = 4

B)

x 2

+ y2 ≤ 3

C)

x 2

− 2x + y2 + 4 y = 4

C)

x 2

+ y2 ≥ 3

D)

x 2

+ 2x + y2 − 4 y = 5

D)

x 2

+ y2 ≥ 9

21) ¿Cuál de los siguientes puntos se ubica en el exterior de En una circunferencia C, los extremos de uno de sus

la circunferencia de centro A ?

diámetros está dado por los puntos A ( 4,5 ) y B ( −2,3 ) . Con base en ella conteste las preguntas 17 y 18

17) ¿Cuál es el centro de la circunferencia C? A)

( 3,1)

B)

(1, 4 )

C)

( 2,8 )

D)

( 6,2 )

6

A)

( −1,3)

B)

( −4,1)

C)

( −1, 2)

D)

( −3,1)


PIMAS

Geometría

22) Respecto

a

la

circunferencia

de

ecuación

Considere la siguiente representación gráfica de una recta y las circunferencias c, d y e. Con base en ella conteste las

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 36 , el punto ( 3,0 ) :

preguntas 27 a 30. A)

Es interior

B)

Es exterior

C)

Es tangente

D)

Está sobre la circunferencia

23) Respecto

a

la

circunferencia

de

ecuación

2 2 ( x + 3) + ( y − 2) = 2 , el punto ( −2,1) :

A)

Es interior

B)

Es exterior

C)

Es tangente

D)


27) La circunferencia que parece ser tangente a la recta es : A)

c

B)

d

C)

e

2, − 3 :

D)

Ninguna de ellas

A)

Es interior

28) ¿A cuál de las circunferencias es secante la recta?:

B)

Es exterior

C)

Es tangente

D)


24) Respecto a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 4 , el punto

(

)

25) Respecto 2

a

la

circunferencia

de

ecuación

A)

c

B)

d

C)

e

D)

Ninguna de ellas

2

( x + 3) + ( y − 2) = 4 , la recta x = − 1 : 29) ¿La recta es exterior a cuál de las rectas? A)

Es tangente

B)

Es exterior

C)

Es secante

D)

Es paralela

26) Respecto

a

la

circunferencia

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 36 , la recta y = x + 2 :

de

ecuación

A)

c

B)

d

C)

e

D)

Ninguna de ellas

30) ¿La recta pasa por el centro de cuál de las rectas? A)

c

A)

Es tangente

B)

d

B)

Es exterior

C)

e

C)

Es secante

D)

Ninguna de ellas

D)

Es perpendicular


7

PIMAS

Geometría

31) Respecto

a

la

circunferencia

de

ecuación

2 2 ( x + 3) + ( y − 2) = 4 , la recta y = − x − 4 :

A)

Es tangente

B)

Es exterior

C)

Es secante

D)

Es interior

32) Respecto x

2

a

la

circunferencia

de

ecuación

+ y + 4 y = 4 , la recta y = x + 1 : Es tangente

B)

Es exterior

C)

Es secante

D)

Es interior

I.

La recta y = 10 , es tangente a la circunferencia.

II.

La recta y

= − x − 2 , es secante a la c ircunferencia.

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

2

A)

34) Considere las siguientes afirmaciones:

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

35) Considere las siguientes afirmaciones

( −4,3 ) es un punto interior.

I.

El punto

II.

El punto ( 4,6 ) , es un punto exterior.

Considere la información donde se muestra una circunferencia con centro P y tangente al eje de las abscisas en

( 0,0 )

y


con base en ella conteste las preguntas 33, 34, 35 y 36. A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

36) La ecuación de la recta tangente a la circunferencia en

( 5,5 ) corresponde a: 33) Considere las siguientes afirmaciones: I.

El radio de la circunferencia es 10 .

II.

La

x

2

ecuación

de

la

circunferencia

+ y − 10 y = 0

es

A)

x = 5

B)

y = 5

C)

y = x

D)

y = 5x − 20

2


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

8


PIMAS

Geometría

37) La recta que interseca el eje “ x ” en x = 3 y el eje “ y ”

40) El punto de intersección de las rectas con las ecu aciones

en y = 12 , tiene ecuación:

2 y = x + 2 y y = −3x + 1 es el siguiente:

A)

y = −4 x + 12

A)

( 0,1)

B)

(1, 0 )

B)

y = 12x − 4

C)

y

= − x 4 + 3

C)

( 14 , 7 4)

D)

y

= 3x − 1 4

D)

( 7 4 , 14)

41) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela al eje x? 38) La recta que interseca el eje “ x ” en ( a, 0) y el eje “ y ” en

( 0,b) ,

con a

≠ b , a ≠ 0

y b ≠ 0 , está dada por la

ecuación:

A) B)

y

A)

y = 2

B)

x = 2

C)

y = 2 x

D)

y = x + 2

= ax b + a

y = ax

b

42) Sean las rectas l 1 y l 2 paralelas entre sí. Si la recta l 1

+b

C)

y

= −bx a x + a

D)

y

= −bx a x + b

está dada por y

la intersección de l 2 con el eje “ y ” es:

A)

( 0, 8 )

B)

( 0,115 )

C)

( 0, − 2 )

D)

( 0, 19 5 )

39) El punto de intersección de las rectas con las ecu aciones y − 2 x = 4 y x + 2 y = 3 es el siguiente:

= 5 2 x + 10 , y ( 2, 3) pertenece l 2 , entonces,

A)

( 2,–1)

43) Sean l 1 y l 2 dos rectas paralelas entre sí. Si l 2 está

B)

( –1, 2)

dada por y

C) D)

( –2,1) (1, –2)

= 2x + 3

y

( 3, 4 ) pertenece

a l 1 , entonces, la

intersección de l 1 con el eje " y " es: A)

( 0, − 2 )

B)

( 0, 5 2 )

C)

( 0,11 2 )

D)

( 0, − 10)


9

PIMAS

Geometría

44) l 1 y l 2 son rectas paralelas entre sí. Si la ecuación de l 1 es y =

A)

B)

2 x 3

+ 5 , entonces, una posible ecuación para l 2

y =

2 x

y =

3 x

C)

y

=

D)

y

=

es:

3

2

47) La ecuación de la recta paralela a 3 y − 4 x + 5 = 0 que contiene al punto ( −3,2 ) es:

A)

3 y − 4 x = 18

B)

−3 y + 4x = 18

C)

4 y + 3x = −1

D)

4 y − 3 x = 1

−3 x 2

−2 x 3

48) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular al eje x?

45) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta con ecuación 7 y + 3x

A)

y

=

B)

y

=

C)

y =

D)

y

=

3 7 7 3

=5?

B) C) D)

10

5 6

B)

x = 2

C)

y = 2 x

D)

y = x + 2

x+2

−3 7

−7 3

49) Sean l 1 y l 2 dos rectas perpendiculares entre sí. Si la

x+2

recta l 1 está dada por y

= 6 x + 6 , y la ecuación de

l 2 es y = mx + 7 ,

A)

y = 3x

B)

y = x

C)

y = −3 x + 6

D)

y = − x

6 5

−5 −6

= 3x – 2

(1, 3) , entonces, la ecuación de

x+2

entonces, el valor de “ m ” en l 2 es:

A)

y = 2

x+2

46) Sean l 1 y l 2 dos rectas paralelas entre sí. Si l 1 está dada por 5 y

A)

6 5


3

+ 83

3

+ 10 3

y l 2 contiene el punto

l 2 es:

PIMAS

Geometría

50) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a una

52) Considere la siguiente gráfica:

con pendiente “ a ” ( a ≠ 0, a ≠ 1) ? A)

y = x

a

+b

B)

y = ax + b

C)

y = − x

D)

y = − ax + b

a

+b De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, si l1

⊥ l y la

ecuación que define a l es y = −3x , entonces, ¿cuál es una ecuación que define la recta l 1 ?

51) En la figura las rectas l 1 y l 2 , perpendiculares entre sí y A)

que intersecan al eje " y " en un mismo punto

y = x

3

+4

B)

y = 3x + 4

C)

y = − x

D)

y = −4 x + 4

3

+4

53) Sea l la recta que contiene a ( 8,–3) y ( –4,5 ) . ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas y es perpendicular perpendicular a l ?

Considere las siguientes proposiciones:

7

l.

La pendiente de l 2 es

II.

La gráfica de l 2 interseca el eje " y " en

De ellas, ¿cuáles son

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

4

.

( 0,17 4 ) .

A)

y = 3 x

B)

y = 2 x

C)

y = −3 x

D)

y = −2 x

verdaderas?


2 3 2 3

11

PIMAS

Geometría

54) De acuerdo con la gráfica, una ecuación de l es:

Considere el siguiente contexto “El barrio”, y utilícelo para contestar las preguntas 57 y 58

El Barrio Sofía y Vicky son dos compañeras del colegio que viven en el mismo barrio, donde las calles son todas paralelas entre sí y están enumeradas del 0 al 10, igualmente que las avenidas. Cualquier calle es perpendicular a cualquier avenida, y todas las cuadras tienen el mismo tamaño. La

A)

y = 3 x

B)

y = 5 x

C)

y = −3 x

D)

y = −5 x

5

casa de Sofía está en la esquina de la calle 3 y avenida 4. La casa de Vicky está en la calle 6 y avenida 8.

3 5 3

55) Si y = kx + 2 y 2 y = − kx + 3 son las ecuaciones que definen dos rectas perpendiculares entonces k puede ser :

57) ¿Cuál es el mínimo número de cuadras que debe A)

2

B)

−1

C)

1

D)

−

caminar Sofía estando en su casa para ir a la de Vicky?

R/ 2

58) Vicky tiene en su casa un “router” que da una señal de 56) Si 3 y + 2 x − 6 = 0 y −2 y + kx + 1 = 0 son las ecuaciones de dos rectas perpendiculares entonces k es igual a:

internet de cuatro cuadras a la la redonda. Sofía necesita recibir recibir internet de la casa de Vicky para recibir un correo con una información de un trabajo del colegio. colegio. En la esquina de la calle calle 4 y avenida 5 hay una soda.

A)

3

B)

−3

C)

4

D)

−4

proposiciones.

3

I.

Sofía puede recibir señal de internet estando en su casa.

II.

Sofía puede recibir señal de internet estando en la soda.

3 De ellas, ¿cuáles son

12

Considere las siguientes

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


verdaderas?

PIMAS

Geometría

59) ¿Cuál de las siguientes rectas es con certeza tangente a

61) Considere la siguiente circunferencia de centro O

la circunferencia con centro A ?

↔

De acuerdo con los datos de la figura, si PQ es tangente a la circunferencia en P , ¿cuál de los siguientes ángulos es recto? 

A)

BC

B)

PQ

C)

KO

D)

EN

  

A)

∠ PQO

B)

∠QOP

C)

∠OPQ

D)

Ninguno de los anteriores

60) En la siguiente figura se muestra los puntos

62) De acuerdo con los datos de circunferencia de centro O

D, B , A , C , F , G, E donde AB ≅ AC

 donde AD es tangente a la circunferencia en A ¿cuál de los

≅ AG , m∠EGA = 100º ,

siguientes ángulos es recto?

m∠FCA = 80º y m∠DBA = 90º .

¿Cuál de las siguientes rectas es con certeza tangente a la circunferencia con centro A y radio AC ?



A)

∠ DBO

B)

∠CAD

C)

∠OAC

D)

∠OAD

A)

CF

63) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a una



B)

EG

circunferencia tangente al eje x?

C)

DC



 D)

A)

2 2 ( x + 1) + ( y − 7) = 36

B)

2 2 ( x − 1) + ( y + 5) = 25

C)

2 2 ( x − 1) + ( y − 3) = 1

D)

( x + 2)

BD


2

2

+ ( y − 2 ) = 12

13

PIMAS

Geometría

64) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a una circunferencia tangente a y

=x

en ( 2,2 ) ?

67) ¿Cuál de las siguientes rectas es tangente a la circunferencia de ecuación

2 2 ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 ,

donde

r > 0 ? 2

A)

x 2

+ ( y − 4) = 8

B)

x 2

+ ( y − 4) = 4

C)

x

2

+y =8

x

2

+y =4

D)

2

A)

x

=h

B)

y

= k

C)

x

= h + r

D)

y

= r − k

2

2

68) ¿Cuál de las siguientes rectas es tangente a la circunferencia de ecuación

65) El punto P ( 4,7 ) pertenece a una circunferencia de centro

( 2,3 ) .

2 2 ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 ,

r > 0 ?

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en

P a esa circunferencia? A)

y − 2 x = −1

B)

2 y + x = 18

C)

2 y + x

=8

D)

y − 2 x

= −14

A)

x

= k

B)

y

=h

C)

x

= r−h

D)

y

= k − r

Considere la circunferencia con centro en

66) El punto P ( 5, −2 ) pertenece a una circunferencia de 2 ecuación x

− 6x + y2 + 2 y .

tangente a la recta con ecuación y

es

= 2 x + 1 , y con base en

ella conteste las preguntas 69, 70, 71 y 72.

69) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por el centro y el punto de tangencia?

y − 2 x = −12 A)

B)

2 y + x = 1

C)

x − 2 y

=7

B)

D)

y − 2 x = 4

C) D)

14

(1, 4 ) que

¿Cuál es la ecuación de la recta

tangente en P a esa circunferencia?

A)

donde

2 1 2

−2 −1 2


PIMAS

Geometría

70) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el centro y el punto de tangencia?

A)

y

=

−1 2

B)

y = 2 x

C)

y

=

D)

y

=

x+

9

73) La circunferencia con centro en ( 0,3 ) es tangente a la recta con ecuación y

= −x +1 .

¿Cuál es el radio de la

circunferencia?

2

x + 7 2 x − 1 2

71) ¿Cuál es el punto de tangencia?

R/

A)

(

0, 9

2

)

B)

( 2,4 )

C)

 7 , 19  5 5   

D)

74) Al

trasladar

la

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 1) = 10 de

circunferencia

con

ecuación

manera que el centro quede en

(1, −4 ) se obtiene una circunferencia de ecuación: A)

2 2 ( x − 1) + ( y − 4) = 10

B)

2 2 ( x − 1) + ( y + 4) = 10

C)

2 2 ( x + 1) + ( y − 4 ) = 10

D)

2 2 ( x + 1) + ( y + 4 ) = 10

(1, 3)

72) ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

2

A) B)

2 3

C) D)

3


15

PIMAS

Geometría

75) La circunferencia C tiene ecuación x 2 + 2 x + y 2 = 8 . Se

78) Una traslación mueve el punto (1,5 ) al punto ( −2,7 ) . Al

realiza una traslación de C a una circunferencia D cuyo centro

aplicar esa misma traslación a la circunferencia con ecuación

pertenece a C. Una posible ecuación para D es:

A)

2 ( x + 1) + y 2 = 9

B)

2 ( x + 1) + y 2 = 8

C) D)

x 2

+( y −

8

2

)

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 3) = 1

ecuación:

=8

2 ( x + 4 ) + y 2 = 9

76) Al

trasladar

se obtiene una circunferencia de

la

circunferencia

con

A)

2 2 ( x − 5) + ( y + 5) = 1

B)

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 3) = 2

C)

2 2 ( x − 1) + ( y − 1) = 1

D)

2 2 ( x + 1) + ( y + 1) = 1

ecuación

2 2 ( x + 1) + ( y − 3) = 12 cuatro unidades hacia abajo, y cinco

unidades hacía la derecha se obtiene una circunferencia de ecuación:

79) Una traslación mueve el punto ( −2,3 ) al punto ( 2,5 ) . Al aplicar esa misma traslación a la circunferencia con centro en el origen y radio dos. se obtiene una circunferencia de

2

2

A)

( x − 4 ) + ( y + 1) = 12

B)

2 2 ( x + 3) + ( y + 8) = 12

C) D)

ecuación:

A)

2 2 ( x − 4) + ( y − 2) = 4

B)

2 2 ( x + 1) + ( y + 1) = 2

C)

2 2 ( x − 6 ) + ( y + 5) = 2

D)

2 2 ( x + 1) + ( y + 1) = 4

2 2 ( x − 6 ) + ( y + 7 ) = 12 2 2 ( x − 5) + ( y − 2) = 12

77) Al trasladar la circunferencia con ecuación x 2 + y 2 = 16 en dirección

( 2, −1)

se obtiene una circunferencia de

ecuación:

A)

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 1) = 16

B)

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 1) = 16

C)

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 1) = 16

D)

2 2 ( x + 2 ) + ( y + 1) = 16

16


PIMAS

Geometría

Considere la información de la siguiente representación

83) El punto cuya abscisa es cero y ordenada es cuatro, se

gráfica de una circunferencia de centro P y con base en ella

clasifica respecto a la circunferencia como:

conteste las preguntas 80, 81, 82, 83, 84, 85 y 86. A)

Interior

B)

Exterior

C)

Tangente

D)

Sobre la circunferencia

84) La recta con ecuación y = − x + 6 se clasifica como

80) ¿Cuál es el centro de la circunferencia? A)

(1, 2 )

B)

( 2,1)

C)

( 0,5 )

D)

( 5,0 )

A)

Secante

B)

Exterior

C)

Tangente

D)

Perpendicular

85) La ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( 5,0 ) es:

81) ¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la

y

=

B)

y

= 3x − 15

C)

y

= 3x − 5

D)

y

=

circunferencia?

R/

− x + 5

A)

3

− x + 7 3

86) Considere las siguientes afirmaciones sobre la representación gráfica anterior, tomando en consideración

82) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

A)

2 2 ( x + 2 ) + ( y + 1) = 5

B)

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 1) = 10

C)

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 1) =

D)

2

2

( x + 2 ) + ( y + 1) =

que su centro se traslada al punto B = ( 6, 0 ) :

I.

( 2,3 ) es se ubica en el exterior de la circunferencia.

II.

( 4,2 ) es se ubica en el interior de la circunferencia.

5 ¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

10 A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


17

PIMAS

Geometría

B. Polígonos 1.4

Calcular

áreas perímetros

y de

polígonos.

10. Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos. 11. Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diversos contextos. 12. Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos. 13. Calcular perímetros y áreas de polígonos no regulares utilizando un sistema de coordenadas rectangulares. 14. Resolver problemas que involucren polígonos y sus diversos elementos. 15. Estimar perímetros y áreas de figuras planas no poligonales utilizando un sistema de coordenadas rectangulares.

Un polígono regular es equilátero y equiángulo, y tienen una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono que se llama circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia se le dice centro del polígono O y al radio también

radio del polígono R . Una diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

El ángulo formado por los radios que unen dos vértices consecutivos del polígono con vértice en el centro se llama

ángulo central del polígono y lo denotaremos por ∠c . El ángulo interno está formado por dos lados consecutivos y lo denotamos por

∠i . El ángulo externo lo denotamos por ∠e y es siempre suplementario con ∠i .

El segmento que une el centro con el punto medio de cualquier lado se llama apotema del polígono. La denotamos por a y es perpendicular al lado y biseca al ángulo central. La circunferencia con centro en O y radio a es tangente a todos los lados del polígono, y se llama circunferencia inscrita al polígono.

Fórmulas para polígonos regulares n ( n − 3)

Número de diagonales

D =

Suma de ángulos internos

s = ( n − 2 )180°

Medida de un ángulo central

m∠ c =

Medida de un ángulo interno

m∠i =

Medida de un ángulo externo

m∠ e =

Perímetro

P = n ⋅ l ,

Área

A =

Ley de Senos

18

2

360° n

( n − 2 )180° n 360° n

P ⋅ a

a sen α

2

=

, m∠ i + m∠ e = 180°

l → medida de cada lado , a → apotema

b sen β


PIMAS

Geometría


6)

1)

central mide 45° ?

El número de lados de un octágono corresponde a:

¿Cómo se denomina un polígono regular cuyo ángulo

A)

6

A)

Triángulo

B)

7

B)

Cuadrado

C)

8

C)

Hexágono

D)

9

D)

Octágono

2)

¿Cuántas diagonales tiene un nonágono?

7)

La diagonal de un cuadrado mide 8cm . Entonces, la

longitud de la circunferencia inscrita en este c uadrado es:

R/

3)

¿Cuántos lados tiene un polígono que tiene nueve

diagonales en total?

A)

6

B)

3

C)

9

D)

21

A)

4π 2 cm

B)

8π 2 cm

C)

8π cm

D)

32π cm

8)

El perímetro de un pentágono regular es

60m .

Entonces, la medida de la apotema de dicho pentágono es

4)

aproximadamente:

Cada uno de los ángulos internos de un triángulo

equilátero mide:

A)

6m

B)

12m

A)

45º

C)

10,21m

B)

60º

D)

11,84m

C)

120º

D)

90º

9) 5)

La medida del ángulo externo de un polígono de doce

Si el área del circulo en el que está inscrito un c uadrado

es 18π dm , entonces el perímetro de ese cuadrado es: 2

lados es:

A)

15º

B)

30º

C)

150º

D)

348º

A)

12 dm

B)

24 dm

C)

24 2 dm

D)

36 2 dm


19

PIMAS

Geometría

10) ¿Cuál

es

aproximadamente

la

longitud

de

la

circunferencia en la que se puede inscribir un pentágono

14) ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular ABCDEF si la diagonal AE mide

108 ?

regular cuyo perímetro es 30 ?

R/

11) La medida de la apotema de un hexágono regular es

A)

27

B)

36

C)

18 3

D)

54 3

15) El diámetro de una circunferencia es 8 . ¿Cuál es la

3 3 . Entonces, la longitud de la circunferencia inscrita en ese

medida de la apotema de un cuadrado inscrito en dicha

hexágono es:

circunferencia?

A)

6π

A)

2

B)

12π

B)

4

C)

3 3π

C)

2 2

D)

6 3π

D)

4 2

12) Un cuadrado está inscrito en una circunferencia. Si el 2

16) Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una

área del cuadrado es 50m , entonces, el radio de la

circunferencia

circunferencia es:

circunferencia es:

A)

5m

A)

4π

B)

10m

B)

8π

C)

5 2m

C)

16π

D)

48π

D)

5 2

es

24 , entonces, la longitud de esa

2m

17) Un pentágono está inscrito en una circunferencia de 1,76 cm .

13) La medida del radio de una circunferencia es 12 . Si se

radio

Inscribe un triángulo equilátero en dicha circunferencia,

aproximadamente:

entonces, el área del triángulo es: A)

36 3

B)

81 3

C)

108 3

D)

144 3

20

A)

20 cm

B)

25 cm

C)

30 cm

D)

45 cm


Entonces,

su

perímetro

mide

PIMAS

Geometría

18) Un polígono regular posee 44 diagonales en total y

22) Matías tiene unos bloques de madera con forma de

cada uno de sus lados mide 10 cm . ¿Cuál es el perímetro,

polígonos regular. Uno de ellos tiene 5cm y un ángulo interno

en centímetros, de ese polígono?

de 108° . ¿Cuánto mide el perímetro de esa pieza?

A)

80

B)

110

C)

352

D)

440

A)

5cm

B)

30 cm

C)

25cm

D)

20 cm

19) Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es 8, entonces, la longitud de la circunferencia circunscrita en ese

23) En un terreno cuadrado se desea construir un redondel

cuadrado es

circular que abarque la cantidad máxima del terreno. Si el área del redondel es de 6724π m . ¿Cuál es el perímetro, 2

A)

8π

B)

32π

C)

4π 2

D)

8π 2

en metros, del terreno original?

A)

328

B)

656

C)

5278

D)

6724

20) Si la longitud del radio de una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es 2 3 cm , entonces, el perímetro de

24) Los jóvenes de un colegio organizan una carrera y

ese triángulo, en centímetros, es:

como premio otorgan medallas con la forma de pentágono regular. Si el lado de cada una de las medallas es de 6

A)

18

centímetros, entonces, ¿cuál es el área aproximada, en

B)

36

centímetros cuadrados, de una cara de dicha medalla?

C)

12 3

D)

36 3

A)

30,97

B)

31,69

C)

61,94

D)

123,87

21) Un polígono está inscrito en una circunferencia de radio 5 2cm . Si el ángulo interno del polígono es 90° , entonces,

25) Si Juan construye una mesa cuyo sobre o parte

el área de ese polígono, en centímetros cuadrados, es:

superior tiene forma de hexágono regular, entonces, la medida del ángulo interior que se forma en la intersección de dos lados consecutivos del sobre de la mesa es

A)

50

B)

100

C)

450

A)

60°

D)

636

B)

120°

C)

360°

D)

720°


21

PIMAS

Geometría

A continuación se le presenta la circunferencia circunscrita de

29) ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?

centro O a un polígono regular cuya apotema mide 7. Con base en la información anterior conteste los ítems 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 y 33.

A)

2

B)

5

C)

7

D)

10

30) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A)

E − O − B

B)

A − C − O

C) D)

 La recta OD pasa por M  La recta AD es perpendicular a DC

31) ¿Cuál es la medida aproximada de la longitud de la circunferencia?

26) ¿Cuánto mide el ángulo α ? A)

8,65

A)

36°

B)

17,30

B)

60°

C)

54,32

C)

72°

D)

234,94

D)

90°

32) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del polígono? 27) ¿Cuánto mide el ángulo ∠ EDA ? A)

10,18

A)

36°

B)

19,27

B)

60°

C)

25,43

C)

72°

D)

50,86

D)

108°

33) ¿Cuál es aproximadamente el área del polígono? 28) Una diagonal del polígono es: A)

BC

B)

OC

C)

DB

D)

D

22

R/


PIMAS

Geometría

A continuación s e le presenta u na circunferencia inscrita de

37) ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?

centro O a un polígono regular cuyo radio mide 10. Con base en la información anterior conteste los ítems 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 y 41.

A)

8

B)

16

C)

40

D)

20

38) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A)

E − O − A

B)

Las diagonales AE y FB se intersecan en O

C)

∆ AOB es equilátero

D)

 La recta AD es perpendicular a DE

39) ¿Cuál es la medida aproximada de la longitud de la 34) ¿Cuánto mide el ángulo α ?

circunferencia?

A)

45°

A)

62,83

B)

135°

B)

58,05

C)

128,57°

C)

24,04

D)

140°

D)

48,08

35) ¿Cuánto mide el ángulo ∠ BGF ?

40) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del polígono?

A)

135º

A)

61,23

B)

90°

B)

73,84

C)

67,5º

C)

80,00

D)

112,5º

D)

95,12

36) Una diagonal del polígono es: A)

ED

B)

OA

C)

HE

D)

D

41) ¿Cuál es aproximadamente el área del polígono? R/


23

PIMAS

Geometría

Considere la siguiente figura y con base en ella conteste los

Considere la siguiente figura formada por un cuadrado de lado

ítems 42 y 43.

12cm y cuatro triángulos equiláteros. Con base en ella conteste los ítems 46 y 47.

46) ¿Cuál es el área del pentágono JHGDI ?

42) ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD ? A)

3

B)

6

C)

9

D)

12

43) El perímetro de ABCD es aproximadamente: A)

11,30

B)

32,25

C)

13,50

D)

25,85

A)

64

B)

74

C)

84

D)

94

47) El perímetro del pentágono JHGDI es: R/

Considere las rectas con ecuaciones

a : y = 2 x, b : y = − x + 6, c : y = − x, d : y = x − 4 y Considere los puntos A ( −2, 3) , B ( −1, −3 ) , C ( 6, −3 ) , D (6, 6 ) y

E ( 0,8 ) .Con base en ellos conteste los ítems 44 y 45.

puntos

de

intersección

{C} = b ∩ d , { D} = c ∩ d .

los

{ A} = a ∩ c, { B} = a ∩ b ,

Con ellos se forma el cuadrilátero ABCD , utilícelo para

44) ¿cuál es el área del pentágono ABCDE ? A)

64

B)

74

C)

84

D)

94

45) El

perímetro

del

pentágono

contestar los ítems 48 y 49.

ABCDE

es

aproximadamente:

A)

25,80

B)

33,79

A)

C)

44,17

B)

12

D)

16,25

C)

15,78

D)

20

24

48) ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD ? 8,43


PIMAS

Geometría

49) El perímetro del cuadrilátero ABCD es:

A continuación se le presenta una gráfica de una curva ubicada en un sistema de c oordenadas cartesianas:

R/

En la figura se muestran las circunferencias con ecuaciones

x 2

+ y 2 = 9 y x 2 + y 2 = 16 una elipse entre ellas. Con base en

ellos conteste los ítems 50 y 51.

Con base en la información anterior conteste los siguientes dos ítems.

52) El área limitada por el eje de las abscisas y la curva dada en la anterior gráfica, es aproximadamente:

50) El perímetro de la elipse con certeza cumple P :

A)

12

B)

16

C)

18

D)

21

0 < P < 3π

B)

4 π < P < 15, 7

C)

18,84 < P < 25,12

D)

28, 32 < P < 35,15

51) El área A de la elipse con certeza cumple: A)

A)

0 < A < 3π

B)

4 π < A < 15, 7

C)

18,84 <

D)

28, 27 < A < 50, 27

53) El perímetro de la zona limitada por el eje de la a bscisas y la curva dada en la gráfica anterior, es aproximadamente:

A)

11,5

B)

13,5

C)

15,5

D)

17,5

< 25,12


25

PIMAS

Geometría

C. Transformaciones en el plano 1.6 Identificar simetrías.

16.

Determinar ejes de simetría en figuras simétricas.

17.

Identificar elementos homólogos en figuras que presentan simetría axial.

18.

Resolver problemas relacionados con la simetría axial.

1.7 Aplicar e identificar diversas

19.

Aplicar el concepto de traslación, homotecia, reflexión y rotación para determinar

transformaciones en el plano a

qué figuras se obtienen a partir de figuras dadas.

figuras geométricas.

20.

Identificar elementos de las figuras geométricas que aparecen invariantes bajo

reflexiones o rotaciones. 21.

Determinar el punto imagen de puntos dados mediante una transformación.

22.

Resolver problemas relacionados con diversas transformaciones en el plano.

Simetría axial Sea l una recta en un plano. La reflexión de un punto A (preimagen) sobre el eje de

simetría l es el punto A′ (imagen) tal que l es la mediatriz de AA′ .

Una recta divide al plano en dos semiplanos y cuando todos los puntos de una figura en un semiplano son la reflexión de los puntos en el otro semiplano decimos que la figura presenta simetría axial respecto a dicho eje.

La distancia de A′ a l es igual a la distancia de A a l .

Sean A y B dos puntos cualesquiera y l una recta. De todas las sumas de las distancias AP + PB donde P es un punto de l , la que tiene un menor valor es AR + RB donde R es la intersección de A′B y l , siendo A′ el simétrico de A respecto a l .

26


PIMAS

Geometría

A la reflexión del punto P , por lo general se le denota P ′ y también se le llama

punto simétrico respecto a l , o bien, homólogo de P .

La figura geométrica F ′ compuesta por los puntos simétricos de otra figura F también se le llama figura homóloga (simétrica). Esto en particular es importante para segmentos, ángulos y polígonos.

Reflexión La reflexión sobre la recta l : y

= mx + b ,

del punto P ( x, y ) ,

corresponde al punto Rl ( P ) o bien R , tal que R es simétrico a P respecto l . La reflexión sobre el eje x, del punto P ( x, y ) , corresponde al punto

R x ( P ) = ( x, − y ) . La reflexión sobre el eje y, del punto P ( x, y ) , corresponde al punto

R y ( P ) = ( − x, y ) .

Traslación La traslación del punto P ( x, y ) , en la dirección ( a, b ) corresponde al punto

T ( P ) = ( x + a, y + b)


27

PIMAS

Geometría

Homotecia La homotecia del punto P ( x, y ) , desde el centro 

O ( o, p ) y razón k es el punto H ∈ OP que cumple: OH

=

k ⋅ OP , y

H ( P ) = ( o + k ( x − o), p + k ( y − p) ) .

Si k > 0 , entonces, la homotecia es directa. Si k < 0 , entonces, la homotecia es indirecta.

Si k > 1 , entonces, la homotecia amplía la figura, mientras que si 0 < k < 1 , la homotecia reduce la figura.

La homotecia desde el origen ( 0,0 ) del punto P ( x, y ) y razón k es H O ( P ) = ( kx, ky ) .

Rotación La rotación del punto P ( x, y ) , con centro O ( o, p ) , y ángulo cumple:

OP

θ es el punto R ( a, b ) que

= OR y m∠POR = θ . Debemos indicar la dirección de la rotación: a favor

de las manecillas del reloj, o en contra de ellas.

P ′ ( y, − x ) corresponde a la rotación de 90º en sentido horario del P ( x, y ) respecto al origen.

P ′ ( − y, x ) corresponde a la rotación de 90º en sentido anti-horario del P ( x, y ) respecto al origen.

28


PIMAS

Geometría


5)

Un punto fijo (punto cuya imagen es sí mismo) es:

El siguiente dibujo presenta simetría axial. Con base en ella conteste los ítems 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

A)

A

B)

H

C)

F

D)

D

6)

1)

El eje de simetría es la recta: 

A)

AG

B)

FC

C)

HI

El segmento homólogo a AB es:

A)

AD

B)

DC

C)

AH

D)

GD

7)

¿Cuál ángulo es con certeza congruente a

∠ EBH ?



D)

2)



A)



B)

∠ FBH ∠ HDF

C)

∠ EDH

D)

∠ EBI

FD El punto simétrico a F es:

A)

E

B)

B

C)

D

D)

A

3)

La imagen de D a través de la simetría es:

A)

E

B)

B

C)

D

D)

A

4)

La preimagen de A a través de la simetría es:

8)

Suponiendo que F

−J −D

y I

− J − H , ¿cuál de las

siguientes expresiones es menor?

A)

FD + DB

+ JB

B)

FJ

C)

FH + HB

D)

FI + IB

9)

  Sea M la intersección de HI con AG . ¿Cuál de las

siguientes proposiciones puede ser falsa?

A)

AM

≅ MG





B)

AG ⊥ IH

A)

G

C)

AG = 2 AM

B)

B

D)

AB = AM

C)

D

D)

A


29

PIMAS

Geometría

El siguiente dibujo presenta simetría axial. J es el punto  medio de FI . Con base en la información conteste los ítems 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.

14) Un punto fijo (punto cuya imagen es sí mismo) es: A)

A

B)

H

C)

F

D)

E

15) El segmento homólogo a AG es:

10) El eje de simetría es la recta:

A)

AE

B)

DC

C)

HB

D)

GD



A)

AB 

B)

GH

C)

GF

16) ¿Cuál ángulo es con certeza congruente a ∠ EBH ?





D)

EJ

11) El punto simétrico a F es: A)

C

B)

G

C)

I

D)

A

12) La imagen de D a través de la simetría es:

B)

∠ EHD ∠ HDF

C)

∠ EAG

D)

∠ EAH

A)

17) ¿Cuál segmento es con certeza congruente a FD es:

A)

BD

B)

AF

C)

ID

D)

CI

A)

C

B)

B

18) Sea M la intersección de EJ con AB . ¿Cuál de las

C)

D

siguientes proposiciones es con certeza verdadera?

D)

A



A)

13) La preimagen de A a través de la simetría es: A)

G

B)

B

C)

D

D)

A

30

AM

≅ MJ





B)

AD  EB

C)

MG = MH

D)

m∠CMD = 60º




PIMAS

Geometría

En la siguiente figura representada en un plano cartesiano

23) ¿Cuántos ejes de simetría tiene la siguiente figura?

cada cuadro tiene una unidad de lado. Se dibuja la figura simétrica respecto al eje y. Con base en esa información conteste las preguntas 19 a 22.

19) La imagen de A corresponde al punto: A)

( 4,2 )

C)

( 2,4 )

D)

( −4, 2 )

0

B)

5

C)

10

D)

15

24) ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares hay diagonales que son ejes de simetría?

( 2, −4 )

B)

A)

A)

Pentágono

B)

Heptágono

C)

Octágono

D)

Nonágono

25) En un polígono regular, la intersección de dos ejes de

20) La imagen de B corresponde al punto.

simetría distintos es: A)

( 2,2 )

B)

( −2, 2 )

C)

( 2, −2 )

D)

( −2, −2 )

A)

Un vértice del polígono

B)

El punto medio de un lado

C)

El centro del polígono

D)

Ninguno de los anteriores

26) ¿Cuál de las siguientes figuras no tiene ejes de simetría?

21) La distancia de C a su homólogo es:

A) A)

1

C)

2

B) C)

2

D)

4

22) ¿La imagen de cuál punto tiene abscisa igual a uno y

B) D)

ordenada negativa? A)

A

B)

B

C)

C

D)

D


31

PIMAS

Geometría


Considere el siguiente contexto y utilícelo para contestar las preguntas 29 y 30.

A)

C)

Olimpiadas de la Playa En una actividad denominada “Olimpiadas de la Playa”, uno de los juegos consiste en partir del punto A , correr hacia el mar, llenar un vaso con agua y llevarlo al punto B . En la figura, C es simétrico a respecto a la recta l D)

B)

que representa hasta donde llega el mar, y C − D − B .

29) De acuerdo con el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones.

I.

El camino más corto para realizar el juego, consiste en

tomar el agua en el punto D .

II.

La distancia de A a D es igual a la distancia de D a

B .

28) Considere una recta l . Los puntos A′, B′ son simétricos a A, B respectivamente respecto a l . N y

son las

intersecciones de l con AA′ y BB′ respectivamente. Con base en esto, considere las s iguientes proposiciones.

= NA′

I.

AN

II.

El ángulo

∠ NMB ′ es recto. De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas?

De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

30) Suponiendo que AD = 50m, AC = 60m y BD = 100m , ¿cuál es, en metros, la distancia del punto B al mar?

R/

32


PIMAS

Geometría

Considere los puntos A ( −1, 4 )

y B ( 3,6 ) . Utilice la

33) Al aplicar la homotecia directa con centro en el origen que triplica el tamaño, la imagen del punto A , corresponde a:

información para contestar las preguntas 31 a 37.

A)

( −3,12)

B)

( 3, −12)

C)

 −1 , 4   3 3  

D)

 1 , −4  3 3   

34) La homotecia indirecta, con centro en A , que duplica el tamaño del punto B , corresponde a: A)

( 6,12 )

B)

( −9,0 )

C)

( −6, −12)

D)

(11,10)

35) La reflexión sobre y = x del punto A , corresponde a: A)

31) La reflexión sobre el eje x del punto A , corresponde a: A)

(1, 4 )

B)

( −1, 4 )

C)

( −1, −4 )

D)

(1, −4 )

C)

( −1, 4 )

D)

( 4, −1)

A)

(1, −4 )

( 3,6 )

B)

36) La reflexión sobre y = − x del punto B , corresponde a:

32) La reflexión sobre el eje y del punto B , corresponde a:

A)

( 4,1)

( 3,6 )

B)

( −3, −6 )

C)

( −6, −3)

D)

( 6,3 )

37) La reflexión sobre x = 5 del punto B , corresponde a:

B)

( −3,6 )

A)

( 3,5 )

C)

( 3, −6 )

B)

( 3,4 )

D)

( −3, −6 )

C)

( 5,6 )

D)

( 7, 6 )


33

PIMAS

Geometría

Considere los puntos A ( −2,1)

y B ( 3, −2 ) . Utilice la

40) Al rotar un ángulo de 45º desde A , en sentido horario, la imagen P del punto B , se representa en la siguiente

información para contestar las preguntas 38 a 43.

gráfica: A)

C)

B)

D)

41) La rotación de A , un ángulo de 90º en sentido horario medido desde el origen, corresponde a:

38) Al trasladar el segmento AB en dirección ( −2,1) se obtiene la siguiente rep resentación: A)

C)

A)

( −1, 2 )

B)

(1, −2 )

C)

( −1, −2 )

D)

(1, 2 )

42) La rotación de B , un ángulo de 90º, medido del punto D)

B)

A , en sentido anti horario, corresponde a:

A)

( −3, −6 )

B)

( 2,3 )

C)

( −2,3 )

D)

( −1, 4 )

39) Al trasladar el punto A en la dirección que indica el punto B se obtiene el punto: A)

( −5,3 )

B)

(1, −1)

C)

( 5,3 )

D)

34

( −1,1)

43) La reflexión sobre y = 1 del punto A , corresponde a: A)

( 4, −1)

B)

( −1,3)

C)

( 0, −1)

D)

( −1, 0 )


PIMAS

Geometría

En la figura se muestra el polígono FGHIJ visto como una

48) Bajo esta misma transformación, ¿cuáles serían las

trasformación del polígono ABCDE . Con base en esto

coordenadas de la imagen de

responda las preguntas 44, 45, 46, 47, 48, 49 y 50.

A)

( −2,0 ) ?

( 4,0 )

B)

( −4,0 )

C)

(10,6 )

D)

( −6, −2 )

49) De acuerdo con la transformación, suponiendo que el la razón de esta es k , considere las siguientes proposiciones:

I. 44) ¿Qué tipo de transformación es? A)

Si el perímetro de ABCDE es P , entonces, el

perímetro de FGHIJ es k ⋅ P

Una traslación

B)

Una rotación

II.

C)

Una homotecia

FGHIJ es k ⋅ A

D)

Una reflexión

45) Esta transformación:

De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas? A)

A)

Es directa y aumenta el tamaño

B)

Es indirecta y aumenta el tamaño

C)

Es directa y reduce el tamaño

D)

Es indirecta y reduce el tamaño

Si el área de ABCDE es A , entonces, el área de

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

50) De acuerdo con la transformación, suponiendo que el 46) La razón de la transformación: A)

Es un número entre -4 y -3

B)

Es un número entre -3 y 0

C)

Es un número entre 0 y 3

D)


47) El centro de la transformación corresponde a:

centro de la transformación es O , considere las siguientes proposiciones:

I.

C − O − H

II.

∠ EOD ≅ ∠JIO


Ambas

A)

( 2,2 )

B)

Ninguna

B)

( 4,4 )

C)

Solo la I

D)

Solo la II

C)

( 3,1)

D)

( 0,0 ) Prácticas para Bachillerato

35

PIMAS

Geometría

En la figura se muestra el triángulo DEF visto como una

En la figura se muestra el cuadrilátero EFGH visto como una

trasformación del triángulo ABC . Con base en esto responda

homotecia

las preguntas 51, 52 y 53.

responda las preguntas 54, 55 y 56.

51) ¿Qué tipo de transformación es?

54) Esta transformación:

A)

del cuadrilátero ABCD . Con base en esto

Una traslación

B)

Una rotación

C)

Una homotecia

D)

Una reflexión

A)

Es directa y aumenta el tamaño

B)

Es indirecta y aumenta el tamaño

C)

Es directa y reduce el tamaño

D)

Es indirecta y reduce el tamaño

52) De acuerdo con la transformación, suponiendo que el centro de la transformación es O , considere las siguientes

55) La razón de la transformación:

proposiciones:

I.

AB + BC + CA = DE + EF + FD

II.

∠ EFD ≅ ∠ACB


A)

Es un número entre -3 y -1

B)

Es un número entre -1 y 0

C)


D)


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

56) El centro de la transformación corresponde a:

53) De acuerdo con la transformación, considere las siguientes proposiciones: 



I.

AD  CF

II.

∠ EFD ≅ ∠ACB

A)

 13 ,3  2   

B)

(11,2 )

C)

( 9,2 )

D)

( 0,0 )


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

36


PIMAS

Geometría

En la figura se muestra el cuadrilátero EFGH visto como una

En la figura se muestra el cuadrilátero FGHI visto como una

trasformación del cuadrilátero ABCD . Con base en esto

rotación del cuadrilátero ABCD . Con base en esto responda

responda las preguntas 57, 58 y 59.

las preguntas 60, 61 y 62.

57) ¿Qué tipo de transformación es? A)

Una traslación

B)

Una rotación

C)

Una homotecia

D)

Una reflexión

60) El centro de la transformación corresponde a: A)

( 0,0 )

B)

( 5,0 )

centro de la transformación es O , considere las siguientes

C)

( 3,0 )

proposiciones:

D)

(1, 0 )

58) De acuerdo con la transformación, suponiendo que el

I.

Al aplicar la misma transformación a EFGH se obtiene

61) Esta rotación:

ABCD

II.

El área de EFGH es igual que el área de ABCD

De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

59) De acuerdo con la transformación, 



I.

AD  EH

II.

∠ ABC ≅ ∠EFG

A)

Es en sentido horario, y un ángulo agudo

B)

Es en sentido anti horario, y un ángulo agudo

C)

Es en sentido horario, y un ángulo obtuso

D)

Es en sentido anti horario, y un ángulo obtuso

62) De acuerdo con la transformación, cuyo centro es O :

I.

AO ≅ FO

II.

∠ ABC ≅ ∠IHG

De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas? De ellas, ¿cuáles son con certeza verdaderas? A) A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


37

PIMAS

Geometría

D. Visualización espacial 1.5 Visualizar y aplicar

23.

Identificar el radio y el diámetro de una esfera.

características y propiedades de

24.

Identificar la superficie lateral, las bases, la altura, el radio y el diámetro de un

figuras geométricas

cilindro circular recto.

tridimensionales.

25.

Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una esfera o

un cilindro y características métricas de ellas. 26.

Reconocer elipses en diferentes contextos.

27.

Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro de la base

y el vértice de un cono circular recto. 28.

Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un cono

circular recto y características métricas de ellas. 29.

Reconocer elipses, parábolas e hipérbolas en diferentes contextos.

30.

Plantear y resolver problemas que involucren secciones de un cono mediante

planos paralelos a la base.

Área lateral: Al = 2πrh ,

Cilindro

Área basal: A B = 2πr 2

Área total : A B = 4πr 2

Esfera

r2

+ h 2 = g 2

Área lateral: Al = πrg ,

Cono

Área basal: A B = π r 2

38


PIMAS

Geometría

Las curvas correspondientes a las intersecciones de un plano con una superficie cónica, se denominan, y se dibujan claramente en la siguiente tabla:

Si el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje, o bien,

Circunferencia

paralelo a las bases, la sección es una circunferencia.

Si el plano se inclina de manera que ahora es oblicuo a las bases, pero siempre sin intersecarlas, entonces,

Elipse

la sección es una elipse. La intersección de un plano oblicuo con una superficie cilíndrica también es una elipse

Si ahora el plano es paralelo a una generatriz interseca a una de las

Parábola

bases (pero no a ambas), entonces, la sección es una parábola.

Si el corte no es paralelo a la generatriz e interseca a las bases, entonces,

la

sección

es

una

hipérbola.

Hipérbola

El caso más sencillo, es cuando el plano es paralelo al eje, pero no pasa por él.


39

PIMAS

Geometría


5)

En la figura se muestra Una superficie cilíndrica que es

cortado por un plano perpendicular al eje. Entonces, la figura

1)

Al trazar un corte con un plano a una distancia de 3cm

plana que se obtiene corresponde a

del centro de una esfera, se obtiene una circulo de radio 4cm . ¿Cuánto mide el diámetro de la esfera? A)

8 cm

B)

10 cm

C)

12 cm

D)

15cm

2)

Una superficie cilíndrica se corta con un plano paralelo a

las bases. La figura plana qu e se obtiene corresponde a:

A)

Cuadrado

B)

Rectángulo

C)

Circunferencia

D)

Elipse

A)

Un cuadrado

B)

Un rectángulo

C)

Una circunferencia

D)

Una elipse

En la figura se muestra una superficie cilíndrica de radio 13cm y altura 26cm . Se hace un corte con un plano perpendicular a las bases que pasa por sus centros. Con base en esta información conteste los ítems 6, 7 y 8.

3)

Una superficie cilíndrica se corta con un plano paralelo

al eje de giro. La figura plana que se obtiene es con certeza:

A)

Un cuadrado

B)

Un rectángulo

C)

Una circunferencia

D)

Una elipse

6)

La figura plana que se forma es:

En la figura se muestra una superficie cilíndrica que es

A)

cortada por un plano transversal al eje. Entonces, la figura

B)

Un rectángulo no cuadrado

plana que se obtiene corresponde a:

C)

Una circunferencia

D)

Una elipse

4)

7)

Un cuadrado

El área de la figura plana co rresponde a:

R/ 8)

Se hace otro corte, paralelo y a una distancia de 5cm al

A)

Un cuadrado

B)

Un rectángulo

descrito anteriormente. Entonces, el área de la figura obtenida

C)

Una circunferencia

en el nuevo corte, corresponde a :

D)

Una elipse

R/

40


PIMAS

9)

Geometría

área total de un cilindro circular recto es

12) La medida de la altura de un cono circular recto excede

360π cm 2 , y la medida de la altura del cilindro equivale a

en 2 a la medida del radio de la base. Si el área de la base

cuatro veces la longitud del radio de la base, entonces, ¿cuál

es 36π , entonces, el área lateral del cono es:

Si e l

2

es el área lateral (en cm ) de dicho cilindro? A)

24π

A)

48π

B)

72π

B)

60π

C)

144π

C)

84π

D)

288π

D)

96π

10) La siguiente imagen muestra un tanque para el almacenamiento de agua, el cual tiene forma de cilindro

13) La altura y el radio de un cono circular recto son

circular recto:

congruentes. Si el área basal es 36π , entonces, la generatriz del cono mide:

A)

Si se desea pintar con un tipo de anticorrosivo la parte exterior

6 cm

B)

6 2 cm

C)

12 cm

D)

12 2 cm

del tanque (exceptuando las bases), entonces, ¿cuántos metros cuadrados de superficie se debe pintar? A)

10π

B)

24π

C)

84π

D)

96π

14) En un cono circular recto, la altura mide 2 cm menos que la generatriz, si el área basal es 36π , entonces, el área lateral es:

A)

48π

B)

60π

11) El área basal de un cilindro es igual que su área lateral.

C)

4 57π

Si el área total es 144π , entonces, la altura mide:

D)

48 13π

A)

6 cm

B)

12 cm

C)

18 cm

D)

24 cm

15) El área total de un cono circular recto de generatriz 10 es 75π . ¿Cuál es área lateral de dicho cono?

A)

15π

B)

25π

C)

50π

D)

150π


41

PIMAS

Geometría

Considere el siguiente cono donde los puntos marcados cumplen las siguientes condiciones:

• •

18) Al cortar el cono con un plano que pasa por AO , la figura plana que se obtiene es:

El vértice del cono es A y el centro de la base es O . A)

A − B − D − F .

•

OD es paralelo a AC .

•

B y C están en un plano paralelo a la base.

•

Los puntos B, C , D, E y F . pertenecen a la superficie

Una parábola

B)

Un triángulo

C)

Una hipérbola

D)

Una circunferencia

lateral. Además, E y F también a la base.

19) Al cortar el cono con un plano que pasa por BC , la figura plana que se obtiene es:

A)

Una parábola

B)

Una elipse

C)

Un triángulo

D)

Una circunferencia

20) Considere las siguientes proposiciones:

Con base en la información conteste los ítems 16, 17, 18, 19, 20 y 21.

I.

Los puntos

II.

D es el punto medio de AF

De ellas son con certeza verdaderas, A)

Ambas

B)

Ninguna

16) Al cortar el cono con un plano que pasa por OD , la curva

C)

Solo la I

plana que se obtiene es:

D)

Solo la II

A)

21) Considere las siguientes proposiciones

Una parábola

B)

Una elipse

C)

Una hipérbola

I.

Los puntos F

D)

Una circunferencia

II.

AF

17) Al cortar el cono con un plano que pasa por OB , la figura

De ellas son con certeza verdaderas,

A)

Ambas

Una parábola

B)

Ninguna

B)

Una elipse

C)

Solo la I

C)

Una hipérbola

D)

Solo la II

D)

Una circunferencia

42

− O − E son coplanares.

≅ AE

plana que se obtiene es:

A)

, B , D, O, C son coplanares.


PIMAS

Geometría

Considere el siguiente cono donde los puntos marcados

Considere el siguiente contexto “Lámpara de mi casa”, y

cumplen las siguientes condiciones:

utilícelo para contestar las preguntas 25 y 26.

•

El vértice del cono es A y el centro de la base es O .

•

B y C están en un plano paralelo a la base

•

AD = 17cm , OE

Lámpara de mi casa La sombra de una lámpara (cono truncado sin tapas),

= 16cm . BC = 10cm

posee las siguientes medidas: 20 cm de altura, 30 cm de diámetro en la circunferencia inferior y 10 cm de diámetro en la circunferencia superior. Además, a la mitad de la altura se le coloca una armazón de alambre, la cual sirve como base para el bombillo y es de forma circular.

Con base en la información conteste los ítems 22, 23 y 24.

25) De acuerdo con el contexto Lámpara de mi casa, ¿cuál es la medida del radio de la circunferencia de la armazón de

22) La altura del cono mide en c entímetros:

alambre?

A)

R/

6,67 cm

B)

7,5 cm

C)

10 cm

D)

15cm

23) El área lateral del cono es en centímetros cuadrados aproximadamente:

26) De acuerdo con el contexto Lámpara de mi casa, ¿cuál R/

es la medida de la c ircunferencia de la armazón de alambre?

24) ¿Cuánto mide, en centímetros, la altura del cono de

R/

vértice en A y diámetro BC ?

R/


43

PIMAS

Geometría

27) La siguiente imagen corresponde a una bola de

29) En la figura se muestras una bola de voleibol, supuesta

discoteca, la cual consiste en una esfera con su parte

esférica.

exterior recubierta totalmente con espejos para que refleje luces multicolores:

Si la longitud del diámetro de la circunferencia mayor de la bola es 40 cm , entonces, el área de dicha boya, en centímetros cuadrados, es:

Si el diámetro de la esfera es de 30 centímetros, entonces, 2

el total (en cm ) de la superficie recubierta con espejo, es aproximadamente:

A)

225π

B)

900π

C)

3625π

D)

4500π

A)

400π

B)

1600π

C)

3200π

D)

6400π

30) Una esfera tiene radio a + b donde a, b > 0 . El radio del círculo que corresponde al corte por un plano a una distancia de b del centro, mide

28) Un melón, supuesto como una esfera, tiene un diámetro es

A)

a

aproximadamente la superficie de la cáscara de esa mitad, en

B)

a

de

20 cm .

Se

corta

centímetros cuadrados?

A)

100π

B)

200π

C)

400π

D)

800π

44

por

la

mitad,

¿cuánto

2

C)

a 2 + 2ab

D)

b2


+ 2ab

PIMAS

Geometría

Considere el siguiente diagrama donde se muestran tres

Considere la siguiente información:

esferas tangentes entre sí, y se cumple que:

La siguiente representación gráfica ilustra una superficie

•

D y C son los centros de las esferas pequeñas, y E es

esférica cortada por un plano y una circunferencia producto

el centro de la esfera mayor.

del corte:

•

A, B y F pertenecen a dos de las esferas cada uno.

•

A − D − E − B − C − F .

•

BD ≅ BF y AF

= 12cm .

P es el centro de la esfera, Q es el entro del circulo obtenido al hacer el corte y R es un punto de la circunferencia de centro Q Con base en la información conteste los ítems 31, 32 y 33.

Con base en la información anterior conteste los ítems 34 y 35.

31) ¿Cuánto mide en centímetros el radio de la esfera de centro D ?

34) Suponga que el corte fue hecho a 6cm del centro de la esfera y que el diámetro de la esfera es de 24 cm . ¿Cuánto mide, en centímetros, QR ?

R/

32) El área total de la esfera de centro C corresponde, en centímetros cuadrados, a:

A)

16π

B)

64π

C)

72π

D)

144π

A)

6 2

B)

6 3

C)

6 5

D)

6 15

35) Suponga que QR = 7 cm y que el diámetro de la esfera mide 30 cm . ¿Cuánto mide, en centímetros, PQ ?

33) A la e sfera con centro en E, se le hace un corte por un  plano perpendicular al eje AF que pasa por el punto C . El radio del círculo que corresponde a la intersección es:

A)

2 5cm

B)

4 3cm

C)

6 3cm

D)

4 5cm

A)

4

B)

12

C)

4 11

D)

8 11


45

PIMAS

Geometría

AUTOEVALUACIÓN Geometría SELECCIÓN ÚNICA O RESPUESTA BREVE

3)

La ecuación de la circunferencia con centro en

( −1, 3) y

radio 4 corresponde a:

1)

La medida del diámetro de la rueda delantera de la

siguiente bicicleta es el triple de la medida del diámetro de la

A)

2 2 ( x − 1) + ( y + 3) = 4

B)

2 2 ( x + 1) + ( y − 3) = 4

rueda trasera, según se muestra en la siguiente figura:

C)

x 2

+ 2x + y2 + 6 y = 6

D)

x 2

+ 2 x + y 2 + 6 y = 16

4)

Sea la ecuación de la circunferencia ( x + 4 )

2

+ y 2 = 36 ,

un punto que se ubica en su interior corresponde a: La medida del radio de la rueda trasera es 22,50 cm . Entonces, la medida en centímetros, del diámetro de la rueda delantera es:

R/ 2)

(10,0 )

B)

( 0, 2 )

C)

(1, 0 )

D)

( 0, −6 )

¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la

circunferencia de ecuación x A)

A)

2

+ 6 x + y 2 = 16 ? C)

5)

Los extremos del diámetro de una circunferencia son

( −2,6 )

y

( 4,8 ) .

La ecuación de esa circunferencia

corresponde a:

A)

B)

46

D)

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 6 ) =

40

B)

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 6 ) = 40

C)

2 2 ( x − 1) + ( y − 7 ) =

D)

2 2 ( x − 1) + ( y − 7 ) = 10


10

PIMAS

6)

Geometría

Dada la siguiente gráfica, un punto que se ubica en el

exterior de dicha circunferencia corresponde a:

9)

circunferencia de ecuación x 2

A)

A)

(1, 2 )

B)

(1, 4 )

C)

( 3,2 )

D)

( 3,3 )

¿Cuál de las siguientes rectas es secante a la

y

= −x − 2

B)

y = 5

C)

y

= −x − 3

D)

y

=

4 x + 24 3

10) Respecto 7)

Sean l 1 y l 2 dos rectas paralelas entre sí. Si l 1 está

dada por y

=

6 5

x + 6 , y la ecuación de

l 2 es y

= mx + 7 ,

entonces, el valor de “ m ” en l 2 es: A)

B)

5 6

2

+ ( y − 2) = 9 ?

a

la

circunferencia

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 1) = 10 la recta y = x + 4

A)

de

ecuación

es:

Tangente

B)

Secante

C)

Exterior

D)

Paralela

6 5

−5 C)

6

11) La ecuación de la recta tangente a la circunferencia de

−6 D)

ecuación

5

2 2 ( x − 1) + ( y + 3) = 16

en

el

punto

( 5, −3)

corresponde a:

8)

Sea l la recta que contiene a

( 8,–3) y ( –4,5 ) . ¿Cuál

A)

x = 1

B)

x = 5

C)

y = − 3

D)

y = −7

es la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas y es perpendicular a l ? A)

y

=

B)

y

=

C)

y

=

D)

y

=

3 2 2 3

x

x

−3 2

−2 3

x

x


47

PIMAS

Geometría

12) La ecuación de la recta tangente a la circunferencia de 2 2 ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 10

ecuación

en

el

punto

(1,1)

Considere el siguiente contexto, y con base en él conteste las preguntas 15 y 16.

corresponde a:

• A)

En una pequeña ciudad se percibió un temblor. Se tiene la siguiente información:

x = 1

•

B)

y

= −3x + 14

C)

y

=

D)

y

= − 3x + 4

El temblor se percibe hasta 10 kilómetros a la redonda del epicentro.

•

x + 2

El epicentro de un temblor se ubica un kilómetro al norte, y cuatro kilómetros al este del c entro de una ciudad.

3

•

La casa de Stephanie está 4 kilómetros al oeste y 10 al sur del centro de la ciudad.

•

El supermercado está 6 kilómetros al oeste y 12 kilómetros al norte del centro de la ciudad.

13) Al

trasladar

la

circunferencia

de

ecuación

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 3) = 16 , cuatro unidades hacia la derecha, y

•

El banco está 4 kilómetros al oeste y 6 kilómetros al norte del centro de la ciudad.

•

tres unidades hacia abajo, se obtiene la circunferencia con

Una carretera recta pasa por el supermercado y la el banco.

ecuación:

15) Considere la representación algebraica de la situación, 2

A)

2

( x + 4 ) + ( y − 3) = 16

tomando como el origen el centro de la ciudad, y cada unidad de un kilómetro, y las s iguientes afirmaciones

2

B)

( x − 2) + y = 16

C)

2 2 ( x + 6 ) + ( y − 6 ) = 16

D)

2 2 ( x + 5 ) + ( y − 7 ) = 16

2

I.

La ecuación de la circunferencia que describe el límite

de la percepción del temblor es ( x − 4 )

II.

2

2

+ ( y − 1) = 10 .

El temblor se percibe en la casa de Stephanie.

De ellas son con certeza verdaderas, 2

2

14) La circunferencia de ecuación ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 , se traslada a la de ecuación x traslación fue en dirección:

A)

2

+ 4 x + y 2 + 2 y = 0 . Entonces, la

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

( −1, −3) 16) Considere las siguientes proposiciones

B)

(1, 3)

C)

( 3,1)

D)

( −3, −1)

48

I.

Existen puntos de la carretera donde se percibe el

temblor.

II.

El temblor se percibe en el supermercado.

De ellas son con certeza verdaderas: A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


PIMAS

Geometría

17) En una fábrica de pizarras acrílicas, el precio por

21) La suma de las medidas de los ángulos internos de un

centímetro cuadrado es de 5 colones. La escuela Las

polígono regular es 540° . Si la apotema del polígono mide

Palmitas encargó la construcción de una pizarra con forma

3,24 cm , entonces el área aproximada de ese polígono, en

cuadrada y con una longitud de 120cm de lado, entonces,

centímetros cuadrados, es:

¿cuánto dinero (en colones) se debe pagar por la pizarra? A)

9600

A)

38,13

B)

28 800

B)

51,44

C)

36 000

C)

166,67

D)

72 000

D)

536,76

18) Si la medida de cada uno de los lados de un triángulo equilátero es 12, entonces, ¿cuál es la medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo? A)

6

B)

2 3

C)

4 3

D)

8 3

19) Considere la siguiente figura:

22) El lado de un hexágono regular es de 6 m , entonces, el área aproximada de este polígono, en metros cuadrados, es A)

36,00

B)

62,36

C)

72,00

D)

93,53

Considere la siguiente representación de la gráfica de una curva ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas, y de acuerdo con ella c onteste los ítems 23 y 24.

De acuerdo con los datos de la figura, □ ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia de centro O . Si la longitud de la circunferencia es 4π , entonces, el perímetro de dicho cuadrado es: A)

8 2

B)

16 2

C)

2 2 +4

D)

4 2 +4

20) Un

polígono

23) El área limitada por el eje de las abscisas y la curva dada en la anterior gráfica, es aproximadamente:

regular

está

circunscrito

a

A)

5,0

B)

7,5

C)

9,5

D)

11,0

una

circunferencia de radio 10 cm . Si cada ángulo externo del

24) El perímetro de la región limitada por el eje de las

polígono mide 40° , entonces, el área aproximada de ese

abscisas y la curva dada en la anterior gráfica, es

polígono, en centímetros cuadrados, es:

aproximadamente:

A)

307,94

B)

327,60

C)

400,00

D)

423,00

A)

9,25

B)

8,15

C)

10,35

D)

13,25


49

PIMAS

Geometría

25) ¿Cuál de las siguientes figuras NO presenta simetría


axial?

I.

FE es paralela al eje de simetría.

II.

∠ AFC ≅ ∠BEH .

A)

C)




B)

D)

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


A)

Un rectángulo no cuadrado

La siguiente figura presenta simetría axial. Con base en ella

B)

Un triángulo isósceles

conteste los ítems 26, 27 y 28.

C)

Un rombo

D)

Un trapecio escaleno

30) ¿Cuál de las siguientes figuras tiene exactamente un eje de simetría?

26) La ecuación del eje de s imetría corresponde a:

A)

A)

Un triángulo equilátero

B)

Un trapecio rectángulo

C)

Un trapecio isósceles

D)

Una circunferencia

x = 0

B)

y

= −x + 2

C)

y

=

− x + 4

31) Los

puntos

respectivamente

(

)

y

homotéticos

a

A ( −2,1) y

A′ 2 ,11 5 5

3

Considere las siguientes proposiciones: D)

y

=

−2 x − 20 7

27) Considere las siguientes proposiciones: I.

G es el punto simétrico a D .

II.

EH

≅ FC .

De ellas son con certeza verdaderas, A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

50

I.

La homotecia es inversa.

II.

El centro de la homotecia es ( 3,2 )

De ellas son con certeza verdaderas: A) B)

Ambas Ninguna

C) Solo la I D) Solo la II


(

)

B ′ 4 , 7 son 5 5 B ( −1, −1) .

PIMAS

Geometría

32) Al reflejar el cuadrilátero ABCD sobre la recta x = − 1 se obtiene la siguiente figura:

A)

34) Al reflejar el punto

( −2, −8 ) sobre

la recta y

=x

se

obtiene el punto:

A)

( 8, −2 )

B)

( −8,2 )

C)

( 8,2 )

D)

( −8, −2 )

C)

35) Al rotar

( −1,5 ) desde

el origen un ángulo recto en

sentido horario se obtiene el punto:

A)

( 5, −1)

B)

( −5,1)

C)

( 5,1)

D)

( −5, −1)

B) D)

36) La rotación del punto A un ángulo de 120º medido desde el punto O , en sentido anti horario es el punto B . Entonces, la medida del ángulo

33) En una homotecia con centro el origen la imagen de

(1, −4 ) es

( 4, −16) .

Entonces,

bajo

esa

A)

30º

B)

60º

C)

90º

D)

120º

∠OBA es:

misma

transformación la imagen de ( 2,3 ) corresponde a:

37) Al hacerle un corte con un plano a una superficie A)

( −8, −12)

B)

( 8,12 )

C) D)

cilíndrica no es posible obtener:

A)

Un cuadrado

( −8,12 )

B)

Un triángulo

( 8, −12)

C)

Una circunferencia

D)

Una elipse


51

PIMAS

Geometría

38) Si el área lateral de un cilindro es de 96πcm2 y su altura

42) La longitud de la altura de un cono circular recto excede

mide 12cm , entonces el radio del cilindro es:

en 2cm a la medida del radio de la base. Si el área de la 2 base es 36 π cm , entonces, el área lateral del cono, en

R/

centímetros cuadrados, es:

39) La intersección de una superficie tridimensional con un plano es una elipse. Entonces es verdadero que:

A)

La superficie no puede ser esférica

B)

La superficie no puede ser cilíndrica

C)

La superficie no puede ser cónica

D)

La superficie podría ser cualquier esférica, cilíndrica

A)

48π

B)

60π

C)

72π

D)

80π

43) En la siguiente imagen se representa una sombra para

o cónica.

una lámpara, la cual tiene forma de cono truncado generado por la rotación de un trapecio rectángulo, cuyo lado opuesto a la altura lo denotamos con g , y con dos orificios circulares

40) En una superficie esférica de radio 10cm se hace un

(superior e inferior):

corte a una distancia de 6cm del centro. Entonces, la medida del diámetro de la circunferencia que se obtiene es:

A)

8cm

B)

10cm

C)

16cm

D)

20cm

De acuerdo con los datos de la imagen anterior, si la diferencia entre las medidas del diámetro del orificio superior e inferior de la sombra de la lámpara es de 10 cm , y la distancia

41) Al hacer un corte a una distancia de 15cm del centro de una esfera se obtiene un círculo de área 64 π cm , entonces, 2

entre los orificios es 12 cm entonces, la medida en centímetros de g es:

el área total de la esfera es:

A)

256 π cm 2

B)

900π cm 2

C)

1156 π cm 2

D)

2116π cm 2

52

R/

44) La intersección de un plano con una superficie cónica es una hipérbola. Entonces, es posible que

A)

El plano es paralelo a la base.

B)

El plano es perpendicular a las base.

C)

El plano es paralelo a las generatrices.

D)

El plano es perpendicular al eje.


PIMAS

Funciones

A. Conjuntos numéricos 2.1 Utilizar elementos del

1.

Analizar subconjuntos de los números reales.

lenguaje de los conjuntos

2.

Utilizar correctamente los símbolos de pertenencia y de subconjunto.

numéricos para representar el

3.

Representar intervalos numéricos en forma gráfica, simbólica y por comprensión.

dominio y rango de funciones,

4.

Determinar la unión y la intersección de conjuntos numéricos.

así como el conjunto solución de

5.

Determinar el complemento de un conjunto numérico dado.

ecuaciones.

Subconjuntos de

ℝ

Conjunto

Naturales

Enteros

Decimales

Racionales

Reales

Irracionales

Símbolo

ℕ

ℤ

D

ℚ

ℝ

I

Cantidades

Los

que aparecen

naturales y

en la

sus

naturaleza.

opuestos.

Definición

Cantidades que equivalen a un número entero divido por

Cantidades que son cociente bien definido de dos

alguna potencia natural

enteros.

de 10 .

Cantidades expresables

Cantidades reales

en una recta.

no racionales.

Finita, decimal

Expansión decimal

Sin decimales

Sin decimales

Finita

periódica o

Finita o

Infinita no

decimal periódica

infinita

periódica

mixta ℕ ⊂ ℤ ⊂D ⊂ ℚ

Símbolo

⊂ ℝ,

I

∩ ℚ = φ,

I

∪ℚ = ℝ

Se lee

Interpretación

x ∈ A

x pertenece al conjunto A

x está en la lista de los elementos del conjunto.

x ∉ A

x no pertenece al conjunto A

x no está en la lista de los elementos del conjunto.

A ⊂ B

El conjunto A está contenido en el conjunto B

Todos los elementos de A pertenecen a B .

El conjunto A no está contenido en el conjunto B

Existen elementos de A que no pertenecen a B

A+ , A−

“ A más ” , “ A menos ”

El conjunto formado por los elementos del signo respectivo de A

A ∪ B

A unión B

A ∩ B

A intersección B

A − B

La diferencia entre A y B

⊄ B

Es el conjunto formado por los elementos que están en A o en

B . Es el conjunto formado por los elementos que están en A y en

B . Es el conjunto formado por los elementos que están en A pero no están en B .


53

PIMAS

Funciones

Intervalos Un intervalo I de ℝ es un subconjunto de números reales que satisface la siguiente propiedad: una desigualdad, y lo podemos representar mediante segmentos, rayos o semirrectas con base en la recta real. Los extremos pueden o no estar incluidos.

Notación gráfica

Notación de intervalo

]−2, π]

Notación por comprensión

{ x x ∈ ℝ, − 2 < x ≤ π}

 − 2 , +∞   

{ x x ∈ ℝ, −

 −∞, −4   5 

c

=U − A.

Es

el conjunto formado por los elementos que no pertenecen al conjunto dado.

Diagramas de Venn Cuando se tienen dos conjuntos, y es necesario analizar intersecciones, uniones, complementos o diferencias, es conveniente representarlos en lo que llamamos diagramas de Venn.

El rectángulo representa el universo, y está divido en cuatro regiones, I,II, III y IV, disjuntas (sin elementos en común) c

Las regiones corresponden a los siguientes conjuntos: I : ( A ∪ B ) ,

54

II : A − B,


≤ x}

 x x ∈ , −4 > x  ℝ   5  

Complementos El complemento del conjunto A respecto al universo U , es A

2

III : A ∩ B,

IV : B − A

PIMAS

Funciones


5)

Considere las siguientes afirmaciones respecto al

conjunto

1)

Considere las siguientes afirmaciones respecto al

conjunto ℚ .

I.

ℚ⊂ℤ

II.

0∈ℚ

I.

I

+

I

⊂

. ℝ

+

II. 0 ∈ I

¿Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas? A)

Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna


Sólo la I

B)

Sólo la II

6)

C)

Ambas

pero el número no es natural. Con certeza, ese número

D)

Ninguna

2)

ℚ

B)

D

C)

ℝ

D)

pertenece al conjunto:

El conjunto ℚ ∩ D corresponde a:

A)

A)

ℕ

B)

ℚ

C)

φ

D)

I

7)

ℤ

El conjunto ℕ ∪ ℤ corresponde a:

A)

ℕ

B)

ℚ

C)

φ

D)

ℤ

De los siguientes números, ¿cuál pertenece a

x ∈ ℝ

+

II. x ∉ ℚ


Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna

8) 4)

Considere las siguientes afirmaciones respecto a un

número negativo x de expansión decimal infinita no per iódica.

I. 3)

La expansión decimal de cierto número positivo es finita,

D?

El

conjunto

{ x / x ∈ ℕ, 2 < x ≤ 6}

expresado

por

comprensión corresponde a:

A)

2

A)

{2,3,4,5,6}

B)

5−3

B)

{3,4,5,6}

C)

52

C)

{2,3,4,5}

1

D)

{3,4,5}

1

D)

6


55

PIMAS

Funciones

Considere los conjuntos A = { x / x ∈ ℕ , 1 < x

Considere los conjuntos A = ℤ y B = ℚ referidos al

≤ 6} y

universo U = ℝ . Con base en esa información conteste las

B

= { x / x ∈ ℕ , 3 < x < 10} referidos al universo

U

= {x / x ∈ ℕ, x ≤ 11} . Con base en esa información

conteste las preguntas 9-12

preguntas 13-16

13) Considere las siguientes afirmaciones I.

9)

A ⊂ B

Considere las siguientes afirmaciones

II.

I.

A ⊂ B

II.

3 ∈ A − B

Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna

{0,1,10,11}

B)

{0,1,10,11}

C)

{4,5,6}

D)

{4,5,6}

∈ A − B

A)

Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna

14) El conjunto A ∪ B es:

10) El conjunto A ∪ B es: A)

3

¿Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?


1

A)

φ

B)

A

C)

B

D)

ℝ

c

c

15) El conjunto A ∩ B es: 11) El conjunto A ∩ B es: A) B)

{0,1,10,11} c

{0,1,10,11}

C)

{4,5,6}

D)

{4,5,6}

A)

φ

B)

A

C)

B

D)

ℝ

c

16) El complemento del conjunto B es: 12) El complemento del conjunto B es: A)

{1,2,3,10,11}

B)

{4,5,6,7,8,9}

C)

{0,1, 2,3,10,11}

D)

{0,1,2,3}

56

A)

ℚ

B)

ℕ

C)

A

D)

I


PIMAS

Funciones

17) La notación de intervalo para el conjunto representado

21) ¿Cuál de los siguientes intervalos es disjunto (su

gráficamente corresponde a:

intersección es el conjunto vacío) con [ 3,11[ ?

A)

[1, 5[

A)

]−4, 5[

B)

]1, 5[

B)

[ 2,15]

C)

]1, 5]

C)

]−∞, 3]

D)

[1, 5]

D)

[11,13]

18) La

notación

por

compresión

para

el

conjunto

22) ¿Cuál de los siguientes intervalos está contenido en

]−4, 0[ ?

representado gráficamente corresponde a:

A)

]−3, 0]

A)

{ x / x ∈ ℝ, x > 3}

B)

[ −4, 0]

B)

{ x / x ∈ ℝ, x < 3}

C)

]−2, 0[

C)

{ x / x ∈ ℝ, x ≥ 3}

D)

[ −4,1]

D)

{ x / x ∈ ℝ, x ≤ 3} 23) Considere las siguientes afirmaciones respecto al

19) ¿Cuál de los siguientes números es un elemento del

intervalo I

intervalo ]e, 3[ ? A)

e

B)

2

C)

3

D)

11

C) D)

−1∈ I

II.

π∈I


intervalo ]m, m + 2[ para m > 0 ?

B)

I.

4

20) ¿Cuál de los siguientes números es un elemento del

A)

22 =  x / x ∈ ℝ, − 1 ≤ x <  . 7 

m+2

A)

Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna

m

2 2m + 1 2 m


57

PIMAS

Funciones

24) Considere las siguientes afirmaciones respecto a los intervalos I = [ −4, 5] y J = [ −5, +∞[ respecto al universo ℝ .

⊂

I.

I

II.

J =

J

c

]−∞ , −5]

28) La unión de los intervalos ]−4, 8] y ]5,9[ es: A)

]5,8 ]

B)

]−4, 5]

C)

[5,8 ]

D)

]−4, 9[


Sólo la I

B)

Sólo la II

Considere los conjuntos A = [ −2, 4] y B = [3,5[ referidos al

C)

Ambas

universo U = ℝ . Con base en esa información conteste las

D)

Ninguna

preguntas 29-32

25) El complemento, respecto a ℝ , del intervalo

[3,8[

29) Considere las siguientes afirmaciones :

corresponde a: A)

]−∞, 3] ∪ ]8, +∞[

B)

]−∞, 3[ ∪ [8, +∞[

C)

]3,8 ]

D)

[8, +∞[

I.

B − A = [ 4, 5[

II.

A − B

= [ −2, 3[


26) El complemento, respecto a ℝ , del intervalo ]−∞, −2]

A)

Sólo la I

corresponde a:

B)

Sólo la II

A)

]−∞, −2[

C)

Ambas

B)

[ −2, +∞[

D)

Ninguna

C)

]−∞, −2]

D)

]−2, +∞[

30) El conjunto A ∪ B es:

27) La intersección de los intervalos ]−11,4] y ]3, +∞[ es:

A)

[3, 4]

B)

]3, 4[

A)

[3, 4]

C)

[ −2, 5[

B)

]3, 4]

D)

]−2, 5[

C)

φ

D)

]−11, +∞[

58


PIMAS

Funciones

31) El conjunto A ∩ B es:

A)

]3, 4[

B)

[3, 4]

C)

[ −2, 5[

D)

]−2, 5[

Con base en esa información conteste las preguntas 33-36

33) Considere las siguientes afirmaciones :

I.

El conjunto A está contenido en la región II

II.

El conjunto P está contenido en la región I


32) El complemento del conjunto B es: A)

Sólo la I

A)

]−∞, 3] ∪ ]5, +∞[

B)

Sólo la II

B)

]−∞, 3[ ∪ [5, +∞[

C)

Ambas

C)

[5, +∞[

D)

Ninguna

D)

]−∞, 3[ 34) El número 216 pertenece a la región:

Considere los conjuntos A = { x / x

B

= 2k , k ∈ ℕ} ,

= { x / x = 3k , k ∈ ℕ} y P = { x / x esprimo} referidos al

universo U = ℕ .

A)

I

B)

II

C)

III

D)

IV

A continuación se muestra un diagrama de Venn donde se han representado los conjuntos A, B dentro de U en cuatro

35) El conjunto B − A es la región:

regiones disjuntas (de intersección vacía) denotadas I, II, II y IV.

A)

I

B)

II

C)

III

D)

IV

36) El conjunto A − B es la región:

A)

I

B)

II

C)

III

D)

IV


59

PIMAS

Funciones

B. Concepto de función 2.2 Aplicar el

6.

Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una función.

concepto de

7.

Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su dominio.

función en

8.

Calcular la composición de dos funciones.

diversas

9.

Identificar las condiciones para que una función tenga inversa.

situaciones.

10.

Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.

11.

Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa.

12.

Determinar y graficar la función inversa de f ( x ) = mx + b, m ≠ 0 .

13.

Analizar gráfica y algebraicamente la función con criterio dado por f ( x ) = a x + b + c .

Definición de función Una función de A en B es una relación, en la que se asigna a cada elemento de A un único elemento de B . Para denotar una función f con dominio A y

codominio B se escribe:

f : A → B, f ( x ) = criterio . Tanto en una gráfica, como en una tabla de valores, o en una representación algebraica, para asegurarse que la relación representa en una función debe verificarse: “Cada x tiene una única y”

Imágenes y preimágenes

Para calcular la imagen f ( a ) de un elemento del dominio a se sustituye el valor en el criterio. Para calcular las preimágenes x de un elemento del codominio b se iguala el valor al criterio y luego se resuelve la ecuación resultante f ( x ) = b . Gráficamente, debe buscarse los puntos ( a, b ) que pertenecen a la gráfica para concluir que b es una imagen de a .

Gráfico y ámbito

El gráfico de una función es el conjunto de todas las parejas ( x, y ) donde x ∈ D f , y

G f

= {( x, y ) / x ∈ D f , y = f ( x )} . El ámbito o rango es el conjunto de imágenes y es siempre un subconjunto del codominio y se

puede denotar como A f o bien, f ( D ) si D representa el dominio de f .

60

= f ( x ) :


PIMAS

Funciones

Intersecciones con los ejes

Cuando tenemos una función f , su gráfica:

Interseca al eje y en el punto ( 0, ) tal que y = f ( 0 ) ; la imagen de 0 . Interseca al eje x en todos los puntos ( x, 0 ) tales que f ( x ) = 0 ; las preimágenes de 0 .

Dominio y ámbito en una gráfica. Para determinar el dominio de una función dada su gráfica, se d ebe “proyectar” los puntos de la gráfica sobre el eje x, y ver el conjunto que se forma. Para determinar el ámbito se hace lo mismo pero sobre el eje y.

Intervalos de monotonía

Una función f es creciente en un intervalo I , si para cualesquiera x1 , x2 que pertenecen a ese intervalo, tales que x1 < x2 se cumple que f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .

Una función f es decreciente en un intervalo I , si para cualesquiera x1 , x2 que pertenecen a ese intervalo, tales que x1 < x2 se cumple que f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .

Una función f es constante en un intervalo I , si para cualesquiera x1 , x2 que pertenecen a ese intervalo, tales que x1 < x2 se cumple que f ( x1 ) = f ( x2 ) .

Composición de funciones Sean f : A → B y g : C

g  f : A → D ,

→ D funciones, donde

f ( A ) ⊆ C . La función composición, es

( g  f )( x ) = g  f ( x )  .


61

PIMAS

Funciones

Condiciones para que una función tenga inversa Sea f : A → B una función. Se dice que f es inyectiva, si cada imagen tiene una y sólo una preimagen.

Prueba de la línea horizontal: Una función es inyectiva si en su gráfica, no existe una línea horizontal que interseque la gráfica en más de un punto. Sea f : A → B una función. Se dice que f es biyectiva, si es inyectiva y el codominio se definió como el ámbito de la función. En tal caso, la función inversa de f existe.

Función inversa Si f es biyectiva, entonces, f f ( x ) = y

⇔

−1

: B → A es la función inversa de f si se cumple que:

f −1 ( y ) = x para cualquier valor x ∈ A y su respectiva y ∈ B .

Para encontrar el criterio de la función inversa de una función: Se plantea la ecuación f ( x ) = y , luego, se despeja x en términos de y . Por último, se escribe

f −1 ( x ) en vez de x , y x en vez de

.

Para dibujar la gráfica de la función inversa de una función dada, primera s e dibuja la recta identidad, luego se refleja cada punto de la gráfica de la función simétricamente sobre esa recta.

Función raíz cuadrada

( x ) = a

Para a > >0

Características básicas:

•

62

x+b +c

Si el dominio es

Para a < <0

[ −b, +∞[


•

Si el dominio es

[ −b, +∞[

el ámbito es [c, +∞[

el ámbito es

• f es inyectiva

• f es inyectiva

• f es creciente

• f es decreciente


]−∞, c ]

PIMAS

Funciones


4)

Considere las siguientes relaciones:

I.

g : ℝ +

II.

f : ℤ

1) Analice las siguientes relaciones I.

f : ℤ → ℚ, f ( x ) =

II. g : ℤ → ℚ, g ( x ) =

+

x

→ ℤ ; con g ( x ) = x2 → ℤ ; con f ( x ) = x − 5

x − 2 De ellas, ¿cuáles corresponden a una función?

x − 2 x

A)

Ambas

B)

Ninguna

De ellas, ¿cuáles con toda la certeza son funciones?

C)

Solo la I

A)

Ambas.

D)

Solo la II

B)

Ninguna.

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.

2)

5)

Una gráfica que representa una función corresponde a:

A)

C)

¿Cuál de las siguientes relaciones es una función? D)

B)

A)

1 f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x

B)

f : ℝ → ℝ, f ( x ) =

C)

f : ℕ

→ ℕ, f ( x ) = x − 1

D)

f : ℕ

→ ℕ, f ( x ) = x + 1

x

6)

Considere las relaciones representadas en las

siguientes tablas: x

3)

I. II.

-1

0

1

2

1

0

1

4

1

2

3

4

0

-1

-2

-3

I. Considere las siguientes relaciones:

g : ℤ → ℤ , con g ( x ) = x 2 f : ℤ +

+4

→ ℤ ,con f ( x ) = x + 4

x

II.

De ellas, ¿cuáles corresponden a una función?

¿Cuál o cuáles de ellas representan una función?

A)

Ambas

A)

Ambas

B)

Ninguna

B)

Ninguna

C)

Solo la I

C)

Solo la I

D)

Solo la II

D)

Solo la II


63

PIMAS

7) I.

Funciones

Considere los siguientes gráficos:

11) Para la función f dada por f ( x ) = 4 +

−3

{(1,1) ,( 1,2) , (1,3)}

5

x , la

preimagen de 2 en f es:

II.

{(1,1) ,( 2,1) , (3,1)}

A)

De ellos, ¿cuáles corresponden a una función? B)

A)

Ambos

B)

Ninguno

C)

Solo el I

D)

Solo el II

C)

D)

8)

g ( x ) = 2

II.

f ( x ) =

x + 1 x + 1

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

C) D)

17 5

x + 1 x − 7

la

función

f : ℝ – { 7} → ℝ ,

y analice las siguientes proposiciones:

I.

1 es la preimagen de 10

II.

La imagen de 0 es negativa


La imagen de 1 en la función dada por f ( x ) =

1 es: 3 + x

A)

Sólo la I

B)

Sólo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna

4 1

13) Considere la función

2

  x 2 si x < −2  g : ℝ → ℝ, g ( x ) = 5 si −2 ≤ x < 7 1  si x ≥ 7  x

−4 1 4

10) La imagen de f ( x ) =

12 es: −3 + x

A)

–3

B)

–4

C)

–9

D)

– 15

64

14 5

f ( x ) = 10 −

números reales?

B)

3

12) Considere

De ellas, ¿cuál puede tener como dominio el conjunto de los

A)

10

Considere los criterios de las siguientes funciones:

I.

9)

−2

−1

en la función

f

dada por

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A)

g ( 0 ) = 0

B)

g ( −2 ) = 4

C)

g ( 3) > g ( −3)

D)

g ( 2011) < 2011


con

PIMAS

Funciones

14) Las siguientes proposiciones se refieren a una fu nción f

17) Un

cuyo gráfico es G f .

h : ]−∞, −4[ → ℝ , h ( x ) = − 4 x + 3 corresponde a:

I. II.

Si ( a, b ) ∈ G f y

De ellas son verdaderas

Solo la I

B)

Solo la II

C)

Ambas

D)

Ninguna.

del

ámbito

de

la

función

( a, c ) ∈ G f , entonces b = c .

Si f ( a ) = b , entonces ( a, b ) ∈ G f

A)

elemento

A)

19

B)

0

C)

7 4

D)

23

18) Sea f una función dada por f : A → [ 0, +∞ [ , con f ( x ) =

x . Si el ámbito de f corresponde a {1, 4, 9} ,

entonces, el dominio de f es:

+

15) Si el gráfico de una función f corresponde a

A)

ℝ

{( 3,0 ) , ( 5,1) , ( 7,2)} , entonces, el ámbito de

B)

{1,2,3}

C)

{1,4,9}

D)

{1,16,81}

A)

{0,5,2}

B)

{0,1, 2}

C)

{1,2,7}

D)

{3,5,7}

f es:

19) Considere la siguiente gráfica de la función f :

16) Sea la función f : {3, 7} → { 2} , entonces, un elemento que pertenece al gráfico de f es: De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las A)

( 2, 3)

B)

( 3, 2 )

C)

( 2,7 )

D)

( 3,7 )

siguientes proposiciones:

I.

El dominio de f es {1} .

II.

La función tiene un cero.

De ellas, ¿cuáles son verdaderas? A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


65

PIMAS

Funciones



De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las siguientes proposiciones:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el ámbito de

I.

5 es un elemento del ámbito de f .

II.

Cero posee únicamente dos preimágenes en f .

la función corresponde a:

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

[ –2, 2]

A)

Ambas

B)

[ –5, 2]

B)

Ninguna

C)

C)

Solo la I

[ –2, +∞[

D)

Solo la II

D)

[ –5, +∞[

23) Considere la siguiente grafica de una función f : 21) Considere la siguiente gráfica de la función f :

De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las

De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de f es:


I.

El ámbito de f es [ 2, 4] .

II.

El dominio de f es

[ −2, +∞[ .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

66

A)

[ −2, 2]

B)

[ −2, +∞[

C)

[ −3, 3[ ∪ ]4, +∞[

D)

[ −2, 2] ∪ {4}


PIMAS

Funciones

24) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f ,


analice las siguientes proposiciones:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el dominio de

f es:

I.

El dominio de f es [ –2, 4]

II.

Si x ∈ ]0,4] entonces f ( x ) < 0

¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A)

Ambas.

B)

Ninguna.

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.

A)

[0, +∞[

B)

[ –1, +∞ [

C)

]1, 3] ∪ { –1}

D)

]1, +∞[ ∪ {− 1}



De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las

I.

El ámbito de f es ] – ∞, 4] .

II.

3 es un elemento del dominio de f .


l.

5 es el máximo de f .

II.

2 es un cero de f .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


67

PIMAS

Funciones


Considere la siguiente gráfica de la función f para responder las preguntas 30 y 31.


30) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere


las siguientes proposiciones:

l.

f es decreciente.

II.

( 2, 3) pertenece al gráfico de

f .

I.

El ámbito de f es [ –1,1] .

II.

El dominio de f es [–2, +∞[ .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

A)

Ambas

D)

Solo la II

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II



31) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones:


I.

La función es creciente en [2, +∞[ .

II.

La función es decreciente en [1, 2] .


I.

f es creciente.

II.

El ámbito de f es [ –1, +∞ [


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

68


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


PIMAS

Funciones

34) ¿En cuántos meses hubo una venta de 600 productos


exactamente? A)

0

B)

1

C)

2

D)

3

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el dominio de

35) Considere las siguientes proposiciones.

f es: A)

ℝ

B)

[ 2, 4]

C)

] – ∞, 4]

D)

[0, +∞[

I.

El mes donde se vendieron más artículos fue mayo.

II.

El mes donde se vendieron menos artículos fue julio.


A continuación se muestra el gráfico correspondiente a las ventas de un producto en los meses de enero (mes 1) a

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

diciembre (mes 12). Con base en ella conteste los ítems 3336.

36) Considere las siguientes proposiciones. ��

I.

��

vendidos decreció.

Entre los meses de mayo a j ulio la cantidad de productos

��

II.

�

Entre los meses de agosto a octubre la cantidad de

productos vendidos aumentó. �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��


33) ¿Cuántos productos se vendieron en el mes de agosto?

R/

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


69

PIMAS

Funciones

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a la


temperatura promedio en grados centígrados en una ciudad

I.

de Heredia de los primeros quince días del mes de abril. Con

respecto al día anterior.

base en ella conteste los ítems 37-40.

Entre los días 5 y 9 la temperatura siempre disminuyó

II.

Entre los días 10 y 12 la temperatura siempre aumentó

respecto al día anterior. ��


��

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

��

�

�

�

�

�

�

�

�

��

37) ¿Cuál fue la temperatura promedio el día 13? Considere el contexto Composición de funciones para responder las preguntas 41 y 42.

R/

Composición de funciones

38) ¿En cuántos días hubo una temperatura promedio de 26 grados exactamente? A)

4

B)

5

C)

6

D)

7

Sean f y g dos funciones tales que f ( x ) = 2 x − 1 y g ( x ) = x 2

41) De acuerdo con la información del contexto anterior,

( g  f )( x ) corresponde a:


I.

II.

La temperatura promedio máxima fue de 35º.

La temperatura mínima promedio fue de 20º.

A)

( g  f )( x ) = 2 x 2 – 1

B)

( g  f )( x ) = 4 x 2 – 1

C)

( g  f )( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1

D)

( g  f )( x ) = 4 x 2 – 4 x + 1


Ambas

42) De acuerdo con la información del contexto Composición

B)

Ninguna

de funciones, ¿cuál es el valor de ( f  g )( −3 ) ?

C)

Solo la I

D)

Solo la II

70

R/


PIMAS

Funciones

Considere las siguientes gráficas de las funciones f y g , y

46) Sean f y g dos funciones tales que f : ℕ → ℤ con

con base en ellas conteste las preguntas 43 y 44.

( x ) = 3x −1

y g : ℤ → ℤ con g ( x ) = x . ¿Cuál es el 2

criterio de h ( x ) = ( g  f

)( x ) ?

A)

h ( x ) = 3 x2 − 1

B)

h ( x ) = 9 x2 − 1

C)

h ( x) = 9 x

D)

h ( x ) = 9 x2 − 6 x + 1

2

− 3x + 1

Utilice las funciones representadas en las siguientes tablas para contestar los ítems 47 y 48.

x

-1

0

1

2

2

4

5

6

1

2

3

4

0

3

-1

2

f

43) El valor de ( f  g )( −3) corresponde a: A)

2

B)

−1

C)

0

D)

1

x g

47) ¿Cuál es el valor de ( f  g )( 3) ?

44) El valor de ( g  f )( 3) corresponde a: A)

2

B)

0

C)

1

D)

−1

R/

48) ¿Cuál es el valor de ( f  f )( −1) ?

R/

45) Si f ( x ) =

1 x − 5

y g ( x ) = 3 x + 1 entonces el valor de

( f  g )( −1) corresponde a: A)

49) Considere las siguientes proposiciones para la función f con f : A → B , donde se sabe que tiene inversa.

−1

I.

El dominio de f es igual al ámbito de su inversa.

5

II.

El dominio y el ámbito de la inversa de f son iguales.

B)

1 5

C)

−5

A)

Ambas

D)

5

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II



71

PIMAS

Funciones

50) En cada una de las opciones se muestra una tabla de valores correspondientes a una relación. ¿Cuál de ellas corresponde a una función a la podría definir una función inversa?

x

0

1

2

3

5

7

5

6

52) Si f es una función biyectiva dada por f ( x ) = x 2 + 1 , y −1 dominio [ 0, +∞[ , entonces, la gráfica de f es:

A)

C)

B)

D)

A

x

0

1

2

3

3

4

4

4

0

1

2

1

5

7

4

6

B

x C

53) Considere las siguientes gráficas de las funciones g , f , k y h :

x

0

1

2

3

4

7

8

6

D

51) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función donde se puede definir una función inversa? A)

C)

D) B)

De acuerdo con los datos de las gráficas anteriores. ¿Cuáles de ellas representan la gráfica de una función y la de su inversa?

72

A)

f y k

B)

g y f

C)

h y k

D)

g y h


PIMAS

54) Si la función lineal f

Funciones está dada por f ( x ) = 2 x – 4 ,

entonces, la gráfica de f −1 es:

A)

B)

56) Si 1, −1

(

2

)

( −3, 1 4 ) pertenecen al gráfico de una

y

función lineal f , entonces el criterio de f −1 es:

C)

A)

f −1 ( x ) =

B)

f

C)

f −1 ( x ) =

D)

f −1 ( x ) =

−1

( x) =

−3 x − 5 16

−3 x − 11 16

−16 x − 5 3

−16 x + 11 3

D)

57) f es una función lineal creciente de dominio − 1

ámbito [ −11, −1[ . Entonces f

55) Si la función lineal f está dada por f ( x ) = 4x − 8 ,

A)

2

B)

3

C)

–2

D)

–3

58) Si ( 0,3 ) y

entonces, la gráfica de la inversa de f es:

− 1

A)

6

B)

4

C)

13

D)

−8

y

( −1) es igual a:

( −4,0 ) pertenecen al grafico de un función

lineal f , entonces f

A)

[−2,3[

( 4 ) es:

C)

3 3 3

59) Sea f una función biyectiva dada por f ( x ) = D)

−1 Entonces, la gráfica de f interseca el eje “

−2 x + 1 3

.

” en:

B) A)

( 0, 1 2 )

B)

( 0, 13 )

C)

( 0, 3 2 )

D)

( 0, −3 2 )


73

PIMAS

Funciones

−1 60) Sea f una función lineal y f su inversa. Si

− 1

f ( −4) = −2 y f

( 3) = 8 , entonces el criterio de la inversa

de f es:

A)

f

−1

B)

f

−1

C)

D)

63) Sea f la función dada por f ( x ) =

A)

 0, 1   2  

12

3

B)

 1  0, 3   

( x) =

12 4 x+ 5 5

C)

 1 ,0 2   

D)

 1 ,0 3   

5

f −1 ( x ) =

12

f −1 ( x ) =

10

5

5

x−

x+

1

38 5

3

, entonces, la

−1 gráfica de f interseca el eje “ y ” en:

( x) =

x−

1 − 2 x

26

64) Considere la gráfica de la función cuadrática f :

7

61) Si el dominio de la función biyectiva f dada por f ( x ) =

1 − x es [ 0,5] , entonces la inversa de f es tal que: 2

 

A)

f − 1 : [ 0,5] →  −2,

B)

f − 1 :  −2,

C)

D)

 

→ [0,5] con f −1 ( x ) = 1 − 2 x  2  

 

−1 con f ( x ) = 1 − 2 x  2

1

f − 1 : [ 0,5] →  −2, f − 1 :  −2,

1

1

 con f

2

−1

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, un intervalo donde f posee inversa es:

( x) = 2x −1

A)

[−3, 3]

B)

[0, +∞[

C)

[ −3, +∞[

D)

[ −9, +∞[

1

→ [0,5] con f −1 ( x ) = 2 x − 1  2

2 62) La función dada por f ( x ) = − x + x + 2 tiene inversa en

el intervalo:

A)

]−∞, +∞[

2 65) Sea f : [ 0, +∞[ → B , con f ( x ) = x + 4 una función

biyectiva. ¿Cuál es el dominio de la inversa de f ? B)

 1 , +∞   2 

A)

[0, +∞[

C)

[ −1, +∞[

B)

[4, +∞[

D)

[−1,2]

C)

] –∞, 0]

D)

ℝ – {4}

74

+


PIMAS

Funciones

66) f : [ −4, +∞[ → B, f ( x ) =

x + 4 tiene función con

inversa. De acuerdo con lo anterior, considere las siguientes

A)

−2

B)

−3

]−∞,0] .

C)

1

[−4, +∞[ .

D)

La función no tiene un máximo

proposiciones: −1

I.

El dominio de f

II.

−1 El ámbito de f es

70) El máximo de la función f ( x ) = 4 x + 2 − 3 es:

es


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la l

D)

Solo la II

71) El criterio de la función f mostrada a continuación es:

67) f : [3, +∞[ → B, f ( x ) = x − 3 , tiene función inversa. De acuerdo

con

lo

anterior,

considere

las

siguientes

proposiciones

I.

El ámbito de la inversa de f es [3, +∞[ .

A)

f ( x ) =

x−3 + 2

II.

El dominio de la inversa de f es [ 0, +∞[ .

B)

f ( x ) =

x+3+2

C)

f ( x ) =

x−3 −2

D)

f ( x ) =

x+3−2


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

72) Para la función de criterio f ( x ) = −2 x − 1 + 3 una proposición verdadera es:

68) Sea

f : A → [ 0, +∞[ , f ( x ) =

x − 2 una

función

biyectiva. ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f ? A)

ℝ

B)

]−∞, 2]

C)

[0, +∞[

D)

[2, +∞[

1

B)

3

C)

5

D)

La función no tiene un mínimo

El dominio es

B)

El ámbito es [3, +∞[

C)

La función es creciente

D)

El cero de la función es 13

4

73) Para la función de criterio f ( x ) = x + 9 − 6 una

69) El mínimo de la función f ( x ) = 3 x – 5 + 1 es: A)

[ −1, +∞[

A)

proposición falsa es:

[ −9, +∞[

A)

El dominio es

B)

El ámbito es

C)

La función es decreciente

D)

El cero de la función es 27


[ −6, +∞[

75

PIMAS

Funciones

C. Análisis de funciones 2.3 Utilizar distintas

14. Analizar una función a partir de sus representaciones.

representaciones de algunas

15. Representar gráficamente una función lineal.

funciones algebraicas y

16. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las

trascendentes.

abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica. 17. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con ella. 18. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio

f ( x ) = ax

2

+ bx + c, a ≠ 0 .

19. Relacionar la representación gráfica con la algebraica. 20. Analizar gráfica, tabular y algebraicamente las funciones exponenciales. 21. Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. 22. Analizar gráfica y algebraicamente las funciones logarítmicas.

Función lineal

( x ) = mx + b

Las gráficas de funciones de la forma

( x ) = mx + b son rectas, por eso las llamamos funciones lineales.

El valor de m se denomina

pendiente y b corresponde a la intersección con el eje y.

La función es estrictamente creciente si m > 0 .

La función es estrictamente decreciente si m < 0 .

Para calcular m y b se utiliza m =

− y1 x2 − x1

y2

La función es constante si m = 0 . La gráfica es una recta horizontal.

Las rectas verticales no corresponden a ninguna función.

y b = y1 − m ⋅ x1 donde ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) son puntos cualesquiera del gráfico.

Si el dominio de una función lineal es un intervalo de ℝ , el ámbito también será un intervalo de ℝ , cuyos extremos son las imágenes de los extremos del intervalo del dominio. De la misma forma, si el ámbito es un intervalo de ℝ , entonces el dominio es el intervalo de ℝ , cuyos extremos son las preimágenes de los extremos del intervalo del ámbito.

76


PIMAS

Funciones

Función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 a nos dice la concavidad: f es cóncava hacia arriba si a > 0 , cóncava hacia abajo si a < 0 .

∆>0

∆=0

∆<0

a > 0 El vértice es punto mínimo

a < 0 El vértice es punto máximo

El discriminante ∆ = b

2

− 4ac determina el número de intersecciones con el eje x. Si ∆ > 0 interseca

interseca en un punto y si

en dos puntos, si

∆=0

∆ < 0 no interseca en ningún punto. Estas intersecciones son (si existen) ( x1 , 0) y ( x2 , 0) , donde x1 y

x2 son las soluciones de la ecuación ax

2

+ bx + c = 0 .

El punto ( 0, c ) representa la intersección con el eje y.

El vértice V

−b −∆ = (V x ,V y ) =  ,  es el punto máximo o mínimo de la gráfica, dependiendo de la concavidad.  2a 4 a 

forma normal f ( x ) = a ( x − h )

2

+ k , entonces, V = ( h, k ) . La coordenada

Si la función está en

en x del vértice, representa el eje de simetría: x

=

−b 2a

Esto significa que puntos que estén a la misma distancia del vértice en el eje x, tendrá exactamente la misma imagen bajo f .

Para determinar los intervalos de monotonía de una función cuadrática, hay que calcular

V x y la concavidad, y para determinar el

ámbito hay que calcular V y y la concavidad. Si f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) , entonces, f interseca al eje x en ( x1 ,0) y ( x2 , 0 ) . Además, V x


=

x1 + x2

2

y V y

= f (V x ) . 77

PIMAS

Funciones

Función exponencial

( x ) = a x

Para a > > 1


• • •

Si el dominio es ℝ , el ámbito es ℝ +

• • •


• • •

Si el dominio es ℝ , el ámbito es ℝ +

Interseca al eje y en ( 0,1)

•

Interseca al eje y en ( 0,1)

No interseca el eje x

• •

No interseca el eje x

Dominio: ℝ f es inyectiva y

creciente

Asíntota: y = 0

Función logarítmica

Dominio: ℝ f es inyectiva y decreciente

Asíntota: y = 0

( x ) = log a x

Para a > > 1

Para


•

Dominio:

•

Si D f

•

f es

• •

78

0
Para

0

•

Dominio:

= ℝ+ ⇒ Af = ℝ ,

•

Si D f

= ℝ+ ⇒ Af = ℝ ,

inyectiva y creciente

•

f es

inyectiva y decreciente

Interseca el eje x en (1, 0) y no interseca el eje

•

Interseca el eje x en (1,0 ) y no interseca el eje

Asíntota: x = 0

•

Asíntota: x = 0

ℝ

+


ℝ

+

PIMAS

Funciones

SELECCIÓN ÚNICA O RESPUESTA BREVE 1)

4)

Considere la siguiente gráfica de la recta l :

De acuerdo con los datos de la gráfica de la función lineal

f , dada por f ( x ) = mx + b , se puede afirmar que:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la pendiente de la recta l ? A)

b>0 y m>0

B)

b>0 y m<0

C)

b<0 y m>0

D)

b<0 y m<0

2)

De acuerdo con los datos de la gráfica de la función lineal

f , dada por f ( x ) = mx + b , se puede afirmar que:

A)

3 4

B)

4 3

C)

−

3 4

D)

−

4

5)

3

Si la ecuación de una recta es y

= 5 + 4 x ; y de otra recta

es 10 x – 2y = 2 , entonces el punto de intersección de ambas rectas corresponde a:

A)

( 29,6)

A)

b>0 y m>0

B)

( 6,29)

B)

b>0 y m<0

C)

( −6,29)

C)

b<0 y m>0

D)

( 29, −6)

D)

b<0 y m<0

6) 3)

La intersección con el eje de las abscisas de la recta dada

por 3 x − y

= 6 corresponde a:

A)

( 2,0 )

B)

( 3,0 )

C)

( −2, 0 )

D)

y

La ecuación de la recta que contiene los puntos

 − 1 5  es:  2, 4  

A)

6 x + 13 y + 20 = 0

B)

6 x + 13 y + 32 = 0

C)

6 x – 13 y – 32 = 0

D)

13 x + 6 y – 1 = 0

( −3,0 )

(1, −2)


79

PIMAS

7)

Funciones

Considere la siguiente gráfica:


De acuerdo con los datos de la gráfica, una ecuación que define a la recta mostrada es:

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:

A)

y = −2 x − 1

B)

y = −2 x + 4

C)

y

=

D)

y

=

8)

− x − 2

B)

f es creciente.

II.

( −1, 4)

− x + 8


2

Si una recta está dada por y = mx + 3

y

( 2,6 ) pertenece

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

1 6

11) Considere las siguientes proposiciones con respecto a

2 3

una función lineal ámbito es

C)

D)

9)

es un elemento del gráfico f .

2

a dicha recta, entonces, el valor de " m " corresponde a A)

I.

−1

cuyo dominio es [ 0, +∞[ y

]−∞, b] .

6

3 2

La pendiente de una función lineal f es

−2 . Si ( 3,5 )

I.

m < 0

II.

b < 0


pertenece al gráfico de esa función, entonces, la preimagen de 3 es

A)

Solo I

A)

3

B)

Solo II

B)

4

C)

Ambas

C)

5

D)

Ninguna.

D)

7

80

( x ) = mx + b


PIMAS

Funciones

12) Sea f la función constante de la forma f ( x ) = mx + b .

Considere una función lineal f tal que

Si su gráfico contiene a ( 5,3) , entonces, el ámbito f es:

[ −1, +∞[ y

su ámbito

su dominio es

[3, +∞[ y utilícela para contestar los

ítems 15 y 16.

A)

ℝ

B)

{3}

C)

[0,3]

D)

[3,5]

15) Considere las siguientes proposiciones. l.

II. La pendiente de f es positiva.


13) Considere las siguientes proposicionesreferidas a una función lineal f cuya pendiente es

f ( 3) = −1

−5 2

, e interseca el eje " x

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

" en el punto ( 4, 0) .

16) La función pasa por el punto (10,58 ) e interseca el eje y l.

f es creciente.

II.

La gráfica de f interseca el eje "

en el punto ( 0, c ) . Entonces, el valor de c es: " en ( 0,10 ) .

R/ De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

17) Para la f función dada por f ( x ) = m se cumple con 4

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

14) Si f es una función dada por f ( x ) =

certeza que:

−5 7

x + b , con

A)

f ( 0 ) = 0

B)

f ( 4 ) = 1

C)

f 1

D)

f 1

( 2) = m 8 ( 4) = m 4

f ( −7 ) = 15 , entonces, la gráfica de f interseca el eje " x " en:

A)

18) Si ( –1, 5) pertenece al gráfico de una función lineal f

(10,0 )

dada por f ( x ) = mx – 2 , entonces, el valor de “ m ” es: A)

5

B)

(14,0 )

B)

−7

C)

( 28,0)

C)

−2

D)

−1

D)

 26 ,0  5   

5


81

PIMAS

Funciones

Considere la siguiente gráfica de la función identidad f y con

22) Considere la siguiente gráfica de la función lineal f :

base en ella conteste las preguntas 19 y 20.

19) La preimagen de 215 corresponde a:


R/

20) De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las siguientes proposiciones:

I. II.

( 2,1)

pertenece al gráfico de f .

f ( x ) ∈ ]0, +∞[ para todo x ∈ ]0, +∞[

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

21) Sea f una función lineal. f : ℝ → ℝ . Si la gráfica de f pasa por los puntos

( −2, 6 )

afirmar que f es positiva en: A)

ℝ

B)

]−∞,1[

C) D)

82

]0, 2[

y

La función f es creciente.

II.

Para todo x < –1 se cumple que f ( x ) > 0 .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

23) Considere la siguiente gráfica de la función constante f


A)

I.

( 4, −6 ) , entonces se puede

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el ámbito de la función corresponde a

A)

ℝ

B)

{3}

C)

[0, 3]

D)

[3, +∞[

]1, +∞[ Prácticas para Bachillerato

PIMAS

Funciones

24) La pendiente de una función lineal f es 2 . Si ( 3, 10 )

Considere la siguiente gráfica de la función lineal f y con

pertenece al gráfico de esa función, entonces, la imagen de

base en ella conteste los ítems 27 y 28.

“cero” en f es:

A)

3

B)

4

C)

6

D)

–2

25) Sea f una función biyectiva dada por f ( x ) = − 4 x + 12 . Considere las siguientes proposiciones:

27) La pendiente de la función corresponde a:

l.

La pendiente de la función inversa de f es 4 .

II.

La gráfica de la función inversa de f interseca al eje

R/

"y" en ( 0, − 3 ) .

28) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C) D)


I.

−2

Solo la I

II.

( –3, –1)

Solo la II


es un cero de f . es un elemento del gráfico de f .

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

f ( 0 ) > f (1) :

D)

Solo la II

I.

f es creciente

29) Para las funciones f y g dadas por f ( x ) = mx − 2 y

II.

Interseca al eje ” y ” en ( 0,1) .

g ( x ) = 1 + nx , si f ( −1) = 3 y

26) Considere las siguientes proposiciones referentes a la función lineal

f

dada por

( x ) = mx + 1 ,

tal que,

g ( −1) = 3 , entonces se

cumple que: De ellas, ¿cuáles son verdaderas? A)

f y g son crecientes

A)

Ambas

B)

f y g son decrecientes

B)

Ninguna

C)

f es creciente y g es decreciente

C)

Solo la I

D)

g es creciente y f es decreciente

D)

Solo la II


83

PIMAS

Funciones

30) Considere la siguiente grafica de la función lineal. El

33) Para la función f de la forma f ( x ) = ax2 + bx – 8 , cuya

punto donde la función interseca eje de las abscisas es: gráfica interseca el eje “ x ”en el único punto

( –3,0) ,

considere las siguientes proposiciones:

I.

El ámbito de f es [0, +∞[ .

II.

La gráfica de f es cóncava hacia abajo.


A)

( 6,0 )

B)

( 5,0 )

C) D)

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

34) Sea f la función dada por f ( x ) = ax 2 + 3 x + c cuyo

(152 ,0)

vértice eses ( 3,5 ) . Entonces el valor de “ c ” es:

( 215,0)

31) Sea f una función cuadrática tal que f ( x ) = 1 − x .

A)

1 2

B)

−1

C)

−3

D)

11

2

¿Cuál es el valor de f ( −3 ) ?

A)

2

B)

-2

C)

-5

D)

-8

2

35) De acuerdo con los datos de la gráfica siguiente de la función f , considere las siguientes proposiciones:

32) Considere las siguientes proposiciones, para la función f dada por

( x ) = x 2 + 2x + 1 :

I.

−2 es un elemento del ámbito de

II.

La gráfica de f interseca el eje “

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

f . ” en ( 0,–1) .

I.

El eje de simetría es x = 3 .

II.

Un intervalo donde f es decreciente es [ –25, –5] .

A)

Ambas


B)

Ninguna

A)

Ambas

C)

Solo la I

B)

Ninguna

D)

Solo la II

C)

Solo la I

D)

Solo la II

84


PIMAS

Funciones

36) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f ,

40) Considere la siguiente gráfica de una función cuadrática f , tal que, f ( x ) = ax 2

dada por f ( x ) = x 2 :

I.

El vértice de f es

II.

f interseca el “eje x ” en un solo punto.

+ bx + c :

( 0, 0 ) .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las

37) Considere la función f , dada por f ( x ) = –2 x 2 + 36 x : I.

f ( x ) > 0 , para todo x ∈ ]0, +∞ [

II.

El eje de simetría de la gráfica de f es x = 9 .


I.

a > 0

II.

∆<0


De las proposiciones anteriores, ¿cuáles son verdaderas? A)

Ambas

A)

Ambas

B)

Ninguna

B)

Ninguna

C)

Solo la I

C)

Solo la I

D)

Solo la II

D)

Solo la II

38) Si f ( x ) = 3 x 2 − Bx + 4 y f (1) = f ( 5) , entonces el valor 41) Sea f

de B es:

la

función

cuadrática

A)

9

f ( x ) = ax2 + bx − 4 , con vértice en ( −1,3) .

B)

−9


C)

18

D)

−18

39) Sea f una función dada por f ( x ) = x donde f es creciente es: A)

[ 2,9]

B)

[−1,1]

C) D)

2

I.

f es cóncava hacia abajo.

II.

El ámbito de f es ]−∞,3] .

de

la

forma

−1 , un intervalo De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

[ −1, 0]

C)

Solo la I

]−8, −1]

D)

Solo la II


85

PIMAS

Funciones

42) Sea f una función cuadrática, tal que, el vértice de la gráfica de f es puntos. Si

( −8,0 )

( −2, −3)

45) Para la función f de dominio tal que

A)

{0}

B)

[0,8]

otro punto de intersección con el eje “ x ” es:

A)

( 4,0 )

C)

]−2,8[

B)

( 5,0 )

D)

[ −4, −2]

C)

( −4,0 )

D)

con

( x ) = −2x 2 − 8x , ¿cuál es el ámbito de f ?

e interseca al eje “ x ” en dos

pertenece al gráfico de f , entonces, el

[ −4, 0] ,

46) Sea f la función dada por f ( x ) = ax 2 + bx + 4 . Si

( −5,0 )

( −1, 7 ) es el vértice de la gr áfica de f , entonces , se cumple con certeza que:

43) Sea f una función dada por f ( x ) que, el vértice de la gráfica es

( −1,1)

= ax + bx + c , tal

A)

a

> 0, b > 0

y ( 0,0 ) pertenece al

B)

a

> 0, b < 0

C)

a < 0, b > 0

D)

a < 0, b < 0

2

gráfico de f .Considere las siguientes proposiciones:

I.

c = 1

II.

a > 0

47) Considere las siguientes proposiciones referentes a la De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

44) Sea f una función dada por f ( x )

función f dada por f ( x ) = 2 x 2

+ x − 3:

l.

La gráfica f es cóncava hacia abajo .

II.

El eje de simetría de la gráfica de f es

−1 4

.


= ax2 + bx + c , tal

que, el vértice de la gráfica es ( 5,3) . Si la gráfica f interseca

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

el eje “ y ” en ( 0,2 ) , entonces, el ámbito de f es: 48) Sea f una función dada por f : [0,8] → ℝ , con

A)

[3, +∞[

B)

[2, +∞[

C) D)

86

]−∞, 2]

f ( x ) = − 2 x 2 + 16 x . ¿Cuál es el ámbito de f ? A)

ℝ

B)

{0}

C)

[0,32]

D)

[ −2, 32]

]−∞,3]


PIMAS

Funciones


51) Considere las siguientes proposiciones con respecto a la función f dada por f ( x ) = x 2

+ c , con c < 0 :

l.

Cero posee dos preimágenes en f .

II.

12 es un elemento del ámbito de f .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones: Considere la gráfica de la función cuadrática f y con base

l.

∆<0

II.

El ámbito de f es ℝ .

en ella conteste los ítems 52 y 53:


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

52) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere 50) Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f dada por f ( x ) = −3 x 2

− 2x + 4 :

El vértice de f es ( 2, − 12) .

II.

La gráfica de f interseca al eje " " en ( 0, 4 ) .

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

[ −3,3 ] .

l.

El dominio de f es

II.

( −3,0 ) pertenece al gráfico de

f .


l.



A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

53) Si f ( x )

= ax 2 + bx + c , el valor de b es:

R/


87

PIMAS

Funciones


56) Sea f una función cuadrática, tal que, el vértice de la gráfica de f es ( –2, –3 ) e interseca al eje “ x ” en dos puntos. Si ( –5, 0 ) pertenece al gráfico de f , entonces, el otro punto de intersección con el eje “ x ” es:


I.

El eje de simetría de f es x = 16 .

II.

− 5 es un elemento del ámbito de f .

A)

(1, 0 )

B)

( 5, 0 )

C)

( –2, 0 )

D)

( –3,0 )

57) Sea f una función cuadrática de dominio real, tal que su vértice es el punto ( 2, −4 ) y su gráfica contiene el origen de las coordenadas. Con toda certeza se cumple que:


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

55) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f 2 dada por f ( x ) = x

A)

f ( 3 ) > 0

B)

f ( 5 ) < 0

C)

f (1) < 0

D)

f ( −1) < 0

58) La gráfica corresponde a f ( x ) = ax 2 + bx + c :

+ 25 :

I.

Un codominio para f es ℝ + .

II.

Un intervalo donde f es creciente es [ 2, 8] .


A)

Ambas

De acuerdo con la información, el punto B corresponde a:

B)

Ninguna

A)

(1, 0 )

C)

Solo la I

B)

(1, 3 )

D)

Solo la II

C)

( 2,0 )

D)

( 1 2 ,0 )

88


PIMAS

Funciones

59) Las siguientes proposiciones se refieren a una función cuadrática f dada por f ( x ) = ax 2

I.

Si b

2

+ bx + c :

62) Para las funciones f y g , dadas por f ( x ) = a x , a > 1 y g ( x ) = b x , 0

− 4ac > 0 , entonces la gráfica de f interseca dos

< b < 1 con certeza se cumple que:

A)

f ( a ) < a

B)

g ( a ) > b

C)

f (1) > g (1)


D)

f

A)

Ambas

63) Para una función exponencial f dada por f ( x ) = a x .

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

veces el eje “x”

II.

Si c = 0 , entonces ( 0,0 ) es un punto del gráfico de f .

60) Sea f : ]−∞ , − 2] → ℝ con f ( x ) = x 2 . ¿Cuál es el

Si f

( −a ) < 1 , se cumple que:

A)

f ( 3 ) < f ( 5 )

B)

f ( 2 ) < f ( −1 )

C)

f

( −1) < f ( − 3 )

D)

f

( −4 ) < f ( − 10 )

ámbito de f ?

A)

( −1) = g (1)

[ 4, +∞[ x

1 f ( x ) =   5

B)

]−∞, 4]

Considere la función exponencial f dada por

C)

[ 4, +∞[

de ámbito de ]0,1] . Con base en ella conteste las preguntas

D)

]−∞, −4]

64 y 65.

61) Considere las siguientes proposiciones que se refieren a la función f dada por f ( x ) = − x 2 + 2 x + 3

64) De

las

siguientes

proposiciones,

f es creciente.

II.

El dominio de f es [0, +∞[ .

A)

Ambas

De ellas ¿cuáles son verdaderas?

B)

Ninguna

A)

Ambas.

C)

Solo la I

B)

Ninguna.

D)

Solo la II

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.

II.

5 es un elemento de ámbito de f .

( −1, 2 ) es un elemento del gráfico de

son

verdaderas?

I. I.

¿cuáles

f

65) La imagen de 2 es: R/


89

PIMAS

Funciones

66) Considere la función exponencial

f dada

por

69) La gráfica de la función

f

dada por f ( x ) =

x

1 f ( x ) =   4

, con dominio

] –1, +∞ [ .

De las siguientes

proposiciones, ¿cuáles son verdaderas?

I. II.

 

f interseca el “eje y ” en  0,

1

4

interseca el eje de “y” en: A)

( 0,0 )

B)

( 0,1)

C)

 0, 1   2  

D)

 0, 1   4  

]0, 4 [ .

El ámbito de f es

2 x

.

4

A)

Ambas

B)

Ninguna

70) Las siguientes proposiciones se refieren a la función

C)

Solo la I

exponencial f dada por f ( x ) = 0,2

D)

Solo la II

67) Las siguientes proposiciones se refieren a la función exponencial f , dada por

I. II.

( x ) = a x , con

0
<1:

− x

:

I.

f es creciente.

II.

(1,5) es un elemento del gráfico de

f .


0 < f ( 5) < 1 f ( x ) > 1, si x < 0


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

Ambas

B)

Ninguna

71) Las siguientes proposiciones se refieren a la función

C)

Solo la I

exponencial f dada por f : [ 0, +∞[ → ℝ , con f ( x ) = a ,

D)

Solo la II

+

( x1 ) > f ( x2 ) para todo x1 < x2 : 1 2

− x

68) Si f es una función dada por f ( x ) =   , entonces

I.

f ( x ) ∈ ]0,1]

su función inversa es:

II.

f es creciente.

A)

f −1 : ℝ → ℝ + , f −1 ( x ) = log 1 x 2

B) C)

−1

+

: ℝ → ℝ , f

f −1 : ℝ +

→ ℝ,

−1

( x ) = log2 x

A)

Ambas

f −1 ( x ) = log 1 x

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

2

D)

90

−1

:ℝ

+


−1

→ ℝ, f ( x ) = log2 x


x

PIMAS

Funciones

72) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f

 2

dada por f ( x ) = 

  3

I.

f

−1

( x ) = log 3 x

76) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f dada por f ( x ) = a x , tal que f es

− x

.

creciente:

II. f es decreciente.

2

I.

Un posible valor de “ a ” es 2 .

II.

Para x > 0 , se cumple que f ( x ) ∈ ]0,1[ .


Ambas.

B)

Ninguna.

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.


73) Sea f una función dada por f ( x ) = a , con a > 1 . Si

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

x

x > 1 , entonces se cumple que: x

>1

x

<1

x

=1

A)

a

B)

a

C)

a

D)

0 < a x

x Considere la gráfica de la función exponencial f ( x ) = a , y

utilícela para contestar los ítems 77 y 78.

<1

74) Sea f una función exponencial dada por f ( x ) = a x . Si el gráfico de f contiene a ( 2,9 ) , entonces, el valor de “ ” para que ( 5, A)

25

B)

80

C)

90

D)

243

) pertenezca al gráfico de

77) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere

f , es:


I.

f es creciente.

II.

El dominio de f es ℝ +


75) Considere las siguientes proposiciones referidas a la

A)

Ambas

función exponencial f dada por f ( x ) = e x .

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

I. II.


( 0,1) pertenece al gráfico de


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

f .

78) Suponiendo que a =

2 3

la imagen de

−2 es:

R/


91

PIMAS

Funciones

79) Considere las siguientes proposiciones para la función f

x

82) Sea la función exponencial f dada por

x

1  2

dada por f ( x ) = 

l.

Si x1

II.

f

−1

:

( x ) = 2 x .


A)

]0,1]

B)

[1,3[

C)

[1, +∞[

D)

[3, +∞[

, si

( x ) pertenece al intervalo

x ≤ 0 , entonces, con certeza

> x2 entonces f ( x1 ) < f ( x2 ) .

1 f ( x ) =   3

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

83) La siguiente tabla contiene información sobre una

D)

Solo la II

función exponencial f dada por f ( x ) = a : x

x

0

1

2

3

( x )

1

2

4

8

80) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f dada por f ( x ) = a

x

,

tal que f es

creciente:

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

−1

( x ) = log x .

l.

La función inversa de f es f

II.

La gráfica de f interseca al eje "

" en ( 0,1) .

I.

f es decreciente.

II.

f

− 1

(16) = 4 .



A)

Ambas

A)

Ambas

B)

Ninguna

B)

Ninguna

C)

Solo la I

C)

Solo la I

D)

Solo la II

D)

Solo la II

x 81) Sea f una función dada por f ( x ) = a , si la gráfica de

f es decreciente, entonces, un posible valor de “ a ” es

A)

2 3

84) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función f de la forma

( x ) = loga x , tal que f es creciente:

l.

f ( 3) > f ( 5)

II.

El dominio de f es ℝ .

De ellas, ¿cuáles son verdaderas? B)

C)

D)

92

9 8 4 3 11 9

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


PIMAS

Funciones


85) Si x∈ ℝ + , loga x es negativo si se cumple que:

función f decreciente dada por f ( x ) = loga x . A)

0 < a <1 y x <1

B)

0 < a <1 y x >1

C)

a <1 y x >1

D)

a >1 y x =1

l.


II.

Si x ∈ ]0,1[ , se cumple que f ( x ) < 0 .


86) Si f es una función logarítmica de base “ a ” y f ( x ) < 0

A)

Ambas

para x > 1 , entonces se cumple que:

B)

Ninguna

A)

1< a

C)

Solo la I

B)

a <

D)

Solo la II

C)

0
D)

−1 < a < 0

−1 <1

90) Considere las siguientes proposiciones, referente a la función logarítmica f , dada por f ( x ) = ln x :

 1  = 2 ,   16 

87) Sea f una función logarítmica tal que f 

I.

f

entonces, f ( 2 ) es:

II.

La gráfica de f interseca el eje “ x ” en ( e,0) .

A) B)

C)

D)

−1

( x ) = 10 x .

16


−1 2

−1

A)

Ambas

8

B)

Ninguna

1

C)

Solo la I

16

D)

Solo la II

88) Las siguientes proposiciones se refieren a la función logarítmica

f

dada

por

f : ]0,1] → ]−∞,0] ,

f ( x ) = loga ( x ) .

l.

La gráfica de f es decreciente.

II.

f interseca el eje " x " en (1,0 ) .

91) Sea

con

f una

( x ) = logw x , x1

A)

función

tal que,

logarítmica

( x1 ) > f ( x2 ) .

de

la

forma

Si se cumple que

< x2 , entonces, un posible criterio para esta función es:

f ( x ) = log 2 x 3


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

B)

f ( x ) = log 3 x 2

C)

f ( x ) = log 7 x 6

D)

f ( x ) = log10 x 3


93

PIMAS

Funciones

92) Considere las siguientes proposiciones, referente a la

95) Considere la siguiente gráfica referente a la función

función f , dada por f ( x ) = logw x , tal que, f ( 3) > 0

logarítmica f , dada por f ( x ) = loga x :

I.

f es creciente.

II.

La imagen de 6 en f pertenece al intervalo ] –∞, 0[ .


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

93) Sea f una función dada por f ( x ) = logw x . Si el gráfico de f contiene a (8, 3) , entonces, el valor de “ x ” para que A)

9

B)

1 16

C)

16

D)

32 3

( x, 4)


pertenezca al gráfico de f , es:

I.

0
<1

II.

Para todo x ∈ ]0, 1[ se cumple que f ( x ) ∈ ]0, +∞[ .


Ambas

B)

Ninguna

94) La siguiente tabla contiene información sobre una

C)

Solo la I

función logarítmica f dada por f ( x ) = logk x .

D)

Solo la II

x

1

9

27

81

f ( x )

0

2

3

4

96) Para la función logarítmica f dada por f ( x ) = log 1 x , 3

considere las siguientes proposiciones: De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I.

f es creciente.

II.

1, 3 2  pertenece al gráfico de  

f −1 .

I.

−2 es la imagen de 9 .

II.

3 es la preimagen de



A)

Ambas

A)

Ambas

B)

Ninguna

B)

Ninguna

C)

Solo la I

C)

Solo la I

D)

Solo la II

D)

Solo la II

94

−1 .


PIMAS

Funciones

97) La gráfica de la función f dada por f ( x ) = log 1 x

Considere la función dada por

( x ) = log0,4 x ,

y utilícela

7

para contestar los ítems 100 a 103.

interseca el eje “ x ” en:

A) B) C)

D)

100) Considere las proposiciones:

(1, 0)

I.

f es decreciente.

II.

1 es la imagen de

( 0,1)  1 ,0 7   

2 5

.


 0, 1   7  

A)

Ambas.

B)

Ninguna.


C)

Solo la I.

función logarítmica f , dada por f ( x ) = logb x , tal que, f

D)

Solo la II.

es creciente:

101) Considere las proposiciones:

I.

b > 1

II.

f ( x ) ∈ ] –∞,0] , para todo x∈ ]0,1] .


I.

f interseca el eje y en algún punto

II.

f −1 ( x ) = (0,4 )

x


A)

Ambas

B)

Ninguna

A)

Ambas

C)

Solo la I

B)

Ninguna.

D)

Solo la II

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.

99) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f , dada por f ( x ) = loga x , con 0 < a

I.

f ( 3) < f ( 2)

II.

f ( x ) > 0, si x > 1

<1:

102) La imagen de 0,80 es:

R/


103) La preimagen de −0,25 es: A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

R/


95

PIMAS

Funciones

104) La grafica de la función dada por f ( x ) = log3 ( x + 9 )

107) Analice las siguientes proposiciones relacionadas con

( x ) = loga x donde a > 1

interseca el eje de “y” en el punto:

A)

( 0,2)

B)

( 2,0)

C)

( 0,8)

D)

( 0,1)

A)

4

B)

18

C)

27

D)

3

Si x = a entonces f ( x ) = 0

II.

Si x > 1 entonces f ( x ) > 0

III.

Si x < 1 entonces f ( x ) es decreciente

De ellas, ¿cuáles son VERDADERAS?

105) Si ( 9,2 ) pertenece al gráfico de una función logarítmica f dada por

I.

( x ) = loga x , entonces f (81) es:

A)

Solo la I

B)

Solo la II

C)

Solo la II y la III

D)

Solo la I y la II

Considere la función f dada por f ( x ) = log4 x para contestas las preguntas 108 y 109.

81

108) Si f ( x ) < 0 , entonces, 106) Considere las siguientes proposiciones que se refieren a la función f dada por f ( x ) = logm x .

A)

x ∈ ]1, 4[

B)

x ∈ ]0,4[

I.

Si 0 < m < 1 , entonces f ( m + 1) < 0 .

C)

x ∈ ]0,1[

II.

La grafica de f interseca el eje “ x ” en ( m,0) .

D)

x ∈ ]1, +∞[


A)

Ambas.

B)

Ninguna.

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.

109) La función inversa de f es:

A)

f

−1

+ : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x

B)

f

−1

: ℝ+

f

−1

→ ℝ, f ( x ) = 4 x x

C)

:ℝ →ℝ

+

1 , f ( x) =   4 x

D)

96

− 1

f : ℝ


+

1 → ℝ,   4

PIMAS

Funciones

D. Ecuaciones aplicando funciones 2.4 Plantear y resolver problemas

23. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las funciones

a partir de una situación dada.

estudiadas. 24. Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 25. Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 26. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones exponenciales. 27. Aplicar propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones algebraicas. 28. Resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones logarítmicas. 29. Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales de la forma a

f ( x )

= b g ( x ) , a, b números reales positivos y distintos de 1 , f , g polinomios de grado

menor que 3 .

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones

a1 x + b1 y = c1 se dice inconsistente (o incompatible) si el conjunto solución es vacío y las rectas que  a2 x + b2 y = c2

representan las ecuaciones son paralelas y distintas. En caso contrario, se dice consistente (o compatible). Cuando en un sistema de ecuaciones, una ecuación es un múltiplo de la otra (ecuación equivalente), decimos que el sistema es

dependiente, y las rectas que representan son coincidentes (la misma recta).

Esto sucede, cuando al resolver el sistema

obtenemos identidades. Si al resolver el sistema encontramos un único punto como intersección, el sistema es consistente e

independiente , y las rectas que representan concurrentes.

Definición de logaritmo loga y : es el número al cual debe elevarse a para obtener como resultado y . En una expresión logarítmica de la forma x

= loga

y , x se llama logaritmo o exponente, a es la base y

es el argumento. Un

logaritmo está definido solamente si su base y su argumento son positivos, aunque el logaritmo puede ser negativo. Por ser de uso común se utiliza log (logaritmo) cuando la base es 10 y ln (logaritmo natural) cuando la base es e .

Notación exponencial y logarítmica Para convertir de expresiones exponenciales a expresiones logarítmicas se utiliza la definición de logaritmo: a x

= y ⇔ x = log a

Para convertir de expresiones logarítmicas a expresiones exponenciales se utiliza la definición de logaritmo: x = log a y ⇔ a x


=

y y

97

PIMAS

Funciones

Leyes de potencia y logaritmos + Para n, m ∈ ℝ y a , b, x, y ∈ ℝ

a

n

m

n

a −n

⋅ am = a n+ m

nm

=

a

=a

am

n

a

( ab )

0

n

 a  = an  b  bn  

=1

m

= a nb n

an

 x   = log a x − loga  y 

log a xy = log a x + log a y

n

= n am = ( n a )

log a n x

1

log a x

n

n

= log a x =

y

log a x z = z log a x

a

log a a = 1

m

=x

log a 

n

a =b b a    

n −m

log a a x

log a 1 = 0

1

−n

an

Logaritmos

(a ) = a ⋅

Exponentes

loga x

loga x =

=x

logc x logc a

Ecuaciones exponenciales Para resolver ecuaciones exponenciales, se debe intentar escribir ambos lados de la ecuación como potencias con la misma base, luego deducir que si

p ( x )

a

= a q ( x ) ⇒ p ( x ) = q ( x ) . Por último, se resuelve la ecuación que queda.

Para resolver ecuaciones exponenciales de la forma

p( x )

a

= bq( x ) ⇒

(

p ( x )

log c a

) = log (b ( ) ) ⇒ p ( x ) ⋅ log q x

c

c

a = q ( x ) ⋅ log c b .

Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas de la forma

loga p ( x ) = log a q ( x ) ⇒ ( x ) = q ( x ) .

Ecuaciones logarítmicas de la forma

loga p ( x ) = b ⇒ p ( x ) = a

b

En las ecuaciones logarítmicas se debe verificar que la solución sea válida en la ecuación original, dando argumentos positivos en los logaritmos.

98


PIMAS

Funciones

SELECCIÓN ÚNICA O RESPUESTA BREVE 1)

La solución de

A)

 −4 , 7   3 3  

B)

( 4, −1 )

C)

 4 , −7  3 3   

D)

( − 4 ,1 )

2)

 x − 2 y = 6 corresponde a:  4 8 x y + = − 

A)

b = 4

B)

b ≠ 4

C)

b = 8

D)

b ≠ 8

¿Cuál de las siguientes ecuaciones lineales en dos

2 x + 4 y

=6?

8 x + 2 y

= 12

C)

2 x + y

D)

4 x + 2 y = 12

=3

( 1, − 1 )

B)

( 12 , 0 )

C)

( 718 , 19 )

D)

( 7 6 , 53 )

7) 3)

5 x − by = 8 tiene una única  10 x − 8 y = 16

 x − 1 = y  3 2   x + y = 1 2

corresponde a:

La suma de dos números es 800. Si los 3 del número

8

Una de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones es

x − 4 y

= 3 . Si el sistema es inconsistente, entonces, la

segunda ecuación puede ser:

A)

x − 4 y

B)

2 x − 4 y

C)

x + 4 y

=3

D)

x − 4 y

=5

4)

La solución de

A)

=6

B)

El sistema de ecuaciones

solución. Entonces, con certeza se cumple:

6)

variables es equivalente a 4 x + 2 y

A)

5)

2

es el número mayor?

=3 =6

El sistema de ecuaciones

mayor equivale a los 3 del número menor, entonces ¿cuál

 ax + 3 y = 12 tiene   2 x + 6 y = 24

infinitas

A)

160

B)

300

C)

640

D)

1500

8)

El valor de “y” en la solución de

soluciones. Entonces, el valor de a es:

A)

1

B)

2

C)

4

D)

6

A)

13

B)

4

C)

9

D)

21

 x + 2 +  3   x − 2 −  5

y−3

2 y+3

6

=6 es:

= −1

3

2


99

PIMAS

9)

Funciones

Considere las siguientes afirmaciones sobre el sistema de

ecuaciones dado por

5 x − 2 y = − 3   −10 x + 4 y = 6

11) Considere las siguientes afirmaciones sobre el sistema formado por las ecuaciones de las rectas l 1 y l 2 , tales que

l1

⊥ l 2 .

I.

El sistema es consistente. El sistema tiene infinitas soluciones.

I.

El sistema es consistente.

II.

II.

La solución del sistema es el punto (1, 4 ) .

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas? A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

Considere el siguiente enunciado y utilícelo para contestar los

10) Considere la siguiente gráfica de las rectas l 1 y l 2

ítems 12 y 13: “Un tercio de la diferencia de dos números es 11 y cuatro novenos del número mayor equivalen a los tres cuartos del número menor. “

12) Si “ x ” representa el número mayor, “

” representa el

número menor, entonces un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema anterior es

A)

 x − y = 11  3   4 x − 3 y = 0  9 4

B)

 y − x = 11  3   4 x − 3 y = 0  9 4

C)

 x − y = 11  3   4 x − 3 y = 0  9 4

D)

 y − x = 11  3   4 x − 3 y = 0  9 4


I.

Las rectas l 1 y l 2 se intersecan en un punto.

II.

Las

ecuaciones de l 1 y l 2 determinan un sistema

dependiente.


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

13) El menor de los números es:

R/ 100


PIMAS

Funciones

14) La edad de Ana sumada con la de María equivale a 60

17) Al contar las monedas de Ana y Beatriz se obtiene

años. Además, si al doble de la edad de Ana se le suma un

un total de ochenta y nueve monedas. Si Beatriz tiene

tercio de la edad de María se obtiene 40 años.

cuatro monedas menos que el doble de lo que tiene Ana, entonces, ¿cuántas monedas tiene Beatriz?

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

A)

21

l.

María tiene menos de 20 años de edad.

B)

36

II.

La edad de Ana es mayor que la de María.

C)

44


D)

58

A)

Ambas

18) María gastó un total de ¢47 000 en la compra de un

B)

Ninguna

par de zapatos y un bolso. Luego, los vendió y obtuvo una

C)

Solo la I

ganancia de ¢6 300 en total. Si la venta del par de zapatos

D)

Solo la II

generó una ganancia de un 10 % y del bolso un 15 % , entonces, ¿cuánto gastó (en colones) María en la compra de

15) Considere el siguiente caso hipotético: En una empresa, la

función

p ( x ) =

x

2

de

+ 200

costo

de

producción

está

dada

por

y la función que modela la inversión está

definida por i ( x ) =

uno de esos productos?

5 x , donde “ x ” representa, en ambos 2

A)

10 030

B)

15 000

C)

25 000

D)

26 650

casos, las unidades de mercancías producida. ¿Cuál es la cantidad de mercancías que satisface simultáneamente la función de costo y de inversión?

19) La suma de las edades de Ana y Beatriz es 102 años. Si la edad de Ana excede en tres años a la mitad de la edad de Beatriz, entonces, ¿cuál es la edad de Ana?

A)

100

B)

200

C)

250

D)

500

A)

32

B)

36

C)

54

D)

70

16) La suma de dos números es 56. Si el menor equivale a la mitad del mayor aumentada en números es:

8, entonces, uno de esos

20) Una micro empresa lechera envasó 220 litros de leche en 336 envases de un tercio de litro y de dos tercios de litro, ¿cuántos envases de dos tercios de litro fueron utilizados?

A)

20

B)

24

C)

28

D)

36

A)

112

B)

116

C)

224

D)

324


101

PIMAS

Funciones

21) Una empresa telefónica ofrece a sus clientes dos planes para el pago de su tarifa mensual. El primer plan consta de un

23) La solución de 2 = x

41− x 8

es:

monto fijo de 3000 colones por una hora o menos y a partir de la hora, cada minuto adicional cuesta 50 colones. El segundo plan incluye un costo fijo de 4000 colones por una hora o

A)

1

B)

2

C)

−1

D)

−1

2

menos y a partir de la hora, cada minuto adicional vale 30 colones.

5 2


I.

3

La tarifa telefónica por el consumo de 110 minutos

mensuales, es igual en ambos planos.

II.

Un usuario que paga 5500 colones puede hablar la

24) La solución de 71− 2 x

= 49 7 x

es:

misma cantidad de minutas para llamadas en cualquiera de los dos planes.

A)

0

B)

1 3

C)

−1


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

D)

22) El costo “ C ” de producir aviones de juguete está dado por C ( a ) = 9000 + 15a , y el ingreso por la venta de dichos juguetes está modelado por I ( a ) = 30a , donde “ a ” el número de unidades.

−2 5

25) La solución de −3 ⋅ 5 x = 125 − 8 ⋅ 5x es:

A)

2

B)

3

C)

4

D)

3 2


I.

El ingreso por la venta de 800 aviones es 24 000

II.

Las ventas inferiores a 600 unidades, presentan costos

superiores a los ingresos.

26) La solución de 16 = x


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

102

A)

0

B)

3

C)

D)

−1 2

−3 4


83 x +1 2 x

es:

PIMAS

Funciones x + 3

27) La solución de 4 ⋅ 82 x −1 = ( 0, 25)

es:

30) Para

362 x +3 6

= 6

A)

0

A)

B)

1 4

 −4 , 14   8 8 

−5

B)

 −14 , −12   8 8 

C)

 −12 , −6   8 8 

D)

 −6 , −4   8 8 

C)

D)

8

−1 12

28) La solución de 2 ⋅ 3 x + 3x =

A)

−1

B)

−3

C)

D)

1 es: 9

se cumple que " x " pertenece a:

Considere la sucesión de números 9,27,81,… cuya ley de formación es an

= 3n+1 y utilícela para contestar las preguntas

31 y 32.

−1

31) ¿Cuál término de la sucesión es igual a 729 ?

2

−3 2

A)

El cuarto

B)

El quinto

C)

El sexto

D)

El séptimo

29) Si “ a ” es una constante mayor que uno, entonces la solución de

a 2 x a x +1

= a es:

32) ¿A partir de cuál término, todos los términos son mayores que 200000 ?

A)

0

B)

1

A)

n = 7

C)

2

B)

n = 9

D)

−

C)

n = 11

D)

n = 14

1 3


103

PIMAS

Funciones

Considere el contexto “Helados Herrera” y utilícelo para

Considere el contexto “Amigos y Videojuegos” y utilícelo para

contestar las preguntas 33 y 34.

contestar las preguntas 35 y 36.

Helados Herrera

Amigos y Videojuegos

La familia Herrera empezó una pequeña empresa de

Mario y Daniel son dos amigos que se reúnen todos los

Helados en el año 2015. Según, el plan de negocio, las

sábados para jugar un videojuego.

ganancias de la empresa se

niveles distintos.

pueden estimar con la

−n

 10  fórmula G ( n ) =   después de n años de haber  11 

El puntaje de Daniel se puede calcular con la fórmula D ( n) = 2 ⋅ 2n + y 15

iniciado las operaciones. M ( n ) =

33) ¿En qué año las ganancias de la empresa serán 1,331

Ellos juegan en

el

de

Mario,

con

la

fórmula

43n +1 donde n es el número de sábados que 2

juegan juntos.

millones de colones?

35) ¿En cuál sábado tienen los dos el mismo puntaje? A)

El segundo

B)

El tercero

A)

El segundo

C)

El quinto

B)

El tercero

D)

El séptimo

C)

El quinto

D)

El séptimo

34) Silvia, la hermana menor de la familia, considera

36) ¿En cuál sábado tendrá Mario el doble del cuadrado del

necesario que las ganancias superen los 3 millones de

puntaje que tendrá Daniel?

colones. ¿A partir de qué año esto sucedería?

A)

El tercero

B)

El quinto

C)

El séptimo

D)

El octavo

A)

2020

B)

2022

C)

2023

D)

2025

 m =0  ,  3n 

37) Sean m > 0 y n > 0 . Si log  certeza se cumple que:

104

A)

m=n

B)

m =

C)

m

= 3n

D)

m

= − 3n

n

3


entonces con

PIMAS

Funciones

38) Sean m > 0 y a > 0 . Si logm a = n , entonces con

42) El valor de log a 3 b es:

certeza se cumple que:

n

=m

A)

9

B)

4

C)

15

D)

3

2

A)

logm a

B)

logm a n

C)

logn a = m

D)

log n a m

= n2

12

= m2 43) El valor de loga c3 es:

 x121 ⋅ y 200   es equivalente a: 677 z  

39) La expresión log2 

A)

677 log 2 z − 121 log2 x − 200 log2 y

B)

121log 2 x + 200 log2 y − 677 log2 z

C)

121log 2 x − 200 log2 y − 1354 log2 z

D)

log 2 ( x121 + y 200 − z 677 )

 3 x50   es equivalente a:  z12 ⋅ y 40   

150 log3 x − 12 log3 z − 40 log3 z

B)

150 log3 x − 12 log3 z + 40 log3 z

C)

D)

50log3 x 3 50log3 x 3

9

B)

4

C)

15

D)

27

44) El valor de loga ( b2c3 ) es:

40) La expresión log 3  A)

A)

A)

33

B)

36

C)

171

D)

3888

45) El valor de logb c es:

− 12 log3 z − 40 log3 z − 12 log3 z + 40 log3 z

Suponiendo que

log a b = 12

y

log a c = 3 conteste las

A)

9

B)

4

C)

15

D)

36

preguntas 41 a 46

46) El valor de loga 41) El valor de loga ( bc) es: A)

9

B)

4

C)

15

D)

36

b2 c

:

R/


105

PIMAS Suponiendo que

Funciones log a b = 18

y

log a c = 6 conteste las

52) La solución de 9 x = 5 es:

preguntas 47 a 51.

c b

47) El valor de loga   es: A) B)

3

1

A)

log5 9

B)

log9 5

C)

log3 5

D)

log5 3

3

C)

12

D)

−12

53) La solución de 3 x −1 = 2 es:

48) El valor de loga ( a b c ) es:

A)

log2

B)

log3 5

C)

log3 6

D)

1 + log2 log3

3 2

A)

45

B)

3888

C)

648

D)

5832

54) La solución de 5 x + 2 = 3x −1 es: 49) El valor de loga ac es: A)

a

a

B)

a

b

C)

a

6

D)

a

A)

B)

C)

18

50) El valor de logc b es: A) B) C) D)

D)

ln 5 − ln 3

−2 ln 5 − ln 3 ln 3 ln 5 ln 5 ln 3

3

1 3

55) La solución de 62 x −3 = 7 x +5 es:

12 A)

−12

B)

51) El valor de loga

6

b a

+ logc a : C)

R/ D)

106

−2 ln 5 − ln 3 ln 5 − ln 3

ln 7 2ln6 2ln6 ln 7 2 ln 6 − ln 7 5ln7 + 3ln6 5 ln 7 + 3 ln 6 2 ln 6 − ln 7


PIMAS

Funciones

56) El conjunto solución de e x

A)

{}

B)

{

C)

{±

D)

{

2

−2

}

ln 3 + 2 ln 5

B)

}

C)

}

D)

57) El conjunto solución de 10 x

{}

B)

{

C)

{±

D)

{

60) Si log a 7 = −4 , entonces el valor de “ a ” es:

A)

ln 3 + 2

A)

= 3 es:

2

+1

8

7

1 49

1 8

7

− 49

= 5 es: 61) Suponga que log w 25 = 2 y log 2 ( x ) = w . Entonces, x es:

}

log5 − 1

}

log5 − 1 log4

}

58) El conjunto solución de 7 x

A)

Cero elementos

B)

Un elemento

C)

Dos elementos

D)

Más de dos elementos

2

+ 2 x +1

B)

Un elemento

C)

Dos elementos

D)

Más de dos elementos

B)

625

C)

32

D)

4

62) Suponga

que

2log w 2 =

1 . 2

Si

se

cumple

que

8log 2 x = w , entonces, “ x ” es:

2

Cero elementos

25

= 1 tiene:

59) El conjunto solución de 5 x = 7 x +1 tiene:

A)

A)

A)

4

B)

8

C)

1 4

D)

2


107

PIMAS

Funciones

63) Suponga que log w 81 = 4 . Si se cumple que log 1 x = w ,

66) La solución de log ( 3 x + 2 ) − log ( x − 1) = log 4 es:

2

entonces, “ x ” es:

A)

B)

C)

1 2 1

A)

3

B)

6

C)

1

D)

3

2 2

8 1

67) Para log2 ( 2 x + 3) – log2 ( x + 2) = – 1 , se cumple que “ x ”

9

pertenece a: D)

1 16 A)

 −1 ,0   3 

B)

−1, −1  3 

C)

−3, −5   3 

D)

 −5 , −1  3 

64) Suponga que log 1 x = −2 . Si log x w = 3 , entonces “ w ” 2

2

es:

A) B)

8

1 8

C)

64

D)

1 512

68) SI log K 81 = 4 y log7 N “

65) El conjunto solución de 2 + log3 ( 2 x ) = log3 ( x + 1) es:

= K ,

entonces, se cumple que

” pertenece a:

A)

[28,81]

B)

[82,142]

A)

{1}

C)

[143,324]

B)

{ 15}

D)

[325, 422]

C)

{ 1 8}

69) Si log K 216 = 3 y log4 x = k , entonces, “ x ” pertenece a:

D)

{ 117}

A)

[648,864]

B)

[865,1512]

C)

[1513, 2592]

D)

[2593,4231]

108


PIMAS

Funciones

70) Si log K 6 4 = 3 y log3 N

= K entonces

pertenece a:

Considere el contexto “Oferta y demanda” y utilícelo para contestar las preguntas 74, 75 y 76.

A)

[3,18]

B)

[21,32]

C)

[43,64]

D)

[68,96]

Oferta y demanda Mediante un estudio de mercado se ha concluido que cierto producto específico tendrá una oferta (cantidad de productos que se pondrían a la venta en el mercado) igual a O ( x ) = 10 ⋅ log ( x + 2) y que su demanda (cantidad de productos que se quisieran comprar en el mercado) igual

71) La solución de

D ( x ) = 10  5 + log ( 2000 − x )  donde

1 log 2   − log 2 ( 8 x ) = 1 es: 4

es el precio en

colones del producto.

A)

1

74) ¿A qué precio la oferta es igual a 40 productos?

B)

1 14

R/

C)

1

D)

1

32 64

75) ¿A qué precio la demanda es igual a 80 productos? 72) El conjunto solución de

− log3 x2 + log3 ( 3x ) = 1 es: R/

A)

{1}

B)

{−1}

C)

{0,1}

D)

{−1,1}

76) ¿A qué precio, aproximadamente, la oferta es igual a la demanda?

73) La solución de log ( 4 x ) − log ( x − 2) = log10 es:

A)

1

B)

10

C)

−1

D)

−2

A)

1000

B)

2000

C)

5000

D)

10000

3 3 3 3


109

PIMAS

Funciones

E. Modelización Determinar el modelo matemático

30. Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las las funciones

que se adapta mejor a una

exponenciales.

situación dada.

31. Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las las funciones logarítmicas. 32. Utilizar las funciones estudiadas para plantear plantear y resolver problemas a partir de una una situación dada. 33. Analizar el tipo de función que sirva de modelo para una situación dada dada (lineal, cuadrática, raíz cuadrada, logarítmica y exponencial).


3)

La ganancia semanal “ g ” (en dólares) de una pista de

patinaje, obtenida al ingresar “ x ” cantidad de personas, está

1) «El costo mensual “ C ” por producir “ x ” unidades de una cierta

mercancía

está

dado

por

C ( x ) = 1 0 x + 52 0 0 .

Asimismo, se sabe que en el mes de febrero el costo de

8 x –600 , para 0 ≤ x ≤ 400 . dada por g ( x ) =

Si en una

semana la ganancia fue de $1080 , entonces, ¿cuántas personas ingresaron a la pista de patinaje?

producción fue de 6000 y 12000 en marzo del mismo año». De acuerdo con el anterior enunciado, considere las siguientes proposiciones:

I.

A)

60

B)

210

C)

735

D)

8040

En marzo se produjo 6000 unidades más de la

mercancía que en febrero.

II.

El costo de producción mensual es cero si en un mes

dado no se produce ninguna mercancía.

4)

ingresos mensuales se componen de la siguiente forma: un


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

En una pequeña fábrica de corbatas, los costos e

costo fijo de ¢800 000 (independiente de la cantidad de corbatas producidas) y un costo de ¢1000 por cada corbata confeccionada. Por su parte, el ingreso de la empresa depende de la cantidad de corbat as vendidas por el precio de cada corbata. Si el precio de una corbata es ¢5000 , entonces, ¿cuál es la cantidad mínima mensual de corbatas que se

2) La función f dada por f ( x ) =

− x 400

+ 30 se utiliza para

deben producir y vender, para que la fábrica obtenga alguna ganancia?

aproximar la temperatura del aire en grados Celsius a “ x ” m de altura sobre la superficie de la Tierra. ¿A qué altitud se tiene una temperatura del aire de aproximadamente 15º C ? A)

29,96 m

B)

5000 m

C)

5970 m

D)

6000 m

110

A)

1 33

B)

160 16 0

C)

20 1

D)

80 0


PIMAS

5)

Funciones

7) El prec precio io “ p ” en en col colon ones es y la la cant cantid idad ad vend vendid ida a “ x ” de de

Considere el siguiente enunciado:

Una empresa de Internet ofrece a sus clientes la siguiente

cierto producto está dado por p ( x ) =

− x 4

+ 100 ,

con

tarifa mensual: un monto fijo de ¢12 000 por 6 horas o

0 < x < 400 . ¿Cuál es el precio en colones si se venden 120

menos, y a partir de esas 6 horas, cada hora adicional

unidades de ese producto?

cuesta ¢100 . A)

70

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las

B)

80


C)

280

I.

D)

380

¢12 000 es la tarifa mensual cuando el usuario

navega únicamente 6 o menos horas en Internet durante ese mes.

II.

Un criterio que modela el costo tarifario mensual del

servicio de Internet es f ( x ) = 6 x + 12 000 , con “ x ” que representa cada hora adicional después de las 6 horas de consumo.

8) Para Para un bebé bebé,, la variac variación ión de su su masa masa “ y ” en el transcurso de “ x ” meses ( 0 ≤ x ≤ 3) , se aproxima por

y = mx + b . Si un niño al mes de edad tenía 3,75 kg y a los dos meses 4,5 kg, entonces, su masa, en kilogramos, al nacer


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

fue:

A)

3

B)

4

C)

3,38

D)

4,38

6) La temper temperatur atura a “ T ” en grados grados Cels Celsius ius para para una una altit altitud ud “ h ” en metros sobre la superficie terrestre está modelada por T (h) =

−h 500

+ 25 .

¿Cuál es la altitud en metros sobre la

superficie terrestre cuando se registra una temperatura de

4°C ?

9) En una una compañ compañía, ía, el cost costo o de alquil alquiler er “ C ” por por el uso de un equipo equipo durante durante “ x ” días, días, está modelado modelado por por la fórmula fórmula C ( x ) = 7000 7000 + 45x . ¿Cuántos días se alquiló el equipo si el costo es 26440 ?

A)

1975

B)

2025

A)

170

C)

10 500

B)

432

D)

14 500

C)

588

D)

743


111

PIMAS

Funciones

10) La tarifa por el servicio de taxi es de ¢605 para un

13) El gerente de una fábrica de bolígrafos estima que el

recorrido igual o menor a un kilómetro, pero cada kilómetro

costo de mantener la compañía dia riamente sin producir es de

adicional se cobra a ¢530 . De acuerdo con el enunciado

¢104 000 , y cuando se producen 1000 bolígrafos es de

anterior, considere las siguientes proposiciones:

¢364 000 . Si el costo “ C ” tiene una relación lineal con la

I.

La tarifa mínima por un servicio de taxi es ¢1135 .

producción diaria de “ x ” unidades de bolígrafos, entonces, la

II.

Un criterio que modela la tarifa del servicio de taxi para

relación que modela la situación anterior es

viajes de más de un kilómetro es f ( x) = 530x + 605 , donde “

A)

C ( x ) = 260 260x + 104 104 000

x ” representa los kilómetros recorridos, inmediatamente

B)

C ( x ) = 104 104 000 000x + 364 364 000 000

C)

C ( x) =

D)

C ( x ) = 364 364 000 000x + 104 104 000 000

después del primer kilómetro. De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

x

260

+ 104 000

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

14) La utilidad mensual g de una empresa comercializadora

D)

Solo la II

de cortinas está determinada por g ( x ) = 300 x − 6000 , donde “ x ” represe representa nta la cantid cantidad ad de cortin cortinas as vendid vendidas. as.

11) El salario mensual “ S ” en colones de un comerciante,


por vender vender “ ” unida unidades des de de un produc producto, to, está está dado dado por por

I.

S

= 200 x + 20 0 000 . En el mes de octubre el salario fue de

¢301 400 y noviembre fue de ¢326 200 . Entonces, ¿cuántas

unidades vendió más en noviembre que en octubre?

La empresa obtiene utilidades aunque venda menos de

20 cortinas al mes.

II.

La utilidad de la empresa es 3000 cuando vende un total

de 10 cortinas en un mes.

A)

124


B)

517

A)

Ambas

C)

594

B)

Ninguna

D)

24 800

C)

Solo la I

D)

Solo la II

12) La dueña de una fábrica de pantalones estima que el costo diario de operación sin producir es es de ¢86 000 y cuando se fabrican veinte pantalones es de ¢126 000 . Si el

15) El volumen V , de cierto gas se expande cuando la

costo “ C ” tiene una relación lineal con la producción total

temperatura t crece. La función lineal f ( t ) = V modela el

diaria de “ ” cantidad cantidad de pantalones, pantalones, entonces entonces la ecuación ecuación de

fenómeno. Suponga que V

la recta que describe la situación anterior es: A)

C = = x

B)

C = = x

C)

C = 2000 000 x + 86000 6000

D)

0000 x + 860000 0000 C = 40000

112

2000 2000

− 43 + 86000

30º C y que V

= 600cm3 , cuando t = 80º C . Entonces:

A)

f ( t ) = −4t + 520

B)

f ( t ) = 4t + 280

C)

f ( t ) = −4t + 400

D)

f ( t ) = 4t + 600


= 400cm3 , cuando el gas está a

PIMAS

Funciones

16) El presupu presupuesto esto “ ” en en dólares, dólares, que realiz realiza a un fontane fontanero ro

19) El valor inicial de un terreno es ¢20 000 000 y su valor

para cambiar la tubería en un residencial, está dado por

se incrementa por año en ¢2 000 000 . ¿Cuántos años deben

p ( m ) = 18m + 126 , donde “ m ” es el número de metros de

transcurrir para que el valor del terreno sea ¢46 000 000 ?

tubería. Si el presupuesto es de

432

dólares, entonces,

¿cuántos metros de tubería se presupuestaron? A)

17

B)

31

C)

288

D)

7902

17) Una máquina costó ¢255 000 y se deprecia linealmente durante un periodo de 15 años. Es decir, al cumplir 15 años se considera que la máquina carece de valor.

A)

10

B)

13

C)

23

D)

3,2

20) El costo C de envío de un paquete postal de kilogramos exactos es de $10 por el primer kilogramo y $3 por cada kilogramo adicional. La fórmula que da el costo de envío en función de p es:


I.

Cada año la máquina se deprecia en más de ¢20 000 .

II.

A los cinco años de comprada la máquina vale ¢165 000


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la IIII

A)

C ( p ) = 10 + 3 p

B)

C ( p ) = 10 p + 3

C)

C ( p ) = 10 + 3 ( p − 1)

D)

C ( p ) = 10 p − 7

21) Según la regla de Haese, la talla (longitud) en centímetros de un feto humano en los primeros 5 meses de

18) El salario total que percibe Andrea por mes está compuesto por una base de ¢800 000 más 15% de comisión del total de ingresos por las ventas realizadas.

El salario mínimo que puede percibir Andrea en un mes

Para que el salario total de Andrea en un mes sea

de ¢2 000 000 ,

f : {1,2,3,4,5} → ℝ ; con f ( x) = x2 , donde " f " representa


I.

es de ¢800 000 .

II.

del mes. Es decir, se modela mediante la función

la talla (en cm) del feto en el mes " x " de gestación.


I.

gestación, se aproxima calculando el cuadrado del número

la totalidad totalidad de ventas realizadas, realizadas, debe

generar un ingreso de ¢9 000 000 .

Según la regla de Haese, la talla de un feto aumenta cada

mes 5 cm .

II.

Al

cuarto

mes mes

cumplido,

la

talla

del

feto

es

aproximadamente de 16 cm . De ellas, ¿cuáles son verdaderas?


Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


113

PIMAS

Funciones

22) La utilidad “ U ,” en colones, obtenida por producir “ ”

25) Si la productividad “ p ” de una empresa con “ x ” cantidad

cantidad de artículos está dada por U ( x ) = −3x

de empleados está dada por

2

+ 30x . Un

valor de “ x ” para el cual la utilidad es cero corresponde a:

( x ) = – x2 + 160x ,

entonces,

¿cuántos empleados garantizan la productividad máxima de la empresa?

A)

2

B)

3

A)

40

C)

5

B)

80

D)

10

C)

160

D)

6400

23) La cantidad de sapitos de una población se aproxima mediante la función f ( t ) = − t 2 + 20t + 110 , donde “ t ” ( t ≥ 0 ) representa los años a partir de su descubrimiento. Si t = 4 , entonces, respecto al momento de su descubrimiento, la población de sapitos aumentó en:

A)

64

B)

110

C)

126

D)

130

está modelada por g ( x) = −x

+ 500x , donde “ x ”

producto a un precio unitario de 400– x colones en un mes. Si en mayo la empresa obtuvo un ingreso de 40 000 colones, entonces, ¿cuántas unidades de ese producto se vendieron?

24) La utilidad “ g ”, en dólares, de una fábrica de muebles 2

26) Una empresa vende “ x ” unidades ( 0 < x < 400) de un

representa

A)

100

B)

200

C)

400

D)

39 600

27) Se tienen 6 0 m de alambre para hacer una cerca de una sola vuelta en un jardín rectangular sin que sobre alambre. Si

la cantidad de muebles producidos anualmente.

la cerca se debe colocar únicamente en tres lados porque el


otro lado limita con una pared, entonces ¿cuál es el área

I.

Elaborar más de 500 muebles al año genera pérdidas a

máxima que se puede cercar?

la fábrica. La elaboración anual de 300 muebles es la única

A)

225m 2

cantidad de producción que genera a la fábrica $60 000 en

B)

300m2

C)

450m 2

D)

3600m 2

II.

ganancias. De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

114


PIMAS

Funciones

28) En una tienda se ha encontrado que cuando las camisas

31) El área de un tipo de rectángulos está modelada por la

se venden a un precio “ x ” dólares cada una, el ingreso “ r ”

función f dada por f ( x ) = x ( x − 25 ) , donde “ x ” representa

como una función del precio es r ( x ) = –750x 2 + 15000x . ¿Cuál

la medida de uno de los lados. Considere las siguientes

debe ser el precio unitario en dólares para que el ingreso por

proposiciones:

la venta de camisas sea máximo?

I.

El perímetro de esos rectángulos es g ( x ) = 2 x − 25 .

II.

Si el área de uno de esos rectángulos es 3750 ,

A)

5

B)

10

C)

20

D)

80

entonces, la medida del lado de menor longitud del rectángulo es 50 .


29) Un comerciante aprendió por experiencia que si cobra x

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

dólares por cada carro de juguete, puede vender 300 − 100 x carritos. Si cada carrito le cuesta $ 2 , ¿cuál es la ganancia máxima en dólares que puede obtener?

32) Si la función f dada por f ( x ) = x 2 − 200 x + 15 000 determina el costo de producción de una empresa al elaborar “ x ” unidades de una mercancía, entonces, el costo mínimo

A)

2, 5

B)

20

C)

25

A)

75

D)

50

B)

100

C)

5000

D)

15000

de producción que podría obtener la empresa es:

30) Al lanzar un objeto con velocidad inicial v0 (en m/s), su altura es s sobre el suelo después de t segundos está dada por la función s ( t ) = v0 ⋅ t − 4, 9t 2 . Si la velocidad inicial es 120 m/seg, entonces el tiempo en el cual el objeto alcanza la altura máxima en segundos es aproximadamente:

A)

6,12

B)

24,48

C)

12,24

D)

734,6

33) En una empresa, el costo “ C ” por producir “ x ” unidades de un producto, 0 < x < 1000 , es C ( x ) = − 3 x 2 + 3000 x . Considere las siguientes proposiciones:

I.

El costo máximo es superior a 700 000.

II.

El costo empieza a aumentar cuando produce más de

500 unidades. De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


115

PIMAS

Funciones

Considere la siguiente información, y con base en ella

Considere el salario diario " S " de un vendedor, en colones,

conteste las preguntas 34 a 37.

en función de la cantidad "

"

de

libros que venda, está

modelado por S ( x ) = 500 x + 5000 , y con base en esa

La función dada por h ( t ) = −4,9 ⋅ t

2

+ 125 2 ⋅ t + 0, 6 ,

relación conteste las preguntas 38 a 41.

permite calcular la posición vertical “ h ”, en metros, de un proyectil lanzado por un cañón que está inclinado 45 °


con respecto a la horizontal, esto en función del tiempo “ t

l.

El salario aumenta 500 por cada libro vendido.

”, en segundos, transcurrido desde su lanzamiento.

II.

En un día, donde no hubo venta alguna de libros, el

No se considera el rozamiento con el aire.

salario es de cero colones. De ellas, ¿cuáles son certeza verdaderas?

34) Desde su lanzamiento, ¿aproximadamente cuánto tiempo,

A)

Ambas

en segundos, le toma al proyectil tocar el suelo?

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

37,03

B)

36,08

C)

25,08

D)

18,03

39) ¿Cuánto es el salario diario en el caso de que se vendan 36 libros en un día?

35) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en llegar a su altura

R/

máxima?

R/ 40) ¿Cuánto libros se venden en un día si el salario es de 9500 colones?

36) ¿Cuál es la altura máxima, en metros, que alcanza el proyectil?

R/

A)

768,26

B)

976,04

C)

1594,99

41) El vendedor quiere expresar la cantidad de libros

D)

1823,35

vendidos en función del salario. Entonces, el modelo que obtiene es:

37) ¿Después de cuántos segundos (contados desde el inicio) el proyectil vuelve a pasar por la altura que estuvo a los 10

A)

Lineal

segundos?

B)

Cuadrático

C)

Exponencial

D)

Logarítmico

R/

116


PIMAS

Funciones

42) Un proyectil se lanza desde el techo de un edificio, y el

Considere el siguiente enunciado para contestar las preguntas

tiempo t que tarda en alcanzar una altura de “ x ” metros sobre

45 a 48. “Desde un barco se lanza hacia el mar una piedra.

el suelo se modela con la fórmula: t ( x ) = 20 − 0,5 x − 80

Su altura sobre la superficie del mar, después de t segundos

para 80 ≤ x ≤ 1680 . Considere las siguientes proposiciones:

I.

La altura del edificio es de 80m .

II.

El tiempo que tarda en llegar hasta 224m es 14 s .

está dada por h ( t ) = 10 − t + 2 .”

45) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en tocar el mar?


8 s

B)

8,59 s

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

9,90 s

C)

Solo la I

D)

98 s

D)

Solo la II

43) La cantidad de productos “ f ( x) ” que se necesitan

46) ¿Desde qué altura se lanzó la piedra?

vender para obtener ganancia “ x ”, dólares, está dada por

f ( x ) = 30 + 900 + x . ¿Cuántas unidades de ese producto

A)

8m

B)

8,59m

C)

9,90m

D)

98m

deben venderse para obtener una ganancia de $1600 ?

A)

30

B)

50

C)

80

D)

Más de dos millones

47) ¿Cuántos metros bajo el mar está después de 6 minutos?

44) La cantidad " C " de unidades que se pueden producir al

R/

invertir x colones, 10000 ≤ x ≤ 50000 , está modelado por

C ( x ) = x − 10000 . Considere las siguientes proposiciones:

l.

La cantidad que puede ser producida varía entre 0 y

48) ¿Cuántos segundos tarda en estar 2 metros debajo del

200 unidades de dicho producto.

mar?

II. Para producir 125 unidades se necesita invertir 25625 . De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

R/


117

PIMAS

Funciones

49) La población “ P ” de una región es P ( t ) = 500 000e0,02t donde “ t ” es el tiempo en años a partir del inicio del estudio. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de habitantes que se

53) La cantidad de insectos que hay en una plaga, en ausencia de plaguicidas, se modela con la fórmula P ( t ) = 500 ⋅ 20,02t , después de t días de su identificación.

proyecta a los quince años de iniciado el estudio?

¿Cuántos insectos habría después de un año no bisiesto?

A)

32 663

A)

500

B)

370 409

B)

38254

C)

490 093

C)

D)

675 057

7,94 ×1021

D)

78793

50) El monto “ P ” (en millones) de dinero ahorrado por una empresa está dada por P ( t ) = 15 e0,02t donde “ t ” es el número

−3 x

( t ) = 5e

de años transcurridos a partir del año 1960. ¿En cuántos

54) La función

millones habrá incrementado el ahorro para el año 2010?

determinar la cantidad de miligramos de cierto medicamento

dada por

5

se utiliza

en el flujo sanguíneo de un paciente x horas después de su A)

15,0

administración. Si a un paciente se le inyecta dicho

B)

25,8

medicamento a las 10am, entonces, ¿a qué hora del mismo

C)

40,8

día la cantidad de medicamento en el flujo sanguíneo es 0,45

D)

60,2

miligramos?

51) La cantidad personas que se informan de una noticia viral

A)

1pm

en Facebook después de t minutos, está dada por la fórmula

B)

2pm

C)

3pm

D)

4pm

t

f ( t ) = 3 (1,15) . ¿Cuántas personas se enteraron de la noticia una hora después de publicada?

A)

3,45

B)

16250

encuentra a una altura x en kilómetros sobre el nivel del mar

C)

13151

está

D)

53207

55) La presión atmosférica P sobre un avión que se dada

por

P ( x ) = 700 ⋅ e −0,145 x .

por

de un población está dado

e0,24 t , donde t es el tiempo dado en años. ( t ) = 5000

¿después de cuánto tiempo se tiene 6000 individuos?

A)

7,5 meses

B)

9 meses

C)

15 meses

D)

20 meses

118

es

aproximadamente la presión sobre un avión que se encuentra a una altura de 15 km sobre el nivel del mar?

52) El número de individuos

¿Cuál

A)

79,52

B)

38,51

C)

7,37 × 10−8

D)

385


PIMAS

Funciones

Considere el siguiente enunciado, y utilícelo para contestar las preguntas 56 a 59.

Considere el siguiente enunciado, y utilícelo para contestar las preguntas 60 a 63. “En un plan de inversión compuesto semestralmente con una tasa de interés del 18% , el dinero

Para calcular el dinero A que hay en una cuenta, generada por un capital principal P durante t años, al ser invertido en un plan de ahorro de interés compuesto en n periodos al año, con una tasa de interés anual del r % se utiliza la fórmula

 r  A ( t ) = P ⋅  1 +   n

A que se obtiene generado por un capital principal P después

t años,

de

A ( t ) = P ⋅ (1,09)

2⋅t

se

calcula

con

la

fórmula

”

n ⋅t

60) Si se invierte $1000 , el dinero que hay después de cuatro años es, en dólares:

56) Si el interés se compone trimestralmente, entonces: A)

n = 3

B)

n = 4

C)

r = 3

D)

r = 4

R/

61) Si se invierte $10000 , ¿cuántos semestres hay que esperar para tener más de $40000 ? :

57) Si la tasa de interés es 12% ,entonces: A)

r = 12

B)

r = 0,12

C)

n = 12

D)

n = 0,12

R/

62) Un inversionista tomó ese plan y obtuvo 2 515 650 después de tres años. Entonces, el dinero que invirtió fue: A)

500 000

A

B)

1000 000

B) P

C)

1500 000

C)

r

D)

2000 000

D)

t

58) La cantidad inicial de dinero que hay en la cuenta es: A)

63) Con base en ese plan, al modelar el tiempo t necesario 59) Para el caso en el que se tenga un principal de 100000 ,

para obtener A invirtiendo un capital P se obtiene:

que se invierten a una tasa de interés del 24% compuesto mensualmente, la fórmula que modela P en función de t es: A)

A ( t ) = 100000⋅ ( 1,02 )

B)

A ( t ) = 100000 ⋅ (13)

log1,09 A

A)

t =

B)

t =

C)

t = log1,09 

D)

t =

t

2log1,09 P log1,09 A 2 P

12⋅t

12⋅t

C) A ( t ) = 100000 ⋅ (1,02) D) A ( t ) = 100000 ⋅ (13)

t

 A    2 P 

log1,09 A − log1,09 P


2

119

Funciones

PIMAS

64) El nivel de intensidad “ b ” de un sonido

medio en

decibeles se define por b = 10 ( log I + 16 ) , donde “ I ” es la

67) La magnitud «

» en grados de un sismo en su

 x   , donde « x » es la  Xo 

epicentro, está dada por M ( x ) = log 

intensidad del sonido media en vatios/cm 2. ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibeles de una alarma de incendios cuya −9 intensidad es de 10 valtios

2

cm

intensidad del sismo y « Xo » es la intensidad mínima de un sismo. Un temblor tuvo una intensidad igual a 3000 veces la

?

intensidad mínima. Entonces, su magnitud es:

A)

12

A)

3

B)

70

B)

3,47

C)

160

C)

4

D)

250

D)

4,15

68) El costo de fabricación de cierto producto está dado en 65) La acidez del agua se mide con una unidad conocida como pH. Si la fórmula para calcular el pH es

( H ) = − log H

, donde “ H ” es la concentración de iones de hidrógeno en el

función del número de unidades producidas

C

= 2q ln q + 20 .

q por

¿Cuál es el costo de producir cien unidades

del producto?

agua. La concentración de hidrógeno en una muestra de agua es 0,0001 . Entonces, la acidez de dicha muestra de agua es:

B)

−4 − 1,5

C)

1,5

D)

4

A)

A)

941

B)

71 5

C)

284

D)

29,21

Considere el siguiente enunciado, y utilícelo para contestar los ítems 69 y 70. La tasa de infección de una enfermedad (casos por cada 1000 habitantes) se puede calcular con la función

66) La ecuación del precio de la oferta de cierto artículo está

 

dada por p ( x ) = 100log 15 +

x 

 , donde « x » es el número 2

de unidades ofrecidas a un precio «

» por unidad. ¿Cuántas

f ( t ) = 20 − 12 ⋅ log9 ( t + 2 ) donde t es el número de años a partir del 2000 y 0 ≤ t ≤ 40 .

69) ¿Cuál sería la tasa de infección para el año 2016?

unidades se venden a un precio de 400 ?

R/ A)

19970

B)

23 3

C)

79

D)

24

70) ¿En qué año se estima una tasa de infección de 0,279? R/

120


Funciones

PIMAS

AUTOEVALUACIÓN Funciones 1)

El conjunto { x / x ∈ ℝ, −2 < x ≤ 5} escrito en notación de

intervalo corresponde a:

Considere el universo U

= { x / x ∈ ℕ, 0 ≤ x ≤ 10}

y los

conjuntos A = { x / x ∈ U , x es par} y B = {5,6,7,8,9,10} y utilícelos para contestar los ítems 4 a 6.

A)

] –2,5[

B)

]−2,5]

C)

[ –2,5[

D)

[ –2,5]

2)

Si x ∈ ℤ , entonces con certeza se cumple que:

A)

x ∉ℕ

B)

x∉ ℚ

C)

x ∈ I

D)

x ∈ ℝ

3)

Considere los intervalos I = [ 4,10] y J = ]5,10[ , y las

4)

El conjunto A ∩ B corresponde a:

A)

{0,1,2,3,4}

B)

{0,2,4,5,6,7,8,9,10}

C)

{6,8,10}

D)

{1,3,5,7,9}

5)

El conjunto A ∪ B corresponde a:

A)

{0,1,2,3,4}

B)

{0,2,4,5,6,7,8,9,10}

C)

{6,8,10}

D)

{1,3,5,7,9}

6)

El complemento de B corresponde a:

A)

{0,1,2,3,4}

B)

{0,2,4,5,6,7,8,9,10}

C)

{6,8,10}

D)

{1,3,5,7,9}

proposiciones:

⊂

I.

I

II.

Si x ∈ J , entonces, x ∈ I .

J .


A)

Ambas

B)

Ninguna



121

Funciones

PIMAS

7)

Analice las siguientes relaciones:

f :

]–10,12] → ℝ, f ( x ) =

g : ℝ − {1, 0} → ℝ, g ( x ) =

9)

Considere la siguiente gráfica de la función f :

4 − 3x 5

x

3

−x

¿Cuáles de las relaciones anteriores son funciones? De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las siguientes proposiciones: A)

Sólo f

B)

Sólo g

C)

Ambas

D)

Ninguna

I.

El ámbito de f es: [0, +∞[ .

II.

El dominio de f es:

]−∞,1] .


8)

Considere la siguiente gráfica de una función f :

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

Considere las funciones dadas por

f ( x ) = 2 x 2

+1

g ( x ) = x − 3 y utilícelas para contestar los ítems 10 y 11.

10) El criterio de ( f  g )( x ) es: De acuerdo con los datos de la anterior gráfica, considere las

A)

( f

 g )( x ) = 2 x

B)

( f

 g )( x ) = 2 x 2

− 6 x + 19


2

− 12 x + 19

2 es un cero de f

C)

( f

 g )( x ) = 2 x

2

I.

− 17

II.

-3 pertenece al conjunto de imágenes de f

D)

( f

 g )( x ) = 2 x

2

−2


11) El valor de ( g  f )(10 ) corresponde a: A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

122

R/


y

Funciones

PIMAS

12) La función mostrada en la figura es lineal.

14) Considere la gráfica de la función f .

−1 Entonces, la gráfica de f es:

A)

B)

Un intervalo donde es posible definirle una inversa a f es:

C)

A)

] –10,10[

B)

]−∞, 0]

C)

]−∞,8 ]

D)

[2,8]

D)

15) El criterio de la función inversa de f ( x ) =

13) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a una

A)

f

−1

B)

f

−1

C)

f − ( x ) =

D)

f − ( x ) =

( x) =

( x) =

función a la cual se le puede definir una función inversa?

A)

{(1,3) ,( 2,5) , (3,8) , (4,3) , (5,6 )}

B)

{(1,3) , ( 7,5) , ( 2, −3) , (1,9) , ( 5,0 )}

C)

{( 0,5) , (2,7 ), (4,8 ), (5,9 ), (8,11)}

D)

{( 0,5) , (1,4) ,( 2,4), (3,8), (5,5 )}

1

1


−3 2

−2 3

−2 3

−3 2

x+

11 − 2 x 3

es:

9 2

x +3

x+

11

x+

11 2

3

123

Funciones

PIMAS

16) A continuación se muestra la gráfica de la función f ( x )

19) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función con criterio f ( x ) = mx + b , una proposición falsa es:

= a x+b +c

Entonces, se puede garantizar que:

A)

a > 0, b + c = 6

B)

a > 0, b + c = −2

C)

a < 0, b + c = 6

D)

a < 0, b + c = −2

> 0, b > 0

A)

m

B)

El dominio es ℝ −

C)

El ámbito es [ −∞, b]

D)

f es creciente

20) Sea

f

f ( x ) = ax

2

17) Los datos de la siguiente tabla corresponde a una función lineal f . 2

5

9

15

f ( x )

30

15

-5

-35

−1

cuadrática

dada

por

Si x = 3 es el eje de simetría de la

grafica de f y f ( 3) > 0 , entonces se cumple con certeza

A)

a > 0, b > 0

B)

a > 0, b < 0

C)

a < 0, b > 0

D)

a < 0, b < 0

Entonces, el criterio de f es: f

+ bx − 2 .

función

que:

x

A)

una

( x ) = 5 x + 40

B)

f −1 ( x ) = 5x + 30

C)

f −1 ( x ) = −5 x + 30

2 21) Para la función f dada por f ( x ) = x + c , con c < 0

D)

f ( x ) = − 5 x + 40

considere las siguientes proposiciones.

I.

La gráfica de f interseca el eje “ x ” en dos puntos.

18) Si ( 3, 4) pertenece al gráfico de una función lineal f y

II.

El vértice de la gráfica de f es ( 0, c ) .

f ( 5) = 4 , entonces, la imagen de − 3 es:


A)

5

B)

−3

C)

4

D)

3

124

A)

Ambas.

B)

Ninguna.

C)

Solo la I.

D)

Solo la II.


Funciones

PIMAS

22) Considere la siguiente gráfica de la función cuadrática


f :

función exponencial

f dada por f ( x ) = a , tal que x

f ( 2 ) < 1 :

l.

El dominio de f es ℝ .

II.

Para x > 0 , se cumple que f ( x ) ∈ ]0,1[ .


De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, un posible codominio de f es:

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

A)

[1, 2]


B)

[1,6]

función logarítmica f dada por f ( x ) = ln x :

C)

[ –1,1]

I.

(1, e ) pertenece al gráfico de

D)

[ –1,3]

II.

f interseca el eje “ x ” en ( e, 0 ) .

f .


23) Las siguientes proposiciones se refieren a la función − x

exponencial f dada por f ( x ) = 2 , con : dominio

I.

El ámbito de f es

II.

f interseca el eje “

 1 , +∞  .  4 

]−∞, 2] :

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II

” en ( 0,2 ) .

26) Las siguientes proposiciones se refieren a la función De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

logarítmica f dada por

( x ) = loga x , con f ( 2) > 0 :

A)

Ambas

I.

f ( 3) > f ( 5)

B)

Ninguna

II.

f Interseca el eje “ x ” en (1,0 ) .

C)

Solo la I

D)

Solo la II


A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

D)

Solo la II


125

Funciones

PIMAS

27) El

sistema

de

ecuaciones

 x + y = a  2 x + 2 y = b

x + 3

es

30) La solución de 4 ⋅ 82 x −1 = ( 0, 25)

es:

inconsistente. Entonces, se debe cumplir que:

A)

a

= 2b

B)

a

≠ 2b

C)

2a = b

D)

2a ≠ b

A)

1 4

B)

0

C)

D)

28) Sofía debe leer un libro para la clase de español. El martes, le faltaban 50 páginas más de las que ha leído.

−5 8

−1 12

x

31) Una solución de (5 x ) = 251− x es:

Luego, leyó 25 páginas más y ahora va por la mitad del libro. Entonces, ¿cuántas páginas tiene el libro?

A)

100

B)

150

C)

200

D)

250

A)

1 2

B)

−2

C)

2

D)

3 −1

−1

32) Una solución de 9 x −3 = 4 es: 29) Juan tiene doce años más que Pedro. Si al triple de la suma de la edad de Pedro y la de Juan se le disminuye 60, se obtiene 168. De acuerdo con el enunciado anterior, considere

A)

3 + log9 4

B)

3 + log 4 9

las siguientes proposiciones: C)

l.

Pedro tiene más de 40 años de edad.

II.

Un sistema de ecuaciones que permite resolver el

problema

anterior

es:

 y = x + 12 ,  3 x + y − 60 = 168

D)

donde

" x "

ln 4 ln 9

−3

3ln 9 + ln 4

33) La expresión logb2

representa la edad de Pedro.


A)

log b a − 1

logb a − 1

A)

Ambas

B)

Ninguna

C)

Solo la I

C)

log b a − 2

D)

Solo la II

D)

2logb 2 a

126

B)

2


a b

es equivalente a:

Funciones

PIMAS

(

34) La expresión ln e3b 2 a

)

37) El costo total “ C ” en dólares, por producir “ x ” unidades

es equivalente a:

de un producto, está dado por C

= –4 x + 850 . Si se han

producido 190 unidades de ese producto, entonces, ¿cuál es el costo total de producción?

A)

b2 a

B)

1 + ( ln b )

C)

3 + 2 ln b +

D)

2

+ ln a ln a 2

3 + 2ln b + ln a 2

A)

90

B)

165

C)

660

D)

850

38) Considere el siguiente enunciado: El salario “ s ” de un operario de una grúa está en función de la cantidad de horas

35) Para log m (125 ) = 3 , en el cual log4 ( x ) = m , se cumple

” h ” trabajadas. Por cada hora laborada el operario recibe

que " x " pertenece a:

¢4500 . De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

A) B)

I. El salario del operario en función de las horas trabajadas,

[23,48]

está dada por s ( h ) = 4500h .

[50,125]

C)

[375,500]

D)

[875,1046]

II. Si el operario trabaja 80 horas, entonces, el salario que debe percibir por su labor, es superior a ¢350000 .


Ambas

36) Para log 2 ( 3 x + 2 ) − log2 x = 3 , se cumple que " x "

B)

Ninguna

C)

Solo la I

pertenece a:

D)

Solo la II

A)

 0, 1   2 

39) En un colegio que se fundó en 2007, la cantidad de

1 , 2  2 3 

estudiantes de cada año se puede modelar con la función

C)

2, 5  3 2 

después de su fundación. Si en el 2007 hubo 300 estudiantes

D)

5, 7  2 2 

B)

(t ) = a

t + 4 + b donde “ t ”

es la cantidad de años

y en el 2012 hubo 350, ¿cuántos estudiantes se esperan para el 2028?

A)

510

B)

450

C)

620

D)

480


127

Funciones

PIMAS Considere el siguiente contexto Bola al aire para responder

Considere el siguiente contexto Taza de Café para responder

las preguntas 40 y 41:

las preguntas 42, 43 y 44:

Bola al aire

Taza de Café

Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente

Una taza de café recién servido está a una

hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m / s .

temperatura de 80º C , y la temperatura del ambiente es de 30º C . Después de “ t ” minutos

La altura “ h ( t ) ”, en metros, de la bola a los “ t ”

−0,4 t + 30 . la temperatura del café es T ( t ) = 50e

segundos está dada por 2

h ( t ) = 15t − 4,9t .

42) ¿A qué temperatura está el café dos minutos después de servido?

40) De acuerdo con la información del contexto anterior Bola al aire, ¿cuál es la altura, en metros, de la bola a los 2,5 segundos? A)

2,88

B)

6,88

C)

13,00

D)

68,13

A)

52,47º C

B)

58,92º C

C)

62,38º C

D)

75,18º C

43) A Luis le gusta tomar el café a 45º C . ¿Cuánto tiempo, en minutos, tiene que esperar para que el café esté a la temperatura que Luis quiere?

41) De acuerdo con la información del contexto anterior Bola al aire, ¿cuántos segundos, redondeados al décimo más

R/

cercano, deben transcurrir para que la bola toque el suelo?

44) Al expresar el tiempo en función de la temperatura se R/

128

obtiene:

 T − 30    50  −0,4

ln 

A)

t =

B)

t = ln 

 T − 30    −20 

C)

t =

D)

t =

 T  − 30   50  −0,4

ln 

ln (T − 30)


20

PIMAS

Estadística y Probabilidad

A. Medidas de posición 3.1 Valorar la importancia de las

1. Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media aritmética, la

medidas de resumen (posición)

mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e interpretar la información que

para el análisis de la información

proporcionan dichas medidas.

estadística.

2. Identificar la ubicación aproximada de las medidas de posición de acuerdo con el tipo de asimetría de la distribución de los datos.

Utilizar las medidas de posición

3. Utilizar la calculadora o la computadora para calcular las medidas estadísticas

para resumir y analizar la

correspondientes de un grupo de datos.

información proveniente de un

4. Determinar la media aritmética en grupos de datos que tienen pesos relativos (o

grupo de datos cuantitativos.

ponderación) diferentes entre sí. 5. Utilizar la media aritmética ponderada para determinar el promedio cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias.

Medidas de posición

La manera usual de analizar un grupo de datos S

= ( yi )i =1,2,…,n ,

es ordenándolo para obtener un grupo S

= ( xi , f i )i =1,2,…, N donde la

frecuencia del dato xi es f i y esto significa que ese dato se repite f i veces en el grupo original. Entonces,

La moda del grupo des

o

= x p

si f p

≥

f i , ∀j = 1, 2,… , N : el dato o los datos con mayor frecuencia. n

∑

N

yi

La media aritmética es el promedio aritmético: X =

i =1

n

∑ f ⋅x i

=

∑ f i =1

El mínimo m = min yi y el máximo

i

i =1 N

,

i

= max yi , son los valores que cumplen

El dato que está a un 50% es la mediana. Formalmente Me = Q2

 y n +1 , si n + 1 es múltiplo de 4  4  El primer cuartil (25%) es Q1 =  y n +1 + y n +1    4   4 +1 , enotrocaso  2

m ≤ yi

≤

M,

∀i donde

m, M

∈ S .

 y n +1 , si n + 1 es par  2 =  y n +1 + y n +1   2   2 +1 , si n + 1 es impar  2

. El tercer cuartil (75%) es Q3


 y3( n +1) , si n + 1 es múltiplo de 4  4 =  y 3( n +1)  + y 3( n +1)    4   4 +1 , enotrocaso  2 

129

PIMAS


La media aritmética ponderada de un grupo de datos estadísticos C N

X =

∑

i

⋅ xi

i =1 N

∑

= ( yi )i =1,2,…, N es el promedio aritmético:

, donde cada xi tiene un peso

i

.

i

i =1

Asimetría

Cuando tenemos un grupo de datos donde la mediana y la media aritmética coinciden tendremos una distribución simétrica. Pero, si la mediana es menor que la media aritmética, quiere decir que tendremos más datos a la izquierda de la media que a la derecha, donde hay más peso y por lo tanto, una distribución con asimetría positiva (o derecha). Si la mediana es mayor que la media aritmética, quiere decir que tendremos más datos a la derecha de la media que a la izquierda, y por lo tanto, una distribución con asimetría negativa (o izquierda).

Uso de la calculadora NOTA: A manera de ejemplo, damos las instrucciones para el caso de una calculadora CASIO fx-991ES que es la calculadora científica estándar con que se trabaja en secundaria.

Para activar el modo de estadística: MODE 3 1 , ahí se pueden ingresar los datos si estos no están agrupados. Después de ingresar los datos, se puede encontrar algunas medidas de posición como el mínimo min o el máximo max al digitar:

AC SHIFT 1 6 , el número de datos y la media aritmética X se encuentran en AC SHIFT 1 4

Si se tuvieran frecuencias o pesos en el caso de media aritmética ponderada, se debe activar la columna de frecuencia. Esto se hace de la siguiente manera SHIFT MODE

130

↓ 41

y para desactivarla SHIFT MODE


↓ 4 2

PIMAS



6) En conjunto de datos 4, 2,1, 3 , ¿cuál es la mediana?

1) En conjunto de datos 4,3,5,7,5,4,8,4,2,4,5,4,3,8,7,4 ,

A) 1,5 B) 2,5

¿cuál es la frecuencia del dato 4 ?

C) 3 D) 3,5

A) 4 B) 5 C) 6

7) En conjunto de datos 5,10,12,15,15,18,22 , ¿cuál es el

D) 7

primer cuartil?

2) En conjunto de datos 1,5,4,5,7,2,3,4,5,5,7,4,3,2,5, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 15

A) El máximo es 5 B) El número de datos es 14

8) En

C) La mediana es 5

conjunto

de

datos

154,284,315,318,452,

469,750,950 , ¿cuál es el primer c uartil?

D) La moda es 5

A) 284

3) En el grupo de datos 11,50,45,45,57,54,25,28,26 , ¿cuál

B) 299,5

es la media aritmética?

C) 315 D) 385

A) 37,89 B) 45

9) En conjunto de datos 4,8,15,17,17,19,23,54,60,62,62 ,

C) 52

¿cuál es el tercer cuartil?

D) 341

A) 57 B) 60

4) En un grupo de cuatro datos, el mínimo es 4, la mediana

C) 61

es 6 y el máximo es 12. Entonces, la media aritmética es:

D) 62

A) 5,5 B) 6

10) En conjunto de datos 105,152,254,318,318,322,455,

C) 7

475,850,1250,1350,1750 , ¿cuál es el tercer c uartil?

D) 7,33

A) 850

5) En conjunto de datos 1,2,3,4,5 , ¿cuál es la mediana?

B) 895 C) 1050

A) 2

D) 1250

B) 2,5 C) 3 D) 3,5


131

PIMAS


Considere la siguiente tabla de frecuencias de un grupo de

En un concurso de obras de arte, se consideran los siguientes

dato para contestar las preguntas 11 y 12.

rubros, de uno a cinco, y se les asignó un peso de acuerdo

.

con la importancia que consideraron los jueves de acuerdo

xi

7

11

13

18

19

f i

14

8

12

13

17

con los objetivos del c oncurso:

Rubro

11) El promedio de estos datos es: A) 14,05

Peso

Relación

Uso

con el

del

tema

color

1

2

Creatividad

3

Técnica empleada 4

B) 13,6 C) 13,2

Esto significa, por ejemplo, que los puntos en uso de color

D) 12,8

valen el doble que los de relación con el tema.

12) El primer cuartil de estos datos es:

Utilice este contexto para contestar las preguntas 14 y 15.

14) María, obtuvo una nota de 5 en relación con el tema, un 4

R/

en uso de color, un 2 en creatividad y un 5 en técnica empleada. Al promediar la nota de María respecto a los pesos, se obtiene:

13) En un colegio, la evaluación de cada período en la materia de industriales se lleva a cabo de acuerdo con la siguiente

A) 2,44

tabla, en la que aparecen también las notas obtenidas por

B) 3.9 C) 4

Andrea y Patricia en uno de los períodos.

D) 39

Componente

Valor

Notas de

Notas de

a evaluar

porcentual

Andrea

Patricia

Prueba escrita

35

61

54

color, un 4 en creatividad y un 2 en técnica empleada. Al

Trabajo cotidiano

15

73

75

promediar la nota de Rafael respecto a los pesos, se obtiene:

Proyecto

40

67

66

Asistencia

10

92

97

Total

15) Rafael obtuvo 4 en relación con el tema, un 4 en uso de

R/

100

Si Andrea y Patricia son estudiantes de ese colegio y necesitan una nota promedio de 70 o más para aprobar el período, entonces:

A) Andrea aprobó el período. B) Patricia aprobó el período. C) Ninguna de ellas aprobó el período. D) Patricia tuvo una nota promedio mayor que la de Andrea.

132


PIMAS


Considere el contexto “La Feria” para contestar los ítems

20) Si al graficar una distribución de frecuencias de un grupo

16,17 y 18.

de datos, se observa que tiene una asimetría negativa, entonces, puede ocurrir que:

La Feria. Todos los domingos, un agricultor va a la Feria a vender frutas. Recolectó los datos de ventas del mes y obtuvo lo

A) x

> M e

B) M o

> Me > x

75 naranjas a 80 colones cada una y 200 melones a 800

C) M o

< Me < x

cada uno.

D) M o

= Me = x

16) ¿Cuántas frutas vendió en el mes?

21) Observe la siguiente gráfica de la distribución de

siguiente: Vendió 50 manzanas a 150 colones cada una,

A) 3

frecuencias:

B) 325 C) 534 D) 1030

17) ¿Cuánto dinero obtuvo en el mes?

De acuerdo con la gráfica anterior, se cumple que la

A) 1030

distribución presenta una asimetría:

B) 173500 C) 334750 A) Negativa y a = x

D) 1030

B) Positiva y b = M o

18) ¿Cuál es el precio promedio de las frutas que vendió? A) 168,45

C) Negativa y c D) Positiva y a

=x

= M o

B) 343,33 C) 533,85 D) 1030

22) En una distribución simétrica se debe cumplir que:; 19) A continuación se muestra la gráfica de una distribución de A) La mediana es mayor que la media aritmética.

datos.

B) La moda es mayor que la mediana. C) La mediana es menor que la moda. D) La media aritmética es igual que la mediana.

23) En M o

una

distribución

se

cumple

que

= 10, M e = 15, X = 18 , entonces, la distribución es:

Entonces, con certeza el valor de a corresponde a: A) Con certeza simétrica. A) La media aritmética B) La moda C) La mediana

B) Con certeza asimétrica positiva. C) Con certeza asimétrica negativa. D) No es posible determinar su asimetría.

D) El máximo


133

PIMAS


24) En una distribución se cumple que M o = 20, M e = 18, X = 15 , entonces, la distribución es:

27) La moda de la distribución es: A) 5 B) 10

A) Con certeza simétrica

C) 19

B) Con certeza asimétrica positiva

D) 100

C) Con certeza asimétrica negativa D) No es posible determinar su asimetría.

28) ¿Cuánto dinero recolectó Elizabeth en su alcancía?

Considere el siguiente contexto “La alcancía” para responder

R/

las preguntas 25 a 32.

La alcancía Elizabeth ahora todas las monedas que le sobran durante un mes y las mete en una alcancía. Al final del mes, la abrió, y agrupó las monedas de acuerdo con su valor xi , y obtuvo lo siguiente:

29) ¿Cuál es el promedio del valor de las monedas? A) 24,9

8 monedas de 5 colones.

B) 249


C) 45,08


D) 2660


30) La mediana de la distribución es:


A) 10

25) Al realizar una tabla de frecuencias con la información

B) 17,5

anterior, ¿cuáles son los valores de A y B ?

C) 25

xi

5

10

25

B

100

f i

8

A

16

4

19

D) 37,5

31) El primer cuartil de la distribución es: A) 10

A) A = 10, B

= 50

B) A = 12, B

= 50

C) 25

C) A = 12, B

=4

D) 37,5

D) A = 10, B

=4

26) ¿Cuántas monedas recolectó Elizabeth?

B) 17,5

32) El tercer cuartil de la distribución es: A) 50 B) 75

A) 5 B) 10

C) 87,5 D) 100

C) 95 D) 59

134


PIMAS


Considere el siguiente contexto “Velocidad al pasar por el

34) De acuerdo con el contexto anterior “Velocidad al pasar por el puente”, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es con

puente” para responder las preguntas 33 a 35.

certeza verdadera?

Velocidad al pasar por el puente

Un equipo del MOPT hizo un estudio sobre las velocidades a las que pasan los lo s carros en la entrada de

A) Más carros pasaron a 70 km

h

que a 60 km

h

B) Al menos 25% de los carros pasaron a menos de 50 km

un puente en una autopista. En el informe, incluyeron las siguientes conclusiones, respecto a la variable

C) A lo sumo 25% de los carros pasaron a más de 70 km

velocidad de los carros que pasaron:

D) La distribución tiene asimetría negativa

h

h

• El mínimo es 20 km h • El máximo fue 125 km h

35) En el estudio “Velocidad al pasar por el puente” se tomó en cuenta la velocidad de 115 carros. ¿Cuál es la suma de

• La moda fue 60 km h

las velocidades de todos los carros que se midieron en el estudio?

• La media aritmética fue 70 km h • El primer cuartil fue 55 km h •

El tercer cuartil fue 85 km

R/ h

• La mediana fue 75 km h

33) De acuerdo con el contexto anterior “Velocidad al pasar por el puente”, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es con

Considere la siguiente tabla de frecuencias de un grupo de

certeza verdadera?

datos.

A) Todos los carros pasaron a m ás de 25 km

h

B) Todos los carros carros pasaron a menos de 130 km

150

175

250

315

350

f i

15

20

12

35

18

36) El promedio de estos datos es:

h

C) Al menos la mitad de los carros pasaron a menos de

55 km

xi

A) 248 B) 260,75

h

C) 21,03 D) 20

D) A lo sumo la mitad de los carros carros pasaron a más de 70 km

h

37) El tercer cuartil de estos datos es : R/


135

PIMAS


Utilice el siguiente contexto para responder los ítems 38 a 40:

El siguiente resumen de datos agrupados en clases es acerca de la estatura de los estudiantes de una generación de 11mo.

La concentración de cloro

Altura de los estudiantes estudiantes de 11mo año

En una piscina municipal, el administrador tiene la duda de si la cantidad de cloro suministrada en el

Punto medio

Frecuencia absoluta

Entre 130 y 140

135

8

frecuentan dicho lugar. Decide tomar una muestra

Entre 140 y 150

145

20

del agua de la piscina durante los primeros 22 días

Entre 150 y 160

155

18

concentración de cloro en miligramos por cada litro

Entre 160 y 170

A

20

de agua. Los datos de las muestras ya ordenados

Entre 170 y 180

175

15

Entre 180 y 190

185

20

agua por sus empleados, puede significar ciertos daños a la salud de las personas adultas que

del mes de abril para saber cuánta es la

fueron los siguientes: 0,02 0,04 0,05 0,05 0,06 0,08 0,10 0,10 0,15 0,15 0,18 0,20 0,20 0,22 0,25 0,25 0,30 0,45 0,45 0,50 0,50 0,80

Utilice esta información para responder los ítems 41 a 43:

41) En la tabla, el valor de A corresponde a: A) 160

38) De acuerdo con el contexto anterior La concentración de

B) 165

cloro, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

C) 170 D) 175

A) El promedio es la medida de tendencia central que mejor caracteriza al conjunto de datos.

42) Para dar una estimación de la media aritmética se utilizan

B) Hay 14 datos menores que el promedio, el cual se ve

los puntos medios como valores estadísticos. estadísticos. Entonces, una

afectado por valores muy altos.

estimación adecuada de la media aritmética es:

C) La distribución de la concentración de cloro tiene con certeza una asimetría negativa. D) La distribución

de la

concentración

A) 160 de cloro

es

aproximadamente simétrica.

B) 162,33 C) 165 D) 167,66

39) Determine el valor para el cual el 25% de las 43) La media aritmética exacta de las alturas de los

observaciones son menores que dicho valor.

estudiantes es 159. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

R/

A) La distribución es asimétrica positiva porque hay muchos estudiantes muy altos que aumentan el promedio.

40) Determine el valor para el cual el 75% de las observaciones son mayores que dicho valor.

B) La distribución es asimétrica negativa porque hay muchos estudiantes muy altos que aumentan el promedio. C) La distribución es asimétrica asimétrica positiva porque hay muchos muchos

R/

estudiantes muy bajos que disminuyen el promedio. D) La distribución es asimétrica negativa negativa porque hay muchos estudiantes muy bajos que disminuyen el promedio.

136


PIMAS


En el siguiente gráfico se muestra la distribución de notas de

47) La mediana de las notas es:

un quiz de Física. Con base en él conteste los ítems 44 a 48. A) 5

��

B) 6 C) 7

��

D) 8

��

� � � � � � � � � �

��

48) El primer cuartil es: A) 5

� � �

B) 5,5 C) 6

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

��

D) 6,5

��

49) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

44) La cantidad de estudiantes que realizaron el quiz:

A) La moda de la distribución es 8.

A) 10 B) 18

B) El 75% de los estudiantes estudiantes obtuvieron a lo sumo un 8

C) 28 D) 61

C) La nota mínima mínima es un 4.

45) Al completar la siguiente tabla de frecuencia s se obtiene: D) La nota máxima máxima es un 10.

xi

1

2

f i

3

4

5

6

A

7

B

9

10

18

50) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? Entonces, el valor de A y B es respectivamente:

A) La distribución es asimétrica positiva porque hay muchos estudiantes con notas altas que aumentan el promedio.

A) A = 1, B

=8

B) A = 1, B

= 18

estudiantes con notas altas que aumentan el promedio.

C) º D) A = 4, B

B) La distribución es asimétrica negativa porque hay muchos

= 18 C) La distribución es asimétrica asimétrica positiva porque hay muchos muchos

46) El promedio de las notas es de: A) 5 B) 5,5

estudiantes con notas bajas que disminuyen el pr omedio.

D) La distribución es asimétrica negativa negativa porque hay muchos estudiantes con notas bajas que disminuyen el pr omedio.

C) 6,1 D) 6,79


137

PIMAS


B. Medidas de variabilidad 3.2 Valorar la importancia de las medidas

6. Resumir la variabilidad de un grupo de datos mediante el uso del recorrido,

de resumen (variabilidad) para el análisis

el recorrido intercuartílico, la variancia o la desviación estándar e interpretar la

de la información estadística.

información que proporcionan.

Utilizar las principales medidas de variabilidad para evaluar y comparar la

7. Emplear la calculadora o la computadora computadora para simplificar simplificar los cálculos

dispersión de los datos.

matemáticos en la determinación de las medidas de variabilidad.

3.3 Utilizar diferentes representaciones

8. Utilizar diferentes tipos tipos de representaciones gráficas o tabulares tabulares para el

para analizar la posición y variabilidad de

análisis de datos cualitativos y favorecer la resolución de problemas

un conjunto de datos.

vinculados con diversas áreas. 9. Utilizar diagramas de cajas para comparar la posición y la variabilidad variabilidad de dos grupos de datos.

3.4 Analizar la importancia del uso de

10. Reconocer la importancia de emplear medidas relativas al comparar la

medidas relativas de tendencia central y

posición o la variabilidad entre dos o más grupos de datos.

variabilidad dentro de los análisis

11. Aplicar estandarización y el coeficiente de variación p ara comparar la

comparativos de información.

posición y variabilidad de dos o más grupos de datos.

Diagramas de cajas El recorrido es R = máx − mi n , mide la variación absoluta de la distribución. El recorrido intercuartílico es la diferencia R I

= Q3 − Q1 , y mide la variación en el 50% central de los datos.

Variancia y desviación estándar n

La variancia poblacional es

σ2 =

∑(

xi

i =1

− X )

n

n

2

La variancia muestral s

2

=

∑(

xi

i =1

− X )

n −1

2

i

y la desviación estándar poblacional es

es n y el promedio es X . Después de introducir los da tos en la calculadora n

∑ ( x − X )

σ=

i =1

, si el número de datos

n

σ se encuentran AC SHIFT 1 4 3 n

2

∑ ( x − X )

2

i

y la desviación estándar muestral s

promedio es X . Después de introducir los datos en la calculadora

=

i =1

n −1

, si el número de datos es n y el

σ se encuentran AC SHIFT 1 4 4

Tanto en las poblaciones como en las muestras se debe recordar que si los datos están agrupados con frecuencia debe activarse la columna de frecuencias.

Medidas relativas El coeficiente de variación de un grupo de datos con promedio X y desviación estándar

C V

138

=

σ X

σ,

dado como porcentaje es

− X . En el caso de una muestra se usa s en lugar de σ . σ Prácticas para Bachillerato

⋅100% . El valor estandarizado z i de un dato xi es z i =

xi

PIMAS



5) El primer cuartil de los datos es:

Considere el siguiente diagrama de cajas de un grupo de datos para contestar los ítems 1 a 10.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

6) El tercer cuartil de los datos es: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

1) El mínimo de los datos es:

7) El recorrido intercuartílico de los datos es:

A) 0

A) 4

B) 1

B) 6

C) 2

C) 9

D) 3

D) 10

2) El máximo de los datos es: A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

3) El recorrido de los datos es :

8) ¿Qué porcentaje de los datos está entre 3 y 10? A) 0% B) 25% C) 50% D) 75%

9) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es con certeza verdadera respecto a este grupo de datos?

A) 4 B) 6

A) Entre 6 y 10 hay más datos estadísticos que entre 1 y 2.

C) 9

B) El 50% central de los datos se ubica entre 2 y 6.

D) 10

C) El 25% de los datos es menor a 3. D) El 75% de los datos es mayor a 6.

4) La mediana de los datos es: 10) Suponiendo que los datos tiene un promedio de 3,5 es A) 2

posible asegurar que:

B) 3 C) 4 D) 6

A) La distribución tiene asimetría positiva. B) La distribución tiene asimetría negativa. C) La distribución es simétrica. D) No es posible determinar la asimetría.


139

PIMAS


11) En una población cuyos datos son 5,10,12,15,15,18,22 ,

16) En una población los datos se agruparon en la siguiente

la desviación estándar es:

tabla de frecuencias:

A) 5,11 B) 5,52 C) 13,86

xi

18

25

34

45

67

f i

12

5

18

34

20

D) 26,12 Entonces, la variancia de la población es :

12) En

una

población

cuyos

datos

son

15,25,25,30,35,45,45,54 , la variancia es:

A) 294,96

A) 12,15

B) 398,7

B) 12,99

C) 249,81

C) 147,69

D) 252,66

D) 168,78

17) En una muestra los datos se agruparon en la siguiente 13) Se escoge una muestra cuyos valores son 1,5,7,15,19,

tabla de frecuencias:

24,59,64,65 . La desviación estándar de esta muestra es: A) 24,91 B) 26,62 C) 620,62

xi

45

54

65

75

84

f i

4

8

5

7

12

D) 698,19 Entonces, la desviación estándar de la muestra es :

14) Se escoge una muestra cuyos valores son 17,85,115, 135,178,205 . Entonces, la variancia de la muestra es :

A) 14,07 B) 14,27

A) 61,42

C) 15,66

B) 3772,58

D) 14,00

C) 67,28 D) 4527,1

18) En una muestra los datos se agruparon en la siguiente tabla de frecuencias:

15) En una población los datos se agruparon en la siguiente tabla de frecuencias:

xi

10

15

25

35

45

f i

5

7

15

4

18

Entonces, la desviación estándar de la población es : A) 12,86

xi

2

4

6

8

10

f i

7

11

14

3

9

Entonces, la variancia de la muestra es:

A) 8 B) 10

B) 12,99

C) 7,16

C) 12,80

D) 7,22

D) 14,32

140


PIMAS


19) En una serie de datos el promedio es 140 y la desviación

24) Si el valor estandarizado para un dato estadístico igual a

estándar 22,15 . Entonces, el coeficiente de variación es:

87 en una serie con 28 datos y de variancia 45 es igual a 1,15 , entonces, ¿cuánto suman todos los datos de la serie?

A) 15,82% B) 6,32%

A) 79,29

C) 29,74%

B) 35,25

D) 63,20%

C) 987 D) 2220

20) El coeficiente de variación de una serie de datos con

25) Al estandarizar un dato en una serie se obtuvo un valor

promedio 24 es 15% . Entonces, la variancia de dicho grupo

negativo. Esto significa que:

de datos es: A) El dato es mayor que la desviación estándar B) El dato es menor que la desviación estándar

A) 129 600

C) El dato es mayor que la media aritmética

B) 12,96

D) El dato es menor que la media aritmética

C) 160 D) 25600

26) El dato estandarizado z i de xi en una serie de datos positivos cumple z i

21) El coeficiente de variación sirve para:

> 1 .Considere las proposiciones:

I. xi varía del promedio más de u na desviación. estándar. A) Medir la variación absoluta de los datos. B) Medir la variación absoluta del 50% central de los datos. C) Medir la variación relativa de los datos.

II. xi es menor que el promedio De ellas, son con certeza verdaderas:

D) Promediar las variaciones respecto a la media aritmética. A) Ambas B) Solo I

22) ¿En cuál de las siguientes situaciones se encontraría con certeza un coeficiente de variación alto?

C) Solo II D) Ninguna

A) El mínimo está muy lejos del máximo. B) El primer cuartil está muy lejos del tercer cuartil.

27) La medida adecuada para comparar la variación absoluta de dos series de datos es:

C) La asimetría es positiva.

A) El recorrido

D) Los datos están muy dispersos.

B) El recorrido intercuartílico C) La desviación estándar

23) En una serie de datos de promedio 45 y desviación

D) El coeficiente de variación

estándar 8 , ¿cuál es el valor estandarizado para el dato estadístico 38 ?

28) La medida adecuada para comparar la variación absoluta del 50% central de los datos es:

A) -0.875

A) El recorrido

B) 0.875

B) El recorrido intercuartílico

C) -0.667

C) La desviación estándar

D) 0.667

D) El coeficiente de variación


141

PIMAS


En la siguiente tabla se resume la información, al tomar una

32) ¿Cuál es la desviación estándar de los datos del IPC?

muestra del índice de precios al consumir según el BCCR de ocho meses.

A) 0,1388 B) 0,1215

��

C) 0,3726

��

D) 0,3485

��

��

��

��

��

��

��

��

33) ¿Cuál es el coeficiente de variación del IPC?

A) 0,00745% B) 0,74532%

��

��

��

��

��

��

C) 0,00385% D) 0,38545%

34) ¿Cuál es el valor estandarizado del IPC para marzo del ��

��

2016?

Utilice esta información para contestar los ítems 29 a 35

A) -1,07 B) 1,07

29) Durante estos meses, la variación absoluta de los datos fue de:

A) 0,62

C) -1,25 D) 1,25

35) Considere las siguientes afirmaciones respecto a los datos

B) 0,93

mostrados.

C) 0,685 D) 0,75

I. El IPC en los meses del 2015 varía absolutamente más

30) ¿Cuál es la variación absoluta en el 50% central de los datos del IPC?

que en los meses del 2016.

II. El IPC en los meses del 2015 varía relativamente más que en los meses del 2016.

A) 0,62 De ellas, son con certeza verdaderas

B) 0,93 C) 0,685

A) Solo la I

D) 0,75

B) Solo la II C) Ambas

31) ¿En cuántos meses el IPC fue menor al pr omedio?

D) Ninguna

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

142


PIMAS


La siguiente muestra se tomó del BCCR respecto a la

39) En otro momento se toma otra muestra con diferentes

expectativa de inflación, y su cantidad de respuestas:

valores y un coeficiente de variación de 0,12. Entonces, se cumple con certeza

Expectativa Cantidad de de Inflación respuestas

A) Esa otra muestra varía relativamente más que la original.

4,3

60

4

58

3,9

65

3,7

53

D) Se necesitan más datos para determinar cuál varía más

3,2

56

relativamente.

3,5

56

B) Esa otra muestra varía relativamente igual que la original. C) Esa otra muestra varía relativamente menos que la original.

Además, se tiene el siguiente diagrama de cajas de las

40) Al estandarizar el dato 4, se obtiene

respuestas:

R/

Con base en la información conteste las preguntas 36 a 42.

36) ¿Cuál es el promedio de las expectativas de inflación? 41) El valor de A y B es respectivamente: A) 3,767 A) A = 3, 9 / / B = 4,3

B) 3,778 C) 30,88

B) A = 3, 7 / / B

D) 58

= 4,3

C) A = 3, 9 / / B = 3, 5

37) ¿Cuál es la desviación estándar de esta muestra?

D) A = 3, 7 / / B

= 3,5

A) 0,4231 B) 0,3542

42) ¿En qué porcentaje se puede estimar el número de

C) 0,3537

respuestas entre 3,2 y 4?

D) 0,2351 A) 25%

38) ¿Cuál es el recorrido de los datos?

B) 50% C) 66%

A) 0,8

D) 75%

B) 0,5 C) 1,2 D) 1,1


143

PIMAS


En la siguiente tabla se presentan los tipos de cambio del dólar

46) El valor de d corresponde a:

respecto al colón en una muestra de los últimos doce años. ��

��

01-ene-05

457,58

459,64

01-ene-06

495,65

497,71

01-ene-07

515,84

519,95

01-ene-08

495,23

500,97

01-ene-09

550,08

560,85

01-ene-10

558,67

571,81

01-ene-11

507,85

518,09

01-ene-12

505,35

518,33

01-ene-13

502,07

514,32

01-ene-14

495,01

507,8

01-ene-15

533,31

545,53

01-ene-16

531,94

544,87

Promedio a= Desviación estándar

b=

R/

��

Con base en esta información, se elaboraron los siguientes diagramas de cajas.

47) El valor de E corresponde a:

c=

R/

d=

Utilice la información para contestar los ítems 43 a 50.

48) El valor de F corresponde a: 43) El valor de a corresponde a:

R/

R/

44) El valor de b corresponde a:

49) El valor de G corresponde a:

R/ R/

45) El valor de c corresponde a: 50) El valor de H corresponde a: R/ R/

144


PIMAS


Respecto a los tipos de cambio, se tiene el siguiente resumen. Utilícelos para contestar los ítems 51 a 55.

Al consultarles a todos los profesores y profesoras de un colegio, respecto al número de años que lleva trabajando en Educación, se obtuvo el siguiente resumen de información:

compra X s Ene-11

venta

512,38

521,66

27,72

30,57

507,85

518,09

Q1 e Q3

compra

venta

495,44

504,39

506,6

518,21

532,63

545,20

51) De acuerdo con la variación absoluta de las muestras,

Hombres

Mujeres

X

14

16

σ

2

1,5

Y el siguiente diagrama de cajas:

A) Es mayor la de la compra que la de la venta. B) Es igual la de la compra que la de la venta. C) Es menor la de la compra que la de la venta. D) No es posible determinar cuál es mayor.

52) De acuerdo con la variación absoluta del 50% central de las muestras, se tiene que:

A) Es mayor la de la compra que la de la venta. Utilice la información para contestar los ítems 56 a 58.

B) Es igual la de la compra que la de la venta. C) Es menor la de la compra que la de la venta. D) No es posible determinar cuál es mayor.

56) De acuerdo con la variación absoluta de la población:

53) De acuerdo con la variación relativa de las muestras,

A) Es mayor la de los hombres que la de las mujeres. B) Es igual la de los hombres que la de las mujeres.

A) Es mayor la de la compra que la de la venta.

C) Es menor la de los hombres que la de las mujeres.

B) Es igual la de la compra que la de la venta.

D) No es posible determinar cuál es mayor.

C) Es menor la de la compra que la de la venta. D) No es posible determinar cuál es mayor.

57) De acuerdo con la variación absoluta del 50% central de la población, se tiene que:

54) Al estandarizar los datos de enero del 2011, se obtiene que A) Es mayor la de los hombres que la de las mujeres. A) Es mayor el de la compra que la de la venta.

B) Es igual la de los hombres que la de las mujeres.

B) Es igual el de la compra que el de la venta.


C) Es menor la de la compra que la de la venta.



58) De acuerdo con la variación relativa de la población, 55) ¿Cuál tiene asimetría positiva? A) Es mayor la de los hombres que la de las mujeres. A) Solo COMPRA

B) Es igual la de los hombres que la de las mujeres.

B) Solo VENTA


C) Ambas


D) Ninguna


145

PIMAS


En cierto colegio hay dos secciones de undécimo año. El 11-

62) El tercer cuartil en los estudiantes del 11B es:

A tiene 39 estudiantes, y el 11-B 35. A todos ellos se les consultó su peso redondeado al múltiplo de cinco más cercano, en kilogramos.

R/

En la siguiente tabla se muestra los resultados:

11A

11B

63) De acuerdo con la variación absoluta de las muestras, se

45kg

2

50kg

4

50kg

4

55kg

3

55kg

8

60kg

6

B) Es igual la del 11A que la del 11B.

60kg

10

65kg

5

C) Es menor la del 11A que la del 11B.

65kg

9

70kg

4

75kg

4

75kg

6

85kg

2

80kg

7

tiene que:

A) Es mayor la del 11A que la del 11B.


64) De acuerdo con la variación absoluta del 50% central de las muestras, se tiene que:

Con base en la información, conteste las preguntas 59 a 67.

A) Es mayor la del 11A que la del 11B. B) Es igual la del 11A que la del 11B.

59) El promedio de los pesos en los estudiantes del 11A es:

C) Es menor la del 11A que la del 11B. D) No es posible determinar cuál es mayor.

R/ 65) De acuerdo con la variación relativa de las muestras, se tiene que:

60) La desviación estándar en los e studiantes del 11B es:

A) Es mayor la del 11A que la del 11B. B) Es igual la del 11A que la del 11B. C) Es menor la del 11A que la del 11B. D) No es posible determinar cuál es mayor.

R/

66) Al estandarizar el dato 55kg, se obtiene que 61) El primer cuartil de los pesos en los estudiantes del 11A es:

A) Es mayor en la serie del 11A que en la del 11B. B) Es igual en ambas series. C) Es menor en la serie del 11A que en la del 11B.

R/

146



PIMAS


C. Probabilidad 3.5 Emplear las propiedades

12. Describir relaciones entre dos o más eventos de acuerdo con s us puntos muestrales,

básicas de la probabilidad en

utilizando para ello las operaciones: unión “ ∪”, intersección “∩” y “complemento” e interpretar

situaciones concretas.

el significado dentro de una situación o e xperimento aleatorio. 13. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones en tre eventos. 14. Reconocer eventos mutuamente excluyentes en situaciones aleatorias particulares. 15. Deducir mediante situaciones concretas las reglas básicas (axiomas) de las probabilidades. 16. Deducir las propiedades relacionadas con la probabilidad de la unión y del c omplemento.

3.5 Utilizar las probabilidades

17. Resolver problemas del contexto estudiantil que involucren el análisis de las medidas de

y las medidas estadísticas

variabilidad.

para favorecer la toma de

18. Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con

decisiones en condiciones de

fenómenos aleatorios.

incertidumbre. 3.7 Resolver problemas

19. Aplicar los axiomas y propiedades básicas de probabilidades en la resolución de

vinculados con el análisis

problemas e interpretar los resultados generados.

de datos y el manejo de la aleatoriedad dentro del contexto estudiantil.

Definición de probabilidad Un espacio muestral U es el conjunto de posibles resultados de un experimento, y cada uno de estos resultados es un punto

muestral. Un evento es un subconjunto de U . A cada evento A se le asigna un número P ( A ) tal que 0 ≤ P ( A) ≤ 1 llamado la probabilidad de A y este es el resultado de dividir el número de puntos muestrales favorables n ( A) por el número de total de puntos muestrales en el espacio muestral n (U ) :

P ( A ) =

n ( A) n (U )

Si P ( A) = 0 decimos que el evento A es imposible y no sucederá. Si P ( A ) = 1 decimos que el evento A es seguro. Si A ∩ B = φ decimos que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. El complemento de A , denotado,

c

( ) = 1 − P ( A)

es el evento: “no sucede A ” y se cumple que P A

c

Eventos compuestos La intersección de los eventos A y B es el evento definido por: “sucede A y sucede B ”. Se denota A ∩ B y denotamos su probabilidad P ( A ∩ B ) . Dados dos eventos, la unión de los eventos sucede cuando sucede alguno de ellos, y denotamos su probabilidad P ( A ∪ B ) . P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .


147

PIMAS



5) Kevin está decidiendo cuál carrera escoger, y a cuál universidad asistir. asistir.

Ha reducido reducido sus opciones a cuatro cuatro

1) Considere el espacio muestral que se ob tiene al lanzar un

carreras y a tres universidades. Sabiendo que todas las

dado de seis caras y una moneda, y a notar el número que sale

universidades que Kevin escogió, dan las carreras que Kevin

en la cara superior del dado y si la moneda cae en escudo o

escogió, ¿cuántas opciones diferentes tiene Kevin para

corona. El número de puntos del espacio muestral es:

escoger carrera y universidad?

A) 2 B) 6

A) 1

C) 8

B) 7

D) 12

C) 8 D) 12

2) En un restaurante hay n tipos de comidas diferentes, y m tipos de bebidas diferentes. diferentes.

Entonces, el experimento experimento “

escoger una comida y una bebida” tiene el siguiente número

6) Al escoger al azar un número entre 1 y 10, ambos

de puntos muestrales:

inclusive, la probabilidad de que el número sea múltiplo de tres

A)

n+m

B)

n⋅m

C)

D)

es:

3

n

A) 10

m

10

m

B)

n

3 1

C) 5

3) Juan tiene 6 camisas diferentes de uniforme. uniforme.

Si el

experimento “Juan escoge una camisa y un pantalón entre su

2 D) 5

ropa” tiene 18 puntos muestrales, entonces, el número de pantalones diferentes que tiene Juan es:

7) Al escoger al azar un número entre 1 y 10, ambos

A) 3

inclusive, la probabilidad de que el n úmero sea primo es:

B) 9 C) 12

R/

D) 36

4) En un restaurante hay n tipos de comidas, y m tipos de bebidas todos diferentes. Entonces, el experimento “ escoger una comida y una bebida” tiene el siguiente número de puntos puntos muestrales: A)

n+m

8) Al lanzar tres monedas justas al aire, la probabilidad de

B)

n⋅m

salgan más escudos que coronas es:

C)

D)

148

n m

R/

m n


PIMAS


9) Un diario deportivo, respecto al próximo mundial de fútbol,

12) Supongamos que siempre que haya un día soleado y lluvia

asegura que la probabilidad de que Costa Rica clasifique a los

habrá un arcoíris.

octavos de final es del 55%, y la probabilidad de que México

probabilidad de que mañana no sea un día soleado es del

lo logre es del 40%. De acuerdo con ese diario, diario, entonces, es

55%, y que la probabilidad de que mañana no llueva es del

cierto que:

60%. Entonces, con certeza:

A) La probabilidad de que clasifiquen Costa Rica y México a

Según, el instituto instituto meteorológico la

A) La probabilidad de que mañana haya un arcoíris es del

los octavos de final es del 95%

85%

B) La probabilidad de que clasifiquen clasifiquen Costa Rica o México México a

B) La probabilidad de que mañana llueva llueva es del 45% 45%

los octavos de final es del 95%

C) Los eventos: mañana es un día soleado soleado y mañana llueve

C) La probabilidad de que Costa Rica no clasifique a los

son mutuamente excluyentes.

octavos de final es del 45%

D) Si los eventos mañana es un día día soleado y mañana llueve

D) La probabilidad de que México México no clasifique a los octavos

no son mutuamente excluyentes, entonces, la probabilidad de

es menor que la probabilidad que Costa Rica no lo logre.

que haya un arcoíris es positiva.

10) En un juego de azar se le dan dos cartas a cada jugador. El jugador hace una apuesta antes de ver las cartas, y tiene la

13) Julia tiene pares de zapatos de cuatro colores: negros,

opción de duplicar la apuesta des pués de ver la primera carta.

café, rojos y verdes, y vestidos de tres colores: negro, azul y

Antes de ver las cartas la probabilidad de ganar es 20% y si

blanco. Escogerá al azar un par de zapatos, y un vestido, y

la primera carta es un As, entonces, la probabilidad que con la

cada prenda tiene la misma probabilidad de ser escogido.

segunda carta se gane el el juego es del 60%. De acuerdo con

Entonces,

lo anterior, es cierto que: A) La probabilidad de que el vestido y los zapatos sean del A) Si la segunda carta es un As, entonces, entonces, la probabilidad de

1

ganar el juego es del 60%

mismo color es 12

B) Si la segunda carta es un 8, entonces, la probabilidad de

B) La probabilidad de que que el vestido no sea blanco, es igual a

ganar es un 20%.

la probabilidad de que los zapatos no sean rojos.

C) Si la primera carta es un 8, entonces, la probabilidad probabilidad de

C) La probabilidad de que el vestido sea azul es igual a la

ganar el juego sería ahora del 40%.

probabilidad de que los zapatos s ean rojos.

D) Si la primera carta es un As, entonces, entonces, la probabilidad de

D) La probabilidad de que los zapatos zapatos sean rojos o el vestido

perder el juego es del 40%.

7 azul es de 12

11) Considere el experimento de escoger un número natural del 1 al 12. Si el evento A es que el número escogido sea

14) Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja

impar y el evento B es que el número escogido sea múltiplo

que contiene boles blancas ( B ) , azules ( A) y rojas ( R ) . Si

de cuatro, entonces con certeza:

A) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,11 } B) A ∩ B = {1,3,5,7,9,11}

el evento

es que al menos una de las bolas sea roja,

entonces con certeza el complemento de

A)

es:

{ AA, AB, BB}

C) A ∪ B = {4,8,12}

B)

{ BA, AB, AA, BB}

D) A ∩ B = φ

C)

{ AA, BB, RR, BA, RA}

D) { RB, RA, RR, BR, AR}


149

PIMAS


Considere el siguiente contexto “La escuela de idiomas” para

20) El número de puntos muestrales favorables para F c es:

contestar las preguntas 15 a 24. A) 22

La escuela de idiomas

B) 16 C) 38

En una clase de una escuela de idiomas, se tiene la

D) 23

siguiente información respecto a los cursos de francés y alemán. 15 estudiantes están en los dos cursos.

21) El número de puntos muestrales favorables para

c

es:

19 estudiantes están en la clase de francés, pero no en la de alemán. 22 estudiantes están en la clase de alemán,

A) 16

pero no en la de francés. 16 estudiantes no están ni en la

B) 19

clase de francés ni en la clase de inglés.

C) 20

Al escoger un estudiante al azar en la escuela de idiomas,

D) 35

se consideran los eventos F : el estudiante está en la clase de francés, y A : el estudiante está en la clase de alemán.

22) El número de puntos muestrales favorables para Ac ∩ F es:

15) El número de puntos muestrales del espacio muestral es: A) 42

A) 4 B) 19

B) 56

C) 37

C) 70

D) 54

D) 72

16) El número de puntos muestrales favorables para F es: 23) El número de puntos muestrales favorables para F c ∪ A

A) 22

es:

B) 19 C) 34

A) 22

D) 54

17) El número de puntos muestrales favorables para A es:

B) 19

A) 22

C) 37

B) 19

D) 54

C) 37 D) 54

24) En la escuela se rifará un viaje a Francia para los

18) El número de puntos muestrales favorables para A ∪ F

estudiantes que están únicamente en la clase de francés, y un

es:

viaje a Alemania entre los que están únicamente en la clase

A) 22

de alemán. Sabiendo esto, Marta es la única estudiante estudiante nueva

B) 19

que podría participar en las rifas si matricula de inmediato, por

C) 37

lo que hará basando su decisión en la p robabilidad de ganarse

D) 54

el viaje. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

19) El número de puntos muestrales favorables para A ∩ F es: A) 15

A) María debe matricular en la clase de francés. B) María debe matricular matricular en la clase de alemán.

B) 19

C) María podría matricular en cualquiera de los cursos.

C) 37

D) María debe matricular matricular en ambos cursos.

D) 54

150


PIMAS


Considere los cuadriláteros, y algunas de sus propiedades.

28) Dos eventos mutuamente excluyentes son: A) C y

c

El trapezoide F : Todos sus lados y ángulos tienen diferentes

B) C y B

medidas.

C) A ∩ B y A ∪ B

El trapecio rectángulo T : Tiene dos ángulos rectos, y todos

D) A ∩ B y A

sus lados de diferente medida. El cuadrado C : Tiene todos sus ángulos rectos, y todos sus lados congruentes. El rombo R : Tiene sus cuatro lados congruentes, y los ángulos opuestos congruentes. El triángulo equilátero E: E: Además, sus tres ángulos son

1

4

3

9

29) Suponga que P ( A ) = , P ( B ) =

y P ( A ∩ B ) =

2 9

.

Entonces, el valor de P ( A ∪ B ) es:

congruentes. El triángulo isósceles I: No es equilátero. El pentágono P: Sin ángulos congruentes, pero sus cinco

A)

lados son congruentes. B) Entre los polígonos F, T, C, R, E, I y P se escoge rá uno al azar. Considere los eventos: A : el polígono tiene al menos dos

C)

lados congruentes y B : el polígono es equilátero, C : el polígono es un trapezoide, para para contestar los ítems 25 a 28.

D)

5 9 7 9

1 2 9

25) El evento A ∩ B es:

(

{F}

30) Suponga que P ( A ) = P ( A ∪ B )

B)

{C,E}

Entonces, se puede asegurar que:

C)

{C,E}

A)

D)

{F}

A)

c

{C,E}

C)

{C,E}

D)

{F}

c

c

A ⊂ B

C)

A y B son eventos seguros

D)

A y B son mutuamente excluyentes

31) Suponga que A ∪ B es un evento seguro, A y B son mutuamente excluyentes y P ( A ) = 0, 6 , Entonces, se puede puede asegurar que: A)

27) B c , el evento complemento de B es:

{R.T,I,E,F,}

C)

{R,T,I,F}

D)

{F}

P ( A ∩ B ) = 0, 4

B)

P ( B ) = 0, 4

C)

P ( A ∪ B ) = 0

D)

P ( B ) = 0

{R,T,I}

B)

A ∩ B = A ∪ B

B)

{F}

B)

A)

) = 0, 2 y P ( B ) = 0, 6 .

c

26) El evento A ∪ B es: A)

c


151

PIMAS


Considere el siguiente diagrama de Venn, donde se han

35) Al escoger un número al azar, la probabilidad del evento

representado los eventos A = {1,2,3,4,5} , B = {2,4,6,8} y

A ∪ B es:

C = {7,9} , respecto al universo de los enteros positivos del 1 al 9. De acuerdo con esto, conteste las preguntas 32 a 36.

A)

B)

C)

D)

4 9 5 9 2 9 7 9

36) Al escoger un número al azar, la probabilidad del evento A ∩ B es:

A)

32) Dos eventos mutuamente excluyentes son: B) A) A y B B) A ∩ B y A ∪ B

C)

c

C) A y C D) B y C

D)

4 9 5 9 2 9 7 9

33) El complemento de A es: A)

{6,8}

B) C C)

37) Suponga que P ( A ) =

D) B ∪ C A)

A)

{1,3,5,6,8}

B)

C)

c

B) C

C) B ∪ C D)

152

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

5

, P ( B ) =

Entonces, el valor de P ( A ∩ B ) es:

{6,8} ∪ C

34) El evento A ∪ B es:

4

D)

1 5 7 5 2 5 3 5


1 5

y P ( A ∪ B ) =

3 5

.

PIMAS


Para organizar el paseo a la playa de graduación los 95

42) Al escoger un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad

estudiantes de una generación de 11mo votaron respecto a

de que el estudiante haya escogido Fogata o playa tamarindo?

¿a cuál playa favorita ir?, y ¿qué actividad hacer? Los A)

resultados se muestran en la siguiente tabla: Playa Tamarindo

Playa Flamingo

Playa

TOTAL B)

Conchal

Fogata

8

4

Cena

10

15

8

Buceo

A

25

10

TOTAL

30

B

15

C) D)

37 95 9 19

45% 53 95

43) Entre los estudiantes que escogieron playa tamarindo, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este prefiera cena?

Utilícela para contestar las preguntas 38 a 45

38) ¿Cuál es el valor de A ?

A)

R/

B)

C)

39) ¿Cuál es el valor de B ? D)

R/

2 19 1 15 33 95 1 3

44) Entre los estudiantes que escogieron fogata, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este prefiera playa conchal?

40) Al escoger un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante haya escogido Fogata? A)

A)

3 19

B)

15%

C)

1

D)

2

B)

C)

3 15

D)

41) Al escoger un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante haya escogido buceo y playa Flamingo?

2 11 4 15 22 95 4 95

45) El comité de padres decide que no se puede ir a bucear pues es muy caro, ¿con base en lo votado, cuál sería la opción

A)

25%

B)

1

C)

5

D)

2

más adecuada para tratar de complacer a la mayoría?

4 A)

19 5

Una fogata en playa Tamarindo.

B)

Una fogata en playa Conchal.

C)

Una cena en playa Conchal.

D)

Una cena en playa Flamingo.


153

PIMAS


Considere el siguiente texto y utilice para contestar las preguntas 46 a 49.

49) Se considera un nuevo espacio muestral formado únicamente por los puntos muestrales del evento A . La probabilidad de B en ese espacio muestral es:

En un espacio muestral con n puntos muestrales, el evento A tiene a puntos muestrales favorables, el

b A)

evento B tiene b puntos muestrales favorables y el evento A ∩ B tiene k puntos muestrales favorables.

46) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es con certeza

n k

B)

n k

C)

b

verdadera?

k D) A)

a

>n

B)

b>n

C)

b < k

D)

k

a

Considere los siguientes datos referentes probabilidades referentes a los eventos A y B , para contestar las preguntas

47) El número de puntos muestrales para el evento A ∪ B es: A)

50 y 51.

a+b

B)

a + b − k

C)

n−a−b

D)

n +k −a −b

P ( A ) =

A)

únicamente por los puntos muestrales del evento B . La

a A)

B)

C)

n D)

k B)

b k

D)

154

1 2

P( A ∩ B) =

3 8 1 8 7 8 5 8

n k

C)

8

P ( B) =

50) La probabilidad P ( A ∪ B ) corresponde a:

48) Se considera un nuevo espacio muestral formado probabilidad de A en ese espacio muestral es:

3

a

51) La probabilidad P ( Ac ∩ B ) corresponde a:

R/


1 4

PIMAS


Considere el siguiente contexto para responder las preguntas

54) De acuerdo con el contexto anterior El taller exploratorio,

52 y 56.

¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y haya seleccionado

El taller exploratorio Un grupo de octavo de un colegio con orientación tecnológica está conformado por 10 mujeres y 16 varones. Como asignatura de taller exploratorio, tienen dos opciones para escoger: artes o educación ambiental. La selección del taller exploratorio se muestra en la siguiente tabla: Estudiantes

Artes

Educación

Total

ambiental Mujeres

5

5

10

Educación ambiental?

A) 5 B) 0,19 C) 0,54 D) 0,73

55) Para representar a la sección en una actividad del colegio, se escogerá una estudiante al azar. Entonces, es verdadero que:

Hombres

12

16 A) Las estudiantes que escogieron Artes tienen la misma

Total

17

9

26

probabilidad de ser escogidas que les que escogieron Educación ambiental.

B) Las estudiantes

que escogieron Artes tienen más

probabilidad de ser escogidas que les que escogieron

52) De acuerdo con el contexto anterior, ¿cuál es el valor de

Educación ambiental.

? C) Las estudiantes que escogieron Artes tienen menos A) 4

probabilidad de ser escogidas que les que escogieron

B) 12

Educación ambiental.

C) 14 D) 28

D) Los

estudian tes

tienen

más

probabilida d

de

ser

escogidos.

53) De acuerdo con el contexto anterior, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que una persona elegida

56) De acuerdo con el contexto anterior “El taller exploratorio”,

al azar sea hombre o haya seleccionado Artes?

¿cuál es la probabilidad de que si se elige una persona al azar y resulta ser hombre, este sea estudiante del grupo de

A) 0,40

educación ambiental?

B) 0,46 C) 0,71 D) 0,81

R/


155

PIMAS


Considere el siguiente texto y utilice para contestar las preguntas 57 a 61.

59) La probabilidad de que el niño tome fresco o coma galletas es:

Un niño escoge todas las tardes entre tomar leche o

A)

fresco, pero nunca ambas, y comer galletas o queque pero no ambas. La probabilidad de que tome leche es 4 5

, y la probabilidad de que coma queque es de

3 10

probabilidad de que tome leche y coma galletas

57) La probabilidad de que el niño tome fresco es:

B)

y la

14 25

C)

. D)

9 50 7 10 9 25 7 50

60) La probabilidad de que el niño tome leche o coma galletas es:

A)

B)

C)

D)

1 5 7

A)

10 19 25

B)

C)

7 50

D)

47 50

3 2 14 25 3 50

58) La probabilidad de que el niño c oma galletas es: 61) La tarde del viernes, el niño toma leche. La probabilidad A)

B)

C)

D)

1

de que el niño tome c oma galletas es:

5 7

A)

10 19

B)

25 7

C)

50 D)

156

3 50 7 10 19 25 7 50


PIMAS


AUTOEVALUACIÓN Estadística y Probabilidad En el siguiente gráfico se muestra las frecuencias de la

5) En cada una de las opciones se presentan algunos datos

variable: “número de tíos” que tienen los estudiantes de una

sobre la correspondiente distribución. ¿En cuál de ellas es

clase en un colegio. De acuerdo con la información del gráfico

posible asegurar que se tengan una distribución con asimetría

conteste las preguntas 1 a 4 .

positiva?

1) La moda de la distribución de frecuencias es:

A) X

= 5, Q1 = 3

B) X

= 5, Q1 = 7

C) X

= 5, Q3 = 7

D) X

= 5, Q3 = 3

6) De acuerdo con los datos de la gráfica es posible asegurar que:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 7

2) La media aritmética de la distribución es: A) 5

A) La distribución tiene asimetría negativa con moda c

B) 4,42

B) La distribución tiene asimetría positiva con moda c

C) 5,16

C) La distribución tiene asimetría negativa con media

D) 13,64

aritmética c

3) La mediana de la distribución es:

D) La distribución tiene

asimetría positiva

con media

aritmética c

A) 4 B) 4,5

7) Martín tiene una tienda donde se venden teléfonos

C) 5

celulares. El 20% de ellos cuestan 200000 , el 40% 280000

D) 5,5

y el resto 320000 ¿Cuál es el precio promedio de u n teléfono en la tienda de Martín?

4) El recorrido de la distribución es: A) 220000 A) 4 B) 5

B) 250000

C) 6

C) 266667

D) 7

D) 280000


157

PIMAS


8) ¿Cuál es promedio de la siguiente distribución de datos

11) Considere las siguientes afirmaciones:

agrupados?

I. La distribución tiene asimétrica positiva xi

1500

2000

2500

3000

f i

80

75

120

25

II. La distribución tiene un recorrido de 190 De ellas son verdaderas: A) Ambas B) Solo I C) Solo II D) Ninguna

R/

12) ¿Cuál es la desviación estándar? Un chofer de bus tomó la muestra durante siete días de la semana de “cuántos pasajeros llevó”, y obtuvo los siguientes datos:

A) 55,80 B) 60,35 C) 65,19

Lunes

250

Martes

300

Miércoles

150

Jueves

240

Viernes

316

Sábado

218

Domingo

340

D) 78,34

13) En una clase de 11mo año, hay 20 varones y 15 mujeres. Además, el 40% de las mujeres, y el 35% de los varones de esa clase viven en San José. Al escoger un estudiante al azar entre todos los de la clase, se cumple que:

A) La probabilidad de que viva en San José es del 75%. Utilice la información para contestar las preguntas 9 a 12.

B) La probabilidad de que sea un varón que vive en San José es del 35%.

9) En promedio, ¿cuántos pasajeros lleva este chofer por

C) La probabilidad de que sea varón o viva en San José es

26

día?

35 D) La probabilidad de que no viva en San José es

R/

10) ¿Cuál es el primer cuartil de los datos mostrados? A) 300 B) 240 C) 229 D) 218

158


1 4

PIMAS


14) Josué tiene una colección de billetes. El 40% de ellos s on

17) ¿Cuál es, redondeando a la décima más cercana, la probabilidad de A ∪ B ?

de Costa Rica, el 25% continúan en circ ulación, y el 65% son de Costa Rica o continúan en circulación. Con base en lo anterior, se cumple con certeza que:

R/ A) Todos los billetes que tiene Josué de Costa Rica siguen en circulación. B) Un 35% de los billetes son de otros países o continúan en circulación. C) Al escoger un billete al azar, los eventos: “El billete es de Costa Rica” y “El billete sigue en circulación” son mutuamente

A continuación se muestra un resumen de los salarios, y la cantidad de los empleados de una empresa:

excluyentes. D) Josué no tiene billetes de otros países que ya no estén en circulación.

15) En un juego se pide al concursante que escoja entre dos puertas A y B. Al abrir la puerta se encontrará dos cajas una azul y una roja. El premio está en alguna de las cuatro cajas. De acuerdo con los resultados del juego en otras ocasiones,

Salario

Cantidad de empleados

250 000

10

300 000

7

350 000

8

400 000

2

500 000

8

el concursante sabe que la probabilidad de que el premio esté en la puerta A es del 60%, y detrás de esa puerta las cajas tienen la misma probabilidad de ser las premiadas, mientras que la probabilidad de que el premio esté en la caja roja de la

Con base en ellos, resuelva las preguntas 18 a 21

puerta B es del 5%. De acuerdo con esto, si el concursante decide con base en las probabilidades descritas, escogerá:

18) El promedio de los salarios en es a empresa es: A) La caja roja de la puerta A

A) 340 000,00

B) La caja azul de la puerta A

B) 348 571,43

C) La caja roja de la puerta B

C) 350 000,00

D) La caja azul de la puerta B

D) 360 000,00

Considere los siguientes eventos respecto a escoger un número al azar del universo U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

A : el número es par.

19) La desviación estándar de esta población es: A) 94 313,08

B : el número es mayor que 6

B) 92 955,99 C) 96 176,92

16) El número de puntos muestrales del evento B

C

D) 86 023,25

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7


159

PIMAS


20) Un especialista en recursos humanos sugiere mejorar el


salario del 75% de los salario más bajos. ¿Hasta qué monto

I.

de salario sería este beneficio?

es mayor que la misma medida de variabilidad en los

El recorrido intercuartílico en los estudiantes del 11A

estudiantes del 11B.

II.

A) 350 000 B) 375 000

Más de la mitad de los estudiantes del 11B come

menos de 5 pedazos de pizza.

C) 400 000 D) 450 000

De ellas son verdaderas:

21) El coeficiente de variación de la serie de datos

A) Solo I B) Solo II

corresponde a:

C) Ambas D) Ninguna

R/

Una profesora busca comparar las notas de los estudiantes de En los siguientes diagramas de cajas se muestran los

10mo con las de 11 mo, y tiene la siguiente información:

resultados de la variable. ¿Cuántos pedazos de pizzas comería en el almuerzo?, cuando esto se le pregunta a los Notas de 10mo

Notas de 11mo

Promedio

84

86

Desviación

1,5

1,2

estudiantes del 11A y el 11B

estándar

De acuerdo con esta información c onteste las preguntas 24 y 25.

De acuerdo con la información conteste los ítems 22 y 23.

22) Considere las siguientes proposiciones I.

24) De acuerdo con la variación relativa, es cierto que:

A) Las notas en 10mo y en 11mo varían relativamente lo

Los estudiantes del 11A varían absolutamente más

mismo.

la cantidad de pedazos que los del 11B

B) Las notas en 11mo varían relativamente más que en

II.

10mo.

El 25% de los estudiantes que comen menos del 11B

comen 4 pedazos o menos. De ellas son verdaderas:

C) Las notas en 11mo varían relativamente menos que en 10mo. D) No es posible comparar relativamente con los datos brindados.

A) Solo I B) Solo II C) Ambas D) Ninguna

160


PIMAS


25) Al comparar un 90 en 10mo, con un 90 en 11mo,

27) La probabilidad de que apruebe alguno de los exámenes

obtenemos que:

es:

A) Los 90 son respecto a sus grados, relativamente iguales. B) El 90 en 11mo es relativamente mayor que en 10mo.

A)

C) El 90 en 11mo es relativamente menor que en 10mo. D) No es posible comparar relativamente con los datos

B)

brindados. C)

D)

49 60 16 15 4 15 23 60

Considere el siguiente contexto para contestar las preguntas 26 a 29.

28) La probabilidad de que apruebe el de Español y repruebe el de Cívica es:

Un estudiante realiza dos exámenes, uno de Español y otro de Cívica, la probabilidad de que apruebe el examen de Español es de

2 3

A)

, la probabilidad de que apruebe el

examen de Cívica es de

B)

2 5

y la probabilidad de que

apruebe los dos exámenes es de

C)

1 4

. D)

11 60 49 60

5 12 7 12

26) La probabilidad de que el estudiante repruebe el examen

29) La probabilidad de que apruebe alguno de los exámenes

de Cívica corresponde a:

es:

A)

B)

C)

D)

1 3

A)

2 3

B)

1 5

C)

3 5

D)

49 60 16 15 4 15 23 60


161

PIMAS


Considere el siguiente contexto para contestar las preguntas

32) Se saca un objeto y este es rojo. La probabilidad de que

30 a 32.

sea grande es:

En una bolsa hay 20 objetos. 12 son grandes y el resto pequeños. 10 de ellos son rojos, 4 azules, y 6 son verdes. 6 son rojos y pequeños, y todos los verdes son grandes.

A)

B)

30) Considere las siguientes proposiciones: I. II.

Hay 4 objetos rojos y grandes.

C)

La mitad de los objetos azules son grandes y la otra

mitad pequeños

D)

2 3 1 3 1 5 3 5

De ellas son verdaderas:

A) Ambas B) Solo I C) Solo II D) Ninguna

31) Al escoger un objeto al azar de la bolsa, la probabilidad de que sea grande o rojo es:

A)

B)

C)

D)

162

22 20 9 10 1 5 3 10


PIMAS

Prácticas Finales

Práctica Final No.1

1) ¿En cuál de las siguientes opciones se muestra la

4) ¿Cuál

circunferencia con centro en ( 2, −1) y radio 1 ?

x 2 + ( y − 3 ) = 12

A)

de

las

siguientes

rectas

es

exterior

a

2

C) A) x = 2 3 B) y =

x − 4

2

C) y = − x D) y

= x+4

D)

B)

5) Sean s1 y s2 dos rectas paralelas. Si una ecuación de s1 es

− x − 2 y = 3 y ( 3, −5) pertenece a s2 , entonces s2

interseca el eje “ x ” en:

2) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la ecuación de un circunferencia con centro en

( −1,3) y radio

3?

A)

( −7,0 )

B)

( 0, −7 )  11  ,0  2 

C) 

 11    2

A) x 2 − 2 x + y 2 + 6 y = 1

D)  0,

B) x 2 + 2 x + y 2 − 6 y = 1 C) x 2 + y 2 = 17 2

6) De acuerdo con los datos de la gráfica, si 4 y = 5 + 2kx es la ecuación de una recta perpendicular a la dada en la gráfica,

2

D) ( x − 1) + ( y − 3) = 9

entonces el valor de “ k ” es:

3) ¿Cuál de los siguientes puntos está sobre la circunferencia 2

2

con ecuación ( x + 2 ) + ( y − 1) = 2 ?

A)

( −2,1)

B)

( −1, 0 )

C)

( −2, 2 )

D)

( −3,3 )

A)

3 2

B) 3 C) −3 D)

−4 3


163

PIMAS

Prácticas Finales

7) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a

10) De acuerdo con los datos de la figura, si el hexágono

2 2 ( x + 1) + ( y − 4) = 17 en el origen?

ABCDEF es regular de lado 4, entonces, el áre a de la región destacada con gris es:

A) y

= −4x

B) x = 0 C) y = D) y =

x

4 17 + x 4 A) 12 3 2

2

8) Al trasladar la circunferencia ( x − 1) + ( y + 3) = 5 de manera que el nuevo centro es

( −2,5 ) se

obtiene una

circunferencia de ecuación:

A) B)

B) 18 3 C) 24 3 D) 36 3

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 5) = 25

11) ¿Cuál es el área del cuadrilátero formado por los puntos A ( −2, 4) , B ( −3, 2) , C ( 0, −1) , D (3,1) ?

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 5) = 5

C) x 2 + y 2 = 26 D) x 2 + 4 x + y 2 − 10 y = − 24

9) En la figura, el pentágono ABCDE es regular. Entonces, la medida del ángulo m∠APE es:

Considere la siguiente figura donde se muestra una circunferencia, y los puntos C (1, 4 ) , E ( 3, 0 ) y F ( 5,0 ) .

A) 18º B) 36º C) 72º D) 108º

12) El perímetro de la región sombreada es aproximadamente: A) 9ul B) 11ul C) 13ul D) 15ul

164


PIMAS

Prácticas Finales

Considere la siguiente figura simétrica para contestar los

Considere la siguiente figura.

ítems 13 a 15.

16) El resultado de aplicar una homotecia inversa de razón 13) El eje de simetría es:

A) B) C) D)

3 2

respecto al origen es:

 FB  EH  AI  DG

A)

B)

C)

D)

14) El lado homólogo a ED es:

A) AI B) BH C) EB D) GH

15) Suponga que el perímetro de EDAB es 12cm , el perímetro de

5cm .

∆ EBH es 8cm y el perímetro de ∆ EFH es

Entonces, el perímetro de EDABIGHF ,

en

centímetros, es:


165

PIMAS

Prácticas Finales

17) El punto A′ corresponde a una rotación del punto A

Considere una superficie cilíndrica de radio 4cm y altura

respecto al punto O un ángulo de 60º a favor de las

16cm , para contestar las preguntas 20 y 21.

manecillas del reloj. Considere las siguiente proposiciones:

20) Al hacer un corte con un plano paralelo al eje, a una I.

m∠AOA′ = 60º

II.

AA′ ≅ OA

distancia de 2cm de este, se ob tiene:

A) Un rectángulo B) Una elipse

De ellas son con certeza verdaderas.

C) Una circunferencia

A) Solo I

D) Una hipérbola

B) Solo II C) Ambas

21) De acuerdo con los datos, la superficie lateral del cilindro

D) Ninguna

mide, en centímetros cuadrados, aproximadamente:

18) Al reflejar el punto ( −2,3 ) sobre el eje x, se obtiene el punto:

A)

( −2,3 )

B)

( 2,3 )

C)

( −2, −3)

D)

( 2, −3)

22) ¿Cuál es el diámetro de una esfera tal que al hacer un corte con un plano a 10cm del centro se obtiene un círculo de radio 12cm?

19) Considere la información de la siguiente imagen, que muestra un embudo de una batidora de cemento formado por un cono de generatriz g truncado.

44 cm

A)

B) 2 44 cm C) 2 61 cm D) 4 61 cm

23) Considere los conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {2,4,6} y las siguientes proposiciones:

I.

1 ∉ B

II.

B ⊂ A

De ellas son con certeza verdaderas: Si se sabe que el diámetro de la circunferencia c2 del embudo,

A) Solo I

es la cuarta parte del diámetro de la circunferencia c1 y que el

B) Solo II

diámetro de C 1 es 112cm. La distancia entre las bases es 24 ,

C) Ambas

entonces, el valor de g es:

166

D) Ninguna


PIMAS

Prácticas Finales

24) El conjunto { x / x ∈ ℝ, x ≥ 2} corresponde al intervalo:

A)

]−∞, 2[

B)

]2, +∞[

C)

]−∞, 2]

D)

[ 2, +∞[

25) El complemento en U = ℕ del conjunto de los números pares P

Considere la siguiente gráfica de la función f :

28) De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de f es:

= { x / x = 2k , k ∈ ℕ} corresponde a: A)

A) I B) I

[0,2]

= { x / x = 2k −1, k ∈ ℕ}

B)

{0,1, 2}

= { x / x ∈ ℕ, x = 2k + 1, k ∈ ℕ}

C)

[ −2,1[ ∪ 

D)

[0, 2] − {1}

C) I = {1,3,5,7,9}

5  ,3 2 

D) I = {0,2,4,6,8,…}

26) Considere las siguientes relaciones: +

I.

g : ℤ → ℝ ; con g ( x ) = x –1

II.

f : ℝ+ → ℤ + ;con f ( x ) = x + 5

29) Considere

la

función

f : [ 2, +∞[ → [ −16, +∞[ con

2

f ( x ) = 3x 2 − 12 x − 4 . Es correcto que:

A) f posee una inversa en todo su dominio De ellas, ¿cuáles corresponden a una función?

B) f debe restringirse en un intervalo de su dominio para

A) Ambas

que tenga inversa

B) Ninguna C) Solo la I

C) f no puede restringirse en un intervalo de su dominio

D) Solo la II

para que tenga inversa D) Ninguna de las opciones A, B y C es correcta

27) Sean f ( x ) = x 2 − 3 y g ( x ) = x + 1 . Entonces, el criterio de la función compuesta ( f  g ) corresponde a:

A)

( f

2  g) = x −2

B)

( f  g ) = x 2 + 2x − 2

C)

( f

D)

( f  g ) = x 2 + 1

 g) = x + x −2 2


167

PIMAS

Prácticas Finales

30) De acuerdo con los datos de la gráfica si f ( x ) =

−3 2

x +b ,

33) La función f : [ −6,8[ → B, f ( x ) = 4x + 1 es biyectiva. Entonces, el ámbito de f es:

entonces, el criterio de la función inversa de f es: A) B)

[ −23,33[ [ −6,8[  −7 7 

,  C)   4 4 D) ℝ A) f

B) f

−1

−1

C) f

−1

D) f

−1

( x) = ( x) =

( x) = ( x) =

−2 3

−2 3

−3 2

−3 2

x−2

34) Para la función exponencial f dada por f ( x ) = a x . Si x+2

f ( a ) < 1 considere las siguientes pr oposiciones:

x+6 x−6

31) Sea f una función lineal dada por f ( x ) = ax + 10 . Si

i)

f ( −a ) < 0

ii)

1 f   > f ( a ) a

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas? A) Solo i

f ( −3) = −2 entonces, f ( −2 ) es:

B) Solo ii C) Ambas

A) 2

D) Ninguna

B) 4 C) −3

35) Para la función f ( x ) = log x , considere las siguientes

−24

D)

proposiciones:

13

32) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f dada por f ( x ) = −4 x

2

+3.

i)

Es estrictamente decreciente en

ii)

El ámbito de f es

]−∞,3]

]−∞,0[

i)

La preimagen de 1000 es 3

ii)

∀c > 0, f ( c + 1) < f ( c )

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas? A) Solo i B) Solo ii C) Ambas


D) Ninguna

A) solo la i) B) solo la ii) C) ambas D) ninguna

168


PIMAS

Prácticas Finales

36) Considere el siguiente enunciado: “Un alambre de 200m

39) Si a + b = ln x entonces, x es igual a:

es dividido en dos pedazos, de manera que el pedazo de mayor longitud excede en 4 metros al doble del otro”. Si x representa la medida del pedazo de menor longitud y y el de

A) e

a

+ eb

B)

( a + b)

C)

( ab )

e

mayor longitud, entonces, un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema es:

D) e

 x + y = 200  x − 4 = 2 y

a

e

⋅ eb

A) 

40) La solución 3 x +1 = 6 es:

 x + y = 200  y − 4 = 2 x

B) 

A) 1

 x + y = 200  x + 4 = 2 y

B)

C) 

2 3

C) log3 2

 x + y = 200  y + 4 = 2 x

D) 

D) −1 + log 2

 x − 2 y = 5 37) De acuerdo con los datos del sistema  ,  4 x − 8 y = 20

41) Se dispone de una cartulina de 1mm de espesor que se

considere las siguientes proposiciones:

hace sobre el anterior. Si la relación entre la altura “ h ” de la

puede doblar sucesivamente de modo que cada doblez se

cartulina doblada y el número de dobleces “ x ” está dada por

I.

El sistema es consistente

II.

El sistema es dependiente.

h ( x ) = 2 x , entonces, ¿cuántos dobleces se han realizado si en el último doblez se alcanza una altura de 8mm ?

De ellas, ¿cuáles son verdaderas? A) 3

A) Ambas B) Ninguna

B) 6

C) Solo la I

C) 16

D) Solo la II

D) 256

x −

38) La solución de 7

1 2

=

1

( ) 7

A) 1 B) −5 C)

D)

−9 4

−3

x

2−

3

es:

42) Un cuadrado tiene área A , entonces el perímetro de dicho cuadrado en función de su área es igual a:

A) P ( A) = 4 A B) P ( A) = 2 A C) P ( A ) = 4 A D) P ( A ) = 4 A

2

5


169

PIMAS

Prácticas Finales

43) La ganancia “ G ” de una empresa por producir y vender

47) Una empresa tiene en su flotilla de vehículos cuatro tipos.

cierto producto depende de la cantidad “ x ” en dólares que

En la siguiente tabla se muestra la distribución porcentual de

invierta semanalmente en publicidad y está dada por

la flotilla, y el precio promedio de cada tipo de vehículo, en

G ( x ) = 70 + 150 x − 0, 3x 2 . ¿Cuál es la ganancia máxima que

millones de colones. Precio

se puede obtener? Automóviles

40%

5

Motocicletas

15%

1

B) 500

Camiones pequeños

40%

10

C) 18680

Camiones grandes

10%

20

A) 250

D) 18820 El precio promedio (ponderado) de los vehículos de la

44) La ecuación de demanda q de cierto artículo en función del precio p está dada por q ( p ) = 4 − log2 p para p ∈ [1,16] . ¿A qué precio se demandan tres artículos?

empresa corresponde a:

A) 7 millones B) 8,15 millones C) 9 millones

A) 1

D) 10 millones

B) 2 C) 3 D) 4 Considere una serie de datos de mínimo es 4, el primer cuartil

45) Siete amigos compartirán sus juegos de videos en una

10, la mediana 15, el tercer cuartil 20, media aritmética igual

tarde. Marco lleva 3, Juan lleva 8, Melissa lleva 9, Ernesto

a 14 y el máximo 24, para contestar los ítems 48 y 49.

lleva 6, Elena lleva 12, Eduardo lleva 4 y Adriana lleva 8. Considere el número de juegos llevados como variable

48) El recorrido de los datos es:

estadística, y las siguientes proposiciones: A) 10

i)

La mediana es igual que la moda

B) 14

ii)

La media aritmética es mayor que el tercer cuartil

C) 15 D) 20

De ellas son verdaderas: A) Ambas

49) La distribución de los datos:

B) Ninguna C) Solo la I

A) Tiene asimetría positiva

D) Solo la II

B) Tiene asimetría negativa C) Es simétrica

46) ¿Cuál es el primer cuartil de las siguientes series de datos

D) No se puede determinar su simetría

5.4.11.15.34.15.24.8.22.25?

A) 8 B) 16,3 C) 15 D) 24 170


PIMAS

Prácticas Finales

50) La desviación estándar de una población con los

52) ¿Cuál de ellos presenta mayor variación relativa en los

siguientes datos 15,20,25,18,35,42,15,34 es:

datos?

A) 9,63

A) El grupo A

B) 10,30

B) El grupo B

C) 92,75

C) Ambos tienen la misma variación

D) 106

D) Se necesita más información

51) Considere las representaciones en diagrama de cajas de

53) ¿Cuál de ellos presenta mayor variación absoluta en los

las series de datos:

datos?

A) El grupo A B) El grupo B C) Ambos tienen la misma variación D) Se necesita más información

54) Al estandarizar el valor 650, este es relativamente más alto en:

A) El grupo A


i)

En la serie A los datos tienen un menor recorrido que

C) En ambos tiene el mismo valor relativo

en la serie B.

ii)

B) El grupo B

El recorrido de la serie A coincide con el recorrido

D) Se necesita más información

intercuartílico de la serie B.

De ellas son verdaderas: Considere el universo U = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} y al

A) Ambas B) Ninguna

escoger un número al azar los eventos A : el número es

C) Solo la I

primo, B : el número es par y C : el número es mayor a 8

D) Solo la II

para contestar los ítems 55 a 57.

55) El valor de P ( B ) es: Considere la siguiente tabla con los las muestras de dos

A)

grupos respecto a la las notas del examen de admisión de dos grupos: Grupo A Grupo B

B) 550

575

600

620

630

650

720

750 C)

550

580

650

660

670

690

700

750 D)

4 11 5 11 6 11 7 11

Con base en ella, conteste las preguntas 52 a 54.


171

PIMAS

Prácticas Finales

56) Dos eventos mutuamente excluyentes son:

59) ¿Cuántos

envases

pequeños

defectuosos

se

encontraron? A) A y C B) B y C

A) 10

C) A y B

B) 20 C) 25

c

D) A y B

D) 30

57) La probabilidad del evento A ∪ C es: A)

B)

C)

D)

2

60) El gerente de producción revisará los procedimientos del

11

tipo de envase que presenta mayor probabilidad de fallar. Con

5

base en lo anterior debe revisar la producción de:

11 8

A) Todos los envases

11

B) Ninguno de los envases

10

C) Los envases grandes

11

D) Los envases pequeños

En una fábrica se producen envases de dos tipos: grandes, y pequeños. Por cada envase grande se producen 3 pequeños. Se sabe que en una muestra de 100 envases, al escoger un envase al azar la probabilidad de que un envase sea defectuoso es del 20%., y que hubo diez envases grandes defectuosos. Con base en esta información conteste los ítems 58 a 60.

58) ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un envase al azar, este correcto?

A) 20% B) 25% C) 75% D) 80%

172


PIMAS

Prácticas Finales


1) ¿Cuál es el centro y el radio de la circunferencia con ecuación x + y + 4 y = 0 ? 2

3) ¿En cuál de las siguientes circunferencias el punto (1, 2 )

2

es exterior?

A) O ( 0, −2 ) , r = 4 A)

B) O ( 0, 2 ) , r = 2

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 2) = 4

C) O ( 0, −2 ) , r = 2

B) x 2 + y 2 = 6

D) O ( 0, 2 ) , r = 4

C) ( x − 3 ) + ( y − 3) = 5

2

2

2

2

D) ( x + 1) + ( y − 1) = 2

2) ¿En cuál de las siguientes gráficas se muestra la circunferencia con ecuación x − 6 x + y − 2 y = 0 ? 2

A)

2

4) Con base en la figura mostrada, una recta secante a la circunferencia de centro A corresponde a:

B)

 A) OP  B) GH C)

C) MN



D) EF

5) ¿Cuál es el valor de k para que la recta y + ( 2k − 1) x = 6 sea paralela a la recta determinada por 2 y − 4 x

D) A)

B)

C)

D)

= −5 ?

1 4 5 2

−1 2

−3 2


173

PIMAS

Prácticas Finales

6) Sean l 1 y l 2 dos rectas perpendiculares que se intersecan en

( −2,1) .

Si l 2 contiene al punto

( 0, −3) ,

entonces, una

=5

B) 2 y − x

=1

C) 2 y − x

=4

D) y + 2 x

= −3

ACEG tiene área 36 , entonces, el área del octágono ABCDEFGH es:

ecuación para l 1 es: A) y − 2 x

10) Sea ABCDEFGH un octágono regular. Si el cuadrado

A) 27,55 B) 50,91 C) 72,00 D) 101,82

11) En un polígono regular, si desde uno de sus vértices se 7) Si los puntos del diámetro de una c ircunferencia son ( 2,4 ) y

pueden trazar únicamente dos diagonales, entonces la medida del ángulo determinado por esas diagonales es :

( −4,6 ) , entonces, la ecuación de la circunferencia es:

A) 24º A)

2 2 ( x + 4 ) + ( y − 6) = 10

B)

2 2 ( x + 1) + ( y − 5) = 10 2

2

2

2

B) 30º C) 36º D) 45º

C) ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 40

12) El área sombreada en la figura, es aproximadamente:

D) ( x + 4 ) + ( y − 6 ) = 40

8) La circunferencia de ecuación x 2 − 12 x + y 2 = 0

se

traslada cuatro unidades hacia la izquierda y cinco unidades hacia abajo. La circunferencia que resulta, tiene ecuación:

A) B)

2 ( x − 6 ) + y 2 = 36 2 2 ( x − 2 ) + ( y + 5) = 36 2

2

C) ( x − 10 ) + ( y + 5) = 36 2

2

D) ( x − 8 ) + ( y − 5) = 36

9) SI la medida del diámetro de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular es 10 , entonces, ¿cuál es el perímetro del hexágono?

A) Entre 13 y 14 B) Entre 14 y 15

A) 30 B) 60

C) Entre 15 y 16 D) Más de 16

C) 20 3 D) 40 3

174


PIMAS

Prácticas Finales

13) Considere un octágono regular ABCDEFGH . Un eje de simetría es:

17) Al rotar el punto ( 2, −4) un ángulo recto en sentido anti horario desde el origen se obtiene el punto:



A) AB  B) CF

 C) DH  D) BD

A)

( −4, −2 )

B)

( −2, −6 )

C)

( 6, −2 )

D)

( 4,2 )

14) El segmento AB es simétrico a CD respecto a la recta  L donde

es la intersección AB y CD . Considere las

18) El segmento AB es homotético a CD , respecto a una


I.

∠ DMA ≅ ∠ BMC

homotecia de razón k mayor que uno y centro O . Considere

II.

AM ≅ MD


I.

De ellas son con certeza verdaderas:

O−C − A

II.

A) Solo I

B = k ⋅ CD

B) Solo II De ellas son con certeza verdaderas:

C) Ambas D) Ninguna

A) Solo I

15) El punto P es simétrico a A respecto a la recta. l Q está en el mismo semiplano determinado por l que P . Entonces, el punto que minimiza la expresión PL + LQ con

B) Solo II C) Ambas D) Ninguna

L ∈ l es:

19) Enrique tiene varias monedas ¢100 y sabe que estas A) Cualquier punto de l

tienen una altura de 2mm y diámetro 2,8cm . Las coloca una

 B) La intersección de AQ con l  C) La intersección de AP con l

2

sobre la otra formando una torre con un área total 47,50cm . ¿Cuánto dinero tiene?

D) El punto medio de PQ

A) 1800 B) 2000

16) Un barco está en el punto ( 4,11) y debe llegar al faro que está en el punto

( −2,4 ) .

Entonces, la traslación que indica

C) 2200 D) 2400

la dirección que debe tomar el barco es: A)

( x − 2, y + 4 )

B)

( x − 4, y − 11)

C) ( x − 6, y − 7 ) D) ( x + 6, y + 7 )


175

PIMAS

Prácticas Finales

20) Eugenia compra empaques en forma de cubo de arista

22) En el parque nacional Barra Honda (Guanacaste) existen

4cm para guardar unas cajetas en forma de esfera que

estalactitas; estas son estructuras salinas que cuelgan de los

elaborará. En cada caja pondrá una galleta. ¿Cuál es el área

techos de las cavernas y generalmente, presentan formas de

total máxima que podría tener cada cajeta?

cono circular recto. En una de las cavernas del parque se localiza una estalactita (no hueca y c on forma de cono circular

A)

recto) con un área basal de 49π y generatriz de 15 . ¿Cuál es

4π

B) 16π C)

32π 3

D)

64π 3

el área lateral de esa estalactita? A) 64π B) 105π C) 368π D) 735π

21) Mientras tomaba café haciendo un examen en su computadora, Marcela, quebró su taza de café que tenía en forma cilíndrica. Curiosamente, la taza se quebró en un único

23) El conjunto { x / x ∈ ℝ, 2 > x} escrito en notación de intervalo corresponde a:

corte plano, y este es transversal a la base, como se representa en la figura: A)

]−∞, 2]

B)

]−∞, 2[

C)

[ 2, +∞[

D)

]2, +∞[

24) Considere los conjuntos A = [1,5] y B = ]0,6] y las siguientes proposiciones:

Entonces, la figura plana que se describe en el corte de la taza es:

A) Una circunferencia B) Una elipse

I.

0 ∈ B

II.

A ⊂ B

De ellas son con certeza verdaderas: A) Solo I

C) Una hipérbola

B) Solo II

D) Una parábola

C) Ambas D) Ninguna

25) El complemento en U = ℝ del conjunto de los números +

irracionales positivos I corresponde a: A) ℚ

+

B) ℚ C) ℚ ∪ I

+

D) I − 176


PIMAS

Prácticas Finales

26) Si el gráfico de la función f es

{( 0,1) ,( 1,2) ,( 2,3)} ,

29) Con base en los datos de la gráfica de la función f , un −

punto que pertenece al gráfico de f 1 es:

entonces, la preimagen de 2 es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

27) Con base en la gráfica de la función f mostrada en la figura, una proposición falsa es:

A)

( −2,0 )

B)

( 0, −3)

C)

( 5,3 )

D)

(8,7 )

30) ¿Cuál de las siguientes funciones tiene un c ero en −2 ?

A) El dominio es [ 0, +∞[ B) El ámbito es {1, 2}

A) 7 B) 1

2

B) f ( x ) =

x+2−2

D) f ( x ) = −2 x − 2 − 4

D) No interseca el eje x

− x + 3

x + 11 + 3

C) f ( x ) = 3 x + 6 − 12

C) Interseca el eje y en ( 0,1)

28) Si f ( x ) =

A) f ( x ) =

− 1

1 3

, el valor de f   es:

31) Sea f la función lineal f ( x ) = ( 4 p + 1) x − 3q + 1 . Si f ( −2 ) = f ( 3) entonces, se cumple con c erteza:

3

A) p = 0

3

B) q = 1

C) −1 D) −7

3

3

C) q = −1

3

D) p = −1

3 4

32) ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en

[0, +∞[ y no interseca el eje x? A) f ( x ) = x

2

+1

B) f ( x ) = ( x + 1)

2

(

)

C) f ( x ) = − x 2 + 1 D) f ( x ) = − ( x + 1)


2

177

PIMAS

Prácticas Finales

33) Para la función f ( x ) =

x

( ) 2

1

37) Si m = log b x + logb y , entonces b es igual a:

es verdadero que:

3

A) Es decreciente B) Interseca el eje x en (1, 0 ) C) La preimagen de 8 es 6

( y x )

B)

( y x )

C)

( y + x )

D)

(

D) La imagen de 3 es 8

34) Considere las proposiciones con respecto a f ( x ) = ln x : i)

Si x > 10 entonces f ( x ) > 1

ii)

La función inversa de f es f

−1

( x ) = e x

A) Solo i)

D) Ninguna

a

1 m

3

3

xy

)

m

1 m

B) 3

C) Ambas

f ( a

3

A) 5

B) Solo ii)

función

3

38) La solución de 3 ⋅ 3 x −3 = 94 − x es:

De ellas son con certeza verdaderas:

35) La

m

A)

C) logarítmica

f ( x ) = log a x

satisface

D)

9 2 11 3

) < 1 . Entonces, un posible valor de a es: 39) La solución de 3 x + 2 = 2 x es:

A) 1 B)

5

A)

2

C) e D)

B)

1 e

36) Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo

C)

del menor es igual a 4 , y el doble del mayor menos el triple del menor es igual a

2 15

, entonces, ¿cuál es el número

D)

menor? A)

B)

C)

D)

178

2 3 2 5

−43 30

log3 2

−2 1 log3   2 2

2 log3   3 2

3 log3   2

40) La solución de log 3 ( x 2 − 9 ) − log3 ( x + 3) = − 1 es: A) −3 B) 4 C)

−77 30

−2

D)

−8 3 10 3


PIMAS

Prácticas Finales

41) El costo semanal “ C ” de producir x productos está dado

45) En la bodega de un supermercado se guardan cajas con

por C ( x ) = 5x + 200 . Si en una semana el costo por producir

inventario sobrante de productos de limpieza. Se agruparon las cajas según la cantidad de productos que tenían, y a

cierta cantidad de ese producto es $825 , entonces, ¿cuántas

continuación se muestra una tabla con los resultados:

unidades se produjeron esa semana? Cantidad de productos

Cantidad de cajas

7

8

C) 1030

8

12

D) 4325

11

9

15

10

9

11

A) 125 B) 205

42) La función f ( t ) = 20t − 4,9t 2 + 50 describe la trayectoria a los “ t ” segundos de lanzada una piedra hacia arriba desde el techo de un edificio. ¿Cuál es aproximadamente el tiempo

Como todas las cajas y todos los productos son del mismo

en segundos necesario para que la piedra alcance su altura

tamaño, se ordenará el inventario de manera que en cada caja

máxima con respecto al suelo?

tenga la misma cantidad de productos. Entonces, el número de productos que debe tener cada caja es:

A) 0,12 B) 0,25 C) 2,04 D) 4,08

43) La cantidad de millones de habitantes “ P ” en cierto país

En una venta de libros de 8.00am a 4.00pm, se contó por

es P ( t ) = 15e

intervalos de tiempo, cuántos libros se había hasta ese

0,02 t

, donde “ t ” es el número de años

transcurridos a partir del año 1960. ¿En cuántos millones se

momento. Y se obtuvieron los siguientes datos: Cantidad

habrá incrementado la población para el año 2010?

de

libros

vendidos hasta esa hora

A) 40,8 B) 15,0

8.00am

0

C) 25,8

10.00am

15

D) 60,2

12.00md

25

2.00pm

40

4.00pm

80

44) La cantidad de horas “ t ” que tarda una población inicial de 10 bacterias en convertirse en una población “ P ” se puede

 P   . ¿Cuánto tiempo  10 

modelar con la fórmula t ( P ) = 4log 2 

De acuerdo con lo anterior, conteste las preguntas 46 a 48:

es necesario para que hayan 1000 bacterias?

46) ¿Cuántos libros se vendieron entre las 10.00 y las

A) 4horas B) 8horas

12.00md? A) 5 B) 10

C) 12,24horas

C) 15

D) 26,57horas

D) 25


179

PIMAS

Prácticas Finales

47) Habrá un segundo día de ventas, para lo cual, el equipo

En un grupo de Zumba, se hizo un estudio sobre las edades

de vendedores pedirá un refuerzo en un intervalo del día

de los participantes, separando a los hombres y a las mujeres.

basado en la tendencia del primer día.

Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

¿Cuál sería ese

intervalo?

Hombres

Mujeres

Mínimo

13

12

Máximo

43

42

C) De 12.00md a 2.00pm

Primer cuartil

18

17

D) De 2.00pm a 4.00pm

Mediana

20

20

Tercer Cuartil

24

25

Promedio

25

24

1,5

1,6

A) De 8.00am a 10.00am B) De 10.00am a 12.00md

48) ¿En qué momento se alcanzó la mitad de los libros vendidos?

Desviación estándar

A) A las 10.00am B) A mediodía

De acuerdo con lo anterior, conteste las preguntas 52 a 54.

C) A las 2.00pm D) A las 4.00pm

52) Considere las siguientes proposiciones: I.

A continuación se muestran los pesos de algunos estudiantes

La variación absoluta del grupo de los hombres es mayor

que la de las mujeres.

de la clase de 9no año de un colegio.

II.

50,8 45,4 75,5 54,8 65,5 50,2 52,5 53,4 60,5 70,2

mayor que el de las mujeres.

El recorrido intercuartílico del grupo de los hombres es

Utilice la información para contestar las preguntas 49 a 51. De ellas, son verdaderas:

49) La desviación estándar de los pesos de los estudiantes de esta muestra es:

A) Solo I. B) Solo II C) Ambas

A) 9.72

D) Ninguna

B) 9.22 C) 8.63

53) De acuerdo con la variación relativa de los grupos se tiene

D) 57.88

que:

50) La oficina de nutrición atenderá al 25% de los estudiantes

A) El de los hombres varía más.

con mayor peso. Entonces, a partir qué peso la oficina de

B) El de las mujeres varía más.

nutrición atenderá a los estudiantes.

C) Los dos grupos varían igual.

A) 50.8

D) No se tiene suficiente información.

B) 54.1 C) 65.5

54) Gina tiene 22 años, y Marco 23. ¿Cuál de los dos tienen

D) 75

una edad relativa a su grupo mayor?

51) La distribución de los datos se clasifica como: A) Simétrica

A) Gina B) Marco

B) Con asimetría negativa

C) Ambos tienen el mismo valor estandarizado

C) Con asimetría positiva

D) No hay suficiente información.

D) Uniforme 180


PIMAS

Prácticas Finales

55) Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja

57) Se lanzan dos dados legales y se registra la suma de los

que contiene bolas blancas ( B ) , azules

puntos de las caras superiores. ¿Cuál es la probabilidad de

( ) y rojas ( R ) . Si

las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento

es:

que las bolas sean del mismo color, entonces con certeza el complemento “ M c ” de M es:

B)

{ BR, RB, BA, AB}

C)

{ AA, BB, RR, BA, RA}

D)

{ AB, AR, BA, BR , RA, RB}

A)

0,11

B)

0,28

C) 0,36 D) 0,72

{ AA, RR, BB}

A)

que la suma sea mayor que 5?

Considere el siguiente enunciado y responda las preguntas 58 a 60: El 30% de los estudiantes de un colegio practica fútbol, el 40% practica baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Se elige un estudiante al azar.

56) Considere la siguiente información: En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el

58) ¿Cuál es la posibilidad de que el estudiante elegido no

número que sale en la cara superior, interesan dos

practique fútbol ni practique baloncesto?

eventos: A: Que el número sea impar.

A)

0,10

B: Que el número sea un 4.

B)

0,30

C) 0,40 Con base en la información anterior, considere las siguientes

D) 0,80

proposiciones:

59) Si el estudiante elegido practica fútbol, ¿cuál es I.

El evento A es el complemento del evento B.

aproximadamente

II.

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

baloncesto?

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) B)

A)

0,25

B)

0,33

Ambas

C) 0,67

Ninguna

D) 1,33

la

probabilidad

de

que

practique


60) Si el estudiante elegido practica baloncesto, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que practique fútbol? A)

0,25

B)

0,33

C) 0,67 D) 1,33


181

PIMAS

Prácticas Finales


1) ¿Cuál de las siguientes circunferencias tiene el mismo

circunferencia dada por x 2 + y 2 − 2 x + 3 y − 18 = 0 si la recta

2

centro que ( x + 1) + y 2 = 4 ? A) B)

4) ¿Cuál es la ecuación de una recta tangente a la

pasa por el punto de tangencia P ( 2,3 ) ?

2 2 ( x − 2 ) + ( y − 2) = 4

A) y

2 ( 2 x + 1) + 4 y 2 = 9

= 2x −1

B) y =

C) x 2 + y 2 = 4 D) x 2 + 2 x + y 2 = 7

C) y =

2) De acuerdo con los datos de la gráfica, el centro y el radio de la circunferencia corresponden a:

D) y =

−3 2

−2 3

−2 9

x+6 x+

13

x+

31 9

3

5) Una ecuación de la recta paralela a la recta dada por la ecuación 3 y − 5 = −2 x es:

A) O ( 2,1) , r = 2

3

B) y =

2

C) y =

B) O ( 2,1) , r = 4

D) y =

C) O (1, 2 ) , r = 2 D) O (1, 2 ) , r = 4

3

x −5 x−5

−3 2

−2 3

x+5 x +5

una ecuación que determina a la recta l 2 es:

( −2, −3) se clasifica como:

A) y

= 2x + 4

B) y = A) Interior B) Exterior C) Tangente D) Sobre la circunferencia 182

2

6) De acuerdo con los datos de la gráfica, si l1 ⊥ l 2 , entonces

3) Respecto a la circunferencia mostrada en la figura, el punto

A) y =

C) y

1 2

x +1

= −2 x − 4

D) y =

−1 2

x−2


PIMAS

Prácticas Finales

7) La nueva ecuación de la circunferencia dada por

11) Una máquina podadora de césped utiliza una cuchilla

x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 , después de una traslación que

especial constituida por una placa hexagonal. Si cada uno de

mueve el punto P ( 3, −2 ) al origen del sistema de

los seis lados de la cuchilla miden 6 cm , entonces, en un giro completo de la cuchilla, ¿cuánta superficie, en centímetros

coordenadas corresponde a:

cuadrados, se puede podar?

A) x 2 + y 2 = 16

A) 12π

B) x + y = − 16

B) 27 π

C) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 24 = 0

C) 4π 3

D) x 2 + y 2 − 12 x + 8 y + 20 = 0

D) 6 π 3

8) Al trasladar el centro de la circunferencia dada por

12) El carro que tiene Leonardo tiene los aros como en la

x 2 + y 2 − 36 = 0 al punto P ( −2, 4 ) la ecuación ordinaria de

siguiente figura:

2

2

la circunferencia que se obtiene es:

A)

2 2 ( x + 2 ) + ( y − 4) = 36

B)

2 2 ( x − 2 ) + ( y + 4) = 36 2

2

2

2

C) ( x − 4 ) + ( y + 16) = 36 D) ( x + 4 ) + ( y − 16) = 36

9) La base de un pichel para fresco es una circunferencia que mide 24π . Se le coloca una bandeja en forma de triángulo equilátero de manera que los lados del triángulo son tangentes a la base del pichel. ¿Cuánto mide el perímetro de la bandeja?

La distancia entre los rayos, en el punto más lejano, es 11cm , y el grueso de la llanta (entre el aro y el piso) es de 15cm . Entonces, cada vuelta que da la llanta recorre una distancia de:

A) 24 3 B) 48 3

A) 1,34 m

C) 54 3

B) 2,28m C) 14,19m

D) 72 3

D) 41, 28m

10) En un polígono regular, la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es 1980° . ¿Cuál es el total de

13) Con respecto a la pregunta anterior, ¿cuál sería

diagonales de ese polígono?

aproximadamente el área lateral, en metros cuadrados, del aro si el ancho mide 10cm ?

A) 14 B) 28 C) 44

R/

D) 88


183

PIMAS

Prácticas Finales

14) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de

15) De acuerdo con el contexto anterior El canal de agua,

simetría del ∆ ABC y del ∆ DFE , y e ' es el eje de simetría

¿cuál es el camino más corto que puede recorrer Daniel?

del ∆ DEF y del ∆GIH : A) El que va de R hasta C . B) El que va de R ' hasta A . C) El que va de R hasta C y de C hasta A . D) El que va de R hasta R ' y de R ' hasta C y de C hasta

A . Considere la siguiente figura:

De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. A es homólogo con F , con respecto al eje de simetría e II. DE es homólogo con GI , con respecto al eje de simetría

16) De acuerdo con los datos de la figura, el cuadrilátero

e'

EFGH con respecto al cuadrilátero ABCD representa una homotecia de razón:

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna

A) k = 2

C) Solo la I

B) k = 6

D) Solo la II

Considere el siguiente contexto:

C) k =

1

D) k =

1 3

El canal de agua

2

Daniel tiene que salir de su casa, en el punto R , para llenar un recipiente de agua y llevarlos a casa de sus

17) Si el punto simétrico a ( −2, 4 ) respecto al eje de simetría

abuelos en el punto A , como se muestra en la figura.

l es ( 2, −8 ) , entonces, la ecuación de la recta l es:

Tome en cuenta que el canal es un eje de simetría, R y R ' son puntos homólogos y C es la intersección

A) y

= −3 x − 2

de AR ' con el eje de simetría. B) y = C) y = D) y =

184

x + 26

3 x + 14

3 x − 6

3


PIMAS

Prácticas Finales

Considere la siguiente figura en un plano cartesiano.

Considere la siguiente información para responder las siguientes dos preguntas: Se le presenta una superficie esférica de centro P que ha sido cortada por un plano π . T es un punto de la esfera, y Q es el centro de la sección obtenida al hacer el co rte.

18) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación representa el ∆ A ' B ' C ' con respecto al

∆ ABC ?

20) ¿Qué nombre recibe la sección plana al realizarse el corte? A) Elipse

A) Rotación.

B) Parábola

B) Traslación.

C) Hipérbola

C) Homotecia de razón positiva.

D) Circunferencia

D) Reflexión con respecto al eje y .

21) ¿Qué nombre recibe el PT ? Considere la siguiente figura en un plano cartesiano cuya cuadrícula tiene una unidad de lado.

A) Recta B) Radio C) Cuerda D) Diámetro

22) En la siguiente imagen, se observa un c orte transversal de un tronco de madera (supóngase circular), que será utilizado para construir un adorno en forma de cono circular recto de altura 20cm y ocupará como base todo el corte mostrado. La superficie lateral del adorno se pintará con una pintura que 2

cubre 1cm cada mililitro. Si la medida del lado del cuadrado mostrado en la figura es 24cm , entonces, ¿cuántos mililitros

19) Si al ∆ ABC se le aplica una traslación en dirección ( 3,4) ,

de pintura son necesarios para pintar el adorno?

entonces, ¿cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices para el ∆ A ' B ' C ' después de la traslación? A) A ' ( 8, 2 ) ; B ' ( 3, 4 ) ; C ' ( 7, 6 ) B) A ' ( 2, 8 ) ; B ' ( 4, 3 ); C ' ( 6, 7 ) C) A ' ( 5,12 ) ; B ' ( 7,7 ) ; C ' ( 9,11) D) A ' (11,6 ) ; B ' ( 6,8 ) ; C ' (10,10 )

R/ Prácticas para Bachillerato

185

PIMAS

Prácticas Finales

Considere la siguiente gráfica:

Considere el siguiente contexto:

Índice de precios al Consumidor (IPC) El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de precios se realiza 23) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la representación del intervalo por comprensión?

A)

{ x / x ∈ ℝ, −2 ≤ x ≤ 0}

B)

{ x / x ∈ ℝ, −2 ≤ x < 0}

en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población, según el Censo 2011. La siguiente gráfica, adaptada de http://www.inec.go.cr, muestra el IPC desde al año 2008 hasta el año 2015.

C) { x / x ∈ ℝ, −2 < x ≤ 0} D) { x / x ∈ ℝ, −2 < x < 0}

24) Dados dos conjuntos A y B , con A = {0,1,2,3,4,5} y B = {5,6,7} , A ∪ B corresponde a:

26) De acuerdo con el contexto Índice de Precios al A)

{5}

Consumidor (IPC), considere las siguientes proposiciones:

B)

{5,6,7}

C)

{0,1,2,3,4,5}

D)

{0,1,2,3,4,5,6,7}

I. Del año 2013 al año 2015, el IPC creció. II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6%. ¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas

25) Dados

dos

conjuntos

A

B ,

y

con

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {1,3,5,7,9} , si A es el

B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II

c

conjunto universo, entonces el complemento “ B ” de B es:

27) Sean f y g dos funciones con f ( x ) = 2 x − 3 y con A)

{0,9}

B)

{0,2,4,6,8}

C)

{0,1,3,5,7,9}

D)

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

186

g ( x ) = x 2 . ¿Cuál es el criterio de ( g ο f ) ?

A)

( g ο f )( x ) = 2x 3 − 3

B)

( g ο f )( x ) = 4x 2 − 9

C) ( g ο f

)( x ) = 4 x 2 − 6 x + 9

D) ( g ο f

)( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9


PIMAS

Prácticas Finales

28) Si f es la función dada por f ( x ) = 2 + x − 3 , entonces

30) Las siguientes proposiciones se refieren a la inversa de la función f : ]– ∞, 0] → ] – ∞, 2 ] ; con f ( x ) = – x +2 : 2

el dominio de f es: A)

]−∞, −2[

B)

]−∞, −2]

C)

[ −2, +∞[

D)

]−2, +∞[

I. La gráfica de la inversa de f interseca el “eje y ” en

( 0, 2 ) . II. Si f –1 es la inversa de f , entonces, el ámbito de f –1 es

]−∞, 0] .

29) Si la función lineal f está dada por f ( x ) = –1

entonces, la gráfica de f es: A)

− x 3

De ellas, ¿cuáles son correctas?

+2,

A) Ambas. B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II.

31) La pendiente de la recta que contiene los puntos ( −2,3 ) y

( −4,8 ) es: A)

B) B) C)

D)

5 6 2 11

−5 2

−5 6

Considere la siguiente gráfica de la función lineal f , dada por C)

D)

f ( x ) = mx + b :

32) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones:

I.

b > 0

II. m > 0 De ellas, ¿cuáles son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II


187

PIMAS

Prácticas Finales

33) El eje de simetría de la gráfica de la función f dada por

36) Considere las siguientes proposiciones referidas al

f ( x ) = − x 2 − 6 x es:

sistema de ecuaciones dado por 

5 x − 2 y = − 3  −15 x + 6 y = 9

A) x = 3

I. Las rectas se intersecan en un único punto.

B) x = 9

II. La solución del sistema es {(1, 4 )} .

C) x = − 3 D) x = − 9



B) Ninguna

x

7 función f dada por f ( x ) =   :  6 I.

A) Ambas


f es decreciente.

37) Dos empleados de una misma empresa reciben sus

II. El ámbito de f es ]0, +∞[ .

salarios según la cantidad de años completos laborados. El

III. La función inversa es f −1 ( x ) = log 7 x

empleado A recibe un salario base de ¢500 000 y una

6

bonificación por cada anualidad de ¢10 000 . El empleado B ¿Cuáles de ellas son verdaderas?

recibe un salario base de ¢600 000 y una bonificación por

A) Todas

cada anualidad de ¢5 000 . Si empiezan a trabajar en el

B) Solo la I y la II C) Solo la I y la III

mismo año, ¿cuántos años deben transcurrir para que ambos

D) Solo la III

empleados ganen la misma cantidad de salario?

35) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la

A) 10

gráfica de la función logarítmica f dada por f ( x ) = log a x :

B) 12 C) 20 D) 22

38) La solución de 3 x + 2 = 2 x es:

A)

B)

I.

0 < a <1.

II. f es creciente.

C)

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I

D)

−2 log3 2

−2 1 log3   2 2

2 log3   3 2

3 log3   2

D) Solo la II 188


PIMAS

Prácticas Finales

Considere una relación entre el tiempo “ t ”, en horas, y el

39) La expresión log ( 8 x 2 ) − log ( 0, 5x ) es equivalente a:

crecimiento de una población “ P ” de amebas, dada por

 P  log2   = t , donde “ k ” es la población inicial de amebas,  k 

A) 8log2 B) log ( 8 x )

para contestar los ítems 43 y 44.

C) log (16 x )

43) Si se observa una población inicial de 6 amebas, entonces,

 15 x  D) log    2 

¿cuántas amebas habrá en 8 horas?

A) 48

40) La solución de log ( 5 x + 2 ) = log ( x − 3) + 1 es:

B) 96 C) 384

A) B)

C)

D)

−1

D) 1536

11 2

44) Al expresar el valor de k en función de las demás

32 5

variables se obtiene:

−5

A) k

= P ⋅ 2t

4

B) k

= P ⋅ 2−t

41) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso “ I ( x ) ” en colones, por concepto de las ventas

“ x ”,

en

colones,

corresponde

C) k = ( 2 P )

t

D) k = ( 2 P )

t

a

I ( x ) = 5 750 000 + 0,08x . ¿De cuánto debe ser la venta para

Considere

la

siguiente

información

sobre

un

estudio

estadística: obtener un ingreso de ¢ 8 740 000 ? Se ha registrado el peso (masa) en kilogramos de 250 A) ¢239 200

estudiantes de un colegio. Al resumir los datos se obtuvo que la mediana es 67,4 kg y la media aritmética es 74 kg .

B) ¢6 449 200 C) ¢37 375 000

45) De acuerdo con la información anterior, se puede afirmar

D) ¢181125 000

con certeza que en lo s 250 estudiantes:

42) La altura “ h ( t ) ” en metros de un objeto está dada por

A) El peso más usual es 65 kg

h ( t ) = 10t − 5t 2 , donde “ t ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál

B) Exactamente 125 pesan 74 kg

es la altura máxima que alcanza el objeto?

C) Al menos un estudiante pesa 67,4 kg

A) 1 m

D) Al menos 125 pesan menos de 65 kg

B) 4 m C) 5 m D) 6 m


189

PIMAS

Prácticas Finales

46) ¿Cuál podría ser la mediana, la media aritmética y la moda

Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 49

de un grupo de datos con asimetría negativa?

y 50:

A) X

= 10, Me = 15, Mo = 12

Las Calderas

B) X

= 10, Me = 10, Mo = 12

Al tomar una muestra, las calderas de una planta de

C) X

= 15, Me = 10, Mo = 10

D) X

= 15, Me = 10, Mo = 15

energía de vapor de alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en porcentajes: 90,3

Las secciones del colegio se pusieron de acuerdo para recoger botellas para reciclar. En la siguiente tabla se muestra

91,6

90,9

90,4

90,3

91,0

87,9

89,4

49) ¿Cuál es aproximadamente la variancia de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas?

la cantidad de clases que recogieron la respectiva cantidad de A) 1,13

botellas.

B) 1,24 C) 1,30 Cantidad de botellas

15

20

25

30

35

Cantidad de clases

3

4

8

5

7

D) 1,31

50) ¿Cuál es el recorrido de las eficiencias, en porcentajes, de

(Esto es, hubo 3 clases que recogieron 15 botellas)

las calderas?

47) De acuerdo con la información brindada, ¿cuál es el A) 0,90

promedio de botellas recogidas en cada clase?

B) 3,70 A) 5,4

C) 90,23

B) 25

D) 90,35

C) 26,67 D) 144

51) Considere la información referida a la comparación de la 48) De acuerdo con la información brindada, ¿cuál es la

distribución de las edades, de los integrantes de dos grupos

desviación estándar muestral de la distribución?

de 20 personas cada uno, que están representadas en el siguiente diagrama:

Distribución de edades R/

190


PIMAS

Prácticas Finales

I. Las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la


población representada en la caja “ a ” están más dispersas que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la

I. La masa de los niños posee mayor variabilidad que la

población representada en la caja “ b ”.

masa de las niñas.

II. El recorrido intercuartílico de Q1 a Q3 de la población representada en la caja “ a ” es de 12 años.

II. La masa promedio de los niños es mayor que la masa promedio de las niñas. ¿Cuáles de ellas son verdaderas?


A) Ambas

A) Ambas

B) Ninguna

B) Ninguna

C) Solo la I

C) Solo la I

D) Solo la II

D) Solo la II

54) Considere dos grupos de datos en los cuales el grupo A tiene mayor recorrido, menos recorrido intercuartílico y menor coeficiente de variación que el grupo B. ¿Cuál de las Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 52

siguientes afirmaciones podrían deducirse de esa afirmación?

y 53: La masa media de los niños de una clase es de 58,2 kg , y su desviación estándar es 3,1 kg . La masa media de las

A) La moda en el grupo A, al igual que la simetría, es mayor en el grupo A que en el grupo B. B) El promedio del grupo B es mayor que el promedio en el

niñas de esa clase es 52,3 kg y su desviación estándar es

grupo A.

5, 2 kg .

C) En el grupo A hay valores extremos que hacen grande el recorrido, pero los valores cercanos a la mediana son menos

52) ¿Cuál es aproximadamente el coeficiente de variación de

dispersos que en el grupo B.

la masa media de los niños y el de las niñas, respectivamente?

D) En el grupo A el promedio es más bajo, pero la desviación estándar es mayor en el grupo B.

A) 5,3% y 9,9% B) 0,53% y 0,99%

Considere el conjunto de colores: Azul, rojo, amarillo,

C) 18,77% y 10,08%

anaranjado, morado, verde, negro, celeste y blanco. Se

D) 55,10% y 47,20%

escogerá al azar un color, y se definen los eventos A : el color es primario, B : el color es una combinación de dos colores primarios, y C : el color está en la bandera de Costa Rica. Utilice esta información para contestar las preguntas 55 a 57.

55) El evento B es: A)

{azul, rojo, amarillo}

B)

{blanco, azul, rojo}

C)

{verde, morado, anaranjado, café}

D)

{verde, morado, anaranjado}


191

PIMAS

Prácticas Finales

56) Dos eventos mutualmente excluyentes son:

58) Encuentre la probabilidad de que al escoger un libro al azar, este sea una novela en inglés.

A) A y B B) A y C

A)

c

C) A y B D) C y B

B)

C)

57) La probabilidad del evento A ∪ B es: D) A)

1 3

B)

2 3

C)

D)

1 2 1 6 4 13 4 9

59) Encuentre la probabilidad de que al escoger un libro en español este sea de cuentos.

4 9 5 9

R/

En la biblioteca de Alicia se puede clasificaron los libros por idioma, y en tipo de libro, obteniendo los siguientes resultados: Novelas

Textos

Cuentos

Ingles

20

15

30

Español

25

15

15

60) Santiago toma un libro al azar de la biblioteca de Alicia, y nota que este no es de cuentos inglés, ¿cuál de las siguientes posibilidades tiene mayor probabilidad de ser la categoría del libro que tomó Santiago?

A) Texto en inglés B) Texto en español

Utilice los datos para contestar las preguntas 58 a 60.

C) Cuentos en inglés D) Novela en español

192


PIMAS

Respuestas

Respuestas Geometría A. Geometría analítica 1)

D

15)

B

30)

D

45)

C

60)

D

75)

D

2)

D

16)

B

31)

B

46)

B

61)

C

76)

A

3)

D

17)

B

32)

A

47)

A

62)

D

77)

B

4)

B

18)

0006,32

33)

D

48)

B

63)

B

78)

D

5)

D

19)

D

34)

A

49)

D

64)

A

79)

D

6)

B

20)

A

35)

C

50)

C

65)

B

80)

B

7)

0007,21

21)

A

36)

A

51)

D

66)

A

81)

0003,16

8)

C

22)

A

37)

A

52)

A

67)

C

82)

B

9)

0016,12

23)

D

38)

D

53)

A

68)

D

83)

B

10)

A

24)

B

39)

B

54)

C

69)

D

84)

A

11)

B

25)

A

40)

A

55)

D

70)

A

85)

B

12)

C

26)

C

41)

A

56)

A

71)

C

86)

A

13)

A

27)

C

42)

C

57)

0007,00

72)

A

28)

B

43)

A

58)

D

73)

0001, 41

29)

A

44)

A

59)

C

74)

B

28)

C

37)

D

46)

B

14)

0037,80

B. Polígonos 1)

C

10)

0032,07

19)

2)

0027,00

11)

D

20)

20

29)

B

38)

C

47)

0060,00

A

3)

A

12)

A

21)

B

30)

C

39)

B

48)

C

4)

C

13)

C

22)

C

31)

C

40)

A

49)

0015,00

5)

B

14)

B

23)

B

32)

D

41)

0282,58

50)

C

C

24)

C

33)

0178,00

42)

B

51)

D

B

25)

B

34)

B

43)

C

52)

B

C

35)

A

44)

B

53)

D

A

36)

C

45)

B

6) 7)

D

15)

A

16)

8)

C

17)

C

26)

9)

B

18)

B

27)

C. Transformaciones en el plano 1)

C

12)

A

23)

B

34)

B

45)

B

56)

B

2)

A

13)

B

24)

C

35)

D

46)

B

57)

A

3)

B

14)

D

25)

C

36)

C

47)

A

58)

D

4)

A

15)

C

26)

D

37)

D

48)

A

59)

C

5)

B

16)

C

27)

C

38)

A

49)

C

60)

B

6)

D

17)

D

28)

A

39)

B

50)

A

61)

B

7)

D

18)

C

29)

C

40)

C

51)

D

62)

A

8)

B

19)

B

30)

0060,00

41)

A

52)

C

9)

D

20)

A

31)

C

42)

D

53)

C

10)

D

21)

C

32)

B

43)

B

54)

C

11)

C

22)

C

33)

A

44)

C

55)

C


193

PIMAS

Respuestas

D. Visualización espacial 1)

B

7)

0676,00

13)

B

19)

D

24)

0009,38

30)

C

2)

C

8)

0624,00

14)

B

20)

A

25)

C

31)

0004,00

3)

B

9)

D

15)

C

21)

A

26)

0062,80

32)

A

4)

D

10)

B

16)

A

22)

0015,00

27)

B

33)

A

5)

C

11)

A

17)

C

23)

0423,04

28)

B

34)

B

6)

A

12)

B

18)

B

29)

B

35)

D

AUTOEVALUACIÓN Geometría 1)

0067,50

9)

A

17)

D

25)

D

33)

B

41)

C

2)

A

10)

C

18)

C

26)

C

34)

D

42)

B

3)

C

11)

C

19)

A

27)

A

35)

C

43)

0013,00

4)

B

12)

D

20)

B

28)

A

36)

A

44)

B

5)

D

13)

B

21)

A

29)

D

37)

B

6)

D

14)

A

22)

D

30)

C

38)

0004,00

7)

B

15)

D

23)

B

31)

B

39)

A

8)

A

16)

C

24)

D

32)

D

40)

C

194


PIMAS

Respuestas

Respuestas Funciones A. Conjuntos numéricos 1)

B

7)

B

13)

A

19)

D

25)

B

31)

B

2)

B

8)

B

14)

C

20)

C

26)

D

32)

B

3)

D

9)

B

15)

B

21)

D

27)

B

33)

D

4)

B

10)

B

16)

D

22)

C

28)

D

34)

C

5)

A

11)

C

17)

C

23)

C

29)

B

35)

D

6)

B

12)

C

18)

B

24)

A

30)

C

36)

B

B. Concepto de función 1)

B

14)

C

27)

D

40)

C

52)

B

65)

B

2)

D

15)

B

28)

C

41)

D

53)

B

66)

D

3)

C

16)

B

29)

D

42)

0017,00

54)

D

67)

A

4)

D

17)

D

30)

D

43)

A

55)

B

68)

D

5)

C

18)

D

31)

C

44)

D

56)

C

69)

D

6)

A

19)

B

32)

0350,00

45)

A

57)

B

70)

C

7)

D

20)

C

33)

C

46)

D

58)

B

71)

A

8)

C

21)

D

34)

D

47)

0002,00

59)

A

72)

D

9)

D

22)

D

35)

C

48)

0006,00

60)

B

73)

C

10)

A

23)

D

36)

0030,00

B

B

24)

C

61)

11)

A

49)

37)

B

B

D

25)

D

62)

12)

D

50)

38)

C

C

D

26)

C

63)

13)

A

51)

39)

D

64)

B

C. Análisis de funciones 1)

B

19)

0215,00

37)

D

56)

A

75)

D

94)

A

2)

A

20)

D

38)

C

57)

C

76)

C

95)

B

3)

A

21)

B

39)

A

58)

A

77)

B

96)

A

4)

C

22)

B

40)

B

59)

A

78)

0002,25

97)

A

5)

B

23)

B

41)

A

60)

A

79)

C

98)

D

6)

D

24)

B

42)

A

61)

B

80)

D

99)

C

7)

C

25)

B

43)

B

62)

C

81)

A

100) A

8)

D

26)

D

44)

D

63)

A

82)

A

101)

9)

B

27)

0001, 00

45)

B

64)

D

83)

D

102) 0000,24

10)

D

28)

B

46)

D

65)

0000,25

84)

B

103) 0001, 26

11)

A

29)

B

47)

D

66)

C

85)

B

104) A

12)

B

C

48)

C

67)

D

86)

C

105) A

13)

D

D

49)

C

68)

D

87)

B

106)

C

14)

A

32)

B

50)

D

69)

D

88)

D

107)

B

15)

D

33)

D

51)

A

70)

A

89)

C

108)

C

16)

0008,00

A

52)

D

71)

C

90)

B

109) A

0000,00

72)

C

91)

A

30) 31)

34)

17)

D

35)

C

53)

18)

B

36)

A

54)

D

73)

A

92)

C

55)

A

74)

D

93)

C


D

195

PIMAS

Respuestas

D. Ecuaciones aplicando funciones 1)

C

14)

B

27)

B

40)

C

53)

C

66)

B

2)

C

15)

A

28)

B

41)

C

54)

A

67)

B

3)

D

16)

B

29)

C

42)

B

55)

D

68)

D

4)

A

17)

D

30)

C

43)

A

56)

A

69)

D

5)

B

18)

B

31)

B

44)

A

57)

C

70)

D

6)

B

19)

B

32)

C

45)

B

58)

B

71)

D

7)

C

20)

D

33)

B

46)

0021, 00

59)

C

72)

A

8)

A

21)

A

34)

C

47)

D

60)

C

73)

B

9)

C

22)

A

35)

B

48)

A

61)

C

74)

9998,00

10)

C

23)

D

36)

D

49)

C

62)

A

11)

C

24)

D

37)

C

50)

A

63)

B

12)

A

25)

A

38)

B

51)

0003,00

64)

A

26)

D

39)

B

52)

B

65)

D

13)

0048,00

75) 1000,00 76)

B

E. Modelización 1)

B

13) A

25)

B

37) 0026,08

48) 0007,87

60) 0007,87

2)

D

14)

B

26)

B

38)

49)

D

61) 0009,00

3)

B

15)

B

27)

C

39) 8000,00

50)

B

62)

C

4)

C

16) A

28)

B

40) 0081, 00

51)

C

63)

D

5)

C

17)

B

29)

C

52)

B

64)

B

6)

C

18)

C

30)

B

41)

53)

D

65)

D

7)

A

19)

B

31)

D

42) A

54)

B

66) A

8)

A

20) A

32)

C

43)

9)

B

21)

D

33)

C

10)

D

22)

D

34)

B

11) A

23) A

35) 0018,04

12)

24)

36)

C

C

C

B

C

44) A

55) A

67)

45)

D

56)

B

68) A

46)

B

57)

B

69) 0004,21

47) 0009,03

58) A 59)

C

B

70) 2035,00

C

AUTOEVALUACIÓN Funciones 1)

B

9)

A

17)

D

25)

B

33)

B

41)

2)

D

10)

A

18)

C

26)

D

34)

C

42)

3)

D

11)

19)

B

27)

D

35)

D

43)

4)

C

12)

A

20)

C

28)

D

36)

A

44)

5)

B

13)

C

21)

A

29)

B

37)

A

6)

A

14)

B

22)

D

30)

C

38)

A

7)

D

15)

C

23)

C

31)

D

39)

B

8)

C

16)

C

24)

A

32)

A

40)

B

196

0198,00


0003,06 A

0003,01 A

PIMAS

Respuestas

Respuestas Estadística y Probabilidad A. Medidas de posición 1)

C

10)

C

19)

B

28)

2660,00

37)

0315,00

45)

A

2)

D

11)

B

20)

B

29)

C

38)

B

46)

D

3)

A

12)

0011,00

21)

D

30)

C

39)

0008,00

47)

C

4)

C

13)

C

22)

D

31)

A

40)

0000,30

48)

C

5)

C

14)

B

23)

B

32)

D

C

B

15)

0003,20

24)

B

49)

6)

C

41)

33)

B

D

A

16)

D

25)

B

50)

7)

B

42)

34)

D

8)

D

43)

B

26)

D

B

35)

8050,00

9)

D

44)

C

27)

D

B

36)

B

17) 18)

B. Medidas de variabilidad 1)

B

13)

B

25)

D

37)

B

48)

0504,39

59)

0006,15

2)

C

14)

D

26)

B

38)

D

49)

0532,63

60)

0010,01

3)

C

15)

A

27)

A

39)

A

50)

0545,20

61)

0055,00

4)

B

16)

C

28)

B

40)

5)

17)

B

29)

B

51)

C

B

62)

0075,00

41)

A

6)

18)

D

30)

C

52)

C

B

42)

63)

A

D

7)

19)

A

31)

B

53)

C

A

64)

C

43)

0512,38

8)

20)

B

32)

C

54)

C

C

65)

A

44)

0027,72

9)

21)

C

33)

D

55)

C

B

66)

A

10)

22)

D

34)

A

45)

0521,66

56)

A

B

11)

23)

A

35)

B

46)

0030,57

57)

B

A

12)

24)

D

36)

B

47)

0495,44

58)

C

C

0000,63

C. Probabilidad 1)

D

12)

D

23)

C

34)

B

45)

D

56)

2)

B

13)

A

24)

A

35)

D

46)

D

57)

A

3)

A

14)

B

25)

B

36)

C

47)

B

58)

B

4)

B

15)

D

26)

D

37)

C

48)

C

59)

C

5)

D

16)

C

27)

C

38)

0012,00

49)

D

60)

A

6)

A

17)

C

28)

B

39)

0043,00

50)

D

61)

B

0000,25

7)

0000,40

18)

D

29)

A

40)

A

51)

8)

0000,50

19)

A

30)

D

41)

C

52)

A

9)

C

20)

C

31)

B

42)

A

53)

D

10)

D

21)

D

32)

D

43)

D

54)

B

11)

D

22)

B

33)

C

44)

B

55)

A

0000,44

AUTOEVALUACIÓN Estadística y Probabilidad 1)

B

7)

D

13)

C

19)

B

25)

C

31)

B

2)

C

8)

2150,00

14)

C

20)

C

26)

D

32)

A

3)

C

9)

0259,14

15)

D

21)

0000,23

27)

A

4)

C

10)

B

16)

C

22)

C

28)

C

5)

D

11)

A

17)

0000,73

23)

D

29)

A

6)

A

12)

C

18)

B

24)

C

30)

A


197

PIMAS

Respuestas

Respuestas Prácticas Finales Práctica Final N°1 1)

D

12)

C

22)

D

33)

A

44)

B

55)

B

2)

B

13)

A

23)

A

34)

D

45)

C

56)

C

3)

B

14)

D

24)

D

35)

D

46)

A

57)

C

4)

B

15)

0021,00

25)

B

36)

B

47)

B

58)

D

5)

A

16)

D

26)

B

37)

D

48)

D

59)

A

6)

B

17)

C

27)

B

38)

D

49)

B

60)

C

7)

C

18)

C

28)

A

39)

D

50)

A

8)

D

19)

0064,50

29)

A

40)

C

51)

D

9)

B

30)

A

41)

A

52)

A

31)

A

42)

A

53)

C

32)

B

43)

D

54)

A

10) 11)

A

20) 21)

A

0401,92

0014,00

Práctica Final N°2 1)

C

11)

C

21)

B

31)

D

41)

A

51)

C

2)

A

12)

C

22)

B

32)

C

42)

C

52)

D

3)

D

13)

C

23)

B

33)

C

43)

C

53)

B

4)

D

14)

A

24)

B

34)

B

44)

D

54)

A

5)

C

15)

B

25)

C

35)

D

45)

0010,00

55)

D

6)

C

16)

C

26)

B

36)

B

46)

B

56)

D

7)

B

17)

D

27)

A

37)

B

47)

D

57)

D

8)

B

18)

C

28)

A

38)

B

48)

C

58)

C

9)

A

19)

B

29)

D

39)

C

49)

A

59)

B

B

20)

B

30)

C

40)

D

50)

C

60)

A

10)

Práctica Final N°3 1)

D

11)

A

21)

B

31)

C

41)

C

51)

D

2)

C

12)

B

22)

1397,67

32)

C

42)

C

52)

A

3)

B

13)

0001,42

23)

C

33)

A

43)

D

53)

D

4)

D

14)

D

24)

D

34)

D

44)

B

54)

C

5)

D

15)

C

25)

B

35)

C

45)

A

55)

D

6)

C

16)

A

26)

D

36)

B

46)

A

56)

D

7)

A

17)

D

27)

D

37)

C

47)

C

57)

B

8)

A

18)

A

28)

C

38)

C

48)

0006,65

58)

B

9)

D

19)

C

29)

A

39)

C

49)

A

59)

0000,27

10)

C

20)

D

30)

D

40)

C

50)

B

60)

D

198


PIMAS

Glosario de Símbolos

Glosario de símbolos •

Generales • •

Aproximadamente igual. ⇒ : “Implica” o “entonces” ≈:

Algebra •

∆:

Discriminante de un trinomio cuadrático.

• • •

•

• • •

elementos que está en alguno de los conjuntos. ∩ : Intersección de conjuntos: El conjunto formado por los elementos que está en los dos (o más) conjuntos. ∀ : “Para todo” ∃ : “Existe” formado

a1 , a2 , a3 … . En particular,

por

los

elementos

{a, b} es el conjunto formado

[ a, b] : Intervalo con extremos

•

f − 1 : Función inversa de la función f .

•

• •

•

perpendiculares. || : Segmentos o rectas paralelas.

•

∠ ABC :

•

• •

AB : Arco (menor) con extremos A y B .

mismo, pero se diferencian por la pertenencia o no de los extremos.

•

m AB : Amplitud del arco AB .

( a, b ) : Par ordenado,

y

b ). Las

•

con coordenada en x igual a a y

I

•

•

•

: Conjunto de los números irracionales. ℝ : Conjunto de los números reales,







L AB : Longitud del arco AB . 

A − { x1 , x2 , x3 , …} : Es el conjunto formado por todos los

□ ABCD : Cuadrilátero de vértices A , B , C y D en ese orden. P ′ : Punto imagen de P con respecto a una transformación

(T ( x) ,T ( y ) ) :

Punto imagen de ( x, y ) con respecto a

•

una transformación T ≅ : Dos segmentos, ángulos o triángulos congruentes.

•

y = mx + b : Ecuación de una recta con pendiente m y que interseca el eje y en ( 0,b ) .

elementos de A , exceptuando x1 , x2 , x3 , … . •

Logaritmos

( x − h )

2

2

+ ( y − k ) = r

2

Ecuación de la circunferencia

con centro en ( h, k ) y radio r

•

log a x : Logaritmo en base a de x .


•

log x : Logaritmo común (base 10 ) de x .

•

•

∆ ABC



•

•



m∠ABC : Medida del ángulo ∠ ABC . ∆ ABC : Triángulo con vértices A , B y C . A − B − C : Los puntos A , B y C son colineales y B está entre A y C .

•

a

]a, b[ también

•

•



Angulo formado por los rayos BA y BC con

representan lo

y

ℕ : Conjunto de los números naturales: ℤ : Conjunto de los números enteros. D Conjunto de los números decimales ℚ : Conjunto de los números racionales.

•

⊥ : Segmentos o rectas

vértice en B . También se denota ∡ ABC .

coordenada en e igual a b . •

AB o m AB : Medida de AB .  AB : Rayo con origen en A que pasa por el punto B .

( ABC ) Área del triángulo

[ a, b[ , ]a, b]

Puede

AB : Segmento con extremos A y B . Puede referirse

•

notaciones

•

 AB : Recta que pasa por los puntos A y B .

también a una cuerda.

a y b (conjunto de todos

los números reales que están entre

•

A f : Ámbito (Rango) de la función f .

•

únicamente por a y b . •

•

referirse también a una secante.

pertenece”, o “no es elemento de” ⊂ : “Está contenido en” o “es un subconjunto de” ⊄ : “No está contenido en” o “no es un subconjunto de” ∪ : Unión de conjuntos: El conjunto formado por los

Conjunto

D f : Dominio de la función f .

•

∉ : “No

{a1 , a2 , a3 …} :

•

Geometría

Conjuntos ∈ : “Pertenece”, o “es el elemento de” • •

G f : Gráfico de la función f .

•

ln x Logaritmo natural (base e ) de x .

•

Funciones

X : Media aritmética de la variable X (Promedio). Mo : Moda de la variable X Me : Mediana de la variable X

•

Q1 : Primer cuartil de la variable X Q3 : Tercer cuartil de la variable X

•

f : A → B : Función con dominio A y codominio B .

•

•

f ( x ) : Criterio, o regla de asociación de la función.

•

•

f ( a ) : Imagen de a a través de f .

P ( E ) : Probabilidad del evento E


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