VALOR ABSOLUTO La definición de valor absoluto es muy sencilla, en base a ello se plantea propiedades. Como alumno debes entender que los problemas que involucran al valor absoluto se pueden
resolver aún sin las propiedades, sólo conocer definiendo correctamente el concepto de valor absoluto que significa distancia de cualquier punto de la recta al srcen.
•
DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “x” se define como aquel número real no negativo denotado por x ; donde: x ; si x es positivo o cero x
2
−= − 1
2
1
✎ Estos ejemplos nos dan a entender, que el resultado de aplicar valor absoluto a una expresión matemática nos dará como resultado siempre una expresión positiva. 1− 3
=
3
− 1
Interpretación Geométrica: La distancia de un número real a cero se le denomina valor absoluto y se le representa entre barras. Ejemplo: −6
•
6
•
-6
•
0
6
X
El valor absoluto de – 6 es 6, ya que la distancia de – 6 a 0 es 6 y se representa
= - x ; si x es negativo
Ejemplos: 25 ✎ ✎
✎
=
−6 = 6 En general −x
25
12 =−(− 12) = 12 −
•
-x
x
•
0
•
x
X
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-2-
Álgebra . •
✎
PRINCIPALES TEOREMAS: ✎
x
✎
x
≥ 0
2
;
x
∀ x∈ R
2
=x
;
∀ x∈ R
muy
importante ✎ ✎
x
≥ x
− x
✎
x
;
∀ x∈ R
= x
2
;
=x
Además, si ✎
x ⋅y
✎
x y
=
⋅
∈ R
, entonces:
≠0
✎ x+ y
✎ ✎
•
≤x
+y
x +y
=x
x +y
⇔ x , y∈ R
+y
+y
xy≥ 0 ⇔ ⇔ xy< 0
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Son ecuaciones que se reducen a la siguiente forma general: A(x) = 0 Donde A es una expresión con valor absoluto.
•
≥b ⇔ x ≥b ∨x ≤−b
25
=25
EJERCICIOS
y
; con y
y
x
∀ x∈ R
x e y
x
x >b ∨x <−b >b ⇔
∀ x∈ R
;
=x
✎ ✎ ✎
≤ b⇔ b≥ 0 ∧−b ≤x ≤b
x
TEOREMAS: ✎ x
= a ⇔ (x =a
x
=y
∨x = − a) ∧a
✎ ⇔ x= y ∨x = − y
1. Al resolver la ecuación: 2 − 3x = 2x + 1 ; la suma de las soluciones es: 2 2 16 1 a) b) − c) d) 5 5 5 5 e) 3 2. El valor de “x” que se obtiene al resolver: x − 8 = 3x ; es: a)0 b)-1 c)2 d)-4y2 e) -4 3. Resolver la siguiente 5x − 3 = 4x + 1
2 a) 4; 9 2 d) − ,4 9
ecuación:
2 c) 9
b) { 4} e) { 2,4}
4. El conjunto solución 2x − 13 = x − 5 ; es: a) { 6}
b) { 8}
de: c)
{ −6}
•
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Para resolver inecuaciones con valor absoluto, requieren del uso de los siguientesse teoremas: ✎ x
0 ∧−b
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d) { 6,8}
e) { −6;8}
5. El2x + 3 conjunto = x − 2 ; es: solución a) { −5; − 3}
b) { −5;2}
d) { −2;5}
e) { −2;− 3}
de:
1 c) −5; − 3
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Ingreso. n + 2 − 3n − 2 6. Hallar el valor de: E = , 3n sabiendo que: n ∈ −2;0 1 2 3 a)3 b) c) d) 3 5 4 4 e) 3 7. Calcular la suma de los cuadrados de x =x las raíces de la ecuación x− 2 a)4 b)9 c)10 d)13 e) 5 8. Al resolver la ec uación x − 3 = 3 se obtiene como conjunto solución a: a) { 6; − 6} b) { 6} c) { 6;0; − 6} d) { 6;0}
La Opción Perfecta para tú 12. Determine el número de soluciones de la ecuación x − 1 = 2003 a)1 b)5 c)2 d)4 e)3
− + 1− x 4 y dé 13. Resuelva 7x − 5< 6x como respuesta la suma de soluciones enteras. a)3 b)4 c)6 d)9 e)7 14. Halle el conjunto solución de la − − ≤ inecuación 2x11 a) [ −1;0]
c)
[ 2;3] ] [ ]∪ 2;3 e) [ 0;2] d) [ −1;0 15. Resolver: 2x − 3 < 5 a) −2;3
e) { 6;1; − 6; − 1}
b) [ −1;3]
b) −1;3
c)
−2;4 9. Si x ∈ 0;3 , calcular:
d) 1;5
M = 5x + 48 − 3 2x − 16 x a)8 b)11 c)3 d)–5 –6
e)
b) { −3;3}
d) { 6, − 3}
e) { 8;3}
16. Al resolver la desigualdad: 2x + 3 > 5 el conjunto solución es: − ∪ 1; +∞ a) −∞ ;4 b) −∞ ;− 4
10. Resolver: x2 − 2 x − 3 = 0 a) { 3}
e) −1;4
c) { −1}
+∞ c) −∞ ;− 1∪ 4; d) −1;+ ∞
+∞ e) −∞ ;− 1∪ 4; 11. El conjunto solución que se obtiene al resolver: 2 x4− − 5−x4+ = 6 0 2;6
a) { 1;7} { 1,2,6;7}
b) {
d) { 1;2;7}
e) { −2;6}
}
c)
17. Dar el conjunto 3 − x ≥ 3x − 5 1,2 a) [ ] +∞ b) −∞ ;1∪ [ 2; c) 1,2
+∞ d) −∞ ,1∪ 2;
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solución
de:
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Álgebra .
a) { 2,0}
e) 1,2
b) { −1; − 2;0}
c)
{ 0;2;3}
+2x −2 x 1
18. Resolver: ( x1(−) − )+x1<
d) { −2;0;2} e) { −3; − 2;1}
+∞ a) −∞ ;2 ∪ 8; 24. Resolver: x − 3 ≥ x − 1
b) −1,0
+∞ c) −∞ ;− 1∪ 0;
a) [ −2;2]
b) −2;2
d) 1,5
d) [ −2;2
e) −∞ ;2
e) −∞ ;2 − ∪ 2; +∞
25. Si x ; y ∈ Z, resolver el siguiente sistema de inecuaciones y calcular “x.y” 5x+ y− 2 − 1 > 0 ...(1)
19. Resolver la inecuación: x2 − 2x5 − < + x2− 4x7 1 2; a) −3; ∪ +∞ 3 b) 2; + ∞
2x− y > 16
1 3
c) −3;1∪ +2;∞
< 1 3
...(2) x− 4
b)-3
...(3) c)-2
d)-1
e)7
26. El conjunto solución de la ecuación: 3x − 7+ −5 =x − 2x 2
e) −1;3∪ +2;∞ 20. Resolver: 3x − 4 ≤ x + 4 b)
0,4
c)
e)
0;2
[ 0;4 ] d) −4;0
6− x
a)-4
1 2; d) −3; ∪ [ +∞ 3
a) 0;4
c) −2;2
a) 7 3 ; 5
b) 7 3 ; 5
7 +∞ c) −∞ ; ∪ [ 5; 3
d)
5 ;7 3
e) [ 5;7] 2
21. ¿Cuántos valores enteros satisfacen la inecuación 2x +5 >4x 3− ? a)3 b)2 c)4 d)1 e)5 4x + 1 − x − 1 ;si x0∈ ;1 x b)2 c)3 d)4 e)5
22. Hallar: E = a)1
23. Resolver: x − 5 = 54− x
27. Resolver: x2− > 4−x25 +
− ∪ 7; +∞ a) −∞ ;3 b) −3;7 c) −7;3
+∞ d) −∞ ;− 7∪ 3; e) −3;7∪ +9; ∞ 28. Resolver: x2 + x− <2 a) −∞ ;2
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+x2− x 2
b) −∞ ;− 2 − { 0}
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Ingreso. c) −∞ ;2 − { 0}
+∞ d) −∞ ;2 ∪ 3;
e) −∞ ;3 − { 0}
Cusco, 15 de Junio del 2004
B = {∈x ¡ /+x+ 1− ≤x 25 } Halle n(A ∩ B) a)3 b)5 c)4 d)6 e)10
1 II. Si x − 2< ⇒
30. Al resolver: 3 − x ≤ 10x(1 − x) se a b obtuvo como C.S. = ; 2 5 Halle a + b a)2 b)4 c)7 d)3 e)5 2 x − 9 − 2x 31. Al resolver: < 0 se obtiene x+ 2 + 3
c) 2
32. Resuelva: 1 1 − ≤ −x a< ; <0 a 1 x a a) [ −a;a] b) c) d) e)
− 1 ; 1 a a 1 1 −∞ ; ∪ +;∞ a a 1 1 −∞ ;− ∪ + ;∞ ∪ a a φ − x 25
x∈+ −1 x+ 2 x +1 <2 III. Si x < 1 ⇒ x− 2 a) VVV b) FVF VVF d)VFV e)FFF 35. Si x ∈ 2;3
2; 4 3 5
c)
entonces el valor de:
3x − 5 − x + 2 E= 7x − 8 − 3x + 6 a)2 b)3 c)1/2 6
d)1/3
e)
36. Resuelva: 2 ( x − 3) − 9−x+ =3 20 0 Dando como respuesta la suma de los elementos de su conjunto solución. a)10 b)12 c)4 d)6 e) 9
a) { 1;3}
{ a}
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1 3 b) ; 7 7
7 3 d) 1 4;7 3
2
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d)17
37. Resuelva: 2x + 3 + 4 = 5x
33. Si el conjunto solución de 1 −x− 8≥
] [ ∪ ] c;d es [ a;b + + + obtenga abcd a)11 b)13 c)15 e) 19
34. Dé el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1 1 ∈ − − 1; I. Si x < 3⇒ x− 4 7
PROBLEMAS PROPUESTOS 29. Dado: A = {∈ x ¢ / −x2+ 3x ≤ 5 9}
como C.S. = a;b Halle b – a a) 5 b) 2 10 d) 2 – e) −2 10
La Opción Perfecta para tú
38. Resuelva: 2 x1xx − − =
e) 1 1 3;7
c)
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Álgebra . − + 2; 1 + 2} a) { 1;1 b) { 1; 2} c) { 1; 1 + 2} d) { −1;+
}
2
e) { −1 + 2; 1 + 2}
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