PRACTICA CADENAS DE MARKOV 1ra parte
IO 2
Noe Panozo Jimenez
1.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6. a) Si hoy el viajante viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades? c) Es ergódica la cadena? d) Determinar el estado estable 2.- Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Coca Kolla. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Kolla, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Kolla. ¿Cuál es la probabilidad de que que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Coca Kolla. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?. d) Determinar el estado estable. 3.- La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos.
G H I
G 0,7 0,2 0,1
H 0,2 0,75 0,1
I 0,1 0,05 0,8
¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes?
4.- En cierta ciudad los habitantes pueden tener alguna de las profesiones A, B, C. En cada caso los hijos tienden a seguir la profesión del padre con probabilidades 3/5, 2/3 y ¼ respectivamente. Quienes no siguen la tradición del padre eligen equiprobablemente alguna de las otras dos. Hallar: a) La distribución porcentual de las profesiones en la próxima generación, si actualmente es de 20% para A, 30% para B y 50% para C. b) Calcule las probabilidades de estado estable?.
5.- Tres piratas han descubierto el mapa del legendario tesoro de la isla misteriosa. Tras una larga y accidentada travesía, los tres barcos coinciden en la única bahía que permite fondear para arriar los botes y alcanzar la playa. Como es tradicional en toda buena historia de piratas, cada uno mira por sí mismo y trata de sacar siempre el mejor partido de la situación. Así pues, todos los barcos se aprestan a la batalla para quedar como únicos supervivientes y poder disfrutar de las riquezas del tesoro sin tener que compartirlo. Todos tienen la misma capacidad de disparo (un disparo por minuto) pero las tripulaciones no tienen la misma puntería. El barco X acierta con probabilidad 3/4, el Y con probabilidad 2/3 y el Z con probabilidad 1/8. Como la practica hace maestros, todos saben que la mejor estrategia es empezar disparando al enemigo más preciso. Es decir, en el primer disparo, el X apunta al Z y los otros dos le apuntan a él. Dado que el barco X es el más preciso, su capitán confía plenamente en la victoria, pero su segundo, que allá en sus tiempos mozos anduvo de criado de un loco que estudiaba los juegos de azar por ver si conseguía provecho en ello, anda caviloso porque teme la confabulación de los otros dos barcos contra el suyo, y trata de recordar los cálculos que le enseñaba su amo jugando con dados y cartas. La angustia se refleja en su rostro. a) Identificar los tipos de estados de esta cadena de Markov b) Calcula la matriz de probabilidades de transición a 3 paso. c) Calcule las probabilidades de estado estable. d)
