GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA
TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA PROBLEMA Una barra de aluminio de longitud de 90.5 cm y 1.9 cm de diámetro, se calienta en uno de sus extremos con vapor de caldera a 2 kgf cm 2 manom!tricos. "ncontrar la posici#n longitudinal en la barra donde las diferencias entre los calores de los mecanismos conductivo y convectivo son despreciables. $eportar la eficiencia de la barra en esa posici#n Diagrama del equipo
%istancia entre orificios
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA
Tabla de dao! e"perime#ale!
QA As
Q(x+Δx) At
Δx
X=L
X=0
Me$a#i!mo! %"& %"'(" %$ %r
m=
√
Co#du$$i)# Co#*e$$i)# Radia$i)#
ht promedio P & 't KAt
Q =−KAt
dT dx
Q A =hAs ( T 1−T 2) Qr = γAsε ( T 14−T 42 )
ht=
∑h N
CUESTIONARIO 1.( "legir una posici#n en la barra y describir lo )ue sucede con la temperatura a medida )ue pasa el tiempo. *"n )u! tiempo se alcan+a el estado estable. *"xpli)ue por)ue 'a sido posible alcan+ar ese estado
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA "l tiempo estable lo alcan+amos a los 100 min "s posible alcan+ar la estabilidad por)ue se llega a una transferencia de energ-a máxima
2.( ara una longitud x, */#mo es la temperatura desde el centro de la barra a la superficie de la barra en la posici#n radial y en el estado estacionario. "xpli)ue por)u! ay un gradiente de temperaturas en el )ue la temperatura interna es mayor )ue la temperatura en la superficie
.( raficar las siguientes cantidades3
ráfica 1. 4as temperaturas en el r!gimen transitorio s. la posici#n x, teniendo como parámetro el tiempo.
ráficas 2. 4as temperaturas el r!gimen permanente s. la posici#n x 6.( lantear un balance en kcal ', en cual)uier posici#n en la barra aplicando el principio del balance de cora+a a un elemento diferencial de volumen, introduciendo la ecuaci#n )ue define al coeficiente convectivo individual de transferencia de calor en kcal ' m 2 7/ y obtener la ecuaci#n diferencial sin integrar.
Flujo de calor por conducción que entra al volumen de control
X
tiempo
=
hcAs ( T 1− T 2) =σAsε( T 1 −T 2 ) 4
4
conducción que sale del volumen de control X ∆X + tiempo Flujo de calor por
+
Flujo de calor por
convección que sale de la su erficie del volumen de control tiempo
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA 4
hr =
4
σε ( T 1 −T 2 )
( T −T ) 1
2
Co#*e$$i)# Qc =hcAs ( T 1− T 2 ) Qr =hrAs ( T 1−T 2) Q=Qc + Qr = ( hc + hr ) As( T 1−T 2) Q A =htAs ( T 1−T 2 )
Bala#$e de e#erg+a& r,gime# perma#e#e E= S
Q X =Q x + Δx + Q A dT
dT
−KAt dx ¿x=−KAt dx ¿x+ Δx + htPΔx( Ps − Pa) − KAt
lim
dT dT ¿ + KAt ¿ x + Δx= htPΔx( Ps − Pa) dx x dx AtΔx
¿
Δx → 0
− KAt
dT dT ¿ + KAt ¿ x+ Δx= htPΔx ( Ps− Pa ) dx x dx AtΔx
¿
d dTs htP (K )= ( Ts −Ta ) dx dx At 2
d Ts htP = ( Ts− Ta ) 2 KAt dx
5.( "n la ecuaci #n diferencial lineal de segun do orden obte nida en el punto θ
anterior, defina a 8 s : a. s es la temperatura de la superficie de la barra en cual)uier posici#n y a la temperatura del aire ambiental, incorpore esta
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nueva variable en la ecuaci#n para )ue a'ora las temperaturas )ueden en θ
funci#n de Si ϴ = (Ts-Ta)
dϴ = dTs
d2ϴ = d2Ts
2
d ϴ htP 2 = KAt dx
ϴ
2
d ϴ htP − 2 KAt dx
m=
ϴ
=0
√ KAt htP
2
d ϴ 2 2 ϴ =0 Ecuacion linealde 2 ° rden m − dx
ϴ
=e x ʎ
2
ʎx
2
ʎx
d e − m 2 e ʎ x= 0 2 dx
d e = ʎ 2 e ʎx 2 dx
ʎ
ʎ
ʎx
2
ʎx
2
e −m e = 0
2
−m ¿ e x =0 ¿ ʎ
2
2
( ʎ − m )=0 −(m − ʎ )( m + ʎ )= 0
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ʎ =−m ʎ = m ϴ
=! e mx ϴ =! e−mx
ϴ
=! e mx+ ! e−mx
1
2
1
2
;.(
ara x 8 0 ,
θ
8
b
8 v : a, donde v es la temperatura del vapor en la θ
cámara y b es la diferencia de temperaturas en la base de la barra dθ dx
ara x 8 4
=0
,
θ
es decir
8 es una constante
"n este caso se tendrá )ue recubrir con cinta t!rmica el extremo de la barra antes de empe+ar la experimentaci#n. =tras condiciones a la frontera se definen en el ap!ndice, las cuales se pueden utili+ar para resolver la ecuaci#n diferencial. Co#di$io#e!& de -ro#era 1.2.-
x =0 ϴ "=( T# −Ta ) x= $
dϴ =0 dx
>ustituyendo condici#n 13 dϴ = m! 1 e mx−m! 2 e−mx dx
ϴ"
=! + ! 1
2
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0 = m! 1 e
>ustituyendo condici#n 23 0 =! 1 e
mx
−m! e−mx 2
− ! e−mx
mx
2
!1 e mx =!2 e−mx
!2 =
ϴ"
!1e
mx
− mx
e
=! +
!1e
−mx
1
−mx
mx
e
=
+! e mx ! ( e−mx + e mx) = −mx −mx
!1 e
1
1
e
e
−mx ϴ"e
!1 = ( e−mx + e mx)
!2 =
−mx mx ϴ" e e −mx mx −mx
(e
+e ) e
mx
=
ϴ" e −mx mx
(e
+e )
>ustituyendo3 ϴ"
=
−mx mx e ϴ" e −mx mx
(e
mx − mx
+
ϴ" e −mx
+e ) ( e
e
+ e mx )
e
(¿ ¿−mx emx + e−mx e mx) ϴ" ( e−mx+ emx ) ϴ =¿ ϴ ϴ"
−m ( x − $ )
=
e
− mx
(e
+ e m( $ − x ) + e mx )
?.( $esuelva la ecuaci#n diferencial en el estado estacionario y reporte las siguientes deducciones3
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Ts
= (Tv − Ta)
!"s#[ m ( L − x )] !"s#( m L)
+ Ta
?.1 "l perfil de temperaturas3 −u
u
coshu=
Usando la identidad U8m@4(xA ϴ ϴ"
u
=
e +e 2
8m4 −u
e +e 2 coshu # −# = 2 cosh# e +e
ϴ
erfil de temperaturas adimensional
ϴ ϴ"
ϴ"
=
( m ( $− x ) ) cosh ( m$ )
cosh
Ts Ta =( − ) ( T# −Ta )
Ts −Ta =( T# −Ta )
Ts =( T# −Ta )
cosh
( m ( $− x ) ) cosh ( m$ )
cosh
(m ( $ − x) )
cosh ( m$ )
+ Ta
?.2 4a cantidad de calor transferido por convecci#n desde la base la barra B b3 Qb
=
h P k AT
θb
t$%# ( m L)
. */uál es el valor num!rico en kcal ' Pdx =2 &r$
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA Q"= htPdx ϴ x=$
Q "=
∫ htPdxϴ
x =0
x= $
Q"= htP
∫ϴ
"
x =0
Q "=
cosh ( m ( $− x )) dx cosh ( m$ )
htP ϴ " cosh
x= $
∫ cosh (m ( $− x ) ) dx
( m$) x =
0
u= $ − x du =−dx $
¿−∫ cosh ( mu ) du 0
s = muds = mdu 0
¿= ∫ coshsds= −sinhs m m
¿− 1
0
s $m
$m
Q "=
Q "=
Q "=
htP ϴ " cosh
sinh ( $m )
( m$)
m
htP ϴ" sinh ( $m) mcosh ( m$ ) htP ϴ " m
tanh
( $m)
=
sinh ( $m )
m
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√
htP ϴ "
Q"
=√
∗
htP KAt
√
tanh
htP KAt
htP ϴ " Q "=
htP KAt
√
htP KAt
√
htP KAt
htP KAt
Q"= KAt ϴ "
Q "= ϴ "
√
2
( m$ )
tanh
( m$ )
tanh
( m$ )
htP K At KAt
2
tanh
( m$)
Q"=ϴ" √ htPKAt tanh ( m$ )
?. 4a cantidad de calor )ue entra por la base de la barra utili+ando el perfil de Qbo
temperaturas s en la siguiente ecuaci#n Qb 0
h P k AT
=
θb
t$%# ( m L)
=
−
AT k
dTS dx
x 0 =
y obtener
. */uál es el valor num!rico en kcal' "xplicar Qb
=
Qbo
por)u! Ts =( T# −Ta )
cosh
(m ( $ − x) )
cosh ( m$ )
(
+ Ta
)
dTs d =(−Ta + T# ) (cosh ( m ( $− x ) ) ) sech ( $m ) dx dx
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(
)
dTs =m d ( $ − x ) (−Ta + T# ) sech ( $m ) sinh ( m ( $− x )) dx dx dTs 1 =m ( Ta −T# ) ( $m ) sinh ( m ( $− x )) dx cosh
C80
sinh ( m$ ) dTs =m ( Ta −T# ) dx cosh ( m$ )
Q" 0=− At∗ K ∗m
( Ta −T# )∗sinh ( m$ ) cosh ( m$ )
AtK ( Ta −T# )= htP ϴ" htP ϴ" sinh ( $m ) Q" 0= cosh ( m$ ) m
Q " 0=
Q " 0=
htP ϴ" mcosh ( m$ ) htP ϴ " m htP ϴ "
Q " 0=
√
√
( $m)
( $m)
√ KAt
∗
htP KAt
htP
tanh
htP KAt
htP ϴ " Q " 0=
tanh
sinh
√
htP KAt
htP KAt
tanh
( m$ )
( m$ )
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA Q" 0= KAt ϴ "
Q " 0= ϴ "
√
√ KAt htP
2
tanh
htP K At KAt
( m$)
2
tanh
( m$)
Q" 0= ϴ" √ htPKAt tanh ( m$ )= Q" Q " 0= Q "
Ω
?.6 4a eficiencia de la aleta . %efinida como el calor real transferido por convecci#n desde la base de la barra entre el calor transferido por convecci#n si la aleta estuviera en toda su longitud a la temperatura
Ω = t$%# (m L) mL
uniforme del vapor v.
. */uál es el valor num!rico
/alor )ue disipar-a toda la barra a v, modelo ideal3 Q"= htP$ ( T# − Ta )
ϴ " √ htPKAt tanh
( m$) tanh ( m$) = htP$ ( T# −Ta ) m$
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Ts
E.( posici#n ráfica x,degrafi)ue temperaturas ena elpartir estado la tabla las de datos experimentales de laestacionario posici#n x 8s. 10.5la 'asta 90.5 cm y encuentre con la ayuda de "xcel el modelo matemático )ue aFuste meFor a los datos experimentales. $eporte el modelo encontrado. ráfica .
Ts
x
9.( %erive con respecto a la posici#n la temperatura en la superficie modelo encontrado en el punto anterior y sustituirlo en la ecuaci#n de la Qx ( x)
=
−
conducci#n de GeHton Q x ( x)
AT k dTS dx
del
para obtener la ráfica 6 del
x
perfil puntual s. , utili+ando como punto inicial 0.1 m 'asta 0.9 m. %escribir el significado de la gráfica obtenida. ráfica 6.
./01 2r3-i$a 4& Obe#ga el per-il pu#ual de la $a#idad de $alor ra#!-erido por $o#*e$$i)# x x de!de la ba!e la barra % b 5 6 7!0 la po!i$i)# a parir del *alor de ./04 8a!a 9/04 $m de la barra de alumi#io0 Uili$e la e$ua$i)# i#egrada del pu#o :0; antes de sustituirle x los límites de integración para que quede e# -u#$i)# de la po!i$i)# & e! de$ir<
Qb ( x ) = −
h Pθ b !"s# ( m L ) m
senh [ m ( x − L ) ] , presentar esta deducci#n
artiendo de la ecuaci#n del punto ?.23
GUION 3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA BARRA CILÍNDRICA Q "=
htP ϴ " cosh
( m$) ∫
cosh
( m ( $− x )) dx
Q "=
u= $ − x du =−dx
−htP ϴ" ∫ cosh ( mu) du cosh ( m$)
s = muds = mdu
¿− 1 ∫ cosh ( s ) ds =
−sinh ( mu )
m
m
+ const
u= $ − x
m( x−$) −htP ϴ" Q "= sinh ¿ mcosh ( m$ )
12.(rafica ?, Funte los perfiles de las gráficas 6 y 5 en una misma gráfica y reporte 4a posici#n longitudinal en la barra donde las diferencias entre los calores de los mecanismos conductivos y convectivos son despreciables y la eficiencia de la barra en esa posici#n. erfil 63
Q x ( x )=− AtK ∗(−359.1 x2 + 558.22 x −236.25 )
erfil 53
m ( x− $) −htP ϴ" Q "= sinh ¿ mcosh ( m$)
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AP=NDICE 1.( ara estimar el coeficiente convectivo promedio de transferencia de calor en barras cil-ndricas ' promedio la literatura reporta correlaciones, la )ue se usará en esta experimentaci#n es3 ' 8 9.?6 I 0.0? @s :aA ' 8 JK m2 7/L, . > ? /0@. $al 8 s 8 emperatura en la superficie en cual)uier punto de la barra J7/L a 8 emperatura del aire ambiental J7/L %onde
∑
h =
'
G
G 8 GMmero de lecturas a trav!s de la barra .( =tras condiciones a la frontera. /aso N, la aleta es de tamaOo infinito, en este caso el extremo de la barra no está recubierto θ
θ
ara x 8 0
8
b
8 v : a, donde v es la temperatura del vapor en la θ
cámara y b es la diferencia de temperaturas en la base de la barra →∞
θ
ara x
8 a :a 8 0,
la temperatura en la superficie al final de la barra es la temperatura del ambiente
/onsultar la página del libro de Kelty 2e para revisar otras condiciones a la frontera
NOMENCLATURA 8 er-metro de la barra < 8 Prea transversal de la barra v 8 emperatura del vapor de caldera
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a 8 emperatura ambiental s 8 temperatura en la superficie de la barra h P k AT
m8 h
8 barra /oeficiente individual promedio de transferencia de calor para el largo de la de aluminio k 8 /onductividad t!rmica del aluminio 4 8 4ongitud de la barra
