PRACTICA 05 1. En una proporción geométrica de razón
si se tiene la menor cantidad posible de alumnos?.
5 , la 4
suma de los términos es 45, la diferencia de los consecuentes es 4. Hallar el mayor de los términos de la proporción. a) 12 d) 18 2. Si
b) 15 e) 20 para
c) 16
a) 15 d) 23 8.
números se cumple: MA.MH + 2MG = 399. Luego el producto de dichos números es: a) 361 d) 439
2
b) 382 e) 500
c 2 e2 p 2 u 2 = = = 12 27 48 75 ( e + u ) − ( c + p ) = 143 , hallar c + e + p +u. b) 1001 e) 1000
y
5. En la serie
b) 81 e) 108
a 6 c 10 = = = se tiene que a, 65 b 35 d
b) 36 e) 72
b) 24 e) 12
a) 14,4 d) 18,8
c) 19
c) 21
7. En un examen por cada 3 aprobados 5 no aprueban, se toma nuevamente el examen, esta vez por cada 4 aprobados, 1 no aprueba. ¿Cuántos mas aprueban en el segundo caso
b) 15,5 e) 19,9
c) 17,7
10. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes, cada antecedente es el doble del siguiente antecedente y la suma de los consecuentes es 7. Hallar el mayor antecedente si su consecuente es una unidad menor al valor de la serie. a) 42 d) 24
b) 12 e) 30
c) 20
11. El producto de los tres promedios de dos números es 512; si uno de los tres promedios es 6,4; determinar la raíz cuadrada de la media aritmética de los mayores promedios.
c) 80
6. En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la diferencia de los antecedentes y consecuentes de cada razón es 3, 4 y 5 respectivamente y la suma de los cuadrados de los antecedentes es 200. Calcular la suma de los consecuentes a) 14 d) 36
b) 18 e) 25
9. Los promedios aritmético (MA), geométrico (MG) y el menor de los números forman una progresión aritmética. ¿Cuál es la media armónica (MH) de los dos números, si su diferencia es 64?
c) 91
d, b y c forman una proporción aritmética. Calcule a+b+c+d. a) 60 d) 74
a c = , a y d mínimos, además b d a 2 + d 2 + bc = 61 ; b > 1 . Hallar el máximo valor de E = a + c. Sea
a) 15 d) 24
c) 1010
4. En una proporción geométrica de razón entera, los antecedentes son de 3 cifras y la suma de las raíces cubicas de los 4 términos es 21. La suma de los consecuentes es: a) 76 d) 96
c) 21
c) 486
3. Si
a) 101 d) 10010
b) 17 e) 29
a) 3,3 d) 3 12.
b) 4 e) 9,4
c) 5,9
x 3x y + 1 = = x +1 y z Además x + z = 24 Calcular x. y + z Si:
a) 50 d) 80
b) 60 e) 80
c) 70
13. En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética
PRACTICA 05 de los extremos es 136, hallar la suma de los antecedentes. a) 156 b) 168 c) 172 d) 180 e) 192 14. En una proporción geométrica continua la suma de sus términos es 700 y la diferencia entre los extremos es 280. Hallar la suma de los extremos. a) 194 d) 309
b) 206 e) 409
c) 406
15. La MA y la MG de 3 números son entres si como 7 es a 6; además, se sabe que el intermedio es 6 y es la MG de los otros dos. Calcule la MH de dichos números. a) 31/7 d) 36/7
b) 33/5 e) 39/5
c) 35/3
16. En una proporción geométrica, la suma de dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Hallar el menor de los términos medios, si la suma de los consecuentes es 27. a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 14 17.
La razón armónica de la media armónica y la media aritmética de 2 números es a la razón aritmética de la media aritmética y la media armónica como 1 es a 9. Hallar la media geométrica. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. En una serie de cuatro razones geométricas continuas equivalentes; la suma del primer antecedente con el tercer consecuente es 336. Hallar la suma de los consecuentes si la suma de las cuatro razones es 1,333.. a) 972 d) 1440
b) 793 e) 497
c) 1740
19. En una serie de 30 razones geométricas equivalentes, cuyos consecuentes son: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …,900 respectivamente; la suma de los primeros quince antecedentes es 2480. Calcular la suma de las cifras de la suma de los antecedentes restantes. a) 7 d) 14
b) 8 e) 12
c) 10
20.
a2 a2 + b b = = 2 =k b a+b+c c Donde a, b, c y k ∈ Ζ y a + b = 60 Calcule c − k En la serie:
a) 7 d) 4
b) 3 e) 5
c) 1
21. El promedio de 4 números es 11 y, cuando se agrupan de 3 en 3, dichos promedios aritméticos son pares consecutivos. Calcule el menor de los 4 números. a) 1 d) 6
b) 2 e) 8
c) 4
RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Es la comparación matemática de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustraccióndivisión) CLASES DE RAZONES RAZON RAZON ARITMETICA GEOMETRICA
a−b = r
a =k b
Donde: a : antecedente b : consecuente k : valor de la razón geométrica PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de una misma clase CLASES DE PROPORCIÓN Proporción Proporción Altimétrica Geométrica
a−b = c−d
a c = b d
a y c → antecedentes b y d → consecuentes PROPORCIÓN ARITMÉTICA i)
Discreta (términos medios diferentes)
ii) iguales)
Continúa
(términos
medios
PRACTICA 05 MH =
II.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Tipos de proporción geométrica i) Discreta (términos medios diferentes)
ii)
Continua:
(términos
medios
iguales)
SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES
a a1 a2 a3 = = = ... = n = k b1 b2 b3 bn Donde:
a1 , a2 ,..., an Antecedentes b1 , b2 ,..., bn Consecuentes PROPIEDADES
a1 + a2 + ... + an =k b1 + b2 + ... + bn a1.a2 ....an = kn 2. b1.b2 ....bn 1.
n
n
a a a n + a1n + ... + a1n 3. 1n = k n = 1 ÷ = ... = n ÷ n n b1 + b2 + ... + bn b1 bn a +b a1 + b1 a2 + b2 k +1 = = ... = n n = 4. b1 b2 bn k a −b a1 − b1 a2 − b2 k −1 = = ... = n n = 5. b1 b2 bn k PROPORCION ARMONICA de a y b:
1 1 1 1 − = − a b c d PROMEDIOS Dada las siguientes cantidades:
a1 , a2 , a3 ,..., an Tipos: MEDIA ARITMETICA (MA) MA =
a1 + a2 + ... + an n
MEDIA GEOMETRICA (MG) MG = n a1 ×a2 ×... ×an
MEDIA ARMONICA (MH)
n 1 1 1 + + ... + a1 a2 an